Processamento Digital de Sinais Aula02 Simas Ufba

8/12/2019 Processamento Digital de Sinais Aula02 Simas Ufba

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EduardoSimas

Introducao

Operacoes emSinais noTempoDiscreto

TransformadasContnuas

Transformada z

Transformada deFourier deTempo Discreto

Transformadas

DiscretasTransformadaDiscreta deFourier

OutrasTransformadasDiscretas

Exemplosusando o Matlab

Disciplina: Processamento Digital de Sinais

Aula 02 - Operacoes e Transformacoes em

Sinais no Tempo Discreto

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia


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Introducao



Transformada z


Transformadas




Conteudo

1 Introducao

2 Operacoes em Sinais no Tempo Discreto

3 Transformadas ContnuasTransformada zTransformada de Fourier de Tempo Discreto

4 Transformadas DiscretasTransformada Discreta de FourierOutras Transformadas DiscretasExemplos usando o Matlab


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Introducao

Operacoes emSinais noTempo

Discreto


Transformada z


Transformadas




Introducao

O Processamento Digital de Sinais esta fundamentado emferramentas matematicas que permitem a realizacao de

operacoes e transformacoes em sinais no tempo discreto.

Neste modulo iremos estudar:

- Operacoes mais comuns em sinais no tempo discreto;

- Transformadas mais utilizadas para sinais no tempodiscreto.


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Discreto


Transformada z


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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto


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Transformada z


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Um sistema no tempo discreto opera sobre uma sequencia deentrada segundo regras pre-estabelecidas para gerar umasequencia de sada.

Em muitos casos, o funcionamento dos sistemas no tempodiscreto pode ser descrito a partir de operacoes basicas como:

- produto;

- adicao;

- multiplicacao por um escalar;

- deslocamento no tempo;

- reversao no tempo;

- alteracao da taxa de amostragem;

- correlacao.

Essas operacoes serao apresentadas a seguir.


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Transformada z


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Produto (ou modulacao): y[n] =x1[n] x2[n]

Quando o produto e utilizado para obter uma sequencia decomprimento limitado a partir de outra de comprimento infinito(atraves do produto por uma sequencia finita, chamada janela)essa operacao e chamada janelamento:


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Transformada z


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Adicao: y[n] =x1[n] +x2[n]

Multiplicacao por um escalar: y[n] =Ax[n]

Deslocamento no tempo: y[n] =x[n N]

sendo N inteiro. Quando N>0 atraso e se N


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Reversao no Tempo: y[n] =x[n]

Alteracao da Taxa de Amostragem: E possvel gerar umnovo sinal y[n] a partir da modificacao da taxa de amostragemde x[n]. Definindo fx e fycomo sendo respectivamente as

frequencias de amostragem de x e y, temos:

Fy

Fx=R

se R>1 o processo e chamado interpolacao e se R


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Transformada z


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Correlacao: A correlacao indica o nvel se semelhanca entredois sinais (considerando a estatstica de segunda ordem).

Define-se a sequencia de correlacao (ou correlacao cruzada):

rx,y[l] =

n=

x[n]y[n l] com l= 0, 1, 2, . . .

sendo l o atraso entre as duas sequencias para o qual esta sendocalculada a correlacao. A sequencia de correlacao indica asemelhanca entre x[n] e versoes deslocadas de y[n].

Quando a sequencia de correlacao e calculada para um mesmo

sinal e chamada de sequencia de auto-correlacao:

rx,x[l] =

n=

x[n]x[n l] com l= 0, 1, 2, . . .

rx,x

[l] indica a semelhanca entre um sinal x[n] e versoesdeslocadas dele mesmo.


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Transformada z


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Funcao de Autocorrelacao

A funcao de auto-correlacao mostra a velocidade de variacao deum processo aleatorio com o tempo e tem as propriedades aseguir:

- RXX() =RXX() (funcao par);

- O valor maximo ocorre em = 0 (defasagem zero) e valeRXX(0) =E{X2(t)}.

- O processo de calculo de RXX() e semelhante ao de umaconvolucao.

Funcao de auto correlacao de um sinal de SONAR pasivo:

80 60 40 20 0 20 40 60

0

0.1

0.2

RXX


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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao

Deteccao de ecos (medicao de distancias):

A posicao do pico da funcao de correlacao indica o tempo depropagacao T:


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Transformada z


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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao

y[n] =x[n ] +N[n],

sendo N[n] rudo gaussiano.

O pico da funcao decorrelacao pode ser utilizado

para estimar .


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Coeficiente de Correlacao

Coeficiente de Correlacao:

E um valor esperado calculado numa janela temporal finita dossinais e definido por:

x,y = E{(X X)(Y Y)}XY

= XYXY

sendo: E{x[n]}= X 1

N

N

i=1x[i] a media e

E{(x[n] X)2}= 2X

1

N

Ni=1

(x[i] X)2 a variancia.

O fator XY e a covariancia de X e Y e quando os sinais saoestatisticamente independentesx,y = 0.


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Variacao do Coeficiente de Correlacao - Exemplos

4 2 0 2 420

10

0

10

20

X

Y

4 2 0 2 410

5

0

5

10

X

Y

4 2 0 2 4

30

20

10

0

10

X

Y

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

X

Y

XY

=0,99 XY

=0,98

XY

=0,74

XY=0,01


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Transformadas Contnuas


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Transformada z


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Transformada Z


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Transformada z


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Transformada z

A transformada zde uma sequencia x[n] e definida por:

X(z) =Z {

x[n]}

=

n=

x[n]zn

onde z e uma variavel complexa.

E importante observar que X(z) existe apenas para regioes do

plano complexo em que o somatorio converge.

A definicao acima e chamada de transformada z bilateral.


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Transformada z


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Transformada z

Pode-se definir tambem as transformadas zpara sequenciasunilaterais e de comprimento finito:

- Unilateral direita: X(z) =Z {x[n]}=

n=n0

x[n]zn

- Unilateral esquerda: X(z) =Z {x[n]}=n0

n=x[n]zn

- Comprimento finito: X(z) =Z {x[n]}=n1

n=n0

x[n]zn


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Transformada z


Transformadas




Transformada z

Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] =Ku[n]

Por definicao temos: X(z) =K

n=0

zn

.


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Transformada z


Transformadas




Transformada z



n=0

zn

.

Entao, X(z) e uma serie de potencias que converge quando|z1|< 1 para:

X(z) = K1 z1


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Transformada z


Transformadas




Transformada z



n=0

zn

.

Entao, X(z) e uma serie de potencias que converge quando|z1|< 1 para:

X(z) = K1 z1


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Transformada z


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Transformada Z

A transformada z e muito utilizada para a modelagem desistemas no tempo discreto, pois a operacao de convolucao, queno domnio do tempo e utilizada para obter a sada (a partir daentrada e da funcao de resposta ao impulso) e substituda por

uma multiplicacao.A transformada z e a contrapartida discreta da transformada deLaplace.

Uma representacao comum para o par x[n] e X(z) e:

x[n]ZX(z)

A transformada z transforma a sequencia discreta x[n] nafuncao X(z) da variavel contnua e complexa z.


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Transformada z


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Regiao de Convergencia da Transformada Z

Considerando a teoria das series, observa-se que a transformadade zde uma sequencia e uma serie de Laurentda variavelcomplexa z.

Definicao da serie de Laurent: f(z) =

n=

an(z c)n

Neste caso, podemos aplicar resultados da teoria de series echegar ao resultado a seguir:

A transformada zconverge se r1


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A regiao no plano complexo na qual a transformada z converge(r1


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Transformada z


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Pode-se observar que, por definicao, a transformada z e umaserie geometrica da variavel complexa z:

X(z) =Z {x[n]}=

n=

x[n]zn.

Para uma serie geometrica pode-se provar que:N1k=0

ark =a1 rn

1 r , e quando N :

k=0

ark =a 1

1 r , para |r|< 1.

E l ROC d T f d Z


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Transformada z


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Exemplos: ROC da Transformada Z

Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:

1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]

3 - x[n] =u(n+ 1)Resolucao:

E l ROC d T f d Z


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1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]


E l ROC d T f d Z


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Transformada z


Transformadas






1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]


1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =

n=0k2nzn =k

n=0(2z1)n

E l ROC d T f d Z


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Discreto


Transformada z


TransformadasDiscretas

TransformadaDiscreta deFourier





1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]


1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =

n=0k2nzn =k

n=0(2z1)n

chega-se entao a: X(z) = k

1 2z1 , para

|2z1|< 1 |z|> 2.



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Transformada z








1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]

3 -x

[n

] =u

(n

+ 1)Resolucao:

1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =

n=0k2nzn =k

n=0(2z1)n

chega-se entao a: X(z) = k

1 2z1 , para

|2z1|< 1 |z|> 2.



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DiscretoTransformadasContnuas

Transformada z







Resolucao:

2 - x[n] =k2n1u[n 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)

- X(z) =

n=1

k2n1zn = k

2

n=1

(2z1)n



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Transformada z







Resolucao:


- X(z) =

n=1

k2n1zn = k

2

n=1

(2z1)n

fazendo i=n 1:

X(z) = k

2

i=0(2z1)i+1 =

k2z1

2

i=0(2z1)i



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Transformada z







Resolucao:


- X(z) =

n=1

k2n1zn = k

2

n=1

(2z1)n

fazendo i=n 1:

X(z) = k

2

i=0(2z1)i+1 =

k2z1

2

i=0(2z1)i

X(z) = kz1

1 2z1 , para |z|> 2.

Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso

de uma unidade corresponde a multiplicacao por z1

.



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Transformada z







Resolucao:


- X(z) =

n=1

k2n1zn = k

2

n=1

(2z1)n

fazendo i=n 1:

X(z) = k

2

i=0(2z1)i+1 =

k2z1

2

i=0(2z1)i

X(z) = kz1

1 2z1 , para |z|> 2.

Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso

de uma unidade corresponde a multiplicacao por z1

.



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Transformada z







Resolucao:

3 - x[n] =u(n+ 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)

- X(z) =

1

n=

zn



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Resolucao:


- X(z) =

1

n=

zn

fazendo i=n 1: X(z) =0

i=

z(i1) =z0

i=

zi

X(z) = z1 z

para |z|< 1.



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Transformada z







Resolucao:


- X(z) =

1

n=

zn


i=

z(i1) =z0

i=

zi

X(z) = z1 z

para |z|< 1.

Comparando com o par: u[n 1]Z

z1

1 z1, percebe-se que

x[

n]ZX(z1)



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Resolucao:


- X(z) =

1

n=

zn


i=

z(i1) =z0

i=

zi

X(z) = z1 z

para |z|< 1.

Comparando com o par: u[n 1]Z

z1

1 z1, percebe-se que

x[n]ZX(z1)

Funcao de Transferencia


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Transformada z






u cao de a s e e c a

A transformada H(z) da funcao de resposta ao impulso h[n] de

um sistema LIT e denominada Funcao de Transferencia.

Com o conhecimento de H(z) e possvel obter a sada de umSLIT a partir de uma simples multiplicacao no domnio z:

Y(z) =H(z)X(z)

sendo X(z) e Y(z) as transformadas zda entrada (x[n]) e dasada (y[n]) do SLIT.

Em geral uma funcao de transferencia e expressa, de modogenerico, como:

H(z) = Y(z)

X(z) =

Ml=0

blz1

1 +

N

i=1

aiz1

Funcao de Transferencia


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E importante notar que para casos especiais (Ex.: filtros naorecursivos) a funcao de transferencia e simplificada para::

H(z) =Ml=0

blz1

Outra forma bastante utilizada para representar a funcao detransferencia e em funcao de seus polos (pi) e zeros (zl):

H(z) = N(z)D(z)

=H0

M

l=1

(1 z1zl)

Ni=1

(1 z1pi)

=H0zNM

M

l=1

(z zl)

Ni=1

(z pi)

zl e pi sao as razes de N(z) e D(z), respectivamente.

Propriedades da Transformada z


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Transformada z






p

A seguir serao listadas as principais propriedades da

transformada z.

=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(z) =a1X1(z) +a2X2(z)

a regiao de convergencia de X(z) e a interseccao das regioes de

convergencia de X1(z) e X2(z).

=> Reversao no Tempo:x[n]X(z1)

se X(z) converge para r1


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p

=> Multiplicacao por uma exponencial:nx[n]X(z)

sendo r1 Diferenciacao complexa:

nx[n] zdX(z)

dz

a regiao de convergencia se mantem a mesma.

=> Teorema do Valor Inicial:se x[n] = 0 para n


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A Transformada z Inversa


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A transformada z inversa e definida por:

x[n] = 1

2j

X(z)zn1dz

e mapeia uma funcao no domnio da variavel contnua ecomplexa zpara o domnio da variavel discreta n.

O modo mais simples de obter a transformada z inversa e apartir da combinacao das propriedades da transformada compares transformados conhecidos.

Se nao for possvel encontrar uma equivalencia a partir deste

procedimento, entao e necessario utilizar um metodo analticocomo:

- metodo dos resduos;- expansao em fracoes parciais;- divisao polinomial;

- expansao em series.

Metodo da expansao em fracoes parciais


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Transformada z






Considerando que uma funcao X(z) =N(z)/D(z) tem k polos

distintos pk (k= 1, 2, . . . , K) cada um com multiplicidade mk,entao X(z) pode ser expandido em fracoes parciais atraves de:

X(z) =MN

l=0glz

l +K

k=1mk

i=1cki

(1 pkz1)i

Se M


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Transformada z






Obter a representacao no domnio do tempo discreto para

H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)

= (1 + 2z1)

(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)

Resolucao:

Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =

c1(1 + 2z1)

+ c2(1 + 0, 6z1)

c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].

Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1


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H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)

= (1 + 2z1)

(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)

Resolucao:


c1(1 + 2z1)

+ c2(1 + 0, 6z1)

c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].

Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:

c1 = (1 0, 2z1)H(z)z=0,2 =

1 + 2z1

1 + 0, 6z1 z=0,2 = 2, 75



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H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)

= (1 + 2z1)

(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)

Resolucao:


c1(1 + 2z1)

+ c2(1 + 0, 6z1)

c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].


c1 = (1 0, 2z1)H(z)z=0,2 =

1 + 2z1

1 + 0, 6z1 z=0,2 = 2, 75c2 = (1 0, 6z

1)H(z)z=0,6

= 1 + 2z1

1 0, 2z1

z=0,6

=1, 75



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H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)

= (1 + 2z1)

(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)

Resolucao:


c1(1 + 2z1)

+ c2(1 + 0, 6z1)

c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].


c1 = (1 0, 2z1)H(z)

z=0,2=

1 + 2z1

1 + 0, 6z1 z=0,2= 2, 75

c2 = (1 0, 6z1)H(z)

z=0,6

= 1 + 2z1

1 0, 2z1

z=0,6

=1, 75

Entao a sequencia no domnio do tempo correspondente e:

h[n] = 2, 75(0, 2)nu[n] 1, 75(0, 6)nu[n]



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Transformada z







H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)

= (1 + 2z1)

(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)

Resolucao:


c1(1 + 2z1)

+ c2(1 + 0, 6z1)

c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].


c1 = (1 0, 2z1)H(z)

z=0,2=

1 + 2z1

1 + 0, 6z1 z=0,2= 2, 75

c2 = (1 0, 6z1)H(z)

z=0,6

= 1 + 2z1

1 0, 2z1

z=0,6

=1, 75

Entao a sequencia no domnio do tempo correspondente e:

h[n] = 2, 75(0, 2)nu[n] 1, 75(0, 6)nu[n]

Expansao em fracoes parciais - polos multiplos


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Transformada z






Quando a funcao G(z) tem um polo z= de multiplicidade Leos demais N L polos z=plsao simples, a expansao emfracoes parciais pode ser feita a partir de:

G(z) =MNl=0

glzl +

NLl=1

cl

1 plz1L

i=1

ci(1 z1)i

os resduos cisao calculados usando:

ci= 1

(L i)!()LidLi

d(z1)Li

(1 z1)LG(z)

z=

Expansao em fracoes parciais usando o Matlab


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Transformada z






Exemplo:

Encontrarx[n] para: X(z) = 1818 + 3z1 4z2 z3

---------------------------

> num=18;

> den=[18 3 -4 -1];

> [r,p,k]=residuez(num,den);r = 0.3600 0.2400 0.4000

p = 0.5000 -0.3333 -0.3333

k = [ ]

---------------------------



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Transformada z






Exemplo:


---------------------------

> num=18;

> den=[18 3 -4 -1];


p = 0.5000 -0.3333 -0.3333

k = [ ]

---------------------------

Entao:

X(z) = 0, 36

1 0, 5z1+

0, 24

1 + 0, 3333z1+

0, 40

(1 + 0, 3333z1)2



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Introducao



Transformada z






Exemplo:


---------------------------

> num=18;

> den=[18 3 -4 -1];


p = 0.5000 -0.3333 -0.3333

k = [ ]

---------------------------

Entao:

X(z) = 0, 36

1 0, 5z1+

0, 24

1 + 0, 3333z1+

0, 40

(1 + 0, 3333z1)2

x[n] = 0, 36(0, 5)nu[n] + 0, 24(0, 3333)nu[n]+0, 4(n+ 1)(0, 3333)nu[n+ 1]



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Transformada z






Exemplo:


---------------------------

> num=18;

> den=[18 3 -4 -1];


p = 0.5000 -0.3333 -0.3333

k = [ ]

---------------------------

Entao:

X(z) = 0, 36

1 0, 5z1+

0, 24

1 + 0, 3333z1+

0, 40

(1 + 0, 3333z1)2

x[n] = 0, 36(0, 5)nu[n] + 0, 24(0, 3333)nu[n]+0, 4(n+ 1)(0, 3333)nu[n+ 1]

Estabilidade e Causalidade no Domnio z


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Transformada z






Caractersticas como estabilidade e causalidade de sistemaspodem ser associados a padroes especficos dos polos e zeros eda ROC da funcao de transferencia do sistema:

- Se um sistema e causal a ROC esta fora do maior polo;

- Se o sistema e estavel a ROC deve incluir o crculo unitario;

- Se o sistema e causal e estavel as duas condicoes acimaprecisam ser satisfeitas o que implica em ter todos os polosdentro do crculo unitario.

Estabilidade e Causalidade no Domnio z


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Transformada z






Exemplos:

Localizacao dos polos para sistemas (a) causal e estavel e (b) causal

e instavel.

Outros Comandos Uteis no MATLAB


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Transformada z






Operacoes com sistemas lineares discretos (convolucao e

geracao de graficos):---------------------------

a=[1 1 1 1 1];

b = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ;

c=conv(a,b);

stem(c)

---------------------------

0 5 100

5

10

15

20

25

30

35



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Transformada z






Encontrar razes do polinomio G(z) = 8z4

+ 8z3

+ 2z2

z 1:---------------------------

>> roots([8 8 2 -1 -1])

ans =

0.4486

-0.7420-0.3533 + 0.5007i

-0.3533 - 0.5007i

---------------------------

Tracar diagrama de polos e zeros no plano z:

Exemplo 1: H(z) = (z 1)/(8z4 + 8z3 + 2z2 z 1)

---------------------------

>> zplane([0 0 0 1 -1],[8 8 2 -1 -1])

---------------------------



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Transformada z






Sada do Exemplo 1 - x representam os polos e o os zeros:

1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

Real Part

ImaginaryPart



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Transformada z






Encontrar um polinomio a partir de suas razes:

Razes: 0.4, 0.7, 0.3 + 0.5i e 0.3 0.5i

---------------------------

>> poly([0.4, -0.7, -0.3 + 0.5i, -0.3 - 0.5i])ans =

1.0000 0.9000 0.2400 -0.0660 -0.0952

---------------------------

entao o polinomio e:z4 + 0.9000z3 + 0.2400z2 0.0660z 0.0952


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Transformada z






Transformada de Fourier de Tempo Discreto



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Transformada z






A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT - DiscreteTime Fourier Transform) pode ser obtida a partir da definicaoda transformada z fazendo z=ej (ou seja, restringindo odomnio z apenas ao crculo unitario).

Assim, a DTFT converte uma sequencia no tempo discreto para

o domnio da frequencia contnua :

X(j) =X(ej) =

n=

x[n]ejn

E a transformacao inversa e realizada por:

x[n] = 1

2j

X(j)ejnd



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Transformada z






Percebe-se das definicoes anteriores que um sinal x[n] no tempodiscreto pode ser representado por um somatorio infinito desenoides de frequencia ponderadas por fatores proporcionais aX(j).

Lembrando que (Formula de Euler): ejx = cos(x) +jsin(x).

A transformada de Fourier X(j) e periodica com perodo 2:

X(ej) =X(ej+2k), k Z

Assim, a transformada de Fourier de um sinal no tempo discretoso precisa ser especificada num intervalo de 2, como porexemplo: [, ) ou [0, 2).

DTFT - Exemplo


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Introducao



Transformada z






Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:

x[n] =

1, 0 n50, caso contrario

Solucao:

H(ej) =5

k=0

ejk = 1 e6j

1 ej

DTFT - Exemplo


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Introducao



Transformada z







x[n] =


Solucao:

H(ej) =5

k=0

ejk = 1 e6j

1 ej =

e3j(e3j e3j)

ej/2(ej/2 ej/2)

DTFT - Exemplo


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Introducao



Transformada z







x[n] =


Solucao:

H(ej) =5

k=0

ejk = 1 e6j

1 ej =

e3j(e3j e3j)

ej/2(ej/2 ej/2)

=ej5/2 sin(3)

sin(/2)

DTFT - Exemplo


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Introducao



Transformada z







x[n] =


Solucao:

H(ej) =5

k=0

ejk = 1 e6j

1 ej =

e3j(e3j e3j)

ej/2(ej/2 ej/2)

=ej5/2 sin(3)

sin(/2)

DTFT - Exemplo


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Introducao



Transformada z






As respostas em frequencia de modulo e fase sao dadas por:

Lembrando que, para o numero complexo z=a+jbpodemos

definir a representacao polar z=rej

, sendo:r=

a2 +b2 o modulo e = arctan(b/a) a fase.

Usando a formula de Euler podemos chegar tambem a:

a= rcos() e b=rsin() .

Consideracoes sobre a DTFT


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Transformada z






Para que a transformada de Fourier de uma sequencia exista,sua transformada zdeve convergir para |z|= 1

A transformada zconverge na circunferencia unitaria quando:

n= |x[n]|< .

O degrau unitario (x[n] =u[n]) e um exemplo de sinal discretoque nao possui DTFT, pois a expressao acima nao e valida.

A condicao acima, porem, nao e necessaria e suficiente paragarantir a existencia da DTFT, ocorrem casos especiais nosquais a DTFT existe, mas a condicao nao e satisfeita.

Outro aspecto interessante e que a transformada z mapeiasempre para um domnio contnuo, entao, sequencias em quetransformada de Fourier e uma funcao descontnua de naopossuem transformada z.

Propriedades da DTFT


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Transformada z






A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z.

=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(e

j) =a1X1(ej) +a2X2(e

j)

=> Reversao no Tempo:x[n]X(ej)

=> Deslocamento no Tempo:x[n+l]ejlX(ej)

onde l e inteiro.

=> Multiplicacao por uma Exponencial Complexa:ej0nx[n]X(ej(0))

Propriedades da DTFT


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Transformada z






=> Diferenciacao Complexa:

nx[n]jdX(ej)

=> Teorema da Convolucao:x1[n] x2[n]X1(e

j)X2(ej)

x1

[n]x2

[n]X1

(ej) X2

(ej)

A convolucao no domnio do tempo e igual ao produto nodomnio da frequencia e vice-versa.

=> Teorema de Parseval:

n=

|x[n]|2 = 12

|X(ej)|2d

A energia do sinal no domnio do tempo e igual a energia dosinal no domnio da frequencia dividida por 2.

DTFT para Sinais Periodicos


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Transformada z






Considerando que um sinal periodico x[n] =x[n+kN] deperodo N e composto por versoes deslocadas do sinal xf[n],que corresponde a um perodo de x[n], tal que:

xf[n] = 0 para n


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Transformada z






Apos algum algebrismo chega-se a:

X(ej) =2

N

k=

X(k)

2

Nk

,

sendo X(k) =

N1n=0 x[n]e

j(2/N)k

.

Percebe-se que, para sinais periodicos, a DTFT se transformanuma soma discreta de senoides com frequencias multiplas de2/N(chamada por alguns autores de Serie de Fourier).

A transformada inversa e descrita por:

x[n] = 1

2

X(ej)ejnd=. . .= 1

N

N1k=0

X(k)ej(2/N)kn


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Transformada z






Transformadas Discretas

Transformadas Discretas


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Transformada z






As transformadas estudadas ate aqui convertem um sinal notempo discreto para um domnio contnuo, e por isso nao saoadequadas para processamento em sistemas digitais.

Nesta secao serao apresentadas algumas transformadas querealizam mapeamentos para domnios discretos, por exemplo:

- A Transformada Discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform);

- Transformada Discreta de Cossenos (DCT - Discrete CosineTransform);

- Transformada Wavelet Discreta (DWT - Discrete WaveletTransform);

- Transformada de Karhunen-Loeve (KLT - Karhunen-LoeveTransform).


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Transformada z






Transformada Discreta de Fourier



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Transformada z






Conforme visto anteriormente, a DTFT de um sinal x[n]

discreto no tempo e periodico produz uma representacao X(ej

)que e discreta no domnio da frequencia.

Neste caso, para a obtencao da DTFT consideramos apenas umperodo de x[n], denominado xf[n].

E possvel extrapolar essa abordagem para sinais xf[n] decomprimento finito L, porem nao periodicos, escolhendo umsinalx[n] de comprimento NL tal que:.

x[n] = xf[n], 0 n L 10, L nN 1

Ou seja, x[n] tem toda a informacao de xf[n] e N L amostrasadicionais com valor zero.

Quando N=L temos x[n] =xf[n]



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Transformada z






A transformada discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform) converte uma sequencia x[n] no tempo discreto parao domnio da frequencia discreta k:

X(ej2

N k

) =X[k] =

N1n=0

x[n]Wkn

N , 0 kN 1

A transformada inversa pode ser obtida a partir de:

x[n] = 1

N

N1

k=0

X[k]WknN

, 0 n N 1

sendo WN=ej2/N.



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Transformada z






Observa-se da definicao da DFT que:

- Ela fornece uma representacao discreta na frequencia para umsinal de comprimento finito L.

- Essa representacao so e util se o numero Nde amostras e maior

que L.

- A quantidade de amostras da transformada de Fourier e igual aN (numero de amostras do sinal no domnio do tempo).

Nas figuras do proximo slide observa-se o efeito do

completamento com zeros (zero-padding). Em (a) temos aDTFT, em (b) a DFT para N= 8 e em (c) a DFT para N= 32.

Percebe-se que quanto maior N, melhor a resolucao darepresentacao no domnio da frequencia.


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Representacao da DFT na Forma Matricial


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Transformada z






As equacoes que definem a DFT e a IDFT podem ser

modificadas para a forma matricial, fazendo inicialmente:

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Transformada z






E finalmente chega-se a:


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



E interessante notar que a matriz WN tem propriedadesespeciais como:

- e simetrica (WTN =WN);

- W1N =

1

NW

N.

Considerando o custo computacional do calculo da DFT,pode-se verificar que, para uma DFT de comprimento N saonecessarias:

- N2 multiplicacoes complexas;

- N(N 1) adicoes.

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Propriedades da DFT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z.

=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(k) =a1X1(k) +a2X2(k)

=> Reversao no Tempo:x[n]X(k)

=> Deslocamento Circular no Tempo:x[n+l]WlkN X(k)

onde l e inteiro. Diferente da DTFT, a DFT somente e definidano intervalo 0 n N 1, entao o deslocamento definido pelapropriedade e do tipo circular, conforme indicado na figura aseguir:

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Propriedades da DFT

Onde temos (a) x [n] e (b) x [n 3]


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Onde temos (a) x[n] e (b) x[n 3].

=> Deslocamento na Frequencia:WlnNx[n]X(k+l)

=> Convolucao Circular no Tempo:

se x[n] e h[n] sao periodicas com perodo N, entao:N1l=0

x[l]h[n l]X(k)H(k)

onde X(k) e H(k) sao as DFTs dos sinais de comprimento Ncorrespondentes a um perodo de x[n e h[n], respectivamente.

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Propriedades da DFT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



=> Teorema de Parseval:N1n=0

|x[n]|2 = 1

N

N1n=0

|X(k)|2

A energia do sinal no domnio do tempo e igual a energia do

sinal no domnio da frequencia dividida por N.

=> Relacao entre a DFT e a Transformada z:A DFT pode ser definida como uma versao amostrada nafrequencia da DTFT de um sinal no tempo discreto.

Como a DTFT pode ser obtida da transformada z fazendoz=ej, entao a DFT pode ser obtida da amostragem datransformada z em = 2

Nk

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Estimacao Computacional da DFT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Conforme mostrado anteriormente o calculo da DFT pela

definicao requer N2 multiplicacoes complexas (ou seja, crescecom o quadrado do comprimento do sinal).

Isso limita sua aplicacao pratica a sinais de pequenocomprimento.

Visando contornar essa limitacao, foram desenvolvidosalgoritmos rapidos para a estimacao da DFT, conhecidosgenericamente como FFT (Fast Fourier Transform).

Existem tambem tecnicas alternativas para determinacao da

DFT como:

- WFT (Winograd Fourier Transform);

- NTT (Number Theoretic Transform).

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Outras Transformadas Discretas

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Considerando a definicao matricial da DFT, pode-se generalizar

para uma transformada discreta qualquer considerando:

X= ANx

x= ATN X

sendo AN uma matriz N Ntal que:

A1N =ATN

A definicao acima pode ser aplicada para uma grande variedade

de transformadas discretas.

Percebe-se que a transformacao e simplesmente uma mudancade base (ou rotacao) em CN, associada a uma multiplicacao porum fator escalar .

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



E possvel mostrar tambem que, os vetores que compoem amatriz ANformam uma base em C

N, ou seja, sao ortogonais1.

A relacao de Parseval pode ser estendida para umatransformada discreta generica utilizando:

X2 = 1

x2

sendo: v2 =v, v= vTv a norma do vetor v.

Quando = 1, a transformada e dita unitaria, e isso significa

que a energia no domnio transformado e igual a do domniooriginal.

1Dois vetores v1 e v2 sao ortogonais quandov1, v2= 0, o que implical f d t l s /2

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Transformada Discreta de Cossenos

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



A transformada discreta de cossenos (DCT - Discrete CosineTransform)de comprimento Nde um sinal x[n] pode ser definidaa partir de:

C(k) =(k)

N1

n=0

x[n]cos (n+ 1/2)kN

, para 0 kN 1sendo:

(k) =

1N

, para k= 0

2N, para 1 kN 1E interessante observar que a DCT e uma transformada real,pois mapeia um sinal real em coeficientes reais.

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



A DCT inversa pode ser descrita como:

x[n] =

N1k=0

(k)C(k)cos

(n+ 1/2)k

N

, para 0 nN 1

Definindo:

{CN}kn =(k)cos

(n+ 1/2)k

N

entao, a forma matricial da DCT pode ser representada por:

c= CNx

x= CTNX

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A DCT apresenta diversas propriedades, entre elas a relacao de


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



p p p , Parseval:

N1k=0

C2(k) =N1n=0

x2[n]

Conforme ilustrado na figura a seguir, quando a DCT e aplicadaa sinais como audio e vdeo (a), a energia do sinal transformado(b) fica concentrada nos primeiros coeficientes:

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DCT - Aplicacoes

Um sistema de compressao de imagem/vdeo generico pode ser


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Um sistema de compressao de imagem/vdeo generico pode ser

representado por:

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DCT - Aplicacoes

Efeito da aplicacao da DCT eliminando os coeficientes de menor


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



energia. Imagem original (esquerda) imagem no domnio da

DCT (direita).

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Reconstrucao apos Compactacao via DCT

(a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retencao dos coeficientes DCT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



apos a DCT.

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Reconstrucao apos Compactacao via DCT

(a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retencao dos coeficientes DCT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



apos a DCT.

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Implementacao Computacional da DCT


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



A DCT e amplamente utilizada em sistemas modernos de compressaode vdeo.

Para sua determinacao em ambiente computacional pode-se:

- utilizar a relacao da DCT com a DFT (a partir da formula de Euler)e em seguida um algoritmo eficiente para a DFT (Ex. FFT).

- Utilizar implementacoes rapidas e otimizadas para o calculo da DCT.

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Transformada Discreta de Wavelet

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Ed d

Transformada Wavelet

A transformada wavelet(que em portugues seria chamada depequena onda ou ondaleta) diferente das transformadas de


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



pequena onda ou ondaleta ), diferente das transformadas de

Fourier e Cossenos (que sao baseadas em funcoes de duracaoinfinita), realiza a aproximacao de sinais atraves do somatorio deversoes delocadas, comprimidas e expandidas de funcoes de curtaduracao (t), conhecidas como wavelet mae:

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Ed d


A transformada waveletcontnua de um sinal x(t) pode ser definidacomo:


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



como:

Wx(s, u) =

x(t) 1s

tu

s

Considerando-se a funcao waveletchapeu mexicano:

(t) = (1 t2)et2/2, pode-se observar o efeito da aplicacao dofator de escala sna figura a seguir:

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Uma das principais caratersticas da transformada wavelet e apossibilidade de explorar simultaneamente os domnios dotempo (atraves do deslocamento u) e da frequencia (atraves dofator de escala s).

A transformada wavelettem um historico relativamente recente.Sua popularizacao ocorreu a partir da decada de 1980.

Entre as aplicacoes mais difundudas pode-se destacar:codificacao de sinais, processamento de imagens e

processamento de audio.

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Transformada Discreta de Wavelet


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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



A versao digital da transformada wavelet(conhecida comoDWT - Discrete Wavelet Transform) pode ser implementada

atraves de um banco de filtros hierarquicos.

A DWT sera abordada em detalhes posteriormente (apos oestudo dos filtros digitais).

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Transformada z



Transformada

Discreta deFourier



Transformada de Karhunen-Loeve

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Eduardo


A transformada de Karhunen Loeve (KL) e uma das tecnicas


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Transformada z






A transformada de Karhunen-Loeve (KL) e uma das tecnicasmais utilizadas para a reducao de dimensao (compactacao) desinais multidimensionais (adquiridos por conjuntos de sensores).

Um sinal multidimensional x[n] pode ser representadomatricialmente pelo agrupamento dos diversos sinais xi[n]

(i= 1, . . . , N) que representam o processo fsico em questao:

x[n] =

x1[n]x2[n]

...

xN[n]

A transformada KL tambem e conhecida como Analise deComponentes Principais (PCA - Principal Component Analysis).

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Transformada z






A transformada KL (ou a PCA) utiliza informacoes estatsticasdos sinais xi[n] (i= 1, . . . , N) para transforma-los num conjuntode sinais yi[n] (i= 1, . . . , N) que sao mutuamentenao-correlacionados.

Ou seja, a correlacao entre quaisquer par yi[n], yj[n] e nula,exceto quando i=j.

A transformacao e realizada a partir da projecao numa novabase de vetores em RN composta pelas colunas aide umamatriz A, de modo que:

y[n] =ATx[n]

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Transformada z



TransformadaDiscreta deFourierOutrasTransformadasDiscretas


Considerando-se um sinal multidimensionalx[n] = [x1[n],..., xN[n]]

T com Ncomponentes, assume-se queele tenha media zero:

E{x}= 0,

onde E{.} e o operador esperanca.

Se x tem media nao nula, faz-se: x x E{x}.

A projecao yi[n] de x[n] na direcao de aipode ser expressa por:

yi=aTi x=

Nk=1

akixk

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Introducao



Transformada z





Na transformacao por PCA, os componentes yi[n] (i= 1,..., N)devem ser ortogonais e ordenados (de modo decrescente) pelavariancia das projecoes.

Para tornar a variancia independente da norma de ai, faz-se:

ai ai

ai

Fazendo-se com que ||ai||= 1, torna-se a variancia funcaoapenas da direcao das projecoes.

Como E{x}= 0, entao E{yi}= 0, logo a variancia da projecaoyi e calculada por: E{y

2i}.

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Seguindo a definicao da PCA, y1 tem maxima variancia; logo,a1 pode ser encontrado pela maximizacao de:


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Transformada z





a1 pode ser encontrado pela maximizacao de:

JPCA1 (a1) =E {y2i}= E {(a

T1x)

2}= aT1E {xxT}a1 =a

T1Cxa1,

onde Cx=xxT e a matriz de covariancia de x.

A solucao para o problema pode ser encontrada na algebralinear, a partir da decomposicao em autovalores (1, 2,...,N)e autovetores (e1, e2,..., eN) da matriz Cx.

A ordem dos autovetores e tal que os autovalores associados

satisfazem 1 > 2 > ... > N.

Desta forma, tem-se:

ai=ei, 1 iN

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Transformada z





Percebe-se que a PCA de x e a decomposicao por autovaloresda matriz Cx (de dimensao N N) sao equivalentes.

Limitacoes computacionais na extracao dos componentes

principais utilizando anteriores aparecem quando a dimensao Ndo vetor x aumenta, pois o processo de obtencao dosautovetores se torna proibitivamente lento.

Nesse caso, uma solucao e utilizar metodos iterativos deextracao dos componentes principais, utilizando, por exemplo,

redes neurais artificiais.

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Aplicacoes da Transformada KL


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Transformada z





A figura abaixo mostra um exemplo da aplicacao da PCA paraum sinal bidimensional (N=2):

Observa-se que, visualmente, as projecoes parecem ser naocorrelacionadas e a primeira concentra a maior parte davariancia (96% da energia) do sinal original.

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Uma das principais aplicacoes da Transformada KL e a


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compactacao da informacao.

Conforme ilustrado na curva de carga do exemplo abaixo, asprimeiras componentes acumulam quase toda a energia do sinal:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Componentes

EnergiaAcumulada(%)

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Transformada z



TransformadaDiscreta de

FourierOutrasTransformadasDiscretas


Deste modo, pode-se compactar a informacao descartando oscomponentes de menor energia:

x x

y

Nx1

Kx1

Nx1

PCA PCA-1

A transformada KL possibilita a compactacao de modo otimo,no sentido da minimizacao do erro medio quadratico nareconstrucao do sinal apos a compressao da informacao.

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Transformada KL - Compressao de imagens


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Transformada z






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PCA DCT


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Transformada z






Vimos que a Transformada KL (ou PCA) e a transformacaootima para compactacao da informacao no sentido daminimizacao do erro quadratico medio do

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