Estudo de Vigas Contnuas:MTODO DE CROSS UNIVERSIDADE PAULISTA CAMPUS BRASLIA CURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS PROFESSORA: NVEA ALBUQUERQUE Estudo de Vigas Contnuas SOLUO: Criar relaes entre o carregamento e a deformao. Mtodo das Foras Mtodo das Deformaes Hipteses Preliminares Quando as cargas so todas verticais e no h deformaes axiais, as reaes das vigas contnuas so todas verticais. n Reaes = n Apoios GH = (n-2) Redundantes Sistema Estrutural Hiperesttico Equaes da Esttica no suficientes Deve-se criar uma nova equao Excesso de reaes nulo Eliminao do Apoio Central Viga hiperesttica: N incgnitas> N Eq. Esttica (EFv=0 e EM=0) A terceira equao montada a partir do seguinte modelo:Supe-se a eliminao do apoio central;Calcula-se a deformao que a viga, agora isosttica (estrutura primria: eliminao das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia;Supe-se a aplicao de uma fora de baixo para cima que anulasse a deformao no ponto em que ocorre o apoio na viga real;Determinada a fora, define-se a reao que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reaes, que podem ser determinadas pelas equaes da esttica. Quanto maior o nmero de incgnitas, mais complexas se tornam essas equaes soluo do sistema exige o uso de clculo matricial.Mtodo de Cross Introduo Processo iterativo para soluo de estruturas hiperestticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prvio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um s vo. aplicvel a elementos rgidos que possuem continuidade e ns indeslocveis. Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio.Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotao, de maneira que se reproduza a situao original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento. (Mtodo da Distribuio dos Momentos) Mtodo de Cross Momentos de Engastamento Perfeito Engaste-Apoio:Bi-Engastado:Em Balano: 122,l qMB A =82l qMA =22l qMA =22lb a PMA =( )22 lb l b a PMA+ =l P MA =22lb a PMB =MEP Mtodo de Cross E quando no h engaste? H rotao nos apoios. Condio de Continuidade da Viga: O giro igual, mas com sinal contrrio. Mtodo de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contnuas como inicialmente engastados. Isso pressupe que no h qualquer espcie de giro. Na realidade, quando a viga est em equilbrio, o giro existe, podendo ser horrio ou anti horrio.MEP MEP Mtodo de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio normalmente diferente do outro, pois os vos e carregamentos so normalmente diferentes, significa que o n considerado engastado no est equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Para equilibrar o n deve-se distribuir a diferena AM entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Conveno de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+) AM Mtodo de Cross Princpio Importante: O elemento mais rgido sempre absorve mais esforos. Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento proporcional quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se uma reduo de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulao e um engaste lI EK = 75 , 0lI EK=1 2 1 2 Mtodo de Cross Fator de Distribuio O FD dos momentos de uma barras com relao ao n dado pela razo entre a rigidez da barra e o somatrio de cada parcela dos tramos que convergem para o n. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um n igual a 1. Nota: FD nos apoios extremos: Fator de Propagao O FP dos momentos de uma extremidade outra dado pela razo entre o momento que surge no n oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro. =adjKKFD21= FPFD=1 FD=1 FD=0 Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Segue o passo-a-passo da aplicao do mtodo, dada a viga abaixo: Tramo 1Tramo 2 Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Clculo do coeficiente de rigidez de cada tramo: Tramo 1: Tramo 2: FDBC FDBA FDBA FDBC Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferena em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente rigidez de cada tramo. FDBA FDBC FDBA FDBC Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o n inicialmente engastado, de forma que alcance a posio de equilbrio. Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores devero ser iguais e com sinais contrrios, de tal forma que a sua soma resulte zero, condio de equilbrio.FDBA FDBC FDBA FDBC FDBA FDBC Mtodo de Cross Procedimento de Clculo De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reaes de apoio, usando as equaes da esttica. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reaes sem levar em conta o momento no apoio. Mtodo de Cross Procedimento de Clculo O momento no apoio interno alivia as reaes dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno. Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Aps esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as foras cortantes nos apoios para o traado dos diagramas. Mtodo de Cross Mtodo de Cross Procedimento de Clculo Quando a viga contnua apresenta mais de dois tramos, a liberao dos ns feita para um n de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados. O n, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribudo para cada lado do n propagado para os ns vizinhos, que permaneceram engastados. Mtodo de Cross Procedimento de Clculo O momento propagado provoca alterao no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este. Processo de propagao: Mtodo de Cross Exemplo Numrico Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforos Cortantes da viga contnua abaixo, usando o Mtodo de Cross: Mtodo de Cross Exemplo Numrico 1) Clculo do coeficientes de rigidez de cada tramo: Mtodo de Cross Exemplo Numrico 2) Clculo dos fatores de distribuio: Considera-se: E x I = 1 Mtodo de Cross Exemplo Numrico 3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 1 Mtodo de Cross Exemplo Numrico 3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 2 Mtodo de Cross Exemplo Numrico 3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 3 Mtodo de Cross Exemplo Numrico 4) Distribuio dos momentos desequilibrados: OBSPara melhorar a preciso, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm. Mtodo de Cross Exemplo Numrico 5) Transmisso dos momentos equilibrantes aos ns adjacentes: OBSAs iteraes continuam at que, em cada n, a diferena entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezvel (~ 5% de diferena) Exemplo Numrico 6) Somatrio dos momentos nos ns equilibrados: Exemplo Numrico 7) Somatrio das reaes considerando vos isostticos independentes: momentos nos apoios reaes isostticas efeitos dos momentos das vigas contnuas Exemplo Numrico 8) Somatrio das reaes considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais: Mtodo de Cross Exemplo Numrico 9) Traado do DEC: Mtodo de Cross Exemplo Numrico 10) Traado do DMF: