Problema 47 O firm fabric 4 produse folosind 3 materii prime. Se cunosc disponibilurile (cantit ile de care se poate face rost pe perioada analizat ) din fiecare materie prim {D i, i=1,2,3}, coeficienii tehnologici {ai,j , i=1,2,3, j=1,2,3,4} (ai,j reprezint cantitatea din materia prim i necesar fabric rii unui produs de tipul j), cantit ile maxime {bj, j=1,2,3,4} i minime {a j, j=1,2,3,4} ce pot fi produse din fiecare sortiment n perioada analizat i profiturile unitare {p j, j=1,2,3,4} ale fiec rui tip de produs, toate fiind date n tabelul de mai jos:

Produsul

P1 P2 P3 P4 Di Materia prim

M 1 3 2 3 4 60

M2 5 6 2 7 80 M 3 3 4 7 3 90

aj 2 2 3 1

bj 20 10 25 30 pj 3 6 6 5

Se cere g sirea acelor cantit i xj care trebuie fabricate din fiecare tip de produs astfel nct s se obin profitul maxim n condiiile nedep irii disponibilurilor din fiecare surs . Rezolvare: Functia obiectiv este: Max f(x)=3x1+6x2+5x4 Restrictii:

1. 3*P1+2*P2+3*P3+4*P4

Trebuie sa fabricam 2 bucati din P1, 8 bucati din P2, 7 bucati din P3, 1 bucata din P4 pentru a obtine un profit maxim de 101 u.m.

Problema 35 n cadrul unui proiect mai general de extindere i dezvoltare, conducerea unei firme studiaz oportunitatea construirii unei noi fabrici fie n ora ul A, fie n ora ul B, poate chiar n amndou i a cel mult un depozit ntr-unul din cele dou orae, alegerea amplasamentului fiind ns condiionat de construirea unei fabrici n localitatea respectiv . n tabelul de mai jos sunt indicate: valoarea prezent net a diferitelor alternative, capitalul necesar acestor investiii i capitalul disponibil pentru ntregul proiect de dezvoltare.

Nr. Alternativa decizional Variabila Valoarea Capitalul necesar crt. de decizie prezent net (mil. u.m.) 1 Construirea unei fabrici n A x1 9 6 2 Construirea unei fabrici n B x2 5 3 3 Construirea unui depozit n A x3 6 5 4 Construirea unui depozit n B x4 4 2

Capital disponibil 10 Determinai soluia optim . Rezolvare. Functia obiectiv este : Max(f) = 9*X1+5*X2+6*X3+4*X4 Restrictiile sunt :

1. 6*X1+3*X2+5*X3+2*X4

Solutia optima este construirea unei fabrici atat in A cat si in B fara aconstrui si vreun deposit in unul din cele doua orase., valoare investitiei fiind de 14 u.m.

Problema 11 Un meniu trebuie s asigure necesarul n substane S1, S2, S3, cu ajutorul alimentelor A1, A2, A3. Cantit ile de substane S1, S2, S3, ce se g sesc ntr-o unitate de aliment de fiecare fel, cantit ile minime necesare organismului n cele 3 substane, precum i preurile celor 3 alimente sunt trecute n tabelul urm tor:

Aliment A1 A2 A3 Necesar Substan

S1 4 3 2 24 S2 5 7 2 35

S3 1 5 4 40

Pret 8 7 5

S se determine cantit ile ce trebuie incluse n meniu din cele 3 alimente, astfel nct costul total al meniului s fie minim. Rezolvare:

Notam :

- x1= cantitatea din A1

- x2= cantitatea din A2

- x3= cantitatea din A3

Functia obiectiv este:

Min(f)= 8x1+7x2+5x3

Restrictiile sunt :

1. 4x1+3x2+2x3>= 24

2. 5x1+7x2+2x3>= 35

3. x1+5x2+4x3>= 40

4. x1,x2,x3 > 0

Solutia este sa introducem 8 unitati din A2 pentru ca sa obtinem un cost total minim de 56 u.m. Din celelalte 2 substante nu se introduce nici o cantitate in meniu. Problema 13 Se dispune de bare de fier de 14 m lungime din care trebuie t iate 50 buc i de 8 m, 80 buc i de 5 m i 45 buc i de 2,5 m. Se cere s se stabileasc modul de t iere care asigur cantitatea minim de deeuri. Rezolvare : Realizam tabelul modelelor de taiere astfel : X1 X2 X3 X4 X5 8m 1 1 0 0 0 5m 1 0 2 1 0 2,5 m 0 2 1 3 5 Rest 1 1 1,5 1,5 1,5 Functia obiectiv este : Min(f) = X1+X2+1,5*X3+1,5*X4+1,5*X5 Restricttile sunt :

1. X1+X2= 50 2. X1+2*X3+X4= 80 3. 2*X2+X3+3*X4+5*X5= 45 4. X1, ., X5 > 0

Trebuie taiate 50 de bare in varianta 1, 15 bare in varianta 3 si 6 bare in varianta 5 pentru a obtine un minim de deseuri si anume 81,5 cm. Problema 7 pagina 31 din cartea Modelarea proceselor economice, autor Dorin Lix ndroiu. O linie aeriana desfasoara activitati zilnice in ambele sensuri intre doua orase A si B. Daca echipajul are baza in a si soseste in B cu un anumit zbor, atunci el trebuie sa se reintoarca I A cu unul di zborurlie urmataoare( eventual a doua zi ). Compania areriana doreste sa determine ce perechi de zboruri( dus - intors) trebuie formate astfel inchat timpul total de sedere pe aeroportul strain sa fie minim. Apare si problema: fiind date perechile de zboruri, unde trebuie sa-si aiba baza fiecare echipaj? Activitatile zilnice se sesfasoara conform orarului:

Numar zbor Plecare A Sosire B A-B1 7.00 8.00 A-B2 8.00 9.00 A-B3 13.30 14.30 A-B4 18.30 19.30 A-B5 20.00 21.00 A-B6 23.30 00.30

Numar zbor Plecare B Sosire A

B-A1 08.00 09.15 B-A2 08.30 09.45 B-A3 12.00 13.15 B-A4 17.30 18.45 B-A5 19.00 20.15 B-A6 22.00 23.15

Echipajul trebuie sa se odihneasca intre zboruri cel putin o ora. Stabiliti perechile de zboruri pentru care timpul intreg de stationare pe un aeroport strain sa fie redus la minim. Determinati solutia optima. Rezolvare Calculam timpul de stationare pe aeroportul strain in ipoteza ca baza este in A.

Zbor B-A 1 B-A 2 B-A 3 B- A 4 B-A 5 B-A 6 A-B1 24 24.5 4 9.5 11 14 A-B2 23 23.5 3 8.5 10 13 A-B3 17.5 18 21.5 3 4.5 7.5 A-B4 12.5 13 16.5 22 23.5 2.5 A-B5 11 11.5 15 20.5 22 1 A-B6 7.5 8 11.5 17 18.5 21.5

Plecare B- Sosire A

Zbor B-A 1 B-A 2 B-A 3 B- A 4 B-A 5 B-A 6 A-B1 21.75 21.25 17.75 12.25 10.75 7.75 A-B2 22.75 22.25 18.75 13.25 11.75 8.75 A-B3 4.25 3.75 24.25 18.75 17.25 14.25 A-B4 9.25 8.75 5.25 23.75 22.25 19.25 A-B5 10.75 10.25 6.75 1.25 23.75 20.75 A-B6 14.25 13.75 10.25 4.75 3.25 24.25

Combinam cele doua tabele alegand varianta care ofera timpul de stationare cel mai scazut pentru fiecare pereche.

Zbor B-A 1 B-A 2 B-A 3 B- A 4 B-A 5 B-A 6 A-B1 21.75 21.25 4 9.5 10.75 7.75 A-B2 22.75 22.25 3 8.5 10 8.75 A-B3 4.25 3.75 21.5 3 4.5 7.5 A-B4 9.25 8.75 5.25 22 22.25 2.5 A-B5 10.75 10.25 6.75 1.25 22 1 A-B6 7.5 8 10.25 4.75 3.25 21.5

Rezulta ca in A are baza doar o pereche de zbor : A-B2/ B-A3, iar in B isi au baza 5 perechi de zboruri si anume : -B-A1/ A-B4 -B-A2/ A-B3 -B-A4/ A-B5 -B-A5/ A-B6 -B-A6/ A-B1 Durata totala de asteptare pentru cele 6 perechi de zboruri pe aeroporturi straine este de 28.25 ore (28h si 15 min ).

Problema 31 S se determine costul minim de transport dac transport, cantit ile disponibile la fiecare furnizor n tabelul:

B1 B2 B3 Disponibil F1 1 2 8 37 F2 1 11 1 45 F3 14 7 3 18

Necesar 26 63 11

se Fi

cunosc: matricea costurilor unitare

i cele necesare fiec rui beneficiar B

j

de ca

Rezolvare : Functia obiectiv este : Min(f)= X11+2*X12+8*X13+X21+11*X22+X23+14*X31+7*X32+3*X33 Restrictiile sunt :

1. X11+2*X12+8*X13>= 37 2. X21+11*X22+X23>= 45 3. 14*X31+7*X32+3*X33>= 18 4. X11+X21+14*X31>= 26 5. 2*X12+11*X22+7*X32>= 63 6. 8*X13+X23+3*X33>= 11 7. X11, ., X33> 0

Costul minim de transport este 101 u.m. daca se transporta 25 de u.f de la F1 la B1, 6 u.f. de la F1 la B2, 1 u.f. de la F2 la B1, 4 u.f. de la F2 la B2, 1 u.f. de la F3 la B2 si 4 u.f. de la F3 la B3.

Problema 50 n figura de mai jos sunt date 7 localit i numerotate de la 1 la 7 i timpul (n ore) necesar parcurgerii distanei pe arterele care le leag . S se determine ruta pe care se realizeaz timpul minim ntre localit ile 1 i 7. Rezolvare: Arc1(1,2)=1 arc2(1,4)=4 arc3(2,3)=4 arc4(2,4)=2 arc5(3,4)=5 arc6(3,5)=2 Arc7(3,6)=3 arc8(4,5)=2 arc9(4,6)=9 arc10(5,6)=6 arc11(5,7)=7 arc12(6,7)=1

Drumul cel mai scurt de la 1 la 7 este : arc(1,2)-arc(2,3)-arc(3,6)-arc(6,7) ; si are distanta 9 Problema 52

Un director de marketing are sediul n localitatea A. Pentru a r spunde solicit rilor clienilor el este obligat s se deplaseze cu ma ina n fiecare localitate n care firma are filiale. Drumurile care leag cele 6 filiale de sediu, precum i distanele n kilometri aferente sunt prezentate n figura de mai jos. n vederea economisirii de timp i de carburant directorul de marketing dore te s determine traseele cele mai scurte pe care trebuie s le urmeze pentru a ajunge la fiecare dintre filialele firmei.

Se cere s se rezolve problema i s se traseze arborele drumului minim. Rezolvare

Traseul pe care trebuie sa-l urmeze este A-C-B-D-E-G-F ,iar costul total este de 71 u.m.

Problema 60

Construirea unei secii a unei uzine presupune efectuarea activit ilor prev zute n tabelul de mai jos:

Operaii elementare Durate Operaii imediat

anterioare

ntocmirea proiectului de execuie (PE) 60 -

Comanda, execuia i livrarea utilajului tehnologic(UT) 160 -

Exproprieri (E) 20 -

A C B D E G F 10 7 9 14 16 15

Comanda, execuia i livrarea utilajului energetic(UE) 140 -

Organizarea general a antierului (O) 30 E

Studierea proiectului de execuie (S) 10 PE

Executarea construciilor i a instalaiilor etapa 1(CO1) 10 O,S

Executarea construciilor i a instalaiilor etapa 2(CO2) 70 CO1

Completarea reelelor electrice exterioare (R) 55 UE,O

Montajul utilajului tehnologic (M) 28 UT, CO2

Probe tehnologice (PT) 12 R,M

Restul lucr rilor de construcii, instalaii i finisaj (F) 28 UT, CO2

S se determine: a. graful asociat, folosind metoda reprezent rii activit ilor prin arce; b. durata minim de execuie a lucr rii; c. drumul i activit iile critice; d. graficul Gantt asociat.

Rezolvare:

Notam:

A-operatia PE G-operatia CO1

B-operatia UT H- operatia CO2

C-operatia E I-operatia R

D- operatia UE J- operatia M

E- operatia O K- operatia PT

F-operatia S L- operatia F

a.

b. Durata minima de executie a lucrarii este de 207.

c. Activitatile critice sunt D( UE), I( R) si K( PT).

d.Graficul Gantt

Problema 63

Firma Grand Slalom Ski Company din Ogden, Utah, analizeaz posibilitatea de a lansa n fabricaie trei noi modele de ski-uri. Costurile de producie pentru aceste trei noi modele sunt date n tabelul urm tor:

Modelul Costuri fixe ($) Costuri

variabile

unitare

($/pereche)

A 50.000 75

B 75.000 60

C 90.000 30

Firma a estimat ca probabile trei niveluri ale vnzarilor: 2.000 de perechi, 4.000 de perechi i 6.000 de perechi. Preul de vnzare va fi de 400$ perechea.

a)Construii matricea decizional corespunz toare profiturilor a teptate de firm ;

b)Alegei varianta optim ce va fi lansat n fabricaie n cazul n care firma a putut estima obiectiv urm toarele probabilitai pentru cele trei niveluri ale vnzarilor: 0,30, 0,45 i, respectiv, 0,25 aplicnd cele apte criterii (optimist, Wald, Savage, Hurwicz, Laplace, Bernouli, Pascal). n cazul criteriului Hurwicz coeficientul de optimism =0,7.

c)Analizai rezultatele obinute cu ajutorul unui tabel de clasificare.

Rezolvare:

a) Construim matricea deciziilor.

Modelul Costuri fixe(mii u.m.) Costuri variabile unitare ($/pereche)

A 50 75

B 75 60

C 90 30

Pr=V-CT

CT=CF+CV

CV=cv*nr. buc.

CT (V1,S1)=50+75*2=200 CT(V2,S1)=75+60*2=195 CT(V3,S1)=90+30*2=150

CT(V1,S2)= 50+75*4=350 CT(V2,S2)=75+60*4=315 CT(V3,S2)=90+30*4=210

CT(V1,S3)= 50+75*6=500 CT(V2,S3)=75+60*6=435 CT(V3,S3)=90+30*6=270

Pr(V1,S1)=400*2-200=600 Pr(V2,S1)=400*2-195=605 Pr(V3,S1)=400*2-150=650

Pr(V1,S2)=400*4-350=1250 Pr(V2,S2)=400*4-315=1285 Pr(V3,S2)=400*4-210=1390

Pr(V1,S3)=400*6-500=1900 Pr(V2,S3)=400*6-435=1965 Pr(V3,S3)=400*6-270=2130

Model S1 S2 S3

V1 600 605 650

V2 1250 1285 1390

V3 1900 1965 2130

b) 1.Criteriul optimist:

Max(650,1390,2130)=2130, se alege V3 cu S3.

2.Criteriul Wald:

Max( 600,1250,1900)=1900, se alege V3 cu S1.

3.Criteriul Laplace:

Max1/3(1855, 3925, 5995)=max(618,33; 1308,33; 1998,33)=1998,33, se alege V3

4.Criteriul Bernoullit:

Max1/3( 19,27; 21,52; 22,79)=22,79, se alege V3

5.Criteriul Pascal:

Max(614,75; 1300,75; 1986,75)=2081,75 se alege V3

6.Criteriul Savage:

Matricea regretelor

S1 S2 S3

V1 1300 1360 1480

V2 650 680 740

V3 0 0 0

Min (1480; 740; 0)=0 se alege V3

7.Criteriul Hurwicz:

Max hi, hi= *maxjpij+(1- )minjpij

H1=0,7*650+0,3*600=635

H2=0,7*1390+0,3*1250=1348

H3=0,7*2130+0,3*1900=2061

Max (635, 1348, 2061)=2061 se alege V3

c) Analizarea rezultatelor obtinute:

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Total puncte

V1 3 3 3 3 3 3 3 21

V2 2 2 2 2 2 2 2 14

V3 1 1 1 1 1 1 1 7

Conform acestui tabel firma trebuie sa lanseze in fabricatie cate 6000 de perechi din fiecare din cele trei modele de schi-uri.

Problema 70

La o tipografie sosesc zilnic clieni cu diferite comenzi. Tipografia lucreaz n mod normal cu 4 ma ini de tip rit identice. Date statistice din anii precedeni au dus la urm toarele rezultate: sosirile clienilor urmeaz o distribuie de tip Poisson, cu media de 25 clieni/zi, timpul de execuie al unei lucr ri are o repartiie exponenial cu o medie de 18 lucr ri/zi. S se determine probabilitatea ca un client s nu a tepte n sistem.

Problema 90 Se consider trei tipuri de ampon, i anume: Selegel, Ducray i Nizoral. Studiile de pia efectuate au stabilit urm torii coeficieni de loialitate constani de la o s pt mn la alta conform tabelului urm tor. Selegel Ducray Nizoral 0,85 0,75 0,8 Probabilit iile de tranziie (cump r tori care i vor schimba amponul n luna urm toare) sunt date n tabelul de mai jos: Produsul p r sit Reorient ri Selegel Ducray Nizoral Selegel X 0,10 0,05 Ducray 0,15 X 0,10 Nizoral 0,10 0,10 X Stabilii ponderea fiec rei m rci pe pia .

Problema 88 Firma X comercializeaz materiale consumabile i de birou. Compartimentul de marketing a nregistrat pentru perioada trecut volumul vnz rilor pentru produsele asimilate rechizitelor de birou. Valorile nregistrate sunt prezentate n tabelul de mai jos. Luna calanderistic Vnz ri nregistrate (mil. lei) Ianuarie Februarie Martie Aprilie Mai Iunie Iulie August Septembrie Octombrie

205 198 225 174 184 208 185 178 214 186

Lunar se efectueaz prognoze asupra vnz rilor lunii viitoare pentru dimensionarea stocurilor i orientarea cheltuielilor pentru reclam i publicitate. Conducerea firmei este interesat de estimarea volumului vnz rilor pentru luna noiembrie. Se cunoa te c previziunea pentru luna ianuarie a fost de 205 mil. lei. Din analiza datelor statistice rezult un coeficient de nivelare =0,132.

Problema 82 Necesarul de aprovizionat cu profile laminate la o ntreprindere specializat n construcii metalice este de 1000 tone pe an (300 zile); cheltuielile de stocare sunt de 25 u.m. pe ton , iar cheltuielile de lansare a unei comenzi de aprovizionare de 180 u.m. Preul de achiziie al resursei materiale este de 500 u.m. pentru o ton . Pe baza acestor elemente se cere s se calculeze cantitatea economic de comand -aprovizionare i elemente asociate.