Procesamiento digital de señales

Semana 1. Introducción (segunda parte)

Dra. María del Pilar Gómez Gil

Otoño 2017

Coordinación de computación

INAOE Versión: 28 de Agosto 2017

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Tema Estadística,

probabilidad y ruido (tarea: leer el capítulo 2 del libro de texto)

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Puntos importantes

O Definiciones de:

O Señal discreta y continua

O Dominios de tiempo, frecuencia y espacio

O Media, varianza y desviación estándar

O Estadística, probabilidad, error estadístico

O Histograma

O PMF (probability mass function) y Pdf (probability density function)

O Distribución Gaussiana

O Números al azar y ruido digital

O Precisión y Exactitud

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Señal

O Cualquier cantidad física que varía con el tiempo, espacio o cualquier otra u otras variables independientes

O Una señal continua está definida en cualquier punto.

O Una señal discreta solo está definida en valores determinados.

O A su vez, los valores de señales continuas o discretas pueden ser continuos o discretos

O Para poder manejarse en una computadora digital, las señales tienen que representarse en forma discreta, lo que se hace a través de un proceso llamado “cuantificar” (quantize)

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Ejemplo de señal continua y discreta

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https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-a-

discrete-and-digital-signal

Ejemplos

O 𝑠 𝑡 = 2𝑡 (señal continua)

O 𝑠 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑦3 (señal continua)

O 𝑥 𝑛 =0. 8𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 00 𝑠𝑖 𝑛𝑜

(señal discreta)

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Señales uniformes y no uniformes

O Si la señal tiene una forma uniforme (ejemplo

una función seno) se puede identificar

simplemente con su amplitud entre el punto mal

alto y el mas bajo (peak-to-peak amplitude

O Si la señal no es uniforme se requiere de otras

medidas, como la desviación estándar y el error

cuadrático medio.

O En electrónica, la media se identifica como DC

(corriente directa) y sus fluctuaciones se

designan como AC (corriente alterna).

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Media (representa la

corriente directa, o DC)

Varianza

(representa la

potencia de la

fluctuación)

Desviación estándar

(mide la porción AC de

la señal)

Media, varianza y desviación estándar

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𝜎 = 𝜎2

𝜇 =1

𝑁 𝑥𝑖

𝑁−1

𝑖=0

𝜎2 =1

𝑁 − 1 (𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑁−1

𝑖=0

Nótese que

la sumatoria

va de 0 a N-1

Valor cuadrático medio (Root mean square ó RMS)

O La desviación estándar (σ) sólo mide la potencia de una fluctuación.

O El valor cuadrático medio (rms) mide tanto la parte AC como DC.

O Si una señal no tiene un componente DC, su valor rms es igual a la desviación estándar

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N

i

irms xN

x

1

21

Calculando la desviación estandar dinámicamente

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(Smith, 1999)

Razón señal a ruido (SNR) y coeficiente de variación (CV) O SNR= media/deviación estándar

O CV = (desviación estándar/media)*100

O Se busca que las señales tengan una SNR

alta o CV bajo

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Señales y procesos

O La estadística interpreta datos, la

probabilidad estudia el comportamiento de

los procesos que pudieron generar esos

datos (la probabilidad es teórica, la

estadística trabajo con datos reales)

O La irregularidad aleatoria que se encuentra

en datos reales se llama variación

estadística, ruido estadístico o fluctuación

estadística.

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Error típico

O El error generado al calcular la media de un

proceso usando un conjunto finito de

mediciones es:

O En probabilidad, la “ley de los grandes

números” establece que este error es cero

si el número de ejemplos es infinito

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NoerrorTipic

2/1

Procesos no estacionarios

O Son a aquellos que cambian sus

características (estadística) con el tiempo;

dicho cambio no se debe a ruido sino al

proceso en sí mismo

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Histograma

O Número de ejemplos en una señal que

tienen un valor determinado, o están en un

rango determinado

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 15 (Smith, 1999)

Cálculo de la media y desviación estándar usando el histograma

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(Smith, 1999)

Función de distribución de probabilidad discreta y función de densidad

probabilística

O Un histograma es el resultado de una señal

adquirida, mientras que su equivalente en

un proceso es una función de distribución

de probabilidad, la cual se define

teóricamente.

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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 18 (Smith, 1999)

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O La función de distribución de probabilidad de una señal de ruido aleatorio es una función Gaussiana

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Binning

O Cuando el número de posibles valores en un

histograma es grande, estos se agrupan en

rangos o intervalos, llamados “bins”

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Distribución normal o Gaussiana

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Distribución normal o Gaussiana (cont.)

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Función de distribución acumulada (cdf)

O Es la integral de una pdf

O Para el caso de distribuciones Gaussianas, se calcula

numéricamente y se representa como (x)

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Generación de ruido digital

O El ruido digital es útil para probar equipo y algoritmos, por ejemplo: que tan pequeña puede ser una señal medida, cuanta radiación se necesita para construir un aparato de rayos X o la distancia a la que se puede comunicar un radio

O Está basado en la generación de números al azar

O Los lenguajes contienen instrucciones para generarse, normalmente entre 0 y 1, con distribución uniforme

O Debido a que los lenguajes usan una semilla para generar números, realmente no se habla de números rándom sino pseudo-random

O La semilla permite generar exactamente los mismos valores cada vez que se ejecuta un programa

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 26

Ejemplo usando RND de BASIC (Smith, 1999)

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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)

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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 29

Teorema del límite central

O La suma de números generados al azar se

acerca a una distribución normal a medida

de que se van añadiendo números.

O La distribución de los números generados

no afecta, ni el hecho de que tengan

diferentes distribuciones.

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Otra manera de generar números al azar con distribución normal, =0 y

σ=1

O Para generar números con distribución y σ

arbitrarios: σ *X +

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(Smith, 1999)

Precisión y Exactitud

O Estos términos se usan muchas veces como sinónimos, pero no son lo mismo.

O Ambos describen la relación entre el valor verdadero y el valor encontrado por algún método.

O Exactitud (Accuracy): muestra la diferencia entre el valor verdadero y la media de los datos generados por el proceso en cuestión.

O Precisión (Precision): es la dispersión de los valores generados. Se especifica con la desviación estándar, la relación señal a ruido (SNR) o el coeficiente de variación (CV)

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Precisión y Exactitud (cont.)

(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 33

Smith, 1999)