Processus de Poisson

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    X1 X2 Xn

    0 t1 t2 tn-1 tn T

    Processus de Poisson Daprs Construction dun modle de Poisson de Michel Henry

    Dans Autour de la modlisation en probabilits, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001

    Rappel des programmes de BTS La loi de Poisson est introduite comme correspondant au nombre de ralisations observes, durant un intervalle de temps de longueur donne, lorsque le temps d'attente entre deux ralisations est fourni par une loi exponentielle . Problme de vacances : Par une belle nuit dt, on observe en moyenne 12 toiles filantes par heure. Quelle est la probabilit den voir trois dans le prochain quart dheure ? Hypothses de travail Considrons lvnement A : observer une toile filante . A partir dun instant initial t0 = 0, on peut observer tout instant la manifestation dun vnement A. On suppose que cet vnement est instantan. Lensemble de ces observations constitue une suite croissante dinstants successifs. On sintresse au nombre dvnements A produits dans une dure dobservation [0 ; T]. On suppose que :

    o il ny a pas de moments o une toile apparat plus souvent que dautres (on suppose donc que la frquence darrive des toiles filantes ne dpend pas de linstant du dbut de lobservation) ;

    o les toiles filantes ne sont pas trs frquentes ; o linstant o lon observe lune dentre elles ne dpend pas des arrives prcdentes.

    Nous sommes en prsence dun phnomne homogne dans le temps, rare et sans mmoire. Cette situation est caractrise par un paramtre qui peut tre valu : on peut observer que, dans des conditions analogues, A se produit en moyenne c fois dans un intervalle de temps unit (cadence du phnomne). Modle probabiliste On considre comme ensemble des issues possibles, lensemble continu de tous les instants o A peut thoriquement se produire partir dun instant initial dobservation ( = ]0 ; + [ ). Ces hypothses se traduisent mathmatiquement de la faon suivante :

    o la probabilit dobserver A dans lintervalle [ti ; ti+1] ne dpend que de la dure ti+1 ti (phnomne homogne dans le temps) ;

    o la probabilit quil se produise deux (ou plus) vnements A la fois (cest--dire dans un petit intervalle de temps t) est ngligeable devant la probabilit den observer un seul dans ce mme intervalle de temps (phnomne rare). De plus cette probabilit tend vers 0 avec t. Ainsi, la probabilit que A se produise un instant dtermin a priori est considre comme nulle ;

    o les vnements : A se produit entre les instants ti et ti+1 sont indpendants (phnomne sans mmoire).

    Des deux premires hypothses, on va pouvoir supposer que la probabilit dobserver A dans un petit intervalle de temps t est proportionnelle la longueur de cet intervalle, le coefficient de proportionnalit tant . Schma Poissonnien On dsigne par :

    t1 , t2 , , tn , les instants alatoires o lon observe les toiles filantes. X1 , X2 , , Xn , les dures alatoires gales t1 0, t2 t1 , , tn tn-1, ; ainsi les Xi dsignent

    les temps sparant deux observations successives de A. N le nombre dtoiles filantes observes entre les instants 0 et T.

    Ce schma dcrit un processus de Poisson homogne.

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    Lois des variables alatoires Dans ce modle, Xi reprsente la dure qui spare linstant ti1 de lobservation de la prochaine toile

    filante. Comme on a suppos que le phnomne est homogne dans le temps, les variables X1 , X2 , , Xn suivent la mme loi. De plus les Xi concernent des intervalles de temps disjoints au cours desquels les arrives ventuelles de A sont supposes indpendantes : les variables X1 , X2 , , Xn sont donc indpendantes. La loi commune des Xi est la loi exponentielle1 de paramtre . Leur densit de probabilit est donc :

    fX i (t) = et pour t 0.

    On a :

    E Xi( ) =1

    (cest le temps moyen dattente de A)

    Var Xi( ) =12.

    La variable N suit la loi de Poisson2 de paramtre T.

    On a :

    E N( ) = T (cest le nombre moyen dvnements A qui se produisent dans une dure T)

    Var N( ) = T .

    Remarque : Il y a c vnements A par unit de temps, donc

    c = E(N)T

    = . Par consquent, reprsente la

    cadence c du phnomne (nombre moyen dtoiles filantes par unit de temps). Rponse la question pose On veut calculer la probabilit dobserver 3 toiles filantes en un quart dheure. Prenons pour unit de temps une heure. Les donnes statistiques indiquent une moyenne de 12 toiles filantes lheure ; on a donc pour un quart dheure :

    T =12 14

    = 3

    Et :

    P(N = 3) = 33

    3!e3 0,224

    1 La dmonstration est dans larticle cit en introduction, savoir Construction dun modle de Poisson de Michel Henry

    dans Autour de la modlisation en probabilits, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001, p 228. 2 La dmonstration est dans le mme article, p 230.

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    Autre exemple : la dsintgration radioactive Pour tudier le comportement dun lment radioactif, un capteur enregistre les instants successifs o lun des atomes se dsintgre, ceci afin de dterminer la priode (ou demi-vie ) de llment radioactif considr, cest--dire la dure au bout de laquelle le nombre d'atomes de llment a diminu de moiti. Si on considre lvnement A : un atome se dsintgre , on observe exprimentalement que A est rare, homogne dans le temps et sans mmoire. On est donc en prsence dun processus de Poisson.

    1. A chaque atome radioactif, on associe le temps dattente de sa dsintgration (donc gal sa dure de vie). On note X cette variable alatoire. X suit la loi exponentielle de paramtre ( : taux de dsintgration de llment radioactif correspondant la cadence du phnomne). a) Au bout de la priode T, la proportion des atomes dsintgrs est

    12

    . On admet que cette frquence est gale

    la probabilit pour un atome dtre dsintgr. Montrer que la priode T est gale

    ln2

    .

    b) Calculer le taux de dsintgration de l'iode 131 sachant que sa priode est de 8,06 jours et celui du radium pour lequel la priode est de 1580 annes. c) Lors dune exprience, on tudie une quantit duranium 238 et on observe une cadence de 12 dsintgrations par seconde. Calculer la priode de luranium 238.

    2. On note N le nombre de dsintgrations entre les instants 0 et pour un chantillon de matire radioactive contenant n atomes. N suit la loi de Poisson desprance

    E(N) = n . a) Calculer le nombre moyen journalier de dsintgrations avec 1010 atomes diode 131. En dduire le nombre moyen de dsintgrations par seconde. b) Dterminer la probabilit quil ny ait aucune dsintgration pendant une seconde avec 1010 atomes de radium. c) Quelle est la probabilit quil y ait 3 ou 4 dsintgrations pendant une nanoseconde avec 108 atomes duranium 238 ?

    3. Datation par la mthode du carbone 14. Le carbone 14 est produit rgulirement en haute atmosphre lors de ractions nuclaires induites par des protons rapides dorigine galactique. Il est en proportion peu prs constante dans les environnements terrestres : la proportion est dun noyau de carbone 14 pour 7,71011 noyaux de carbone 12. Lorsquun individu ou une plante meurt, son mtabolisme cesse de fonctionner, son carbone nest plus renouvel et le carbone 14 quil contient se dsintgre en redonnant un noyau dazote 14 avec une demi-vie de 5730 ans. Il suffit alors de mesurer la proportion du carbone 14 dans les restes (os, cheveux, bois ) pour connatre lpoque de la mort. Dans 1g de carbone naturel, il y a 51022 noyaux parmi lesquels environ 6,51010 de carbone 14. Calculer le nombre moyen de dsintgration par sicle du carbone 14. Correction 1.a) X suit la loi exponentielle de paramtre :

    P(X T) =1eT = 12

    T = ln1 2

    =ln2

    b) si T = 8,06 jours, =

    ln28,06

    0,086 dsintgrations par jour.

    si T =1580 annes, =

    ln21580

    0,0004 dsintgrations par an.

    c) si 12,

    T =1461015secondes, soit 4,6109annes.

    2. N suit P () avec

    = n .

    a) E(N) =

    0,0861010 par jour, soit

    0,0861010

    24 3600 9954 par seconde.

    b) P(N = 0) =

    e0,00041010

    365243600 = e0,127 0,88 .

    c) N suit P () avec

    =12108

    109=1,2 . P(3 N 4) = P(N = 3) + P(N = 4) =

    0,087+0,026 0,113

    3. E(N) =

    ln26,51010

    5730100 soit environ 786 000 000 dsintgrations par sicle.

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    Exercices Exercice 1 Ladislaus von Bortkiewicz (1868 - 1931) a tudi le nombre annuel de morts par ruade de cheval dans 10 corps d'arme de l'arme prussienne de 1875 1894. Il y a donc 200 observations.

    Nombre de morts 0 1 2 3 4 Total Nombre de corps d'arme 109 65 22 3 1 200

    1. On note X la variable alatoire qui, un corps d'arme associe son nombre de victimes par ruade. Etablir le tableau de la loi de probabilit de X et son esprance mathmatique. (On prendra pour probabilits les frquences observes.)

    2. On dsire approcher X par une loi de Poisson. Quel paramtre va-t-on prendre ? Comparer les probabilits obtenues avec cette loi aux valeurs observes.

    Exercice 2 Le nombre X de dsintgrations dune substance radioactive durant un intervalle de temps de 7,5 secondes suit une loi de Poisson de paramtre 3,87. 1. Quel est le nombre moyen de dsintgrations durant un intervalle de temps de 7,5 secondes ? Calculer lcart-

    type correspondant. 2. Dterminer la probabilit quil ny ait aucune dsintgration durant un intervalle de temps de 7,5 secondes. 3. Quelle est la probabilit quil y ait 3 ou 4 dsintgrations durant un intervalle de temps de 7,5 secondes ? Exercice 3 Une entreprise de logistique observe qu'en moyenne il arrive chaque jour 4 camions pour le dchargement. Son entr