MENTES

NOVIEMBRE 2015

Activas

PROCESO DE DIFUSION

EDICION N°1

PROCESO DE MARKOV

Markov en proceso continuo

Proceso Gaussianos

PROCESO ESTOCASTICO

Proceso Estocástico

Editores

Bracho Darvin

Caguado Rotciv

García Jorge

Gutiérrez Odimar

Rojas Dickson

PARA:

La clase de procesos estocásti-

cos del 6to semestre de Ing de

Sistemas, de la profesora Karelis

Molina.

Proceso de difusión?

Difusión es el proceso irrever-

sible por el cual un grupo de

partículas se distribuye de ma-

nera uniforme en un medio ya

sea vacío o formado por otro

grupo de partículas. Este pro-

ceso es estadísticamente pre-

decible en conjunto, aunque

el movimiento de cada partí-

cula aislada es totalmente

aleatorio. Se encuentra impul-

sado por el movimiento térmi-

co de las partículas que com-

ponen ese sistema y se produ-

ce siguiendo las líneas de ma-

yor diferencia de concentra-

ción entre regiones, esto es,

siguiendo los gradientes de

concentración.

DIFERENTES APLICACIONES

Proceso de difusión Se dice que grandes despla-

zamiento, de orden exce-

diendo un fijo, son muy poco

probables en intervalos de

tiempo cortos, esto significa

que la sendas muéstrales del

proceso son continuas. Tam-

bién se puede mencionar

que es un movimiento brow-

niano estándar, pero el com-

ponente tienden a la volatili-

dad, por ahora la funciones

de tiempo y valor actual del

proceso.

Un procesos de difusión uni-

dimensional es un procesos

estocástico {xt} t≥0 para el

que el cambio a lo largo de

un intervalo de tiempo infini-

tesimal, [t,t + dt], puede re-

presentase como t= µ.

Donde {wt} t≥0 es un movimiento

browniano estándar, pero el

componente tendencial µ y la

volatilidad Ơ son ahora funcio-

nes del tiempo y del valor actual

del proceso. Esta expresión ge-

neraliza (1), donde µ y Ơ se

asumían constante, y (2), donde

eran funciones del tiempo úni-

camente. Una ecuación como

(3), en la que el proceso estocás-

tico estar en ambos lados de la

igualdad, se denomina una

ecuación diferencial estocástica.

Por ende, un proceso de difu-

sión e una solución a una ecua-

ción diferencial estocástica.

En rigor, deben satisfacer las

condiciones de crecimiento y

de lipschitz.

Si tanto µ como Ơ son inde-

pendientes del tiempo, se dice

que la difusión es homogénea

respecto al tiempo. en este ca-

so, la distribución del valor fu-

turo del proceso dependerá

del valor actual de “cuán lejos

en el futuro estemos vivien-

do”, no del momento particu-

lar en el que estamos situados.

A modo de ejemplo X t + δ dado

X t = X dependerá únicamente

de X y δ. Pero no de, esto se

cumple en una difusión no

homogénea respecto al tiem-

po, en cuyo caso la distribu-

ción dependerá también de t.

En estadística, y específica-

mente en la teoría de la

probabilidad, un proceso

estocástico es un concepto

matemático que sirve para

caracterizar una sucesión

de variables aleato-

rias (estocásticas) que evo-

lucionan en función de

otra variable, generalmen-

te el tiempo. Cada una de

las variables aleatorias del

proceso tiene su propia

función de distribución de

probabilidad y, entre ellas,

pueden es-

tar correlacionadas o no.

Proceso

Estocástico

Historia

Estudia en un instituto de la ciu-

dad donde mostró cierto talento

para las matemáticas. A los 22

años obtuvo la licenciatura en la

Universidad de San Petersburgo,

donde comenzó a trabajar como

profesor. En 1886 luego de reali-

zar sus tesis de maestría y doc-

torado, accedió como adjunto a

la Academia de Ciencias de San

Petersburgo. En 1883 Markov

sustituye a su maestro Pafnuty

Chebyshev, cuando éste deja la

Universidad, y comienza a im-

partir los cursos de teoría de la

probabilidad, dándole continui-

dad a los estudios sobre los

cálculos matemáticos de la lógi-

ca de la probalidad. Markov

también estuvo interesado en la

estudios de estilos poéticos. A

la edad de 49 años y con 25

años dedicados a la actividad

académica se retira definitiva-

mente de la universidad, aun-

que siguió impartiendo algunos

cursos sobre teoría de la proba-

bilidad. Se opuso a los privile-

gios de la nobleza zarista y llegó

a rechazar las condecoraciones

del propio zar en protesta por

algunas decisiones políticas re-

lacionadas con la Academia de

Ciencias. Markov tuvo un hijo

(con su mismo nombre) que se

convirtió en un renombrado

matemático y lógico.

Si un proceso estocástico verifica la propie-

dad de markov, o sea la condición, entonces

la distribución de probabilidad para todos

los valores futuros del proceso depende solo

de su valor actual, por lo tanto no esta afec-

tado por los valores pasados del proceso.

nótese que los procesos de poisson y wiener

verifican la propiedades de markov.

Markov

Al igual que el tiempo discreto, lo

que impacta en su proceso de

markov es determinar su compor-

tamiento futuro no es su pasado

sino su posición actual. este pro-

ceso es homogéneo ( con respec-

to al tiempo) si su probabilidad de

transición es independiente del

tiempo estacionario.

Cadena de marcokv en tiempo continuo

un concepto de debe ser definido es el de realiza-

ción: una realización de una experiencia aleatoria

es el resultado de una repetición de una experien-

cia. Así, es la experiencia aleatoria “lanzar una vez

el dado” una realización seria el cinco que nos ha

salido en ese único lanzamiento. En este caso la

realización se reduce a un único número (X), si re-

petimos la experiencia, obtendremos otra realizan

distinta. En una experiencia bidimensional, por

ejemplo la identificación de unos individuos a

través de su peso y estatura, una realización seria

el resultado obtenido al tomar un individuo al

azar y medir en él ambos parámetros.

Procesos Gaussianos

Un P.A.X (t) es un proceso

gaussianos, cada función

de x (t) es una variable

gaussiana. Podemos decir

que X(t) tiene una distri-

bución gaussiana si su

función de distribución

tiene la forma:

Si la variable X(t), está norma-

lizada, cumple con las si-

guientes propiedades:

Si X(t) es un proceso gaus-

siano aplicado a la entra-

da de un sistema LIT, la

salida también es un pro-

ceso aleatorio gaussiano

Y(t).

Si un P.A. X(t), es gaussia-

no, entonces las funcio-

nes muestras generadas

por X(t) son conjuntamen-

te, para cualquier n, sien-

do n el orden de P.A,

Si el proceso gaussiano es

estacionario, entonces el

proceso es estrictamente

estacionario.

Si las variables X(t1); X(t2)

…….. X(tn), son obtenias

del proceso gaussiano, X(t),

en los tiempos t1; t2….. tn

y son no correlacionadas

entonces las variables son

estadísticamente indepen-

dientes.

21-11-2015

Espacio continuo

De estados

Supongamos que el proce-

so que estudiamos tiene

por estado inicial x0 e E, en

el cual permanece durante

un tiempo T1, instante al

cual al procesa brinca a

algún estado x1 e E %(x0).

Supongamos que quere-

mos describir el proceso

de números de rebotes de

una pelota en el piso. Su-

pongamos que el proceso

describe el numero de re-

botes de la pelota y por ra-

zones físicas se puede su-

poner que el tiempo en se-

gundos entre el n y el n+1

saltos es 2-n. Entonces, xn

= n y Tn = 1 + 2-1 + 2-2 +

…. + 2-n = 2-1.

Ejemplo

AGRADECIMIENTO

Gracias al grupo de colaboradores, quienes prestaron apo-

yo a los editores en la realización de estas revista con sus

aportes. Así como también a nuestra profesora, la ingeniera

Karelis Molina.