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2Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Curso de Inducción
Módulo:
Algebra y Geometría
3Proceso de Admisión 2019
Contenido del módulo• En este módulo se revisarán estrategias de solución a problemas
dentro de los siguientes temas:
o Leyes de los exponentes y radicales
o Factorización y operaciones con polinomios
o Factorial y sus propiedades
o Logaritmos y sus propiedades
o Ecuaciones lineales
o Sistemas de ecuaciones lineales
o Ecuaciones cuadráticas
o Teorema de Pitágoras
o Curvas en el plano
4Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Leyes de los exponentes y
radicales
5Proceso de Admisión 2019
0𝑚 = 0 𝑠𝑖 𝑚 > 0
𝑎0 = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0
𝑝𝑛 𝑎 ± 𝑞 𝑛 𝑎 = (𝑝 ± 𝑞)𝑛 𝑎
𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎𝑚 ⋅ 𝑏𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚
𝑛𝑎. 𝑏 = 𝑛 𝑎.
𝑛𝑏
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑚
𝑏𝑚=
𝑎
𝑏
𝑚
𝑛 𝑎𝑛
𝑏=
𝑛 𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
1𝑛
𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑚𝑛 𝑛𝑧𝑎𝑚𝑧 =
𝑛𝑎𝑚
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎
𝑚𝑛
𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑎
𝑏
𝑛 −𝑎 = 𝑖 𝑎
6Proceso de Admisión 2019
Exponentes y radicales 𝑎 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ
Leyes de los exponentes:
1.- 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
2.-𝑎𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚; 𝑎 ≠ 0 (Esto si n>m)
3.-𝑎𝑛
𝑎𝑚 =1
𝑎(Esto si n<m)
4.- 𝑎0 = 1 (Excepto 𝑎 = 0)
5.- 𝑎−1 =1
𝑎𝑛 (Excepto 𝑎 ≠ 0)
6.- 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚
7.-𝑎
𝑏
𝑛=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 (Excepto 𝑏 ≠ 0)
1.- 32. 35 =
2.-35
34 =
3.-36
38 =
4.- 20 =
5.- 5−2 =
6.- 72 3 =
7.-3
5
2=
37
3
1
32
1
1
25
76
9
25
7Proceso de Admisión 2019
Productos que incluyen
multinomios
1.- (𝑏2. 𝑏2) =
2.- (𝑏5. 𝑏2) =
3.- 3𝑎2 2𝑎2 =
4.- 2𝑥3 4𝑥5 =
5.- 3𝑦3 2𝑦2 =
6.- 5𝑏1 4𝑏5 =
7.- 2𝑎3𝑏2 3𝑎4𝑏3 =
8.- 4𝑎3𝑏5 2𝑎2𝑏4 =
9.- 3𝑥7𝑦4 5𝑥2𝑦3 =
10.- 5𝑥2𝑦3 7𝑥𝑦4 =
11.- 2𝑎2𝑏3 3𝑎2𝑐 𝑏2𝑐3 =
𝑏4
𝑏7
6𝑎4
8𝑥8
6𝑦5
20𝑏6
6𝑎7𝑏5
8𝑎5𝑏9
15𝑥9𝑦7
35𝑥3𝑦7
6𝑎4𝑏5𝑐4
8Proceso de Admisión 2019
12.- 5𝑎2 3𝑏𝑐3 2𝑎𝑐2 =
13.- 2𝑥2𝑦3 3𝑥𝑧2 5𝑦 =
14.- 3𝑥2𝑦 2𝑥𝑧 4𝑦2𝑧 =
15.- 𝑥2 3 =
16.- 𝑦3 2 =
17.- 𝑎4 5 =
18.- 𝑎2 4 =
19.- 2𝑎2𝑏3 3 =
20.- 3𝑎3𝑏4 2 =
21.- 5𝑥3𝑦 4 =
22.- 4𝑥4𝑦3 4 =
30𝑎3𝑏𝑐5
30𝑥3𝑦4𝑧2
24𝑥3𝑦3𝑧2
𝑥6
𝑦6
𝑎20
𝑎8
8𝑎6𝑏9
9𝑎6𝑏8
625𝑥12𝑦4
256𝑥16𝑦12
9Proceso de Admisión 2019
Ejercicios
1.-𝑡9
𝑡6 =
2.-8𝑥8
2𝑥2 =
3.-9𝑥9
3𝑥3 =
4.-10𝑥10
5𝑥5 =
5.-6𝑥6
3𝑥3 =
6.-𝑎2𝑐3
𝑎𝑐2 =
7.-𝑎5𝑏9
𝑎3𝑏5 =
8.-𝑥6𝑦7
𝑥𝑦6 =
9.-𝑡5𝑤3
𝑡4𝑤2 =
10.-15𝑥2𝑦5𝑧7
5𝑥𝑦3𝑧4 =
11.-18𝑎9𝑏8𝑐3
6𝑎6𝑏5𝑐=
12.-24𝑎5𝑏7𝑐9
6𝑎𝑏6𝑐5 =
𝑡3
4𝑥6
3𝑥6
2𝑥5
2𝑥3
𝑎𝑐
𝑎2𝑏4
𝑥5𝑦
𝑡𝑤
3𝑥𝑦2𝑧3
3𝑎3𝑏3𝑐2
4𝑎4𝑏𝑐4
10Proceso de Admisión 2019
13.-24𝑎3𝑏7𝑐4
18𝑎2𝑏3𝑐2 =
14.-𝑥3
𝑦4
2
=
15.-3𝑥3
𝑦2
3
=
16.-2𝑥2
3𝑦3
4
=
17.-5𝑦
4𝑦2
3=
4
3𝑎𝑏4𝑐2
𝑥6
𝑦8
27𝑥9
𝑦6
16𝑥8
81𝑦12
125
64𝑦3
11Proceso de Admisión 2019
Expresa el resultado en forma simplificada, en caso de resultarpotencias, deberán tener exponente positivo
1.-𝑎−3𝑏4
𝑎4𝑏−3 =
2.- 𝑎−1𝑏2 −1 =
3.-5𝑥−2𝑦−4
2−1𝑧−3 =
4.-𝑧
5−1𝑧−1 +3
2𝑧 −2 =
5.-3𝑥
𝑦−1 +𝑦
3𝑥 −1 =
1.-𝑏4𝑏3
𝑎3𝑎4 =𝑏7
𝑎7
2.-1
𝑎−1𝑏2 1 =1
𝑎−1𝑏2 =𝑎
𝑏2
3.-2∙5𝑧3
𝑥2𝑦4 =10𝑧3
𝑥2𝑦4
4.- 5𝑧2 + 3 2𝑧 2 = 5𝑧2 + 3 ∙ 4𝑧2 = 5𝑧2 +12𝑧2 = 17𝑧2
5.- 3𝑥𝑦 + 𝑦 ∙ 3𝑥 = 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦
12Proceso de Admisión 2019
La forma reducida osimplificada de una radical secaracteriza por:
1.- No hay factores primos enel radical con exponentemayor o igual qué el índice dela raíz.
2.- No hay exponentesnegativos.
3.- El máximo común divisor omáximo factor común de losexponentes de los factoresprimos y del índice de lasraíces.
4.- El denominador se haracionalizado; es decir, nocontiene radicales.
Leyes de los radicales
1.- 𝑛 𝑎 = 𝑎1
𝑛
2.-𝑛
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏1
𝑛 = a1
n b1
n =𝑛 𝑎
𝑛𝑏
3.-𝑛 𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
1
𝑛=
𝑎1𝑛
𝑏1𝑛
=𝑛 𝑎𝑛
𝑏
4.-𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑚1
𝑛 = 𝑎𝑚
𝑛
13Proceso de Admisión 2019
Descompone en
factores primarios
3.-3
16 =
4.-3
2=
3.-3
24 =3
23 ∙ 2 =3
23 32 = 2
32
4.-3 2
2 2=
3 2
2
14Proceso de Admisión 2019
1.-3
3𝑚3𝑛2 43𝑚3𝑛2 =
2.-3+ 3
3−1=
3.-𝑥+ℎ− 𝑥
ℎ=
1.- 3𝑚2𝑛21
3 3𝑚3𝑛21
4 =
31
3 𝑚21
3 𝑛21
3. 31
4 𝑚31
4 𝑛21
4 = 31
331
4𝑚2
3𝑚3
4𝑛2
3𝑛1
2 =
37
12𝑚7
12𝑛7
6 = 37
12𝑚𝑚5
12𝑛𝑛1
6 = 𝑚𝑛37
12𝑚5
12𝑛2
12 =
𝑚𝑛12
37𝑚5𝑛2
2.-(3+ 3 )( 3+1)
3−1 ( 3+1)=
4 3+6
3−1= 2 3 + 3
3.-( 𝑥+ℎ− 𝑥)( 𝑥+ℎ+ 𝑥)
ℎ( 𝑥+ℎ+ 𝑥)=
𝑥+ℎ2
− 𝑥2
ℎ( 𝑥+ℎ+ 𝑥)=
1
𝑥+ℎ+ 𝑥
15Proceso de Admisión 2019
1.-𝑎−2 𝑎𝑏+𝑏
2 𝑎−2 𝑏=
2.- 4 5𝑡2 + 5 = 20
3.-3𝑥−5
4= 2
1.-(𝑎−2 𝑎𝑏+𝑏)( 𝑎+ 𝑏)
2( 𝑎− 𝑏)=
𝑎− 𝑏2
2( 𝑎− 𝑏)=
𝑎− 𝑏
2
2.- 5𝑡2 + 5 = 5; 5𝑡2 + 5=25; 5𝑡2 = 25 − 5; 5𝑡2 = 20
𝑡2 = 4; 𝑡1 = 2, 𝑡2 = −2
3.-3𝑥−5
4= 2 2;
3𝑥−5
4= 4;
4 3𝑥−5
4= 4 ∙ 4; 3𝑥 − 5 = 16;
3𝑥 = 21; 𝑥 =21
3; 𝑥 = 7
16Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Factorización y Operaciones con
Polinomios Expresiones algebraicas
17Proceso de Admisión 2019
Algebra𝑎 ± 𝑏 2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 ± 𝑏 3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3
𝑎 + 𝑏 𝑛
= 𝑎𝑛 +𝑛
1𝑎𝑛−1𝑏 +
𝑛 𝑛 − 1
2𝑎𝑛−2𝑏2 +
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2
1 ⋅ 2 ⋅ 3𝑎𝑛−3𝑏3 + ⋯
+ 𝑏𝑛
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 𝑏2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐2
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 𝑏2 − 2𝑏𝑐 + 𝑐2
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝑎 − 𝑏 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1
Expresiones algebraicas
Ecuación cuadrática o de
segundo grado
Forma normal: 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
Raíces: 𝑥1; 𝑥2 = −𝑝
2±
𝑝2
4− 𝒒
𝑝 = − 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑞 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2)
18Proceso de Admisión 2019
Diferencia de cuadrados: □ 2 − ∆ 2 = (□ + ∆)(∆ − □)
1.- 25𝑎2 − 44𝑏2 = (5𝑎 + 7𝑏)(5𝑎 − 7𝑏)
Diferencia de cubos: □ 3 − ∆ 3 = (□ − ∆)(□2 + □∆ + ∆2)
Suma de cubos: □ 3 + ∆ 3 = (□ + ∆)(□2 − □∆ + ∆2)
2.- 27𝑚6 − 125𝑘12 = 3𝑚2 3 5𝑘4 3 = (3𝑚2 − 5𝑘4)(9𝑚4 + 15𝑚2𝑘4 + 25𝑘8)
3.- 𝑎6 − 𝑏6 = 𝑎3 2 − 𝑏3 2 = 𝑎3 − 𝑏3 𝑎3 + 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
19Proceso de Admisión 2019
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Modelos para factorizar trinomios
a) Trinomio cuadrado perfecto: □2 + 2□∆ + ∆2
b) Producto de dos binomios con un término común: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(𝑥 + 𝛼)(𝑥 + 𝛽) Donde 𝛼 + 𝛽 = 𝑏; 𝛼𝛽 = 𝑐
c) Producto de dos binomios 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
20Proceso de Admisión 2019
1.- 𝑛2 − 19𝒏 + 90 =
2.- 5𝑦2 + 16𝑦 + 3 =
3.- 6𝑚2 + 16𝑚 + 10 =
4.- 𝑚3𝑛3 + 8 =
5.- 20𝑎𝑐 − 15𝑏𝑐 + 4𝑎𝑑 − 3𝑏𝑑 =
1.- (𝑛 − 9)(𝑛 − 10)
2.- 5𝑦 + 𝐴 𝑦 + 𝐵 = 5𝑦2 + 5𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝐵; 5𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 = 16𝑦; 𝐴𝐵 = 35B+A=16 y AB=3 entonces B=3 y A=15𝑦2 + 16𝑦 + 3= 5𝑦 + 1 𝑦 + 3
3.- 6𝑚 + 𝐴 𝑚 + 𝐵 = 6𝑚2 + 6𝐵𝑚 + 𝐴𝑚 + 𝐴𝐵; 6𝐵𝑚 + 𝐴𝑚 = 16𝑚; 𝐴𝐵 = 106B+A=16 y AB=10 entonces B=1 y A=106𝑚2 + 16𝑚 + 10= 6𝑚 + 10 𝑚 + 1
4.- (𝑚𝑛 + 2)(𝑚2𝑛2 − 2𝑚𝑛 + 4)
5.- 5𝑐 4𝑎 − 3𝑏 + 𝑑 4𝑎 − 3𝑏= (5c + 𝑑) 4𝑎 − 3𝑏
21Proceso de Admisión 2019
6.- 4𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 5 =
7.- 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 =
8.- 144 − 𝑥4 =
9.- 𝑥 − 𝑦 2 − 𝑥2 − 𝑦2 =
4𝑥3 − 4𝑥 − 5𝑥2 + 5= 4𝑥 𝑥2 − 1 − 5 𝑥2 + 1= 4𝑥 − 5 𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑥 + 2 3𝑥 − 2
=− 𝑥4 − 144 = −(𝑥2 + 12)(𝑥2 − 12)
= 𝑥 − 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 =𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 =𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = (𝑥 − 𝑦)(−2𝑦)
22Proceso de Admisión 2019
1.- 10𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 − 11 + (8 + 3𝑥 − 1.- 12𝑥3 + 4𝑥2 + 3
2.- 5𝑦2 − 10𝑦 + 2
23Proceso de Admisión 2019
1.- 𝑚 − 4𝑛 𝑚 − 4𝑛 =
4.- 𝑎2 − 8 𝑎2 + 1 =
8.- 2𝑎 − 4𝑏 − 3𝑐 4𝑎 + 4𝑏 + 5𝑐 =
1.- 𝑚2 − 8𝑚𝑛 + 16𝑛2
4.- 𝑎4 − 7𝑎2 − 8
8.- 8𝑎2 − 8𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 16𝑏2 −32𝑏𝑐 − 15𝑐2
24Proceso de Admisión 2019
A) Binomio elevado al
cuadrado
𝑚 + 3 2 =
5 − 𝑥 2 =
6𝑥 + 𝑏 2 =
9 + 4𝑚 2 =
7𝑥 − 11 2 =
2𝑥 − 35 2 =
𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 2 =
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥+1 2 =
B) Binomios conjugados
𝑚 + 𝑛 𝑚 − 𝑛 =
𝑎 − 𝑥 𝑎 + 𝑥 =
𝑚2 + 6𝑚 + 9
25 − 10𝑥 + 𝑥2
36𝑥2 + 12𝑥𝑏 + 𝑏2
81 + 72𝑚 + 16𝑚2
49𝑥2 − 154𝑥 + 121
4𝑥2 − 140𝑥 + 1225
𝑥2𝑚 − 2𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝑦2𝑛
𝑎2𝑥 + 2𝑎𝑥𝑏𝑥+1 + 𝑏2𝑥+2
𝑚2 − 𝑛2
𝑎2 − 𝑥2
25Proceso de Admisión 2019
C) Producto de dos
binomios con un término
común
𝑎 + 1 𝑎 + 2 =
𝑥 − 5 𝑥 − 4 =
𝑥 + 10 𝑥 − 5 =
𝑧3 + 4 𝑧3 − 7 =
𝑚4 + 12 𝑚4 − 3 =
𝑎𝑥+1 − 2 𝑎𝑥+1 − 3 =
𝑎2 + 3𝑎 + 2
𝑥2 − 9𝑥 + 20
𝑥2 + 5𝑥 − 50
𝑧6 − 3𝑧3 − 28
𝑚8 + 9𝑚4 − 36
𝑎2𝑥+2 − 5𝑎𝑥+1 + 6
26Proceso de Admisión 2019
1.- (6𝑥3 + 𝑥2 − 18𝑥 − 33) ÷ (2𝑥 − 5) =
2.- (2𝑛3 − 5𝑛2 + 21𝑛 − 14) ÷ (2𝑛 − 3)
3.- (𝑥4 − 4𝑥3 + 10𝑥2 − 12𝑥 +9)
÷(𝑥2 − 2𝑥 + 3)
4.- 𝑦4 + 4𝑦3 + 2𝑦2 − 4𝑦 + 1
÷(𝑦2 + 2𝑦 − 1)
5.- Un factor de 𝑥3 + 1 es 𝑥 + 1. Hallar
el otro factor.
1.- 3𝑥2 + 8𝑥 + 11 +22
2𝑥−5
2.- 𝑛2 − 𝑛 + 9 +13
2𝑛−3
3.- 𝑥2 − 2𝑥 + 3
4.- 𝑦2 + 2𝑥 − 1
5.- 𝑥2 − 𝑥 + 1
28Proceso de Admisión 2019
1.- 3𝑎2 + 6𝑎 𝑥 − 𝑦 =
2.- 2𝑝2 + 2𝑎 + 4𝑎𝑝 + 𝑝 =
3.- 𝑚2 + 14𝑎 + 2𝑚 + 7𝑎𝑚 =
4.- 𝑥3 − 21 − 3𝑥2 + 7𝑦 =
5.- 𝑟3 − 𝑠3 − 𝑠𝑟2 + 𝑠𝑟2
6.- −𝑎2𝑛 + 1 =
7.- −𝑛2𝑥 + 𝑡2 =
1.- 3𝑎 𝑎 + 2𝑥 − 2𝑦
2.- 2𝑝 + 1 𝑝 + 2𝑎
3.- 𝑚 + 7𝑎 𝑚 + 2
4.- (𝑥2 + 7)(𝑦 − 3)
5.- (𝑟2 − 𝑠2)(𝑟 − 𝑠)
6.- 1 + 𝑎𝑛 1 − 𝑎𝑛
7.- (𝑡 + 𝑛𝑥)(𝑡 − 𝑛𝑥)
29Proceso de Admisión 2019
2.- 42𝑥𝑦2𝑧3 = 6𝑥𝑦𝑧 ? ;
3.- Factorizar 𝑥 𝑥 + 1 − 2𝑥 𝑥 + 1 =
5.- Agrupar los términos de 𝑦3 − 15 −5𝑦2 + 3𝑦 y factorizar.
6.- Elevar al cuadrado −9𝑥3 =
7.- Multiplicar 𝑟𝑠 + 𝑡2 𝑟𝑠 − 𝑡2 =
2.- 6𝑥𝑦𝑧(7𝑦𝑧2)
3.- (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
5.- 𝑦2 + 3 𝑦 − 5
6.- 81𝑥6
7.- 𝑟2𝑠2 − 𝑡4
30Proceso de Admisión 2019
8.- Factorizar 8𝑚2 − 50 =
9.- Factorizar −144 + 𝑥2 =
10.- 3𝑎 + 𝑏 2 =
11.- 5𝑘 − 2𝑚 2 =
12.- Factorizar 25𝑥2 + 90𝑥𝑦 + 81
8.- 2(2𝑚 + 5)(2𝑚 − 5)
9.- (𝑥 + 12)(𝑥 − 12)
10.- 9𝑎 + 6𝑎𝑏 + 𝑏2
11.- 25𝑘2 − 20𝑘𝑚 + 14𝑚2
12.- 5𝑥 + 9𝑦 2
31Proceso de Admisión 2019
Factorizar cada término
1.- 𝑛2 + 17𝑛 + 42 =
2.- 𝑟2 − 23𝑟𝑠 + 90𝑠2 =
3.- 𝑚2 + 5𝑚 − 36 =
4.- 𝑘2 − 7𝑘 − 18 =
5.- 36𝑛2 + 95𝑛 + 56 =
6.- 3𝑎2 − 23𝑎𝑏 − 36𝑏2 =
7.- 30𝑡2 + 10𝑡 − 100 =
1.- (𝑛 + 14)(𝑛 + 3)
2.- (𝑟 − 18𝑠)(𝑟 − 5𝑠)
3.- (𝑚 + 9)(𝑚 − 4)
4.- (𝑘 − 9)(𝑘 + 2)
5.- 9𝑛 + 8 4𝑛 + 7
6.- 3𝑎 + 4𝑏 𝑎 − 9𝑏
7.- 10(3𝑡 − 5)(𝑡 + 2)
32Proceso de Admisión 2019
Encontrar y comprobar el conjunto
solución de cada ecuación
1.- 𝑥 − 2 𝑥 + 5 = 0
2.- 𝑦 2𝑦 − 1 = 0
3.- 𝑧2 − 𝑧 = 90
5.- un rectángulo mide 8 mts. Más largo
que de ancho, su área es de 105 𝑚2, hallar
sus dimensiones.
1.- {2,5}
2.- {0,1
2}
3.- {10,9}
5.- 7 y 15 mts.
33Proceso de Admisión 2019
𝑥(𝑥 + 2)
2(2𝑥2 − 4𝑥 + 1)
𝑥2 𝑥 − 4
2𝑎𝑥(𝑎 + 3𝑥)
𝑎𝑥(2𝑎 + 2𝑥 − 3)
Factorización
A) Cuando tienen un factor
común
𝑥2 + 2𝑥 =
4𝑥2 − 8𝑥 + 2 =
𝑥3 − 4𝑥2 =
2𝑎2𝑥 + 6𝑎𝑥2 =
2𝑎2𝑥 + 2𝑎𝑥2 − 3𝑎𝑥 =
34Proceso de Admisión 2019
B) Factorizar un polinomio que
contenga un término
común
𝑎 𝑥 + 1 + 𝑏 𝑥 + 1 =
𝑥 𝑎 + 1 − 1 𝑎 + 1 =
2 𝑥 − 1 + 𝑦 𝑥 − 1 =
3𝑥 𝑥 − 2 − 2𝑦 𝑥 − 2 =
1 − 𝑥 + 2𝑎 1 − 𝑥 =
−𝑚 − 𝑛 + 𝑥 𝑚 + 𝑛 =
𝑎3 𝑎 − 𝑏 + 1 − 𝑏3 𝑎 − 𝑏 + 1 =
(𝑥 + 1)(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(2 + 𝑦)
(𝑥 − 2)(3𝑥 − 2𝑦)
(1 − 𝑥)(1 + 2𝑎)
(𝑥 − 1)(𝑚 + 𝑛)
(𝑎 − 𝑏 + 1)(𝑎3 − 𝑏3)
35Proceso de Admisión 2019
C) Factorización a través de la
agrupación de términos
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 =
3𝑚 − 2𝑛 − 2𝑛𝑥4 + 3𝑚𝑥4 =
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥𝑦2 − 𝑦2 =
D) Factorización de un trinomio
cuadrado perfecto
𝑥2 − 2𝑥 + 1 =
9 − 6𝑥 + 𝑥2 =
9𝑏2 − 30𝑎2𝑏 + 25𝑎4 =
𝑎2
4− 𝑎𝑏 + 𝑏2 =
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑥)
3𝑚 − 2𝑛 1 + 𝑥4
(𝑥 + 1)(𝑥 − 𝑦2)
𝑥 − 1 2
3 − 𝑥 2
3𝑏 − 5𝑎2 2
𝑎
2− 𝑏
2
36Proceso de Admisión 2019
(𝑎 + 2)(𝑎 − 2)
(2𝑎 − 3)(2𝑎 − 3)
(5 + 6𝑥2)(5 − 6𝑥2)
(5𝑥𝑦2 + 11)(5𝑥𝑦2 − 11)
E) Factorizar una diferencia
de cuadrados
𝑎2 − 4 =
4𝑎2 − 9 =
25 − 36𝑥4 =
25𝑥2𝑦4 − 121 =
37Proceso de Admisión 2019
F) Factorizar un trinomio de la
forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥2 + 7𝑥 + 10 =
𝑦2 − 9𝑦 + 20 =
𝑦2 − 4𝑦 + 3 =
𝑦2 − 9𝑦 + 8 =
𝑚2 + 5𝑚 − 14 =
𝑎2 + 6𝑎 − 16 =
𝑥2 − 17𝑥 − 60 =
𝑚2 − 2𝑚 − 168 =
𝑦2 + 50𝑦 + 336 =
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
(𝑦 − 4)(𝑦 − 5)
(𝑦 − 3)(𝑦 − 1)
(𝑦 − 8)(𝑦 − 1)
(𝑚 + 7)(𝑚 − 2)
(𝑎 + 8)(𝑎 − 2)
(𝑥 − 20)(𝑥 + 3)
(𝑚 − 14)(𝑚 + 12)
(𝑚 + 42)(𝑚 + 8)
38Proceso de Admisión 2019
=(2) 2𝑥2+3𝑥−2
2=
2𝑥)2+3(2𝑥)−4
2=
2𝑥+4)(2𝑥−1
2= (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)
=(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1)
= 3𝑥 + 2 2𝑥 + 1
G) Factorizar un trinomio de la
forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
2𝑥2 + 3𝑥 − 2 =
3𝑥2 − 5𝑥 − 2 =
6𝑥2 + 7𝑥 + 2 =
39Proceso de Admisión 2019
H) Factorizar un trinomio
completando el trinomio
cuadrado perfecto
𝑥2 − 4𝑥 + 3 =
𝑥2 + 3𝑥 − 4 =
3𝑥2 − 5𝑥 + 2 =
= 𝑥2 − 4𝑥 + 2 2 − 2 2 + 3= 𝑥 − 2 2 − 4 + 3 = 𝑥 − 2 2 − 1
= 𝑥 − 2 + 1 𝑥 − 2 − 1
= (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑥2 + 3𝑥 = 4
𝑥2 + 3𝑥 +3
2
2= 4 +
3
2
2; 𝑥 +
3
2
2= 4 +
9
4; 𝑥 +
3
2
2=
16+9
4; 𝑥 +
3
2
2−
25
4= 0
𝑥 +8
2𝑥 −
2
2= (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑥2 −5𝑥
3= −
2
3; 𝑥2 −
5𝑥
3+
5
6
2= −
2
3+
5
6
2;
𝑥 +5
6
2= −
24+25
36; 𝑥 +
5
6
2−
1
36= 0
40Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
FactorialPropiedades
41Proceso de Admisión 2019
Definición del factorial de un número entero positivo. Dado un
número entero positivo 𝑛 , su 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 se define como el
producto de los números enteros de 1 a 𝑛. Por ejemplo,
4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24
En general, podemos escribir la definición de 𝑛! de la siguiente
manera: 𝑛! ≔ 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛
Con la notación breve para productos,
𝑛! ≔ ෑ
𝑘=1
𝑛
𝑘
42Proceso de Admisión 2019
Fórmula para el coeficiente del término general.
Coeficiente del 𝑘 + 1 término de la expansión de 𝑎 + 𝑏 𝑛
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ (𝑛 − 3) ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)
𝑘 ∙ (𝑘 − 1) ∙∙∙ 3 ∙ 2 ∙ 1,
𝑘 = 1, 2, … , 𝑛
43Proceso de Admisión 2019
El ésimo coeficiente (𝑘 + 1) se puede escribir en una forma
compacta usando notación factorial. Si 𝑛 es cualquier entero no
negativo, entonces el símbolo 𝑛! (𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙) se defino como
sigue:
• (1) 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 1 𝑠𝑖 𝑛 > 0
• (2) 0! = 1
Definición de 𝑛!
44Proceso de Admisión 2019
Por lo tanto, si 𝑛 > 0, entonces𝑛! es el producto de los
primeros 𝑛 enteros positivos.
La definición de 0! = 1 se usa
para que ciertas fórmulas
que contengan factoriales
sean verdaderas para todos
los enteros no negativos.
• Ilustración 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
1! = 12! = 2 ∙ 1 = 2
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 64! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 1206! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5,0408! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40,320
Nótese el rápido crecimiento de
𝑛! a medida que 𝑛 aumenta.
45Proceso de Admisión 2019
A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en el
ejemplo siguiente.
Simplificar cocientes de factoriales:
1)7!
5!=
7∙6∙5!
5!= 7 ∙ 6 = 42
2)10!
6!=
10∙9∙8∙7∙6!
6!= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5,040
Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛 y 𝑘 son enteros
positivos y 𝑘 < 𝑛, entonces:𝑛!
𝑛 − 𝑘 !=
𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ∙ [ 𝑛 − 𝑘 !]
𝑛 − 𝑘 != 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ,
46Proceso de Admisión 2019
A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en el
ejemplo siguiente.
Simplificar cocientes de factoriales:
1)7!
5!=
7∙6∙5!
5!= 7 ∙ 6 = 42
2)10!
6!=
10∙9∙8∙7∙6!
6!= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5,040
Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛 y 𝑘 son enteros positivos
y 𝑘 < 𝑛, entonces:𝑛!
𝑛 − 𝑘 !=
𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ∙ [ 𝑛 − 𝑘 !]
𝑛 − 𝑘 != 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 ,
47Proceso de Admisión 2019
Que es el numerador del coeficiente del (𝑘 + 1) ésimo término de
𝑎 + 𝑏 𝑛. Dividiendo entre el denominador 𝑘! Tendremos la
siguiente forma alternativa para el (𝑘 + 1) coeficiente:
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)
𝑘!=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
Estos números se denominan coeficientes binomiales y con
frecuencia se denotan con el símbolo𝑛𝑘
o el símbolo 𝐶(𝑛, 𝑘).
Por lo tanto, tenemos lo siguiente:
48Proceso de Admisión 2019
Coeficiente del (𝑘 + 1) ésimo término de la expansión de 𝑎 + 𝑏 𝑛 (forma alternativa)
𝑛𝑘
= 𝐶 𝑛, 𝑘 =𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !, 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛
Los símbolos𝑛𝑘
y 𝐶(𝑛, 𝑘) se leen a veces como “de 𝑛
seleccionar 𝑘”.
49Proceso de Admisión 2019
50
=
51
=
52
=
53
=
54
=
55
=
5!
0! 5 − 0 !=
5!
0! 5!=
5!
1 ∙ 5!= 1
5!
1! 5 − 1 !=
5!
1! 4!=
5!
1 ∙ 4!=
5 ∙ 4!
4!= 5
5!
2! 5 − 2 !=
5!
2! 3!=
5 ∙ 4 ∙ 3!
2 ∙ 3!=
20
2= 10
5!
3! 5 − 3 !=
5!
3! 2!=
5 ∙ 4 ∙ 3!
3! ∙ 2=
20
2= 10
5!
4! 5 − 4 !=
5!
4! 1!=
5!
4! ∙ 1= 5
5!
5! 5 − 5 !=
5!
5! 0!=
5!
5! ∙ 1= 1
Ejemplo①, evaluar𝑛𝑘
, encuentre:
50Proceso de Admisión 2019
Reescriba 3𝑛 + 3 !/ 3𝑛 ! Como una expresión que no
contenga factoriales.
Solución: Por la definición de 𝑛!, podemos escribir 3𝑛 + 3 !como 3𝑛 + 3 3𝑛 + 2 3𝑛 + 1 3𝑛 3𝑛 − 1 3𝑛 − 2 ∙∙∙ 3 2 1
3𝑛 !
.
Entonces,3𝑛+3 !
3𝑛 !=
3𝑛+3 3𝑛+2 3𝑛+1 3𝑛 !
3𝑛 !definición de 𝑛!
= 3𝑛 + 3 3𝑛 + 2 3𝑛 + 1 . Cancelar 3𝑛 ! ≠ 0
Ejemplo②, simplificar un coeficiente de factoriales:
51Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
LogaritmosPropiedades
52Proceso de Admisión 2019
Logaritmos
Sistema Base del sistema
Denominación
Loga
Log10 = log∗
Loge = lnLog2 = lb
𝑎10𝑒2
Logaritmo de base 𝑎Logaritmo comúnLogaritmo naturalLogaritmo binario
En loga 𝑥 = 𝑏 se llaman: 𝑎, base 𝑥, logaritmando𝑏, logaritmo
Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera)log 𝑥 ∙ 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦
log𝑥
𝑦= log 𝑥 − log 𝑦
log 𝑥𝑛 = 𝑛 log 𝑥
log 𝑛 𝑥 =1
𝑛log 𝑥
Igualdad entre expresiones con exponentes𝑎2 = 𝑏 = 𝑒𝑥 ln 𝑎
De donde:𝑥 =log 𝑏
log 𝑎| 𝑎 =
𝑥𝑏
Transformación de logaritmoslog10 𝑥 = log10 𝑒 ∙ ln 𝑥 = 0.434294 ∙ ln 𝑥
ln 𝑥 =log10 𝑥
log10 𝑒= 2.302585 ∙ log10 𝑥
Base de lo slogaritmos naturales:𝑒 = 2.71828183 …
53Proceso de Admisión 2019
Función logarítmica
La función 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥, con 𝑏 > 0, se llama función exponencial
de base 𝑏. La variable independiente, o argumento, aparece
como exponent. Esta función tiene las propiedades siguientes:
1.- El dominio comprende todos los números reales.
2.- El recomdo son todos los reales positivos.
3.- Si 𝑏 > 1, cuando se aumenta, 𝑓(𝑥) disminuye.
4.- Si 𝑏 = 1, 𝑓(𝑥) es una función constante 𝑓 𝑥 = 1.
54Proceso de Admisión 2019
La función 𝑔 𝑥 = logb 𝑥 , con 𝑏 > 1 , se llama función
logarítmica de base 𝑏. La expreción 𝑏𝑦 = 𝑥, nótese que en 𝑏𝑦,
el exponente 𝑦 es logb 𝑥.
1.- El dominio comprende todos los reales positivos.
2.- El recomdo son todos los reales.
3.- 𝑔 1 = 0 para cualquier 𝑏 > 1.
4.- Conforme 𝑥 aumenta, 𝑔(𝑥) aumenta.
𝑎loga 𝑥 = 𝑥 𝑒ln 𝑥 = 𝑥
loga 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑒𝑥 = 𝑥
loga 1 = 0 ln 1 = 0
loga 𝑎 = 1 ln 𝑒 = 1
55Proceso de Admisión 2019
log10 100 = 2 Porque 102 = 100log10 2 = 0.301 Porque 10.301 = 2log10 3 = 0.4771 Porque 10.4771 = 3log10 5 = 0.6989 Porque 10.6989 = 5
3 ∙ 2 = 10.4771
Nota: log 2 = .301log 3 = .4771
10.3010 = 10.4771+.310
= 6= 10.7781
ln 5 = loge 5𝑒1.6 = 5
ln 20 = 2.995732
𝑒2.9957 = 20
log 10(𝑥𝑦) = log 10𝑥 + log 𝑦
log 3.2 = log10 3 + log10 2
0.77815 = .4771 + .301
log(𝑥 + 𝑦)
log10𝑥
𝑦= log10 𝑥 − log10 𝑦
log106
2= log10 6 − log10 2
0.4771 = 0.7781 − 301
56Proceso de Admisión 2019
51−𝑥 = 6𝑥−3
ln 51−𝑥 = ln 6𝑥−3
1 − 𝑥 ln 5 = 𝑥 − 3 ln 6
𝑆𝑒𝑛 ln 5 = 𝑎; ln 6 = 𝑏
1 − 𝑥 𝑎 = 𝑥 − 3 𝑏
𝑎 − 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 − 3𝑏
𝑎 + 3𝑏 = 𝑏𝑥 + 𝑎𝑥
𝑎 + 3𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑥
𝑥 =𝑎+3𝑏
(𝑏+𝑎)→ 𝑎 = ln 5 𝑦 𝑏 = ln 6
𝑥 =ln 5+3 ln 6
ln 5+ln 6
𝑥 = 2.0536
57Proceso de Admisión 2019
log10 𝑥𝑛 = 𝑛 log10 𝑥
log10 32 = 2 log10 3
0.95424 = 0.95424
2𝑥−1 = 5
log 2𝑥−1 = log 5
𝑥 − 1 log 2 = log 5
𝑆𝑒𝑎 log 2 = 𝑎; log 5 = 𝑏
𝑥 − 1 𝑎 = 𝑏
𝑥 =𝑏
𝑎+ 1; 𝑥 =
𝑏+𝑎
𝑎
log 𝑥𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦
log𝑥
𝑦= log 𝑥 − log 𝑦
Pero 𝑏 = log 5 ; 𝑎 = log 2
𝑥 =log 5+log 2
log 2
𝑥 = 3.3219
23.3219−1 = 5
5 = 5
58Proceso de Admisión 2019
3(𝑥−4) = 7
log 3𝑥−4 = log 7
𝑥 − 4 log 3 = log 7
𝑥 =log 7
log 3+ 4
Notas: log 𝑥
log 𝑦≠ log
𝑥
𝑦
(log 𝑥)(log 𝑦) ≠ log(𝑥𝑦)
log 𝑥 + log 𝑦 ≠ log 𝑥 + 𝑦
log 𝑥 + log 𝑦 ≠ log(𝑥 + 𝑦)
𝑥 = 5.7712
3(5.7712−4) = 7
3(1.77) = 7
7 = 7
59Proceso de Admisión 2019
51−𝑥 = 6𝑥−3
ln 51−𝑥 = ln 6𝑥−3
1 − 𝑥 ln 5 = 𝑥 − 3 ln 6
ln 5 − [ln 5] 𝑥 = [ln 6]𝑥 − 3 ln 6
ln 5 + 3 ln 6 = ln 6 𝑥 + ln 5 𝑥
ln 5 + 3 ln 6 = ln 6 + ln 5 𝑥
𝑥 =ln 5+3 ln 6
ln 6+ln 5
𝑥 = 2.053605109
60Proceso de Admisión 2019
7𝑥−1 + 7𝑥 + 7𝑥+1 = 5𝑥 + 5𝑥+1 + 5𝑥+2
7𝑥7−1 + 7𝑥 + 7𝑥71 = 5𝑥 + 5𝑥51 +5𝑥52
7𝑥 7−1 + 1 + 71 = 5𝑥(1 + 51 + 52)
7𝑥 1
7+ 1 + 7 = 5𝑥(1 + 5 + 25)
7𝑥 57
7= 5𝑥(31)
7𝑥
5𝑥 =(31)(7)
57Porque
7
5
𝑥=
(31)(7)
57
ln7
5
𝑥= ln
31 7
57
ln7
5
𝑥= 1.336846
𝑥 ln7
5= 1.336846086
𝑥 =1.336846086
ln7
5
𝑥 =1.336846086
0.3364…
𝑥 = 3.973124497
61Proceso de Admisión 2019
Escribe la siguiente expresión como
una suma algebraica de logaritmos
con coeficientes enteros.
𝑥 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
ln 𝑥 = ln 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
ln 𝑥 =1
2ln 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐
ln 𝑥 =1
2[ln 𝑠 + ln 𝑠 − 𝑎 + ln 𝑠 − 𝑏 + ln(𝑠 − 𝑐)]
𝑒ln 𝑥 = 𝑒1
2[ln 𝑠+ln 𝑠−𝑎 +ln 𝑠−𝑏 +ln 𝑠−𝑐 ]
𝑥 = 𝑒12[ln 𝑠+ln 𝑠−𝑎 +ln 𝑠−𝑏 +ln 𝑠−𝑐 ]
62Proceso de Admisión 2019
Escribe la siguiente expresión como
una suma algebraica de logaritmos
con coeficientes enteros.
𝑥 =5 𝑎
2𝑏
3
=𝑎
2𝑏
1
5
3
𝑥 =𝑎
2𝑏
3
5
log 𝑥 =3
5log
𝑎
2𝑏
𝑥 = 103
5log
𝑎
2𝑏
𝑥 = 1035[log 𝑎−log 2𝑏]
63Proceso de Admisión 2019
Escribe la siguiente expresión como
una suma algebraica de logaritmos
con coeficientes enteros.
𝑥 =𝑎4𝑇𝑔2𝛼
5𝑏3
𝑥 =𝑎4𝑇𝑔2𝛼
5𝑏3
ln 𝑥 = ln 𝑎4 + ln 𝑇𝑔2𝛼 − ln 5 + ln 𝑏3
ln 𝑥 = 4 ln 𝑎 + 2 ln 𝑇𝑔𝛼 − ln 5 − 3 ln 𝑏
𝑥 = 𝒆(4 ln 𝑎+2 ln 𝑇𝑔𝛼−ln 5−3 ln 𝑏)
64Proceso de Admisión 2019
La población mundial en 1975 era aproximadamente de 4000
millones de personas. Si la población se duplica cada 35 años,
entonces 𝑡 años después de 1975, la población mundial es
aproximadamente 𝑝 𝑡 = (4)(2𝑡
35) miles de millones de personas.
A) Cuál será la población mundial en 2050
B) Cual será la población al final del año 2100
C) ¿Cuándo habrá sobre la tierra 12,000 millones de personas
A: Si t = 2050 − 1975 = 75 𝑎ñ𝑜𝑠, la población será:
𝑝 75 = 4 27535 = 17.66 miles de millones de habitantes
B: Si t = 2100 − 1975 = 125 𝑎ñ𝑜𝑠, la población será:
𝑝 75 = 4 2125
35 = 47.55miles de millones de habitants
C: 𝑝 𝑡 = 12; 12 = (4)(2𝑡
35); 3 = 2𝑡
35 ; ln( 3) = 𝑙𝑛 2𝑡
35
𝑡 =35ln(3)
ln(2)= 55.47 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 1975 ℎ𝑎𝑏𝑟á 12 mill millones; en
1975+55.47 años = 2030.47
65Proceso de Admisión 2019
Encontrar el valor de a.
𝑎 =20
21
5000log 𝑎 = log
20
21
5000
log 𝑎 = 5000 log20
21
log 𝑎 = −105.9464954
10log 𝑎 = 10−105.9464954
𝑎 = 10−105.9464954
66Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Algunas ecuaciones
67Proceso de Admisión 2019
Solución de un sistema
de dos ecuaciones con
dos incógnitas
(Suma - Resta)𝑥 + 6𝑦 = 27 … … ①
7𝑥 − 3𝑦 = 9 … … ②
14𝑥 − 6𝑦 = 18
(Sustitución)
𝑥 + 6𝑦 = 27
7𝑥 − 3𝑦 = 9
𝑥 + 6𝑦 = 2714𝑥 − 6𝑦 = 1815𝑥 = 45𝑥 =
3 a partir de aqui se enuentra 𝑦 = 4
7 27 − 6𝑦 − 3𝑦 = 9189 − 42𝑦 − 3𝑦 = 9−45𝑦 = 9 − 189−45𝑦 = −180
𝑦 =180
45
𝑦 = 4𝑥 + 6𝑦 = 27𝑥 + 6 ∙ 4 = 27𝑥 + 24 = 27𝑥 = 27 − 24𝑥 = 3
68Proceso de Admisión 2019
(Determinantes)
𝑥 + 6𝑦 = 27
7𝑥 − 3𝑦 = 9
∆s= 1 6 =-3 -42;
7 -3 = -45 𝑥 =∆𝑥
∆𝑠
∆x= 27 6 =-81-54;
9 -3 =-135 𝑥 =−135
−45; 𝑥 = 3
∆y=1 27 =9 -189;
79 =-180 𝑦 =∆𝑦
∆𝑠=
−180
−45; 𝑦 = 4
69Proceso de Admisión 2019
Solución de un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 … … ①
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 13 … … ②
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 … … ③
∆s= 1 1 1 (1+2+6)-(-1+6-2)1 -1 3 9 – (3)2 2 -1 9 - 31 1 1 ∆s = 61 -1 3
∆x= 11 1 1 (21+11+26)-(-7-13+66)13 -1 3 58 – 46 = 12
7 2 -1 ∆x = 1211 1 1
13 -1 3
∆y= 1 11 1 (-13+7+66)-(-11+21+26)1 13 3 60 - 36
2 7 -1 ∆y= 241 11 11 13 3
∆z= 1 1 11 (-7+22+26)-(7+26-22)1 -1 13 41 -11
2 2 7 ∆z= 301 1 111 -1 13
x = 2 y = 4 z = 5
70Proceso de Admisión 2019
−2𝑥2 + 2𝑦2 = −22
3𝑥2 − 2𝑦2 = 58
𝑥2 = 36
𝑥 = ±6
𝑦2 = 𝑥2 − 11
𝑦 = ± 𝑥2 − 11
𝑦 = ±5
𝑦1= + 5
𝑦2 = −5
Solución de un sistema
formado por dos
ecuaciones cuadráticas
𝑥2 − 𝑦2 = 11 … … ①
3𝑥2 − 2𝑦2 = 58 … ②
71Proceso de Admisión 2019
𝑥 = 5 − 𝑦3 5 − 𝑦 2 + 2𝑦2 = 25
3 25 − 10𝑦 + 𝑦2 + 2𝑦2 = 2575 − 30𝑦 + 3𝑦2 + 2𝑦2 = 25
5𝑦2 − 30𝑦 + 50 = 0𝑦2 − 6𝑦 + 10 = 0
𝑦2 − 6𝑦 = −10𝑦2 − 6𝑦 + 32 = −10 + 32
𝑦 − 3 2 = −10 + 9𝑦 − 3 2 = −1
𝑦 − 3 = ± −1𝑦 − 3 = ±𝑖𝑦 = ±𝑖 + 3𝑦1 = 3 + 𝑖𝑦2 = 3 − 𝑖
𝑥1 = 5 − 𝑦; 𝑥 = 5 − 3 + 𝑖 ; 𝑥 = 5 − 3 − 𝑖; 𝑥1 = 2 − 𝑖𝑥2 = 5 − 𝑦; 𝑥 = 5 − 3 − 𝑖 ; 𝑥 = 5 − 3 + 𝑖; 𝑥2 = 2 + i
Solución de un sistema
cuadrático de
ecuaciones
A) Sistema formado por
una ecuación de
primer grado y una 2°
grado
𝑥 + 𝑦 = 5 … … ①
3𝑥2 + 2𝑦2 = 25
72Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Teorema de Pitágoras
Seno, Coseno y tangente de ángulos
comunes
73Proceso de Admisión 2019
Teorema de Pitágoras
sin 𝛼 =𝑦
𝑟
cos 𝛼 =𝑥
𝑟
tan 𝛼 =𝑦
𝑥
cot 𝛼 =𝑥
𝑦
sec 𝛼 =𝑟
𝑥
csc 𝛼 =𝑟
𝑦
74Proceso de Admisión 2019
Funciones trigonométricas e
identidades fundamentales
sin 𝐴 =𝑎
𝑐csc 𝐴 =
𝑐
𝑎
cos 𝐴 =𝑏
𝑐sec 𝐴 =
𝑐
𝑏
tan 𝐴 =𝑎
𝑏cot 𝐴 =
𝑏
𝑎
sin 𝐵 =𝑏
𝑐csc 𝐵 =
𝑐
𝑏
cos 𝐵 =𝑎
𝑐sec 𝐵 =
𝑐
𝑎
tan 𝐵 =𝑏
𝑎cot 𝐵 =
𝑎
𝑏
Reciprocas
sin 𝛼 ∙ csc 𝛼 = 1
cos 𝛼 ∙ sec 𝛼 = 1
tan 𝛼 ∙ cot 𝛼 = 1
77Proceso de Admisión 2019
Distancia entre dos puntos
Sean los puntos con
coordenados A(1, 1) B(3, 5)
Obtener la distancia entre
dichos puntos
Procedimiento:
1) Trazo de la gráfica
correspondiente
2) Encontrar las proyecciones
de dichos puntos conrelación a los ejes
3) Determinar la magnitud de
dichas proyecciones
4) Aplicar el Teorema dePitágoras
3) 𝐴𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1 ;= 3 − 1 ;= 2𝐵𝐶 = 𝑦2 − 𝑦1 ;= 5 − 1 ;= 4
4) 𝑑2 = 𝐴𝐶2
+ 𝐵𝐶2
𝑑 = 𝐴𝐶2
+ 𝐵𝐶2
𝑑 = 22 + 42 Por lo tanto podemos
𝑑 = 4 + 16 generalizar para dos
𝑑 = 20 cuales quiera.
𝑑 = 2 5 U.
)
A
78Proceso de Admisión 2019
Conclusión: La distancia entre
dos puntos quedarádetermiando como la raíz
cuadrada de la diferencia de
absisas al cuadrado más la
diferencia de ordenadas alcuadrado.
𝑝(𝑥1, 𝑦1)𝑝1(𝑥2, 𝑦2)
𝑑𝑝𝑝1= 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦12
𝑑𝑝𝑝 = 𝑥1 − 𝑥22 + 𝑦1 − 𝑦2
2
79Proceso de Admisión 2019
¿Qué tipo de triángulo forman los
puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2)?
𝑑𝐴𝐵 = (2 − −22
+ 2 − −12
𝑑𝐴𝐵 = 16 + 9
𝑑𝐴𝐵 = 25
𝑑𝐴𝐵 = 5
𝑑𝐵𝐶 = 5 − 2 2 + −2 − 2 2
𝑑𝐵𝐶 = 9 + 16
𝑑𝐵𝐶 = 25
𝑑𝐵𝐶 = 5
𝑑𝐴𝐶 = (5 − −22
+ −2 − −12
𝑑𝐴𝐶 = 49 + 1
𝑑𝐴𝐶 = 50
𝒅𝑨𝑩 = 𝒅𝑩𝑪 ≠ 𝒅𝑨𝑪Triángulo isosceles
80Proceso de Admisión 2019
Aplicaciones de la distancia entredos puntos:
1) Calcular las coordenadas de
un punto 𝑝(𝑥, 𝑦), equidistante de
los puntos A(9, 3), B(3, 7), C(−2, 6)
81Proceso de Admisión 2019
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵; 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(9, 3) 𝐵(3, 7)
𝑑𝑃𝐴 = 𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2
𝑑𝑃𝐵 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2
𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2;
𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 7 2
𝑥2 − 18𝑥 + 81 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 14𝑦 + 49;
− 18𝑥 + 6𝑥 + 90 − 9 − 49 − 6𝑦 + 14𝑦 = 0;
−12𝑥 + 8𝑦 + 32 = 0; −3𝑥 + 2𝑦 = −8 … … ①
82Proceso de Admisión 2019
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵; 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(9, 3) 𝐵(3, 7)
𝑑𝑃𝐴 = 𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 𝑑𝑃𝐶 = 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 6 2
𝑥 − 9 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 + 2 2 + (𝑦 − 6)2
𝑥2 − 18𝑥 + 81 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36
−22𝑥 + 6𝑦 + 50 = 0
−22𝑥 + 6𝑦 = −50 … … ② Se hace un Sistema con ① y ②
−3𝑥 + 2𝑦 = −8
𝑥 = 2 𝑦 = −1
83Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
RectaCircunferencia
ElipseParábolaHipérbola
Curvas en el plano
84Proceso de Admisión 2019
Recta Una recta es la distancia más corta entre dos
puntos.
• Ángulo de inclinación de una
recta:tan 𝜃 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1m =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
• 𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1𝑚 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1=
3−(−1)
2−(−2)=
4
4= 1
85Proceso de Admisión 2019
Se llama ángulo de
inclinación de una recta al
formado por la parte positiva
del eje x,y y la recta, cuando
esta se considera dirigida
hacia arriba.
Se llama pendiente o
coeficiente angular de una
recta a la tangente de su
ángulo de inclinación.
86Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: Encontrar la
pendiente y el ángulo de
inclinación de la recta que
pasa por los puntos
𝐴 1, 6 , 𝐵 5, −2 .
𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =(−2−6)
5−1; =
−8
4; −2
𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan 𝑚𝜃 = 𝐴𝑅𝐶 tan −2𝜃 = −63.26tan 𝜃 = − tan 𝜃 ′𝜃 = 116°74′
87Proceso de Admisión 2019
Ángulos de dos rectas
Se llama ángulo de dos
rectas al formado por los
lados que se alejan del
vértice.
∝1 Ángulo de elevación de la recta inicial → 𝑚1 pendiente de la
recta inicial.
∝2 Ángulo de elevación de la recta final → 𝑚2 es pendiente de la
recta final.
𝑚1 = tan ∝1
𝑚2 = tan ∝2
88Proceso de Admisión 2019
Todo ángulo exterior de un
triángulo es igual a la suma
de los dos ángulos interiores no adyacentes; entonces:
𝛼2 = 𝛼1 + 𝜃1
𝜃1 = 𝛼2 − 𝛼1
tan 𝜃1 = tan(𝛼2 − 𝛼1)
tan 𝑥 ± 𝑦 =tan 𝑥 ± tan 𝑦
1 ∓ tan 𝑥 tan 𝑦
tan 𝜃1 =𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2
tan 𝜃1 =tan 𝛼2−tan 𝛼1
1+tan 𝛼1 tan 𝛼2
tan 𝜃2 =𝑚1−𝑚2
1+𝑚1𝑚2
89Proceso de Admisión 2019
Rectas paralelas: Si dos rectas
son paralelas el ángulo formado
es 0° o 180°
tan 𝜃1 =𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2
𝜃 =𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2
𝑚2 − 𝑚1 = 0; 𝑚2 = 𝑚1
Rectas perpendiculares:
Si dos rectas son
perpendiculares el ángulo
formado entre ellas es de 90°
tan 𝜃1 =𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2= ∞
cot 𝜃1 =1+𝑚1𝑚2
𝑚2−𝑚1= 0
1 + 𝑚1𝑚2 = 0
𝑚1𝑚2 = −1
90Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la recta quepasa por un punto y tieneuna pendiente dada.Se llama linea recta al lugargeométrico de los puntostales que tomados dospuntos diferentescualesquiera.
𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)Del lugar, el valor de lapendiente 𝑚 calculado por 𝑚expresión 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2𝑥1, es
siempre constante.
La recta que pasa por elpunto 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , que tiene lapendiente dada 𝑚, tiene porecuación la siguiente:
Datos : 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑚 =?
𝑚 =𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Y se encuentra la ecuación
91Proceso de Admisión 2019
Encontrar la ecuación de larecta que pasa por el punto(4, −1) y tiene un ángulo deinclinación 135°.
𝑚 = −1
−1 =𝑦−(−1)
𝑥−4
−1 𝑥 − 4 = 𝑦 + 1−𝑥 + 4 = 𝑦 + 10 = 𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 = −𝑥 + 3
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
92Proceso de Admisión 2019
Ecuación de una recta dadasu pendiente y su ordenadaal origen 𝑚 =
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
𝑚 =𝑦−𝑏
𝑥−0
𝑚 =𝑦−𝑏
𝑥
𝑚𝑥 = 𝑦 − 𝑏
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
93Proceso de Admisión 2019
Encontrar la ecuación de la
recta que pasa por el punto
𝑃(0, 5) y 𝑚 = −2
𝑦 = −2 𝑥 + 5
𝑦 = −2𝑥 + 5
2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
94Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
La recta que pasa por dos puntos dados 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) ,
𝑃2(𝑥2, 𝑦2), tiene por ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Datos:
𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1
95Proceso de Admisión 2019
Encontrar la ecuación de la
recta que pasa por los
puntos 𝑃1 −2, −3 , 𝑃2(4, −2).
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1
𝑦 − −3 =−2 − −3
4 − −2(𝑥 − (−2))
𝑦 + 3 =1
6(𝑥 + 2)
𝑦 =𝑥+2
6− 3
96Proceso de Admisión 2019
Ecuación simétrica de la recta
Sea 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0, los puntos de intersección de la recta
con los ejes 𝑥 e 𝑦, entonces la ecuación de la recta está
dada por la expresión𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1 ∙
𝑦 − 𝑦1 =𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 0 =0−𝑏
𝑎−0(𝑥 − 9)
𝑦 =−𝑏
𝑎(𝑥 − 9)
𝑥 − 9 𝑦 =−𝑏
𝑎
𝑎𝑦 = −𝑏(𝑥 − 9)𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 + 𝑏𝑎𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑏𝑎 ÷ 𝑏𝑎𝑎𝑦
𝑏𝑎+
𝑏𝑥
𝑏𝑎=
𝑏𝑎
𝑏𝑎𝑦
𝑏+
𝑥
𝑎= 1
97Proceso de Admisión 2019
Forma general de la ecuaciónde la recta
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0
𝐴 = 0 Recta ‖ al eje 𝑥
𝑦 = −𝐶
𝐵𝑦 = 𝑘
𝐵 = 0 Recta ‖ al eje 𝑦
𝑥 = −𝐶
𝐴𝑥 = 𝑘
𝐴 = 0, 𝐶 = 0𝐵𝑦=0
𝑦 = 0
𝐵 = 0, 𝐶 = 0𝐴𝑥=0
𝑥 = 0
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 0 ÷ 𝐵𝐴
𝐵𝑥 +
𝐵
𝐵𝑦 +
𝐶
𝐵=
0
𝐵𝐴
𝐵𝑥 + 𝑦 +
𝐶
𝐵= 0 (−1)
−𝐴
𝐵𝑥 − 𝑦 −
𝐶
𝐵= 0
𝑦 = −𝐴
𝐵𝑥 −
𝐶
𝐵
𝑚 = −𝐴
𝐵
𝑏 = −𝐶
𝐵Ejemplo: 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0
𝑚 = −2
3
98Proceso de Admisión 2019
Ángulos de las rectas dada
las ecuaciones de las rectas
𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 … … ①
𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 … … ②
Paralelas 𝑚1 = 𝑚2
𝑚1 = −𝐴1
𝐵1𝑚2 = −
𝐴2
𝐵2
−𝐴1
𝐵1= −
𝐴2
𝐵2
𝐴1
𝐵1=
𝐴2
𝐵2Razón para que dos
rectas sean paralelas
Ejemplo: Verificar si las rectas son paralelas3𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 … … ①
6𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0 … … ②
𝐴1 = 3, 𝐵1 = 2, 𝐶1 = 3𝐴2 = 6, 𝐵2 = 4, 𝐶2 = 7𝐴1𝐵2 = 𝐵1𝐴2
3.4 = (2.6)12 = 12 Las rectas son
paralelas
99Proceso de Admisión 2019
CircunferenciaCircunferencia: Es el lugar
geométrico de un punto de
coordenadas (x, y) que se mueve
sobre un plano, de manera que su
distancia permanece constante a un
punto fijo de coordenadas (h ,k).
El punto fijo se llama centro de la
circunferencia y la distancia
constante es el radio (r).
La ecuación de la circunferencia en
forma ordinaria o reducida, será la
siguiente: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
(h, k) las coordenadas del centro
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
Ecuación de forma reducida
100Proceso de Admisión 2019
Ejemplos: obtener la ecuación
de la circunferencia con
centro en (2,-3) y radio igual a
4.
Obtener la ecuación de la
circunferencia con centro en (-
1,2) y que pasa por el punto (3,
4).
𝑥 − 𝑛 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − −32
= 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 3 2 = 𝑟2
𝑥 − 2 2 + (𝑦 + 3)2 = 16
𝑟 = 3 + 1 2 + 4 − 2 2
𝑟 = 16 + 4
𝑟 = 20𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 20𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 20
101Proceso de Admisión 2019
Forma general de la ecuación
de la circunferencia.
Si desarrollamos la forma
reducida de la ecuación de la
circunferencia obtendremos la
ecuación en su forma general.
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 − 2𝑥ℎ − 2𝑘𝑦= 0
𝐷 = −2ℎ
𝐸 = −2𝑘
𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Forma general de la
circunferencia
En esta ecuación es unacaracterística de lacircunferencia que loscoeficientes de 𝑥2 e 𝑦2 debenser iguales, además que laecuación no debe contenerterminos 𝑥𝑦 como sucede en laelipse, parábola e hipérbola.
Ejemplo: Obtener la ecuaciónde una circunferencia en suforma reducida y en su formageneral con los siguientes datos:centro (-2, 1), radio = 3.
𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 9𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 9𝑥2 + 𝑦2 + 4 + 1 − 9 + 4𝑥 − 2𝑦 = 0𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0𝐷 = −2ℎ 𝐷 = −2(−2) 𝐷 = 4𝐸 = −2𝑘 𝐸 = −2(1) 𝐸 = −2𝐹 = −2 2 + 12 − 3 2 𝐹 = −4
102Proceso de Admisión 2019
Obtener el centro y el radiode la circunferencia, cuyaecuación en su formareducida es
𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 1 2 = 16
Obtener las coordenadas delcentro y el radio de lacircunferencia cuya ecuación ensu forma general es:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0
ℎ = 3𝑘 = −1𝑟 = 4
Coordenadas del centro (3, −1)
𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 2 + 1 + 9𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 3 2 = 12
ℎ = 1𝑘 = −3
𝑟 = 12𝐷 = −2ℎ = −2 ℎ = 1𝐸 = −2𝑘 = 6 𝑘 = −3𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2
−2 = 12 + −3 2 − 𝑟2
−2 = 1 + 9 − 𝑟2
𝑟2 = 12
𝑟 = 12
103Proceso de Admisión 2019
Circunferencia definida por 3puntos.
En geometría se indicó “siempre
es posible trazar una
circunferencia por 3 puntos queno son colindantes”
El producto es el siguiente:
• Se unen los puntos A, B y C.
• Se encuentran lasmediatrices de 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 y enel punto en el que seintersectan será el centro dela circunferencia que pasapor 𝐴𝐶.
Analíticamente se utiliza laecuación de la circunferenciaen forma general, se sustituyenlos puntos y se forma unSistema de 3 ecuaciones con 3incognitas.
104Proceso de Admisión 2019
Finalmente se sustituyen los
valores de D, E y F
encontrados, para encontrar
la ecuación de la
circunferencia.
Ejemplo: Obtener la ecuaciónen su forma general de la
circunferencia que pasa por
los puntos A(-5,1), B(2,2) y C(4,-
2).
105Proceso de Admisión 2019
Para la recta 𝐴𝐵
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 1 =2−1
2− −5𝑥 − −5
𝑦 − 1 =1
7𝑥 + 5
𝑦 − 1 =𝑥+5
7
7𝑦 − 7 − 5 − 𝑥 = 0
𝑥 − 7𝑦 + 12 = 0
𝑚𝐴𝐵 =1
7𝑚 = −
𝐴
𝐵
Punto medio de 𝐴𝐵
𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2
2; 𝑥𝑚 =
−5+2
2
𝑥𝑚 = −3
2
𝑦𝑚 =𝑦1+𝑦2
2; 𝑦𝑚 =
1+2
2
𝑦𝑚 =3
2
Ecuación de la mediatriz de 𝐴𝐵
𝑚𝐴𝐵 𝑚𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴𝐵 = −11
7𝑚𝑀𝐴𝐵 = −1
𝑚𝑀𝐴𝐵 = −7
Ecuación de la recta 𝐴𝐵
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 −3
2= 7(𝑥 − −
3
22𝑦−3
2= −7𝑥 −
21
2
2𝑦 − 3 = −19𝑥 − 21
14𝑥 + 2𝑦 + 18 = 0
7𝑥 + 𝑦 + 9 = 0
106Proceso de Admisión 2019
Para la recta 𝐵𝐶
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 =−2−2
4−2(𝑥 − 2)
𝑦 − 2 =−4
2(𝑥 − 2)
𝑦 − 2 = −2𝑥 + 4
2𝑥 + 𝑦 − 6
𝑚 = −2
Punto medio de 𝐵𝐶
𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2
2; 𝑥𝑚 =
2+4
2; 𝑥𝑚 = 3
𝑦𝑚 =𝑦1+𝑦2
2; 𝑥𝑚 =
2−2
2; 𝑥𝑚 = 0
M de mediatriz de 𝐵𝐶
𝑚 =1
2
Ecuación de la mediatriz de 𝐵𝐶𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 0 =1
2𝑥 − 3
𝑦 =𝑥−3
2
2𝑦 = 𝑥 − 30 = 𝑥 − 2𝑦 − 3
Sistema para encontrar el centro de la circunferencia7𝑥 + 𝑦 + 9 = 0 7 2𝑦 + 3 + 𝑦 + 9 = 0𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 14𝑦 + 21 + 𝑦 + 9 = 0𝑥 = 2𝑦 + 3 15𝑦 + 30 = 0𝑥 − 2 −2 − 3 = 0 𝑦 = −2𝑥 + 4 − 3 = 0 𝐶(−1, −2)𝑥 = −1
107Proceso de Admisión 2019
Para la circunferencia 𝐶(−1, −2)
ℎ = −1 𝑘 = −2 𝑟 = 5
El radio es la 𝑑𝐶𝐵 , 𝑑𝐶𝐴 𝑦 𝑑?
𝐵(2, 2) 𝑑𝐵𝐶 = 2 + 1 2 + 2 + 2 2
𝐶(−1, −2) 𝑑𝐶𝐵 = 9 + 16
𝑑𝐶𝐵 = 5 𝑟 = 5
Ecuación de la circunferencia
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
( 𝑥 − −12
+ ( 𝑦 − −22
= 52
𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 25 Forma ordinaria
Ecuación en su forma general
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 25
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 4𝑦 − 20 = 0 Forma general
108Proceso de Admisión 2019
Otro procedimiento
𝑥2 + 𝑦2𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Forma
general de cualquier
circunferencia
Para el punto 𝐴(−5, 1)
−5 2 + 12 + 𝐷 −5 + 𝐸 1 +𝐹 = 0
25 + 1 − 5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0
26 − 5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0 … … ①
Para el punto 𝐵(2, 2)
22 + 22 + 𝐷 2 + 𝐸 2 + 𝐹 = 0
8 + 2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 0 … … ②
Para el punto 𝐶(4, −2)
42 + −2 2 + 𝐷 4 + 𝐸 −2 +𝐹 = 0
16 + 4 + 4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0
20 + 4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0 … … ③
Se forma un sistema:
−5𝐷 + 𝐸 + 𝐹 + 26 = 0
2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 + 8 = 0
4𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 + 20 = 0
109Proceso de Admisión 2019
∆𝑠 =
−5 1 12 2 14
−52
−212
111
∆𝑠= −10 − 4 + 4 − 2 + 10 + 8 ; ∆𝑠= −10 − 20 ; ∆𝑠 = −30
∆𝐷=
−26 1 1−8 2 1
−20−26−8
−212
111
∆𝐷= −52 + 16 − 20 − (−8 + 52 − 40)
∆𝐷= −56 − 4 ; 𝐷 =−60
−30𝐷 = 2
∆𝐸=
−5 −26 12 −8 14
−52
−20−26−8
111
∆𝐸= 40 − 40 − 104 − (−52 + 100 − 32)
∆𝐸= −104 − 16 ; 𝐸 =−120
−30𝐸 = 4
∆𝐹=
−5 1 −262 2 −84
−52
−212
−20−26−8
∆𝐹= 200 ∓ 104 − 32 − (−40 − 80 − 208)
∆𝐹= (272 + 328); 𝐹 =600
−30𝐹 = −20
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Se sustituyen los valores D, E y F. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 +4𝑦 − 20 = 0 𝑥2 + 2𝑥 + 1 2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 2 2 = 20 + 1 + 22 Forma General
𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 25Forma reducida
110Proceso de Admisión 2019
Circunferencia que pasa por 2 puntos ysu centro se encuentra sobre una recta
Para resolver este problemautilizamos la ecuación de lacircunferencia en formareducida y la ecuación de larecta en su forma general.
A fin de formar un sistema deecuaciones de primer gradocon 3 incógnitas.
Ejemplo: Obtener laecuación en su formareducida de lacircunferencia que pasa porlos puntos A(2, 1), B(4, 5) ytiene su centro en la recta2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
Para el punto A(2, 1)
Para el punto B(4, 5)
Ecuación de la recta 2𝑥 −𝑦 + 5 = 0
𝑥 = ℎ 𝑦 = 𝑘
2 − ℎ 2 + 1 − 𝑘 2 = 𝑟2
4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 = 𝑟2
ℎ2 − 4ℎ + 𝑘2 − 2𝑘 + 5 = 𝑟2 … … ①
4 − ℎ 2 + 𝑘 − 5 2 = 𝑟2
16 − 8ℎ + ℎ2 + 𝑘2 − 10𝑘 + 25 = 𝑟2
ℎ2 − 8ℎ + 𝑘2 − 10𝑘 + 41 = 𝑟2 … … ②
2𝑥 − 𝑦 + 5 = 5
2ℎ − 𝑘 + 5 = 0 … … ③
−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘 + 𝑘2 + 5 = 𝑟2 … … ①
−8ℎ + ℎ2 − 10𝑘 + 𝑘2 + 41 = 𝑟2 … … ②
2ℎ − 𝑘 + 5 = 0 … … ③
111Proceso de Admisión 2019
Paso 1. Multiplicar ② por (-1) y sumar a ①
Despejamos k de ③ 𝑘 = 2ℎ +5 Y se sustituye en④
Después de obtener h se despeja en ③
Coordenadas del centro −1
5,
23
5
Ecuación de la circunferencia
8ℎ − ℎ2 + 10𝑘 − 𝑘2 − 41 = −𝑟2
−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘 + 𝑘2 + 5 = 𝑟2
4ℎ + 8𝑘 − 36 = 0 … … ④
4ℎ + 8 2ℎ + 5 = 364ℎ + 16ℎ + 40 = 3620ℎ = −4
ℎ = −4
20
ℎ = −1
5
2 −1
5− 𝑘 + 5 = 0
𝑘 = 5 −2
5
𝑘 =25−2
5
𝑘 =23
5
𝑟 = 𝑑𝐶 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(2, 1)
𝑟 = 𝑑𝐶𝐴 𝐶 −1
5,
23
5
𝑟 = 2 +1
5
2+ 1 −
23
5
2
𝑟 = 4.84 + 12.96𝑟 = 4.2
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − −1
5
2
+ 𝑦 −23
5
2= 4.2 2
𝑥 +1
5
2+ 𝑦 −
23
5
2= 17.64
𝑥2 +2𝑥
5+
1
25+ 𝑦2 −
46𝑦
5+
529
25= 17.64
𝑥2 +2𝑥
5+ 𝑦2 −
46𝑦
5+
530
25− 17.64 = 0
𝑥2 +2
5𝑥 + 𝑦2 −
46
5𝑦 + 3.4 = 0
112Proceso de Admisión 2019
Intersección de recta y circunferencia
Tangente a una
circunferencia.
Para obtener las
coordenadas del punto
donde se intersectan.
La recta con una
circunferencia, es necesario
resolver el sistema formado
por las ecuaciones de la
circunferencia y la recta.
El resultado nos da tres
alternativas.
A) Dos valores reales
diferentes, entonces la recta
corta a la circunferencia en
dos puntos.
113Proceso de Admisión 2019
C) Valores imaginarios, no
hay intersección entre la recta
y circunferencia.
B) Dos valores reales iguales,
la recta corta en un solo punto
a la circunferencia.
114Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: obtener las
coordenadas de los puntos
donde la recta 2𝑥 − 𝑦 − 10 = 0intersecta a la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = 20
𝑥2 + 𝑦2 = 202𝑥 − 𝑦 = 10 𝑦 = 2𝑥 − 10𝑥2 + 2𝑥 − 10 2 = 20𝑥2 + 4𝑥2 − 40𝑥 + 100 − 20 = 05𝑥2 − 40𝑥 + 80 = 0; 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎;
8± (−8)2−4(16)
2; 𝑥 =
8± 0
2;
𝑥 = 42𝑥 − 𝑦 = 10; 2 4 − 10 = 𝑦; 𝑦 = −2
El caso es de una tangente donde cortaen el punto (4, -2) o punto de tangencia.
115Proceso de Admisión 2019
Obtener las coordenadas del
punto de intersección donde
la recta 𝑦 − 2 = 0 cruza a la
circunferencia
𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 16 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 16 = 0 𝑦 = 2𝑥2 + 4 − 4𝑥 − 16 − 16 = 0𝑥2 − 4𝑥 − 28 = 0Se hace la ecuación en forma general𝑥1 = 7.6 𝑦1 = 2𝑥2 = −3.6 𝑦2 = 2
Siendo los puntos de intersección (7.6, 2) y (-3.6, 2) y se grafica. 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 = 16𝑥2 − 4𝑥 + 22 + 𝑦2 − 8𝑦 + 42 = 16 +
16 + 4𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 4 2 = 36
ℎ = 2𝑘 = 4𝑟 = 6
116Proceso de Admisión 2019
Parábola
La parábola es el lugar
geométrico de los puntos del
plano que equidista de un punto
fijo llamado foco (F) y de una
recta llamada directriz (D D’).
𝑃𝐹 = 𝐷𝑃 Porqué 𝐿𝐹 = 𝐿𝐷
𝐿𝑅 = 4𝑃 𝐿𝐷 = 2𝑃
𝑦2 = 𝐷𝑃𝑥
La parábola es simétrica al eje focalo eje de la parábola si el (eje de laparábola ‖ eje x) la parábola eshorizontal si ( eje de la parábola ⊥eje x) la parábola es vertical.
𝑃 (𝑥, 𝑦) 𝐹(𝑃, 0) 𝐹𝑃 = 𝑃𝐷
𝑃𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 2
𝐷𝑃 = 𝐷𝑀 + 𝑀𝑃
𝐷𝑃 = 𝑃 + 𝑥
𝑥 − 𝑃 2 + 𝑦2 = 𝑃 + 𝑥
𝑥 − 𝑃 2 + 𝑦2 = 𝑃2 + 2𝑃𝑥 + 𝑥2
𝑥2 − 2𝑃𝑥 + 𝑃2 + 𝑦2 = 𝑃2 + 2𝑃𝑥 + 𝑥2
𝑦2 = 4𝑃𝑥Ecuación de la parábola horizontalcon vértice en el origen y eje focalparalelo al eje x y que se abrehacia la derecha.
𝑃 > 0 La parábola se abre a laderecha
𝑃 < 0 La parábola se abre a laizquierda
117Proceso de Admisión 2019
Otras formas de parábola
Ecuación general de la parábola
horizontal, con vértice en el
origen, eje focal en 𝑥 y que abre
a la izquierda.
Ecuación de la parábola
vertical con vértice en el
origen, eje focal, el eje 𝑦 y
que se abre hacia arriba. (*
ecuación de directriz y del
lado recto)
118Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la parábolavertical con vértice en elorigen, su eje focal está en 𝑦 yque se abre hacia abajo. (*ecuación lado recto)
El término 𝑥2 es para la parabolavertical y 𝑦2 para horizontal.
El signo de P (distancia de 𝐹 a
𝑉→𝐹𝑉) señala hacia donde está
abierta la parábola, si es positiva
(P) se abre hacia arriba o hacia
la derecha, si es negativa (-P) se
abre hacia abajo o a la
izquierda.
El segmento que une dos puntos
de la parabola se llama cuerda,
la que pasa por el foco es la
cuerda focal o lado recto (LR).
Conclusiones de Parábola
119Proceso de Admisión 2019
El eje de la parábola bisecta
todas las cuerdas, de ahí que
la parábola es simétrica
respecto de su eje.
• El lado recto es igual a 4P
• La característica que
identifica a la ecuación de
la parábola respecto de las
otras curvas (circunferencia,
elipse e hipérbola) es que
uno de los términos 𝑥2 o 𝑦2
desaparece.
120Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: De la ecuación dela parábola 𝑦2 = 8𝑥, obtenerlas coordenadas del foco, lasdel vértice, las coordenadasde los extremos, del ladorecto y su longitud, laecuación de la directriz, laecuación del lado recto y sugráfica correspondiente.
𝑦2 = 4𝑃𝑥 Ecuación gral.
𝑦2 = 8𝑥 Ecuación dada
4𝑃 = 8; 𝑃 = 2
Coordenadas del foco (2,0)
𝐿𝑅 = 4𝑃; 𝐿𝑅 = 4(2); 𝐿𝑅 = 8
𝐿 = (2, 4) 𝑅 = (2, −4)
Ecuación de 𝐿𝑅 = [𝑥 − 2]
Ecuación de 𝐷𝐷′ = [𝑥 = −2]
121Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de laparábola con foco (3,0),vértice en el origen, ecuaciónde la directriz, ecuación dellado recto, coordenadas desus extremos y longitud dellado recto.
(*) Ecuación de la directriz y del lado recto.
𝑦2 = 4𝑃𝑥𝑦2 = 4 3 𝑥𝑦2 = 12𝑥 Ecuación de la
parábola
Longitud de 𝐿𝑅𝐿𝑅 = 4𝑃𝐿𝑅 = 12 Longitud del
lado recto
𝐿(3, 6) 𝑅(3, −6)
122Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
parábola con vértice en el
origen, su eje es horizontal,
pasa por (-3,-9) y graficar.
Sustitución de (x, y) en el punto (−3, −9)𝑦2 = −4𝑃𝑥 −9 2 = (−4)(𝑃)(−3)
81 = 12𝑃 𝑃 =81
12𝑃 =
27
4
Longitud de LR
𝑅𝐿 = 4𝑃 𝐿𝑅 = 427
4𝐿𝑅 = 27
Ecuación de la parábola 𝑦2 = −4𝑃𝑥
𝑦2 = −427
4𝑥 𝑦2 = −27𝑥
𝐿 =27
4,
27
2𝑅 −
27
4,
27
2
123Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la parábola de
vértice (h, k) y eje paralelo a un
eje coordenado.
Parábola horizontal
𝑦2 = 4𝑃𝑥
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃(𝑥 − ℎ)
Abriendo a la derecha
𝑦2 = 4𝑃𝑥
Abre hacia la derecha
𝑥 = 𝑥′ + ℎ
𝑥′ = 𝑥 − ℎ
𝑦 = 𝑦′ + 𝑘
𝑦′ = 𝑦 − 𝑘
Horizontal Vertical
𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝑷(𝒙 − 𝒉) Derecha 𝒙 − 𝒉 𝟐 = 𝟒𝑷(𝒚 − 𝒌) Arriba
𝒚 − 𝒌 𝟐 = −𝟒𝑷(𝒙 − 𝒉) Izquierda 𝒙 − 𝒉 𝟐 = −𝟒𝑷(𝒚 − 𝒌) Abajo
124Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: Obtener la ecuación de
la parábola cuyo vertice está en el
punto (2, 5) y el foco en el punto(2, 3). Además obtener la
ecuación de su directriz, del lado
recto, su longitud y coordenadas
de los puntos extremos y graficar.
Longitud de LR𝐿𝑅 = 4𝑃 𝐿𝑅 = 4(2)𝐿𝑅 = 8𝐿(−2, 3) 𝑅(6, 3)
Ecuación de la directriz𝑦 = 7
Ecuación de LR 𝑦 = 3
𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑘)𝑥 − 2 2 = −4 2 𝑦 − 5𝑥 − 2 2 = −8(𝑦 − 5)
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = −8𝑦 + 40𝑥2 = 4𝑥 − 8𝑦 + 36 Ecuación de la parábola
125Proceso de Admisión 2019
Forma general de la
ecuación de la parábola
Si desarrollamos las formas
reducidas de las ecuaciones de
la parábola, obtenemos la
forma general de la ecuación
de la parábola.
Parábola horizontal:
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃 𝑥 − ℎ 2
𝑦2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘2 = 4𝑃𝑥 − 4𝑃ℎ
𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 − 4𝑃𝑥 + 4𝑃ℎ = 0
𝑦2 − 4𝑃𝑥 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 + 4𝑃ℎ = 0
𝐷 = −4𝑃
𝐸 = −2𝑘
𝐹 = 𝑘2 + 4𝑃ℎ
𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación
de la parabola horizontal.
Parábola vertical
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑃 𝑦 − 𝑘 2
𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 − 4𝑃𝑦 + 4𝑃𝑘 = 0
𝑥2 − 2ℎ𝑥 − 4𝑃𝑦 + ℎ2 + 4𝑃𝑘 = 0
𝐷 = −2ℎ
𝐸 = −4𝑃
𝐹 = ℎ2 + 4𝑃𝑘
𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación
de la parabola vertical.
126Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
parábola en su forma reducida
y en su forma general con los
datos siguientes: Vértice v(3, 2);directriz (x=5).
𝑦 − 𝑘 2 = −4𝑃(𝑥 − ℎ)ℎ = 3𝑘 = 2𝑃 = 2𝑦 − 2 2 = −4(2)(𝑥 − 3)
𝑦2 − 4𝑦 + 4 = −8𝑥 + 24𝑦2 − 4𝑦 + 8𝑥 − 20 = 0 Ecuación en
su forma general.
127Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
parábola, si el lado recto es 16se abre hacia abajo y su
vértice es (-2,-3).
𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑘)
𝑥 + 2 2 = −4 4 𝑦 − −3
𝑥2 + 4𝑥 + 4 = −16𝑦 − 16 (3)
𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 16𝑦 + 48 = 0
𝑥2 + 4𝑥 + 16𝑦 + 52 = 0
Forma general
128Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
parábola en su forma reducida
con foco en (3, 2) y ecuación dela directriz 𝑥 + 4 = 0, obtener
además las coordenadas del
vértice, longitud del lado recto y
su ecuación y las coordenadasde los puntos.
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑃(𝑥 − ℎ)
𝑦 − 2 2 = 47
2𝑥 +
1
2
𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 14𝑥 + 7𝑦2 − 4𝑦 − 14𝑥 − 3 = 0
𝐿𝑅 =28
2𝐿𝑅 = 14
𝐿(3, 9) 𝑅(3, −5)
129Proceso de Admisión 2019
Elipse
Es el lugar geométrico de los
puntos del plano tales que la
suma de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos,
siempre es constante.
Eje focal AA’→ Eje Mayor
BB’→ Eje Menor
𝑃(𝑥, 𝑦) Punto cualquiera de una curva
LR Lado rectoAncho focal𝐹1𝐹2 Focos
ൠ𝑉𝑉1
𝑣1𝑣2𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
}𝐵𝐵′ 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟}𝐴𝐴′ 𝐸𝑗𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟
Semi eje menor OBSemi eje mayor OA
130Proceso de Admisión 2019
2𝑎 = 𝐹1𝐵 + 𝐹2𝐵
2𝑎 = 𝐹1𝑃 + 𝐹2𝑃
𝐹1(−𝑐, 0)
𝐹2(𝑐, 0)
𝑑𝐹1𝐹2 = 2𝑐
𝑑𝐵′𝐵 = 2𝑏
𝑑𝑣𝑣′ = 2𝑎
𝑑𝑐𝐹1 = 𝐶
𝑑𝑐𝐹2 = 𝑐
𝑑𝑣𝐹1 = 𝑎 − 𝑐
𝑑𝑣𝐹2 = 𝑎 − 𝑐
Semieje menor OB b
Semieje mayor OA a
131Proceso de Admisión 2019
Con base en la definición deelipse, tenemos que la suma de
las distancias de un punto a los
focos 𝐹1 𝑦 𝐹2, siempre va a ser
constante y tendrá un valor de
2𝑎, por lo tanto es posible
expresar la ecuación de la
elipse en los siguientes términos.
𝑑𝐹1𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2
𝑑𝐹1𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
𝑑𝐹2𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2
𝑑𝐹2𝑃 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
𝐹1𝑃 + 𝐹2𝑃 = 2𝑎
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 +
𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Ecuación de la elipse
𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎2
𝑥 − 𝑐 2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 +
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 = 4𝑎2 −
4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2
−4𝑥𝑐 − 4𝑎2 = −4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
−4 𝑥𝑐 + 𝑎2 = −4𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
𝑥𝑐 + 𝑎2 2 = 𝑎 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦22
𝑥𝑐 + 𝑎 2 = 𝑎2 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2
𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 +𝑦2)
𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 2𝑎𝑥𝑐 +𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2
132Proceso de Admisión 2019
𝑥2𝑐2+ 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2
𝑥2𝑐2 + 𝑎4 − 𝑎2𝑥2 − 𝑎2𝑐2 − 𝑎2𝑦2 = 0
𝑥2𝑐2 − 𝑎2𝑥2 + 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 − 𝑎2𝑦2 = 0
−1 𝑥2 𝑐2 − 𝑎2 + 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 =𝑎2𝑦2 (−1)
−𝑥2( 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 =− 𝑎2𝑦2
𝑥2 −𝑐2 + 𝑎2 − 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 = −𝑎2𝑦2
𝑥2 𝑏2 − 𝑎2𝑏2 = −𝑎2𝑦2
𝑥2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 se divide entre (𝑎2𝑏2)
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Ecuación de la elipse en
forma canónica, eje focal eje
x, centro en el origen.
133Proceso de Admisión 2019
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Ecuación de la elipse en suforma canónica, eje focal 𝑥con centro en el origen.
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Ecuación de la elipse en
forma canónica, eje focal y
con centro en el origen.
El valor mayor →𝑎2
Conclusiones: en las dos
ecuaciones anteriores, los
valores de los denominadores
son siempre positivos; deestas el valor mayor le
será asignado a 𝑎2 y el menor a
𝑏2 de tal manera que siempre se
acopla que 𝑎2 seamayor que 𝑏2.
El valor absoluto mayor ya sea 𝑎2
o 𝑏2 nos indicarán en dónde
están situados los dos focos,
sobre el eje y cuando el valor del
denominador de 𝑦2 sea mayor.
En algunos casos aparece el
término 𝑏𝑥𝑦 , esto sucede
cuando el eje focal es oblicuo a
los ejes coordenados.
134Proceso de Admisión 2019
𝑥2
9+
𝑦2
25= 1
𝑎2 = 25; 𝑎 = 5 Eje focal
𝑏2 = 9; 𝐵 = 3 𝑦
Ejemplo: 𝑥2
16+
𝑦2
9= 1
Eje focal 𝑥
𝑎2 = 16; 𝑎 = 2
𝑏2 = 9 𝑏 = 3
135Proceso de Admisión 2019
Si tenemos una ecuación5𝑥2 + 2𝑦2 = 10 , la tenemos quetransformar a su forma canónica.5𝑥2+2𝑦2
10=
10
10;
𝑥2
2+
𝑦2
5= 1
Procedimiento para obtener lamagnitud de los lados (LR)ycoordenadas de los puntos extremos.𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1
𝑐2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1;𝑦2
𝑏2 = 1 −𝑐2
𝑎2
𝑦2
𝑏2 =𝑎2−𝑐2
𝑎2 ; 𝑦2 =
𝑏2 𝑎2−𝑐2
𝑎2
𝑦 = 𝑏2 𝑎2−𝑐2
𝑎2 ; 𝑦 =𝑏2
𝑎2 𝑎2 − 𝑐2
𝑦 =𝑏
𝑎𝑎2 − 𝑐2 pero 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2;
𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2
Por tanto 𝑦 =𝑏
𝑎𝑏2
𝑦 =𝑏2
𝑎Para las coordenadas de los
puntos extremos (LR)
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎magnitud de LR
136Proceso de Admisión 2019
De la ecuación de la elipse𝑥2
25+
𝑦2
16= 1,
obtener la longitud del lado recto y las
coordenadas de los puntos extremos.
𝑃(𝑐, 𝑦)
𝑃′(−𝑐, 𝑦)
𝑥2
25+
𝑦2
16= 1
𝑎2 = 25; 𝑎 = 5
𝑏2 = 16 𝑏 = 4
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎; 𝐿𝑅 =
(2)(16)
25; 𝐿𝑅 =
32
5
Para las coordenadas de los puntos
extremos
𝑦 =𝑏2
𝑎; 𝑦 =
42
52 ; 𝑦 =16
5
Pero son dos puntos 𝑦
𝑦1 =16
5; 𝑦2 = −
16
5
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2; 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2
𝑐2 = 52 − 42; 𝑐2 = 9𝑐1 = 3 𝑐2 = −3Para el foco①
𝐿 −3,16
5𝑅 −3, −
16
5Para el foco②
𝐿 3,16
5𝑅 3, −
16
5
137Proceso de Admisión 2019
Excentricidad en una elipse la razón entre𝑐y𝑎se le llama
excentricidad de la elipse.
𝑒 =𝑐
𝑎Donde 𝑐 es 𝑑𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑓𝑜𝑐𝑜
Donde 𝑎 es 𝑑𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
El valor de la excentricidad varia en 0 y 1.
Cuando el valor de 𝑒 tiende a ser 0, la curva se asemeja a
una circunferencia y cuando tiende a ser uno la elipse se
hace más angosta y más alargada.
138Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: Dada la ecuación
de la elipse 9𝑥2 + 16𝑦2 = 144obtener el valor de los ejes
mayor y menor, ancho focal,la excentricidad,
coordenadas de los focos y
de los vértices y graficar.
𝑥2
16+
𝑦2
9= 1 Forma canónica
𝑎2 = 16; 𝑎 = 4𝑏2 = 9; 𝑏2 = 3𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 16 − 9; 𝑐2 = 7Eje mayor: 2𝑎; 2 4 ; = 8Eje menor: 2𝑏; 2(3); = 6Coordenadas de los focos:
Para 𝐹2 − 7, 0 , para 𝐹1 7, 0
Para los vertices: 𝑉 𝑎, 0 , 𝑉′ −𝑎, 0𝑉1 4,0 , 𝑉′ −4,0
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎; 𝐿𝑅 =
2(9)
4; 𝐿𝑅 =
9
2
139Proceso de Admisión 2019
Obtener el ancho focal y la
ecuación de la elipse cuyos
vértices son 𝑣 ± (5,0) y focos
(±4,0).
𝑎 = 5 𝑐 = 4
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 𝑏 = 25 − 16𝑏 = 3
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎𝐿𝑅 =
18
5ancho focal
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1𝑥2
25+
𝑦2
9= 1
140Proceso de Admisión 2019
Dada la elipse de ecuación4𝑥2 + 5𝑦2 = 8,obtener el valordel semieje mayor 𝑎, semiejemenor 𝑏 y la ecuación enforma canónica,coordenadas de los focos yde los vértices.
4𝑥2
8+
5𝑦2
8=
8
8;
𝑥2
2+
5𝑦2
8
5
= 1
𝑥2
2+
𝑦2
8
5
𝑎2 = 2; 𝑎 = ± 2
𝑏2 =8
5; 𝑏 = ±
8
5
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2; 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 2 −8
5
𝑐2 =10−8
5; 𝑐2 =
2
5
Semieje mayor 𝑎 = 2
Semieje menor 𝑏 =8
5
𝐹1 −2
5, 𝑜 𝑉 = − 2, 0
𝐹22
5, 0 𝑉′ 2, 0
141Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la elipsecon vértice en (0, ±4), que pasa
por el punto (1,2).𝑥2
𝑏2 +𝑦2
𝑎2 = 1 Se sustituyen los
valores del punto.12
𝑏2 +22
16= 1
1
𝑏2 = 1 −4
16;
1
𝑏2 =16−4
16;
1
𝑏2 =12
16
12𝑏2 = 16; 3𝑏2 = 4;
𝑏2 =4
3
𝑏 =4
3
𝑥2
4
3
+𝑦2
16= 1
142Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la elipse concentro en (ℎ, 𝑘) y eje focalparalelo al eje 𝑥.
Ecuación 𝑥′ 2
𝑎2 +𝑦′ 2
𝑏2 = 1
𝑥 = 𝑥′ + ℎ; 𝑥′ = 𝑥 − ℎ𝑦 = 𝑦′ + 𝑘; 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘𝑥−ℎ 2
𝑎2 +𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1 Eje paralelo a 𝑋
𝑥−ℎ 2
𝑏2 +𝑦−𝑘 2
𝑎2 = 1 Eje paralelo a 𝑌
Forma ordinaria o reducida.
143Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
elipse en su forma reducida, la
excentricidad, ancho focal y
graficar de la curva concentro en (−3, 2) y vértices
−3, 7 , (−3, −3), focos (−3, 5) y
(−3, −1).
𝑎 = 𝑑𝑐𝑣 𝑎 =
−3 + 3 2 + 2 − 7 2
𝑎 = 5 𝑐 = 𝑑𝐶𝐹 𝑐 =
−3 + 3 + 2 + 1 2 𝑐 = 3𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 𝑏2 = 52 − 32;
𝑏20 16 𝑏 = 4
Ecuación 𝑥−ℎ 2
𝑏2 +𝑦−𝑘 2
𝑎2 = 1
𝑥+3 2
16+
𝑦−2 2
25= 1
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎; 𝐿𝑅 =
2 16
5; 𝐿𝑅 =
32
5
𝑒 =𝑐
𝑎; 𝑒 =
3
5
Forma general de la ecuación de la elipse
144Proceso de Admisión 2019
Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse es necesario
desarrollar la forma reducida de la ecuación.
Para la elipse con eje paralelo a 𝑋
𝑥−ℎ 2
𝑎2 +𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1;𝑥2−2𝑥ℎ+ℎ2
𝑎2 +𝑦2−2𝑘𝑥+𝑘2
𝑏2 = 1;
(𝑥2−2ℎ𝑥+ℎ2)𝑏2 𝑦2−2𝑥𝑘+𝑘2 𝑎2
𝑎2𝑏2 = 1
𝑏2𝑥2 − 2𝑏2ℎ𝑥 + ℎ2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑎2𝑘𝑦 + 𝑎2𝑘2 = 𝑎2𝑏2
𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑏2ℎ𝑥 − 2𝑎2𝑘𝑦 + 𝑏2ℎ2 + 𝑎2𝑘 − 𝑎2𝑏2 = 1𝑐
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐴 = 𝑏2 𝐶 = 𝑎2 𝐷 = −2𝑏2𝑘 𝐸 = −2𝑎2𝑘
Para la elipse con eje paralelo a 𝑌
𝑥−ℎ 2
𝑏2 +𝑦−𝑘 2
𝑎2 = 1𝑥2−2𝑥ℎ+ℎ2
𝑏2 +𝑦2−2𝑘𝑦+𝑘2
𝑎2 = 1
𝑎2𝑥2 − 2𝑎2𝑥ℎ + 𝑎2ℎ2 + 𝑏2𝑦 − 2𝑏2𝑘𝑦 + 𝑏2𝑘2 = 𝑎2𝑏2
𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 − 2𝑎2ℎ𝑥 − 2𝑏2𝑘𝑦 + 𝑎2ℎ2 + 𝑏2𝑘2 − 𝑎2𝑏2 = 0
𝐴 = 𝑎2 𝐶 = 𝑏2 𝐷 = −2𝑎2ℎ 𝐸 = −2𝑏2𝑘 𝐹 = 𝑎2ℎ2 +𝑏2𝑘2 − 𝑎2𝑏2
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
145Proceso de Admisión 2019
Ejemplo: Obtener la ecuación de la elipse en su forma reducida y en su forma general.
𝑐 −1,2 , 𝑣(−1, 7), 𝑉′ −1, −3 ,𝑒 =
3
5
𝑒 =𝑐
𝑎𝐶 = 3 𝑎 = 5
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2;𝑏2 = 25 − 9; 𝑏2 = 16; 𝑏 = 4𝑦−𝑘 2
𝑎2 +𝑥−ℎ 2
𝑏2 = 1𝑦−2 2
25+
𝑥+1 2
16= 1
𝑦2−4𝑦+4
25+
𝑥2+2𝑥+1
16= 1
16 𝑦2 − 4𝑦 + 9 + 25 𝑥2 + 2𝑥 + 1 =40016𝑦2 − 64𝑦 + 64 + 25𝑥2 + 50𝑥 + 25 =
40016𝑦2 − 64𝑦 + 25𝑥2 + 50𝑥 − 311 = 0
146Proceso de Admisión 2019
Reducción de la formageneral de la ecuación.
Ejemplo: Obtener la formareducida de la ecuación dela elipse cuya expresión enforma general es 4𝑥2 + 9𝑦2 +8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 04𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑦2 − 36𝑦 = −44 𝑥2 + 2𝑥 + 9 𝑦2 − 4𝑦 = −44 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 9(𝑦2 − 4𝑦 +
Obtener forma reducida de la ecuación de la elipse cuya expresión es 𝑥2 + 2𝑦2 − 10𝑥 +12𝑦 + 43 = 0𝑥2 − 10𝑥 + 2𝑦2 + 12𝑦 = −43𝑥2 − 10𝑥 + 2 𝑦2 + 6𝑦 = −43
(𝑥2 − 10𝑥 + 52
+ 2 𝑦2 + 6𝑦 + 32
= −43 + 52 + 18𝑥 − 5 2 + 2 𝑦 + 3 2 = 43 − 43𝑥 − 5 2 + 2 𝑦 + 3 2 = 0
dividido entre 2𝑥−5 2
2+
𝑦+3 2
1= 0
𝑎2 = 2; 𝑎 = 2𝑏2 = 2; 𝑏 = 1
147Proceso de Admisión 2019
Obtener la forma reducida de la
ecuación de la elipse, cuya
expresión en forma general es 9𝑥2 +16𝑦2 − 36𝑥 − 32𝑦 − 92 = 0
9𝑥2 − 36𝑥 + 16𝑦2 − 32𝑦 = 929 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 16(𝑦2 − 2𝑦 + 1)9 𝑥 − 2 2 + 16 𝑦 − 1 2 = 144 Entre 144;𝑥−2 2
16+
𝑦−1 2
9= 1
𝑎 = 4; 𝑏 = 3; ℎ = 2; 𝑘 = 1
148Proceso de Admisión 2019
Simplifica la ecuación
9𝑥2 + 4𝑦2 − 18𝑦 − 23 = 0
9𝑥2 − 18𝑥 + 4𝑦2 + 8𝑦 = 239 𝑥2 − 2𝑥 + 4 𝑦2 + 2𝑦 = 239 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 23𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 9 + 4 + 239 𝑥 − 1 2 + 4 𝑦 + 1 2 = 369 𝑥−1 2
36+
4 𝑦+1 2
36= 1
𝑥−1 2
4+
𝑦+1 2
9= 1 Referida al sistema
original
ൢ
𝑥 = 𝑥′ + ℎ𝑥 = 𝑥′ + 1 →
𝑦 = 𝑦′ + 𝑘
𝑦 = 𝑦′ − 1 →
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑢𝑖𝑟𝑥′+1−1
2
4+
𝑦′−1+12
9=
1
𝑥′ 2
4+
𝑦′ 2
9= 1 Referida al nuevo sistema
149Proceso de Admisión 2019
HipérbolaLa hipérbola es el lugar
geométrico del conjunto depuntos del plano, tales que el
valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a los puntos
fijos llamados focos, siempre es
constante y menor que la
distancia entre dos focos.
Donde:
Focos: 𝐹1 𝑐, 0 𝑦 𝐹2(−𝑐, 0)
Vértices: 𝑉1 𝑎, 0 y 𝑉2(−𝑎, 0)
Eje focal: 𝑙
𝐹1𝐹2= distancia focal
Centro focal: 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2(𝑐, 0)
Eje conjugado: 𝐵1(0, 𝑏) y 𝐵2(0, −𝑏)
Eje transverso: 𝑉1(−𝑎, 0) y 𝑉2(𝑎, 0)
Punto cualquiera: 𝑃 𝑥, 𝑦
Lado recto: 𝐿𝑅
Centro: 𝐶(0, 0)
Ecuación de asíntota 𝑦 = ±𝑏
𝑎𝑥
150Proceso de Admisión 2019
𝐻 = {𝑃(𝑥, 𝑦)||𝑑(𝑃; 𝐹1)– 𝑑(𝑃; 𝐹2)| =2𝑎 = 𝑐𝑡𝑒}Si la distancia entre dos focos es𝑑 𝐹1, 𝐹2 = 2𝑐, la condición paraque sea una hipérbola es:
𝑐 > 𝑎 > 0; 𝑐2 > 𝑎2; 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2;⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
2𝑎 = Longitud lado transverso
𝑎 = Semieje real o transverso2𝑏 = Longitud lado conjugado
𝑏 = 𝑙 Semieje conjugado oimaginario
2𝑐 = Distancia focal
𝑐 = Distancia del centro al foco
Se cumple 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Ecuación de la hipérbola con
centro en el origen de los ejes
de los ejes coordenados.
151Proceso de Admisión 2019
Las ecuaciones anteriores
muestran que la curva es
simétrica respecto de los dos
ejes coordenados y el origen.
En cada hipérbola 𝑎, 𝑏, 𝑐, están
ligados por la relación 𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2; 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2; 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2
La condición característica que
distingue a la hipérbola con
respecto a las demás curvases
que: 𝐴𝑐 < 0 , entonces la
expresión correspondiente a la
gráfica de una hipérbola o en
su defecto a un par de rectasque se cruzan.
Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥:
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1
Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥:
𝑦2
𝑎2 −𝑥2
𝑏2 = 1
Para reconocer dada la ecuacióncanónica de una hipérbola si el ejefocal es vertical u horizontal: si elcoeficiente de 𝑥2 es positivo seencuentra en 𝑥, si el coeficiente de 𝑦2
es positivo, el eje focal está en 𝑦.
Los denominadores siguen el orden𝑎2, 𝑏2 y el numerador que correspondael signo + indicará el eje transverso y −eje conjunto.
152Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
hipérbola, magnitud de los ejes
transversos y conjugados si
𝑉1(3, 0) 𝑉2(−3, 0) , 𝐹1(5, 0) ,
𝐹2(−5, 0).
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑎 = 3,𝑐 = 5𝑏 =Semieje conjugado.
𝑏2 = 25 − 9; 𝑏2 = 16; 𝑏 = 4
Ecuación:𝑥2
9−
𝑦2
16= 1
Eje transverso: 2𝑎; 2 3 = 6.Eje conjugado 2𝑏; 2 4 = 8.
153Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de lahipérbola, longitud del eje
transverso y eje conjugado, si
sus vértices son
𝑉1 0, 2 , 𝑉2(0, −2) y
𝐹1(0,39) 𝐹2(0, −3).
𝑎 = 2; 𝑏 = semieje
conjugado; 𝑐 = 3.
𝑎 = 2; 𝑏 =semieje conjugado;𝑐 = 3.Eje transverso: 2𝑎2𝑎 = 2(2); Eje transverso = 4Eje conjugado: 2𝑏
2𝑏 = 2 5 ; Eje conjugado = 2 5
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 9 = 4 + 𝑏2;
𝑏2 = 5Ecuación de la hipérbola:
𝑦2
4−
𝑥2
5= 1
154Proceso de Admisión 2019
Lado recto de la hipérbola: lacuerda que pasa por un foco
y es perpendicular al eje focal,
se llama lado recto de la
hipérbola, y al mediarlo
obtenemos el ancho focal de
esta curva.
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1 Para conocer 𝑦.𝑐2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 =
1 −𝑦2
𝑏2 = 1 −𝑐2
𝑎2 ;𝑦2
𝑏2 =𝑐2
𝑎2 − 1;
𝑦2
𝑏2 =𝑐2−𝑎2
𝑎2 ⇒ 𝑦2 = 𝑏2 𝑐2−𝑎2
𝑎2
𝑦 =𝑏2 𝑐2−𝑎2
𝑎2 ; 𝑦 =𝑏2
𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 ;
𝑦 =𝑏2
𝑎2 𝑐2 − 𝑎2;
Pero 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2: 𝑦 =𝑏2
𝑎2 𝑏2;
𝑦 = ±1
𝑎𝑏; 𝑦 = ±
𝑏2
𝑎
𝑦 = ±𝑏2
𝑎𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
155Proceso de Admisión 2019
Pero nunca llega a cortar la
curva, entonces cuando una
curva y una recta se
relacionan de esa manera se
dice que la recta es una
asíntota de la curva.
Una hipérbola siempre tiene
dos asíntotas, y estas se cruzan
en el centro de la hipérbola.
Excentricidad de la hipérbola:
La razón que existe entre los
valores de “c y a” expresada
como cociente, se denomina
excentricidad de la hipérbola.
𝑒 =𝑐
𝑎; 𝑒 > 1
Asíntotas de la hipérbola: si
para una curva dada existeuna recta tal que a medida
que nos alejamos
indefinidamente del origen, la
distancia de ese punto a la
recta decrece continuamente
y tiende a cero.
156Proceso de Admisión 2019
Hipérbola horizontal.
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1𝑏2𝑥2−𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2 = 1;
𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 = 0
𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 0;
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0
𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 𝑏𝑥 = 𝑎𝑦
𝑦 = −𝑏𝑥
𝑎𝑦 =
𝑏𝑥
𝑎
158Proceso de Admisión 2019
Asíntotas:𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1;
𝑥2𝑏2−𝑦2𝑎2
𝑎2𝑏2 = 1; 𝑏2𝑥2 − 𝑦2𝑎2 = 𝑎2𝑏2
𝑏2𝑥2 − 𝑦2𝑎2 = 0; 𝑏𝑥 2 −𝑎𝑦 2 = 0; 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 (𝑏𝑥 −
Hipérbola vertical:
𝑚 =𝑎
𝑏𝑦 =
𝑎
𝑏𝑥
𝑚 = −𝑎
𝑏𝑦 = −
𝑎𝑥
𝑏
159Proceso de Admisión 2019
Obtener las ecuaciones de las
asíntotas de las hipérbolas:
4𝑦2 − 9𝑥2 = 36
Obtener la ecuación de laasíntota
4𝑦2 − 5𝑥2 = 20
4𝑦2
36−
9𝑥2
36=
36
36;
𝑦2
9−
𝑥2
4= 1
4𝑦2 − 9𝑥2 = 36 4𝑦2 − 9𝑥2 = 0;
4𝑦2 − 9𝑥2 = 0; 2𝑦 + 3𝑥 (2𝑦 −
𝑦2
5−
𝑥2
4= 1 4𝑦2 − 5𝑥2 = 0
2𝑦 − 5 𝑥 2𝑦 + 5 𝑥 = 0
2𝑦 − 5 𝑥 = 0; 𝑦 =5 𝑥
2
2𝑦 + 5 𝑥 = 0; 𝑦 = −5 𝑥
2
160Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de las
asíntotas de la hipérbola 9𝑥2 −16𝑦2 = 144𝑥2
16−
𝑦2
9= 1 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144
9𝑥2 − 16𝑦2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 = 0
3𝑥 + 4𝑦 = 0; 𝑦 = −3𝑥
4
3𝑥 − 4𝑦 = 0; 𝑦 =3𝑥
4
𝑎2 = 16 𝑏2 = 9
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 𝑐2 = 25; 𝑐 = 5
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎; 𝐿𝑅 =
18
4; 𝐿𝑅 = 4.5
El positivo es 𝑥2
𝑦 = −3𝑥
4𝑦 =
3𝑥
4
161Proceso de Admisión 2019
Ecuación de la hipérbola dadauna ecuación de la asíntota.
Obtener la ecuación de lahipérbola que tiene su centro enel origen, su eje focal sobre el eje𝑥, pasa por (3, 1) y una de susasíntotas es la recta 2𝑥 + 5𝑦 = 0
Binomios conjugados
2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 0 →2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 𝑘
4𝑥2 − 25𝑦2 = 𝑘
Graficamos las asíntotas
2𝑥 + 5𝑦 = 0 2𝑥 − 5𝑦 = 0
𝑥 │ 𝑦 𝑥 │ 𝑦
5 │ −2 5 │ 2
Para obtener 𝑘 sustituimos
𝑃(3, 1) en 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 0
2 3 + 5 1 2 3 − 5 1 = 𝑘
𝑘 = 11 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 11
4𝑥2 − 25𝑦2 = 11
Pasar a la forma canónica:4
11𝑥2 −
25
11= 1
162Proceso de Admisión 2019
Obtener la ecuación de la
hipérbola cuyos vértices son
𝑉1 3,0 , 𝑉2 −3,0 . Y una de las
asíntotas desde la recta 𝑦 + 2𝑥 = 0
Graficar.
Ecuaciones asíntotas
𝑦 + 2𝑥 = 0 𝑦 − 2𝑥 = 0
𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 2𝑥
𝑥 │ 𝑦 𝑥 │ 𝑦
2 │−4 2 │ 4
𝑚 = −2 𝑚 = 2
𝑚 =𝑏
𝑎2 =
𝑏
3; 𝑏 = 6
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 9 + 36;
𝑐2 = 45; 𝑐 = 45 𝑐 = 6.7
𝑒 =𝑐
𝑎𝑒 =
45
3𝑒 = 2.23
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1𝑥2
9−
𝑦2
36= 1
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎; 𝐿𝑅 =
2 36
3; 𝐿𝑅 = 24