Proceso de Admisión 2019 - CINVESTAV · Estructuras de Datos Estructuras de Datos Lineales Lista Enlazada Simple Estructura de datos conformada por una colección de elementos con-tiguos

Proceso de Admisión 2019

Curso de Programación Básica

Dr. Edwyn Javier Aldana Bobadilla

Temas:

1. Estructuras de datos

1.1 Uso y manejo de memoria: apuntadores en C

1.2 Variables y tipos de datos

1.3 Estructuras/Registros

1.4 Principales operaciones

1/64 Tipos de Datos Abstractos y Estructuras Junio 2019

Tipo de Dato Abstracto (TDA)

En esta sección se revisará formalmente el concepto de Tipo de Dato

Abstracto (TDA) el cual es uno de los elementos fundamentales

en las ciencias de computación y programación. Posteriormente se

presentará una revisión de las estructuras de datos más comunes

modeladas y de�nidas en términos de TDAs. Los estudiantes deberán

realizar algunas implementaciones de dichas estructuras.



Preliminares

• Las computadoras procesan cadenas conformadas por 1s y 0s,

las cuales representan datos e instrucciones para ser ejecutadas

por un microprocesador.

• En los inicios de la computación, los problemas eran

planteados a la computadora a través de esta representación.

• La complejidad de problemas generó la necesidad de crear

mecanismos que incorporaran representaciones más cercanas al

lenguaje natural (lenguajes de programación).



Preliminares











Preliminares











Preliminares

• Un lenguaje de programación especifíca la forma en que los

datos y las instrucciones deben ser especi�cados(gramática del

lenguaje).

• La especi�cación de los datos de�ne lo que se denomina tipo

de dato, que no es más que la forma en la que cadena binaria

que representa un dato debe ser interpretada.

• Una interpretación básica podría ser un número real, entero o

un caractér.

• Esta interpretación se conoce como tipo de dato primitivo.



Preliminares



lenguaje).





un caractér.




Preliminares



lenguaje).





un caractér.




Preliminares



lenguaje).





un caractér.




Preliminares

• Es posible de�nir tipos de dato más complejos a través de un

Tipo Abstracto de Dato (TDA).

• El término abstracción se re�ere a que dicha de�nición es una

simpli�cación de la realidad que considera solamente las

propiedades y aspectos funcionales más importantes del tipo

de dato requerido.

• Un TDA especi�ca los posibles valores y las operaciones del

tipo de dato a ser de�nido.

• La especi�cación de un TDA es invariante a detalles de

implementación propios del lenguaje de programación.



Preliminares






de dato requerido.







Preliminares






de dato requerido.







Preliminares






de dato requerido.







Especi�cación formal de un TDA

La especi�cación de un TDA describe los posibles valores y las opera-

ciones asociadas al tipo. Si bien no existe una notación estandarizada,

aqui se utilizará la siguiente notación.




TDA_<name>(values:<domain>;operations: < op1, op2, ..., opn >)Sintaxis:

Especi�cación de las operaciones<operation-name> (<argumentos>) =⇒<Tipo Resultado>

Semántica:Expresiones de casos base<operation-name> (<valores particulares>) =⇒< Resultado>




La especi�cación de un TDA describe los posibles valores y las opera-

ciones asociadas al tipo. Si bien no existe una notación estandarizada,

aqui se utilizará la siguiente notación.




TDA_Boolean(values:{True, False};operations:Not,And,Or, Implication, Iff)

Sintaxis:∗True =⇒ Boolean∗False =⇒ BooleanNot(Boolean) =⇒ BooleanAnd(Boolean,Boolean) =⇒ BooleanOr(Boolean,Boolean) =⇒ BooleanImplication(Boolean,Boolean) =⇒ BooleanI�(Boolean,Boolean) =⇒ Boolean




Semántica:∀e de tipo BooleanNot(True) =⇒ FalseNot(False) =⇒ TrueAnd(e, T rue) =⇒ eAnd(e, False) =⇒ FalseOr(e, T rue) =⇒ TrueOr(e, False) =⇒ eImplication(True, e) =⇒ eImplication(False, e) =⇒ TrueI�(True, True) =⇒ TrueI�(False, False) =⇒ FalseI�(True, False) =⇒ FalseI�(False, True) =⇒ False




Ejercicio: Realizar la implementación del TDA Boolean utilizando

lenguaje C




Ejercicio: De�nir un TDA para números enteros. Dado el TDA reali-

zar la implementación usando el lenguaje C. Con dicha implementa-

ción, veri�car las sentencias de�nidas en la semántica.




TDA_Integer(values: Set of integer numbers Zoperations:Zero, Successor, Predecessor, Sum,Diff, Product)

Sintaxis:∗Zero =⇒ Integer∗Successor(Integer) =⇒ Integer∗Predecessor(Integer) =⇒ IntegerSum(Integer, Integer) =⇒ IntegerDi�(Integer, Integer) =⇒ IntegerProduct(Integer, Integer) =⇒ Integer

Semántica:∀m,n ∈ ZSuccesor(Predecessor(n)) =⇒ nPredecessor(Successor(n)) =⇒ nSum(n,Zero) =⇒ nSum(n, Succesor(m)) =⇒ Succesor(Sum(n,m))Sum(n, Predecessor(m)) =⇒ Predecessor(Sum(n,m))Di�(n,Zero) =⇒ nDi�(n, Succesor(m)) =⇒ Predecessor(Diff(n,m))Di�(n, Predecessor(m)) =⇒ Succesor(Diff(n,m))Product(n,Zero) =⇒ ZeroProduct(n, Succesor(m)) =⇒ Suma(Product(n,m), n)Product(n, Predecessor(m)) =⇒ Diff(Product(n,m), n)


Estructuras de Datos

Una estructura de datos de�ne de manera abstracta la forma en

que los datos deben ser organizados con el propósito de almacenar-

los, consultarlos y modi�carlos de manera e�ciente. Tal de�nición

es posible en los términos de un TDA. La implementación de di-

cho TDA, determinará la forma física (dependiendo el lenguaje de

programación) en que la estructura será almacenada en memoria.

En las siguientes secciones se revisaran las estructuras de datos más

utlizadas en el contexto de la programación las cuales se han sub-

dividido en dos tipos: 1) Estructuras Lineales y 2) Estructuras

No-Lineales.



Estructuras de Datos Lineales

Se denominarán estructuras lineales a aquellas en las que sus ele-

mentos son colocados de manera contigua (al menos desde el punto

de vista lógico). Los arreglos, las listas y las pilas son representantes

de esta categoría.

Logotipo.




Lista Enlazada SimpleEstructura de datos conformada por una colección de elementos con-

tiguos denominados nodos. Un nodo es un registro conformado por

un campo de datos y un campo apuntador, el cual almacena la di-

rección del nodo sucesor o siguiente.

Figura 1: Ilustración de un nodo




• Existe un nodo especial o nodo base denominado head a

través del cual se pueden agregar nodos y tener acceso a estos.

• El nodo head no contiene datos, solo contiene la dirección al

primer nodo o elemento de la lista.

• Cuando la lista está vacia solo existirá el nodo head

apuntando a una dirección vacia o nula (denotada como NIL).

• Si existe uno o más nodos el nodo head apuntará al primer

elemento o nodo de la lista.

• El nodo terminal de la lista siempre apuntará a una dirección

de memoria vacia (NIL).
























































Una lista enlazada simple es una colección de nodos interconecta-

dos mendiate apuntadores unidireccionales tal como se ilustra en la

Figura 2.

Figura 2: Tres posibles estados de una lista de enlace simple




A continuación se especi�ca formalmente una lista de enlace simplea través del TDA SingleLinkedList.

TDA_SingleLinkedList(values: Set of integer numbers Zoperations: Create, Push,AddIn, Pop,RemoveIn, Print)

Sintaxis:∗Create =⇒ SingleLinkedListPush(SingleLinkedList, Integer) =⇒ SingleLinkedListAddIn(SingleLinkedList, Integer, Integer) =⇒ SingleLinkedListPop(SingleLinkedList) =⇒ SingleLinkedListRemoveIn(SingleLinkedList, Integer) =⇒ SingleLinkedListLength(SingleLinkedList) =⇒ Integer




Semántica: Let L = {Φ} be an empty single linked list. Let i, x, y, z be elements in ZPush(L, y) =⇒ L = {y}Push(L, x) =⇒ L = {x, y}AddIn(L, x,−1) =⇒ ErrorAddIn(L, z, 0) =⇒ L = {z, y, x}AddIn(L, x, 1) =⇒ L = {z, x, y, x}AddIn(L, y, Length(L)) =⇒ ErrorAddIn(L, y, Length(L)− 1) =⇒ L = {z, x, y, x, y}Pop(L) =⇒ L = {x, y, x, y}RemoveIn(L,−1) =⇒ ErrorRemoveIn(L, 0) =⇒ L = {y, x}Push(L, x) =⇒ L = {x, y, x}RemoveIn(L, x, 1) =⇒ L = {x, x}RemoveIn(L, y, Length(L)) =⇒ ErrorRemoveIn(L, y, Length(L)− 1) =⇒ L = {x}

Nótese que el TDA no se especifíca la estructura de los nodos de la lista. Esta de�niciónhace parte de la implementación.




Ejercicio: Dado el TDA para la lista de enlace simple, realizar la

implementación usando el lenguaje C. Con dicha implementación,

veri�car las sentencias de�nidas en la semántica.




Lista Enlazada DobleEs una colección de nodos contiguos en la que cada uno de estos al-

macena dos direcciones: 1) dirección al nodo siguiente y 2) dirección

al nodo anterior o precedente.

Figura 3: Ilustración de un nodo en una lista enlazada doble




Existen dos nodos especiales: head y tail que solo almacenan direc-

ciones de memoria. Cuando la lista esta vacia, estos nodos apuntaran

a NIL.

Figura 4: Ilustración de lista enlazada doble vacía




Cuando un nodo x va a ser adicionado, head deberá apuntar a dicho

nodo. Los apuntadores predecesor y sucesor del nodo x apuntarán

a una dirección vacía (NIL). Finalmente el apuntador tail deberá

apuntar a x.

Figura 5: Ilustración de lista enlazada doble con un elemento




Conceptualmente, una lista enlazada doble tendrá las mismas opera-

ciones que una lista enlazada simple, la diferencia está en la forma en

que dichas operaciones son implementadas debido a los apuntadores

que permiten a un nodo tener referencias en dos direcciones (prede-

cesor y sucesor). Formalmente una lista enlazada puede ser de�nida

en términos de un TDA como el que se muestra a continuación:




PilaLa pila es una estructura de datos en la cual se insertan o eliminan

elementos exclusivamente por uno de los extremos denominado tope.

En función a está restricción, su comportamiento se describe como

LIFO (Last In ,First Out).




Figura 6: Ilustración de una pila




Una pila puede ser implementada a través de arreglos en cuyo caso es

necesario limitar el máximo número de elementos que la pila podrá

almacenar (lo cual representa un desventaja). Otra opción es a través

de lista enlazadas que le permiten crecer de manera dinámica.




A continuación de presenta una especi�cación formal de la pila através del TDA Stack.

TDA_Stack(values: Objects of type Elementoperations: Create, IsEmpty, Push, Pop, Size,Get)

Sintaxis:∗Create =⇒ StackIsEmpty(Stack) =⇒ BooleanPush(Stack,Element) =⇒ StackPop(Stack) =⇒ ElementSize(Stack) =⇒ IntegerGet(Stack) =⇒ Element

Semántica: Let P = {Φ} be an empty stack. Let i, x, y, z be elementsPush(P, y) =⇒ P = {y}Push(P, x) =⇒ P = {x, y}Pop(P ) =⇒ P = {y}IsEmpty(Pop(P )) =⇒ TrueGet(P ) =⇒ ErrorSize(P ) =⇒ ZeroPush(P, y) =⇒ P = {y}Get(P ) =⇒ x




Ejercicio: Utilizando la implementación de la lista doblemente enla-

zada, realizar la implementación de la estructura de Pila basada en

el TDA Stack.




Expresiones Aritméticas yPilas

Las expresiones aritméticas pueden representarse en las siguientes

notaciones

• Notación In�ja: a+b

• Notación Post�ja: ab+

• Notación Pre�ja: +ab






notaciones









notaciones







Figura 7: Notaciones aritméticas




Para transformar una expresión de notación in�ja a post�ja se utilizauna pila y se recorren los elementos de la expresión considerando:

1. Si el elemento es el operador ( se ignora.

2. Si el elemento es el operador ) se saca el elemento top de la pila y se imprime enla salida.

3. Si el elemento e es un operando se imprime directamente como salida.

4. Si el elemento e es un operador y la pila está vacia se agrega dicho elemento ala pila.

5. Si el elemento e es un operador y la pila no esta está vacia se compara con eltop de la pila. Si top � e se saca top de la pila y se imprime en la salida, de locontrario e se agrega a la pila.

6. Si la pila no esta vacia, se sacan uno a uno sus elementos para imprimirlos en lasalida.




Para transformar una expresión de notación in�ja a pre�ja:

1. Se transforma la expresión in�ja a una expresión inversa (e.g.

A+B ∗ C −→ C ∗B +A). Cuando la expresión contiene

paréntesis '(' se tranforma en ')' y viceversa.

2. Obtener la expresión post�ja de la expresión inversa.

3. Invertir nuevamente la expresión resultante.




Ejercicio: Crear un programa que permita transformar un expresión

in�ja en post�ja. Utilizar la estructura de pila implementada en ejer-

cicios anteriores.




Cola• Una cola se puede de�nir como una colección de elementos en la que se

introducen elementos por un extremo y se eliminan por el otro. Debido al ordencon el cual se insertan o eliminan estos elementos el comportamiento de unacola se conoce como FIFO (First Input, First Output).

• Las operaciones importantes son: insertar elemento la cual típicamente seconoce como enqueue y eliminar conocido como dequeue. Para laimplementación de una cola se puede utilizar una lista simplemente enlazada.




Cola• Una cola se puede de�nir como una colección de elementos en la que se

introducen elementos por un extremo y se eliminan por el otro. Debido al ordencon el cual se insertan o eliminan estos elementos el comportamiento de unacola se conoce como FIFO (First Input, First Output).

• Las operaciones importantes son: insertar elemento la cual típicamente seconoce como enqueue y eliminar conocido como dequeue. Para laimplementación de una cola se puede utilizar una lista simplemente enlazada.




Ejercicio: De�nir el TDA denominado TDA_Queue con las ope-

raciones enqueue and dequeue. Utilizando la implementación de

la lista simplemente enlazada realizar la implementación para un

TDA_Queue.



Estructuras No-Lineales

Árboles• En general un árbol es una estructura de datos jerárquica compuesta por

elementos denominados nodos.

• El primer nodo de la jerarquía es llamado nodo raiz.• Desde el punto de vista conceptual los nodos se contectan entre sí por medio de

aristas que de�nen una relación de parentesco, dando lugar a términos comopadre, hijo, hermano, antecesor, sucesor, etc.

• Los nodos que no tienen descendencia se llaman nodos terminales u hojas.





elementos denominados nodos.• El primer nodo de la jerarquía es llamado nodo raiz.

• Desde el punto de vista conceptual los nodos se contectan entre sí por medio dearistas que de�nen una relación de parentesco, dando lugar a términos comopadre, hijo, hermano, antecesor, sucesor, etc.






elementos denominados nodos.• El primer nodo de la jerarquía es llamado nodo raiz.• Desde el punto de vista conceptual los nodos se contectan entre sí por medio de







elementos denominados nodos.• El primer nodo de la jerarquía es llamado nodo raiz.• Desde el punto de vista conceptual los nodos se contectan entre sí por medio de






Árboles binarios• Existe un tipo particular de arból denominado árbol binario en el cual todos su

nodos tienen dos hijos como máximo.

• Una de las operaciones más importantes es el recorrido, el cual consiste envisitar cada nodo de forma sistemática. Existen tres tipos de recorrido:

• Preorden: Consiste en visitar la raiz, recorrer en preorden (recursivamente) elsubárbol izquierdo y recorrer en preorden el subárbol derecho (raiz, izq, der).

• Inorden: Recorrer el subárbol izquierdo, visitar la raiz y recorrer el subárbolderecho. Los recorridos de los subárboles (izquierdo y derecho) se realizanrecursivamente siguiendo el recorrido mencionado (izq, raiz, der).

• Postorden: Recorrer el subárbol izquierdo, recorrer el subárbol derecho y visitarla raiz . Los recorridos de los subárboles (izquierdo y derecho) se realizanrecursivamente siguiendo el recorrido mencionado (izq, der, raiz).





nodos tienen dos hijos como máximo.• Una de las operaciones más importantes es el recorrido, el cual consiste en

visitar cada nodo de forma sistemática. Existen tres tipos de recorrido:

• Preorden: Consiste en visitar la raiz, recorrer en preorden (recursivamente) elsubárbol izquierdo y recorrer en preorden el subárbol derecho (raiz, izq, der).








visitar cada nodo de forma sistemática. Existen tres tipos de recorrido:• Preorden: Consiste en visitar la raiz, recorrer en preorden (recursivamente) el

subárbol izquierdo y recorrer en preorden el subárbol derecho (raiz, izq, der).









subárbol izquierdo y recorrer en preorden el subárbol derecho (raiz, izq, der).• Inorden: Recorrer el subárbol izquierdo, visitar la raiz y recorrer el subárbol

derecho. Los recorridos de los subárboles (izquierdo y derecho) se realizanrecursivamente siguiendo el recorrido mencionado (izq, raiz, der).








subárbol izquierdo y recorrer en preorden el subárbol derecho (raiz, izq, der).• Inorden: Recorrer el subárbol izquierdo, visitar la raiz y recorrer el subárbol

derecho. Los recorridos de los subárboles (izquierdo y derecho) se realizanrecursivamente siguiendo el recorrido mencionado (izq, raiz, der).





Ejercicio: Realizar los recorridos preorden, inorden y postorden del árbol de la Figura8a.

(a) Árbol binario de búsqueda




Ejercicio Crear el TDA_BinaryTree que permita de�nir un árbol binario con lassiguientes operaciones create, append, remove y print. La operación print deberá darla opción de mostrar el árbol en un recorrido seleccionado por el usuario (preorden,inorden, postorden). Con base en el TDA anterior realizar la implementación en C.




Árbol Binario de Búsqueda• Los árboles binarios de búsqueda se utilizan para almacenar y tener acceso

rápido a la información.

• Para todo nodo x en el árbol los valores de todos los nodos de su subárbolizquierdo son menores que el valor de x.

• Para todo nodo x los valores de todos los nodos de su subárbol derecho sonmayores que el valor de x.

• No se almacenan nodos con información repetida. Si la información del nodo aagregar se encuentra en el árbol simplemente no se agrega.





rápido a la información.• Para todo nodo x en el árbol los valores de todos los nodos de su subárbol

izquierdo son menores que el valor de x.

• Para todo nodo x los valores de todos los nodos de su subárbol derecho sonmayores que el valor de x.







izquierdo son menores que el valor de x.• Para todo nodo x los valores de todos los nodos de su subárbol derecho son

mayores que el valor de x.







izquierdo son menores que el valor de x.• Para todo nodo x los valores de todos los nodos de su subárbol derecho son

mayores que el valor de x.• No se almacenan nodos con información repetida. Si la información del nodo a

agregar se encuentra en el árbol simplemente no se agrega.




Figura 9: Árbol binario de búsqueda




Como operaciones básicas de un árbol binario se tienen:1. Buscar: Sea z un elemento para ser buscado en un árbol T . Para realizar una

búsqueda se compara z con el elemento del nodo raiz de T . Si z es menor, sesigue buscando únicamente dentro del subárbol izquierdo, en otro caso solo seconsiderará el subárbol derecho. Este proceso continúa hasta encontrar z ohasta alcanzar un nodo terminal sin haber tenido éxito en la búsqueda.

2. Insertar: Siempre el primer elemento se almacenará en la raiz del árbol. Parainsertar un elemento adicional en el árbol se debe determinar la posición que lecorresponde, a través del proceso de búsqueda. Si se encuentra el elemento, nose inserta y el proceso de inserción �naliza. En otro caso, se inserta a laizquierda o a la derecha del nodo terminal alcanzado, dependiendo si elelemento a agregar es mayor o menor.




Como operaciones básicas de un árbol binario se tienen:1. Buscar: Sea z un elemento para ser buscado en un árbol T . Para realizar una

búsqueda se compara z con el elemento del nodo raiz de T . Si z es menor, sesigue buscando únicamente dentro del subárbol izquierdo, en otro caso solo seconsiderará el subárbol derecho. Este proceso continúa hasta encontrar z ohasta alcanzar un nodo terminal sin haber tenido éxito en la búsqueda.

2. Insertar: Siempre el primer elemento se almacenará en la raiz del árbol. Parainsertar un elemento adicional en el árbol se debe determinar la posición que lecorresponde, a través del proceso de búsqueda. Si se encuentra el elemento, nose inserta y el proceso de inserción �naliza. En otro caso, se inserta a laizquierda o a la derecha del nodo terminal alcanzado, dependiendo si elelemento a agregar es mayor o menor.




3. Eliminar: Es la operación más complicada debido a que al eliminar un elemento

se debe garantizar el cumplimiento de la de�nición del árbol binario de

búsqueda. Para esto se deben considerar tres casos:

3.1 Si el nodo a eliminar es hoja o nodo terminal, simplemente se elimina y elapuntador a él se sustituye por un apuntador a NULL.

3.2 Si tiene solo un hijo, entonces el nodo a ser eliminado se sustituye pordicho hijo.

3.3 Si tiene dos descendientes, entonces se sustituye por el nodo que está mása la derecha de su subárbol izquierdo o por el que está más a la izquierdade su subárbol derecho.




Árboles AVLNo siempre resulta útil hacer búsquedas en un árbol binario ya que estas pueden serequivalentes a una búsqueda secuencial.

(a) (b)

Figura 10: Dos posibles instancias de un árbol binario de búsqueda46/64 Tipos de Datos Abstractos y Estructuras Junio 2019



Para evitar el caso ilustrado, surge un nuevo tipo de árbol binario

en el que ninguna rama crece más que otra para evitar con�gura-

ciones secuenciales. Este tipo de árboles son denominados árboles

balanceados o también árboles AVL (Adelson. Velskii, Landis)




Para describir este tipo de árboles es necesario precisar los siguientesconceptos:

1. Altura de un nodo: Es la longitud del camino que va desde el nodo hasta la hojamás lejana de sus descendientes.

2. Longitud de camino: Es la cantidad de aristas que se deben visitar para ir desdeel nodo x hasta el nodo y.




Para describir este tipo de árboles es necesario precisar los siguientesconceptos:

1. Altura de un nodo: Es la longitud del camino que va desde el nodo hasta la hojamás lejana de sus descendientes.

2. Longitud de camino: Es la cantidad de aristas que se deben visitar para ir desdeel nodo x hasta el nodo y.




Dado un árbol binario de búsqueda T con nodo raiz r, su altura

denotada como H(T ) puede ser expresada como:

H(T ) =

0 T = {r}

1 +max{H(Tizq), H(Tder)} otherwise(2.1)

donde H(Tizq) y H(Tder) son las alturas de los subárboles izquierdo

y derecho.




• Se dice que el árbol está equilibrado si la altura del hijo

izquierdo y la del hijo derecho de todos los nodos di�ere

cuando mucho en 1.

• Este valor se conoce como el factor de equilibrio (FE) y los

valores deseados son -1, 0 1.




• Se dice que el árbol está equilibrado si la altura del hijo

izquierdo y la del hijo derecho de todos los nodos di�ere

cuando mucho en 1.

• Este valor se conoce como el factor de equilibrio (FE) y los

valores deseados son -1, 0 1.




En la Figura se ilustra un árbol con la altura para cada uno de los

nodos, de donde se puede determinar que para el nodo 4, FE = 2

(la diferencia de sus subárboles 3− 1).

Figura 11: Altura en un árbol binario de búsqueda




De lo anterior se deduce que el árbol no está balanceado por lo cual

se tiene que realizar un reacomodo de los nodos como el que se ilustra

en la Figura 12b. Estos reacomodos se denominan rotaciones.

(a) (b)

Figura 12: Balanceo de un árbol binario de búsqueda52/64 Tipos de Datos Abstractos y Estructuras Junio 2019



Al insertar un nuevo nodo, existe la posibilidad de que este produzca un desequilibrioen un nodo X (FE = 2 o FE = −2). Esto plantea las siguientes situaciones:

(a) Subárbol izquierdodel hijo izquierdo deX

(b) Subárbol derechodel hijo derecho de X




(a) Subárbol derechodel hijo izquierdo de X

(b) Subárbol izquierdodel hijo derecho de X




Rotación II




Rotación II




Rotación II




Ejercicio: Para el siguiente árbol dibuje el árbol resultante después de eliminar el número5. Determine si el árbol es AVL, de no ser así realice las operaciones necesarias paraesta condición se cumpla.


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