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8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
1/17
UNIVERSIDADE
DE SAO PAULO
ESCOLA DE ENGENH RI DE
SAO
CARLOS
i
t f
m
l l i i l l l l \ J I l l l JJ
0 ~ 6 3 ~ 2 0 0
. . . 11-711,18
0 634
t fm
o )
b )
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
2/17
UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO
Reitor:
Roberto Leal
Lobo
e
Silva
Filho
Vice Reitor:
Ruv Laurenti
Obra produzida
na Escola
de Engenharia
de
São
Carlos
EESC
Composição
e Edição:
CETEPE
Centro
de
Tecnologia
Educacional para
Engenharia
da
EESC
Impressão:
Serviço Grâfico da
EESC
ª edição 1995
UNIVERSIDADE
DE SÃO PAULO
ESCOLA
OE
ENGENHARIA DE S O CARLOS
PROCESSOS
GER IS
DA
' .
HIPEREST TIC
CL SSIC
JOÃO CARLOS
ANTUNES DE
O E
SOUZA
HELENA M. C. CARMO ANTUNES
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
3/17
TOOOS 5
DIAEITOS RESERV DOS Nos
termos da
Lei
que resguarda
os
Direitos Autorais, é proibida
a
reprodução total
ou
parcial
deste
trabalho,
de
qualquer fornia ou
por
qualquer iaeio -
eletrônico
ou
mecânico, inclusive através de
processos Kerográficos,
de
fotocó
pia e de gravação -
sell
per•lssão,
por
escrito, do(s) autor(es) .
Catalogação na
Fonte
- Se r
viço de Bibl
i
oteca da
EESC - USP
S729p
SOUZA João
Carlos Antunes de OI
iveira
e
Processos
gerais
da hiperes tát ica
clãs
sica/Joâo
Carlos Antunes
de
OI i
ve
i ra
Souza, Helena Maria Cunha do Carmo
Antu
nes.
São
Carlos:
Escola de Eng
enharia
de
São
Carlos, Serviço Gráfico,
1992.
346p.
ISBN 85 -
85205
-02
- 4
1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.
C
- 624 .1 715
PREFÁ IO
Er. te l i v r o
como
o já publicado Processo
de
Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais
na Es t á t i c a
das Est ruturas
e I n t rodução à
I so s t á t i
c
a
pre tende t e r um
ca rá t e r didát
i co, apresentando
os tópicos
t r a t ados
se m cornpl cações
desnecessár ias ,
mas
senrlo
en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o
processo
de ensino
ne
c e s s i t a s e r .
Os
proce
s sos
aqui
t ra tados
são
ge r a i s
t an to no
aspecto d apl icabi l idode
a
qua lque r
t i po
de
e s t r u t u r a s quanto no de poderem
s e r
encarados
como
va r i ações duais de
woa
mesma
idé ia ;
correspondem a a lguns d os
temas
abordados
na
d i sc ip l ina
Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São
ca r lo s ,
a
par co
m
processos
de us o r es t r i to , como os de
Cross de Propagação,
an t
ecedendo t odo o desen vo lv imento
m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.
São Carlos março de 1992
Os Autores
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
4/17
r
N D 1
e
E
1. 1
NT
ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
l
1 . OBJETIVOS l.ERA IS
• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1
1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2
I .3 .
O MÉTODO
CLÁSS
TCO
2
1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F
FE
o ~ : 7
2 O PR
NCfP
O DOS
TR
ARALHOS RTLJA1S F SUAS
API
1
CACõFS
9
2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS
GF
RAIS
• • • • • •
••
9
2 . 2. o PRINC1
PIO
Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J
2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO
PRTNCiPTO
DOS
TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l
2.1 .1 .
Cálculo
de
deslocamentos em
e s t ru tu ra s
i s o s t á t i c a s
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
22
2 . 1 . 2 .
Seleção de
uma equação de
e qu i l í b r i
o
numa
e s t r u t u r a i s o s t á t
i
ca
. . . . . . . . . . . . .
27
2 .1 l
o t eorema
da
r ec ip roc idade
d o s
t rabalh o s
ou
Teorema de
Bet t i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 .3
.
4 .
O
t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca
mC ntos
ou
Teorema de
Max
wr l
1 . . . . . . . . . . 34
3. C LCULO DE
DESLOC MENTOS EM
ESTRUTUR S ISOST T IC S
US
UA i S
37
3 . 1 .
CO
NSIDERAÇÕE
S GERAIS
. • . • . . . • . . . . .
• • •
. . . . . • . . . 3 7
3 . 2 . DESLOCAMENTOS
EM TRELIÇAS
PLANAS IDEAIS • . . • . .
38
3 . J .
3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana
id e a l . . .
. .
. . . . .
38
J .2 .2 .
Exemplo
l
J . 2 .3
.
Exemplo
2
DESLOCAMENTOS EM
USUAIS
E
ST
RU
TURAS
PLANAS FL
ETIDAS
J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas
f l e t i da s
usuais .
. .
l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .
40
4 9
55
55
63
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
5/17
3
3
3
Exemplo 2
-
In tegração
numér ica .
......
3 3 4 Exemplo
3
In tegração
u t i l iz a n d o t a b e l a s
3
4 DESLOCAMENTOS
M
OUTROS
TIPOS DE ESTRUTURA
. ..
3
4 .1. o u t r o s Tipos
us ua i s
de es t ru tu ra
3 4 2
Exemplo
1
- Pór t i c o a t i r a n t a d o .
.......
3 4 3
Exemplo 2 Viga com
vínculos
e l ás t i co s
3 4 4 Exemplo 1 Gre lha
.
- -
-
.
-
4 O
PRO ESSO
DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·
4 1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
............•..
•
.........
4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO
A
VIGAS .....
4 2 1
Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das
v i ga s
• . .
4 2 2 Exemplo
1
.•.•.........................
4 2 2 1
Resolve r
a
viga submetida ao
carregamento
dado . . . . . . . . . . .
4 2 2 2
Resolve r
a
viga
submetida a
uma
66
72
84
84
84
87
90
95
95
101
101
103
104
va r i a ç ã o de
t empera tura
...••.
114
4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are
calques de apoio.............
121
4 2 J Exemplo
2 •.........
...••.. • • ....... .. 128
4 3
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS
PLANOS
4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s
dos
p ó r t i c o s
planos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .......•....
4 .
3
2 Exemplo 1 ..•....................•.....
4 3 2 1
Resolver o pór t i co submetido ao
carregamento dado
•.•.........
4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o
de reca lque de apoio ........
4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o
de var iação de t empera tura ...
4 . 3 . 3 .
Exemplo
2
•.•................
.
.........
4 4
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...
134
134
136
138
142
144
149
1
57
4 4 1 .
Deta lhe
s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157
4 4 2
xemplo
1 . .... . .
.. .
. -
· · · · · · ·
4 4
3
xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4 .
4 4 Cálculo de gre lhas
desprezando a r ig idez
à t o r ç ã o
das
bar
ras
.. .
.
.. .
. .... .
·· ·
· · ·
4 4
5
Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .
4
5
O PROCF.SSO
DOS
F.SFORÇOS APLTCADO
AOS ARC OS . . .
161
165
169
176
181
4 5 1
o
que
c a r a c t e r iza
um arco
. . . .....
181
4 .
;,>.
J
i pos
u ;11;i i s
de
a r-co ;
.
• .
4
5 . 3 .
Exemplo de def in
.i
ção de eixos de a r cos
4 5 4
Fo rmu lár io s pa ra a r
co
s h i perestáL ic os
usua i s .. . .
........ ....
- · · · · · · · · · · · ·
4 5 4 1 Convenções
.. .
. .. . .. .. . .... . . .
4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .
4 5 4 3
.
Arco
a t i ran tado
s i mé t r i c o
. .
4 5 4 4
.
Arco biengas tado s i mé t r i c o
4 5 5
Caso
s usuais
de
in te g
r ação
em
a rcos
4
5
6 .
Exemplo
1
-
In tegração an a l í t i ca
.....
4 5 7 . Exemplo 2
- In tegração numérica
4 5 8 Exemplo 3
-
Variação imposta de
EI ....
4
5
9 .
Exemplo 4
-
Arco pr ismát ico
por
t rechos
4 5 10 Exemplo 5
-
Adaptação para
pór t i cos
s i mé t r i c o s
4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .
4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS
APLI
CADO ÀS l REI. IÇAS
PLANAS IDEAIS
. ........ .............
.....
.
4 6
. 1 .
Detalhes
ca
r a c t e r í s t i cos
da
t r e l i ç a
plana idea l ..
. . . .
..
.
.
.....
. .. .
.
..
4 .
6 2
Exemplo
l .
.. .
. .
.. ..
. .
.. .
.....
. · · · · · ·
4 7 O PROCESSO
OS
ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS
MISTAS
.........
. .
.. .
.....•
...........
.
.....
4 7
l.
Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .
4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre
apoios
e lá s t i co s
4
7 3
.
Exemplo
2 -
Pór t ico t r e l i ç a d o .. .
. .
··
1 87
188
188
1 90
1 95
199
20
8
209
215
223
229
234
240
246
246
2
48
255
255
255
260
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
6/17
5. O PROCESSO DOS
DESLOC MENTOS
• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·
267
5 1
CONSIDERAÇÕES
GERAIS
5 .
2 .
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . J
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . 4 .
EXEMPLO
DE
APLICAÇÃO
5 .
5 .
EXEMPLO DE
API.ICAÇÃO
.............. .
............
A
VIGAS
. ..................
A
PóRTICOS
.
..............
A
TRELIÇAS
PIANAS
IDEAIS
A
GRELHAS
. .
-
.......
'
267
273
277
284
289
6. O
PROCESSO
M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297
6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS
•• • •••
297
6 . 2 . EXEMPLO DE
PÓRTICO
PLANO 302
7.
Sltvf>LIFICACOES
DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·
7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS
• •
7 . 2 .
REDUÇÃO DA
ESTRUTURA • • . • .
7 . 3 . EXEMPLO
1 -
PÓRTICO
PLANO SIMÉTRICO
• • • • • •
.
7 . 4 . EXEMPLO
2 - GRELHA
COM
DOIS EIXOS
DE SIMETRIA.
7 . 5 . EXEMPLO
3 - VIGA VIERENDELL
8.
BIBLIOGR FI
· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •
• • • • • •
309
309
312
318
324
333
339
PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC
CLÁSSIC
C PITULO 1
INTRODUCÃO
1 .
l . OH ,J E
'
I VOS G
ERAJS
Esta
publ icação pretende
t e r
um cará t e r d idát ico
de
in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca
de
es t ru tu ras l i n eares
discut indo
hipóteses
de cá lculo
, c
omportamento
df
es t ru tu ras
e
s impl i f i cações
gera i s
para
es t ru tu ras
usua i s u t i l i zando
process os
de c á l c u l o muito
simples
mas
apl icá ve i s a
qua lquer
t i p o
de
es t ru tu ra l inear .
Os
pro
c
essos
aqui
t r a t ados
,
que poderiam
se r
c
olocad
os
c omo um ún i c o pr oc
esso
gera l
de
solução
de
uma es t ru tu ra a
par t i r
de
out ra su p
o
s t a conhe
c
ida incluem
o
processo dos
esforços
o
dos deslocamentos
o
mist
o . o
pro
c
e ss
o do s
esforços tem um cará t e r apropr iado para
uma in t rodução
à
h ip eres tú t i ca
permi t indo
em sua
ci.plicação mais s imples
reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas
reca indo no
c á l c ulo
e lementa r de
es t ru tu ras
i sos tá t i cas .
O p ro
cesso dos
desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,
tem como maior
v antagem a
sua s i mplic idade o que o
torna
ideal
para
uma
pos te r ior
automatiza
ç
ão
c
omputacional
;
resolve
es t ru tu ras
h i p e r e s t á t i
c
as reca indo
no c
á l
c ul o
de
s t r u t u r ~ s
com
maio
r
grau
de
hiperestat ícidade
mas mais
simples , e ventualmente
a té tabeláveis . O processo misto
tem
apenas o cará t e r
demons t ra t ivo de
uma genera l i z
ação de
idéias , sendo
vantajoso apenas em a lguns c
asos
p ar t i cu l a res .
Todos os inúmeros processos p ar t i
c
ulare
s ,
apl i cáve i s só
1
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
7/17
8
C PfTULO li
O PRINCIPIO
DOS
TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES
2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS
O Pr inc ípio
dos Trabalhos Virtua is
ou Teorema
dos
Trabalhos Virtua is doravante apel idado
de P.T.V .
é
o
único
teorema da
energ ia
realmente essencial
ao
desenvolvimento
de
toda
a
es tá t ica
c
l á s s i
c a ;
diversos outros teoremas que
venham, por questão de s ín t e se
a
se r u t i l i z a dos serã
o
demonstrados
a
p a r t i r
dele .
As
condições
de equ
i l i b r io
podem
se r
demonstradas
a
p a r t i r do P.
T. V. ou o
P.
T . V. pode se r
demonstrado,
agora
como teorema
não
como
princ ip io
a p a r t i r
das condições de
equil íbr io ; optar-se -á
por
es ta úl t ima versão,
por
mera
questão de
se
t e r em gera l
uma
previa
ass imilação ,
em
cará te r
mais
in tu i t iv o
das
r e lações
de e qu i l í b r io
.
A
u t i l i da de essencia l do
P.
T.
V.
será
a
de
permit i r
in te ressantes transformações
de problemas eminentemente
geométricos
em
problemas
es tá t ico s
e
vice-versa
fornecendo
alternativas extremamente
simples
e e f i c i e n t e s em diversas
si tuações
.
2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS
Seja
defin ida
uma
e s t ru tu ra
l in ear qualquer e es te jam
defin idas suas
vinculações , i s to
é suas
l igações
in te rnas
e
vínculos
externos .
Seja um es tado de forç
as
a) sobre
essa
e s t r u ~ u r a
com
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
8/17
CAPíTU O
CÁLCU O DE
OESLOCAtvENTOS
EM
S T R U
ISOSTATICAS
USUAIS
3.1. CONSIDERAÇÕES
GERAIS
Conforme
di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um
es tad o de
hipóteses
deslocamentos
b ) , r ea l
mas
sa t i s fazendo
as
do
Método
deformações dub,
dvb e
coapr imento ds s i tuado
Cláss ico , conhecido a p a r t i r das
d ~ b de um elemento
in f in i te s ima l
de
numa posição genér ica I, provocadas
por
uma
causa f í s i ca
qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o
P.T.V.
para ca lcu la r
qualquer t i p o
de
deslocamento
dos
pontos da
e s t r u tu r a .
Para i s so
c r i a -
s e
ua es tado de fo r ças
(a) , com
forças
ex te rn as
convenientes e cri ter iosamente
esco lh id as
de forma
que,
se
s e
impuser
o
es tado
de
deslocamentos
b)
ao
es tad o
de forças ( a ) ,
seu
t r aba lho , o t rabalho
ex te rn o
, s e j a
exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a
e s t r u tu r a for
i s o s t á t i ca ,
t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de
es forços
in te
:rnos , tendo-se, em
.§.,
N , V• e M .
Do
P.
T. V. ,
então, t e r -se-á :
T
••l
T
l n l
ou:
T
J
N
du
J
V
dv
M
d.b
(3 .1)
•
b
•
b
•
•
l
e •
r
ealr
••tr
O que
se
pretende, em
todo
o t r anscor re r des te
capi tu lo
I I I ,
é
d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o
37
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
9/17
9
CAPITU O
V
O PROCESSO DOS ESFORÇOS
4.1 .
CONSIDERAÇÕES GERAIS
o processo dos esforços é certamente o processo mais
simples
para r e so lve r
es t ru tu r as h ip eres tá t icas
rompendo
a
indeterminação
dos esforços in te rnos
e
es t ru tu r a
das reações nesse
h ip eres tá t ica as
ip o
de es t ru tu r as .
Numa
condições
de
eq u i l íb r io
não
são su f ic ien tes
para determinar
esses esforços in te rnos
e
reações ; existem i n f in i t a s
poss ib i l i da de s de se t e r
eq u i l íb r io donde a
necess idade
de
se ge ra r
equações
a d ic iona i s provenientes de
hipóteses
a d ic iona i s para r e so lve r
o
problema; essas equações
adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca
c l á s s i c a
como condições
de
compat ib i l idade ou condições de
coerência
de
des locamentos donde a ênfase que se
deu
no c a p í tu lo
an te r io r
ao cá lculo de des locamentos .
O
processo
dos
esforços se
carac te r iza
essencia lmente
por
se
procurar
determinar esforços
em número igual
ao
grau
de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;
conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas
h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io
se
determinam
os diagramas de
esforços
in te rnos
e
as reações .
95
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
10/17
{
7,875
+
2,200
F
0,567
F o
1 2
-7 ,875
0,567
F
+
1,922 F
o
1 2
donde:
{
-2 ,731
t m
1
f
F
3,292
t m
2
f
e) Montagem de resul tados
Tendo F
1
e F
2
, para quaisquer re su l t ados que se
queira bas ta ana l i sa r o probleaa
i sos tá t i co
da f ig . 4.34.a:
observe-se que, para
efe i to
de cá lcu lo de deslocamentos,
tem-se
que
computar também
os
deslocamentos impostos
à
es t ru tura
i sos tá t i ca
básica.
Na f ig . 4.34.b
es tá
esquematizado o diagrama de
Mr,
devido ao recalque.
3 292
o
1
1b1
Fig
. 4 .
34
-
Montagem
de
resul tados
4. 3. 2.
3.
Resolver o
pór t i co
para e fe i t o de variação de
temperatura
Nos
pórticos, diferentemente
do
caso
das vigas , não
só
144
a diferença
de tempera tura de
uma
face
para
outra
das barras
provoca
f lexão;
também
a var iação
uniforme
é
capaz disso; de
qualquer
forma o encaminhamento da
solução
é o mesmo.
Seja , no exemplo, o
caso
de se computar os
efe i tos
de
um aquecimento uniforme
de
t .t = 60°C.
ou:
a) Esquema de
solução
Consta da f ig .
4.35.
t t
àt
r)
1
1
r)
12
1
l
à t
à t
0 )
Fi g .
4 .35 - Esquema c te
so luçõo
poro variação
c te temperatura
om i s so
se tem, também:
b) Condições
de
coerência
de deslocamentos
o
o
145
+
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
11/17
ô
+Fô +Fô
o
10 1
11
2 12
ô +Fô +Fô
20 1 21 2 22
o
c)
Cálculo
de deslocamentos
Os dos problemas 1) e 2) j á foram
calculados
no
item
4 .3 .2 .2 e valem, em unidades
coerentes
com
t f
e m:
E I ô
e e 11
2,200
E I 6
e e 22
1,922
E I
6
(_ e 12
E I ô
e t.·
21
-0 ,567
Resta,
então,
calcu lar os
ô , do problema O).
º
No es tado
de
deslocamentos
correspondente
ao problema
O ) ,
sendo
uniforme a var iação
de
temperatura ao
longo da
a l tu ra das
bar ra s ,
tem-se, num
elemento de barra de
comprimento ds, uma única
deformação:
du
a . t i t .ds
o
o
es tado
de forças convenierrte é o própr io
problema
(
j , só
que
agora interessam os esforços ax ia i s N
1
: esses
esforços
ax ia i s
N ,
para
j =
l ; 2 , constam
da
f ig . 4.36.
146
'
'
·
ô
Do P.T.V. :
ô
o
J
e s t
r
N du
1
o
'
'
'
'
..<
...<
ó
ó
F 19 4
36
Esforços
ax
i
ais
J
f : tf
N . a . t i t .ds
l
0,200
'
'
..<
ó
Sendo a e tit constantes
constante
por barra :
para a es t ru tu ra e
sendo
N
ô
Jo
donde:
ô
10
a.t i t
[ N
li
1
10
-
5
60 0+0,12
5 . 5 ,0 -0 ,1 2 5 .5 ,0 ) o
10 -
5
. 6 0 0 , 2 0 0 . 8 , 0 - 0 , 1 2 5 . 5 , 0 + 0 , 1 2 5 . 5 , 0 )
0,000960
Para t e r
todos os deslocamentos
multiplicados
por Ecic:
E I ô
e e 10
o
E I ô
e e 20
2100.10000.10-
4
. 0 ,000960 2,016
Observe-se que
o
cá lcu lo dos ô foi f e i t o
de
maneira
a
j o
mais geral possível , prevendo um t ra tamento semelhante em
si tuações mais complicadas;
no
exemplo, com geometr ia
147
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
12/17
elementar se
obte r ia esses
deslocamentos
de modo muito mais
s imples .
d Solução
do
s is tema de
equações
Multip licando as equações
por I I e subs t i tu indo:
{
o
2,200
F
0,567
F
o
l 2
2,016
-
0,567
F
1,922
F
o
l
2
donde:
{
-0,293
t m
l
f
F
-1,135
t m
2 f
e
Montagem
de
re su l t ados
Tendo
F
1
e F
2
,
o
problema
cons i s t e
agora
m resolver
a
es t ru tura
i sos tá t i ca
da
f ig .
4.37.a;
é in te re ssan te observar
que
no
cá lcu lo
de
deslocamentos não se
pode
esquecer das
deformações axia is du
0
,
provocadas
pe la
variação
de
temperatura;
essas
não são desprezíveis como as provocadas
por esforço
áx ia l .
Na
f ig . 4.37 .b
es tá
esquematizado
o
diagrama de Mr
1,135
0.293
_._,
lo
l
Fig 4 37 Montagem de resul tados poro vor ioçõo de temperatura
148
4.3.3. Exemplo
2
Determinar os diagramas de esforços internos e também
o
deslocamento
horizontal
do
ponto 4 para o pór t i co com
bar ras de mesma seção
t ransversal
da f ig .
4.38.
5
3m
4m 4m
4m
E I 3
0 0 0
t
f
m
2
4
6
E
N
E
V
Fig
4 36 Exemplo 2 _ s t ru tu ro e carregamento
a
Determinação do grau de hipe res t a t i c idade
É
imediato , no caso:
e 1 b 3c 3 b 6
sobram 3
n
b
Esquema
de
solução
h 3
Recaindo
numa
es t ru tura bás ica t r i a r t i cu l ad a esse
esquema de
solução es tá esquematizado
na f ig .
4.39.
149
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
13/17
rT l rI n l
EUII:I 1
ITD
l
111
121
F19 4 39 -
Esquema
de soluc;õo
poro
o Exemplo 2
Com esse
esquema,
formalmente se
tem:
c)
Condições de co erên c ia de
deslocamentos
ci
o ci
+ Fc i + Fc i + Fc i
l r
10
1 11 2 12 3 13
ci
o
2r
c i o
ci
+ F . S + F . S + F . S
3r
30
1
31
2
32
3
33
d) Cálculo de
deslocamentos
No
cá lcu lo
de
.SJk' tem-se :
es tado de deslocamentos
es tado
de
forças
Do
P.T .V . :
150
prpblema (k)
problema
( j )
01
131
+
l
1
s
Jk
J
st
.
Sendo EI constante para a es t ru tura :
E H
Jk
MM ds
J
k
Os
momentos f l e t o r e s M
e
Mk
constam
da
f ig . 4.40.
l,000
o
-
o 750
Fi g . 4 .4 - Momentos f le tores nos diversos
problemas
Uti l izando
convenientemente
a T BEL 1:
EI.S
10
1
- 4 , 0 0 . ~ . 1 0 , 5 8 2 . 0 , 8 3 3 + 1 , 0 0 ) +
151
0,250
-1 .000
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
14/17
8,944 .-} - .15 ,08 .o ,833
+
e ,9 4 4 . -} - .1 8 ,0 0 .0 ,8 3 3
+
+ 4,472. ~ . 2 , 0 0 0 , 8 3 3 + 0 , 4 1 7 ) +
4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,417
+
+ 4,472 .- j - - .15 ,88 .0 ,250 - 4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,250 +
1
+
6 ,0 0 . -3 - .1 5 ,8 8 .0 ,2 5 0
-4 ,646
-4 ,o o . - j - - .1 0 ,5 e .o ,5 -8 ,9 4 4 . .15 ,08 2 .0 ,50+
+l ,o) + 8,944. -}- .18 ,ooco,50+1,0)+4,472. ~ . 2 , 0 0 0 , 5 0 + 0 , 1 5 ) +
+ 4,472.-- j -- .2,00 0,75+1,00) - 4 , 4 7 2 . ~ . 1 5 , 8 8 1 , 0 + 2 . 0 , 7 5 ) +
+
4,412.-- j -- .2,00 1,oo+o,15)
-
6,oo .- j - - .15 ,88 .0 ,75
-30,888
EicS
3
4,oo .- j - - .10 ,58 .0 ,333 + 8,944. - -}- .15 ,08 .0 ,333 +
8 ,9 4 4 . i .1 8 ,0 0 .0 ,3 3 3 - 4,472. ~ . 2 , o o c o , 3 3 3 + 0 , 1 6 1 ) +
4,472 .- j - - .2 ,00 .0 ,161
- 4 , 4 7 2 . ~ . 1 5 , 8 8 . 0 , 5 0 +
+4,472.- j - - .2 ,00 .0 ,50 - 6,00 . .15 ,88 . 2 .0 ,50+1,00)= -37 ,828
EicS
=
4 0 o ~
l , 00
2
+0,833.1 ,00+0,833
2
+
11
1 2 1 2 1
2502
+
8 , 9 4 4 . -
3
- . o , 833 +
4 , 4 7 2 . -
3
-.
0,2 50 + 6 oo.-
3
- . o ,
5,656
152
1 2 1 2 . 2
EicS =
4
0 0 . - - . 0 ,5 0
+ 8 , 9 4 4 . -
3
- 0 , 50
+0,50.1,00+1,00
)+
22 , 3
+ 4,472 .- j - - .c1 ,00
2
+1,oo.o,15+0,15
2
+ 6,oo .- j - - .0 ,150
2
=10,123
EicS
33
1 2 1 2
4 ,0 0 . -3 - .0 ,3 3 3
+8,944. -3- .0 ,333
+
1
2
1
2 2
+
4 , 4 7 2 . -
3
- . 0 , 5 0 + 6 0o.-
3
- . 1 , 0 0
+l ,0 0 .0 ,5 0 +0 ,5 0 )
1
EI6 = EicS =
4 00.-
6
.0 ,50 1 ,00+2.0 ,833) +
12
21
+
e ,944. - i - - .o ,833 2 .0 ,50+1,oo)
- 4,472. - i - - .0 ,250 1 ,00+
1
+2.0 ,75)
- 6,00 . - 3- . 0 , 75 .0 ,25
2,531
E U
13
1
- 4 , 0 0 . ~ . 0 , 3 3 3 1 , 0 0 + 2 . 0 , 8 3 3 )
+
1 1
8 ,9 4 4 . -3 - .0 ,3 3 3 .0 ,8 3 3 -4 ,4 7 2 . -3 - .0 ,2 5 .0 ,5 0
+
1
6 , 00 , .25( 2 . o ,
50+1,00)
-2 ,105
E U
23
1
-4 ,0 0 . -3 - .0 ,5 0 .0 ,3 3 3 +
1 1
- 8 , 9 4 4 . ~ . 0 , 3 3 3 2 . 0 , 5 0 + 1 , 0 0 ) + 4 , 4 7 2 . ~ . 0 , 5 0 . l , O O +
1
+2.0 ,75) + 6 , 0 0 . ~ . 0 , 7 5 2 . 0 , 5 0 + 1 , 0 0 )
1,217
153
4,351
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
15/17
e)
Solução
do sis tema
Mult ipl icando as
equações
por EI
e su b s t i tu in d o - se os
valores obtidos:
[
donde:
[
- 4,646 +
5,656
-30,888 +
2,531
-37,828
-
2,105
F
3
4,522
t ,m
0,634
t ,m
10,704
t ,m
F
+
2,531
1
F +
10,123
1
F
+
1,217
1
f Montagem
de
r esu l tad o s
F - 2,105
F
o
2
3
F
+ 1,217
F
o
2
3
F
+ 4,351
z
F
3
o
Tendo
F
1
,
F
2
e
F
3
o
problema
co n s is te em r esó lv er
a
es t ru tura
i s o s t á t i c a
da
f ig .
4.41 .a. Os d iag ra•as de
esforços in ternos constam das f ig . 4.41 .b , c e d .
Para
ca lcu la r
o deslocamento h o r izo n ta l
do
ponto 4,
c r ia - se um estado de forças
(a) • com
uma carga externa
u n i t á r i a
na direção
e
sentido
desse
deslocamento. Sendo
a
es t ru tura h ipe res t á t i ca ex i s t i r i am i n f i n i t a s di s t r ibu ições
de
esforços in ternos, em p a r t i c u l a r de momentos
f le to re s
M ,
•
154
10,704 11 m
M,
4,52211
m
lf
m
1
o)
4,52
-
1 b)
7,512
3,647
3,647
1b
t
Fio
. 4 .
41
- Montooem de resultados
em e q u i l í b r i o com
essa
carga
externa uni t á r i a ;
com qualquer
d e las se
obtem
o mesmo valor para o
deslocamento.
Uma
p o ss ib i l id ad e , d escar táv e l de imediato
pela
dif icu ldade
i n t r ínseca
da solução, se r ia
r eso lv er a es t ru tura
h ipe res t á t i ca outra vez, impondo as condições de
coerênc ia
de deslocamentos ; outra
se r ia
ob t ida carregando a es t ru tura
b ás ica
i sos tá t ica da
f ig . 4.41 .a,
conforme
f i g . 4.42 .a,
obtendo
o diagrama de Na da f ig . 4.42 .b ,
i s so
em coerênc ia
com
a af i rmação de que o p r o l e m ~ i s o s t á t i c o
expresso
na
f i g . 4 .4 1 . a
é
id ên t ico ao problema rea l h ipe res t á t i co ; outra
p o ss ib i l id ad e
se r ia
car r eg ar com a carga
u n i t á r i a
qualquer
o u t r a es t ru tura
i sos tá t ica
obt ida da rea l pela re t i rada de
vínculos , por
exemplo
a es t ru tura da f ig . 4.42 .c com a qual
se
obtem
a
di s t r ibu ição extremamente s imples de Mª da f ig .
4.42 .d
155
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
16/17
3 0
l
-
1
bl
1
-
lc
1
Fi 9 . 4
42
- Estados de forças
la
1 interessantes
Com
qualquer dos es tad o s de fo r ças a ) e o estado d•
deslocamentos
r ) ,
tem-se ,
do
P.T.V.:
J
e tr
ou:
EI6
H
o
M
M r ds
EI
M M
ds
a r
Adotando o estado
de
fo r ças (a)
da
f ig . 4.42 .a , com os
momentos f l e t o r e s
da
f ig . 4.42 .b , tem-se , com o uso
conveniente da TABELA 1:
156
EU
H
1 1
= - 4 , 0 . ~ 6 - . 2 , 0 2 . 1 0 , 0 6 - 4 , 5 2 ) - 8 , 9 4 4 . ~ 3 - . 2 , 0 . 1 4 , 5 6 +
1 1
8 , 9 4 4 . ~
- . 2 , 0 . 1 8 , 0 + 4 , 4 7 2 . ~
- . 2 , 0 . ~ , 0 + l , O )
1 1
4 , 4 7 2 . ~ - . 2 , o . 1 , o 4 , 4 7 2 . ~ . 3 , 0 - o , 6 3 + 2 . 1 1 , 1 8 )
1 1
4 , 4 7 2 . ~ 3 - . 3 , 0 . 2 , 0
6 , 0 . ~ . 3 , 0 2 1 1 , 1 8 - 1 0 , 7 0 )
e portanto:
59,4
3000
0,0198 m
59;4
Adotando agora como es tado de forças (a)
o
da f ig .
4.42 .c , com os momentos f le to re s da f i g .
4.42 .d ,
tem-se ,
também
com
o uso conveniente da TABELA 1 :
EU
H4
e portanto:
1
6 , 0 . ~ . 6 , 0 - 1 1 , 1 8 + 2 . 1 0 , 7 0 )
8
8
0,0204 m
61,3
A
ménos
de
imprecisão devida á
d i f e r en ça
no número de
operações
numéricas efe tu ad as ,
ambos
os
resul tados
são
i dênt i cos .
4 .4 . O PROCESSO
DOS
ESFORÇOS APLICADO A GREIJIAS
4.4 .1 .
Deta lhes ca rac te r í s t icos
das g re lh as
Uma g re lh a
é def in ida
como
uma es t ru tura
plana, com
cargas normais ao seu plano, com vinculações
que não
introduzam so l ic i tações no plano, e com
elementos l i nea res
s imétr icos em
r e lação
a planos
que
os
contenham
e
sejam
157
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1d
17/17
Fig
4 115 Esforços f inois pedidos
f ig .
266
C PfTULO V
O
PROCESSO DOS
DESLOC MENTOS
5.1. CONSIDER ÇÕES GER IS
O
prqcesso
dos deslocamentos
é
de
cer ta
forma
dual do
processo
dos
esforços; toda a l inha de raciocínio é
mantida
se se t rocar
esforços
por deslocamentos coerência
de
deslocamentos por coerência
de esforços
r e t i r ada
de
vínculos
por introdução de
vínculos
es t ru tu ra básica
estat icamente
determinada
por
es t ru tu ra
básica
geometr icamente determinada e assim sucessivamente.
A idéia essencia l para resolver uma es t ru tu ra
h iperes tá t ica
é a de
adicionar
vínculos para r eca i r numa
es t ru tu ra básica
conhecida
mais ve7.es hiperes tá t ica
mas
mais s imples ; nesta al tu ra dos acontecimentos i s so s e r i a
didaticamente viável
já
que o
processo
dos
esforços permite
a solução de
es t ru tu ras h ipe res t á t i cas
que possam s e r v i r
como
es t ru tu ras básicas no
processo dos deslocamentos. Como
nesse
caso são adicionados vínculos ou anulados
deslocamentos o processo f i ca mais f lex ível por
se
poder
t r aba lha r não com u número f ixo de
incógni tas
mas com u
número mínimo de
incógni tas;
não
ex is te
o
r i sco
ine r en te ao
processo dos
esforços
de a
es t ru tu ra
resu l tar hipos t á t i ca ;
a
única
impl icação de se int roduzir u vínculo a mais é de
se t e r urna incógni ta a mais no
problema.
267