La distribución de Poisson representa un modelo probabilístico apropiado para muchos fenómenos observables que se van a resumir a continuación. Consideremos una fuente de material radiactivo que emite partículas alpha. Sea Xt el numero de partículas emitidas durante un periodo especificado de tiempo[0, t). Xt puede tomar valores enteros como 0,1,2,…. Sea. Pn t = P Xt = n conn = 0,1,2, ….

HIPÓTESIS:

I. El numero de partículas emitidas durante intervalos de tiempo no sobrepuestos son variables aleatorias independientes.

II. Sea Xt como se definió anteriormente y si Yt es igual al numero de partículas emitidas durante [t2, t3 + t] para cualquier t2 positivo, las variables aleatorias Xt y Yt tienen la misma distribución de probabilidades (la distribución del numero de partículas emitidas durante cualquier intervalo depende solo de la longitud del intervalo y no de los extremos.

III. Pk ∆t → 0 para k > 2. Esto

implica que la probabilidad de tener dos o mas emisiones en un intervalo pequeño es despreciable.

IV. Xo = 0, oPo 0 = 1.

V. P2(∆t) es aproximadamente igual a λ*∆t siempre que ∆t sea pequeña, donde λ es una constante positiva.

Las primeras dos hipótesis implican que X∆=yX=?∆= son variables aleatorias independientes con la misma función de probabilidad. Las hipótesis 3 y 5 permiten concluir que

Po ∆t = 1 − Po ∆t - Pk ∆t ~1C

DE3− λ*∆t

Así mismo Po t + ∆t = P[Xt = 0yX=?∆=-Xt = 0]

Po t + ∆t = Po(t)Po(∆t)~Po(t)[1

− λ*∆t] Luego, llegamos a la expresión

Po t + ∆t -Po(t)∆t ~-λPo(t)

Cuando ∆t → 0 y teniendo en cuenta que el miembro izquierdo de la relación

Procesos de poisson y aplicaciones

Ordoñez Hernandez, Alvaro Andrés {aaordonezh}@unal.edu.co

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Colombia

corresponde a una derivada tenemos que

P'o t = -λPo(t) o equivalentemente

P'o(t)Po(t) = -λ

Usando el método de integración de separación de variables tenemos que

𝐿𝑛𝑃𝑜 𝑡 = -𝜆𝑡 + 𝐶 Usando la hipótesis 4 tenemos que al hacer 𝑡 = 0, lleva a que 𝐶 = 0, de manera que llegamos a la expresión:

𝑃𝑜 𝑡 = 𝑒-∆O De forma general tenemos que

𝑃𝑛 𝑡 =𝑒-∆O(𝜆𝑡)P

𝑛! , 𝑐𝑜𝑛𝑛 = 0,1,2,3, …. De esta manera se ha demostrado que el numero de partículas emitidas en un intervalo de tiempo 0, 𝑡 de una fuente radiactiva es una variable aleatoria con distribución de Poisson con parámetro 𝜆𝑡 [Meyer 1992]. La distribución de Poisson apareció gracias a las hipótesis y suposiciones planteadas inicialmente. Cada vez que estas suposiciones se cumplan tendremos una distribución de Poisson que puede aplicarse a muchos modelos[Meyer, 1992]. APLICACIÓN EN TELEFONIA: Sea 𝑋𝑡 el numero de llamadas telefónicas que llegan a la central durante un periodo de tiempo de longitud 𝑡. Las hipótesis que planteamos inicialmente se cumplen

especialmente en un intervalo congestionado. Por lo tanto 𝑋𝑡 es un proceso de Poisson [Meyer, 1992]. APLICACIÓN EN LA TEORÍA DE COLAS: En 1951 Kendall diseñó una notación que aún se acepta para la representación de un sistema de una cola (Winston, 2004). Antes de continuar, es conveniente caracterizar algunos parámetros establecidos por esta notación: M = Define una variable aleatoria que se distribuye de forma exponencial, bien sea para los tiempos de llegada o los tiempos de servicio. D = Los tiempos, ya sean los de llegada o los de servicio, son de tipo determinístico. Ek = Los tiempos de llegada o de servicio están definidos por una distribución de Erlang de parámetro k. G = Los tiempos de llegada o de servicio están definidos por alguna distribución general. Este sistema queda completamente determinado por el siguiente conjunto de seis características:

1. Se ha de especificar la naturaleza del proceso de arribo de los clientes al sistema.

2. Se especifica la distribución de las salidas (naturaleza de los tiempos de servicio).

3. Cantidad de servidores en paralelo.

4. Disciplina de la cola.

5. Esta característica especifica la

cantidad máxima (finita o infinita) de clientes en el sistema (incluidos los clientes de la cola y el servicio).

6. Tamaño de la fuente: la población

se considera infinita, a menos que los clientes potenciales igualen en número a la cantidad de servidores (Winston, 2004).

Para el tratamiento de procesos de colas se presenta a continuación un conjunto de parámetros aceptados de forma general: N(t) = Define para el tiempo t, t≥ 0 número de clientes en el sistema de colas. Pn(t) = Probabilidad de que en el tiempo t, existan n clientes en el sistema. S= Cantidad de servidores en el sistema de colas. λn = Frecuencia media de llegada cuando hay n clientes en el sistema, en caso de ser λn constante para toda n, se nota λ. µn= Frecuencia media de salida del servicio cuando hay n clientes en el sistema; de igual forma, cuando esta frecuencia es constante para cualquier n≥ 1, se nota µ. REFERENCIAS: [1] Meyer, P. L. (1992). Probabilidad y aplicaciones estadísticas, ed. revisada. México, D. F: Adisson Wesley. [2]http://www.urosario.edu.co/urosario_files/68/688eb44f-b32e-4c34-a071-5f4d95473d4f.pdf