Procesado Digital de la Señal en Comunicacionesaholab.ehu.es/users/inma/psc/PSC20102011.pdf · 1.4 LAZOS ENGANCHADOS EN FASE. (PLL’S) Para llevar a cabo la demodulación de la

Procesado Digital de la Señal en Comunicaciones

PRERREQUISITOS: Tener aprobado “Teoría de la Comunicación”. EVALUACIÓN:

Evaluación a través de exámen (2 parciales). 40% de la nota final (20% cada uno de los parciales)

Ejercicios de clase: 30% de la nota final (15% para cada una de las partes de cada parcial)

Práctica de laboratorio: 30% de la nota final Se realizará un examen final únicamente en el caso en el que la nota obtenida mediante la evaluación continua alcance el 5, o bien por disconformidad del alumno con dicha nota. En el caso de presentarse a examen final no se considerará el resultado de la evaluación continua. Será obligatorio entregar además la memoria de la práctica. Una parte de la práctica de laboratorio será trabajo personal del alumno realizado fuera del horario de clase. El resto de las evaluaciones y prácticas de laboratorio se realizarán en horario de clase. APUNTES: http://aholab.ehu.es/~inma

BIBLIOGRAFÍA:

A. Bruce Carlson. Communicactions Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications. McGraw-Hill, 3ªEd. 1986

Ferrel G. Stremler. “Introduction to Communications Systems”.Addison-Wesley, 3ª Ed. 1990 Symon Haykin. “Communication Systems.” John Wiley & Sons, 2ª Ed. 1995 Simon Haykin Digital Communications Wiley, 1988 John G. Proakis. “Digital Communications”. McGraw-Hill, 3ªEd. 1995 John G. Proakis. “Communications Systems Engineering”. Prentice-Hall International, 1994 Lee/Messerschmitt Digital communication KAP, 2nd Edition, 1994 Wilson Digital Modulation and Coding Prentice Hall, 1996

Tema

1 Transmisión digital banda base 2 Transmisión digital paso banda: QAM 3 Ecualizadores 4 Modulaciones codificadas para canales limitados en

banda Práctica de laboratorio

Paul R. Gray, Robert G. Meyer. “Analysis and Design of Analog Integrated Circuits (Cap.10, aptdo 4—PLLs) “John Wiley & Sons, 1984 Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K. Sam Shanmugan. “Simulation of Communicaction Systems”. Plenum Press, 1994 J.C. Bic, D. Duponteil, J.C. Imbeaux. “Elements of Digital Communicaction”. John Wiley & Sons, 1991

TEMA 1

TÉCNICAS DE PROCESADO DE SEÑAL EN LAS MODULACIONES

ANALÓGICAS

Inmaculada Hernáez Rioja

1-1

TEMA 1 Técnicas de procesado de señal en las modulaciones analógicas...................................... 1-2

1.1 Representación de señales paso – banda................................................................................................... 1-2

1.2 Demodulación de señales AM por detección de envolvente................................................................. 1-5

1.2.1 Descripción de señales AM..................................................................................................................... 1-5

1.2.2 Demodulación cuadrática de señales AM............................................................................................. 1-5

1.2.3 Demodulación utilizando la envolvente compleja. ............................................................................. 1-6

1.3 Modulación en doble banda lateral y detección coherente..................................................................... 1-6

1.3.1 Descripción de la señal DSB .................................................................................................................. 1-6

1.3.2 Receptor coherente ideal. ........................................................................................................................ 1-6

1.4 Lazos enganchados en fase. (PLL’s) .......................................................................................................... 1-7

1.4.1 Descripción general del funcionamiento de un PLL.......................................................................... 1-7

1.4.2 Modelo del PLL en condiciones de enganche ..................................................................................... 1-9

1.4.3 Análisis en régimen permanente ..........................................................................................................1-11

1.4.4 Detección FM .........................................................................................................................................1-18

1.4.5 El lazo de Costas ....................................................................................................................................1-18

1.5 ejercicios .......................................................................................................................................................1-23

1.5.1 Problema 1...............................................................................................................................................1-23

1.5.2 Problema 2...............................................................................................................................................1-23

1.5.3 Problema 3...............................................................................................................................................1-23

1.5.4 Problema 5...............................................................................................................................................1-23

1.5.5 problema 6...............................................................................................................................................1-24

1-2

TEMA 1 TÉCNICAS DE PROCESADO DE SEÑAL EN LAS MODULACIONES ANALÓGICAS

1.1 REPRESENTACIÓN DE SEÑALES PASO – BANDA

En este apartado repasaremos conceptos básicos de las comunicaciones paso-banda.

Transformada Hilbert de una señal x(t):

( ) ( ) ( ) ττ

τππ

dt

xt

txtx ⋅−

⋅=⋅

∗= ∫∞

∞−

111ˆ

h(t))(tx )(ˆ tx

h(t))(tx )(ˆ tx

( )t

th⋅

=π

1

Se puede demostrar que: ( ) ( )0

00

0

sign j

<=>−

=⋅−==ωωω

ωωj

j

HthF

Por tanto el transformador de Hilbert es un filtro desfasador de 90º ideal. En el dominio de la frecuencia:

( )ωH

j

-j

ω

2π−

2π

( )ωφ

ω

En el dominio de la frecuencia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω XsignjXHX ⋅−=⋅= ˆ

Un par de transformadas muy útil:

1-3

)sin()2

cos()cos( 000 tttH ⋅=−⋅→←⋅ ωπωω

)cos()sin( 00 tt H ⋅−→←⋅ ωω

( ) ( )φωφω +→←+ ttH

00 sin cos

Si m(t) es una señal paso bajo con frecuencia de corte ω1 y c(t) es una señal paso alto con frecuencia de corte inferior ω2>ω1:

( ) ( ) ( ) ( )tctmtctm H ˆ ⋅→←⋅

Señal analítica o pre-envolvente asociada a x(t)

( ) ( ) ( )txjtxtx ˆ⋅+=+

Por ejemplo:

( )( ) tj cetjttx

ttx

ωωω

ω

=⋅+=

=+ )( sin)cos(

)cos(

cc

c

Otro ejemplo: sea m(t) una señal paso bajo con frecuencia de corte ω<ωc, ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) tjc

cetmttmjttmtx

ttmtx

ωωω

ω

⋅=⋅⋅+⋅=

⋅=+ )sin()cos(

)( cos

c

c

En general se puede demostrar que: ( ) ( ) ( ) ( )00

00

0)(2

2

<=>

=⋅⋅=+

ωωωω

ωωω X

X

uXX

ωc−ωc

ωc

( )ωX

( )ω+X

ω

ω

X(0)

2X(0)

ωc−ωc

ωc

( )ωX

( )ω+X

ω

ω

X(0)

2X(0)

Envolvente compleja de x(t)

1-4

Se define siempre con respecto a una frecuencia portadora ωc: ( ) ( ) tj cetxtxω−+ ⋅=~

y su transformada de Fourier es: ( ) ( ) ( ) ( )ccc uXXX ωωωωωωω +⋅+⋅=+= + 2~

La envolvente compleja se define por tanto para señales paso-banda, , y la frecuencia portadora ωc se encuentra normalmente en la banda de paso de la señal paso-banda x(t). Por eso, ( )tx~ es una señal paso-

bajo, también llamada EQUIVALENTE PASO-BAJO.

Desarrollando:

( ) ( ) ( )[ ] tj cetxjtxtxω−⋅+= ˆ~

( ) ( ) ( ) ttxttxtxe cc ωω sinˆcos~ ⋅+⋅=ℜ ( ) faseen Componente →= txF

( ) ( ) ( ) ttxttxtxm cc ωω sincosˆ~ ⋅−⋅=ℑ ( ) cuadraturaen Componente→= txc

( ) ( ) ( )txjtxtx cF ⋅+=~

y también: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) tj

CF

tj cc etxjtxeetxetxetxωω ⋅⋅+ℜ=⋅ℜ=ℜ= + ~

( ) ( ) ( ) ttxttxtx cCcF ωω sincos ⋅−⋅=

Envolvente real de x(t)

Se define como:

( ) ( ) ( ) ( )txtxtxte CF

22~ +==

También: ( ) ( ) ( ) ( )txtxtxte 22 ˆ+== +

Fase instantánea de x(t):

( ) ( ) ( )( )tx

txarctgtxt

F

c== ~pθ

y así ))(cos()()( tttetx c θω +=

Nótese que:

( )txtx ˆ ),( son señales paso-banda.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttetxtxtx CF θy,,,~ son todas ellas señales paso-bajo.

( ) ( ) ( ) ( )ttetxtxtxtx CF θ,,,),(ˆ),( son señales reales.

y ))(cos()()( tttetx c θω +=

1-5

1.2 DEMODULACIÓN DE SEÑALES AM POR DETECCIÓN DE ENVOLVENTE.

En este apartado vemos dos técnicas sencillas para la demodulación de señales AM, de fácil implementación en el dominio discreto.

1.2.1 DESCRIPCIÓN DE SEÑALES AM

Una señal AM tiene la expresión: ( ) ( )( ) ttmkAts cac ωcos1 ⋅⋅+= , en donde ( ) cos tAtc cc ω⋅= es la

portadora y )(tm es el mensaje, con frecuencia máxima W. La frecuencia portadora cf debería ser mayor que

la máxima frecuencia contenida en )(tm W. ak es la sensibilidad del modulador (índice de modulación) y es

una constante positiva.

La envolvente de )(ts : ( ) ( )tmkAte ac ⋅+= 1

En AM estándar, ( ) ttmka ∀≥+ 01 y por tanto ( ) ( )[ ]tmkAte ac +⋅= 1 de forma que )(tm puede ser

recuperada a partir de la envolvente, con un factor de escala y tras eliminar la componente continua.

El espectro de la señal modulada en AM:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cac

cac

cccc MkA

MkA

AAS ωωωωωωδπωωδπω −⋅++⋅+−⋅++⋅=22

π⋅cA

)(2

caC MkA ωω −⋅⋅

cω ωcω−

)(ωSπ⋅cA

)(2

caC MkA ωω −⋅⋅

cω ωcω−

)(ωS

1.2.2 DEMODULACIÓN CUADRÁTICA DE SEÑALES AM.

El esquema de un demodulador de este tipo es:

( · )2 H(ω)LPF

s(t) y(t)( )( · )2 H(ω)LPF

s(t) y(t)( )

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ttmkAtmkA

ttmkAttmkAts

cacac

caccac

ω

ωω

2cos12

11

2

1

cos1cos1

2222

22222

⋅+++=

⋅+⋅=⋅⋅+=

El término ( )[ ]212

2

1tmakcA + es paso bajo, y su frecuencia de corte será el doble de la frecuencia máxima

contenida en )(tm W. El segundo término es paso banda y está centrado en cω2± . Para que el detector

funcione correctamente, los dos espectros no se deben solapar:

1-6

WWW cc 2222 >⇒−< ωω

1.2.3 DEMODULACIÓN UTILIZANDO LA ENVOLVENTE COMPLEJA.

Otro método para detectar la señal es utilizando un transformador de Hilbert para calcular la envolvente compleja, y a continuación su módulo, obteniendo la envolvente de la señal.

s(t) e(t)

t⋅π1 ( )2

( )2

+ ( )s(t) e(t)

t⋅π1 ( )2

( )2

( )2( )2

( )2( )2

+ ( )++ ( )( )

A continuación sólo quedaría eliminar la continua.

1.3 MODULACIÓN EN DOBLE BANDA LATERAL Y DETECCIÓN COHERENTE

La señal modulada en AM contiene una componente sinusoidal en la frecuencia portadora que no contiene información. Esta componente se introduce para crear una envolvente positiva que permite una demodulación sencilla. Desde el punto de vista de la teoría de la información esta componente se desperdicia.

La transmisión de la portadora no es necesaria si se utiliza un demodulador coherente. Además, de esta forma obtendremos un mejor comportamiento frente al ruido.

Esta modulación se suele llamar DSB-SC-AM (Double Side Band Supressed Carrier Amplitude Modulation), o también simplemente DSB (Double Side Band, Doble Banda Lateral).

1.3.1 DESCRIPCIÓN DE LA SEÑAL DSB

La señal DSB puede expresarse:

( ) ( ) ttmAts cc ωcos⋅⋅=

es decir, como la señal AM con la portadora suprimida.

Su espectro: ( ) ( ) ( )cccc MAMAS ωωωωω +⋅+−⋅=2

1

2

1

se supone que m(t) tiene un ancho de banda W y que ωc>W y que los espectros M(ω−ωc)y M(ω+ωc)no se solapan. Si se solaparan no se puede realizar la demodulación.

1.3.2 RECEPTOR COHERENTE IDEAL.

El diagrama de bloques de un detector coherente es el siguiente:

BPF LPFs1(t)

2.cosωct

X

OL

s(t)BPF LPF

s1(t)

2.cosωct

X

OL

s(t)

1-7

En primer lugar la señal atraviesa un filtro paso banda centrado en la frecuencia portadora que elimina el ruido fuera de banda. La señal recibida se multiplica por una réplica de la portadora, generada por el oscilador local:

( ) ttmAtmAttmtt cccc ωωω 2cos)()(cos2)(Acos2s(t)s 2

cc1 ⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

El elemento que lleva a cabo la demodulación es un MODULADOR DE PRODUCTO o MEZCLADOR.

El espectro de s1(t) es: ( ) ( ) ( ) ( )ccccc MAMAMAS ωωωωωω 22

12

2

11 ++−⋅+⋅=

Los términos centrados en 2ωc pueden ser eliminados mediante un filtro paso bajo.

Un método alternativo para realizar la detección es formar la señal analítica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tj

ccccccetmAtsentmjAttmAtsjtsts

ωωω ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+ cosˆ

y para recuperar m(t) basta con multiplicar por tje cω−

( ) ( ) ( )tmAetsts c

tj c =⋅= −+ ω

Para poder utilizar este receptor, es necesario conocer la frecuencia y fase de la portadora.

1.4 LAZOS ENGANCHADOS EN FASE. (PLL’S)

Para llevar a cabo la demodulación de la señal DSB, el receptor debe tener un conocimiento exacto de la frecuencia y la fase de la portadora y esto no suele ocurrir. Sin embargo estos parámetros pueden ser estimados de forma muy precisa en el receptor por dispositivos llamados PLL’s. (lazos de enganche de fase, Phase Locked Loops), de forma que es posible realizar detección coherente casi óptima. El Lazo de Costas es un tipo particular de PLL que estudiaremos más adelante.

1.4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL FUNCIONAMIENTO DE UN PLL

Un PLL tiene 3 componentes básicos: un detector de fase, un filtro paso bajo y un VCO.

Detector de

fase

LPF

F(f)

v0(t)

VCOv0(t)

vin(t) v1(t) v2(t)Detector de

fase

LPF

F(f)

v0(t)

VCOv0(t)

vin(t) v1(t) v2(t)

El VCO es un oscilador (Voltaje Controlled Oscilator) que produce una señal periódica cuya frecuencia puede variar alrededor de una cierta frecuencia f0, proporcionalmente a la tensión aplicada externamente v2(t). La frecuencia f0 es la frecuencia de libre oscilación del VCO, a la que oscila cuando v2(t) =0. Cuando el lazo está enganchado a una señal periódica de entrada, el VCO oscila exactamente a la frecuencia de dicha señal de entrada.

Cuando el PLL está enganchado (es decir, en funcionamiento estable), el detector de fase genera una señal v1(t) de muy baja frecuencia, con una frecuencia que es función de la diferencia de fases entre las señales de entrada al sistema vin(t) y de salida del VCO v0(t). Un detector de fases común está formado por un

1-8

multiplicador. Esta señal atraviesa el filtro F(f) y se aplica a la entrada del VCO. Si la frecuencia de la señal de entrada empieza a aumentar ligeramente, la diferencia de fases instantáneas entre la señal del VCO y la de entrada comenzará a crecer. Se producirá un cambio en la tensión de control del VCO de tal forma que se lleve al VCO a oscilar hacia la misma frecuencia de la señal de entrada. Por tanto, el lazo se mantiene enganchado a la frecuencia de entrada. La tensión de control del VCO será proporcional a las variaciones de frecuencia de la señal de entrada, por lo que esta configuración es útil en la demodulación de señales FM. El rango de frecuencias para el cual el lazo es capaz de mantenerse enganchado (es decir, es capaz de seguir la frecuencia de la señal de entrada) se conoce como Margen de enganche. En apartados siguientes estudiaremos con más detalle el funcionamiento del PLL en condiciones de enganche.

En el proceso de captura, el lazo pasa de una situación de no enganche, en la que el VCO se encuentra oscilando a la frecuencia de libre oscilación f0, a engancharse a la frecuencia de la entrada. Cuando se aplica a la entrada del PLL una señal oscilando a una frecuencia próxima a la frecuencia f0 el enganche puede producirse, o no, dependiendo de ciertas condiciones. El proceso de captura es de naturaleza no lineal, y se explicará de forma cualitativa.

Supongamos que el lazo está abierto entre el filtro y el VCO, y que se aplica a la entrada una señal periódica de frecuencia próxima (pero no igual) a f0. La salida del detector de fase será una senoide de frecuencia la diferencia de ambas frecuencias, y la misma señal tendremos a la salida del filtro paso bajo (v2(t)), con la correspondiente ganancia. Si cerramos bruscamente el lazo, y aplicamos v2(t) a la entrada del VCO, la frecuencia de v0(t) variará sinusoidalmente, alrededor de f0 con v0(t) encontrándose alternativamente más próxima y más alejada de la frecuencia de entrada. La salida del detector de fase, será una ‘cuasi-sinusoide’ cuya frecuencia es la diferencia entre la del VCO y la de entrada. Cuando la frecuencia del VCO se aleja de la de entrada, la frecuencia de la sinusoide aumenta. Cuando la frecuencia del VCO se acerca a la de entrada, disminuye. La forma presente a la salida del detector de fase se muestra en la figura siguiente.

Como puede observarse, se produce una asimetría durante este proceso de captura, que introduce una componente continua que desplazará la frecuencia media de salida del VCO hacia la frecuencia de entrada, haciendo disminuir gradualmente la diferencia entre ambas. Una vez que el sistema se engancha, la diferencia de frecuencias se hace cero, y únicamente tendremos una señal continua a la salida del filtro (debida a la diferencia de fases entre las señales de entrada al PLL y de salida del VCO).

El rango de captura del lazo es el rango de frecuencias de entrada alrededor de la frecuencia central para el cual el lazo se enganchará partiendo de una situación de no enganche. El tiempo de captura es el tiempo requerido para realizar la captura. Ambos parámetros dependen de la ganancia del lazo y del ancho de banda del filtro.

El objetivo del filtro es eliminar componentes interferentes resultantes del proceso de detección de fase. También proporciona memoria al lazo cuando se pierde momentáneamente el enganche debido a un

1-9

transitorio interferente. La reducción del ancho de banda del filtro mejora por tanto el rechazo a las señales fuera de banda, pero al mismo tiempo decrementa el rango de captura y aumenta el tiempo de captura.

1.4.2 MODELO DEL PLL EN CONDICIONES DE ENGANCHE

La característica del módulo de detección de fase depende de la implementación realizada. Algunas características típicas son:

a) Sinusoidal b) Triangular c) diente de sierra

πσe σe

πσe

vp vp vp

π σe


πσe σe


πσe σe

πσe

vp vp vp

π σe

La característica sinusoidal se obtiene mediante circuitos analógicos utilizando un multiplicador (APLL). Las características triangulares y en diente de sierra se obtienen mediante circuitos digitales (DPLL). Para el estudio del PLL en condiciones de enganche utilizaremos un detector de fase consistente en un multiplicador.

LPF

F(f)

v0(t)

VCOv0(t)

vin(t) v1(t) v2(t)

XLPF

F(f)

v0(t)

VCOv0(t)

vin(t) v1(t) v2(t)

X

Si la señal de entrada es ( ) ( )[ ]ttsenAtv ioiin σω +⋅= y la salida del VCO es ( ) ( )[ ]ttAtv oooo σω +⋅= cos

en donde ( ) ( )∫ ∞−⋅=

t

v dvKt ττσ 2o .

Kv es la ganancia de VCO y se mide en rad/v seg, o Kv /2π en Hz/v.

La salida del detector de fase (multiplicador):

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttsen

AAKttsen

AAK

ttttsenAAKtv

oiooi

moioi

m

ooioim

σσωσσ

σωσω

++⋅⋅

+−⋅⋅

⋅=

=+⋅+⋅⋅⋅=

222

cos01

Km es la ganancia del multiplicador.

El termino en 2ω0 t no atravesará el filtro paso bajo, así que la salida del filtro será:

( ) ( ) ( )[ ] ( )tfttsenAA

Kmtv oioi ∗

−⋅⋅⋅= σσ

22

siendo f(t) la respuesta al impulso del filtro. Podemos escribir:

( ) ( ) ( )ttt

AAKK

eoi

oimd

σσσ =−

⋅⋅=2

y ( ) ( ) ( )tftsenKtv ed ∗⋅= σ2

1-10

σe(t) se llama el Error de Fase. La diferencia entre las fases instantáneas de las señales de entrada y salida será

de 2

)(πσ −te ya que la fase instantánea de la señal de entrada es

2)()(

πσφ −= tt ii .

Kd es la constante equivalente del detector de fase que para este tipo de detector depende de las amplitudes de las señales de entrada además del propio detector.

Buscamos la relación entre las fases de entrada y salida σi(t) y σo(t). La ecuación que describe el comportamiento del PLL es:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∞−⋅=→⋅⋅=

t

vo

vo tvKdt

tddvKt 22

σττσ

( ) ( ) ( )totite σσσ −=

( ) ( ) ( )tvKdt

td

dt

tdv

ie2⋅−= σσ

( ) ( ) ( )tvKtt vie 2⋅−= ωω

( ) ( ) ( ) ( ) tftsenKKdt

td

dt

tdedv

ie ∗⋅⋅−= σσσ

( ) ( ) ( ) ( )tftsenKKtt edvie ∗⋅⋅−= σωω

Si el error de fase es pequeño (condición de lazo enganchado), ( )tesenσ ~ ( )teσ y:

( ) ( ) ( ) ( ) tftKvKddt

tdtde

ie ∗⋅⋅−= σσσdt

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∞−⋅∗⋅−=

t

evdie dfKKtt τττσσσ

y esta ecuación se corresponde con el sistema:

+ f(t)Kd

)(tiσ

)(toσ

)(teσ

+_

fj

KfF v

π2)(2 =

+ f(t)Kd

)(tiσ

)(toσ

)(teσ

+_

fj

KfF v

π2)(2 =

Este es el modelo lineal del PLL, válido únicamente cuando el PLL está enganchado. En este modelo la

entrada al sistema es la fase instantánea de la señal (+π/2) y se utiliza la fase instantánea de salida del VCO.

1-11

1.4.3 ANÁLISIS EN RÉGIMEN PERMANENTE

En este apartado estudiamos el comportamiento en frecuencia del PLL en estado de enganche,

considerando como entrada y salida las señales de σi(t) y σ0(t), y el modelo lineal anteriormente hallado. Partiendo de dicho modelo, y trabando con la transformada de Laplace:

( ) ( )[ ] ( ) ( )ss

KsFKss o

vdoi Φ=⋅⋅Φ−Φ

( ) ( ) ( ) ( )

⋅+⋅Φ=⋅⋅⋅Φs

KsFKs

s

KsFKs v

dov

di .1

( )( )

( )( ) ( )sHsFKKs

sFKK

s

s

dv

dv

i

o =⋅⋅+

⋅⋅=ΦΦ

Es la función de transferencia del lazo cerrado y muestra la respuesta ( )toσ a cambios en )(tiσ .

A veces podemos estar interesados en la respuesta del lazo a cambios en la frecuencia de entrada

( ) ( )dt

tdt i

i

σω = , ( ) ( )sss ii Φ⋅=Ω

( )( )

( )( )

( )( )[ ]sFKKss

sFKK

ss

s

s

ssH

dv

dv

i

o

i

o

⋅⋅+⋅⋅

=Φ⋅

Φ=

ΩΦ

=)(1

Otras veces la salida que interesa es la señal ( )tv2 , que contiene la información sobre el error de fases, basta

con sustituir:

( ) ( )ss

KsV o

v Φ=⋅2

( )( )

( )( )

( )( )sFKKs

sFKs

sK

ss

s

sV

dv

d

iv

o

i ⋅⋅+⋅⋅=

Φ⋅Φ⋅=

Φ2

Y también:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )sFKKs

sFK

s

s

Kss

s

K

s

s

sVsH

dv

d

i

o

vi

o

vi ⋅⋅+⋅

=ΦΦ

⋅=Φ⋅

Φ⋅=

Ω= 1

)( 22

Lazo de primer orden.

El orden del lazo es el orden de ( ) ( )( )ss

sHi

o

ΦΦ=

En un lazo de primer orden ( ) AsF =

( )( )

( )( ) AKKs

AK

s

sVsH

AKKs

AKK

s

s

dv

d

i

dv

dv

i

o

⋅⋅+=

Ω=

⋅⋅+⋅⋅

=ΦΦ

.)(

;

22

de forma que el comportamiento del lazo es el de un filtro paso bajo.

1-12

Tomando AKKK dvo ⋅⋅= , ( )( )

⋅

+=

Ω=

vo

o

i KKs

K

s

sVsH

1)( 2

2

Esta es la respuesta que expresa la tensión que alimenta el VCO, en función de la frecuencia instantánea de la señal de entrada. La respuesta impulsional correspondiente será:

)()( 00

2 tueK

Kth

tK

v

⋅⋅= ⋅−

La constante Ko se conoce como el ancho de banda del lazo. Si el lazo está enganchado a una frecuencia portadora, y la frecuencia instantánea de entrada varía sinusoidalmente con frecuencia

mω ( )( )tmsenmAti ωω ⋅= en la salida v2(t) veremos una señal senoidal de frecuencia mω siempre que

0Km <ω . Cuando mω crece por encima de Ko, la salida del lazo cae. Por tanto, el ancho de banda del lazo

es el ancho de banda efectivo para la señal moduladora que esté siendo demodulada por el PLL.

La figura siguiente muestra los polos de este filtro en el plano s en lazo cerrado y abierto y la respuesta frecuencial en lazo cerrado:

lazo cerrado lazo abierto

-Ko

lazo cerrado lazo abierto

-Ko

En la figura se muestra la evolución de la tensión que alimenta el VCO cuando a la entrada se produce un cambio de frecuencia (respuesta al escalón).

1

1

v1 n( )

wi n( )

v2 n( )

4000 n

0 100 200 300 4001

0.5

0

0.5

1

Utilizar un lazo de primer orden con ( ) AsF = tiene algunas desventajas de tipo práctico. En el multiplicador

del detector de fase se genera la frecuencia suma, que será alimentada al VCO. Además, otras posibles señales interferentes presentes en la señal, también entrarán. Por ello convendrá utilizar un filtro (un lazo de segundo orden).

Lazo de segundo orden.

El filtro más común es: ( )1

1

ωω+

=s

sF que responde al esquema de la figura con RC

11 =ω :

1-13

y obtenemos que: ( )( ) =

⋅++

⋅=

⋅⋅+

⋅+

⋅=Ω

oo

v

vdvd

vi

K

s

K

sK

KK

s

KK

sKs

sV

1

2

1

2

2

1

11

1

11

ωω

es un filtro de segundo orden.

Las raices son

−±⋅−=

1

12,1

411

2 ωω oKs

Podemos poner: on K⋅= 1

2 ωω y nωξω ··21 = oK

1

2

1 ωξ = para obtener la forma típica en que se expresa

un sistema de segundo orden.

( )( ) 22

2

2

2

1

nn

n

vi ssKs

sV

ωωξω

+⋅⋅+⋅=

Ω

Para lazo abierto (K0 =0), s1,2=-ω1, 0.

lazo abierto (Ko=0)

lazo cerrado

14 −

i

OK

ω

ω⋅j

1ω−

lazo abierto (Ko=0)

lazo cerrado

14 −

i

OK

ω

ω⋅j

1ω−

Para 0<K0<ω1/4 hay dos raíces reales. Los casos de interés se dan para K0>ω1/4, en el que las raíces son complejas. En este caso, la respuesta al impulso es una senoide amortiguada:

)(··14

2sin·1

4

2)(

1

012

1

0102

1

tutK

eK

K

Kth

t

v

−⋅−⋅⋅=

⋅−

ωω

ωω ω

Las siguientes figuras muestran la respuesta temporal y frecuencial de este sistema para diferentes valores del factor de amortiguamiento (salvo la constante K0/Kv):

1-14

El ancho de banda del lazo es aproximadamente 10 ·ωω Kn= . El factor de amortiguamiento

oK

1

2

1 ωξ = . Como vemos, el ancho de banda del lazo y el amortiguamiento no pueden fijarse de forma

independiente, lo cual sería muy conveniente. Además, como veremos, el margen de enganche es también dependiente de K0. Así, a veces se desea un ancho de banda pequeño para rechazar adecuadamente variaciones no deseadas de la frecuencia de entrada, y al mismo tiempo un gran margen de enganche, que permita el funcionamiento del PLL para un gran rango de frecuencias de entrada. Para reducir el ancho de

banda del lazo en este caso, podríamos hacer ω1 muy pequeña, pero ello sería a costa de disminuir también mucho el amortiguamiento, presentando entonces el sistema oscilaciones.

Otras configuraciones para F(s) llevan a un lazo más flexible y permiten fijar los parámetros de forma independiente.

El valor conveniente para el ancho de banda del lazo depende del tipo de PLL: de seguimiento de portadora, o de seguimiento de modulación. Un PLL de seguimiento de portadora está diseñado para recuperar la portadora de la señal de entrada, que puede tener modulaciones de frecuencia o fase, o ruido de fase, y por tanto el PLL debería tener un ancho de banda tan estrecho como fuera posible, eliminando así dichas variaciones a la salida. Los PLLs de seguimiento de modulaciones están diseñados para trabajar como discriminadores de frecuencia (demoduladores de FM) en los que la salida del filtro debería reproducir el espectro de banda base que modula en frecuencia o fase a la portadora. En este caso, el ancho de banda del lazo debería de ser mayor que la mayor frecuencia moduladora.

Margen de enganche.

Hemos visto que la frecuencia de salida del oscilador:

( ) ( ) ( ) ( ) tftsenKKtvKt edvvo ∗⋅⋅=⋅= σω 2

1-15

Cuando ( )2

πσ >te , el valor de ( )tv2 empezará a caer de forma no deseada.

Estaremos en enganche, así que el valor máximo que podrá seguir el VCO:

odvMAX KAKK =⋅⋅⋅≈∆ 10ω

Lo mismo ocurre si la diferencia se produce en el sentido contrario, es decir para ( )2

πσ −<te

Margen de captura.

Supongamos que el lazo está abierto (detrás del filtro), y se aplica a la entrada una señal con frecuencia distinta de la libre del VCO. A la salida del detector:

( ) ( ) ( ) ( ) tsenKttsenKtv oidoid ⋅−⋅=−⋅= ωωσσ1 .

A la salida del filtro: ( ) ( ) ( ) φωωωω +−⋅−⋅= tsenFKtv oioid2 ; ( )oiF ωωφ −= ,

y su valor máximo, con el factor de ganancia del VCO será la frecuencia de captura:

( )oivdv FKKKV ωωω −⋅⋅⋅=⋅= 2captura

Si comparamos las frecuencias de enganche y de captura, para 1er orden son iguales, ya que

( ) AF oi =−ωω . Para 2º orden, normalmente ( ) AoiF <− ωω (ganancia del filtro), y ωcaptura<ωenganche

Análisis del error de fase en régimen permanente.

Interesa el estudio del error de fase en régimen permanente, y en concreto el cálculo de )(tLim et

σ∞→

, con

objeto de estudiar qué ocurre ante variaciones de la fase o la frecuencia de la señal de entrada.

Para el cálculo del límite del error, aplicamos:

( )( ) ( ) ( )s

sFKKs

sLim

sFK

sVsLimssLimtLim i

dvsDse

se

tφφσ ⋅

⋅⋅+=⋅==

→→→→∞

2

0

2

00)(·)(

( ) ( ) ( )ssFKKs

ss i

dve φφ ⋅

⋅⋅+=

of

inf Lω cω cω−

cω2

Lω2

of

f

1-16

Típicamente se estudian tres casos:

a) A la entrada tenemos un escalón (salto) en la fase: ( )s

s ii

φφ = .

( ) ( ) ssFKKs

sLimtLim i

dvse

t

φσ ⋅⋅⋅+

=→∞→

2

0

Considerando que F(s) es de tipo paso bajo, en general F(0)=A, por lo que:

( ) 0·

2

0=⋅

⋅⋅+→ i

dvs sAKKs

sLim φ

Esto significa que ante un cambio brusco en la fase de la señal de entrada, el sistema será capaz de recuperarse, tras un transitorio, volviendo a la situación de enganche anterior.

b) A la entrada tenemos un salto de frecuencia: ( ) ( )2s

ss

s ii

ωφωω ∆=→∆=Ω→∆ .

( ) ( ) AKKssFKKs

sLimtLim

dvdvse

t ⋅⋅∆=∆⋅

⋅⋅+=

→∞→

ωωσ2

2

0

para cualquier orden del lazo.

De esta forma, se obtiene un error de fase constante, que podemos hacer más pequeño haciendo K0 grande.

c)A la entrada tenemos una rampa de frecuencia: ( ) ( )32 s

ss

s iiωφω ∆=→∆=Ω .

( ) ( ) AsFte =∞→ si σ : el lazo de primer orden no será capaz de responder a rampas de frecuencia en la

entrada.

Para el lazo de segundo orden, con ( )1

1

ωω+

⋅=s

AsF :

( ) ∞→⋅

+⋅⋅+

∆=∞→ s

sKK

tLim

dv

et

1

10

1

1

ωω

ωσ

Sin embargo existen otras configuraciones para F(s), que también dan lazos de segundo orden, que permiten obtener errores finitos de fase para rampas de frecuencia en la entrada.

1-17

1-18

1.4.4 DETECCIÓN FM

Un caso particular de aplicación del PLL es como demodulador de señales FM (PLL de seguimiento de modulación). Si consideramos que la señal de entrada al PLL es una señal modulada en FM:

∫ ∞−=

t

wi dmKt λλσ )()( y s

sMKs wi

)()( =Φ

siendo Kw rad/sv (2πHz/v)la constante de desviación de frecuencia de la modulación, y m(t) el mensaje.

Tomando la función de transferencia:

( )( )

( )( )sFKKs

sFKs

s

sV

dv

d

i ⋅⋅+⋅⋅

=Φ

2 y fjs ··2· π= ,

Dv

v

w

KK

fjfF

fF

K

KfMfV

·

·2·)(

)(·)·()(2 π+

=

F(f) será de tipo paso bajo. Si el ancho de banda de M(f) se encuentra en la banda de paso de F(f), y si se

cumple que )0(FKK Dv

<<ω, entonces, )(·)(2 fM

K

KfV

v

w≅ .

La condición anterior limitará el ancho de banda de la señal moduladora m(t) a π2

0KB << Hz.

1.4.5 EL LAZO DE COSTAS

La señal modulada DSB ( ) ( ) ttmAts cc ωcos⋅⋅= no tiene componente en cω si el mensaje no tiene

componente continua. Por eso un PLL convencional no podrá engancharse a esa frecuencia. Una posibilidad para realizar la detección es formar la señal al cuadrado:

( ) ( ) ( )

+⋅⋅=⋅=

2

2cos12cos 2222 t

tmAttmAts cccc

ωω

y como ( )tm 2 sí tiene componente continua podemos extraer la frecuencia 2fc de ( ) ttm cω2cos2 ⋅ .

Otra posibilidad más elaborada es utilizar el LAZO DE COSTAS.

El Lazo de Costas se basa en un VCO, y tiene un esquema basado en un PLL:

( ) ( )icttm φω +⋅ cos

VCO F(s)

2π

LPF

LPF

( )ts1

( )ts

( )ts2 ( )tm

( ) ( )icttm φω +⋅ cos

VCO F(s)

2π

2π

LPF

LPF

( )ts1

( )ts

( )ts2 ( )tm

1-19

Calculamos las señales del sistema en régimen permanente (lazo enganchado). Consideramos la salida del

VCO como )cos( 0σω +tc .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oioic tmttmts σσσσω −⋅+++⋅= cos2cos2

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oioic tmttmts σσσσω −⋅+++⋅= sin2sin2

12

Tras el filtrado LPF:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )oiC

oiF

tmts

tmts

σσ

σσ

−⋅=

−⋅=

sin2

1

cos2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eeecF tmtmtststq σσσ 2sin8

1sincos

4

1 22 ⋅=⋅=⋅=

Si el error es pequeño ee σσ 22sin ≈

( ) ( ) etmtq σ⋅≈ 2

4

1

El filtro F(s) será de tipo paso bajo, de forma que actuará como un integrador para m2(t), obteniendo la energía del mensaje, que se supone que es constante, de forma que a la salida obtendremos una señal

proporcional a eσ que será capaz de corregir las variaciones de frecuencia y fase de la señal de entrada, de

forma análoga a como lo hace el PLL.

Implementación discreta del lazo de Costas.

El PLL y el lazo de Costas estudiados pueden analizarse en el dominio discreto. Aquí estudiaremos simplemente una posible implementación discreta del Lazo de Costas.

Vamos a considerar la siguiente implementación discreta:

1-20

T.Hilbert

( )ns ( )ns+ ( )nTc

( )nTje σ−

( )⋅− je

( )nTσ

1−z

Tcω

α

11 −− zγβ

( )zF

2πKvT

( )nTc1

( )nTq

x(n)

( )nTc1

VCO

T.Hilbert

( )ns ( )ns+ ( )nTc

( )nTje σ−

( )⋅− je

( )nTσ

1−z

Tcω

α

11 −− zγβ

( )zF

2πKvT

( )nTc1

( )nTq

x(n)

( )nTc1

VCO

Las líneas continuas indican parte real, y las discontinuas parte imaginaria. Supongamos a la entrada una señal

modulada en DBL y muestreada a velocidad 1/T: ( ) ( ) ( )icc nTnTmAnTs σω +⋅⋅= cos , en donde m(nT)

es el mensaje.

Formamos la señal analítica: ( ) ( ) )(ˆ nTsjnTsnTs +=+

y multiplicamos por el fasor ( ) ( ) ( )nTcenTs nTj =⋅ −+ σ , obteniendo el equivalente paso bajo de s(nT).

A continuación calculamos las partes real e imaginaria del equivalente paso bajo c(nT):

( ) ( ) ( ) nTjenTsenTc σ−+ ⋅ℜ=1 , ( ) ( ) ( ) nTjenTsnTc σ−+ ⋅ℑ=2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 σσσωσω −+−+ ⋅⋅=⋅⋅⋅= icic jc

nTjnTjc enTmAeenTmAnTc

( ) ( ) ( ) ( )oic nTmAnTcenTc σσ −⋅⋅=ℜ= cos1

( ) ( ) ( ) ( )oic nTmAnTcnTc σσ −⋅⋅== sinIm2

0 ei σσσ =−

( ) ( ) ( ) 0cy c ,0 cuando 21 === nTnTmAnT ceσ

Por eso una estrategia para declarar el lazo enganchado es calcular ( )nTc2

2 , filtrarlo paso bajo y decidir si

está enganchado o no según su valor esté por debajo o por encima de un cierto umbral. En condiciones de lazo enganchado, la señal en c1(nT) será la señal demodulada.

Formamos q(nT), multiplicando las partes real e imaginaria del equivalente paso-bajo:

1-21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ecoioic sennTmAsennTmAnTcnTcnTq σσσσσ 22

1cos 2222

21 ⋅⋅=−⋅−⋅⋅=⋅=

Si el error es pequeño: ( ) ( ) ec nTmAnTq σ⋅⋅≈ 22.

ºVCO:

Analizamos ahora la implementación del VCO. Sabemos que en un VCO:

)()( 0 txKftf v+=

∫∫∫ ∞−∞−∞−+=+==

tv

tv

tdxKtfdxKfdft λλππλλπλλπσ )(22))((2)(2)( 00

En un sistema discreto, t=nT, y la integración es una suma:

∑−∞=

+=n

l

v TlxKnTfnT )(22)( 0 ππσ

Si calculamos ))1(( Tn −σ :

∑−

∞−+−=−

1

00 )(222))1((n

v TlxKTfnTfTn πππσ

y entonces )(22))1(()( 0 nTxKTfTnnT vππσσ ++−=

que se corresponde con el esquema:

Z-1

X(n)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Z-1

X(n)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Al integrar el esquema anterior en el esquema general, nos encontramos con que x(nT) no está

disponible, ya que se calcula a partir de σ(nT). Por eso, tendremos un retardo de una muestra, y utilizaremos x((n-1)T):

)1(22))1(()( 0 −++−= nTxKTfTnnT vππσσ

que se corresponde con el esquema:

1-22

Z-1

X(n-1)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Z-1

X(n)2πKvT

Z-1

X(n-1)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Z-1

X(n-1)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Z-1

X(n)2πKvT

equivalente a:

Z-1

X(n)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Z-1

X(n)2πKvT

2πf0T

σ(nT)

Podemos comprobarlo:

))1((22)()( 0 TnTfTKnxnT v +=++ σππσ

))((22)1())1(( 0 TnTfTKnxTn v σππσ =+−+−

Analizamos ahora el filtro F(z):

( )nTq ( )nTσ

11 −− z

β( )nTq ( )nTσ

11 −− z

β

β

1−z

( )nTσ

( ) ( ) ( )[ ]TnnTqnT 1−+⋅= σβσ

β

1−z

( )nTσ

( ) ( ) ( )[ ]TnnTqnT 1−+⋅= σβσ

El subsistema anterior actúa como un integrador.

1-23

( ) ( ) ( )1

1

1

1

1

1

1 1

1

11

1

1 −

−

−

−

−

−

− −

⋅+

−+=

−⋅−+=

−+−⋅=

−+=

z

z

z

z

z

z

zzF

βαα

βααβαβαβα

El filtro F(z) tiene un cero en 10 <+

=βα

αz y un polo en 1=pz , de forma que actúa como filtro paso

bajo.

1.5 EJERCICIOS

1.5.1 PROBLEMA 1

Deduce y dibuja el esquema de un VCO discreto.

1.5.2 PROBLEMA 2

El VCO de un PLL de primer orden tiene una constante de desviación de frecuencia Kv=2π1kHz/v. La constante de lazo vale K0=2π500s-1 y la frecuencia de libre oscilación del PLL es de 500Hz (a dicha frecuencia la tensión de control del VCO es de 0v.).

a) Para una frecuencia de entrada constante e igual a 250Hz, encuentre el valor de la tensión de control del VCO.

b) Dibuje el modelo lineal del PLL, y calcule la función de transferencia Vc(s)/Ωi(s), en donde vc(t) es la

tensión de control del VCO y ωi(t) la pulsación instantánea de la señal de entrada. c) Dibuje la respuesta frecuencial del PLL calculada en el apartado b. Suponiendo el lazo enganchado a una frecuencia de 500Hz, dibuje la respuesta que obtendría para una entrada de la forma:

)(·250··2)( tuti πω = )

d) Calcule cuál será la tensión de control del VCO vc(t) cuando a la entrada tengamos una señal modulada en FM )·100··2·cos5.0·500··2·sin(10)( tttx ππ −= .

1.5.3 PROBLEMA 3

Demuestre que el Lazo de Costas puede utilizarse para demodular una señal modulada en banda lateral única

(considere que la señal a la entrada del lazo de Costas es ttmttmts 00 sin)(ˆcos)()( ωω −=

1.5.4 PROBLEMA 5

Un avión de alta tecnología transmite una portadora sin modular a un terminal terrestre, en que se dispone de un PLL con filtro de lazo F(s)=N(s)/D(s). El PLL está inicialmente en situación de enganche con la señal transmitida por el avión. En t=0, el avión realiza una maniobra cuya dinámica queda descrita con la ecuación de la aceleración del avión, a(t)=At2, en donde A es una constante y a(t) es la aceleración. El movimiento relativo del avión con respecto a la estación causará un desplazamiento Doppler en la frecuencia recibida de

)(·)( 0 tvc

ftfD =∆ , en donde v(t) es la velocidad del avión. ¿De qué orden debe de ser como mínimo el PLL

para poder seguir la frecuencia recibida? Justifique su respuesta.

Pista: Considere que pueden aplicarse las ecuaciones lineales del PLL. Calcule el error de fase en régimen permanente, y analice cuándo puede hacerse cero.

1-24

1.5.5 PROBLEMA 6

¿Cuál debe ser la frecuencia de muestreo en un receptor de AM implementado mediante demodulación cuadrática?

1-25

Bibliografía

A. Bruce Carlson. Communicactions Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications. McGraw-Hill, 3ªEd. 1986

Ferrel G. Stremler. “Introduction to Communications Systems”.Addison-Wesley, 3ª Ed. 1990

Paul R. Gray, Robert G. Meyer. “Analysis and Design of Analog Integrated Circuits (Cap.10, aptdo 4—PLLs) “John Wiley & Sons, 1984

Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K. Sam Shanmugan. “Simulation of Communicaction Systems”. Plenum Press, 1994

J.C. Bic, D. Duponteil, J.C. Imbeaux. “Elements of Digital Communicaction”. John Wiley & Sons, 1991

Roland E. Best Phase-Locked Loops Design, Simulation & Applications McGraw-Hill, 3ªEd. 1997

TEMA 2

TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE


TEMA 2 Transmision digital banda base .............................................................................................................. 2-1

2.1 Diagrama de bloques .................................................................................................................................... 2-1

2.2 Interferencia entre símbolos........................................................................................................................ 2-2

2.3 Filtro adaptado .............................................................................................................................................. 2-6

2.4 Sincronismo ................................................................................................................................................... 2-8

2.4.1 Sincronizadores en lazo abierto.............................................................................................................. 2-9

2.4.2 Sincronizadores en lazo cerrado...........................................................................................................2-11

2.5 Scramblers ....................................................................................................................................................2-13

2.5.1 Introducción............................................................................................................................................2-13

2.5.2 Secuencias pseudo-aleatorias ................................................................................................................2-13

2.5.3 Registros de desplazamiento con realimentación lineal de máxima longitud ...............................2-15

2.5.4 Scrambler sincronizado por tramas .....................................................................................................2-20

2.5.5 Scrambler autosincronizable .................................................................................................................2-21

2.6 Ejercicios ......................................................................................................................................................2-23

2.6.1 Problema 1...............................................................................................................................................2-23

2.6.2 Problema 2...............................................................................................................................................2-24

2.6.3 Problema 3...............................................................................................................................................2-24

2.6.4 Problema 4...............................................................................................................................................2-25

2.7 Bibliografía ...................................................................................................................................................2-25

PROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES

2-1

TEMA 2 TRANSMISION DIGITAL BANDA BASE

2.1 DIAGRAMA DE BLOQUES

Serie/

Paralelo

Filtro Transmisor

GT(ω)

Mapeo de palabras J.bit a 2J niveles

Mod.

Impulsos

Canal

C(ω)

na

( )tv

Jid Serie/

Paralelo

Filtro Transmisor

GT(ω)

Mapeo de palabras J.bit a 2J niveles

Mod.

Impulsos

Canal

C(ω)

na

( )tv

Jid

Filtro

Receptor

Gr(ω)

Muestreo

A/D

Ecualizador

adaptativo

Recuperación

Reloj de símbolo

)(tr )(tx ( )τ−onTx ( )nTy

Paralelo/

SerieCuantificador

Mapeo de

2j nudos

A pal. J-bit

na id

Filtro

Receptor

Gr(ω)

Muestreo

A/D

Ecualizador

adaptativo

Recuperación

Reloj de símbolo

)(tr )(tx ( )τ−onTx ( )nTy

Paralelo/

SerieCuantificador

Mapeo de

2j nudos

A pal. J-bit

na id

di → datos serie con bit rate Rd bits/sec., se mapean en palabras de J-bits, formando símbolos an elegidos de

un alfabeto de M=2J símbolos ó niveles a velocidad J

Rf ds = (baudios);

sfT 1

= periodo de símbolo.

Los M niveles se suelen elegir equi-espaciados con media aritmética cero. Por ejemplo: el valor de un nivel

( )12 −⋅⋅= idli ; 2

,0,12

MMi KK+−= de forma que tendremos niveles espaciados 2d, con valores

desde –(M-1)d hasta (M-1)d.

2j niveles

2-2

La salida del filtro receptor se muestrea típicamente a una velocidad de ( ),43, =⋅ NfN s es decir con

NTT s=0 , tomándose N muestras por cada símbolo.

Transmisor y receptor no están perfectamente sincronizados necesariamente, en frecuencia o fase, indicado en la figura por la variable τ. Las muestras se utilizan por el sistema de recuperación del reloj para recuperar y enganchar los relojes de transmisión y recepción.

En muchos casos el canal ( )ωC no es conocido exactamente o incluso puede variar lentamente. El ecualizador adaptativo trata de compensar esas variaciones junto con la distorsión introducida.

A la salida del modulador de impulsos obtenemos la señal ( ) [ ]∑ −⋅=k

k kTtats δ . Tras el filtro transmisor:

( ) ( ).kTtgats Tk

k −⋅= ∑ Llamamos ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω RT GCGG ⋅⋅= a la respuesta global que incluye el

canal y los filtros de transmisión y recepción. A la salida del filtro receptor tenemos la señal: ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∗+−⋅=

kRk tgtvkTtgatx en donde )(tv es el ruido a la entrada del receptor. Sin ruido y sin

interferencia entre símbolos, es decir, cuando ( )⎩⎨⎧

≠=

=0001

0, nn

nTg nδ , entonces ( ) nanTx = .

2.2 INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS

Si no consideramos el ruido, la señal de salida del filtro receptor es: ( ) ( )∑ −⋅⋅=k

k kTtgatx

Si ( ) 0 para 0 ≠= nnTg , los símbolos transmitidos pueden recuperarse muestreando x(t) en t=nT y entonces ( ) ( )0ganTx n ⋅= . El “primer criterio de NYQUIST” establece las condiciones que deben darse en el

dominio de la frecuencia para no tener interferencia entre símbolos:

( ) ( ) 1000 =≠= gnnTg y ,para Si ( ) ( ) ( )∑ =−⋅⇒ tnTttg δδ

( ) 12221

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗⋅ ∑ T

kT

G πωδπωπ

y ∑ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − T

TkG πω 2

Un conjunto de filtros que se utilizan y cumplen esta condición son los que tienen una respuesta en frecuencia en COSENO ALZADO, cuya expresión es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−<= βππωω 2 para T

TG b

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

TfbTG

21

2cos

21

21 β

βπω para ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅− βππωβππ 22

TT

( ) βππωω ⋅+>= 2 0T

G


2-3

y ( )( )

t

TtTt

ttg πβ

π

π

β2cos

sin

·411

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−

=

En la gráfica: )( off-roll defactor 2 ρβ ⇒= Tr Tof 21

=

2-4

Vemos que a medida que aumenta ρ, el valor de la “sinc” disminuye en los instantes de tiempo distintos al actual. Este hecho hace que se reduzcan los requerimientos de precisión en el sincronismo (si se produce un

pequeño error, la IIS generada será menor). Al mismo tiempo, el ancho de banda aumenta desde 21T

hasta

T1

cuando ρ varía desde 0 hasta 1.

DIAGRAMA DE OJO.

Se forma superponiendo los trazos de la salida del filtro receptor en un osciloscopio. El disparo se produce dentro del intervalo de símbolo y dura un número entero de ellos. La siguiente figura muestra un ejemplo.

El diagrama de ojo resume algunas propiedades de la señal, como muestra la siguiente figura:

En presencia de ISI, cuando el pulso no satisface el criterio de Nyquist, el diagrama tenderá a cerrarse verticalmente. Para una transmisión sin errores en ausencia de ruido, el ojo debe mantener cierta apertura vertical (a), o en caso contrario existirán señales de interferencia entre símbolos que provocarán errores. Cuando el ojo no esté totalmente cerrado, la interferencia entre símbolos reducirá el valor del ruido aditivo


2-5

admisible. Por tanto, cuanto mayor apertura vertical, mayor inmunidad frente al ruido. El instante óptimo de muestreo será el punto de máxima apertura vertical del ojo, pero esto nunca puede ser logrado de forma precisa por un sistema práctico de recuperación de sincronismo. Por eso, la apertura horizontal del ojo (b) es también importante desde el punto de vista práctico: cuanto mayor sea la pendiente (c), mayor sensibilidad tendrá el sistema a errores cometidos en la recuperación del sincronismo (errores en el cálculo del instante de muestreo).

La forma del ojo queda determinada por la forma del pulso. En particular, la apertura vertical se determina por la amplitud del pulso en los instantes múltiplos de T, y la apertura horizontal por la amplitud de las colas del pulso. La siguiente figura muestra el diagrama para pulsos en coseno alzado con excesos de ancho de banda de 25% y 100%. Nótese el beneficio obtenido en términos de apertura horizontal al incrementar el ancho de banda.

Sin embargo, cuanto mayor sea el ancho de banda, mayor cantidad de ruido podrá alcanzar el receptor. Existe por tanto un compromiso entre el exceso de ancho de banda, la inmunidad al ruido y la complejidad del circuito de recuperación del sincronismo.

La siguiente figura muestra el diagrama de ojo en el caso de recibir una señal con ISI:

La siguiente figura muestra el diagrama que obtendríamos para una señal PAM de 4 niveles.

2-6

El valor de la ISI se puede calcular como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅+⋅=−⋅+⋅= ∑∑

≠≠ nkkn

nkkn g

kTnTgaagkTnTgaganTx0

00

Llamamos ( )

( )∑≠

−⋅=

nkk g

kTnTgaD0

El valor máximo de D se dará cuando todos los bits anteriores tengan el mismo signo y tomen el máximo valor, por ejemplo: ( )dM 1− (para el caso unipolar y con separación entre símbolos de d.

( ) ( )( )∑

≠

−⋅⋅−==

nk gkTnTg

dM0

1 D máximo ISI MAX . Se define ( ) ( )( )∑

≠

⋅−==0

MAX

01

Dk g

kTgM

dγ

2.3 FILTRO ADAPTADO

Consideremos un canal ruidoso y sin interferencia entre símbolos, y el siguiente esquema para la recepción:

Supongamos que se transmite un único pulso por dicho canal, y que en recepción debemos decidir si ha habido o no pulso transmitido. El objetivo del filtro receptor h(t) es maximizar la relación A/σ, en donde A es la amplitud del pulso recibido en el instante de la detección, y σ es el valor eficaz del ruido. Puede demostrarse que h(t) debe de ser tal que:

h(t)

Decisión

n(t)

p(t) t=T


2-7

)()()(

2

fGefPKfH

n

fTj π−∗

= , y se obtiene para este caso ∫∞

∞−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= df

fGfPA

n )()( 22

max σγ

Para el caso de ruido blanco, con 2

)( 0NfGn = , )()( tTpKth −⋅= , y

0max

2NE p=γ .

Si consideramos ahora una transmisión digital binaria c on velocidad r=1/T en la que se asigna un pulso p(t) al bit 1 y 0v. al bit 0, y tomando la decisión en base a una detección de umbral, con umbral en A/2,

obtenemos una probabilidad de error ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

0022/

NE

QN

EQAQP bp

e σ en donde Eb es la

energía media por bit. La siguiente tabla muestra las probabilidades de error para diferentes codificaciones de línea.

Código de Línea Probabilidad de error

Unipolar NRZ, Unipolar RZ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0NE

Q b

Polar NRZ, Polar RZ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

2NE

Q b

Bipolar NRZ, Bipolar RZ 2,23

00

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛NE

NE

Q bb ,

Manchester NRZ, Manchester RZ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

2NE

Q b

2-8

2.4 SINCRONISMO

Todos los receptores digitales necesitan tener su demodulador sincronizado a las transiciones de los símbolos recibidos. Las señales de sincronización son señales de tipo reloj que son necesarias en el receptor (o repetidor) para la detección (o regeneración) de la señal a partir de la señal recibida.

Las comunicaciones digitales generalmente necesitan al menos tres tipos de señales de sincronismo:

• Sincronismo de símbolo o bit : se trata de encontrar dentro de la señal recibida los instantes óptimos de detección de cada símbolo. Permitirá distinguir el intervalo de un bit del de otro.

• Sincronismo de trama: hay que localizar dentro de una secuencia de bits el comienzo y final de una trama. Se hace buscando patrones de bits.

• Sincronismo de portadora: hay que generar una portadora en fase con la portadora de la señal que llega modulada. Es por tanto necesario para sincronizarse o engancharse con la portadora. Se usa en la detección coherente de señales paso banda.

Los sistemas se diseñan para que el sincronismo pueda transmitirse directamente con la señal o por un canal separado que se utiliza únicamente para transmitir la información de sincronismo. Nosotros nos vamos a concentrar en los sistemas que derivan el sincronismo directamente de la señal recibida. En este apartado nos referiremos exclusivamente al sincronismo de bit o de símbolo.

Los sincronizadores de símbolo se pueden clasificar en dos grupos básicos:

• Sincronizadores en lazo abierto, que recuperan una réplica del reloj del transmisor directamente a partir de operaciones sobre la señal recibida.


2-9

• Sincronizadores en lazo cerrado, que tratan de enganchar un reloj local a la señal recibida mediante medidas comparativas entre ambas.

Los sincronizadores en lazo cerrado tienden a ser más exactos, pero son más complejos y costosos que los de lazo abierto.

2.4.1 SINCRONIZADORES EN LAZO ABIERTO

También se denominan sincronizadores de filtro no lineal. Están basados en la generación de una componente a la frecuencia de transmisión de símbolos operando sobre la señal recibida mediante una combinación de filtrado y no linealidad.

La complejidad del circuito de sincronismo de bit depende en gran parte del código de línea utilizado. Por ejemplo, el sincronizador para el código unipolar RZ con el suficiente número de alternancias de 1´s y 0´s es sencillo, debido a que la densidad espectral de potencia de este código contiene deltas en frecuencias iguales al bit-rate f=R. Por lo tanto, la señal de sincronismo de bit puede ser obtenida pasando la señal unipolar RZ recibida por un filtro paso banda estrecho centrado en la frecuencia f0=R=1/Tb.

Para un código polar NRZ, un circuito sencillo se obtiene utilizando un elemento cuadrático. La señal polar NRZ filtrada es convertida a unipolar RZ mediante un circuito de ley cuadrática o un rectificador de onda completa. El proceso que sigue la señal puede verse en la siguiente figura:

2-10

Otro ejemplo de sincronizador en lazo abierto responde al diagrama de bloques de la figura:


2-11

Aquí se produce una componente a la frecuencia de reloj multiplicando la señal recibida consigo misma, pero retardada. Para producir un componente armónico más alto, el retardo debe ser de la mitad del periodo de bit Tb/2. La señal m(t) va a ser siempre positiva en la segunda mitad de cada periodo de bit, pero tendrá una primera mitad negativa si ha habido cambio de estado en la señal recibida. De esta manera se produce una señal cuadrada con componentes a la frecuencia de reloj y sus armónicos. La componente espectral deseada se separa con el filtro paso banda y se conforma con el amplificador de saturación.

Un tercer tipo de sincronizador en lazo abierto responde al diagrama de bloques de la figura que implementa un detector de pendiente.

Las operaciones importantes son las de diferenciación y rectificación, esta última usando un dispositivo de ley cuadrática. Una señal rectangular de entrada dará a la salida del diferenciador impulsos positivos y negativos en todas las transiciones. A la salida del rectificador los impulsos positivos tendrán armónicos a la frecuencia de reloj. Ésta se separa con el filtro paso banda y se conforma con el amplificador de saturación.

Un problema es que los diferenciadores son muy sensibles al ruido de banda ancha. Es por ello que se incluye el filtro paso bajo. Sin embargo, este filtro también hace que los pulsos tengan mucha menos pendiente y que los pulsos del diferenciador no sean tan abruptos.

2.4.2 SINCRONIZADORES EN LAZO CERRADO

El principal inconveniente de los sincronizadores en lazo abierto es que hay un error de seguimiento del instante óptimo, que no puede hacerse nulo. Los sincronizadores de lazo cerrado comparan la señal de entrada con una señal de reloj generada localmente para sincronizar el reloj local con las transiciones de la señal recibida.

El más utilizado es el sincronizador adelanto-retardo, basado en la simetría del propio código de línea respecto al instante óptimo de detección. Si esta simetría se da para un pulso aislado también se dará para secuencias alternadas de 1´s y 0´s. Si esta simetría no se cumpliera, el método no funcionaría. Por tanto, el principal inconveniente que presenta este método es que tiene que haber alternancias de 1´s y 0´s en la señal.

2-12

En la figura, sea w1(t) la señal polar NRZ recibida y w1(τ0+nTb) el valor máximo de la señal muestreada, donde R=1/Tb es el bit- rate. La señal alcanza su máximo en el instante óptimo de muestreo τ0. El módulo de S/H muestrea la señal en el instante τ indicado por el reloj, sumando y restando un retardo ∆. Así muestreamos la señal en dos instantes de tiempo diferentes, uno retardado (τ+∆) y otro adelantado (τ-∆).

Debido a la simetría del pulso alrededor del instante óptimo de muestreo se cumple que:

|w1(τ0+nTb-∆)|≅|w1(τ0+nTb+∆)|

donde 0<∆<Tb/2.

w3(t) es la tensión de control del VCC (reloj controlado por tensión, formado por un VCO y un limitador) y se cumple que w3(t)=<w2(t)>, en donde w2(t)= |w1(τ+nTb-∆)|-|w1(τ+nTb+∆)|, es decir, es la diferencia entre la muestra adelantada y la muestra retardada. Un valor positivo de w3(t) hará que la frecuencia de salida del VCC aumente, y a la inversa, un valor negativo de w3(t) hará que la frecuencia del VCC disminuya.

Si el VCC está produciendo los pulsos de reloj en los instantes óptimos τ=τ0, las muestras se están obteniendo en el punto de máxima apertura del diagrama de ojo y por tanto la señal de control w3(t) será nula.

Si τ no se corresponde con el valor óptimo τ0, w3(t) no será nula. Si τ es mayor que τ0 (muestreo con retraso) la tensión de control w3(t) será positiva y la frecuencia del reloj aumentará (tendiendo así a corregir el retraso); si τ es inferior a τ0 (muestreo adelantado) w3(t) será negativa y la frecuencia del reloj disminuirá. Estas correcciones se producirán hasta que hasta que se cumpla que τ=τ0, lo que hará que la muestra adelantada y la retardada sean iguales y la tensión de control w3(t) se haga nula.

El filtro paso bajo (LPF) situado antes del VCC ayuda a generar una frecuencia de reloj estable. Promedia las posibles variaciones rápidas de la frecuencia y fase de la señal de entrada al LPF y va a hacer que el sistema tenga una cierta inercia, eliminado así el jitter presente en la señal de entrada.

Este sincronizador de bit basado en la técnica de retardo- adelanto tiene la misma forma que el Lazo de Costas.


2-13

Como hemos indicado anteriormente, el sincronizador de bit unipolar, polar y bipolar sólo funcionará correctamente cuando los datos tengan un número suficiente de alternancias de 1´s y 0´s.

Las pérdidas de sincronización debido a flujo de bits de todo 1´s o 0´s pueden preverse adoptando alguna de las dos siguientes alternativas:

• Usar un código de línea que no requiera alternancia de bits para realizar la sincronización, como por ejemplo el código Manchester NRZ. Este código requeriría un canal con el doble de ancho de banda necesario para el código polar NRZ.

• Utilización de aleatorizadores (scramblers)

A continuación estudiaremos el empleo de aleatorizadores o scramblers.

2.5 SCRAMBLERS

2.5.1 INTRODUCCIÓN

En la práctica, los sistemas de transmisión de datos no tienen control sobre las secuencias de bits que el usuario va a transmitir. Hay secuencias de bits particulares, tales como largas secuencias de ceros o de unos, que suceden muy a menudo en la práctica y que pueden causar problemas. A nivel teórico, estas secuencias quebrantan fuertemente la hipótesis de que la secuencia de entrada es aleatoria e independiente del tiempo. A un nivel más práctico, pueden causar problemas como una excesiva interferencia de radiofrecuencia, íntermodulación, diafonía y dificultad en la recuperación de la temporización y la ecualización adaptativa.

El scrambling es un método para lograr un balance de la componente continua y eliminar largas secuencias de ceros para asegurar una correcta recuperación del sincronismo sin codificación de línea redundante. Los scramblers aleatorizadores aplican registros de desplazamiento de máxima longitud (MLSR - Maximum Length Shift Registers) a la secuencia de bits de entrada para aleatorizar o blanquear los estadísticos de los datos, haciéndola parecer más aleatoria.

Cualquier técnica sin redundancia, como la aleatorización, debe realizar un mapeo unívoco entre las secuencias de bits de datos de entrada y las secuencias de bits codificadas. El objetivo es mapear secuencias que sean problemáticas y bastante probables de suceder (tales como la todo ceros) en una secuencia codificada que parezca más aleatoria y sea menos problemática. Sin embargo, dado que el mapeo es unívoco, debe haber también una secuencia de entrada cuyo resultado tras el mapeo sea una secuencia problemática. Suponemos que dicha secuencia de entrada es muy improbable. Por tanto, en general, la codificación de línea redundante es un método más seguro para lograr los objetivos deseados, pero el scrambling es atractivo y frecuentemente empleado en canales con extremadas restricciones de ancho de banda precisamente porque no requiere redundancia. Por ejemplo, todos los módems de datos de la banda de voz estandarizados por la UIT-T incorporan scramblers.

2.5.2 SECUENCIAS PSEUDO-ALEATORIAS

Una secuencia pseudo-aleatoria es una secuencia de bits periódica con propiedades tales que la harán parecer aleatoria. Las secuencias pseudo-aleatorias son generadas por un registro de desplazamiento con realimentación lineal tal y como se ilustra en el esquema de la figura:

2-14

Podemos representarlo también:

D

D

D⊕

⊕

⊕

⊕

( )nx ( )ny

( )1−ny

( )2−ny

( )mny −

2h

1−mh

1h

mh

que como vemos tiene la forma de un IIR, en donde x(n) es una secuencia binaria de entrada e y(n) es la secuencia binaria de salida, y cuyos requisitos Soft y Hard son las posiciones de memoria y los registros de desplazamiento respectivamente.

Vemos que este elemento está gobernado por la relación:

( ) ( )∑=

−+=m

kk knyhnxny

1·)( .

Para la generación de secuencias pseudo aleatorias hacemos ( ) 0=nx , ( ) ( )∑=

⋅ −=m

kk knyhny

1

donde la suma

es módulo-2 y equivale a realizar un XOR, la salida y(n) es binaria (tomando los valores "0" y "1") y, de forma similar, los coeficientes del registro de desplazamiento son binarios. Los coeficientes nulos corresponden a etapas no realimentadas, mientras que los coeficientes de valor "1" corresponden a conexiones directas de la salida del registro de desplazamiento a la suma módulo-2.

Sumando y(n) a ambos lados de la relación anterior, y recordando que y(n)⊕y(n)=0 (el símbolo ⊕ denota suma módulo-2), llegamos a:

y(n) ⊕ h1 y(n-1) ⊕ ... ⊕ hm y(n-m )= 0

En otros términos: y(n) ∗ hn = 0

si definimos h0=1 y hn=0 para n<0 y n>m, y si por supuesto interpretamos que la suma en la convolución se realiza en módulo-2.

D DD

⊕

⊕

⊕⊕

( )nx

( )ny

D DD

⊕

⊕

⊕⊕

( )nx

( )ny


2-15

Definimos el estado del sistema en un instante como:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]nsnsnsmnynynyns mKK ,,,2,1 21=−−−=

El estado del sistema es un vector con las salidas de los registros de desplazamiento en este instante. Podemos

poner ( ) ( )∑=

=m

kkk nshny

1· en donde vemos que la salida en el instante n depende de las conexiones y del

estado del sistema.

Dada cualquier secuencia binaria bk (determinística o aleatoria), la transformada HUFFMAN en módulo-2 es:

b(D) = . . . ⊕ b-1 D-1 ⊕ b0 ⊕ b1 D ⊕ b2 D2. . .

Esta expresión tiene la forma de una transformada Z excepto por el hecho de que la suma se realiza en módulo-2 y el símbolo D es usado en lugar de z-1. Además, no se utilizan mayúsculas para esta transformada.

Por ello, los circuitos secuenciales binarios pueden analizarse con los mismos métodos que las secuencias discretas. Así, la convolución de dos secuencias:

c(n) = g(n) ∗ bn

puede escribirse en el dominio D de la forma:

c(D) = g(D) b(D)

La transformada Huffman de la relación y(n)∗hn=0 es:

h(D) y(D) = 0

en donde:

h(D) = 1 ⊕ h1 D ⊕ . . . ⊕ hm Dm

es la función de transferencia del registro de desplazamiento. Como vemos se trata de un polinomio en D en general de grado m, con coeficientes binarios, y recibe el nombre de “polinomio generador”.

2.5.3 REGISTROS DE DESPLAZAMIENTO CON REALIMENTACIÓN LINEAL DE MÁXIMA LONGITUD

En este apartado vamos a considerar las propiedades de una secuencia periódica generada por el registro de desplazamiento del apartado anterior con el polinomio generador h(D). Aunque un tratamiento completo de este problema requiere avanzados cálculos matemáticos, se pueden entender la mayoría de las propiedades de este generador basándonos sólo en conceptos elementales.

Matemáticamente, los coeficientes binarios del polinomio generador junto con las reglas de multiplicación y suma en módulo-2 constituyen un campo algebraico similar al de los números reales y complejos. Debido a que ese campo tiene sólo dos elementos, también es llamado campo finito o campo de GALOIS de dos elementos GF(2). El número de elementos de un campo de Galois es siempre un número primo, o un número primo elevado a una potencia. Aquí nos vamos a limitar a campos finitos de dos elementos, que es justo la aritmética en módulo-2 considerada en este tema.

2-16

Ilustramos la aritmética sobre GF(2) multiplicando los polinomios (1 ⊕ D) y (1 ⊕ D ⊕ D2):

(1 ⊕ D)(1 ⊕ D ⊕ D2) = 1 ⊕ D ⊕ D ⊕ D2 ⊕ D2 ⊕ D3 = 1 ⊕ D3

Hemos usado la siguiente propiedad:

D ⊕ D = (1 ⊕ 1)D = 0 D = 0

Sabemos que los polinomios de orden n con coeficientes reales siempre tienen n raíces, que pueden ser de valor complejo. En general, un polinomio de coeficientes reales no siempre puede ser factorizado en producto de polinomios de menor orden con coeficientes reales. Igualmente, un polinomio GF(2) no siempre puede ser factorizado en dos o más polinomios con coeficientes GF(2).

Así, por ejemplo, el polinomio (1 ⊕ D ⊕ D2) no puede ser factorizado en producto de otros dos polinomios de primer orden sobre GF(2). De hecho, los únicos polinomios de primer orden sobre GF(2) son D y (1 ⊕ D), y se puede deducir inmediatamente que no son factores de (1 ⊕ D ⊕ D2).

Aquel polinomio que no tiene más factores que él mismo y la unidad se conoce como “polinomio irreductible” sobre GF(2).

Volviendo al registro de desplazamiento con realimentación lineal, el estado del sistema puede tomar como máximo 2m valores diferentes. Podemos deducir las siguientes propiedades:

• Si el estado del registro de desplazamiento es cero (0 0 ... 0) en un momento determinado, entonces será siempre todo ceros. Por tanto, debemos asegurarnos de que este estado no se alcance nunca.

• Si el vector de estado del sistema se repite para dos instantes de tiempo consecutivos, entonces permanecerá siempre igual. Por tanto debemos asegurarnos de que el estado siempre cambie en cada incremento de tiempo.

• Dado que sólo hay 2m posibles estados diferentes, la secuencia de estados debe volver siempre a un estado inicial, tras el cual la secuencia de estados se repetirá. Debido a que la salida y(n) es función del estado, también será periódica.

• Combinando las tres propiedades anteriores, el periodo máximo de las secuencias de estados y por tanto de la secuencia de salida obtenida y(n) es de r=2m-1 incrementos de tiempo. Este periodo máximo correspondería a una secuencia periódica de estados que variara en cada incremento de tiempo y cuyo ciclo comprendiera todos los estados excepto el cero (0 0 ... 0).

Se dice que se produce bloqueo cuando no se genera el efecto de aleatorización deseado. Ocurrirá, por ejemplo si, estando inicializado a cero, la secuencia de entrada es todo-ceros.

Un registro de desplazamiento de m bits realimentado se denomina de máxima longitud si el periodo de la secuencia generada vale 12 −= mN . Dicha secuencia tiene las propiedades de las secuencias aleatorias:

• Frecuencia de los ceros y de los unos: En un periodo de longitud 12 −m siempre hay un uno

más que ceros. Si 12 −= mN es grande, los unos y los ceros serán prácticamente equi-probables.


2-17

• Frecuencia de las secuencias de bits iguales: Llamamos “carrera” o “run” a una cadena de símbolos consecutivos idénticos:

0 1 1 1 0 0 1 . . .run de 3 unos

0 1 1 1 0 0 1 . . .run de 3 unos

En cualquier segmento de longitud 12 −m la mitad de las carreras de unos tienen longitud “1”, la cuarta parte longitud “2”, la octava parte longitud “3”... y el número de carreras de ceros es igual al número de carreras de unos en cada caso.

• En una secuencia aleatoria, la probabilidad de tener una carrera de longitud k es:

221

+k 0 1 1 0 LL

k

• Así, en un periodo de una secuencia de máxima longitud:

− Hay una carrera de m unos.

− No hay carreras de m-1 unos.

− Para 21 −≤≤ mk hay 22 −−km carreras de k unos.

Ejemplo:

El polinomio generador h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es irreducible, y se puede demostrar que además es de máxima longitud de periodo 22-1=3. Comenzando por el estado (0 1), la siguiente tabla muestra el estado y la salida en cuatro ciclos consecutivos de tiempo:

y(n) Y(n-1) y(n-2)

1 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

Comprobamos que el estado vuelve a su valor inicial tras el cuarto incremento de tiempo, y por tanto el registro de desplazamiento continuará con la misma secuencia de estados. También podemos comprobar que si inicializáramos el estado con cualquiera de los otros dos valores, resultaría la misma secuencia de estados, sólo que comenzaríamos en un punto diferente de la secuencia.

El periodo de la secuencia de un registro de desplazamiento podría ser menor que 2m-1. Para generar secuencias con apariencia aleatoria, interesan aquellos polinomios capaces de generar secuencias de máxima

2-18

longitud, es decir, con periodo N=2m-1. Estos polinomios se conocen como polinomios primitivos. Interesa por tanto tener algún criterio para establecer cuándo un polinomio generador producirá una secuencia de máxima longitud (2m-1). Para que un polinomio sea primitivo debe ser irreductible (pero no al revés).

El periodo de una secuencia con h(D) irreductible de grado m es el menor entero N distinto de cero tal que 1 ⊕ DN es divisible por h(D). El polinomio es primitivo cuando N toma su valor máximo 2m-1.

Cuando un polinomio irreducible h(D) de grado m no es divisor de ningún polinomio (1 ⊕ DN) para N<2m-1 se dice que es primitivo. La secuencia de un registro de desplazamiento es de máxima longitud si y sólo si el polinomio generador es primitivo. El periodo es el entero N mas pequeño tal que (1 ⊕ DN) es divisible por h(D).

Ejemplo:

Comprobar que h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es primitivo.

En este ejemplo, m=2. 2m-1=3. Debemos probar los polinomios 1 ⊕ DN, con 2≤N<3. Será primitivo si no es divisor de ninguno de ellos.

Se puede comprobar que el polinomio generador h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es primitivo, porque es obvio que no es divisor de (1 ⊕ D2), aunque sí es divisor de (1 ⊕ D3):

(1 ⊕ D ⊕ D2) (1 ⊕ D) = (1 ⊕ D3)

Afortunadamente, existen polinomios generadores de todos los órdenes. Los polinomios de menor peso, que son los de menor número de etapas en el registro de desplazamiento (aquéllos que tienen mayor número de conexiones nulas) de todos los órdenes hasta m=34 están listados en la siguiente tabla:


2-19

Tabla: Polinomios primitivos de menor peso de órdenes del 2 al 34. Cada entrada en la tabla es un número octal que, una vez convertido a binario, especifica los coeficientes del polinomio h(D). El bit más significativo (izquierda) es hm=1, y el menos significativo (derecha) es h0=1.

13

001011

1+D+0*D2+1D3=1+D+D3

Una propiedad interesante de las secuencias de máxima longitud es que si miramos segmentos de n bits de la secuencia, veremos todas las palabras de n bits posibles, con la excepción de la palabra todo-ceros. Esto se deduce del hecho de que el estado del registro de desplazamiento pasa a través de todas las posibilidades excepto la secuencia todo-ceros, y el estado es igual a los n bits pasados de la salida. La secuencia de máxima longitud satisface por tanto una mínima condición de aleatoriedad, dado que esperaríamos ver todas las combinaciones de bits (excepto la todo-ceros) en tal secuencia.

La salida de un registro de desplazamiento de máxima longitud es llamada habitualmente secuencia pseudoaleatoria (PN), a pesar de que la secuencia es determinística y periódica, ya que como se ha visto presenta muchas de las propiedades de una secuencia aleatoria. Podemos ver dichas propiedades reflejadas en la función de autocorrelación de la señal digital binaria asociada a una secuencia pseudo aleatoria como las estudiadas. Consideremos:

( ) ( ) ( )ck

kck

k kTtgakTtgcts −⋅=−⋅−= ∑∑ )12( en donde los 0s y los 1s de la secuencia

pseudoaleatoria ck están representados por –1 y +1 ak respectivamente, y para g(t) tomamos un pulso

rectangular. La función de autocorrelación de la secuencia ak, definida como ∑−

=+=

1

0

1)(N

nknna aa

NkR , vale:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

== lNk

N

lNkkRa 1

,1)( y ∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆=

k c

cas T

kTkRR

ττ )()( .

2-20

Esta función y su TF (la DEP) se encuentran representadas en la siguiente figura:

Esta densidad espectral de potencia puede compararse con la que se obtendría para una secuencia de símbolos ak incorrelados: en lugar de obtener una función contínua, obtenemos una DEP compuesta de armónicos, equiespaciados 1/NTc. Por tanto, ambas funciones se parecerán más, cuanto mayor sea el periodo N de la secuencia pseudo-aleatoria.

2.5.4 SCRAMBLER SINCRONIZADO POR TRAMAS

Un scrambler sincronizado por tramas, también llamado scrambler criptográfico, ilustrado en la figura:

⊕ ⊕

Generador de máxima

longitud

Generador de máxima

longitud

x(n) y(n) y(n) x(n)

c(n) c(n)

realiza una suma en módulo-2 de la cadena de bits del usuario x(n) con la salida c(n) de un registro de desplazamiento con realimentación lineal de máxima longitud en el transmisor para generar la cadena de bits aleatorizada y(n):

( ) )()( ncnxny ⊕=

La cadena de bits aleatorizada es transmitida al receptor mediante algún método de codificación de línea, y allí es desaleatorizada mediante otra suma en módulo-2 con la salida de otro generador idéntico para recuperar la cadena de bits de usuario original. Esta recuperación sigue la relación:


2-21

y(n) ⊕ c(n) = x(n) ⊕ c(n) ⊕ c(n) = x(n)

dado que c(n) ⊕ c(n) = 0.

Con señalización binaria bipolar, x(n)=1 sería transmitido como 1 y sería transmitido como –1 (llamemos a esta secuencia x’(n). De forma similar, podemos definir una versión binaria bipolar de la secuencia c(n), llamémosla c’(n), que tome los valores ±1. En este caso se cumple que s’(n)·s’(n)=1. Así, la generación de la secuencia aleatorizada se realizará mediante el producto: x’(n)·c’(n), que da lugar a la secuencia –y’(n).

El funcionamiento correcto de este esquema depende de la alineación en el tiempo de las secuencias de máxima longitud del aleatorizador y del desaleatorizador: es decir, requiere sincronismo de trama. Este sincronismo debe de ser llevado a cabo por un mecanismo adicional.

Un problema que presenta este esquema es que si el usuario pasara al scrambler la propia secuencia de máxima longitud, la secuencia aleatorizada sería todo ceros. No obstante, esta eventualidad sería muy improbable. De manera más general, la secuencia aleatorizada será periódica siempre que la cadena de entrada lo sea debido a la periodicidad de la salida del generador. El periodo de la secuencia aleatorizada será el mínimo común múltiplo de los periodos de ambas secuencias. Por ello, conviene generar secuencias pseudoaleatorias de periodo un número primo, de forma que el mínimo común múltiplo ocurra para un periodo de la secuencia de entrada M=1 , es decir, cuando la secuencia de entrada sea todo ceros o todo unos.

2.5.5 SCRAMBLER AUTOSINCRONIZABLE

Podemos eludir la necesidad de la sincronización por tramas del scrambler utilizando el scrambler autosincronizado de la siguiente figura:

D D⊕

⊕⊕

b(n)

c(n)

h1 hm-1 hm

D D

⊕⊕

c(n)

h1 hm-1 hm

⊕

⊕ b(n)

En este caso utilizamos un generador de registro de desplazamiento en el transmisor, excepto por el hecho de que se añade la cadena de entrada directamente a la entrada del registro de desplazamiento. La entrada del registro c(n) es también la secuencia aleatorizada, y se aplica a la entrada de un registro de desplazamiento idéntico en el descrambler. Dado que ambos registros de desplazamiento, el del scrambler y el del descrambler, tienen las mismas entradas (en ausencia de errores de transmisión), y la salida del registro de desplazamiento se suma en módulo-2 en el scrambler y en el descrambler, se deduce que la secuencia de entrada b(n) es recuperada por el descrambler.

Matemáticamente, el scrambler se representa mediante la relación:

c(n) = b(n) ⊕ h1 c(n-1) ⊕ . . . ⊕ hm c(n-m)

y, calculando la transformada D de ambas partes, se obtiene:

h(D) c(D) = b(D)

donde h(D) es el mismo polinomio generador que en el caso del generador de máxima longitud. Podemos escribir:

2-22

c(D) = b(D) / h(D)

y podemos ver la salida del scrambler como el cociente de dividir el polinomio correspondiente a la entrada por el polinomio de conexiones o generador h(D), mientras que el descrambler multiplica el polinomio de la cadena aleatorizada por h(D).

Debido a la linealidad del circuito del scrambler, y a pesar de la aritmética en módulo-2, podemos ver el procesado de la siguiente forma: El scrambler consiste en un filtro todo-polos de función de transferencia 1/h(D); el descrambler consiste en un filtro todo-ceros de función de transferencia h(D). El producto de las dos funciones de transferencia es la unidad, recuperándose así la secuencia de bits original. La salida del filtro todo-polos puede descomponerse en la superposición (suma en módulo-2 en este caso) de dos soluciones: la solución a la entrada cero (respuesta transitoria) y la solución al estado cero (respuesta estacionaria). La solución a la entrada cero es precisamente la secuencia de máxima longitud utilizada en el scrambler sincronizado por tramas, donde esta solución persiste siempre y no desaparece como lo haría en un filtro normal. Según esta forma de ver el scrambler, la salida es la versión filtrada con el filtro todo-polos de la cadena de entrada sumada a la secuencia de máxima longitud. Por último, nos proporciona la operación de aleatorización que pretendemos conseguir con el scrambler.

Ejemplos:

El módem V.22bis utiliza un scrambler autosincronizado de polinomio generador:

h(D) = 1 ⊕ D14 ⊕ D17.

El módem V.26ter utiliza dos polinomios, h(D) = 1 ⊕ D18 ⊕ D23 en un sentido de transmisión y h(D) = 1 ⊕ D5 ⊕ D23 en el otro sentido. El motivo para utilizar dos generadores es que el modemV.26ter emplea cancelación de eco para separar los dos sentidos de transmisión, y es importante asegurar que las secuencias aleatorizadas en ambos sentidos estén incorreladas.

El módem V32 también utiliza dos polinomios: el módem que llama utiliza h(D) = 1 ⊕ D18 ⊕ D23 y el módem llamado V32bis utiliza h(D) = 1 ⊕ D5 ⊕ D23.

Por último, el módem G3RUH (muy empleado en radioafición) emplea el polinomio generador h(D) = 1 ⊕ D12 ⊕ D17.

El scrambler autosincronizado tiene un inconveniente: la propagación de errores. Cuando la entrada al registro de desplazamiento del descrambler es diferente a la del registro de desplazamiento del scrambler debido a un error de transmisión, se generan errores adicionales. Concretamente, hay un error directo y un error secundario que se propagará en tantos bits como coeficientes no nulos. Es por ello que interesa que haya muchos coeficientes nulos en el polinomio de conexiones.

El scrambler autosincronizado también tiene más problemas con cadenas de entrada periódicas que el scrambler sincronizado por tramas. En general, ocurrirá también que el periodo de la secuencia de salida será el mínimo común múltiplo de los periodos de ambas secuencias. Pero para un estado en particular, el periodo de la secuencia de salida será el de la secuencia de entrada. Sin embargo, esta probabilidad es muy baja (la probabilidad asociada a dicho estado).


2-23

Ejercicio:

Utilizar la tabla de los polinomios primitivos de menor orden para designar un registro de desplazamiento de máxima longitud de orden n=3. Calcular la secuencia de estados y salidas para verificar que el periodo es 23-1=7.

El polinomio primitivo para n=3 en octal es 13, que en binario es 1 ⊕ D ⊕ D3.

El registro de desplazamiento generador correspondiente a dicho polinomio es:

DD

⊕

y(n) y(n-1) y(n-2)D

y(n-3)

Y la secuencia de estados y salidas es la de la siguiente tabla, donde comprobamos que el estado vuelve a su valor inicial tras el octavo incremento de tiempo, y por tanto el registro de desplazamiento continuará con la misma secuencia de estados:

y(n) Y(n-1) y(n-2) y(n-3)

1 0 0 11 1 0 01 1 1 00 1 1 11 0 1 10 1 0 10 0 1 01 0 0 1

2.6 EJERCICIOS

2.6.1 PROBLEMA 1

En el sistema de transmisión digital telefónico conocido como MIC-32 se transmiten como sabe 32 canales multiplexados en el tiempo, en el cual 30 canales son de voz muestreada a 8KHz y con 8 bits por cada muestra (los 2 canales restantes son de datos y son también de 8 bits).

¿Qué ancho de banda mínimo se requiere para la transmisión binaria en banda base sin interferencia entre símbolos? ¿Y si se utiliza un pulso en coseno alzado con factor de roll-off de ρ=1? ¿Y si se utiliza un sistema de 16 niveles?

2-24

2.6.2 PROBLEMA 2

Parte a)

Considere el siguiente polinomio irreductible: h(D)=D4+D+1

¿Cuál es la longitud o periodo de la secuencia de máxima longitud generada?

¿Cuál es la longitud de la secuencia de estado?

¿Porqué se llama estado catastrófico a la secuencia de estado todo ceros?

Dibuje el esquema del aleatorizador/desaleatorizador autosincronizable que utilice el polinomio generador citado.

Parte b)

Considere ahora el siguiente polinomio generador:

h(D)=1+D2

¿Es un polinomio primitivo? Demuéstrelo comprobando el funcionamiento del generador.

2.6.3 PROBLEMA 3

La parte a) de la siguiente figura muestra la señal transmitida cuando el filtro de transmisión es un filtro RC.

a) Qué representa la parte b) de la figura? b) Qué representa la parte c) de la figura? Describa los parámetros más relevantes en esta figura. c) ¿Bajo qué condiciones utilizaría un sistema de transmisión como el mostrado?


2-25

2.6.4 PROBLEMA 4

Dos sistemas de transmisión digital en banda base, son idénticos, excepto en el hecho de que uno utiliza el pulso básico para la transmisión de la figura a) y el segundo el de la figura b).

En la transmisión por un canal plano ideal de dicha señal a velocidad 1/T, y recepción con filtro adaptado, Cuál presentará un probabilidad de error menor? Justifique su respuesta.

2.7 BIBLIOGRAFÍA

Para los apartados 2.1, 2.2 y 2.3, nos servirá cualquier libro de introducción a las comunicaciones:

− Bruce Carlson Communicactions Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications McGraw-Hill, 3ªEd. 1986

− Ferrel G. Stremler Introduction to Communications Systems Addison-Wesley, 3ª Ed. 1990

− Simon Haykin Digital Communications Wiley, 1988

Para el apartado de sincronismo:

− John G. Proakis Digital Communications McGraw-Hill, 3º Ed. 1995

− Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K.Sam Shanmugan (Cap. 4.13) Simulation of Communication Systems SystemsPlenum, 2nd. Ed. 1994

Para Scramblers:

− Stephen G. Wilson (Cap.5)

T

A

p2(t)

T

A

p1(t)

t t

a) b)

2-26

Digital Modulation an Coding Prentice Hall, 1996

− Eduard A. Lee, David G. Messerschmitt (Cap.13) Digital Communication KAP, 2nd Ed. 1994

TEMA 3

MODULACIÓN QAM


TEMA 3 MODULACIÓN QAM.......................................................................................................................... 3-1

3.1 Introducción. ................................................................................................................................................. 3-1

3.2 Transmisor QAM básico.............................................................................................................................. 3-1

3.3 Ancho de banda ocupado ............................................................................................................................ 3-5

3.4 Ejemplo: QAM-16 ........................................................................................................................................ 3-6

3.5 Receptor QAM: Descripción general......................................................................................................... 3-8

3.6 Detección de portadora de datos (Data Carrier Detect)...........................................................................3-10

3.7 Recuperación de portadora........................................................................................................................3-10

3.8 Bibliografía ...................................................................................................................................................3-14


3-1

TEMA 3 MODULACIÓN QAM

3.1 INTRODUCCIÓN.

La Modulación de Amplitud en Cuadratura o QAM es una modulación digital en la que el mensaje está contenido tanto en la amplitud como en la fase de la señal transmitida. Se basa en la transmisión de dos mensajes independientes por un único camino. Esto se consigue modulando una misma portadora, desfasada 90º entre uno y otro mensaje. Esto supone la formación de dos canales ortogonales en el mismo ancho de banda, con lo cual se mejora en eficiencia de ancho de banda que se consigue con esta modulación.

La importancia de este sistema de modulación se debe a la gran cantidad de aplicaciones asociadas a ella:

• Es empleada por módems para velocidades superiores a los 2400 bps (por ejemplo V.22 bis y V.32).

• Es la modulación empleada en multitud de sistemas de transmisión de televisión, microondas, satélite...

• Es la base de la modulación TCM (Trellis Coded Modulation), que consigue velocidades de transmisión muy elevadas combinando la modulación con la codificación de canal.

• Es la base de los módems ADSL (Asymmetric Digital Suscriber Line) que trabajan en el bucle de abonado, a frecuencias situadas entre 24KHz y 1104KHz, pudiendo obtener velocidades de hasta 9Mbps, modulando en QAM diferentes portadoras.

En este tema no entraremos en la evaluación del comportamiento de este sistema, es decir, en el cálculo de la probabilidad de error. En este aspecto, un sistema QAM M-ario supera el comportamiento de los sistemas de modulación PSK-M-arios para M>4, en canales con ruido blanco, teniendo ambos características espectrales y de ancho de banda similares. Sin embargo, este comportamiento superior puede conseguirse únicamente si el canal está libre de no-linealidades, debido a las características de envolvente constante de los sistemas PSK.

3.2 TRANSMISOR QAM BÁSICO.

El esquema de un transmisor en QAM básico se muestra a continuación. Los datos di serie de entrada, generados a velocidad Rb bps se agrupan mediante un conversor serie/paralelo, formando palabras de J bits que pasarán al módulo de mapeo de estas palabras. Este módulo se encarga de seleccionar un símbolo de entre los M=2J posibles símbolos, ubicados sobre un espacio bidimensional. A la salida, los símbolos se

producen por tanto a una velocidad de J

Rf d

s = símbolos por segundo o baudios.

Los símbolos a transmitir son números complejos que representaremos como kkk jbac += . Así, el alfabeto lo forman el conjunto de números complejos que podremos transmitir. Este alfabeto se puede representar en el plano complejo, formando la constelación de la modulación. En la siguiente gráfica se presentan diferentes constelaciones posibles.

3-2

+

-⊗O.L

⊗

⊗

s(t)

tcωcos

tcωsin

)(ta

)(tb

Filtro de

Transmisión)(tgT

a*(t)

b*(t) Filtro de

Transmisión)(tgT

+

-⊗O.L

⊗

⊗

s(t)

tcωcos

tcωsin

)(ta

)(tb

Filtro de

Transmisión)(tgT

Filtro de

Transmisión)(tgT

a*(t)

b*(t) Filtro de

Transmisión)(tgT

Filtro de

Transmisión)(tgT

a*(t)

b*(t)

Serie/

Paralelo

MAPEO

2D

MODULADOR DE

IMPULSOS

MODULADOR

DE

IMPULSOS

J

Rb bps

an

bn

di

a*(t)

b*(t)

Serie/

Paralelo

MAPEO

2D

MODULADOR DE

IMPULSOS

MODULADOR

DE

IMPULSOS

J

Rb bps

an

bn

di

Constelaciones QAM.

A continuación, los símbolos se introducen en los moduladores de impulsos, uno para cada componente, obteniendo las señales:


3-3

( ) ( )∑ −=k

k kTtata δ*

( ) ( )∑ −=k

k kTtbtb δ*

Estas dos señales atraviesan los filtros de transmisión:

( ) ( )∑ −= kTtgata Tk

( ) ( )∑ −= kTtgbtb Tk

)(tgT es el filtro de transmisión y será de tipo paso bajo. Sobre este filtro aplica todo lo dicho para los filtros de transmisión en el capítulo correspondiente a la transmisión en banda base. En una implementación discreta, los filtros actúan de filtros interpoladores, produciendo L muestras por cada símbolo de entrada, de forma que la frecuencia de trabajo de los filtros será de L·fs.

La señal QAM se obtiene modulando en DBL estas señales:

( ) ( ) ( ) tsentbttats cc ωω −= cos

Así, a(t) es la componente en fase de la señal QAM y b(t) la componente en cuadratura. El equivalente paso bajo de la señal QAM, tomando como frecuencia de referencia fc será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑

∑∑−=−+=

=−+−=+=

kTkT

kkk

kTk

kTk

kTtgckTtgjba

kTtgbjkTtgatjbtats~

La señal analítica: ( ) ( )∑ −=+ tjwTk

cekTtgcts

En donde la señal QAM es ( ) ( ) tsets +ℜ=

De forma esquemática:

nc ( )tc∗ )(~ ts

tj ce ω

)(ts

Re·⊗gT(t)Modulador de

impulsos

nc ( )tc∗ )(~ ts

tj ce ω

)(ts

Re·⊗gT(t)Modulador de

impulsos Re·⊗gT(t)Modulador de

impulsos ⊗gT(t)Modulador de

impulsos ⊗gT(t)Modulador de

impulsos gT(t)Modulador de

impulsos gT(t)Modulador de

impulsosModulador de

impulsos

Como podemos observar, en el esquema de modulación propuesto se obtiene primero la señal paso bajo que se modula más tarde en DBL. Otra alternativa para la implementación del transmisor QAM puede conseguirse de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −+ −=−=k

kTtjT

Tjkwk

k

tjTk

ccc ekTtgecekTtgcts ωω

3-4

Consideramos que ( ) ( ) ( ) ( ) →+== tjhthetgth CFtj

Tcω ( ) ( )cT ffGfH −=

( ) ( )( ) ( ) tsentgth

ttgth

cTC

cTF

ωω

== cos

'''kk

tjkwkk jbaecc c +==

kTbkTsenaecmb

kTsenbkTaecea

ckcktjkw

kk

ckcktjkw

kk

c

c

ωω

ωω

cos

cos'

'

+=ℑ=

−=ℜ=

Sustituyendo: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑

∑−−−=ℜ=

−=

+

+

kckFk

kk

kTthbkTthatsets

kTthcts

''

'

y también:

)(ts

kTj ce ω

⊗

hC(t)Modulador de

impulsos

kc'kc

Modulador de impulsos hF(t)

⊕-+ )(ts

kTj ce ω

⊗

hC(t)Modulador de

impulsos

kc'kc


kTj ce ω

⊗

hC(t)Modulador de

impulsos

kc'kc


⊕⊕-+

En este último esquema, tanto los símbolos como los filtros son paso banda, a diferencia del esquema inicial en el que las señales se conformaban en banda base, y la traslación espectral se produce en la última etapa.

Los filtros conformadores de pulsos hF(t) y hC(t) son también interpoladores igual que en el esquema anterior. Esto es, producen L muestras por cada símbolo. Si comparamos este esquema de modulador QAM con el esquema inicial, éste hace L multiplicaciones complejas menos por periodo de símbolo que el anterior, ya que el modulador de producto, trabaja con la señal a ritmo de símbolo, mientras que en el caso anterior, debía de realizar la multiplicación a razón de L por cada símbolo.

La frecuencia de portadora debe ser mayor que la frecuencia de corte del filtro para prevenir solapes entre la parte positiva y negativa del espectro, al igual que en la modulación en DBL.

kTj ce ω

)(ts

Re·⊗ h(t)Modulador de

impulsos

)(ts+kc'kc

kTj ce ω

)(ts

Re·⊗ h(t)Modulador de

impulsos

)(ts+kc'kc


3-5

3.3 ANCHO DE BANDA OCUPADO

Los filtros gT(t) suelen ser filtros en coseno alzado, que reducen la interferencia entre símbolos. Entonces, teniendo en cuenta que la señal se encuentra trasladada en frecuencia, el ancho de banda ocupado por la señal QAM será:

)1(2

2 ρ+⋅= sT

fB en donde fs es la velocidad de símbolo.

De manera que fijado un ancho de banda máximo de ocupación BT, la máxima velocidad binaria que podrá conseguirse para ese canal será:

ρρ +⋅=

+⋅=

1log

12 M

BJBR TT bits/seg.

Y la eficiencia espectral obtenida con la modulación:

ρρη

+=

+=

⋅==

1log

12 MJ

BJf

BR

T

s

T

bits/seg/Hz.

La siguiente tabla muestra las eficiencias espectrales logradas para diferentes valores de M y ρ.

η bits/seg./Hz

M (nº estados) ρ=0,1 ρ=0,25 ρ=0,5 ρ=1

2 0,9 0,8 0,67 0,5 4 1,8 1,6 1,33 1,0 8 2,7 2,4 2,0 1,5 16 3,6 3,2 2,67 2,0

Como es lógico, la máxima eficiencia espectral se alcanza para el menor valor de ρ combinado con el mayor número de estados M.

Aumentando el número de símbolos de la constelación, la velocidad de transmisión conseguida es mayor. Sin embargo, no podemos aumentar indefinidamente el tamaño de la constelación, fundamentalmente debido a la presencia de ruido en el canal, que hará más complicada la posibilidad de distinguir cada punto dentro de la constelación.

Ejemplo:

En el canal telefónico convencional las señal deben estar en el rango de frecuencias de 300Hz a 3100Hz. En el estándar de transmisión en V22bis, se transmite a 600baudios, y la transmisión full-dúplex se consigue simplemente situando los canales de ida y vuelta sobre portadoras diferentes de fC=1200Hz. para el módem que llama, y fA=2400Hz para el módem que responde. El valor del factor de roll-off es ρ=0.75, con lo que el ancho de banda ocupado por cada una de las señales será de 1050Hz.

3-6

675

525

17751200 1875

525

29752400

CALLING MOD.

3100

ANS. MODEM

Hz675

525

17751200 1875

525

29752400

CALLING MOD.

3100

ANS. MODEM

Hz

3.4 EJEMPLO: QAM-16

Esta modulación utiliza un alfabeto de 16 símbolos. Por lo tanto, usa palabras de cuatro bits (J=4). La constelación es la siguiente:

• •

• •• •

••

1100

b

a

1000

11111110

1101

1 3

• •

••

• •

••

3

1

10011011

1010

0001

0011

0000

0010

0100 0110

0101 0111

Constelación QAM-16

• •

• •• •

••

• •

••

1100

b

a

1000

11111110

1101

1 3

• •

••

• •

••

• •

••

• •

••

3

1

10011011

1010

0001

0011

0000

0010

0100 0110

0101 0111

Constelación QAM-16

Esta constelación se utiliza en los estándares V.22 bis con Rd=2400bps (fs=600 baudios) y V.32uncoded con Rd=9600 (fs=2400 baudios).

Como se puede observar en la figura, los dos primeros bits especifican el cuadrante en el que estamos y los otros dos la posición del símbolo en el cuadrante. Obsérvese que si rotamos esta constelación 90º los dos últimos bits no cambian.

El esquema para la obtención de los símbolos a partir de los datos es el siguiente:


3-7

Tabla

Mapeo de

símbolos

D

D

ScramblerSerie/

Paralelo

Q4

Q3Q2Q1

Y2(n)

Y1(n)••

Y2(n-1)

Y1(n-1)

an

bn

di

Tabla

Mapeo de

símbolos

D

D

ScramblerSerie/

Paralelo

Q4Q4

Q3Q3Q2Q2Q1Q1

Y2(n)Y2(n)

Y1(n)Y1(n)••

Y2(n-1)

Y1(n-1)

an

bn

di

Como vemos en la figura, Q3 y Q4 seleccionan directamente un símbolo en un cuadrante determinado. Los bits Y2 e Y1 seleccionarán el cuadrante. Los bits Q1Q2 especifican el cambio de fase que debe de producirse realizándose así una codificación diferencial según se indica en la siguiente tabla:

ENTRADA

ENTRADA

SALIDA ANTERIOR

SALIDA

ANTERIOR

CAMBIO DE FASE POR

CUADRANTE

SALIDA ACTUAL

SALIDA ACTUAL

Q1n Q2n Y1n-1 Y2n-1 Y1n Y2n

0 0 0 0 +90º 0 1 0 0 0 1 +90º 1 1 0 0 1 0 +90º 0 0 0 0 1 1 +90º 1 0 0 1 0 0 0º 0 0 0 1 0 1 0º 0 1 0 1 1 0 0º 1 0 0 1 1 1 0º 1 1 1 0 0 0 +180º 1 1 1 0 0 1 +180º 1 0 1 0 1 0 +180º 0 1 1 0 1 1 +180º 0 0 1 1 0 0 +270º 1 0 1 1 0 1 +270º 0 0 1 1 1 0 +270º 1 1 1 1 1 1 +270º 0 1

Así, por ejemplo: si [Q1, Q2]=[1 0] se especifica que se debe producir un cambio de frase de 180º, de forma que si el símbolo anterior se encuentra en el cuadrante asociado a los bits [0 0] (tercer cuadrante), el símbolo actual corresponderá al asociado a los bits [1 1] (primer cuadrante).

De esta forma, una vez realizada la detección y determinados Y1 e Y2 para los instantes actual y anterior al actual, podemos conocer los valores de Q1 y Q2. Con esta estrategia, no es necesario conocer en qué cuadrante se encuentra el símbolo sino sólo la diferencia de cuadrantes entre símbolos consecutivos. Como además el arreglo de los símbolos en cada cuadrante es tal que no varía al cambiar de cuadrante (los bits que identifican el símbolo en un cuadrante no cambian con giros de 90 grados), nos va permitir una indefinición de la fase de la portadora de π/2, ya que una desviación de la fase de la portadora de π/2 corresponde a un

3-8

giro de la constelación de π/2: ( ) ( ) ( ) tjtj

cc

etsjetsts ωπ

ω ~~ 2 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ . Por esto, se dice que el sistema es transparente a giros de 90º.

3.5 RECEPTOR QAM: DESCRIPCIÓN GENERAL.

Un receptor QAM sigue el esquema que se presenta en la siguiente figura. Como puede observarse, el esquema del receptor es considerablemente más complejo que el del transmisor.

Filtrorecepción A/D

AGC DCD

T.H.

Recuperaciónsincronismo de símbolo

)(1 tr )( 0nTr

)(ˆ 0nTr

• )( 0nTr+)(0 tr

•Filtro

recepción A/D

AGC DCD

T.H.

Recuperaciónsincronismo de símbolo

)(1 tr )( 0nTr

)(ˆ 0nTr

• )( 0nTr+)(0 tr

•

Ecualizador Paso-banda Adaptativo

)(nTje ϕ−

⊗)(~ nTσ)(nT+σ

Slicer

e-j(·)

ej(·)⊗ Generador de portadora

Secuencia de Referencia

⊕

)( 0nTr+

)(nT+ε

)(nTje ϕ

)(nTϕ)(~ nTε

nc

nc

+

_

Ecualizador Paso-banda Adaptativo

)(nTje ϕ−

⊗)(~ nTσ)(nT+σ

Slicer

e-j(·)

ej(·)⊗ Generador de portadora

Secuencia de Referencia

⊕

)( 0nTr+

)(nT+ε

)(nTje ϕ

)(nTϕ)(~ nTε

nc

nc

+

_

)(0 tr , señal de entrada al receptor es la señal QAM transmitida, distorsionada por el canal y con ruido añadido. La función principal del filtro de recepción: es eliminar ruido fuera de banda, y también, en combinacióln el con el filtro de tranmisión, conformar el pulso recibido para que se produzca IES sobre un canal ideal. Debido a que las señales pueden llegar muy atenuadas, la salida del filtro de recepción se escala por el Control Automático de Ganancia (CAG) para incrementar su amplitud y así utilizar todo el rango dinámico de los convertidores.


3-9

El muestreo en los convertidores se realiza normalmente a una frecuencia superior a la frecuencia de símbolo:

sfnT

nT

f ⋅=⋅== 000

011

que además será de al menos el doble de la máxima frecuencia contenida en la

señal QAM. Las muestras obtenidas serán utilizadas por el módulo de CAG para calcular el factor adecuado. También se utilizan en el DCD (Data Carrier Detect) para determinar si una señal es señal o es sólo ruido.

Los instantes de muestreo adecuados se determinarán en el recuperador de sincronismo de símbolo a partir de las muestras obtenidas.

El último módulo forma la señal analítica )( 0nTr + . Este subsistema que forma esta señal analítica, se conoce como Phase Splitter .

Un canal real no tiene respuesta plana y retardo constante de envolvente (como tendría un canal ideal) y esto causa interferencia entre símbolos en la señal recibida. El ecualizador adaptativo pasobanda compensa la respuesta del canal para minimizar la IES. Este filtro debe ser adaptativo ya que a priori no se conoce la respuesta frecuencial del canal. En la red telefónica conmutada por ejemplo, tenemos un canal diferente asignado en cada comunicación, cada uno de ellos con sus características determinadas en cuanto a lo que a respuesta en frecuencia se refiere.

El ecualizador adaptativo es un filtro FIR que opera por lo general sobre muestras espaciadas1n

T, es decir,

con muestras espaciadas un tiempo inferior al intervalo de símbolo. Este tipo de ecualizador (que opera sobre muestras espaciadas un intervalo de tiempo inferior al intervalo de símbolo) se conoce como ecualizador fraccionalmente espaciado. A la salida genera muestras a intervalo de símbolo, espaciadas por tanto T. Por eso, el periodo de muestreo a su entrada T0=T/n0 debe de ser divisible por n1.

Entonces:

knT

nTT

nTT

nkn

⋅===

⋅=

011

00

10

La señal ecualizada σ+(nT) se multiplica por la referencia de portadora, para bajarla a banda base,

obteniendo así su equivalente paso-bajo: njenTnT

ϕσσ

−⋅= + )()(~ . Si la ecualización fuera perfecta, las

muestas )(~ nTσ serían los puntos de la constelación. En la práctica, sus valores se desvían de los valores ideales, debido al ruido y a la IES.

El cuantificador (SLICER), realiza la cuantificación de las señales, eligiendo el punto de la constelación más cercano al punto recibido: son los símbolos estimados nc . Cuando el ecualizador esté funcionando correctamente, y la referencia de portadora sea la correcta, estas estimaciones serán con mucha probabilidad iguales a los símbolos transmitidos. Por ello, son tomadas como valor de referencia para para sincronizar la portadora generada con la de la señal recibida, función que realiza el bloque denominado generador de portadora. Para la fase de ajuste inicial, se dispone en el receptor de una secuencia de referencia ideal que es idéntica a la secuencia transmitida (secuencia de entrenamiento). Después del entrenamiento, las salidas del cuantificador son tomadas como una buena estimación de los datos transmitidos. Este tipo de operación se conoce como basada en decisiones.

De la misma forma, los datos decididos son tomados como una buena referencia para el ajuste del ecualizador adaptativo.

3-10

A continuación se estudian dos subsistemas del receptor:

• DCD :Data Carrier Detect.

• Recuperación de portadora

El ecualizador forzador de ceros (no adaptativo) y los ecualizadores adaptativos se estudiarán en un capítulo aparte.

3.6 DETECCIÓN DE PORTADORA DE DATOS (DATA CARRIER DETECT).

La función de este bloque es detectar cuándo tenemos señal presente y cuándo no, por lo general para indicárselo a un módulo de recepción de datos. Se trata de un módulo muy simple, pero de gran importancia, ya que permitirá validar o rechazar los datos recibidos por módulos situados en niveles superiores.

La mayoría de los métodos deciden la existencia de señal basándose en la energía de la señal recibida. Considere por ejemplo el siguiente esquema:

2·][nx Filtro

Paso-bajo

][ny][np2·

][nx Filtro Paso-bajo

][ny][np

Con la siguiente implementación para el filtro paso-bajo:

1·11)( −−

−=

zcczH ; [ ] [ ]nuccnh n)1( −=

que se comporta como un integrador con un cierto factor de ‘olvido’, mayor cuanto menor sea c, como muestra la siguiente gráfica:

h n 0.9,( )

h n 0.7,( )

n10 5 0 5 10 15 20

0

0.05

0.1

0.15

3.7 RECUPERACIÓN DE PORTADORA.

Para simplificar el proceso, y también porque los dos problemas pueden tratarse de forma independiente, supondremos en este apartado que la frecuencia de símbolo exacta es conocida.


3-11

El problema que presentamos en este apartado, es la recuperación de la frecuencia y fase de la portadora. Consideramos la señal analítica:

∑+

⋅−⋅=+

mm

ttcjemTtgcts

))(()()(

θωen donde )(*)(*)()( tgtctgtg RT= es la respuesta global

del canal, y los símbolos complejos mmm jbac += .

Supongamos que demodulamos esta señal con ))(( ttcj

eφω +−

. Entonces, el valor del símbolo recibido es:

∑ −−==

+−⋅= +

mm

ck TmkgckTkTje

kTtttjetsq ))((·))()(())(()( φθφω

Si no hay IES ni ruido: kk ckkjeq ⋅

−=

))( φθ, es decir, un error en la fase de la portadora utilizada en la

detección, girará la constelación obtenida en ese mismo ángulo. Si el error cometido fuera un error de frecuencia, kTekk ωφθ =− , entonces observaríamos una constelación girando con velocidad ωe rad/s. Esto puede perjudicar enormemente la detección si no se corrige.

3.7.1 RECUPERACIÓN DE PORTADORA BASADA EN DECISIONES: DECISION-DIRECTED CARRIER RECOVERY:

Si hay IES podemos poner: kkk

k cAjeq ⋅⋅= ε. En este expresión, Ak es un número real positivo que

considera los errores en la detección de la amplitud, incluyendo ruido e IES, y kkk φθε −= es el error de fase cometido en la detección, debido tanto al ruido e IES, como a los desplazamientos de frecuencia y fase de la portadora.

Vamos a desarrollar la expresión anterior:

kkkkkkk

k cAjcAjeq ⋅⋅+=⋅⋅= )sin(cos εεε

kkkk

k jsencA

q εε +=⋅

cos

kk

kk

kkk

kk

kkk

kk

kk

k

cqcq

ccAcq

ccAcq

cAq

⋅⋅

=⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅

**

*

*

·

kk

kk

kk

kk cq

cqmcA

qm⋅

⋅ℑ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ℑ=

*

sinε

y

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ℑ

=kk

kkk cq

cqm *·arcsinε

3-12

Por lo tanto sabiendo cual ha sido el símbolo transmitido sabemos calcular kε . La expresión proporciona el

error calculado a partir de los símbolos recibidos kq y los transmitidos kc . Como estos últimos no los tenemos, debemos utilizar los símbolos decididos. En condiciones de buena recepción, los símbolos decididos serán idénticos a los transmitidos.

Ejemplo

Considere la constelación 4-PSK, junto con las regiones de decisión de la figura. Considere también un sistema de recuperación de portadora basado en decisiones (es decir, que utiliza los símbolos decididos para el cálculo del error εk. Si la muestra recibida tuviera un error de fase superior a π/4 en amplitud, la decisión sería incorrecta, y el error de fase medido sería también incorrecto. Se puede decir que el error de fase medido es ( )kkWk φθε −= · , en donde la función W(·) se muestra en la figura.

W(x)

xπ/2− π/2

W(x)

xπ/2− π/2

Para superar esta limitación, se utiliza la codificación diferencial, mediante la cual la información se encuentra codificada en el cambio de fase, en lugar de en su valor en términos absolutos. Un esquema que implementa esta codificación diferencial para una constelación 4-PSK se muestra en la figura.

Puede observarse también, que errores de fase múltiplos de π/2, no producirían error en la detección.

Para constelaciones de mayor tamaño, la ambigüedad de fase del lazo de recuperación de portadora puede ser más compleja. Normalmente se codifican diferencialmente dos bits de los M necesarios en una constelación de tamaño 2M, aquéllos que identifican el cuadrante, de forma que errores múltiplos de π/2, no produzcan error (como en la modulación QAM-16 estudiada en el apartado anterior). Sin embargo, otros errores más pequeños podrían producirlos.

Región de decisión


3-13

El esquema de recuperación de portadora queda finalmente:

SLICER

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅ℑ

kk

kk

cqcqm

ˆˆ

arcsin*

F(z)

kckq

kε

VCO

)( kkTcje

φω +−

⊗)(ts+

SLICER

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅ℑ

kk

kk

cqcqm

ˆˆ

arcsin*

F(z)

kckq

kε

VCO

)( kkTcje

φω +−

⊗)(ts+

Si el valor de kε es muy pequeño podemos eliminar el cálculo del arcsen.

Para terminar, el papel del filtro F(z) es eliminar las variaciones rápidas del error de fase, de forma que la corrección de la portadora se realice en base al valor medio del error, y no al valor instantáneo. La estructura final obtenida, tiene la forma de un lazo de enganche de fase.

La siguiente figura muestra un lazo de recuperación de portadora de primer orden, en el que el filtro F(z)=KL.

3-14

3.8 BIBLIOGRAFÍA

Edward A. Lee, David G. Messerschmitt Digital Communication Second Edition. KAP, 1994. (Ch. 16.- Carrier Recovery)

Steven A. Tretter Communicaction System design Using DSP Algorithms. With Laboratory Experiments for the TMS320C30 Aplications of Communication Theory. Series Editor: R.W. Lucky, Bellcore. Plenum Press. NY. (1995)

Simon Haykin Digital Communications Wiley, 1988 (

John G. Proakis Digital Communications McGraw-Hill, 3º Ed. 1995

TEMA 4

ECUALIZADORES



TEMA 4 Ecualizadores .......................................................................................................................................... 4-1 4.1 Demodulación óptima para IES y ruido gausiano blanco ......................................................................... 4-1 4.2 Forzador de paso por cero.............................................................................................................................. 4-2 4.3 Filtrado Adaptativo .......................................................................................................................................... 4-5

4.3.1 Introducción............................................................................................................................................ 4-5 4.3.2 Criterio del Error cuadrático medio mínimo ..................................................................................... 4-6 4.3.3 Algoritmo LMS....................................................................................................................................... 4-7

4.4 Ecualizador adaptativo basado en el criterio MSE...................................................................................... 4-8 4.5 Forzador de ceros adaptativo ......................................................................................................................... 4-9 4.6 Ecualizador con realimentación de decisiones...........................................................................................4-11 4.7 Ecualizadores fraccionales ............................................................................................................................4-13 4.8 Ejercicios..........................................................................................................................................................4-14

4.8.1 Problema 1.............................................................................................................................................4-14 4.8.2 Problema 2.............................................................................................................................................4-14 4.8.3 Problema 3.............................................................................................................................................4-15

4.9 Bibliografía.......................................................................................................................................................4-16


4-1

TEMA 4 ECUALIZADORES

4.1 DEMODULACIÓN ÓPTIMA PARA IES Y RUIDO GAUSIANO BLANCO

En este apartado consideramos la transmisión de la señal por un canal afectado por los dos efectos perniciosos ya comentados: ruido blanco e interferencia entre símbolos, considerados de forma conjunta.

Consideremos la señal transmitida ∑ −=n

Tn nTtgats )()( y la señal recibida por el receptor

∑ +−=n

n tznTthatr )()()( en donde h(t) es la respuesta del canal a gT(t), y z(t) es ruido gausiano

blanco.

Puede demostrarse que el demodulador óptimo puede obtenerse con un filtro adaptado a h(t), seguido de un muestreo a 1/T y un algoritmo de procesamiento de las muestras obtenidas:

h*(-t) Algoritmo de decisión

r(t)

z(t)

t=nTAk

h*(-t) Algoritmo de decisión

r(t)

z(t)

t=nTAk

El demodulador óptimo de máxima probabilidad (ML, Maximum Likelihood)) minimiza la probabilidad de error en una secuencia de datos recibida. Así, considerando una secuencia de datos recibida

)()()( kTznTkThakTrrn

nk ∑ +−== la secuencia An que minimiza la probabilidad de error es aquella

que maximiza la expresión (sin demostración por el momento, se estudiará en el Tema 5):

∑∑∑ −−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ℜ⋅n m

mnmnn

nn xaaya ·2 **

en donde ∫∞

∞−−== dtnTthtrnTyyn )()()( * y ∫

∞

∞−+== dtnTththnTxxn )·()·()( *

Como vemos xn son las muestras tomadas a 1/T de la función de autocorrelación de h(t). Puede verse en la expresión a maximizar que la decisión sobre cuál ha sido la secuencia transmitida, se toma utilizando una secuencia de muestras recibida (en un receptor de máxima probabilidad).

Si la función de autocorrelación x(t) tiene la forma de un pulso de Nyquist (por tanto no habrá IES en las muestras xn-m), las muestras tomadas a 1/T serán cero (salvo x0) y la cantidad a maximizar será:

2*2 ∑∑ −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ℜ⋅n

nn

nn aya que equivale a encontrar la secuencia Ak que maximiza ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ℜ ∑n

nn ya* . Si

los símbolos son independientes entre sí, y todas las secuencias son igualmente probables, entonces la evaluación del máximo para toda la secuencia, es equivalente a la evaluación del máximo símbolo a símbolo.


4-2

Es decir, la evaluación de una secuencia completa utilizando una secuencia de datos recibida tiene sentido cuando no todas las secuencias tienen la misma probabilidad. El estimado clásico basado en máxima probabilidad (estimador ML o MAP) utiliza el valor de un único símbolo para decidir el valor de un único símbolo. Otros estimadores conocidos como MLS, utilizan una secuencia de símbolos recibidos y evalúan el valor de un único símbolo. Finalmente, sistemas con decodificación de Viterbi, evalúan la secuencia completa transmitida, decidiendo sobre una secuencia completa.

El empleo de ecualizadores es una forma de considerar un conjunto de símbolos recibidos para estimar el valor de uno de ellos.

Ejemplo:

Consideremos la secuencia de longitud 2 recibida 0.7, 0.6 en un sistema con código AMI (símbolos -1, +1, 0, con secuencias del tipo +1 +1 y -1 -1 prohibidas. El sistema de decisión no puede estar basado en un único símbolo. La siguiente tabla muestra los valores de ∑ ⋅

nnn ya* :

0,6 0,7

-1 0 -0.6

-1 +1 0,1

0 0 0

0 -1 -0,7

0 +1 +0,7

+1 0 +0.6

+1 -1 -0,1

4.2 FORZADOR DE PASO POR CERO

Un forzador de pasos por cero trata de conseguir a su salida una señal sin interferencia entre símbolos, haciendo que cumpla el primer criterio de Nyquist.

Considere el modelo discreto de la figura:

H(z) C(z)

nk

ak ykH(z) C(z)

nk

ak yk

ak son los símbolos transmitidos. H(z) representa el filtro de transmisión junto con los efectos del canal. nk son las muestras del ruido, modelado como gausiano blanco. C(z) es el ecualizador. yk son por lo tanto los símbolos ecualizados.

Tomando kkk chq ∗=


4-3

∑ ∑ ∑∑≠

−−−− ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅=∗+∗=n kn n

nknnknkn

nknnknkkkkk cnqaqacnqacnqay 0

en donde el término ∑≠

−⋅kn

nkn qa representa la interferencia del resto de los símbolos sobre el símbolo ak. La

Distorsión de pico por interferencia entre símbolos se define como ∑≠

=0n

nqD

El objetivo del ecualizador es eliminar en la medida de los posible la interferencia entre símbolos. Si disponemos de un número infinito de coeficientes en el filtro, podemos elegirlos de forma que cumplan que:

)(0n 10n 0

nqn δ=⎩⎨⎧

=≠

=

Es decir que )()(1)( zCzHzQ ⋅== ; y por tanto )(

1)(zH

zC = .

Como vemos, el filtro ecualiza la señal compensando los efectos del canal. Además de ecualizar la señal, también filtrará el ruido: si la señal es pequeña, el filtro la amplificará, y amplificará también el ruido. Por otro lado, si la respuesta H(z) tuviera algún cero en su respuesta frecuencial, el filtro C(z) no resultaría estable.

Implementaremos un filtro FIR con un número finito de coeficientes (2N+1):

∑+

−=− ≠

==⋅=

N

Nnnknk k

khcq

0001

El número de ecuaciones resultantes dependerá de la longitud de hk. Suponiendo hk=0 k<0 y k>L-1, podremos forzar valores de qk para NLkN +−≤≤− 1 , de forma que tenemos 2N+L ecuaciones. Expresándolo en forma matricial:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−+−+

+−

−−

N

N

LLNLN

N

N

c

c

hhh

hhhhhh

...

......

...

...

0......1...0

12212

1201

210

Es decir, más ecuaciones que incógnitas, por lo que tenemos un sistema sobredeterminado, que por lo tanto no tiene una única solución, y todas las soluciones encontradas serán sub-óptimas.

Una forma de resolver el problema suele ser considerar únicamente 2N+1 puntos de qk, y admitiendo la existencia de la interferencia entre símbolos distanciados más de +N o –N del símbolo actual. Se puede demostrar que ésta es la solución óptima si se cumple que:

1||||

1 1

100 <= ∑

−

=

L

nnh

hD


4-4

Esta condición equivale a tener el ojo abierto antes de la ecualización, es decir que la IIS no es suficientemente severa como para cerrar completamente el ojo. Bajo estas condiciones, se minimiza la distorsión de pico eligiendo los coeficientes del ecualizador para que se cumpla la condición:

∑+

−=− ≠

==⋅=

N

Nnnknk k

khcq

0001

en el rango kЄ[-N, N], y en general, con interferencia entre símbolos residual para N<k <N+L.

Por otro lado, el diseño de este filtro requiere conocer la respuesta al impulso del sistema.

Ejemplo

La transmisión de una señal de pulso con espectro de coseno alzado da como resultado la siguiente secuencia muestreada en el receptor:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=====−

=

resto 02k 0.051k 0.2-0k 11k 0.1-2k 5.0

kx

a) Determinar los coeficientes de un filtro ecualizador de 3 etapas forzador de pasos por cero.

b) Para los coeficientes calculados determinar la salida para un pulso aislado como el descrito y determinar la expansión de la ISI en el tiempo.

Solución:

a) Adoptamos la solución ]1[][]1[][ 101 −+++= − nxcnxcnxcny

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

010

x[0] x[1]x[2] x[-1] x[0]]1[ x[-2] x[-1]]0[

1

0

1

ccc

xx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

010

1 0.2 0.050.1 1 0.20.5- 0.1 1

1

0

1

ccc

Despejando los coeficientes obtenemos:

0.1961c 0.9804,c , 0 101 ===−c


4-5

b)

0.0098 0.0098, 0, 1, 0, 0.4902,-h[n]*x[n]y[n] ==

4.3 FILTRADO ADAPTATIVO

4.3.1 INTRODUCCIÓN

Existen numerosas aplicaciones en el procesado de la señal digital en las que los coeficientes de un filtro no pueden determinarse a priori. Esto se debe a que las características estadísticas de las señales a filtrar son desconocidas en principio o variantes con el tiempo.

Consideremos por ejemplo, un módem de alta velocidad que se diseña para la transmisión de datos por canales telefónicos con distintas respuestas frecuenciales. La única manera de compensar las distintas distorsiones de estos es disponer de un ecualizador con coeficientes ajustables que se optimizan para minimizar algún tipo de medida de la distorsión. De la misma forma que un filtro con parámetros ajustables es un filtro adaptativo, un ecualizador así, será un ecualizador adaptativo.

El estudio de este tipo de filtros ha cobrado un gran interés durante los últimos 15 o 20 años, debido a sus numerosas aplicaciones. Algunas de las más notables son:

1. Sistemas adaptativos de antena en los que los filtros adaptativos se utilizan para dirigir el haz y para generar nulos en el diagrama de radiación y eliminar interferencias indeseadas

2. Receptores de comunicación digitales en los que los filtros adaptativos se usan para la identificación del canal y ecualización de interferencia entre símbolos.

3. Técnicas canceladoras de ruido en las que el filtro adaptativo es usado para estimar y eliminar la componente ruidosa en la señal deseada.

4. Modelado de sistemas, en los que el filtro adaptativo es usado como modelo para estimar las características de un sistema desconocido.

Estas son tan sólo unas pocas de las muchas aplicaciones del uso de filtros adaptativos.

Aunque se pueden usar tanto filtros FIR como IIR en el filtrado adaptativo, es el filtro FIR el más comúnmente utilizado. El filtro FIR sólo tiene ceros ajustables y además no presenta algunos problemas de estabilidad que sí tienen los IIR además de polos y ceros ajustables. La estabilidad de un filtro adaptativo IIR depende del algoritmo usado para ajustar los coeficientes. El criterio de optimización más utilizado es el criterio MSE (Error Cuadrático Medio Mínimo).

Para la implementación de los filtros FIR, se utilizan sobre todo la forma directa y la estructura Lattice. A continuación se presenta la implementación en forma directa de un FIR adaptativo con coeficientes ajustables.


4-6

Ajuste de coefs

Salida

h(0) h(1) h(2) h(3) h(4)

∑

1−z1−z 1−z1−z

Entrada

4.3.2 CRITERIO DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO MÍNIMO

Considere el esquema siguiente, en el que tratamos de estimar una secuencia d(n), utilizando un filtro FIR de M coeficientes.

FIRck

d(n)

x(n) d`(n)

e(n)

El error cometido en la estimación valdrá:

∑−

=

−−=1

0)()()(

M

kk knxcndne

El criterio para el cálculo de los coeficientes, es minimizar la potencia del error cometido en la estimación:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−= ∑−

=

21

0)()(

M

kk knxcndEE -> mínimo


4-7

Desarrollando E:

∑∑∑−

=

−

=

−

=

−−+−−=1

0

1

0

1

0

2 )()()()(2)(M

kl

M

kk

M

kk lnxknxEccknxndEcndEE

E resulta ser una función cuadrática de los coeficientes y la solución óptima para los coeficientes ck es aquella para la que se cumple:

∑−

=

−=1

0

* )()(M

kxxkdx lkrclr , l=0…M-1

en donde donde )(lrxx es la función de autocorrelación de la secuencia )(nx , y )(lrdx la correlación de la

señal deseada d(n) y la entrada disponible. ∗kc son los coeficientes óptimos del filtro.

Además, de hacer mínima la expresión ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−− ∑

−

=

1

0)()()(

M

kk knxcndneE se obtiene que

0)()( =− knxneE de lo que se deduce que error y datos están incorrelados.

4.3.3 ALGORITMO LMS

Por medio de este método vamos a tratar de establecer de modo iterativo el valor de la potencia del error

MSE, E. La función ∑∑∑−

=

−

=

−

=

−−+−−=1

0

1

0

1

0

2 )()()()(2)(M

kl

M

kk

M

kk lnxknxEccknxndEcndEE es una

función cuadrática de los coeficientes. En la siguiente figura se ha representado esta función para dos coeficientes. El cálculo de los valores de los coeficientes, consistirá en encontrar el punto en el que la función se hace mínima, Emin..


4-8

Para ello nos basaremos en el método de descenso por gradiente donde bajaremos hasta el punto Emin. Descendiendo por la cuadrática en la dirección contraria al gradiente. Aplicaremos la siguiente ley de recursividad:

[ ])()()()1( ngnncnc kkk −+=+ µ k = 0…M-1

Si usamos notación matricial (y marcamos las matrices o vectores columna con negrita):

c c g(n+ 1) (n)= + −µ( )( )n

g = ∇E

cn: es el vector de coeficientes del filtro en la n-ésima iteración. El vector inicial de coeficientes, co(M), se elige de manera arbitraria. M indica el número de coeficientes del filtro (orden M-1).

µn: constante de velocidad de convergencia o tamaño de paso. Se trata de un valor que puede ser variable y puede ir ajustándose en cada iteración (por ejemplo, podemos comenzar con pasos grandes, e ir reduciendo su valor a medida que nos aproximamos al mínimo.

g: vector de dirección en cada instante. Puesto que se calcula por medio de un gradiente, este descenso será el más abrupto. Además el signo negativo que incluye la expresión nos indica que vamos en dirección contraria al gradiente.

Se puede demostrar que mediante este algoritmo cn(M) converge a la solución óptima cuando n → ∞ , debido a que la secuencia de tamaños de paso es absolutamente sumable. De esto se desprende que cuando n → ∞ , g → 0 .

g es desconocido, por lo que deberá ser estimado. Utilizaremos la estimación de Widrow, aproximando el estimando el valor de la potencia del error, por su valor instantáneo:

$ ( ) ( ) ( )( ) ( )g = ∇ = ⋅ ⋅∇c n c ne n e n e n2 2 , donde e n d n d n( ) ( ) $( )= − y (n)nenc x=∇ )()( .

Con todas estas consideraciones el algoritmo nos queda finalmente de la forma:

)()(2 nne(n)1)+(n xcc ⋅⋅+= µ

o también:

)()·()·(·2)()1( knxnenncnc kk −−=+ µ k = 0…M-1

4.4 ECUALIZADOR ADAPTATIVO BASADO EN EL CRITERIO MSE

La siguiente figura muestra el esquema de un ecualizador adaptativo basado en el criterio MSE, y utilizando el algoritmo LMS para el ajuste de los coeficientes del filtro:


4-9

4.5 FORZADOR DE CEROS ADAPTATIVO

En un sistema con IES, la distorsión introducida se evalúa mediante el valor de la Distorsión de pico D,

calculada como ∑ ∑∑−+

≠−= −=

−

−+

≠−=

⋅==1

0

1

0

||||LN

nNn

N

Njjnj

LN

nNn

hcqD n , en donde h(n) es la respuesta al impulso del

canal a ecualizar, y L la longitud de h(n). El cálculo del valor de los coeficientes que hacen mínimo el valor de D requiere el empleo de métodos numéricos.

Se puede demostrar, que si se cumple la condición:

1||||

1 1

100 <= ∑

−

=

L

nnh

hD

la distorsión de pico se minimiza seleccionando los coeficientes del ecualizador al forzar:

1||10

0 =≤≤⇐=

qNnqn .

La condición expresada implica que la interferencia entre símbolos a la entrada del ecualizador no es lo suficientemente severa para cerrar el ojo.


4-10

Los valores de qn para n>N serán distintos de cero, y constituyen la interferencia entre símbolos (IES) residual a la salida del filtro ecualizador.

En este apartado demostraremos que la solución de forzado a cero cuando D0<1 se puede obtener mediante un algoritmo adaptativo consistente en hacer:

0)(ˆ)( =−⋅ knaneE

en donde )(ˆ na es la secuencia de datos deseados. Es decir, los coeficientes están adaptados óptimamente según el criterio forzador de ceros cuando el error es ortogonal a la secuencia de datos deseados (no se trata por lo tanto del criterio MSE, en el que el error es ortogonal a los datos).

Teniendo en cuenta que )(~)()( nanane −= , siendo ∑ ∑ −+−=j j

j jnncjnqjana )(·)()·()(~ los datos

estimados (obtenidos a la salida del filtro), y suponiendo que las decisiones se están tomando correctamente de forma que )()(ˆ nana = :

)(·)(·)()·()()(·)(~)()(ˆ)·( knajnncjnqjanaknananaknanej j

j −⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−=−−=− ∑ ∑

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+−−−−=−⋅ ∑ ∑j j

j knajnncjnqknajaEknanaEknaneE )()·(·)()·()·()()·()(ˆ)(

Teniendo en cuenta que para símbolos incorrelados:

)(·)()·( 2 mlmalaE a −= δσ

y que el ruido y los datos están incorrelados:

0)()·( =malnE

( ) 0)()(·)()·(·)()(ˆ)( 222 =−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−=−⋅ ∑ kqkjnqjknEkknaneE aj

aa δσδσδσ

Es decir, )()( kkq δ=

Por lo que podemos hacer un ajuste adaptativo de los coeficientes, utilizando los datos deseados )(ˆ na , y cuando éstos alcancen su valor óptimo, el filtro se comportará como un forzador de ceros.

El algoritmo consistirá por tanto en ajustar los coeficientes según la siguiente ecuación:

)(ˆ)·(·2)()1( knanncnc kk −−=+ µ

El esquema de la siguiente figura muestra la implementación del forzador de ceros adaptativo.


4-11

4.6 ECUALIZADOR CON REALIMENTACIÓN DE DECISIONES

El esquema general de este ecualizador no lineal se muestra en la siguiente figura:


4-12

Como vemos, incluye dos filtros: un filtro con alimentación hacia delante (feedforward) y un filtro de realimentación. La entrada al filtro feedforward es la secuencia de datos recibida xk, de forma similar a los ecualizadores lineales estudiados. La parte del filtro con realimentación, utiliza como entrada la secuencia de decisiones tomadas sobre los símbolos anteriores. Este filtro, eliminará la IES provocada sobre el símbolo actual por los símbolos anteriores, mientras que el filtro feedforward se encargará de la IES provocada por los símbolos siguientes al símbolo actual. Esto queda reflejado en la siguiente expresión:

∑ ∑−= =

−+−=0

1

2

1)(ˆ·)(·)(~

Mj

M

jjj jkacjkxcka

Para el cálculo iterativo de los coeficientes del filtro, puede aplicarse cualquiera de los dos criterios anteriormente vistos, el criterio MSE o el critero de Forzado de pasos por cero. En ambos casos, el segundo filtro actuará eliminando totalmente la parte de la IES causada por los símbolos ya detectados, siempre que las decisiones sean correctas ( )()(ˆ kaka = ).

La siguiente figura muestra el esquema para el ecualizador con realimentación de decisiones, basado en el criterio MSE:


4-13

4.7 ECUALIZADORES FRACCIONALES

En las estructuras estudiadas, el filtro ecualizador trabaja a velocidad de símbolo r=1/T. Este espaciado es óptimo si el filtro va precedido de un filtro adaptado a la distorsión del canal introducida sobre el pulso transmitido. Pero cuando las características del canal son variantes o desconocidas, el filtro del receptor se adapta usualmente al pulso transmitido, y el instante de la recepción estará optimizado para este filtro subóptimo. Este hecho provoca por lo general que el comportamiento del ecualizador sea muy sensible a la elección del instante de muestreo.

Por otro lado, el espectro de la señal a la entrada del ecualizador tendrá por lo general un ancho de banda algo superior a r/2. Por tanto, la señal que “ve” el filtro a su entrada es una versión con solapamiento (aliasing) del espectro de la señal, y será esta versión la que el ecualizador tratará de compensar.

Estos problemas son los que trata de solucionar el ecualizador fraccional, en el que la velocidad de trabajo del ecualizador es superior a la velocidad de símbolo r.

Consideremos un canal con respuesta global h(t). Si se produce un error en la elección del instante de muestreo, podemos considerar que la respuesta del canal es h(t-t0), en donde t0 es el error cometido. Al muestrear a periodo de símbolo kT, obtendremos una respuesta frecuencial:


4-14

∑∑ −=−= −−−

k

tTkjftj

k

tTkfj

eTkfHee

TkfHfY 0

00 22)(2

)(·)()(πππ

que en el rango de frecuencias de trabajo, y considerando sólo las frecuencias positivas, 0<f<1/2T:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= −− 0

00

0

122122 ·1)(·)·1()(·)(

tT

jftjtT

jftj efHeeT

fHfHefYππππ α 0<f<1/2T

con )(

)1(

fHT

fH −=α , y 1<α generalmente, ya que H(f) decrece monótonamente. Así, vemos que el

espectro ha quedado afectado por el factor ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

012

·1t

Tj

eπ

α , cuyo módulo puede escribirse como:

02 ·2·cos·21 t

Tπαα ℜ++

Así, la respuesta que ve el filtro varía en función de t0. Son especialmente problemáticos los valores de t0 para los cuales se produzcan nulos o casi nulos, ya que el ecualizador tratará de compensarlos introduciendo mucha ganancia, y enfatizando el ruido. El peor valor para el error cometido es t0=T/2.

La solución viene dada con el empleo de un filtro que trabaje a velocidad superior, con una frecuencia de muestreo tal que no se produzca aliasing. Considerando un ancho de banda para la señal recibida

)1(2

ρ+=rB , utilizaremos fs>2B=r(1+ρ). Un ecualizador que trabaja con un espaciado entre muestras de

T se llama ecualizador T-espaciado. Así, por ejemplo, si ρ=1 y T es la velocidad de símbolo, deberíamos utilizar un ecualizador T/2-espaciado, si ρ=0.5, 2T/3-espaciado etc.. Los símbolos siguen calculándose cada T , por lo que en un filtro adaptativo, los coeficientes se seguirán actualizando cada T segundos.

Aunque un ecualizador T/2 espaciado tiene una longitud temporal mitad de la de un T-espaciado con el mismo número de coeficientes, el comportamiento del ecualizador fraccionalmente espaciado es al menos tan bueno como el del T-espaciado para cualquier tipo de canal, y es notablemente superior cuando el canal presenta distorsiones severas en los bordes de la banda.

4.8 EJERCICIOS

4.8.1 PROBLEMA 1

Explique la diferencia conceptual entre un ecualizador adaptativo forzador de pasos por cero, y uno basado en el criterio MSE. Explique también cual es la diferencia en la implementación del filtro adatativo. Dibuje los esquemas correspondientes.

4.8.2 PROBLEMA 2

¿Porqué un forzador de ceros no es adecuado para un canal con ceros en su respuesta frecuencial?


4-15

4.8.3 PROBLEMA 3

Considere la transmisión de símbolos ak a través del siguiente canal discreto:

Z-1ak

xk

21

21

Z-1ak

xk

21

21

Los símbolos ak están incorrelados, de forma que )( naaE nkk δ=⋅ − .

1) Calcule la autocorrelación de la secuencia recibida xk, )( nkkxx xxEnr −⋅= .

Ecualizador MSE

Para ecualizar la secuencia xk en recepción se utiliza un ecualizador basado en el criterio MSE.

2) Obtenga las ecuaciones generales que permiten obtener los M coeficientes del filtro C(z) según el criterio MSE aplicado sobre la secuencia e(n) de la figura

C(z)xk

dk

ek

C(z)xk

dk

ek

3) Considerando que la secuencia deseada es dk=ak-1, (es decir, el filtro introduce un retardo de una muestra) encuentre los valores de los coeficientes del ecualizador MSE de orden 2. Si no ha obtenido las ecuaciones en

el apartado anterior, utilice la expresión 1...0),()(·1

0−==−∑

−

=

Mnnrknrc dx

M

kxxk .


4-16

4) Escriba las expresiones que permiten calcular los coeficientes del ecualizador MSE adaptativo de orden 2 mediante el algoritmo LMS. Dibuje el esquema de este ecualizador adaptativo.

Ecualizador forzador de ceros

Continuando con el mismo canal anterior:

5) ¿Cual es la expresión de la función de transferencia C(z) para un ecualizador forzador de ceros con infinitos coeficientes?

6) Considerando que el canal tiene ruido, tal y como muestra la figura, qué inconveniente observa en la función de transferencia obtenida C(z)?. Realice los comentarios que considere oportunos.

Z-1ak

xk

21

21

nk

Z-1ak

xk

21

21

nk 7) Diseñe un ecualizador (no adaptativo) forzador de ceros de 2 coeficientes para ecualizar el canal.

4.9 BIBLIOGRAFÍA

B. Widrow, S.D. Stearns. “Adaptative Signal Processing”. Prentice Hall, 1985.

S. Haykin. “Adaptative Filter Theory”. Prentice Hall, 1986.

John G. Proakis, “Digital Communications”, McGraw-Hill, 3rd ed., 1995

TEMA 5

M O D U L A C I O N E S C O D I F I C A D A S T R E L L I S


TEMA 5 MODULACIONES CODIFICADAS PARA CANALES LIMITADOS EN

BANDA. 1-1

5.1 CÓDIGOS CONVOLUCIONALES.................................................................................................... 1-1

5.1.1 Árboles ................................................................................................................................... 1-1

5.1.2 Trellis ...................................................................................................................................... 1-3

5.1.3 Diagrama de Estados ........................................................................................................... 1-4

5.1.4 Ejemplo.................................................................................................................................. 1-4

5.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CÓDIGO CONVOLUCIONAL ..................................... 1-6

5.3 DECODIFICACIÓN ÓPTIMA DE CÓDIGOS CONVOLUCIONALES .......................................... 1-10

5.3.1 Hard decision ...................................................................................................................... 1-11

5.3.2 Soft-decision........................................................................................................................ 1-14

5.3.3 Algoritmo de Viterbi .......................................................................................................... 1-16

5.3.4 Carga Computacional......................................................................................................... 1-19

5.3.5 Retardo de decodificación................................................................................................. 1-19

5.4 CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR ........................................................................... 1-19

5.4.1 Probabilidad de error con decisión blanda..................................................................... 1-19

5.4.2 Probabilidad de error por bit de información................................................................ 1-21

5.4.3 Probabilidad de error para decodificación mediante decisiones duras ...................... 1-22

5.4.4 Ganancia de codificación .................................................................................................. 1-23

5.4.5 Otros efectos a considerar ................................................................................................ 1-23

5.5 MODULACIÓN CODIFICADA PARA CANALES LIMITADOS EN BANDA ................................ 1-23

5.5.1 Partición de conjuntos ....................................................................................................... 1-24

5.5.2 Modulación codificada Trellis .......................................................................................... 1-27

5.6 EJERCICIOS .................................................................................................................................... 1-33

5.6.1 Problema 1........................................................................................................................... 1-33

5.6.2 Problema 2........................................................................................................................... 1-33

5.6.3 Problema 3........................................................................................................................... 1-34

5.7 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 1-35

1-1

1. MODULACIONES CODIFICADAS PARA CANALES LIMITADOS EN BANDA.

1.1 CÓDIGOS CONVOLUCIONALES

Un código convolucional se genera pasando la secuencia de información a transmitir por un

registro de desplazamiento lineal. En general, el registro de desplazamiento consiste en L etapas de

k bits y n generadores de funciones algebraicas, como se muestra en la figura Fig. 5.1. :

1 2 k...

1 2 L

1 2 3 n

k bits de información1 2 k... 1 2 k...

n bits codificados (hacia el modulador)

1 2 k...1 2 k...

1 2 L

1 2 3 n

k bits de información1 2 k...1 2 k... 1 2 k...1 2 k...

n bits codificados (hacia el modulador)

Fig. 5.1.Codificador convolucional

La secuencia de entrada se desplaza k bits cada vez (cada golpe de reloj). Por cada k bits de entrada

se obtienen n bits de salida. Se define la ‘Velocidad de código’ (Code Rate) como: Rc= k/n.

Los códigos convolucionales suelen describirse mediante 3 representaciones: Árboles, Trellis y

Diagrama de estados. Las veremos a continuación.

1.1.1 ÁRBOLES

Para la descripción, utilizaremos un caso particular con L=3, k=1 y n=3. Consideramos el

codificador convolucional de la figura Fig. 5.2.

1-2

Entrada Salida

1

2

3

Entrada Salida

1

2

3

Fig. 5.2. Codificador convolucional con Rc=1/3 y L=3

El árbol resultante se muestra en la figura Fig. 5.3.:

0

1

000

000

a

111

c

001

b

110

d101

d

b

010

100

c

a011

d

110

b001

c111

a

000000

111

111

Fig. 5.3. Árbol correspondiente al codificador convolucional de la Fig. 5.2.

Suponiendo que el codificador está en estado cero inicial:

- Si el primer bit es un 0, la secuencia de salida es 000.

- Si el primer bit es un 1, la secuencia de salida es 111.

La regla es siempre tomar la rama superior del árbol para el ‘0’ y la inferior para el ‘1’. Una

determinada secuencia de entrada determina un camino en el árbol.

1-3

Observando el árbol vemos que la estructura se repite a si misma después de la tercera etapa. Esto

es debido a que la salida viene dada por el valor del bit actual y los bits anteriores. Comenzando el

cálculo de las salidas (el dibujo del árbol) por el estado todo ceros, el análisis termina cuando el bit

de entrada alcance la última etapa, de forma que se habrán producido ya todos los estados posibles.

En el caso general con k bits de entrada y L etapas, el análisis termina cuando el grupo de k bits de

entrada alcance la última etapa, es decir, al cabo de L etapas o L pasos de ramificación en el árbol.

Continuando con el ejemplo, se observan 4 estados diferentes para los registros de desplazamiento,

correspondientes a los 2 bits anteriores al bit actual. Estos estados se han etiquetado en el árbol

como:

a=00 b=01 c=10 d=11

Puede observarse que en la tercera etapa hay 2 nodos para cada estado. Los dos nodos

correspondientes al mismo estado son idénticos en el sentido de que generan las mismas salidas. La

asimilación de los nodos idénticos da lugar al diagrama de Trellis que estudiamos a continuación.

1.1.2 TRELLIS

En esta representación, los nodos iguales de un árbol se asimilan a un único nodo. La

representación del diagrama de Trellis para el ejemplo anterior se muestra en la figura Fig. 5.4.:

Fig. 5.4. Diagrama de Trellis para el codificador convolucional de la Fig. 5.2.

En el diagrama de Trellis se han empleado líneas continuas para las salidas generadas por un “0” de

entrada, y líneas discontinuas para las salidas generadas por un “1” a la entrada. Puede observarse

como después de un transitorio inicial se alcanza un estado estable después de 3 etapas. Intervienen

1-4

4 nodos correspondientes a los 4 estados posibles, y a cada nodo entran dos caminos y salen

también dos caminos, correspondientes a las dos posibles entradas (“0” y “1”).

1.1.3 DIAGRAMA DE ESTADOS

Una forma aún más compacta de representar el código es el diagrama de estados, mostrado en la

figura Fig.5.5.:

Estado b 01

Estado c10Estado a

00

Estado d11

000

011100

001010

111

110

Diagrama de estados para Rc=1/3 y L=3

101

Estado b 01

Estado c10Estado a

00

Estado d11

000

011100

001010

111

110

Diagrama de estados para Rc=1/3 y L=3

101

Fig.5.5. Diagrama de estados correspondiente al codificador convolucional de la Fig. 5.2.

Este diagrama representa los posibles estados del codificador y las posibles transiciones entre ellos.

Al igual que en el trellis, las transiciones entre estados se representan con una línea continua si son

producidas por un bit de entrada “0” y con una línea discontínua si son producidas por una entrada

“0”. Los 3 bits asociados a las ramas son los bits de salida codificados.

1.1.4 EJEMPLO

Consideremos el código descrito por la figura Fig. 5.6.:

1-5

Fig. 5.6. Codificador convolucional con k=2, n=3 y L=2

Los primeros 2 bits de entrada pueden ser 00, 01, 10 ó

11. A estas entradas les corresponden las siguientes

salidas:

00->000

01->010

10->111

11->101

Cuando llega la siguiente pareja de bits, la pareja anterior

se desplaza a la siguiente etapa. Los bits de salida

dependen del par de bits desplazados y de los nuevos de

entrada. Por eso:

- Hay 4 ramas por cada nodo en el árbol (4 posibles entradas).

- Como L=2, el árbol se repite a partir de la segunda etapa.

El diagrama de Trellis presenta cuatro estados, y hay cuatro ramas que entran y salen de cada

estado, correspondientes a las cuatro posibles entradas.

1-6

En general:

- Un código con Rc=k/n, longitud restringida L (L etapas), tiene 2k ramas que emanan de

cada nodo del árbol.

- El Trellis y el diagrama de estados presentarán 2k(L-1) estados posibles.

- Hay 2k ramas entrando en cada estado y 2k ramas que lo abandonarán (en el Trellis,

después de los estados transitorios).

1.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CÓDIGO CONVOLUCIONAL

Tratamos de calcular las propiedades de distancia y comportamiento frente a errores, utilizando el

diagrama de estados. Como se trata de un código lineal, el juego de distancias de Hamming

(número de bits diferentes) de las secuencias generadas hasta una cierta etapa en el árbol a la

secuencia nula, es el mismo que el juego de distancias para cualquier otra secuencia. Por eso, sin

pérdida de generalidad, suponemos como entrada la secuencia nula.

Utilizaremos de nuevo un ejemplo para demostrar el método para obtener las propiedades de

distancia de un código.

Partiendo del diagrama de estados de la figura Fig. 5.7.

1-7

Fig. 5.7. Diagrama de estados del codificador convolucional de la Fig. 5.2. en el que se han

etiquetado las ramas con la distancia de Hamming de la secuencia de salida a la secuencia 000.

En primer lugar, etiquetamos las ramas del diagrama con Dd siendo el exponente d la distancia de

Hamming entre la secuencia de bits de salida y la secuencia todos ceros (secuencia de entrada). El

lazo 000 con distancia cero puede eliminarse porque no va contribuir en la medida.

En un segundo paso, el nodo ‘a’ lo dividimos en dos nodos, uno para la entrada al diagrama de

estados y otro para la salida:

Fig. 5.8. Diagrama de estados de la figura Fig. 5.7. con nodos de entrada y salida.

Finalmente, en un tercer paso, calculamos las ecuaciones de los nodos:

be

dcd

dcb

bac

XDX

XDXDX

DXDXXDXXDX

2

22

3

=

+=

+=+=

1-8

La función de transferencia se define como: a

eXXDT =)(

Y para este ejemplo se obtiene:

∑∞

==++++=

−=

6

1210862

6...842

21)(

d

dd DaDDDD

DDDT

en donde ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

impardparda

d

d0

2 26

La función de transferencia T(D) nos dice:

D6: Hay un único camino con distancia d=6 al camino nulo, que empieza y termina en el

mismo nodo (por tanto el camino se junta con la secuencia todo ceros). Vemos que es el camino

verde en línea continua acbe. No hay ningún otro camino del nodo ‘a’ al ‘e’ con d=6.

2D8: Hay 2 caminos con distancia d=8 del nodo ‘a’ al nodo ’e’. Se ve que son los caminos en

azul acdbe y acbcbe.

4D10: Hay 4 caminos con distancia d=10 de ‘a’ a ‘e’.

etc...

Fig. 5.9. Diagrama de Trellis correspondiente al codificador convolucional de la Fig. 5.2. en el que

se muestran los posibles caminos.

1-9

La mínima distancia del código se llama “Distancia Libre Mínima” dfree. En nuestro ejemplo

dfree=6

Mediante este parámetro también se puede definir la GANANCIA DEL CÓDIGO Gc:

Gc=10 log(dfreeRc)

La función de transferencia puede darnos más información. Supongamos que introducimos un

factor N en todas las transiciones o ramas causadas por la entrada de un 1. Así según se hacen

transiciones entre estados, el exponente de N crece sólo si la transición ha sido causada por un 1

(ver Fig. 5.10. ).

Por otro lado, adicionalmente introducimos un factor J en cada rama del diagrama de estados, de

forma que el exponente de J servirá para contar el número de ramas en un camino desde ‘a’ hasta

‘e’. El resultado se muestra en la figura Fig. 5.10. .

Fig. 5.10. Diagrama de estados del codificador convolucional de la Fig. 5.2. en que se han

etiquetado las distancias de Hamming a la secuencia 000 (D), el factor N cuando la transición ha

sido causada por un ‘1’ de entrada, y el factor J en cada transición.

Las ecuaciones que se obtienen ahora para la función de transferencia son:

be

dcd

dcb

bac

XJDX

XJNDXJNDX

JDXJDXXJNDXXJNDX

2

22

3

=

+=

+=+=

Resolviendo estas ecuaciones para a

eXX

se obtiene la función de transferencia:

1-10

....2

)1(1),,(

10371036103582582463

2

63

++++++=

=+−

=

DNJDNJDNJDNJDNJNDJ

JJNDNDJJNDT

El primer término 63 NDJ indica que hay un camino que se reúne con la secuencia todo ceros por

primera vez con distancia d=6 de longitud 3 ramas y de los 3 bits de información uno es un ‘1’. Los

términos 824 DNJ y 825 DNJ corresponden a caminos que se reúnen con la secuencia todo

ceros con distancia d=8. El primero es de longitud 4 ramas y el segundo de 5 ramas, y en ambos

dos de los bits de información son ‘1’.

Así:

- el exponente de J indica la longitud del camino que se reúne por primera vez con la

secuencia todo ceros.

- el exponente de N indica el número de ‘1’s en la secuencia de información.

- el exponente de D la distancia a la secuencia todo ceros.

Hasta ahora hemos considerado únicamente códigos de entrada y de salida binarios. Si los códigos

considerados no son binarios, el diagrama de estados y por tanto la función de transferencia que se

obtienen para un mismo codificador convolucional son diferentes de los obtenidos considerando

código binario.

1.3 DECODIFICACIÓN ÓPTIMA DE CÓDIGOS CONVOLUCIONALES

Consideremos ahora el proceso de transmisión de una secuencia de bits:

El modulador puede ser cualquiera. Podemos por ejemplo suponer que se trata de un sistema

binario polar banda base ó PSK que en el detector, recupera los valores de los símbolos ‘+1’ ó ‘-1’

(correspondientes a los bits ‘1’ y ‘0’).

DEM DECOD

y C

1-11

En una decodificación bit a bit, para estimar el valor del símbolo transmitido, analizamos las

probabilidades P(y/’1’) (Probabilidad de obtener el valor ‘y’ cuando el símbolo transmitido ha sido

el ‘1’, y P(y/’0’), y elegiremos el símbolo que tenga mayor probabilidad. Es decir, la métrica

utilizada para la decodificación es la medida P(y/’ak’).

Cuando empleamos un codificador convolucional, no decidiremos el valor de un único bit recibido,

sino que tomaremos la decisión sobre toda una secuencia de bits. Las secuencias completas deben

comenzar y terminar en el camino nulo (el camino de la secuencia todo ceros). La secuencia final

será el resultado de recorrer B tramas en el trellis sobre un camino ‘r’, sobre el cual calcularemos la

métrica:

∑=

=B

j

rjr

1µµ

en donde ∏=

==n

m

rjmjm

rjjj CyPCYP

1)/(log)/(log

rrµ

siendo jYr

=yj1, yj2 ... yjm es el vector de datos recibido en la rama j-ésima, y jCr

=cj1, cj2 ...

cjm es el vector de datos codificados transmitidos.

El cálculo de )/( jmjm CyP depende de si el sistema toma decisiones duras (Hard-Decision) o

blandas (Soft-Decision). Estudiaremos ambos casos por separado.

1.3.1 HARD DECISION

En un sistema de este tipo, primero se decide sobre el dato recibido de forma individual para cada

bit, y posteriormente se evalúa la métrica. Llamando jmC al dato ‘decidido’ por el sistema, la

probabilidad p de cometer un error sobre este bit de forma individual, depende del sistema en

estudio. Por ejemplo, en un sistema Unipolar ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0NE

Qp b y en un sistema Polar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

2NE

Qp b .

Así:

jmjmjmjm CCsipCyP ≠= ˆ)/(

1-12

jmjmjmjm CCsipCyP =−= ˆ1)/(

Ejemplo

Vamos a realizar el cálculo de la métrica para el codificador convolucional de la figura Fig. 5.2.

cuyo diagrama de Trellis se muestra en la figura Fig. 5.9..Supongamos que a la salida del

demodulador obtenemos la secuencia Yr

=yjm

j=1 j=2 j=3

yjm 101 000 100

La métrica asociada a los posibles caminos de longitud 3 será:

[ ]∑=

=3

1332211 )/()/()/(log

jjjjjjj

r CyPCyPCyPµ

y elegiremos aquel camino r que tenga la mayor métrica rµ (el camino con mayor probabilidad).

La calculamos para cada uno de los posibles caminos de longitud 3. Comenzando por la secuencia

000 000 000:

[ ] ( ) [ ] )1log(6log3)1(log1log)1(log 230 pppppppp −+=−+−+−=µ

Nótese que el coeficiente de log(p) es el número de errores, y el de log(1-p) el número de aciertos

en la secuencia completa. Siendo log(p) una función creciente, y teniendo en cuenta que p es la

probabilidad de error y que ésta será siempre p<0.5, y por tanto (1-p)>0.5, y logp < log (1-p). La

figura Fig. 5. 11. muestra cómo la métrica utilizada es una función creciente con el número de

aciertos N. Por eso, una medida equivalente es la selección de la secuencia con la menor distancia

de Hamming.

1-13

2 4 6 8N

-17.5

-15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

µ

Fig. 5. 11. Métrica µ en función del número de bits correctos N, calculada para p=0.01.

El otro camino completo (que empieza y termina en la secuencia nula) de longitud 3 es el camino

que genera la secuencia 111 001 011:

)1log(4log51 pp −+=µ

La Tabla 1-1 muestra los resultados de realizar el cálculo de las métricas rµ para los 7 caminos

posibles de longitud 3, que serían las métricas intermedias obtenidas para una secuencia más larga

cuando el trayecto ha recorrido 3 ramas.

yjm 0.5 -0.7 0.7 -0.8 -0.9 -0.2 0.1 -0.3 -0.4 rµ

Cjm 101 000 100 rµ

r=0 000 000 000 )1log(6log3 pp −+

r=1 111 001 011 )1log(4log5 pp −+

r=2 111 001 100 )1log(7log2 pp −+

r=3 111 110 010 )1log(4log5 pp −+

r=4 111 110 101 )1log(4log5 pp −+

r=5 000 111 001 )1log(2log7 pp −+

r=6 000 111 110 )1log(2log7 pp −+

Tabla 1-1 Resultados de las métricas para los caminos del trellis de la Fig. 5.9.

1-14

Si la transmisión correspondiera a la secuencia completa, la secuencia seleccionada correspondería

al camino r=1. Si es una transmisión parcial, en la tercera etapa, la mejor secuencia hasta ese estado

sería la correspondiente al camino r=2.

1.3.2 SOFT-DECISION

En estos sistemas no se realiza la detección independiente de cada símbolo, sino que se realiza la

estimación sobre toda la secuencia completa de datos recibidos yjm.

Consideremos un sistema binario, en donde los símbolos se transmiten con amplitudes

)12·( −= jmjm CAa . El valor recibido nay jmjm += en donde n es el ruido gausiano

introducido por el sistema. La probabilidad de recibir el valor yjm cuando el símbolo transmitido ha

sido el Cjm será:

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−=

2

2

·2

)12·(exp

21)/(

n

jmjm

njmjm

CAyCyP

σσπ

La probabilidad asociada a la rama j-ésima:

[ ]=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∑∏ =

=2

1

2

1 ·2

)12(exp

21log)/(log

n

n

mjmjmn

n

n

mjmjmj

CAyCyPP

σσπ

[ ]n

nn

n

mjmjm eCAy

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−−= ∑

=22

1

2

2

1log)·log(2

1·)12(σπσ

La probabilidad para todo el trayecto resultará de sumar las probabilidades Pj de cada una de las

tramas del trayecto. El sumando ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡22

1lognσπ

y el factor )log(2

12 enσ

afectarán de igual forma a

todas las ramas, y también a todos los caminos. Por tanto no aportan nada en el cómputo de la

métrica.

Desarrollando el término restante:

1-15

( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑∑∑∑= ==== = ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−+−=−−−

B

j

n

mjmjm

n

mjm

n

mjm

B

j

n

mjmjm CAyCAyCAy

1 11

2

1

2

1 1

2 )12(21212

El término ∑∑= =

B

j

n

mjmy

1 1

2 afecta a todos los caminos por igual, y por tanto puede eliminarse del

cómputo. Lo mismo ocurre con el segundo sumando, ∑∑= =

−B

j

n

mjmCA

1 1

22 )12( ya que

1)12( 2 =−jmC independiente por tanto del símbolo transmitido. Así, para la comparación de la

métrica obtenida en cada uno de los caminos únicamente queda:

∑∑= =

−=B

j

n

m

rjmjmr Cy

1 1)12(µ

y seleccionaremos el camino r que tenga la mayor métrica rµ (mayor probabilidad).

Ejemplo

Vamos a realizar el cálculo de las métricas asociadas a los caminos del Trellis de la figura Fig. 5.9. ,

para una secuencia de datos recibida: 0.5 -0.7 0.7 -0.8 -0.9 -0.2 0.1 -0.3 -0.4 . Los resultados se

muestran en la Tabla 1-2.

yjm 0.5 -0.7 0.7 -0.8 -0.9 -0.2 0.1 -0.3 -0.4 rµ

r=0 000 000 000

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2

r=1 111 001 011

+1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 1.2

r=2 111 001 100

+1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 2.8

r=3 111 110 010

+1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1

r=4 111 110 101

+1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

r=5 000 111 001

-1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -2.6

r=6 000 111 110

-1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -2.2

1-16

Tabla 1-2.- Métricas asociadas a los caminos del Trellis de la Fig. 5.9. en un sistema con decisión blanda.

El resultado obtenido en nuestro ejemplo para ambos tipos de decodificación (Hard y Soft) ha sido

el mismo. Sin embargo, por lo general, la decodificación blanda proporcionará mejores resultados, a

coste de una mayor complejidad en el receptor.

1.3.3 ALGORITMO DE VITERBI

Consideremos el punto de la tercera etapa en el Trellis de la figura Fig. 5.9. y continuemos el

camino. Fijémonos en el estado a, al cual llegan los caminos r0(r=0) y r1(r=1). La siguiente rama

añadirá la mima distancia al camino r0 que al camino r1. Como m0>m1, seguirá siéndolo en la

cuarta etapa y en el estado ‘a’. Esto implica que podemos descartar el camino r1 frente al r0. El

camino r0 correspondiente a la mejor métrica en el nodo se conoce como Superviviente.

De la misma forma podemos proceder con el resto de nodos. Uno de los dos caminos que llegan al

estado b en la cuarta etapa podrá ser eliminado en base a las métricas correspondientes, y de forma

similar se puede proceder con los nodos correspondientes a los estados c y d.

Es decir, cuando se recibe y detecta una secuencia, se calculan las métricas asociadas a cada nodo,

una para cada uno de los caminos que alcanzan el nodo. El valor de la métrica asociada al camino r

obtenida en la etapa l para un cierto nodo tendrá dos componentes:

- un valor asociado a cada uno de los caminos que llegan hasta el nodo, igual a la métrica

obtenida en la etapa anterior rl 1−µ (métrica acumulada hasta el estado anterior en el

camino r).

- un valor correspondiente a la probabilidad de recibir esa secuencia de datos condicionado a

la transmisión de la secuencia asociada a la rama, rjµ , métrica local asociada a la transición

de la rama j.

El camino seleccionado en la etapa l para cada estado, será aquél que haga máxima la métrica

asociada al nodo, y el valor de ésta será:

rj

rl

rl µµµ += −1max

Esto se muestra esquemáticamente en la figura Fig. 5. 12..

1-17

0jµ

1jµ

0u

1u

( ) ( ) 1100 ,max jj uuu µµ ++=

métrica acumulada hasta el estado anterior

0jµ

1jµ

0u

1u

( ) ( ) 1100 ,max jj uuu µµ ++=

métrica acumulada hasta el estado anterior

Fig. 5. 12. Selección del camino superviviente en un nodo.

El procedimiento descrito se repite para cada uno de los nodos del Trellis en cada etapa, y para

todas las etapas. De esta forma, sólo uno de los caminos que alcanza cada nodo sobrevivirá. Al final

de la transmisión, seleccionaremos el estado con la máxima métrica, y podremos recuperar el

camino óptimo, es decir, la secuencia detectada.

El algoritmo de programación dinámica descrito permite la selección del camino óptimo sin que sea

necesario el cálculo exhaustivo de todos los caminos posibles, y reduce dramáticamente la

complejidad del detector. Fue propuesto por primera vez por A. Viterbi en 1967 (ver Bibliografía).

La naturaleza óptima del algoritmo de Viterbi se deriva del “Principio de optimalidad” de Bellman,

aplicable en un problema de decisiones secuenciales en el que la función global de coste es la suma

de las funciones de coste en las transiciones entre estados intermedios. La idea básica es que si un

camino es óptimo globalmente, también es óptimo en cualquier estado intermedio (ver figura Fig.

5. 13. ).

Fig. 5. 13. Principio de optimalidad: el mejor camino global es una extensión de caminos locales

óptimos.

1-18

Ejemplo:

Realizamos la planificación de un viaje utilizando el principio de optimalidad. Con referencia al

mapa de la figura Fig. 5. 14. , supongamos que comenzamos el viaje en Zurich. Viajamos hacia el

Este y al final de la primera etapa podemos visitar Moscú o El Cairo. La siguiente parada puede ser

Tashkent o Delhi, etc.

Fig. 5. 14. Planificación de un viaje siguiendo el “principio de optimalidad”.

A cada segmento de la ruta le asignamos una métrica, por ejemplo, la capacidad adquisitiva en dicha

ciudad, o el precio del viaje entre las dos ciudades, la distancia entre las dos ciudades, el tiempo de

tránsito entre ellas o una combinación de ellas. Una posibilidad para la planificación es la búsqueda

exhaustiva entre todas las posibles rutas. Pero, supongamos que estamos en Hong-Kong. Hemos

podido llegar allí desde Tashkent o desde Delhi. Uno de las dos posibilidades será mejor que la otra

según nuestro criterio de coste. Por tanto, para avanzar en nuestro camino, no será necesario

conservar las dos rutas, sino tan solo la mejor de ellas, ya que si el camino óptimo pasa por Hong-

Kong, también es óptimo hasta Hong-Kong. Lo mismo ocurrirá en Perth: podremos descartar una

de las dos rutas que llegan Perth. Si el camino óptimo pasa por Perth o por Hong-Kong, no lo

sabremos hasta que realizamos el cálculo en la última etapa de la ruta, en el retorno a Zurich. En

esta última etapa, seleccionaremos la mejor ruta entre la que llega de Londres y la que llega de

Dakar, y volviendo hacia atrás de nuevo conoceremos la ruta óptima.

1-19

1.3.4 CARGA COMPUTACIONAL

Para un código con k bits entrando simultáneamente al codificador, y longitud restringida L, hay

2k(L-1) estados posibles. Ello requerirá seguir la pista de 2k(L-1) caminos, y guardar la métrica

asociada a los 2k(L-1) estados o nodos en cada etapa del Trellis. Además, a cada nodo llegan 2k

caminos para los que será necesario calcular la métrica. Por tanto, la carga computacional a realizar

en cada etapa del Trellis aumenta exponencialmente con k y con L.

1.3.5 RETARDO DE DECODIFICACIÓN

Si la secuencia transmitida es muy larga, el retardo de decodificación será también largo, y la

memoria necesaria para almacenar los caminos supervivientes crece también. Una solución a este

problema es introducir una modificación en el algoritmo, tomando decisiones intermedias, que

harán el algoritmo subóptimo, pero mantendrán un retardo de decodificación constante. La

modificación consiste en retener en un momento determinado sólo los δ símbolos más recientes

recibidos. Cuando se recibe un nuevo símbolo, se toma una decisión definitiva sobre el símbolo

recibido δ ramas hacia atrás en el Trellis, en base a las métricas supervivientes en esa etapa. Si δ es

suficientemente largo, con mucha probabilidad todas las secuencias supervivientes en la etapa t

nacen del mismo nodo de la etapa t-δ.

Experimentalmente se demuestra que si L5≥δ la degradación del comportamiento en el algoritmo

con respecto al Viterbi óptimo es despreciable.

1.4 CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR

1.4.1 PROBABILIDAD DE ERROR CON DECISIÓN BLANDA

En este apartado se va a analizar el comportamiento de la tasa de error del algoritmo de Viterbi en

un canal con ruido gausiano blanco aditivo con codificación con decisión blanda.

En el análisis de la probabilidad de error en los códigos convolucionales se utiliza el hecho de que

los códigos son lineales para simplificar los cálculos y demostraciones. Es decir, suponemos que se

ha transmitido la secuencia todo ceros y calculamos la probabilidad de decidir a favor de otra

secuencia. Así, se producirán errores cuando en un nodo el camino elegido se separe de la secuencia

nula. La probabilidad de error puede acotarse superiormente mediante la expresión:

∑≤erróneoscam

erróneocamPPe.

).(

ya que pueden producirse solapamientos entre los caminos erróneos.

1-20

La métrica para elegir el camino será la utilizada anteriormente:

∑∑= =

−=B

j

n

m

rjmjmr Cy

1 1)12(µ

La métrica asociada al camino nulo ( 00 =jmC ) valdrá: ∑∑= =

−=B

j

n

mjmy

1 10µ

La métrica asociada a cualquier otro camino (camino erróneo) será:

∑∑= =

−=B

j

n

m

djmjmd Cy

1 1)12(µ

Cometeremos un error si ocurre que 0µµ >d , es decir si:

∑∑= =

>=−B

j

n

m

djmjmd Cy

1 10 0·2·µµ

Los bits de valor cero de la secuencia Cjm no contribuyen al cálculo anterior. Por eso, si en la

secuencia Cjm hay d unos, podemos decir que la probabilidad de elegir un camino erróneo

(probabilidad de que el camino se separe del camino nulo) con d bits erróneos es la probabilidad de

que la suma de los valores recibidos para los d bits de valor ‘1’ del camino sea positiva:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>== ∑

=0.

1

d

llyPdPerróneocamP

El dato recibido yl=al+n, es una v.a. gausiana, de media ym y varianza σy. La variable aleatoria

suma ∑=

=d

lld yy

1, será también gausiana, con media: d· ym y varianza d· σy

2. Por tanto,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=>

y

m

y

md

ydQ

dyd

QyPσσ

·)0(

1-21

Así, en un sistema PSK binario, ησ

s

y

m Ey 2= siendo Es la energía del símbolo. En nuestro caso,

dado que los datos están codificados, la energía del símbolo será: bc EnkE = en donde Eb es la

energía del bit sin codificar. Así, la probabilidad asociada al camino erróneo con distancia de

Hamming d al camino nulo será:

( )dRQnkdE

QdE

Q cbbc γηη

222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

en donde η

γ bb

E= es la SNR por bit de información.

Hemos calculado la probabilidad asociada al camino erróneo con distancia de Hamming d. La

probabilidad de error total deberá considerar todos los posibles caminos erróneos:

( )∑∑∞

=

∞

=≤≤

freefree ddcbd

ddd dRQadPaPe γ2)(

en donde ad es el número de caminos con distancia d en el Trellis. Esta expresión será una cota

superior de la probabilidad de error, ya que en general, se producirán superposiciones entre los

distintos caminos.

Sabiendo que 2

2

21)(

x

exQ−

< podemos poner:

cRb

cRbfreefree

cbeD

eDdd

dd

dd

dRd DTDaeaPe γ

γ

γ−

−=

=

∞

=

∞

=

− ≤≤≤ ∑∑ )(21

21

21

Esta expresión nos proporciona la probabilidad de error en la palabra código. Un valor más

interesante de obtener es la probabilidad de error por bit de información.

1.4.2 PROBABILIDAD DE ERROR POR BIT DE INFORMACIÓN

Como estamos comparando la secuencia detectada con la secuencia todo ceros, la secuencia de

información correcta será la secuencia todo ceros, y se producirá un error cuando se decodifique un

“1”. La probabilidad de error asociada a un camino dado con distancia de Hamming ‘d’ al camino

1-22

de todo ceros se puede calcular como )()·( dPdf , siendo f(d) el número de “1”’s en el camino con

distancia “d”, y por tanto el número de bits de información incorrectamente decodificados, y

dRQdP cbγ2)( = es la probabilidad de encontrarnos en un camino erróneo con distancia de

Hamming d.

Sumando para todos los caminos erróneos posibles, obtendremos la probabilidad de error por bit

de información:

∑∞

=≤

freedddb dPdfaP )()(

La función de transferencia T(D,N) nos dice cuántos “1”s de información hay en una determinada

secuencia con distancia al camino nulo d:

∑∞

==

freedd

dfdd NDaNDT )(),(

en donde f(d) es el exponente de N en función de “d”. Derivando la función de transferencia y

evaluando el resultado en N=1:

∑∞

=

−=freedd

dfdd NdfDa

dNNDdT 1)()(),(

∑ ∑∞

=

∞

==

==free freedd dd

dd

dd

NDdfDa

dN

NDdTβ)(

),(

1 con )(dfadd =β

cRbfreefree free

cb

free eDdd

dd

dd dd

dRdd

dddb DedPdPdfaP

γ

βββ γ

−=

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=∑∑ ∑∑ =≤=≤

21·)()()(

cRbeDNb dN

NDdTPγ−==

≤,1

),(

1.4.3 PROBABILIDAD DE ERROR PARA DECODIFICACIÓN MEDIANTE DECISIONES DURAS

El procedimiento seguido es similar al anterior, pero en este caso la métrica utilizada es la distancia

de Hamming. Para la probabilidad de camino erróneo se obtiene:

1-23

( ) 2)1(4)( dppdP −≤ y para la probabilidad de error Pe en la secuencia decodificada se obtiene:

[ ] )1(42 )()1(4 ppD

dd

dde DTppaP

free−=

∞

==−≤ ∑

La probabilidad de error por bit de información:

∑∞

= −==≤≤

freedd ppDNdb dN

NDdTdPP)1(4,1

),()(β

1.4.4 GANANCIA DE CODIFICACIÓN

Se define como la diferencia en dB en γb necesaria para obtener la misma Pe con y sin codificación.

Comparando las expresiones obtenidas para las probabilidades de error con y sin codificación:

Para PSK sin codificación )2( be QP γ=

Con codificación, en el mejor de los casos: )2( cfreebc

e RdQP γ=

Y la ganancia de codificación Asintótica (ya que expresa la máxima mejora):

)log(10 cfreec RdG =

1.4.5 OTROS EFECTOS A CONSIDERAR

Si en la transmisión se desea retardo de codificación fijo, el camino va a ser truncado a una

determinada longitud. Esto deteriora el comportamiento del algoritmo.

Por otro lado, la cuantificación de los valores obtenidos del demodulador (datos de entrada al

decodificador de Viterbi) introducirá también degradación en el comportamiento del sistema:

1.5 MODULACIÓN CODIFICADA PARA CANALES LIMITADOS EN BANDA

El control de errores por codificación implica un incremento del ancho de banda a cambio de una

reducción en la relación S/N requerida (Ganancia de Codificación Gc). El ancho de banda se

incrementa (a igualdad de sistema de modulación) por un factor de 1/Rc.

1-24

Desde otro punto de vista, Ungerboeck (1982) razonaba que el conjunto de símbolos del

modulador podría ser ampliado (con respecto al utilizado sin codificación), manteniendo la

dimensionalidad por bit de información. Por ejemplo, supongamos que usamos un sistema que

empleando una modulación (sin codificación) PSK-4 (QPSK) consigue R/W=2 bits/seg/Hz para

una probabilidad de error Pb = 10-6. Para esta probabilidad de error la relación S/N por bit es γb

=10,5 dB. Podemos intentar reducir la relación S/N necesaria utilizando señales codificadas pero

sin que aumente el ancho de banda. Si elegimos un código con Rc = 2/3, debe ser acompañado de

un incremento en el número de símbolos, es decir, pasamos de 4 símbolos (2 bits/símbolo) a 8

símbolos (3 bits/símbolo). Este incremento en el número de símbolos requiere un aumento en γb

de aproximadamente 4dB para mantener la Pb. Por tanto, para proporcionar un beneficio, la

ganancia de codificación debe proporcionar esos 4dB.

Si los procesos de modulación y codificación se realizan por separado, se requieren códigos muy

potentes, con L grande. Pero si la modulación es parte integral del proceso de codificación, y se

diseña conjuntamente con el código para incrementar la distancia Euclídea mínima entre pares de

señales codificadas, se alcanzan altos valores de ganancia de codificación. La clave es diseñar

métodos efectivos para mapear los bits codificados de la señal de manera que se maximice la

mínima distancia Euclídea entre los símbolos.

1.5.1 PARTICIÓN DE CONJUNTOS

Desarrollaremos este apartado utilizando algunos ejemplos.

Ejemplo 1.- Partición de la constelación 8-PSK

Consideremos una constelación 8-PSK como la de la figura Fig. 5. 15. Particionamos la

constelación en subconjuntos en los cuales se incrementa sucesivamente la distancia Euclídea

mínima entre símbolos. En el espacio de las 8 señales los puntos están situados sobre un círculo de

radio E y tienen una distancia mínima de:

EEd 765.08

sin20 ==π

. Ed 585.020 =

En la primera partición, los 8 puntos se subdividen en 2 subconjuntos de 4 puntos cada uno, de

forma que la mínima distancia crece hasta:

EdEd 22 211 ==

1-25

En la siguiente partición, en la que obtenemos 4 subconjuntos de dos puntos cada uno, la mínima

distancia Euclídea aumenta a

EdEd 42 222 ==

La secuencia de bits asignada a las ramas izquierda y derecha produce etiquetas de 3 bits para los

puntos de la constelación. La asignación de bits no es importante hasta el momento de construir el

codificador. Podemos ver la partición en la figura Fig. 5. 15.

Fig. 5. 15. Partición de la constelación PSK-8

1-26

Ejemplo 2.- Partición de la constelación 16-QAM

La estructura genérica de esta constelación se conoce como Lattice Z2. En la figura Fig. 5.16. se

muestra la constelación rectangular de 16 puntos. En primer lugar se divide en dos subconjuntos

asignando puntos alternados a cada uno de ellos. La distancia entre puntos de cada subconjunto se

va incrementando por 2 en cada partición, es decir, la distancia al cuadrado di2 se incrementa por

2.

EEEEdi 3216842 →→→

EEEEdi 244222 →→→

Fig. 5.16. Partición de una constelación 16-QAM

En estos dos ejemplos se ha realizado una partición hasta el límite, donde cada subconjunto

contiene sólo un punto. En general esto puede no ser necesario. El grado en que se particiona la

señal depende de las características del código. En general, el proceso de codificación se lleva a

cabo como muestra la figura Fig. 5. 17. .

1-27

Fig. 5. 17. Estructura general de un modulador/codificador combinado.

Un grupo de m =k1 + k2 bits se separa en dos grupos de k1 y k2 bits. Los k1 bits se codifican en n

bits y los k2 restantes se dejan sin codificar. Los n bits codificados se usan para seleccionar uno de

los 2n posibles subconjuntos en las particiones, mientras que los otros k2 bits se utilizan para

seleccionar uno de los 22k puntos de la señal en cada subconjunto. Si k2 = 0 los m bits de

información se codifican.

1.5.2 MODULACIÓN CODIFICADA TRELLIS

Consideremos el codificador de la figura Fig. 5. 18. El convolucionador tiene el diagrama de Trellis

de la figura Fig. 5.19. Este Trellis sólo considera los bits de salida codificados c1 y c2. Para

considerar también el bit no codificado c3, en cada rama encontramos dos posibles caminos entre

dos estados, generados por la entrada k2 (bit c3). Así se obtienen las ramas dobles que se muestran

en el trellis final de la figura Fig. 5. 20..

Fig. 5. 18. Codificador convolucional 2/3

c1

c2 c3

k1

k2

1-28

00

10

01

11

0/00

1/11

0/11

1/00

0/01

1/10

0/10

1/01

00

10

01

11

0/00

1/11

0/11

1/00

0/01

1/10

0/10

1/01

Fig. 5.19. Trellis de 4 estados correspondiente al codificador de la figura Fig. 5. 18. considerando

únicamente la entrada k1 y los bits codificados c1 yc2

00

10

01

11

0/000

0/001

1/1101/111

0/110

0/111

1/000

1/001

0/0100/011

1/100

1/100

0/100 0/101

1/0101/011

00

10

01

11

0/000

0/001

1/1101/111

0/110

0/111

1/000

1/001

0/0100/011

1/100

1/100

0/100 0/101

1/0101/011

Fig. 5. 20. Trellis de 4 estados correspondiente al codificador de la figura Fig. 5. 18.

En este caso, k1=1 y k2=1. Los n=2 bits codificados se utilizarán para seleccionar uno de los 4

subconjuntos C0, C1, C2, C3 de las particiones de la constelación 8-PSK de la figura Fig. 5. 15.

Cada uno de estos subconjuntos contiene 2 puntos de la constelación. El mapeo de bits para este

caso se realiza como se muestra en la figura Fig. 5.21.

1-29

000

001

110111

010

011

100

101

000

001

110111

010

011

100

101

Fig. 5.21. Mapeo correspondiente al Trellis de la figura Fig. 5. 20.

Para comprender el mapeo realizado, vamos a calcular la ganancia obtenida a través de esta

modulación codificada.

Con el mapeo descrito, el trellis podemos representarlo como en la figura Fig. 5. 22.

00

10

01

11

C1

C3

C3

C1

C2

C0

C0

C2

00

10

01

11

C1

C3

C3

C1

C2

C0

C0

C2

Fig. 5. 22. Trellis de cuatro estados de la Fig. 5. 20.con el mapeo de bits de la figura Fig. 5.21.

Cada uno de los subconjuntos Ci contienen dos puntos de la constelación: C1=(0,1), C3=(6,7)

C2=(2,3) y C0=(4,5) (expresados en octal). Los dos puntos dentro de un subconjunto están

separados por una distancia Ed 22 = . En cada transición entre estados encontramos por tanto

dos caminos paralelos, correspondientes a los dos puntos de la constelación del subconjunto Ci,

con distancia Euclídea entre ellos de Ed 22 = .

Con objeto de calcular la ganancia de codificación del sistema, analizamos los caminos que salen de

un estado y vuelven al mismo estado (Fig. 5. 23.) . Encontramos:

-caminos que van por las ramas paralelas, para los cuales la distancia Euclídea es siempre

Ed 22 =

1-30

- caminos de longitud 3, cuya distancia al camino nulo vale:

20

22

21

20

2131

212

231

22 ),(),(),( dddddCCdCCdCCdd +=++=++=

Por tanto, la mínima distancia al camino nulo será Ed 22 = . Esta distancia mínima en el código

trellis se denomina Distancia Euclídea Libre, Dfed.

00

10

01

11

C1

C3

C3

C1

C2

C0

C0

C2

C2

C1 C1

C3

00

10

01

11

C1

C3

C3

C1

C2

C0

C0

C2

00

10

01

11

C1

C3

C3

C1

C2

C0

C0

C2

C2

C1 C1

C3

Fig. 5. 23. Caminos en el trellis de 4 estados.

Para realizar una comparación, utilizamos como referencia una modulación 4-PSK (ya que tenemos

dos bits de entrada, necesitaremos una modulación con M=4 niveles). En 4-PSK sin codificación,

emplearemos cualquiera de los subconjuntos B0 o B1 de la figura Fig. 5. 15. A esta modulación, le

correspondería un diagrama trivial de un Trellis con un único estado y 4 ramas en paralelo de

transición entre estados, en las cuales se emitirían los simbolos D0, D2, D4 D6 (o bien D1, D3, D5

y D7) (ver Fig. 5. 24. ).

D0

D2

D4

D6

D0

D2

D4

D6

Fig. 5. 24. Trellis de un estado correspondiente a una modulación 4-PSK sin codificar.

La distancia mínima en este caso sería Ed 21 = .

Por lo tanto la ganancia lograda con la codificación será de dBEE 3

22log20 =

1-31

El código Trellis de 4 estados que hemos utilizado en nuestro ejemplo es óptimo porque

proporciona la máxima Distancia Euclídea libre. Pueden construirse muchos otros códigos trellis de

4 estados, pero ninguna otra configuración de 4 estados proporciona una Dfed mejor que la

estudiada.

La construcción del código Trellis de 4 estados óptimo para los 8 puntos de la constelación se ha

realizado siguiendo las siguientes reglas heurísticas:

a) Las transiciones paralelas, cuando ocurren, se asignan a los puntos de la constelación

separados por la máxima distancia euclídea.

b) A la transición que se origina y termina en un estado dado, se le asignan los subconjuntos

(C0, C2) ó (C1, C3), que tienen máxima distancia Ed 21 = .

c) Los puntos de la constelación deben ocurrir con igual frecuencia.

Las reglas a) y b) garantizan que la distancia euclídea asociada a caminos simples y múltiples que

divergen de un estado y vuelven al mismo estado supera la distancia euclídea de 4-PSK sin

codificación. La regla c) garantiza que el código trellis tendrá una estructura regular.

En el código trellis de 4 estados estudiado la las transiciones paralelas están separadas la distancia

euclídea Ed 21 = , que es además Dfed. Por tanto, la ganancia de codificación de 3 dB está

limitada por la distancia de las transiciones paralelas. Se pueden conseguir ganancias mayores

utilizando códigos trellis con más estados, que permiten eliminar las transciones paralelas.

Por ejemplo, en la figura Fig. 5. 25. se muestra un código para la constelación 8-PSK. En este caso,

la distancia euclídea mínima es:

EddDDdDDdDDdD fed 585.42),(),(),( 20

2102

205

206

22 =+=++=

que cuando se compara con 4PSK sin codificar representa una ganancia de 3.6dB.

1-32

Fig. 5. 25. Trellis 8PSK 8 estados

Podemos estimar la probabilidad de error utilizando el procedimiento utilizado para el cálculo en

los códigos convolucionales: calculamos la probabilidad de elegir un camino erróneo y sumamos

para todos los posibles caminos erróneos. Si la relación SNR del sistema es suficientemente alta,

esta probabilidad estará dominada por los caminos que tengan distancia Dfed:

1-33

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

η2

2fed

fedeD

QNP

en donde Nfed es el número de secuencias con distancia Dfed que se separan de un estado y vuelven

al mismo.

Además de las modulaciones PSK codificadas trellis vistas aquí, se han desarrollando potentes

códigos para modulaciones PAM y QAM.

1.6 EJERCICIOS

1.6.1 PROBLEMA 1

Un canal con interferencia entre símbolos puede verse como una secuencia generada por registros

de desplazamiento. Suponga un canal con una respuesta como la mostrada en la figura 1,

introduciendo por tanto interferencia entre símbolos. Suponemos entradas binarias (Ak=0,1) de

forma que tenemos dos estados, correspondientes a los dos posibles valores de Ak-1.

Z-1

+

+

Ak

1 0.5

sk

nk

yk

Z-1

+

+

Ak

1 0.5

sk

nk

yk

a) Dibuja el diagrama de estados correspondiente. Etiqueta los arcos (las flechas de transiciones entre estados) indicando el valor de la entrada Ak y el valor correspondiente de la salida Sk.

b) Dibuja el diagrama de Trellis asociado. c) Tomando como métrica la distancia Euclídea |yk-sk|2 emplea el algoritmo de Viterbi para

calcular la secuencia detectada si los datos recibidos son yk=(0.2, 0.6, 0.9, 0.1). d) Compara el resultado anterior con la decisión de un detector por umbral. Comenta los

resultados.

1.6.2 PROBLEMA 2

Considere el codificador convolucional 1/2 de la figura:

1-34

c1

c2

k1

c1

c2

k1

a) ¿Cuál es su longitud restringida L?

b) Dibuje el diagrama de estados

c) Dibuje el diagrama de Trellis

d) Cuanto vale la distancia libre del código dfree?

e) Suponga que el codificador genera la secuencia todo ceros y ésta se transmite a través de un canal

binario simétrico, y se recibe la secuencia 0100010000 ...es decir, se producen errores en la

transmisión. Demuestre empleando el algoritmo de Viterbi que el código es capaz de corregir

dichos errores.

f) Suponiendo de nuevo la transmisión de la secuencia todo ceros, ¿cuantos errores ‘próximos’ es

capaz de corregir este codificador? Justifique su respuesta.

1.6.3 PROBLEMA 3

La figura muestra un convolucionador binario de dos etapas.

a) Dibuja el el árbol, el diagrama de Trellis y el diagrama de estados que le corresponden. b) Calcula la función de transferencia T(D, N, J). Explica cómo lo haces. c) ¿A partir del resultado anterior, cuál es la distancia libre del código? ¿Qué más información

puedes extraer de dicha función de transferencia?

1-35

1.7 BIBLIOGRAFÍA

John G. Proakis, “Digital Communications”, McGraw-Hill, 3rd ed., 1995

A. J. Viterbi, “Error Bounds for Convolutional Codes and an Asymptotically Optimum Decoding

Algorithm”, IEEE Trans. On Information Theory, IT-13, pp. 260-269 (April 1967)

Ungerboeck, G. (1982) “Channel Coding with Multilevel/Phase Signals” IEEE Trans. On

Information Theory, Vol I.T.28, pp. 55-67, (January 1982).

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Procesado Digital de la Señal en Comunicacionesaholab.ehu.es/users/inma/psc/PSC20102011.pdf · 1.4 LAZOS ENGANCHADOS EN FASE. (PLL’S) Para llevar a cabo la demodulación de la