Informe Oral Procesos de Renovación

Roberto C. Romero Norlan Rodríguez García

Temas

• Introducción – Preliminares – Proceso de Markov– Distribución de Poisson

• Proceso de Renovación• Extensión de Proceso de Renovación

Preliminar 1 -Markov

Markov Chains

• Queremos resaltar– Trabaja un conjunto de varriables aleatorias de un

determinado conjunto S– Los procesos de Markov no toman en

consideración los eventos pasados.

Markov

Pre-liminar 2 – Distribucion de Poisson

• A Poisson process is an example of an arrival process, and the interarrival times provide the most convenient description since the interarrival times are defined to be IID. Processes with IID interarrival times are particularly important and form the topic of the markov .

• 2.1.1 Arrival processesAn arrival process is a sequence of increasing rv’s, 0 < S1 < S2 < · · · , where1 Si < Si+1 means that Si+1−Si is a positive rv, i.e., a rv X such that FX(0) = 0.

The rv’s S1, S2, . . . ,are called arrival epochs (the word time is somewhat overused in this subject) and represent the times at which some repeating phenomenon occurs.

• EjemploSe calcula que en la ciudad el 20% de las personas

tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista?

Solucion

Solucion

Notación en Mathematica

• PDF[PoissonDistribution[10],10]

• 1562500/(567 E^10)//N

• Out[9]= 0.12511

Conceptos básicos • Variables aleatoria independientes e idénticamente distribuidas – si

cada una de las variables aleatorias tienen la misma probabilidad de distribución que las otras y todas son independientes mutuamente.

• Teorema del límite central - establece las condiciones bajo las

cuales la media de un gran número suficiente de variables aleatoria independientes e idénticamente distribuidas cada una con media y varianza finita, y con una cierta aproximación a una distribución normal.

• Ley de los grandes números (LLN) - es un teorema que describe el resultado de realizar el mismo experimento un gran número de veces. De acuerdo con la ley, el promedio de los resultados obtenidos a partir de un gran número de ensayos deben estar cerca del valor esperado o promedio, y tienden a acercarse más a medida que más ensayos se llevan a cabo.

Parte II – Informe Oral

Proceso de Renovación

Proceso de renovación

• Definición :• Estudia una clase de procesos estocásticos conocidos como procesos de

conteo, es decir, procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, con la característica de que los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos son variables aleatorias nonegativas, independientes e idénticamente distribuidas.

• Algunas aplicaciones incluyen el cálculo del tiempo de espera en una fila

de banco, el ciclo de un motor, la regulación de un reloj para la perfección en el funcionamiento del mecanismo, la comparar los beneficios a largo plazo de las diferentes pólizas de seguros.

• Lo más importante del proceso de renovación es la medición de tiempo

en un ciclo.

III – Tiempo. (Z)

l---------------------------------------------------------------------------l____S1______l_____S2______l_____S3______l____S4__________t1_______l_____t2______l______t3______l____t4______ Z – Ciclo S – Etapas del Ciclot - Tiempo de cada etapa del Ciclo Zt = t1 + t2 + t3 + t4

CicloEl proceso de renovación se puede entender con

más claridad utilizando un ejemplo de un motor de combustión interna de 4 tiempos.

Motor de 4 cilindros de 4 tiempos encendido 1 2 3 4

Es A Ex C

A C Es Ex

C Ex A Es

Ex Es C A

Es A Ex C

A C Es Ex

C Ex A Es

Ex Es C A

Ciclo 1

Ciclo 2

Ley de los números grandes para procesos de renovación

• Teorema 1• Para un proceso de renovación con variables aleatoria de renovación , ,

con probabilidad 1. • Lema 1• Sea {N(t); t > 0} un proceso de renovación de

conteo con variables aleatorias de renovación internas {Xn; n

Entonces (donde no se ) , con probabilidad 1 y .

• Teorema 2 • Sea {Xn; n es una secuencia de una

variable aleatoria con con probabilidad 1. Sea f una función con valores reales de variables reales el cual contiene . Entonces con probabilidad 1

• Teorema 3 – Teorema del limite central de N(t)

• Asumir que los intervalos de renovación un de proceso de conteo de renovación {N(t); t > 0} tiene desviación estándar finita

Entonces donde

Parte III – Informe Oral

Proceso de Renovación con Recompensa

Renewal – Reward Processes

Proceso de Renovación con Recompensa

Renewal – Reward Processes

• R(t) modela un ritmo en el cual el proceso esta acumulando una recompensa.

• “ Recompensa” = puede incluso un costo ó cualquier cambio aleatorio de un interes.

• Restricción importante= R(t) en un “t” dado, depende unicamente de la localización de “t” en conjunto con el inter

Características:

El promedio de tiempo de Y(t)

Teorema 4.4.1

Bibliografia • TARAZÓN, ISRAEL (Octubre de 2004), “Teoría de

Renovación y Procesos de Renovación Markovianos” , recuperado: 3 de enero de 2011, de http://lic.mat.uson.mx/tesis/123TesisTarazon.PDF

• “Central limit theorem”, recuperado 7 de enero de

2011, http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

• “Law of large numbers ” recuperado: 7 de enero de 2011, http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers