proceso de desgaste abracibo en maquinas esmeriladoras

8/18/2019 proceso de desgaste abracibo en maquinas esmeriladoras

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Proceso de Desgaste Abrasivo en

Máquinas Esmeriladoras-Pulidoras

Convencionales

Presenta:

M. C. Luis Carlos Álvarez Núñez

Como requisito para obtener el grado de

Doctor en Ciencias (Óptica)

León Guanajuato Agosto 2008

®


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DEDICATORIAS DEDICATORIAS DEDICATORIAS DEDICATORIAS

A mis padres José Luis Álvarez y María Guadalupe Núñez , gracias por su cariño, su

apoyo y su gran fortaleza a la que admiro, gracias por sus palabras de aliento en los

momentos más difíciles, gracias por estar siempre a mi lado y darme su ejemplo de rectitud

y principios, Gracias.

A mis hermanos Juan, Dora, lisa y Janid Gracias por darme el lugar de hermano mayor,

por su apoyo incondicional, y sobre todo por ser una familia y que esto nos motive a

seguir adelante a pesar de todos los obstáculos.

A mis sobrino Daniel y mi cuñado Renato por su apoyo y afecto.

A mis Titos y mi abuelita María , por ser la base de nuestra familia, un ejemplo a seguir.

A todos mis Tíos y Tías por su gran cariño.

A mi novia la Dora Dalina de la Torre Arellano por su apoyo y paciencia, por estar

siempre a mi lado, somos uno mismo hoy y siempre señora feroz.

GRACIAS

Luis Carlos Álvarez Núñez


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AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Ricardo B. Flores Hernández no tengo palabras para agradecerle por todo su

apoyo, por su motivación su paciencia y sobre todo su guía a lo largo de estos años.

Gracias por enseñarme que para aprender y entender la óptica se requiere conocimiento

pero más que eso se requiere corazón, GRACIAS.

Así mismo deseo agradecer a los Doctores Dr. Zacarías Malacara, Dr. Jorge Márquez, Dr. Alejandro Cornejo y Dr. Alberto Cordero por sus valiosos comentarios sobre este

trabajo y su gran apoyo como sinodales.

Al Departamento de Formación Académica DFA en especial

a la Lic. Guillermina Muñiz por todo el apoyo recibido durante todos estos años.

A nuestros compañeros de taller óptico y taller mecánico por todo su apoyo, asimismo por permitirme aprender un poco de su heurística, GRACIAS.

Al Centro de Investigaciones en Óptica CIO , por todos los conocimientos y enseñanzas.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT )

por la beca crédito No. 166062 durante el tiempo que estuve realizando mis estudios

tanto de Maestría como de Doctorado.

A mis amigos y compañeros

Cabellos, Trini, Edgar, Cornelio, Armando


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“Technique to polishing by hand a quartz plate”

“La óptica más que una ciencia es un arte, se requieren años

de practica para obtener una superficie de buena calidad.”


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ii

INDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN

Introducción 1Distribución de la tesis 3

CAPITULO I

1.1 Teoría general del proceso de desgaste abrasivo 6

1.2 Ecuación de desgaste 7

1.3 Modelo físico del proceso de creación de fracturas 9

1.4 Referencias 16

CAPITULO II

2.1 Ecuaciones de movimiento 18

2.2 Cálculo de la velocidad relativa entre puntos en contacto 20

2.3 Cálculo Aproximado de la primera componente de velocidad (V0) 21

2.4 Cálculo Riguroso de la Primer Componente de Velocidad (V0) 21

2.5 Cálculo de la segunda componente de velocidad (V1) 262.6 Ecuación aproximada de la tercer componente de velocidad relativa (V2) 29

2.7 Condiciones de No Contacto 31

2.8 Suma vectorial de las velocidades relativas 32

2.9 El sistema de adquisición de datos 33

2.10 Descripción de los experimentos para el cálculo de ω 40

2.11 Ecuación aproximada de velocidad del disco superior 43

2.12 Referencias 47Apéndice 2-1 Paper 48

Apéndice 2-2 Definición de variables 48

Apéndice 2-3 Condiciones de simulación 50


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iii

CAPITULO III

3.1 Experimentos para investigar la cinemática de rotación del disco libre 52

3.2 Dinámica de la rotación del disco libre 64

3.3 Variables Físicas y Variables Enriquecidas 67

3.4 Interpolación de ωx para el espacio variables maquina 70

3.5 Interpolación de los exponentes Axµ para el espacio variables maquina 71

3.6 Interpolación de ωy para el espacio variables disco 75

3.7 Interpolación de los exponentes Byµ en el espacio variables disco 76

3.8 Análisis de fase 78

3.9 Referencias 82

Apéndice 3-1 Paper 83

CAPITULO IV

4.1 Distribución de presiones y ecuaciones de desgaste 85

4.2 Distribución de presión en el área de contacto entre los dos discos 85

4.3 Fenómeno de esparcimiento por superficies rugosas 954.4 Ajustes de carrera 102

4.5 Simulación del proceso de desgaste para condiciones de resonancia 110

4.6 Ecuación de desgaste Preston-Kumanin 113

4.7 Ajustes iniciales y resultados experimentales de velocidad 117

4.8 Solución espacio MAQUINA 118

4.9 Solución espacio DISCO 123

4.10 Ecuación de desgaste 125

4.11 Relación de FASE 129

4.12 Referencias 130

Apéndice 4.1 Paper 132

Apéndice 4.2 Función de deformación 133


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iv

Apéndice 4.3 Análisis de incertidumbre en la medición 136

CAPITULO V

5.1 Conclusiones y Trabajos a futuro 142

Agradecimientos 146

INDICE DE FIGURAS

CAPITULO I

Fig. 1.1 Fracturas por impacto de grano abrasivo 9

Fig. 1.2 Fracturas cónicas producidas por impacto (balines) 10

Fig. 1.3 Intercepción de fracturas cónicas 10

Fig. 1.4 Fragmentos de vidrio producidos por impacto 11

Fig. 1.5 Fragmentos por ralladura 12

Fig. 1.6 Relación de desgastes en función del tiempo de esmerilado 13

CAPITULO II

Fig. 2.1 Maquina esmeriladora Strassbaugh modelo 6Y-1 18

Fig. 2.2 a) Vista superior de la maquina esmeriladora

b) Diagrama simplificado para cálculo de velocidades. Ver apéndice 2-1. 19

Fig. 2.3 Componentes de velocidad 20

Fig. 2.4 Sistema de 4 brazos 22

Fig. 2.5 Simulación sistema 4 brazos vs. representación senoidal.

a) Línea punteada = ajuste a una función senoidal, Línea continua = comportamiento realb) Diferencia entre ambas curvas 23

Fig. 2.6 Comportamiento de la velocidad y posición del brazo de oscilación

usando las ecuaciones de 4 brazos, función exacta (línea continua) y velocidad de

traslación, función exacta (línea punteada). 23

Fig. 2.7 Componentes de velocidad V 0 brazo oscilante 24


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vi

Fig. 2.30 Discos superiores 1) Disco chico Pieza grande área/2

2) Disco mediano Pieza grande área/2 3) Disco grande pieza grande área/2 41

Fig. 2.31 Sistema de suministro continuo y una muestra de slurry,

asentado durante una noche. 42

Fig. 2.32 Resultados de ω(t) estática 44

Fig. 2.33 Resultados auxiliares de ω(t) en condición estática 44

Fig. 2.34 Errores de la ecuación ω promedio aproximada respecto a

resultados experimentales 46

Fig. 2.35. Herramientas de vidrio. a) S/2 , b) S/4 , c)S/8 47

CAPITULO III

Fig. 3.1 La máquina Strassbaugh 6Y-1, con los sensores empleados. 55

Fig. 3.2 Los dos espacios Tridimensional de trabajo 57

Fig. 3.3 a) Arreglo de celdas hexagonales, b) Empleo de octágonos más

pequeños en los bordes. 63

Fig. 3.4. Herramientas de vidrio. a) S/2 b) S/4 c) S/8 63

Fig. 3.5 Velocidad del disco superior ω(t) y posición del brazo angular A(t)

diferencia de fase Φ entre máximos. 79

Fig. 3.6. Trayectoria de un punto del disco superior respecto del disco

inferior considerando y sin considerar la fase Φ 80

Fig. 3.7 Diferencia de fase Φ como función del disco superior D2(k), velocidad

De oscilación del brazo guía γ(m) y velocidad del disco inferior Ω(n) (ver texto) 81

CAPITULO IV

Fig. 4.1 Incremento de presión en las orillas del disco superior respecto al disco inferior 87

Fig. 4.2 Coordenadas de posición del disco superior respecto del disco inferior. 88


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vii

Fig. 4.3 Evolución del anillo de Cordero respecto a la posición del brazo de oscilación 89

Fig. 4.4 Comportamiento de área de contacto y momento de inercia para la zona

(B+C) del anillo de Cordero 90

Fig. 4.5 Comportamiento de área de contacto y momento de inercia para

la zona del anillo de Cordero (B) 90

Fig. 4.6 Trayectoria de un punto del disco superior sobre el disco inferior (a)

para identificar el valor de presión (b) a lo largo de ella 92

Fig. 4.7 Incremento de presión de un punto del disco superior en posición

de máximo traslape 92

Fig. 4.8 Error en el algoritmo computacional para el valor de ∆p0 93

Fig. 4.9 Comportamiento de presión de un punto arbitrario del disco superior

al entrar en la región C de máxima presión 94

Fig. 4.10 Simulación 3D para n puntos en el disco superior (note los puntos

de NO-contacto (a) y la zona de máxima presión (b)) 94

Fig. 4.11 Integral en el tiempo de la presión en n puntos del disco superior 95

Fig. 4.12 Rugosidad para 25 micrómetros de una pieza de vidrio flotado 96

Fig. 4.13 Rugosidad para 15 micrómetros de una pieza de vidrio flotado 96

Fig. 4.14 Rugosidad para 9 micrómetros de una pieza de vidrio flotado 96Fig. 4.15 Rugosidad para 5 micrómetros de una pieza de vidrio flotado 97

Fig. 4.16 Fenómeno de scattering para una superficie rugosa 97

Fig. 4.17 Diagrama a bloques del arreglo experimental 99

Fig. 4.18 Arreglo experimental para la medición de scattering 99

Fig. 4.19 Reflectancia medida para un ajuste de carrera normal y su comparación

con la presión simulada (los números en la grafica son los minutos de esmerilado) 100

Fig. 4.20 Reflectancia medida para un ajuste de carrera larga y su comparación conla presión simulada 101

Fig. 4.21 Forma de desgaste entre dos discos en contacto 102

Fig. 4.22 Ajustes tradicionales de carrera 103

Fig. 4.23 Vista lateral del ajuste de carrera normal 104

Fig. 4.24 Ajuste de carrera normal 104


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viii

Fig. 4.25 Trayectoria de un punto de la pieza de vidrio sobre el disco

inferior en carrera normal 105

Fig. 4.26 Topografía de desgaste del disco superior a carrera normal 105

Fig. 4.27 Vista lateral ajuste a carrera corta 106

Fig. 4.28 Superficie final con ajuste a carrera corta 106

Fig. 4.29 Vista superior ajuste de carrera corta 107

Fig. 4.30 Trayectoria de un punto del disco superior sobre el disco

inferior a carrera corta 107

Fig. 4.31 Topografía de la superficie del disco superior a carrera corta 108

Fig. 4.32 Vista lateral del ajuste a carrera larga 108

Fig. 4.33 Superficie final con ajuste a carrera larga 109

Fig. 4.34 Trazos de un punto del disco superior sobre el disco inferior

con ajustes de carrera larga 109

Fig. 4.35 Topografía de la superficie del disco superior a carrera larga 110

Fig. 4.36 Trayectoria del vidrio cuando la frecuencia del brazo de oscilación

es igual a la frecuencia de rotación del disco inferior (Prisma o cuña) 111

Fig. 4.37 Desgaste cuando la frecuencia del brazo de oscilación es el doble

que la velocidad de rotación del disco inferior (superficie astigmática) 111Fig. 4.38 Patrón de la trayectoria del vidrio cuando la velocidad del brazo

de oscilación es el triple que la velocidad del disco inferior 112

Fig. 4.39 Herramienta de aluminio 113

Fig.4.40 Distribución hexagonal de vidrios en la herramienta de aluminio 113

Fig. 4.41 Rectificación de las piezas en la máquina Blanchard 114

Fig. 4.42 Medición de la altura de cada pieza de vidrio 115

Fig. 4.43 Evolución de desgaste para cada anillo del disco superior a lo

largo del proceso de esmerilado 116

Fig. 4.44 Perfil simulado con perfil real en el proceso de desgaste abrasivo 126

Fig. 4.45 Relación de errores 128

Fig. A4-4.1 Medición de las piezas de vidrio con el pantógrafo y micrómetro

Mitutoyo 133


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ix

Fig. A4-4.2 Medición de un plano óptico con pantógrafo 133

Fig. A4-4.3 Función de error del pantógrafo (micrómetros) 134

Fig. A4-4.4 Interpolación de datos de un plano óptico usando la maquina Zeiss

(micrómetros) 134

Fig. A4-4.5 Plano óptico medido en el pantógrafo corregido mediante la función de

deformación (error residual < + 2 micrómetros ) 135

CAPITULO V

INDICE DE TABLAS

CAPITULO I

Tabla 1.1 Variables de Kumanin 8

CAPITULO II

Tabla 2.1 Resolución de los sensores ω(Min,Med,Max)=(30,40,50 RPM) ,

Ω(Min,Med,Max)=(30,40,50 RPM) , γ (Min.Med,Max)=(20,30,40 RPM) 35

Tabla 2.2 Variables físicas investigadas y sus valores empleados en los experimentos. 41


CAPITULO III


Tabla 3.2.- Áreas normalizadas Σ(i,1,k), Σ(i,2,k), Σ(i,3,k), Σ(i,0,0) de las herramientas

para investigación de los procesos de desgaste con abrasivo libre, (ver texto). 59Tabla 3.3.- Radios y posiciones angulares de la serie j=3 de hexágonos. 61

Tabla 3.4.- Cantidad de piezas Grandes, Medianas y Chicas, requeridas para

cubrir S/2, S/4 y S/8 de los tres tamaños de disco de vidrio empleados 62

Tabla 3.5 Valores promedio de la rapidez de rotación ω ( i, j, k, L0, γ , Ω ) de los


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x

27 discos superiores ( i, j, k), con ajustes de la máquina L0=37.5, γ =20, Ω=40 66

Tabla 3.6 Valores promedio de la rapidez de rotación ω (σ, Σ, D2, l, m, n) del

disco superior r2=7.5, Σ=.25, σ=1.1 bajo diversos ajustes de la máquina ( l, m, n) 67

Tabla 3.7.- Definición de las Variables enriquecidas y sus índices, empleados 68

Tabla 3.8 Mejor y peor interpolación de la Ec. 3.4 para cada ωx 70

Tabla 3.9 Coeficientes en espacio maquina (Lineal y Splines) de la Ec. 3.6 73

Tabla 3.10 Mejores y peores interpolaciones de Axµ 74

Tabla 3.11 Mejor y peor interpolación de la Ec. 3.8 75

Tabla 3.12. Coeficientes (Lineal y Splines) para la interpolación de la Ec. 3.9 77

Tabla 3.13 Mejor y peor interpolación (Lineal y Splines) en la Ec. 3.9 78

CAPITULO IV

Tabla 4.1 Ajustes para el experimento final 117

Tabla 4.2 Conjunto completo de exponentes en el espacio de variables maquina. 120

Tabla 4.3 Variables enriquecidas 120

Tabla 4.4 valores teóricos Vs. experimentales de ωMAX , ω, ωMIN y ωSD. 122

Tabla 4.5 Conjunto completo de exponentes en el espacio de variables disco. 124

Tabla 4.6 Errores en los sensores 139


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INTRODUCCION

1

INTRODUCCIÓN


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INTRODUCCION

2

Introducción

Los procesos de automatización de la manufactura de componentes ópticas están

en pleno desarrollo, ya que continuamente se requieren componentes más precisas a

costos más bajos. Más aun, estas componentes usan nuevos materiales para diferentes

aplicaciones que pueden ir desde el UV para aplicaciones en microlitografía hasta el

infrarrojo para aplicaciones médicas y militares.

Sin embargo, no todas las componentes ópticas demandan equipos tan modernos

para su manufactura (tipo CNC), la mayoría de las superficies refractoras siguen siendo

esféricas y seguirán siendo esféricas. Esta importancia la comparten igualmente las

superficies planas.

Hoy en día diversos procesos de manufactura óptica se realizan en máquinas

automáticas CNC que poco a poco han estado desplazando a las máquinas tradicionales

en la manufactura de superficies asfericas, sin embargo su costo es elevado, con la

desventaja de que todavía resulta inviable su introducción para producción en masa.

Debido a esto, las máquinas convencionales se usan en más de un 80% de la industria

óptica y tendrán que pasar varios años hasta que puedan ser reemplazadas. Esto

significa que las máquinas tradicionales de manufactura de componentes ópticas

totalmente manuales, se pueden seguir empleando, aumentando de alguna manera su

eficiencia y eficacia.

Para Mejorar los procesos de fabricación de componentes ópticas, es necesario

comprender muy bien los procesos de desgaste mediante abrasivos, tanto libres como

fijos.

Con el propósito de mejorar la precisión y confiabilidad de las predicciones de

desgaste, en esta investigación se modeló matemáticamente el comportamiento

cinemático de las piezas que intervienen en el proceso, así como la distribución de


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INTRODUCCION

3

fuerzas y velocidades relativas que se manifiestan entre las superficies en contacto. El

resultado obtenido constituye una mejor representación del efecto de desgaste abrasivo

que ocurre en las etapas de esmerilado con una máquina tradicional. Con la ayuda de

estas ecuaciones, será posible predecir el comportamiento de desgaste de cada proceso,

así como la topografía final de la superficie esmerilada, en función de las variables de

trabajo y los ajustes mecánicos de una máquina tradicional.

El objetivo central propuesto para esta investigación fue: encontrar una

representación matemática y un algoritmo computacional que pudiera evaluarse

en tiempo real, de manera que permita desarrollar una simulación numérica del

proceso de esmerilado de componentes ópticas. Lo cual se ha logrado, como se

expone en esta tesis.

Distribución de la tesis

Este trabajo de tesis consta de los siguientes capítulos:

En el primer capítulo se hace un descripción de los procesos de desgaste con

abrasivo libre, se analiza la teoría general de Preston-Kumanin y su interpretación física.

En el segundo capítulo se analizan las componentes de velocidad de una

máquina esmeriladora-pulidora de configuración convencional, se desarrolla un modelo

matemático de velocidad relativa entre dos puntos herramienta-vidrio basado en

parámetros mecánicos de la máquina. En este mismo capítulo se presenta una ecuación

aproximada de velocidad de rotación del disco superior basada en una serie de

experimentos, al igual que el diseño de la electrónica para la adquisición de datos

mediante los sensores empleados.

En el tercer capítulo se presenta una ecuación matemática de la velocidad de

rotación del disco superior basada en una amplia gama de experimentos y así


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INTRODUCCION

4

representar con la máxima precisión posible la cinemática del disco libre en una

máquina tradicional. Conjuntamente se hizo un análisis de fase y variación de la

frecuencia de rotación del disco superior, en función de los ajustes más comunes en

máquinas tradicionales esmeriladoras pulidoras.

En el cuarto capítulo se analiza la distribución de presiones mediante la teoría

propuesta por Cordero-Davila et al y se compara con su contraparte experimental,

usando un modelo de esparcimiento de un haz laser al incidir sobre superficies rugosas.

Además, se pone a prueba toda la teoría cinemática desarrollada en los capítulos

previos, mediante un experimento de desgaste aplicando las ecuaciones Preston-

Kumanin.

Por ultimo, en el Capítulo 5, se presentan las conclusiones finales y trabajos a

futuro así como los agradecimientos


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CAPITULO I

5

CAPITULO I


19/194

CAPITULO I

6

CAPITULO I

1.1 “TEORIA GENERAL DEL PROCESO DE DESGASTE

ABRASIVO”

En forma tradicional los procesos de manufactura óptica se pueden clasificar en 3

etapas: Generado, esmerilado y pulido, en donde cada una de ellas involucra un tratamiento

abrasivo diferente.

La operación de generado provee una figura inicial de la superficie utilizando

herramientas de diamante de grano abrasivo grueso (sinterizado en bronce), para desbastar

una gran cantidad de material en poco tiempo.

El propósito de la etapa de esmerilado es proveer una superficie tan cercana como

sea posible a la geometría final deseada y reducir la rugosidad producida durante la etapa

de generado. El método mas común es usar abrasivo libre (suspendido en agua u otro

líquido). El abrasivo más comúnmente empleado es el óxido de aluminio de diferentes

tamaños, que van desde 25 a 3 micrómetros, utilizando herramientas duras, de vidrio o

metálicas.

En la etapa final de pulido las tolerancias son fracciones de longitud de onda de la

luz, el abrasivo libre que se utiliza es muy fino, del orden de 1 a .01 micrómetros. El

pulidor más empleado es el óxido de Cerio y las piezas de vidrio se trabajan con

herramientas blandas (plástico, poliuretano, chapopote).

Sin duda, la etapa más importante en el proceso de manufactura óptica es la etapa de

esmerilado ya que es aquí en donde el control de curvatura, espesor y rugosidad de la

superficie óptica influye directamente en la precisión que se desea obtener al final de la


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CAPITULO I

7

etapa de pulido. Un proceso correcto de esmerilado produce además un ahorro

substancial en el tiempo de trabajo durante la etapa de pulido.

1.2 Ecuación de desgaste

La teoría general de Preston [1] predice que el proceso de desgaste abrasivo en un

punto (x, y, t) es proporcional a la presión P y a la velocidad relativa V del vidrio respecto

de la herramienta.

Esta representación, la primera y más sencilla, emplea una constante de

proporcionalidad Kp que depende principalmente de las propiedades del vidrio, de la

herramienta y del grano de abrasivo usado, englobando sus efectos individuales en un solo

valor numérico y sin distinguir la influencia de cada uno de ellos (Ec. 1.1).

)abrasivoyvidriosPropiedade(

),,(),,(0

p p

t

p

K K

dt t y xV t y xPK h

=

=∆ ∫∆

Ec. 1.1

Basándose en la teoría de Kachalov[2], investigaciones realizadas por Kumanin[3],

condujeron a la siguiente formula para representar los procesos de desgaste con abrasivos

libres (Ec.1.2):

) / (981..... 1 seggV Pd k k c I a M ∗= Ec. 1.2

Donde

I M =Desgaste gravimétrico, c = Coeficiente de proporcionalidad, k =Coeficiente

que representa las propiedades de la herramienta, k 1= Coeficiente que representa las

propiedades del vidrio, d a= diámetro máximo de los granos de abrasivo, P= fuerza actuando

normalmente sobre la superficie, V = velocidad relativa de desplazamiento.


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CAPITULO I

8

Basado en la ecuación (1.2) Kumanin desarrolló una ecuación más determinística (Ec. 1.3)

del proceso de desgaste abrasivo.

dt V F S

Qk

E h

t

∫−

=∆0

6

5.1 δ Ec. 1.3

Donde:

S Área de contacto (cm ) k Dureza de la herramienta 1.22(Fierro Fundido)V Velocidad relativa (cm./seg.) F Fuerza (gr*cm/seg )Q Diámetro del abrasivo en cm. δ Facilidad relativa de desgaste (1 para BK7)

Tabla 1.1 Variables de Kumanin

Estas investigaciones (Preston-Kumanin) demostraron que la variable que afecta de

manera fundamental al proceso de desgaste con abrasivo libre es la velocidad relativa con

que se desplazan las parejas de puntos (de la herramienta y de la pieza que se trabaja),

dentro del área instantánea de contacto entre ambas piezas.

Ambos señalan la intensa influencia de la velocidad relativa V entre puntos en

contacto pero, por carecer de los medios de cómputo apropiados, no pudieron investigar en

detalle sus efectos, principalmente por el total desconocimiento de la componente debida a

la rotación del disco libre. Kumanin [3] propuso dos métodos para estimar el

comportamiento del disco superior durante el esmerilado de superficies planas [Kumanin[3]

cap4], es muy probable que por el nivel tecnológico de la época (años “30” antes de la

segunda guerra mundial) no haya podido poner en práctica sus teorías, lo que nosotros

hemos intentado hacer ahora.

Es sencillo apreciar que la ecuación de Preston (Ec. 1.1) solo refleja la influencia de

los efectos mecánicos en los procesos de esmerilado y pulido. Resultados experimentales

posteriores muestran que existen otros factores que afectan al proceso de desgaste

abrasivo[4-7] como el pH del slurry (suspensión de abrasivo en agua u otro liquido), la


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CAPITULO I

9

dureza de la herramienta y del vidrio etc, este fenómeno no puede ser explicado por la

ecuación de Preston [1] en su forma original.

1.3 Modelo físico del proceso de creación de fracturas

El fenómeno físico de la creación de fracturas, en cuanto a la acción de granos libres

de abrasivo sobre vidrio, se puede explicar de la siguiente manera. Los experimentos

realizados por Polyakov [8] y Kachalov [2] confirmaron la teoría de Preston [1], es decir:

durante la acción del abrasivo libre, los granos giran entre la pieza y la herramienta, lo que

conduce a una serie de fracturas por impacto, debido a la forma irregular de los granos.

Cuando estas fracturas se interceptan producen el desprendimiento de fragmentos de

material de la pieza de trabajo (Fig. 1.1).

Fig. 1.1 Fracturas por impacto de grano abrasivo

Esto puede ser entendido considerando la diferencia entre el área real de contacto

entre las dos superficies y el área total de la herramienta. La primera invariablemente es

muy pequeña, prácticamente limitada únicamente al área de contacto entre los granos del


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CAPITULO I

10

abrasivo y las herramientas. La carga aplicada a la herramienta superior es transferida a

esos puntos de contacto, lo que conduce a fracturas en el material más débil: el vidrio.

El proceso de desgaste con abrasivo libre es un fenómeno estocástico y estadístico.

De acuerdo a las investigaciones de Kumanin[3] al avanzar el proceso se van formando

fracturas cónicas en el material (Fig. 1.2)

Fig. 1.2 Fracturas cónicas producidas por impacto (balines)

Debido a los impactos que ocurren de manera aleatoria entre las superficies de la

herramienta y del vidrio (donde los granos de abrasivo son los “agentes de impacto”), estas

fracturas cónicas se interceptan produciendo desprendimiento de material (Fig. 1.3).

Fig. 1.3 Intercepción de fracturas cónicas

Kumanin realizó varios experimentos, que nosotros reprodujimos, para simular el

efecto de los impactos de los granos abrasivos. Dejó caer de varias alturas balines de acero

sobre una placa de vidrio, para simular el efecto de impacto del grano abrasivo sobre el

vidrio, encontrando que la sucesión de estos impactos producen desprendimiento de


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CAPITULO I

11

material (Fig. 1.3). Explicó que el desprendimiento de material por fracturas cónicas

puede ser extrapolado a una escala microscópica, dedujo que en el espacio de trabajo

existente entre la herramienta y el vidrio se aloja un número indefinido de granos de

abrasivo, en donde la cantidad de granos abrasivos depende en primer lugar de la

concentración de la suspensión y en segundo lugar de la rugosidad de las superficies

trabajadas[3]. La resistencia de los granos y de los materiales varía dentro de amplios

márgenes de valores, por lo que una parte de ellos se fractura aún a esfuerzos pequeños y

otra parte de ellos va rodando entre las superficies de la herramienta y del vidrio, por lo que

realiza el desgaste abrasivo por medio de micro-facturación.

El tiempo que deberá de transcurrir para que el valor de desgaste se estabilice,

depende de factores como, dureza del vidrio, tamaño de grano abrasivo, rugosidad de la

superficie [9, 10].

De acuerdo a la teoría Kumanin[3]-Izumitani[10] existen dos tipos de movimientos

que puede realizar el abrasivo:

RODAMIENTO. Al desplazarse un grano abrasivo puede provocar fracturas por

compresión o por impacto, con lo que la micro-estructura obtenida será una sucesión de

fracturas cónicas irregulares con desprendimiento de material conchoidal Fig.1.4 .


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CAPITULO I

12

Fig. 1.4 Fragmentos de vidrio producidos por impacto.

DESLIZAMIENTO. Cuando la superficie inicial es una superficie pulida, algunos granos

de abrasivo al desplazarse no provocarán fracturas, sino que se deslizarán produciendo

RALLADURAS (scratches) en la superficie, al interceptarse estas, producen

desprendimiento de material (Fig. 1.5).

Fig. 1.5 Fragmentos por ralladura.

La probabilidad de que las fracturas produzcan puntos débiles cuando se

interceptan depende del área de contacto y de la resistencia al desgaste del vidrio.


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CAPITULO I

13

Una vez estabilizado él numero de puntos débiles, la superficie tendrá su mínimo

valor de resistencia al desgaste, de esta forma el desgaste será máximo, manteniéndose

constantes estos valores para tiempos posteriores del proceso [9].

Kumanin fue uno de los primeros investigadores en estudiar el proceso abrasivo que

sufre el vidrio cuando las micro-irregularidades del vidrio son mayores que el tamaño del

nuevo grano, y viceversa. Posteriormente Izumitani[10] propuso varias teorías al respecto,

sin embargo en ninguna de las dos investigaciones proponen una ecuación que represente el

fenómeno abrasivo en función de las etapas previas a cada proceso en particular.

Si graficamos la relación de desgaste abrasivo usando un mismo tamaño de grano de

esmeril, se evidencian los efectos presentados por Izumitani [10] en donde las condiciones

previas a la que ha sido sometido el vidrio juegan un papel importante, como se muestra en

la Fig. 1.6 [3, 9, 10, 11 ].


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CAPITULO I

14

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

Tiempo Segundos

D E S G A S T E A C O M U L A D O ( U

A )

g t( )

h t( )

tFig

. 1.6 Relación de desgastes en función del tiempo de esmerilado

En la figura 1.6 se aprecian dos regimenes, uno no lineal en donde el desgaste

abrasivo esta en función del tamaño de grano abrasivo usado anteriormente y otro lineal endonde el desgaste es constante a lo largo del tiempo de trabajo, estos dos regímenes pueden

explicarse de la siguiente manera:

Tipo A. Al inicio del proceso, la rapidez de desgaste es mayor y varia en forma no

lineal, debido a que previamente la superficie fue tratada con un abrasivo de mayor tamaño

lo que produjo grandes fracturas residuales. Cuando actúa el nuevo abrasivo de menor

tamaño inicialmente produce un gran desprendimiento de material, debido a que los puntos

donde se interceptan las fracturas son muy débiles (las micro-fracturas dejadas por el

abrasivo anterior son muy grandes) produciendo un desprendimiento mayor de material.

Ti o B

RégimenLineal dedes aste

RégimenNO Linealde des aste

Tipo A


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CAPITULO I

15

Después de un tiempo, las micro-fracturas serán todas producidas por la acción del nuevo

abrasivo lo que estabiliza el proceso de desgaste.

Tipo B. La rapidez de desgaste se incrementa durante el intervalo inicial, donde al

principio el desgaste (a diferencia de la relación Tipo A) tiene una rapidez menor, que se

incrementa paulatinamente. Esto es debido a que la superficie ha sido tratada anteriormente

con grano abrasivo de menor diámetro, como puede ser el caso extremo de una superficie

pulida.

Inicialmente las micro-fracturas en la superficie son menores que el tamaño del

nuevo abrasivo, de esta forma el abrasivo inicialmente rueda entre las dos superficies

produciendo fracturas cónicas, pero separadas unas de otras, lo que produce muy poco

desprendimiento de material. Conforme el proceso avanza, estas fracturas empezarán a

interceptarse, lo que incrementará la cantidad de material desprendido hasta que las

fracturas producidas por el nuevo grano de esmeril se distribuyan en toda la superficie, lo

que provocará que el desgaste llegue a ser constante en función del tiempo de trabajo

Un parámetro importante que se considera en el proceso de esmerilado es la

constante de desgaste abrasivo del vidrio. En forma general se define esta constante

como el valor relativo de desgaste volumétrico de un vidrio muestra, en relación con el

desgaste volumétrico de un vidrio estándar bajo iguales condiciones de esmerilado.

En estudios realizados por Izumitani [10] se mostró que en forma general No existe

una relación específica entre la razón de desgaste del vidrio y su micro-dureza (dureza

Knoop). Para vidrios Flint, la relación es más o menos evidente, no así para los vidrios

Crown. Por esto se emplea más frecuentemente el concepto “facilidad de ruptura” o

“resistencia relativa al desgaste”.[10]


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CAPITULO I

16

A diferencia de la etapa de esmerilado en donde el desgaste es un proceso de

facturación, en el proceso de pulido la superficie no es fracturada, sino que es tallada.

Inicialmente la rugosidad y las fracturas que posee la superficie son producto de la

última etapa de esmerilado, al alargar el tiempo de pulido estos detalles desaparecen, lo que

indica que el proceso de pulido constituye un desgaste muy suave de la superficie del vidrio

a partir de los puntos más elevados de las fracturas.

Durante el pulido, debido a que los pequeños granos de pulidor se incrustan en el

material blando de la herramienta, NO ocurren nuevas fracturas en el vidrio, sino que el

proceso es similar a producir en el vidrio micro-cortes tangentes a la superficie, lo que hace

que los puntos más elevados producidos por la etapa de esmerilado se pulan primero. Al

avanzar el proceso de pulido, estas áreas pulidas aumentan en tamaño hasta cubrir toda la

superficie del vidrio. Por el carácter aleatorio del proceso de esmerilado, la superficie se

suaviza dejando “conos” o “poros” residuales, como comúnmente se les llama y que

corresponden a las fracturas más profundas producidas por el esmerilado.

De acuerdo a esto, la herramienta pulidora debe tener una viscosidad suficiente para

que los granos de abrasivo se incrusten en ella, pero al mismo tiempo deberá de tener una

rigidez suficiente, para evitar que se deforme.


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CAPITULO I

17

1.4 Referencias

[1] F. W. Preston, The theory and design of plate glass finishing machines, J. Glass Tech.

11 (1927) 214-256.

[2] Kachalov N. N., Fundamentals of Grinding and Polishing process of glass, Academy ofScience USSR 1946

[3] K. G. Kumanin, Generation of Optical Surfaces, Focal Library New York (1962).

[4] W. Rupp, Loose abrasive grinding of optical surfaces, Appl. Opt . 11 (12) (1972) 2797-

2810.

[5] M. J. Cumbo, D. Fairhurst, S. D. Jacobs and B. E. Puchebner, Slurry particle size

evolution during the polishing of optical glass, Appl. Opt . 34 (19) (1995) 3743-3755

[6] J. C. Lambropoulus, S. Xu and T. Fang, Loose abrsive lapping hardness of optical

glasses and its interpretation, Appl. Opt . 36 (7) (1997) 1501-1516

[7] J. Luo and D. A. Dornfeld , Material Removal Mechanism in Chemical Mechanical

Polishing: Theory and Modeling, IEEE Transactions on semiconductor

manufacturing, Volume 14, No. 2, 2001

[8] Polyakov, Grinding of Optical Surfaces, Focal Library New York (1962).

[9] G. E. Wiese and R. E. Wagner, Physical Model for Predicting Grinding Rates,

Appl. Opt. 13 (11) (1974) 2719-2722

[10] T. S. Izumitani, Optical Glass, American Institute of Physics Translation series, New

York, 1986

[11] Luis Carlos Álvarez Núñez, Simulación Numérica y verificación Experimental de

los procesos de esmerilado de componentes ópticas, Tesis de Maestría, Centro de

Investigaciones en Óptica, 2003


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CAPITULO II

17

CAPITULO II


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CAPITULO II

18

CAPITULO II

2.1 “ECUACIONES DE MOVIMIENTO”

En las máquinas esmeriladoras-pulidoras de configuración convencional solo eldisco inferior está motorizado, realizando un movimiento rotacional de frecuencia

constante Ω. El disco superior efectúa un movimiento oscilatorio de traslación sobre el

disco inferior, guiado por un brazo que oscila impulsado por el pivote excéntrico de una

rueda que gira con una frecuencia de rotación γ.

El disco superior gira libremente sobre su pivote central, con una velocidad angular

variable ω(t), impulsado solamente por la resultante de las fuerzas de fricción del proceso

abrasivo que tiene lugar entre las áreas de contacto de ambos discos [1,2].

La maquina esmeriladora Strasbaugh modelo 6Y-1 que se empleó (Fig. 2.1), tiene

esta configuración.

Fig. 2.1 Maquina esmeriladora Strasbaugh modelo 6Y-1


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CAPITULO II

19

En esta máquina, es posible ajustar de forma continua tres variables experimentales:

la fuerza P que se aplica sobre el disco superior mediante el brazo guía, la rapidez de

rotación Ω del disco inferior y la frecuencia de oscilación γ del brazo que guía al disco

superior.

La posición media A0 del intervalo de oscilación del disco superior, respecto del

centro del disco inferior y la amplitud +A de esta oscilación también pueden variarse de

manera continua, al igual que la longitud del brazo de oscilación L 0, aunque es necesario

detener la máquina para hacerlo.

Las variables mecánicas que afectan al proceso de desgaste abrasivo que se

investiga se definen en la Fig. 2.2

Fig. 2.2 a) Vista superior de la maquina esmeriladora b) Diagrama simplificado para

cálculo de velocidades. Ver apéndice 2-1.

Cada disco tiene su propio sistema de coordenadas polares. (Ver Apéndice 2-2)


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CAPITULO II

20

El eje del sistema universal de coordenadas polares cilíndricas está definido por la recta que

une los ejes fijos de la máquina: el eje del disco inferior (a) y el eje de oscilación (d) del

brazo que impulsa el desplazamiento del disco superior (Fig. 2.2a)

El origen del sistema universal de coordenadas polares cilíndricas es el eje oscilante

de la máquina (d en Fig. 2.2). Los orígenes de los otros dos sistemas de coordenadas

polares son los centros de los dos discos que interactúan (a) y (b) Fig. 2.2.

Para determinar las ecuaciones de velocidad relativa entre dos puntos arbitrarios,

uno del disco superior y otro del disco inferior, analizaremos la contribución de cada una de

las componentes de la máquina esmeriladora de la Fig 2.2.

2.2 Cálculo de la velocidad relativa entre puntos en contacto.

Son tres los vectores velocidad que se originan debido al funcionamiento de una

máquina convencional: V 0 debido al movimiento del brazo que guía la oscilación del disco

superior, V 1 debido a la rotación motorizada Ω del disco inferior y V 2 debido a la rotación

del disco superior ω(t), que gira bajo el efecto de las fuerzas de fricción del proceso

abrasivo (Fig. 2.3).

Fig. 2.3 Componentes de velocidad


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CAPITULO II

21

2.3 Cálculo Aproximado de la primera componente de velocidad (V 0)

Esta componente es producida exclusivamente por la traslación del disco superior

sobre el inferior, al ser impulsado por el brazo oscilante. Durante un instante ∆t

podemos considerar que el disco superior sigue solamente un desplazamiento lineal. (Ω=0,

ω=0)

La oscilación del brazo, en primera aproximación puede describirse (Ec. 2.1):

)2(sinAA0 t A A γ π += Ec.2.1

Donde γ es la rapidez de rotación [rpm] del excéntrico que impulsa al brazo de oscilación,

A0 es la posición media angular (central) del brazo respecto al eje de coordenadas

universales y A es la máxima amplitud de oscilación del brazo, a ambos lados de A0, que

impulsa al disco superior apoyando una barra en el pivote central del mismo (Fig. 2.3).

Pero este resultado es una aproximación, el movimiento oscilatorio del brazo no es

sinusoidal, como veremos en la siguiente sección.

(En el apéndice 2-1 (PAPER) se muestra el desarrollo de cada una de las ecuaciones

descritas en este capitulo).

2.4 Cálculo Riguroso de la Primer Componente de Velocidad (V 0)

La configuración básica del sistema de oscilación del brazo de una maquina

tradicional se muestra en la Figura 2.4, donde se aprecia claramente que constituye un

sistema de cuatro brazos articulados.


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CAPITULO II

22

a) b) c)

Fig. 2.4 Sistema de 4 brazos

En el apéndice 2-1 se presenta en detalle la solución al problema de cinemática de

este sistema, de acuerdo a [3].

Puesto que el brazo oscilante que guía al disco superior y el brazo articulado DC

forman parte de una misma pieza sólida (Fig. 2.4b), la velocidad angular del brazo oscilante

esta dado por:

kkkkαααα ˆ7dt

d θ = . Ec. 2.2

Del Apéndice 2-1(Apéndice del Paper) obtenemos que la posición del brazo esta dada por

la siguiente ecuación (ver Fig. 2.4 a y 2.4 b):

6317 180 θ θ θ ϕ ϕ θ −±−−−= − center off ref Ec. 2.3

Aplicando estos resultados para diversas combinaciones de variables de nuestro

sistema, vemos que el desplazamiento real del brazo oscilante no es una sinusoide como se


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CAPITULO II

23

supuso antes, especialmente en el punto de retorno hacia el eje de simetría (valores

negativos), como se muestra en las Fig.2.5 a,b y Fig. 2.6

a) b)

Fig. 2.5 Simulación sistema 4 brazos vs. representación senoidal. a) Línea punteada =

ajuste a una función senoidal, Línea continua = comportamiento real b) Diferencia entre

ambas curvas

Fig. 2.6 Comportamiento de la velocidad y posición del brazo de oscilación usando las

ecuaciones de 4 brazos, función exacta (línea continua) y velocidad de traslación, función

exacta (línea punteada).

Las dos componentes del vector velocidad V 0 son ρ ρρ ρ 0 (Posición radial del punto de

prueba respecto al eje de pivoteo) dado por la ecuación 2.4 (ver Fig. 2.7 a).

[ ] 2 / 122*202

00 )cos(L2L ρ ρ ρ +−+θ+= T AW , Ec. 2.4


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CAPITULO II

24

y su posición angular β 0 respecto al eje universal de coordenadas dada por la ecuación 2.5

(ver Fig. 2.7 b), (los cálculos de las componentes 0^

R , 0 R se muestran en las Eq. 8 y 9

Apéndice 2.1 (PAPER) ),

++=+=

00

0

^

0 Larctan

R

R A A T T ψ β

,Ec. 2.5

La primer velocidad relativa de los dos puntos en contacto estará dada por el

producto vectorial del vector de velocidad angular de la oscilación del brazo y el vector

posición de los dos puntos en contacto (Ec. 2.6), respecto al sistema universal de

coordenadas polares (Ver. Fig. 2.7).

+−=

=×= 000

00

00 sincosˆ

0

00 β β ρ α

ρ ρ

α ^

^^^

ji

kji

ρα

y x

V Ec. 2.6

Fig. 2.7 Componentes de velocidad V 0 brazo oscilante

En las siguientes figuras se muestran algunas simulaciones de las componentes

empleadas en el calculo de la velocidad V 0 para un punto designado por el vector de


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CAPITULO II

25

posición ρ ρρ ρ 2 en el disco superior (ver Fig. 2.7). (En el apéndice 2-3 se muestran las

condiciones de esta simulación)

Fig. 2.8 Posición angular del brazo de oscilación (Aplicando la ecuación exacta)

Fig. 2.9 Valor angular del punto ρ 2 medida al eje universal.

Fig.2.10 Valor radial ρ 0 respecto al centro de pivoteo del mismo punto ρρρρ2


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CAPITULO II

26

Fig. 2.11 Velocidad relativa V 0 producida por el brazo oscilante para un punto ρ 2 del disco

superior

2.5 Cálculo de la segunda componente de velocidad (V 1)

Esta contribución a la velocidad relativa entre los dos puntos considerados es

producida exclusivamente por la rotación del disco inferior que gira a una velocidad

constante Ω . Es decir, que ahora consideraremos estáticos al brazo oscilante ( AT =

cte ) y al disco superior ( ω = 0 ), durante un intervalo de tiempo ∆t pequeño

La única incógnita que debemos resolver es la distancia que separa a los puntos en

contacto del centro de rotación del disco inferior.

Debido a la oscilación del brazo guía, la distancia L1 que separa a los ejes de

rotación de las dos herramientas circulares esta dada por la Ec. 2.7 (Ver Fig. 2.12), (los

cálculos de las componentes rx2 y ry

2, se muestran en la Eq. 17 del Apéndice 2.1 (PAPER) ),

( ) 2 / 12y2

x1 r r L += Ec. 2.7


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CAPITULO II

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Fig. 2.12 Componentes de velocidad V 1

Las dos componentes de la posición del punto analizado son ρ ρρ ρ 1 respecto al centro

del disco inferior, dado por la ecuación 2.8 (ver Fig. 2.12), (el cálculo de la componente B,

se muestra en la Eq. 18 del Apéndice 2.1 (PAPER) ),

( ) 2 / 122*212

11 )cos(2 ρ BW ρ L L ρ +−+θ+= . Ec. 2.8

Y su posición angular respecto al eje universal de coordenadas dada por la ecuación

2.9, (el cálculo de las componentes 1^

R , 1 R , se muestran en la Eq. 20 del Apéndice 2.1

(PAPER) ),

++=

11

1

^

1 arctan R L

R B β

Ec. 2.9

Por lo que, finalmente la expresión vectorial de la segunda velocidad relativa es:

+−Ω=

Ω=×= 1^

11

11

11 sincos

0

00 β β ρ

ρ ρ

j jj jiiii

kkkk j jj jiiii

ΩΩΩΩ^̂̂̂

^̂̂̂^̂̂̂^̂̂̂

y x

ρ ρρ ρ Ec. 2.10

Nótese que los cálculos corresponden al punto que pertenece al disco inferior,

desplazándose respecto del disco superior que permanece (instantáneamente) estático.


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CAPITULO II

28

Nosotros deseamos calcular el desgaste experimentado por el material del disco

superior, por lo que la componente de velocidad que debemos usar es el negativo de la que

hemos obtenido, hecho que se aplicará en la suma vectorial de las tres componentes de

velocidad relativa.

A continuación se muestran algunas simulaciones de las componentes de esta

contribución de velocidad relativa

Fig. 2.13 Separación entre centros L1 debido a la oscilación del brazo

Fig. 2.14 Valor radial ρ 1 respecto al centro del disco inferior, incluyendo la rotación del

disco superior y la oscilación del brazo

Fig. 2.15 Posición angular B(t) del centro del disco superior (Ver Fig. 2.12.b)


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CAPITULO II

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Fig. 2.16 Desviación angular β 1 del punto analizado designado por ρ ρρ ρ 1 respecto al eje

universal

Fig. 2.17 Magnitud de la velocidad V 1

2.6 Ecuación aproximada de la tercer componente de velocidad

relativa ( V 2 )

La tercera componente vectorial de velocidad, que contribuye a formar la velocidad

relativa entre los dos puntos, es producida por la rotación del disco superior que gira

impulsado solamente por la fuerza de fricción resultante del proceso de desgaste abrasivo.


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CAPITULO II

30

Ahora suponemos que durante un intervalo ∆t pequeño esta velocidad es la única

presente ( AT = cte , Ω = 0 )

Las componentes del vector de posición del punto del disco superior, en

coordenadas polares universales son su radio ρ2 y su ángulo (Fig. 2.18) (ver Apéndice 2-1):

θ β += *2 W , Ec. 2.11

Fig. 2.18 Componentes de velocidad V 2

Por la construcción de la máquina, la disposición de los discos y dado que lasuperficie que se trabaja es plana, la expresión vectorial de la velocidad angular es:

+−=

=×= 222

22

22 sincos)(

0

)(00 β β ρ ω

ρ ρ

ω ^̂̂̂^̂̂̂

^̂̂̂^̂̂̂^̂̂̂

j jj jiiii

kkkk j jj jiiii

t t

y x

ρ ρρ ρ (t)ωV VV V

Ec. 2.12

La única incógnita en la Ec.2.12 es precisamente ω(t). En la Fig. 2.19 se muestra la

variación de la componente de velocidad V 2; cuando el proceso de esmerilado se ha

estabilizado.


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CAPITULO II

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Fig. 2.19 Magnitud de la Velocidad V 2

* Dado que el disco inferior Ω no se mueve (en un instante pequeño de tiempo), ω(t) se

simula con una velocidad constante (para propósitos de simulación) (ver Fig. 2.33)

Al principio de los años 30´s Kumanin [2] intentó desarrollar una expresión teórica

para esta función, basada en abundantes matemáticas, en su experiencia y en sus

investigaciones. La expresión resultante fue muy complicada para los dispositivos de

cómputo disponibles tanto entonces como ahora.

En este trabajo de tesis desarrollamos una ecuación aproximada y otra ecuación

exacta en base a una gama de experimentos que se mostrarán más adelante.

2.7 Condiciones de No Contacto

Dependiendo de las dimensiones de los dos discos, de la amplitud de oscilación A y

la posición central de la oscilación del brazo A0, puede haber momentos en los que una

sección del disco superior sobresalga por encima del borde del disco inferior, en esos

momentos algunos elementos de área del disco superior NO sufrirán el efecto del proceso

abrasivo (Fig. 2.20).


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CAPITULO II

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Fig. 2.20 Condiciones a la frontera (d = ancho de traslape)

La condición para que no se asigne desgaste a esos puntos del disco superior es que

el vector de posición de cada elemento de área del disco superior sea mayor que el radio del

disco inferior ρ 1 >R1 (Ver Fig. 2.20).

Cuando el punto considerado sobresale fuera del borde del disco inferior, la

condicionante de frontera produce caídas instantáneas de la velocidad relativa a cero, con lo

que la contribución al desgaste asignado a ese punto resulta anulada (Fig. 2.21).

2.8 Suma vectorial de las velocidades relativas.

La velocidad relativa entre dos puntos esta dada por la suma vectorial de lascontribuciones de velocidad relativa desarrolladas V 0, V 1, y V 2 , (ver Fig. 2.3). Las

componentes (en coordenadas cartesianas) de velocidad relativa final a lo largo de los ejes

(x) y (y), para el punto perteneciente al disco superior, están dadas por las Ecs. 2.13.

y y yTy x x xTx V V V V V V V V 210210 , +−=+−= Ec. 2.13

El signo negativo en V 1 indica un cambio en el sentido de esa contribución a la

velocidad relativa, tal como se explicó al final de la sección correspondiente. y la magnitud

de la velocidad relativa entre dos puntos cualquiera del área de contacto entre los dos discos

esta dada por la Ec. 2.14:


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CAPITULO II

34

de oscilación), Ω (Rapidez de rotación del disco inferior), γ (Frecuencia de oscilación del

brazo de pivoteo) y ω (rapidez de rotación del disco superior).(Fig. 2.22 y 2.23)

Las variables Ω, ω, γ son velocidades angulares, por lo que el sensor es un motor de

DC (Fig. 2.23a). Un motor de este tipo, al girar accionado por una fuerza externa, genera

un voltaje proporcional a la velocidad angular de su rotor.

Es decir que la velocidad angular del rotor y por lo tanto la rapidez de giro del disco

al que está acoplado mediante una polea o rueda, tienen una relación lineal con el voltaje

generado (el motor y un circuito rectificador actúan como generador de DC). (Fig. 2.22 a y

b y Fig. 2.23a)

Para medir la posición angular del brazo de oscilación se empleó un potenciómetro

lineal (Fig. 2.23.b) colocado sobre el eje de oscilación, de manera que su valor resistivo

fuera proporcional al valor angular de desviación del brazo respecto al eje polar universal

(sistema de referencia del operador, definido por la recta que une al eje del disco

motorizado y el eje de oscilación del brazo).

Fig. 2.22 a) Sensor Ω del disco motorizado. b) Sensor ω del disco libre.

Para capturar y linealizar los valores detectados, se construyó una tarjeta de

adquisición de datos vía puerto paralelo, para hacer un muestreo de las señales obtenidas

con los sensores.


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CAPITULO II

35

El sistema se calibró para compensar mediante software las no-linealidades debidas a

inevitables imperfecciones respecto al comportamiento teórico del motor-generador,

incluyendo el efecto del filtro pasa-bajos instalado a cada sensor para eliminar ruidos de

conmutación.

La Tabla 2.1 muestra el error promedio encontrado experimentalmente para cada uno

de los sensores empleados.

Fig. 2.23 a) Sensor γ del excéntrico que guía al brazo oscilante. b) Potenciómetro,

medición de ángulo instantáneo A0 + A del brazo oscilante respecto al eje de simetría

de la máquina.

Speed = RPM Min Min Med Med Max Max

Variable Disk

Error

[RPM]

Error

%

Error

[RPM]

Error

%

Error

[RPM]

Error

%

ω R2= 7.5cm +0.33 +1.10 +0.34 +0.84 +0.24 +0.48

ω R2= 10cm +0.21 +0.70 +0.25 +0.63 +0.23 +0.47

ω R2= 12.5cm +0.19 +0.65 +0.19 +0.49 +0.219 +0.39

Ω R1= 30cm +0.44 +1.45 +0.44 +1.10 +0.44 +0.87

γ Re=12cm +0.43 +1.43 +0.40 +1.01 +0.26 +1.53

Tabla 2.1 Resolución de los sensores ω(Min,Med,Max)=(30,40,50 RPM) ,

Ω(Min,Med,Max)=(30,40,50 RPM) , γ (Min.Med,Max)=(20,30,40 RPM)


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CAPITULO II

36

Dado que debemos garantizar la óptima exactitud de las mediciones de rapidez de

rotación de los discos, se midió en tiempo real el voltaje generado por los motores DC, con

los discos (work & tool) en configuración coaxial (ver Fig. 2.22b), es decir bajo la

condición ω = Ω, bajo diferentes velocidades de rotación del eje motorizado, verificadas

mediante mediciones con cronómetro. De manera semejante se hizo con el sensor del

excéntrico

De esos resultados experimentales, se desarrollaron ecuaciones que linealizan las

lecturas de rapidez de rotación, ajustándolos a los valores obtenidos mediante cronómetro.

Usando el paquete LABVIEW, se programaron las ecuaciones de corrección y así seadquirieron en tiempo real valores confiables de la rapidez de rotación de los discos (Tabla

2.1) (Fig. 2.25).

De esta forma fue posible obtener en tiempo real el comportamiento de la rapidez de

rotación del disco superior ω (t) y correlacionarlo con los valores de Ω y γ obtenidos

simultáneamente con los otros sensores (Tabla 2.1), resultados típicos del comportamiento

de ω (t) se muestran en las Figs. 2.26, 2.27, 2.28. La tarjeta de adquisición de datos se

muestra en la Fig. 2.24

Fig. 2.24 Circuito de conmutación rápida para obtener en tiempo real los valores de las

cuatro variables experimentales (ver texto).


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CAPITULO II

37

Fig. 2.25 Sistema de adquisición de datos

Las magnitudes que se midieron en tiempo real en todos los experimentos fueron: El

valor rms ωa y la media ωb de la rapidez instantánea ω∗ del disco superior (donde ω(t) =

ω* ). Los valores de ω∗ se capturaron cada 0.002 seg.,

El valor rms y la media son proporcionadas por rutinas del paquete LabView, sobre

las últimas cincuenta (50) lecturas consecutivas (equivalente a 0.1 seg.) del conjunto de

muestras ω∗.

Recordar que las señales digitalizadas pasaron a través de un filtro pasabajas tipo “Pi”

en el circuito de conmutación del muestreo y por lo tanto ya traen un bajo nivel de ruido.

El sistema registraba también los valores máximo ωA y mínimo ωI de la media ωb

de rapidez de rotación del disco superior, así como la desviación estándar ωS y la

varianza ωV de ese mismo valor, tomando como universo el conjunto de los cincuenta

(50) valores de ω∗ más recientes.

Inicialmente, en todos los experimentos, estos resultados ωa, ωb, ωA, ωI, ωS, ωV

variaban irregularmente dentro de intervalos más o menos amplios, que poco a poco

tendían a angostarse y las gráficas desplegadas en pantalla permitían apreciar como,

paulatinamente, adquirían un comportamiento armónico, indicando que el sistema se

estabilizaba (Figs. 2.26, 2.27, 2.28).

Sensor de velocidad (en contacto con uno delos discos mediante una

polea.)

Tarjeta deadquisición de

datos(vía Puerto Paralelo).

Computadora.(corrección,

almacenamiento ydespliegue de datos)


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CAPITULO II

38

Una vez estabilizado el proceso, se pulsaba una tecla para resetear el sistema de

muestreo e iniciar el análisis estadístico del proceso estable de esmerilado.

Se permitía funcionar el sistema durante dos minutos y se grababan los resultados

completos en un archivo conteniendo: i, j, k, l, m, n, ωA, ωI, ωa, ωb, ωS, ωV, que por la

unívoca relación de los índices con las variables físicas del sistema son equivalentes a: σ,

Σ, D2, L0, γ , Ω, ωa, ωb, ωA, ωI, ωS, ωV.

Suponemos que cuando el sistema adquiere un comportamiento estable, las

superficies que interactúan se han conformado una a la otra y la tendencia local del proceso

de desgaste se ha definido para cada región de las dos superficies.

Una vez así, los valores registrados constituyen una descripción estadística ωa, ωb,

ωA, ωI, ωS, ωV del proceso de desgaste abrasivo que, (en unión a las variables

experimentales de ajuste de la máquina L0, γ, Ω y a las características del disco superior

σ, Σ, D2), nos permitirán realizar simulaciones numéricas y visualizaciones de las

topografías que adquirirán las superficies de ambos discos en función del tiempo de trabajo.

Para las simulaciones numéricas, consideramos el valor promedio de rapidez

instantánea de rotación del disco superior como el promedio ωωωω = ( ωa + ωb )/2 y la

desviación estándar como el promedio ωωωωs = ( ωS + (ωV )1/2)/2


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CAPITULO II

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Fig. 2.26 Sistema de lectura de datos en régimen inestable (detalle)

Fig. 2.27 Régimen estable (detalle)

Fig. 2.28 Sistema de lectura en régimen estable, pantalla completa


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CAPITULO II

40

2.10 Descripción de los experimentos para la medición de ωωωω

Como se mencionó anteriormente, el disco superior gira a una velocidad angular

variable ω (t) bajo los efectos de la fuerza de fricción que ocurre por la acción del granoabrasivo entre el vidrio y la herramienta. Varias investigaciones teóricas y experimentales

han apuntado a la importancia de conocer la magnitud de esta velocidad angular variable

[2, 4-7 ]. Sin embargo, las ecuaciones reportadas de esta función son difíciles de calcular en

tiempo real o son solo aplicables a casos particulares [4-7].

En este trabajo de tesis han sido desarrollados un conjunto de experimentos para

encontrar una ecuación que pudiera ser aplicada en tiempo real a una máquina

esmeriladora-pulidora de configuración tradicional.

La parte central de los experimentos son una serie de discos de vidrio, los cuales

fueron usados como disco superior. Estos discos están construidos de vidrio flotado de

ventana de 18 mm. de grueso, sobre el que se fijaron piezas octagonales del mismo tipo de

vidrio flotado usando cemento óptico NORLAND (Fig. 2.29).

Fig. 2.29 Construcción del disco superior


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CAPITULO II

41

La parte primordial de los experimentos para encontrar ω (t), son los resultados

obtenidos con los tres tamaños de discos superiores de vidrio sobre los que se fijaron tres

tamaños de piezas octagonales de vidrio flotado. (Ver Tabla 2.2)

En la Tabla 2.2 y en toda la investigación, las variables y sus índices están asociados

uno a uno, por ejemplo: referirse al índice i implica siempre referirse a la variable

σ (Apéndice 2-1), etc, en el siguiente capitulo se darán más detalles.

σ( i ) Σ( j ) R2( k ) L0( l ) γ ( m ) Ω( n ) Α0

Índice Cm2. cm cm. RPM RPM Grad

0

1 5 0.5 7.5 33 Sin Mov 30 0°-12°

2 5 0.5 10 36 Sin Mov 40 0°-12°

3 5 0.5 12.5 39 Sin Mov 50 0°-12°

Tabla 2.2 Variables físicas investigadas y sus valores empleados en los

experimentos.

En la Tabla 2.2, las primeras tres variables describen las propiedades del disco

superior y las tres restantes las propiedades de la máquina. En la Fig. 2.30 se muestra laconstrucción de estos discos.

Fig. 2.30 Discos superiores 1) Disco chico Pieza grande área/2 2) Disco mediano

Pieza grande área/2 3) Disco grande pieza grande área/2


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CAPITULO II

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Cada experimento se realizó bajo suministro continuo de abrasivo, para asegurar un

régimen de desgaste y velocidad del disco superior estable (Carrera normal, presión de 6

kgf y las dos superficies herramienta-vidrio acopladas, es decir tienen la misma curvatura).

La cantidad de suministro y la concentración de abrasivo óptimas se encontraron

experimentalmente (Fig. 2.31) . Aproximadamente 1/6 de concentración volumétrica de

abrasivo mostró ser lo adecuado y un régimen de suministro de 3 a 8 cm3 por minuto

mostró buena estabilidad en la velocidad de rotación del disco superior (Fig. 2.27).

Para tener un suministro continuo de slurry se usaron dos tipos de bombas, una

sumergible para tener un flujo continuo de abrasivo mientras que la otra es una bomba de

aire (tipo de pecera) para evitar que se asentara el abrasivo.

En la figura 2.31 se muestra el sistema donde se controla el suministro mediante 2

válvulas, una controla el suministro final mientras que otra controla la mezcla aire -slurry

Fig. 2.31 Sistema de suministro continuo y una muestra de slurry, asentado durante una

noche.

Durante los experimentos de esmerilado descritos en la Tabla 2.3, se empleó abrasivo

de alúmina, 15 micrometros, a una presión constante de 6 kgf. Se colectaron 3 valores

correspondientes a la rotación del disco superior en función de los experimentos

desarrollados, máximo ωA , mínimo ωI y la media ωb de rapidez de rotación del disco

superior,


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CAPITULO II

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Fig. 2.32 Resultados de ω(t) estática

(a) (b) (c)Fig. 2.33 Resultados auxiliares de ω (t) en condición estática


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CAPITULO II

45

Estos experimentos nos sugirieron que podría existir alguna forma de representar la

velocidad del disco superior bajo condiciones normales de operación (γ ≠ 0).

Basados en esta estimación, desarrollamos una ecuación que representara la rapidez

promedio de rotación del disco superior como función únicamente de parámetros de la

maquina y del disco superior. La ecuación es rápida de calcular y combina parámetros

físicos que no requieren grandes recursos de cómputo, por lo que puede calcularse en

tiempo real, la cual se expresa mediante las ecuaciones Ec. 2.15 y Ec. 2.16.

)2 / ()( 2 t Sin B Bt B A γ ω −−Ω= , Ec. 2.15

donde

321

21o

R2B

R)GL(

π

−Ω= A B , 2

1

212 R2

RLB

π Ω=

B B . Ec. 2.16

Los coeficientes B1 y B2 varían para cada tamaño de disco R2 donde B1=1.85, B2=-

.88 para R2= 12.5cm; B1=2.63, B2=-1.29 para R2= 10cm y B1=2.8, B2=-4.26 para R2=

7.5cm.

En la figura 2.34 se muestran los errores (ω∗ teórica – ω∗ experimental para un

conjunto de experimentos bajo condiciones normales de operación (Tabla 2.3).

Estos experimentos se realizaron para 27 discos (Fig. 2.35) con un total de 729

experimentos siguiendo la tabla 2.3

σ( i ) Σ( j ) σ( k ) L0( l ) γ ( m ) Ω( n )

Índice Cm . cm. cm. RPM RPM

0 15 0.98 10

1 7.5 0.125 1 36 20 30

2 10 0.25 2.2 37.5 40 40

3 1.5 0.5 5 39 60 50


experimentos.


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CAPITULO II

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En la Fig. 2.34 se muestran los errores respecto de la ecuación aproximada con los

729 experimentos (más detalles en el capitulo 3)

Fig. 2.34 Errores de la ecuación ω promedio aproximada respecto a resultados

experimentales

a)


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CAPITULO II

47

b)

c )

Fig. 2.35. Herramientas de vidrio. a) S/2 , b) S/4 , c)S/8

2.12 Referencias

[1] F. W. Preston, The theory and design of plate glass finishing machines, J. Glass Tech.

11 (1927) 214-256.

[2] K. G. Kumanin, Generation of Optical Surfaces, Focal Library New York (1962).

[3] http://www.mne.psu.edu/sommer/me562

[4] W. D. Dong, E.S. Putilin and Y. V. Rudin, Modelling the velocity and trajectory of therelative motion of a zone of a workpiece during surface lapping, J. Opt. Technol.

70 (2003) 54-57.

[5] V. V. Travin, Investigation of the laws governing the rotational motion of the driven

element of grinding-polishing machines, J. Opt. Technol. 72 (2005) 45-50.


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CAPITULO II

48

[6] T. A. Porsching and C. A. Hall, Approximation methods and the computer numerically

controlled fabrication of optical surfaces, Proc. SPIE 1531 (1991) 206-215.

[7] R. S. Chang and P.Y. Lee, Computer simulation of loose abrasive grinding aspherical

optical surface by local figuring pitch, Proc. SPIE 1531 (1991) 312-317.

Apéndice 2-1. Paper

(ver anexo)

Apéndice 2-2. Definición de variables

K P = Preston’s constant.

L0 = Oscillating arm length, measured from oscillating axis to upper disk’s center [cm].

ρ 0 = Contacting points position vector (universal coordinates), measured from oscillation

axis [cm]

L1 = Upper disk (axis) position vector, measured from spindle’s axis [cm]

ρ1 = Contacting points position vector, measured from spindle’s axis. [cm]ρ2 = contacting points position vector, measured from upper disk’s axis. [cm] 0


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CAPITULO II

50

Apéndice 2-3 Condiciones de simulación

Longitud del brazo oscilante (desde su eje al eje del plato superiRo Γ DeltaRo+:=

[grados] Posicion angular del vidrio

en el plato superior (Libre)

theta 0−:=

[c m] Posicion de la pieza de vidrio

mediida desde centro plato superior (libre)R2p 9.5:=

Se mide desde Spindle al Pivote de Disco Superior

(desplazamto. centro disco superior respecto SpindleDeltaRo 5:=

Radio del Disco inferior (motorizado)Rad 15:=

Radio del Disco superiorR2max 10:=

Secuencia incrementos de (t) por cada Ciclo de de Spindlet 1 360 h⋅ T⋅..:=

Incremento de tiempo para calculos 1 => 0.33 segh 3:=

Numero de vueltas del Spindle que se evaluaranT 2:=

Ω 30.1:= Velocidad constante del plato inferior (Motorizado)

ω t( ) 0:= Veloc. Angular plato superior (libre) AHORA SE ESTA C

Stro 50:= No. de oscilaciones por minuto del brazo oscilante

Distancia del centro de oscilacion del brazo oscilante, al

herramientra pulidora (plato inferior), (letra rusa en el teΓ 33:=

θmach 12:= θref en el paper

r4 17:=Brazo CD

r1 32:=Brazo AD

θoffcenter 5−:= Posicion angular del centro del intervalo de oscilacio

r2 5:= Amplitud del Angulo de oscilacion del brazo oscilante

Factor de conversion de ajuste lineal a ajuste angular

(desplazamiento del pivote del brazo oscilante respecto deeje del eccentrico)

r2

r2

3.373:=


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CAPTULO III

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CAPITULO III


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CAPITULO III

3.1 “EXPERIMENTOS PARA INVESTIGAR LA CINEMÁTICA DE

ROTACIÓN DEL DISCO LIBRE”

En el capitulo II se describió la cinemática de las componentes motorizadas de una

máquina esmeriladora-pulidora convencional, del tipo más ampliamente difundido en el

mundo.

Las velocidades V 0 y V 1 producidas por las partes motorizadas, están totalmente

bajo el control del operador, no así V 2, la componente debida a la rapidez de rotación del

disco superior, que gira exclusivamente bajo la acción de las fuerzas de fricción del proceso

de desgaste abrasivo.

El objetivo de los procesos de esmerilado es la obtención de una superficie tan

cercana a la deseada como sea posible, para minimizar el tiempo de pulido.

Preston [1] y Kumanin [2] fueron los primeros en analizar el efecto de desgaste

producido por la distribución de presiones, realizando investigaciones sobre la influencia de

la presión P sobre el desgaste abrasivo.

Ambos señalan la intensa influencia de la velocidad relativa V entre puntos en

contacto pero, por carecer de los medios de cómputo apropiados, no pudieron investigar en

detalle sus efectos, principalmente por el total desconocimiento de la componente de

velocidad relativa debida a la rotación del disco libre V 2.

Kumanin propuso dos métodos para estimar el comportamiento del disco superior

durante el esmerilado de superficies planas [Kumanin [2], cap4], es muy probable que por


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CAPTULO III

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El disco superior (con las piezas de vidrio que se esmerilan) efectúa un movimiento

oscilatorio sobre el disco inferior, guiada por un brazo y un pivote, que es accionado a su

vez por un eje excéntrico que gira a también a velocidad angular constante γ RPM.

El disco superior gira libremente sobre su pivote central, impulsado por la resultante

de las fuerzas de fricción del proceso abrasivo que tiene lugar en el área de contacto de

ambos discos.

La maquina esmeriladora Strassbaugh 6Y-1 que se muestra en la Fig. 3.1 tiene esta

configuración.

En ella podemos ajustar de forma continua la fuerza f 0 que se aplica al brazo

oscilante, la rapidez de rotación del disco inferior Ω y la frecuencia de oscilación γ del

brazo que guía al disco superior.

La amplitud A de oscilación así como la posición central A0 de la oscilación del

brazo que guía al disco superior además de la longitud del brazo de oscilación L0, respecto

de la recta que une el centro del disco inferior con el centro de oscilación del brazo, pueden

variarse continuamente, deteniendo la máquina para poder hacerlo.

Todos los investigadores que se han ocupado del proceso de desgaste abrasivo en

máquinas esmeriladoras de configuración tradicional también han constatado que el

problema de predicción de la velocidad de rotación del disco libre (superior), desde un

punto de vista teórico, es extremadamente complejo.

Algunos han incursionado solo parcialmente en el plano experimental, explorando losefectos de las leyes de movimiento del disco superior, sin proponer una ecuación que

permita calcular su rapidez de giro, en función de los ajustes de la máquina y del trabajo

que esté realizando.


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CAPTULO III

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En casos especiales se ha optado por motorizar al disco superior, para poder calcular

con mayor certidumbre los efectos del desgaste abrasivo sobre la superficie que se trabaja,

especialmente para superficies planas o de radio de curvatura muy grande [4, 7- 15].

Fig. 3.1 La máquina Strassbaugh 6Y-1, con los sensores empleados.

El objetivo inicial buscado en esta investigación, es un conjunto de ecuaciones que

permitan calcular la rapidez de giro del disco superior, en el que están montadas las

componentes ópticas que se trabajan.

Este disco gira libremente bajo la acción de las fuerzas de fricción, que son función de

los valores asignados a las variables físicas de la máquina (Ω , γ ,L0 , A, A0 , P ) y a las del

trabajo específico que se realiza (σ, Σ, D2, Q), definidas en el apéndice 2.2

Con el fin de obtener información en tiempo real, se construyó una tarjeta de

adquisición de datos que permite medir los valores de: A0+A (Posición angular del brazo

de oscilación), Ω (Rapidez de rotación del disco inferior), γ (Frecuencia de oscilación del

brazo de pivoteo), ω* (rapidez instantánea de rotación del disco superior), cuya

construcción y funcionamiento ya se explicó en el capitulo anterior


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CAPTULO III

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De esta forma fue posible medir en tiempo real el comportamiento de la rapidez de

rotación del disco superior ω* y correlacionarlo con los valores de Ω, γ y A(t) obtenidos

simultáneamente con los otros sensores, un resultado típico del comportamiento de ω* se

muestra en la Fig. 2.26.

La investigación experimental se organizó en un arreglo tipo “Latin Squares”,

donde se les asignaron valores a incrementos iguales de las variables físicas investigadas,

cubriendo todo el rango de cada una de ellas, como se muestra en la Tabla 3.1

En la Tabla 3.1 y en toda la investigación, las variables y sus índices están asociados

uno a uno, por ejemplo: referirse al índice i implica siempre referirse a la variable σ, etc.

Subscript

i,j,k,l,m,n

value

σ( i ) Σ( j ) D2( k ) L0( l ) γ ( m ) Ω( n )

cm2 cm cm RPM RPM

1 1.1 0.125 15 36 20 30

2 2.2 0.25 20 37.5 40 40

3 5 0.5 25 39 60 50


experimentos.

Las primeras tres variables son propiedades del disco superior y las tres restantes son

propiedades de la máquina.

Cada tercia constituye un espacio tridimensional que será investigado mediante el

correspondiente arreglo tipo “Latin Squares” en los espacios bidimensionales

(σ ( i ) , Σ ( j )) y ( L0( l ) , γ ( m ) ) desplegados a intervalos regulares a lo largo de la

tercera dimensión de cada espacio tridimensional: D2( k ) y Ω( n ) respectivamente.


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CAPTULO III

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Fig. 3.2 Los dos espacios Tridimensional de trabajo

Como se menciona arriba, el objetivo principal de este trabajo fue la investigación de

la rapidez de rotación del disco libre, durante los procesos de esmerilado de superficies

planas, para encontrar una representación del tipo ω∗ = ω ( t, σ, Σ, D2, L0, γ , Ω ) (Ver

Tabla 3.1)

Esto significa que el trabajo se realizó en un espacio hexadimensional (las seis

variables que se listan en la Tabla 3.1), explorando la influencia de cada una de las

variables del sistema sobre la velocidad de rotación del disco superior.

Las tres primeras variables independientes corresponden a los discos con los que se

realizaron los experimentos. Se construyeron 27 discos de vidrio flotado (Tabla 3.1), de

diámetro D2( k ) (Fig. 3.2 y 3.3), donde D2 = 2 R2.

Sobre estos discos se colocaron octágonos de área individual σ(i) de vidrio flotado

del mismo tipo y grueso (18mm), fijados a los discos de vidrio con cemento óptico

Norland.

El número y tamaño de octágonos colocados sobre cada disco fue tal que el área

relativa de contacto con la herramienta, para cada disco, fueron de los valores Σ( j ).

El área de contacto relativa Σ( j) es la suma de las áreas σ(i) de las componentes

ópticas que se trabajan, dividida entre el área del disco sobre el que están montadas (ver

Tablas 3.1 y 3.2):


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CAPTULO III

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j

i

j j jS

r S ∑

=Σ=σ

π ,2,2 Ec.3.1

Las tres variables correspondientes a la máquina son la longitud del brazo L0 (l), la

rapidez de rotación γ (m) del excéntrico y la rapidez de rotación Ω(n) del disco inferior

motorizado, a los que se asignaron los valores mostrados en la Tabla 3.1.

El tamaño de cada tipo de piezas octagonales y su número, para cada tamaño de disco

de vidrio, se seleccionaron de forma que el área de contacto del disco superior con el disco

de la herramienta esmeriladora (disco inferior) fuera casi exactamente: la mitad (S/2) una

cuarta parte (S/4) y un octavo (S/8) del Área Total del disco de vidrio sobre el que se

fijaban, como se muestra en la Fig. 3.3. El error de área relativa de contacto siempre fue

menor a 2%

Todas las piezas octagonales se fabricaron partiendo de cuadros de las medidas

indicadas en el primer renglón de datos de la Tabla 3.4, cortándoles las esquinas para

obtener octágonos regulares.


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ΣΣΣΣ(i,j,k)

Tamaño de pieza octagonal

i = 1 i = 2 i = 3 0

j = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 0

r2(1) = 7.5 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1

r2(2) = 10 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1

r2(3) = 12.5 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1/2 , 1/4 , 1/8 1

Tabla 3.2.- Áreas normalizadas Σ(i,1,k), Σ(i,2,k), Σ(i,3,k), Σ(i,0,0) de las herramientas para

investigación de los procesos de desgaste con abrasivo libre, (ver texto).

En el caso de los discos Σ0 = 1 (toda el área del disco de vidrio de radio r2 en

contacto con el disco inferior), se les cortaron ranuras de 3mm de hondo y 2.5mm de ancho,

formando una cuadrícula regular, cuidando que la intersección de los dos cortes centrales

no coincidiera con el centro del disco. Estas ranuras son una práctica común, para las

herramientas (tool) de esmerilado, para asegurar la distribución del abrasivo sobre toda el

área de contacto entre los dos discos. Para estos casos, se supuso que el área total del disco

estaba cubierta por componentes ópticas cuadradas con área σ = 5.5 x 5.5 cm2. Debido

a estos canales, para efecto de cálculo, se emplea Σ0 = 0.98 (Ver Tabla 3.2).

Las distribuciones hexagonales de las piezas de vidrio se calcularon para cada tamaño

de disco y tamaño de pieza octagonal, de manera que la sumas de las áreas de las piezas

cementadas, divididas entre el área total del disco sobre el que van montadas fuera igual a

Σ = 0.5, 0.25 y 0.125 (es decir: S/2, S/4 y S/8) del área de cada disco de vidrio de radio R2.

(Ver Tabla 3.2 y 3.3 y 3.4)


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CAPTULO III

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Cada distribución de piezas octagonales se hizo alrededor de un hexágono central

inscrito en un circulo de radio r0, variable según cada tamaño de piezas, área de contacto y

radio de disco. El espacio circundante se dividió en seis secciones angulares, definidas por

las seis rectas centro-vértice del hexágono central.

Cada serie de celdas hex

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proceso de desgaste abracibo en maquinas esmeriladoras