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Processos ARMAExemplos
Series Temporais e Modelos Dinamicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
Aula 4
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
O Processo Media-Movel
Muitas vezes, a estrutura auto-regressiva nao e suficiente paradescrever totalmente a dinamica induzida por modeloseconomicos.
Por exemplo, vamos considerar o seguinte modelo:
yt = ÎČ0 + ÎČ1xet+1 + ut ,
onde xet+1 e a previsao (subjetiva) para xt+1 feita pelosagentes no instante t e ut e o erro do modelo eut ⌠IID(0, Ï2).
Vamos supor que as expectativas sejam definidas por meio daseguinte regra (expectativas adaptativas):
xet+1 = λxet + (1â λ)xt , 0 †λ †1.
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
O Processo Media-Movel
Portanto,
(1â λL)xet+1 = (1â λ)xt
xet+1 =(1â λ)
(1â λL)xt .
e
yt = ÎČ0 + ÎČ1(1â λ)
(1â λL)xt + ut
(1â λL)ytïžž ïž·ïž· ïžž
Componente Auto-regressivo
= ÎČ0(1âλ)+ÎČ1(1âλ)xt+ ut â λutâ1ïžž ïž·ïž· ïžž
Processo Media Movel
.
O modelo acima e uma caso particular de um modelo ARMAcom defasagens distribuıdas.
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
O Processo ARMA(p,q)
Um processo yt e chamado de processo auto-regressivo mediamovel de ordem (p, q), ARMA(p,q), se:
yt = α0 + α1ytâ1 + · · ·+ αpytâp + Ξ1utâ1 + · · · + Ξqutâq
+ ut ,
αp(L)yt = α0 + Ξq(L)ut ,
onde α0, α1, . . . , αp, Ξ1, . . . , Ξq sao parametros e ut e tal que
E(ut |Ftâ1) = 0
E(u2t |Ftâ1) = Ï2
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
O Processo MA(q)
Um processo yt e chamado de processo media movel de ordemq, MA(q), se:
yt = ”+ Ξ1utâ1 + · · ·+ Ξqutâq + ut ,
yt = ”+ Ξq(L)ut ,
onde Ξ1, . . . , Ξq sao parametros e ut e tal que
E(ut |Ftâ1) = 0
E(u2t |Ftâ1) = Ï2
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
O Processo MA(â)
Um processo yt e chamado de processo MA(â), se:
yt = ”+
ââ
j=0
Ïjutâj
yt = ”+ Ïâ(L)ut ,
onde Ï0 = 1, Ï1, . . . sao parametros e ut e tal que
E(ut |Ftâ1) = 0
E(u2t |Ftâ1) = Ï2
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
Sera utilizada a letra grega Ï ao inves de Ξ para representaros parametros do processo MA(â).
Teorema: Seâ
â
j=0 Ï2j <â, entao o processo MA(â) e
estacionario de segunda ordem.
Teorema: Seâ
â
j=0 |Ïj | <â, entao o processo MA(â) eergodico para media.
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
O Processo AR(p)
Um processo yt e chamado de processo auto-regressivo deordem p, AR(p), se:
yt = α0 + α1ytâ1 + · · ·+ αpytâp + ut ,
αp(L)yt = α0 + ut ,
onde α0, α1, . . . , αp sao parametros e
E(ut |Ftâ1) = 0
E(u2t |Ftâ1) = Ï2
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos ARMA com Defasagens Distribuıdas
O Processo ARMA com Defasagens Distribuıdas
Um processo yt e chamado de processo ARMA com defasagensdistribuıdas, ARMADL, se:
yt = α0 + α1ytâ1 + · · ·+ αpytâp + ÎČâČ
0xt + · · ·+ ÎČâČ
pxtâp
+ Ξ1utâ1 + · · ·+ Ξqutâq + ut ,
αp(L)yt = α0 + ÎČp(L)âČxt + Ξq(L)ut ,
onde α0, α1, . . . , αp, Ξ1, . . . , Ξq, ÎČ0, . . . ,ÎČp, sao parametros e
E(ut |Ftâ1) = 0
E(u2t |Ftâ1) = Ï2
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos MA â Momentos
Media
E[yt ] = E[”] +
qâ
j=1
ΞjE[utâj ] + E[ut ] = ”
Variancia
V[yt ] = E[(yt â ”)2
]
= E[(Ξ1utâ1 + · · ·+ Ξqutâq + ut)
2]
= E[u2t]+
qâ
j=1
Ξ2j E[u2tâj
]
= Ï2
1 +
qâ
j=1
Ξ2j
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos MA â Momentos
Autocovariancia â COV(yt , ytâk)
Îłk = E[(yt â ”)(ytâk â ”)]
= E
ut +
qâ
j=1
Ξjutâj
Ă
utâk +
qâ
j=1
Ξjutâkâj
=
Ï2(Ξk + Ξk+1Ξ1 + · · ·+ ΞqΞqâk) se 0 < k †q
0 k > q.
Autocorrelacao
Ïk =
(Ξk+Ξk+1Ξ1+···+ΞqΞqâk )
1+Ξ21+Ξ22+···+Ξ2qse 0 < k †q
0 k > q.
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos MA(â) â Momentos
Media:E[yt ] = ”.
Variancia:
V(yt) = Ï2 limTââ
Tâ
j=0
Ï2j
.
Autocovariancia:
Îłk = Ï2
ââ
j=0
Ïk+jÏj
.
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Processo AR(1):
yt = Ï0 + Ï1ytâ1 + ut
Por substituicao recursiva
y1 = Ï0 + Ï1y0 + u1
y2 = Ï0 + Ï1y1 + u2 = Ï0(1 + Ï1) + Ï21y0 + Ï1u1 + u2
y3 = Ï0(1 + Ï1 + Ï21) + Ï31y0 + Ï21u1 + Ï1u2 + u3
...
yt = Ï0
tâ1â
i=0
Ïi1 + Ït1y0 +
tâ1â
i=0
Ïi1utâi
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(1) â Momentos
Media
E[yt ] = Ï0
tâ1â
i=0
Ïi1 + Ït1E[y0]
Variancia
V[yt ] = Ï2t1 V[y0] + Ï2tâ1â
i=0
Ï2i1
=
Ï2t1 V[y0] + Ï21âÏ2t
1
1âÏ21
se |Ï1| 6= 1
V[y0] + Ï2t se |Ï1| = 1.
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(1) â Momentos
Autocovariancia â COV(yt , ytâk)
Îłk =
Ï2tâk1 V(y0) + Ï2Ïk1
âtâ1âk
i=0 Ï2i1 se k â„ 0
Ï2tâk1 V(y0) + Ï2Ï
|k|1
âtâ1i=0 Ï
2i1 se k < 0
Se |Ï1| 6= 1
Îłk =
Ï2tâk1 V[y0] + Ï2Ïk1
1âÏ2(tâk)1
1âÏ21
se k â„ 0
Ï2tâk1 V[y0] + Ï2Ï
|k|1
1âÏ2t1
1âÏ21
se k < 0
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(1) â Momentos
Teorema
O processo yt sera estacionario de segunda ordem se, e somentese, |Ï0| = 0, |Ï1| < 1 e Y0 for uma variavel aleatoria com media 0
e variancia Ï2
(1âÏ21).
Prova:1 E[yt ] = 0 â Independente de t!2 V[yt ] =
Ï2
1âÏ21â Independente de t!
3 Îłk = Ï2 Ï|k|1
1âÏ21â Independente de t!
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(1) â Momentos
Caso |Ï1| < 1 o processo sera assintoticamente estacionario sey0 tiver media e variancia finitas. Neste caso,
1 E[yt ] âÏ0
1âÏ1
2 V[yt ] âÏ2
1âÏ21
3 Îłk â Ï2 Ï|k|1
1âÏ21
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Considere o processo AR(p)
yt = Ï0 + Ï1ytâ1 + · · ·+ Ïpytâp + ut
Quais sao as condicoes de estacionariedade (assintotica) parao processo AR(p)?
Considere Ï0 = 0. Logo,
Yt = FtY0 +
tâ1â
i=0
Fiutâi ,
onde:
Yt =
ytytâ1
...ytâp+1
, F =
Ï1 Ï2 Ï3 · · · Ïp
1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 0...
.... . . · · ·
...0 0 · · · 1 0
, ut =
ut0...0
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Se os autovalores λ1, . . . , λp da matriz F forem menores que 1em modulo entao o processo AR(p) sera assintoticamenteestacionario de segunda ordem.
De forma equivalente se as raızes do polinomio
1â Ï1z â Ï2z2 â · · · â Ïpz
p = 0
forem maiores que 1 em modulo, entao o processo AR(p) seraassintoticamente estacionario de segunda ordem.
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Caso particular: AR(2)As condicoes de estacionariedade para o processo AR(2) sao:
1 Ï1 + Ï2 < 1
2 Ï2 â Ï1 < 1
3 |Ï2| < 1
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Media
E[yt ] = Ï0 +
pâ
i=1
ÏiE[ytâi ]
Se o processo for estacionario de segunda ordem
E[yt ] = E[ytâ1] = E[ytâ2] = · · · = E[ytâp] = ”
Logo,
” = Ï0 +
pâ
i=1
Ïi” =Ï0
1ââp
i=1 Ïi
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Processos AR(p) â Momentos
Autocovariancias (k 6= 0)
Îłk =
pâ
i=1
ÏiÎłkâi
Variancia
Îł0 =
pâ
i=1
ÏiÎłi + Ï2
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Representacao MA(â) de processos AR
Considere um processo AR(1)
yt = Ï0 + Ï1ytâ1 + ut ,
onde |Ï1| < 1.Considerando que o processo teve inıcio infinitamente nopassado, o processo AR(1) pode ser escrito como
yt =Ï0
1â Ï1+ ut + Ï1utâ1 + Ï21utâ3 + · · ·
=Ï0
1â Ï1+
ââ
i=0
Ïi1utâi
ïžž ïž·ïž· ïžž
Representacao MA(â)â
Ïi = Ïi1 âââ
i=0 |Ïi | <â
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MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Representacao MA(â) de processos AR
De forma equivalente o processo AR(1) pode ser escrito como
(1â Ï1L)yt = Ï0 + ut ,
onde |Ï1| < 1.
O operador defasagem L possui uma propriedade muitoimportante:
Se |Ï1| < 1 entao
(1â Ï1L)â1 = (1 + Ï1L+ Ï21L
2 + Ï31L3 + · · · )
Se |Ï1| > 1 entao
(1â Ï1L)â1 =â Ïâ1
1 Lâ1
Ă (1 + Ïâ11 Lâ1 + Ïâ2
1 Lâ2 + · · · )
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Representacao MA(â) de processos AR
Resultado Importante
Um processo AR(p) estacionario de segunda ordem pode serrepresentado por um processo MA de ordem infinita.
Importante para estimacao.
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Representacao AR(â) de processos MA
Considere o processo MA(1): yt = ”+ Ξ1utâ1 + ut .
Por substituicao recursiva
(yt â ”) =ut + Ξ1(ytâ1 â ”)â Ξ21(ytâ2 â ”)â · · ·
â (â1)tâ1Ξtâ11 (y1 â ”) + (â1)tΞt1u0.
Se |Ξ1| < 1 e se o processo teve inıcio infinitamente nopassado, entao
yt = ”
[
1â
ââ
i=1
(â1)iΞi1
]
ïžž ïž·ïž· ïžž
Ï0
â
ââ
i=1
(â1)iΞi1ytâi + ut
O que acontece quando |Ξ1| > 1? E quando |Ξ1| = 1?
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Processos ARMAExemplos
MotivacaoDefinicaoPropriedadesInvertibilidade
Representacao AR(â) de processos MA
Considere o processo MA(q)
yt = ”+ Ξ1utâ1 + · · ·+ Ξqutâq + ut .
Se as raızes do polinomio
1 + Ξ1z + Ξ2z2 + · · ·+ Ξqz
q = 0
estiverem todas fora do cırculo unitario, o processo MA(q)possui uma representacao AR(â).
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
Considere o modelo de transmissao monetaria visto na Aula 1:
Ït = λyt + Ïet + u1t , 0 < λ < 1
yt = Îł (itâ1 â Ïet ) + u2t , â1 < Îł < 0
Ïet = Ïtâ1
it = iâ + Ï (Ït â Ïâ) , Ï â„ 0,
onde ut = (u1t , u2t)âČ âŒ NID(0,Ω), Ït e a inflacao, yt e o
hiato do produto, Ïet e a expectativa de inflacao para oinstante t feita em t â 1, it e a taxa de juros nominal, iâ e ataxa de juros de equilıbrio e Ïâ e a meta de inflacao.
As equacoes acima definem um modelo estrutural parazt = (Ït , yt , it , Ï
et )
âČ.
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Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
Pelo modelo anterior a inflacao e âgeradaâ a partir doseguinte processo AR(1):
Ït = λγ (iâ â ÏÏâ) + [γλ(Ïâ 1) + 1]Ïtâ1 + λu2,t + u1t
Ït = Ï0 + Ï1Ïtâ1 + v1t ,
onde v1t ⌠NID(0, λ2Ï22 + Ï11) (supondo que Ï12 = 0!).
Ja vimos que para a inflacao ser estacionaria precisamos que|Ï1| = |γλ(Ïâ 1) + 1| < 1.
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
Alguns casos importantes (lembre-se que â1 < γλ < 0 peladefinicao do modelo):
1 Ï = 0 â Ï1 = âγλ+ 1 > 1 â Inflacao explosiva!2 0 â€ Ï < 1 â Ï1 > 1 â Inflacao explosiva!3 Ï = 1 â Ït = Ï0 + Ïtâ1 + v1t â Inflacao segue um passeio
aleatorio!4 1 < Ï â€ ÎłÎ»â1
γλ> 0 â 0 †Ï1 < 1 â Inflacao e estacionaria e
persistente.5
γλâ1γλ
< Ï < γλâ2γλ
â â1 < Ï1 < 0 â Inflacao estacionaria eanti-persistente.
6 Ï â„ ÎłÎ»â2γλ
â Ï1 †â1 â Inflacao nao e estacionaria.
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10â1.5
â1
â0.5
0
0.5
1
1.5Îł=â0.5 e λ=0.5
Ï
Ï 1
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
0 5 10 15 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Defasagem
FAC
FAC
Ï=2Ï=3Ï=4
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
0 5 10 15 20
â0.6
â0.4
â0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Defasagem
FAC
FAC
Ï=8Ï=7Ï=6
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
Considere o modelo estrutural[1 âλ0 1
] [Ïtyt
]
=
[0
Îł (iâ â ÏÏâ)
]
+
[1 0
Îł(Ïâ 1) 0
] [Ïtâ1
ytâ1
]
+
[u1tu2t
]
.
O modelo sera estacionario se os autovalores da matriz
C1 =
[1 âλ0 1
]â1 [1 0
Îł(Ïâ 1) 0
]
=
[1 + λγ(Ïâ 1) 0Îł(Ïâ 1) 0
]
forem menores do que 1 em modulo.
A condicao acima sera atendida se |1 + λγ(Ïâ 1)| < 1.
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
Vamos calcular a resposta da inflacao em t + h (e do hiato)ao choque estrutural no hiato (na inflacao).
Para tal precisamos encontrar os elementos (1, 2) e (2, 1) damatriz
[1 âλ0 1
]â1 [1 + λγ(Ïâ 1) 0Îł(Ïâ 1) 0
]h
.
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria
0 5 10 15 20â1.5
â1
â0.5
0
0.5
h
FRI
FRI â Ï=2, Îł=â0.5 e λ=0.5
Choque em u
2t, reposta em Ï
t+h
Choque em u1t
, reposta em yt+h
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
IPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
IPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
0 5 10 15 20
â0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
defasagem
fac
FAC â IPCA
AutocorrelaçÔes estimadas fora do intervalo determinado pelas linhasazuis sĂŁo estatĂsticamente significantes ao nĂvel de 95%
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Processos ARMAExemplos
Modelo de Transmissao MonetariaIPCA - janeiro de 1999 ate abril de 2011
IPCA e Hiato - janeiro de 1999 ate abril de 2011
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
HIATO -> HIATO
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
IPCA -> HIATO
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
HIATO -> IPCA
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
IPCA -> IPCA
Função de Resposta ao Impulso
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