PRODUCTO CRUZ EN ESPACIOS EUCLÍDEOS

ESFMEESSFFMMINSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

IPN

Escuela Superior de Física y MatemáticasESFM

PRODUCTO CRUZ ENESPACIOS EUCLÍDEOS

Tesis que para obtener el Título de:Licenciado en Física y Matemáticas

Presenta: Ignacio Linarez Garcia

Asesor: M. en C. Marco Antonio Rodríguez Andrade

Diciembre de 2009

Agradecimientos

A Dios: Por haberme permitido alcanzar esta meta y sin el cual no lo hubiera logrado.

A mis padres: Ignacio Linares y Maria Aida García F.

Por toda la ayuda que me brindaron en la medida de sus posibilidades.

A mis hermanos: Lorenzo, Luis Felipe y Adriana

Por el apoyo que me brindaron en cada momento que lo necesité

A mis amigos: Por sus palabras de aliento y su ayuda dentro y fuera de las aulas.

Indice general

Introduccion 1

1. El producto interno y vectorial en R3 71.1. El producto interno α · β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. El producto cruz vectorial α1 × α2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. El producto vectorial mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1. Obtener una base de R3 dados dos vectores l. i. . . . . . . . . 191.4.2. Base dual en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4. Base ortogonal de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.5. La ecuacion α× β = γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.6. Reflexion de un vector arbitrario ϕ . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.7. Rotacion de un vector arbitrario ϕ . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Cuaternios y Octonios 312.1. Los cuaternios H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1. Los cuaternios de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.2. Aritmetica en H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3. Los cuaternios y el producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Los octonios O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1. Los octonios de Cayley & Graves . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2. El plano de Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.3. Aritmetica en O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.4. Los octonios y el producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. El problema de Hurwitz 573.1. El problema de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2. Las algebras composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. El producto cruz vectorial en Rn 854.1. Funciones determinante y los productos interno y vectorial . . . . . . 854.2. El producto cruz vectorial α1 × α2 × ...× αn−1 en Rn (n ≥ 3) . . . . . 87

INDICE GENERAL i

4.3. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1. Obtener una base de Rn dados n− 1 vectores l. i. . . . . . . . 944.3.2. Base dual en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.3. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.4. Base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.5. La ecuacion vectorial α1 × ...× αn−2 × β = γ . . . . . . . . . 103

CONCLUSIONES 103

Bibliografıa 107

Indice alfabetico 109

ResumenEsta tesis trata acerca del producto cruz vectorial generalizado

a Rn y las propiedades que cumple, ademas de dar algunas aplica-ciones de este producto cruz a la solucion de problemas de algebralineal, tales como: dados n− 1 vectores linealmente independientes,extenderlos a una base; dada una base ordenada, obtener su basedual; dadas dos bases ordenadas, obtener la matriz de cambio debase; dada una base ordenada, obtener una base ortogonal; dadoslos vectores α1, α2, ..., αn−2, γ, linealmente independientes, resolverpara β la ecuacion α1 × ... × αn−2 × β = γ. Todo esto se resuelveprimero en R3 y despues se generaliza a Rn. En el caso particularde R3, tambien se deducen las ecuaciones para calcular la reflexiony la rotacion de un vector arbitrario. Tambien se dedica un capıtuloentero a los cuaternios (octonios) de Hamilton (de Cayley-Graves)y se muestra que se puede realizar un producto cruz con dos cuater-nios (octonios) puros, un producto cruz con tres cuaternios y dosproductos cruz con tres octonios. Debido a que los cuaternios y losoctonios son algebras composicion, se hace referencia al problema deHurwitz y se realiza la construccion de algebras composicion talescomo los complejos, los cuaternios y los octonios, mediante el pro-ceso de duplicacion de Dickson, a partir del algebra de los numerosreales. El aspecto mas importante de resaltar es, que se generalizaa Rn un algoritmo alternativo, que permite calcular la base dual demanera muy rapida y sencilla, mediante el producto cruz general-izado, evitando ası el tener que resolver n sistemas de n ecuacioneslineales, con n incognitas cada uno.

1

INTRODUCCION

El trabajo de Galois sobre la solucion de ecuaciones mediante procesos alge-braicos cerro un capıtulo en el algebra, pero tuvo que esperar otros desarrollos paraque rindiera fruto completamente. El principal descubrimiento algebraico, ocurridodespues de lo hecho por Galois, fue iniciado por William Rowan Hamilton, el cualabrio un panorama totalmente nuevo acerca de como debıan ser vistos los “numeros”.Para apreciar la originalidad del trabajo de Hamilton, debemos examinar la logicadel algebra ordinaria como era generalmente entendida en la primera mitad del sigloXIX.

Alrededor del ano 1800 los matematicos empleaban diferentes tipos de numeros,entre los cuales estaban los reales y los complejos, pero no se tenıan las definicionesprecisas de estos numeros, ni tampoco ninguna justificacion logica de las operacionescon ellos. Este problema fue considerado primero por George Peacock (1791-1858); losterminos “Ley Conmutativa” y “Ley Distributiva” fueron introducidos por Francois-Joseph Servois (1767-1847); Augustus De Demorgan le llamo “doble algebra” al alge-bra de los numeros complejos en 1849. A mediados del siglo XIX, los axiomas delalgebra generalmente aceptados eran: cantidades iguales sumadas a una tercera, dacantidades iguales; (a+ b)+c = a+(b+ c); a+b = b+a; cantidades iguales sumadasa cantidades iguales, da cantidades iguales; cantidades iguales sumadas a cantidadesdesiguales, da cantidades desiguales; a (bc) = (ab) c; ab = ba; a (b+ c) = ab + ac.Surgio entonces la pregunta: ¿por que los distintos tipos de numeros poseen las mis-mas propiedades? El trabajo de estos y de otros matematicos, fue la justificacionpara suponer que las mismas propiedades fundamentales se cumplıan para todos lostipos de numeros. Hamilton establecio la logica de los numeros complejos en base alas propiedades de los numeros reales, ya que, cerca de 1830, estos estaban intuitiva-mente bien fundamentados solo mediante su representacion como puntos en el planoo como segmentos de recta dirigidos; [20].

Cardano fue el primero en presentar los numeros complejos

5 +√−15 y 5−

√−15

como soluciones de su problema: Dividir 10 en dos partes tales que su producto sea40. En 1629, Albert Girard llama a los numeros a ±

√−b soluciones imposibles.

El termino “numeros imaginarios” fue introducido por Descartes. Euler conocıa larepresentacion geometrica de los numeros complejos como puntos en un plano, pero no

2 Introduccion

representacion geometrica de los numeros complejos como puntos en un plano, pero nodio una definicion satisfactoria de numero complejo. Definiciones geometricas clarasde la adicion y multiplicacion de numeros complejos, vistos como segmentos de rectadirigidos en un plano, fueron dadas por Caspar Wessel en 1797, Jean Robert Arganden 1806, John Warren en 1828 y por Carl Friedrich Gauss en 1831. Al parecer, laexpresion “numeros complejos” se debe a Gauss.

Hamilton definio en 1843 los numeros complejos como pares de numeros reales(a, b), sujetos a reglas convencionales de adicion y multiplicacion. El uso de numeroscomplejos para representar vectores en un plano era bien conocido cerca de 1830, sinembargo, la utilidad de los numeros complejos era limitada. Si varias fuerzas actuansobre un cuerpo, no necesariamente van a estar en un mismo plano. Para tratar es-tas fuerzas algebraicamente, se necesita un analogo tridimensional de los numeroscomplejos. Se podrıan utilizar las coordenadas cartesianas de un punto (x, y, z) pararepresentar un vector, pero no hay operaciones con las tripletas de numeros pararepresentar las operaciones entre vectores. Estas operaciones, como en el caso delos numeros complejos, tendrıan que incluir adicion, sustraccion, multiplicacion y di-vision, ademas de cumplir las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, de maneraque las operaciones algebraicas pudieran ser aplicadas de una manera libre y efectiva.Fue entonces que Hamilton se planteo a sı mismo el siguiente problema: Averiguarcomo, las tripletas de numeros (a, b, c) tienen que ser multiplicadas en analogıa a lasparejas (a, b).

Hamilton escribio sus tripletas como a+bi+cj y visualizo sus unidades basicas1, i, j como segmentos dirigidos en el espacio, mutuamente perpendiculares, de longi-tud unitaria. Mas tarde, el mismo uso la palabra vector. Busco representar productosen la forma (a+ bi+ cj) (x+ yi+ zj) como vectores en el mismo espacio. Pidio, enprimer lugar, que fuera posible multiplicar termino a termino, y en segundo lugar,que la longitud del vector producto fuera igual al producto de las longitudes de losfactores, y le llamo a esta regla: “la ley del modulo”. Hoy se sabe que estos dos re-querimientos solo pueden cumplirse en espacios de dimensiones 1, 2, 4 y 8, lo cualfue probado por Adolf Hurwitz como veremos; por lo tanto, el intento de Hamiltonen tres dimensiones estaba destinado a fracasar. Para cumplir la “ley del modulo”,Hamilton establecio ii = −1 como en los numeros complejos, y tambien jj = −1pero, ¿que era ij? y ¿que era ji? Al principio decidio suponer ij = ji, y calculo

(a+ bi+ cj) (x+ yi+ zj) = (ax− by − cz) + (ay + bx) i+ (az + cx) j + (bz + cy) ij.

Ahora se preguntaba, ¿que se debe hacer con ij? ¿Debera tener la forma p+ qi+ rj?

Primer intento. En una carta que Hamilton escribio a John Graves se lee: “Elcuadrado de ij parece ser igual a uno, ya que i2 = j2 = −1, y esto pude invitarnosa tomar ij = 1 o ij = −1; pero sin ninguna suposicion, debemos tener que, lasuma de los cuadrados de los coeficientes en el producto es igual al producto de lascorrespondientes sumas de cuadrados en los factores.”

Introduccion 3

Segundo intento. Hamilton considero el caso mas simple

(a+ bi+ cj)2 = a2 − b2 − c2 + 2abi+ 2acj + 2bcij.

Calculo la suma de los cuadrados de los coeficientes de 1, i, j en el lado derecho yobtuvo (

a2 − b2 − c2)2

+ (2ab)2 + (2ac)2 =(a2 + b2 + c2

)2,

por lo cual dijo, “la condicion del modulo se cumple, si eliminamos el termino queinvolucra a ij.”

Tercer intento. Hamilton reporta que la suposicion ij = 0, no esta del todo bieny escribe en su carta a Graves: “Parece que la suposicion que hice anteriormente noestaba bien, lo que me lleva a suponer algo que hasta ahora no consideraba adecuado:ji = −ij. He hecho, por lo tanto: ij = k, ji = −k. Aun tengo que averiguar si k = 0o no.”

Cuarto intento. En una manera mas general, Hamilton multiplico a + bi + cjy x+ bi+ cj. En su carta a Graves, Hamilton concluye: “El coeficiente de k aun seanula, y se confirma que ij = −ji, pero todavıa no he obtenido informacion acercadel valor de k. Tambien pude verificar geometricamente la condicion del modulo.”

Hamilton se dio nuevamente a la tarea de multiplicar tripletas en general:

(a+ bi+ cj) (x+ yi+ zj) = (ax− by − cz) + (ay + bx) i+ (az + cx) j + (bz − cy) k.

Tomo k = 0 y se pregunto, ¿se satisface la ley del modulo? En otras palabras, ¿secumple la identidad(

a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2

)= (ax− by − cz)2 + (ay + bx)2 + (az + cx)2 ?

La respuesta es: No, el lado izquierdo de la igualdad excede al lado derecho por(bz − cy)2. Pero precisamente (bz − cy)2 es el cuadrado del coeficiente de k en eldesarrollo del producto (a+ bi+ cj) (x+ yi+ zj) si tomamos ij = k, ji = −k.

Y es aquı, donde un destello de luz le da una nueva direccion al problema. Ensu carta a Graves, Hamilton escribe: “Y fue entonces que se me ocurrio la idea quedebıa admitir desde el principio: considerar una cuarta dimension del espacio parapoder multiplicar tripletas...; debemos admitir un tercer sımbolo imaginario k, que nodebe ser confundido ni con i ni con j, pero que debe ser igual al producto de estosultimos dos, con lo cual estamos listos para introducir los cuaternios, de dos formas:a+ bi+ cj + dk o (a, b, c, d).”

A continuacion, Hamilton muestra los resultados a los que llego el lunes 16 deoctubre de 1847, mediante las consideraciones anteriores,

ik = iij = −j, kj = ijj = −i, ki = j, jk = i,

y finalmente, lo que lo llevo a la solucion del problema:

k2 = ijij = −iijj = −1, i2 = j2 = k2 = ijk = −1.

4 Introduccion

Desde el punto de vista puramente algebraico, los cuaternios son interesantes,ya que constituyen un ejemplo de un algebra que tiene las propiedades de los numerosreales y de los complejos, excepto la conmutatividad de la multiplicacion; [23]. Unanodespues de que Hamilton anunciara su descubrimiento de los cuaternios, el matematicoHermann Gunther Grassmann (1809-1877) publico un tratado de algebra acerca dehipernumeros con n componentes y geometrıa n-dimensional, llamado El Calculode Extensiones ; por su parte, el matematico William Kingdon Clifford (1845-79)creo otro tipo de hipernumeros y de algebra, llamada algebra de Clifford en su honor.

Aunque los cuaternios recibieron gran atencion al principio, no era lo que losfısicos de la epoca querıan. Buscaban un concepto mas asociado con las coordenadascartesianas, de lo que lo estaban los cuaternios. El primer paso en esa direccion fuedado por James Clerk Maxwell (1831-79), el fundador de la teorıa electromagnetica.Maxwell separo las partes escalar y vectorial del cuaternio, e hizo enfasis tratando cadaconcepto por separado. El rompimiento formal con los cuaternios y la inauguracion deun tema nuevo e independiente, llamado analisis vectorial tridimensional, fue hechoindependientemente por Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y Oliver Heaviside (1850-1925) a principios de 1880. Como lo formularon Gibbs y Heaviside, un vector no esmas que la parte vectorial de un cuaternio, pero considerado independientemente delos cuaternios. Se definieron dos tipos de multiplicacion entre vectores, ambos utilesen la fısica: el producto escalar, que da como resultado un numero real, y el productocruz vectorial, que da como resultado un vector, perpendicular a los vectores dados.

Los objetivos de esta tesis son:

Investigar la posibilidad de obtener un producto cruz binario en Rn, para n > 3.

Generalizar el producto cruz a Rn.

Obtener un algoritmo para calcular la base dual mediante el producto cruz.

Resolver problemas de algebra lineal por medio del producto cruz generalizado.

En el presente trabajo veremos que el producto cruz se puede generalizar aRn de manera natural, ademas de que se daran algunas aplicaciones de este productocruz a la solucion de problemas del algebra lineal. Veremos tambien que se puedendefinir productos cruz binarios en los cuaternios puros y en los octonios puros, ademasde productos cruz con tres elementos tanto en los cuaternios como en los octonios.

En el capıtulo uno se trabaja unicamente con R3. Se definen: el productointerno α ·β, el producto cruz vectorial α×β, las propiedades que cumplen, ası comolos diferentes tipos de productos que se pueden obtener mediante la combinacion deambos productos. Al final del capıtulo se dan algunas aplicaciones del producto cruzvectorial a la solucion de problemas de algebra lineal:

Dada una base ordenada de R3, obtener su base dual.

Introduccion 5

Dadas dos bases de R3, obtener la matriz de cambio de base.

Dados dos vectores de R3 l. i., extenderlos a una base de R3.

Dados dos vectores de R3 l. i., obtener una base ortogonal de R3.

Se resuelve la ecuacion vectorial α× β = γ para β, dados α, γ ∈ R3.

Obtener la reflexion de un vector arbitrario ϕ, respecto de un plano.

Obtener la rotacion de un vector arbitrario ϕ.

En el capıtulo dos se presenta la historia del descubrimiento de los cuaternios(octonios), sus propiedades aritmeticas, algunas propiedades adicionales, ası como elproducto cruz de dos cuaternios (octonios) puros y el producto cruz de tres cuaternios(octonios).

En el capıtulo tres se plantea la pregunta: ¿existen otros productos cruz dedos elementos en Rq con q > 3 ? Para dar respuesta a tal cuestionamiento se abordael problema de Hurwitz, [5], mediante algebras composicion, agebras no-asociativasy algebras alternativas. Al final del capıtulo se construye el algebra de los numerosreales (R), los complejos (C), los cuaternios (H) y los octonios (O).

En el capıtulo cuatro se generaliza a Rn el producto cruz vectorial de R3,ademas de listar y probar las propiedades que cumple. En la segunda parte del capıtu-lo, se da solucion a algunos problemas de algebra lineal mediante este producto cruzgeneralizado:

Dada una base ordenada de Rn, obtener su base dual.

Dadas dos bases ordenadas de Rn, obtener las matrices de cambio de base.

Dados n− 1 vectores de Rn l. i., extenderlos a una base de Rn.

Dados n− 1 vectores de Rn l. i, obtener una base ortogonal de Rn.

Se resuelve la ecuacion α1 × ... × αn−2 × β = γ para β, dados α1, ..., αn−2,γ ∈ Rn.

Capıtulo 1

EL PRODUCTO INTERNO Y VECTORIAL EN R3

A lo largo de este capıtulo unicamente consideraremos el espacio vectorialeuclidiano R3, sobre el campo de los numeros reales, en el cual tiene sentido hablarde longitud de un vector y de angulo entre dos vectores. Para esto haremos usode cierto tipo de funcion de valor real sobre parejas de vectores, conocida comoproducto interno. Introduciremos ademas el producto cruz vectorial y el productovectorial mixto, cuyas interpretaciones geometricas seran descritas.Finalmente, se danaplicaciones de este producto cruz a la resolucion de problemas de algebra lineal.

1.1. El producto interno α · βComenzamos introduciendo un tipo de multiplicacion entre dos vectores de R3,

llamada producto interno canonico, y que a menudo recibe el nombre de productoescalar.

Definicion 1 Sean α = (a1, a2, a3) y β = (b1, b2, b3) dos vectores de R3. Se define elproducto interno canonico entre α y β, denotado por α · β, como el escalar

α · β =3∑i=1

aibi. (1.1)

El producto interno posee las siguientes propiedades.

Teorema 2 Para todo α, β, γ ∈ R3 y para todo k ∈ R se cumple:

1. α · β = β · α (Conmutatividad),

2. α · (β + γ) = (α · β) + (α · γ) (Distributividad),

3. (kα · β) = (α · kβ) = k (α · β) (Homogeneidad),

4. α · α > 0 si y solo si α 6= (0, 0, 0) (Definido positivo),

5. α · α = 0 si y solo si α = (0, 0, 0).

8 El producto interno y vectorial en R3

DemostracionSean α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3) y γ = (c1, c2, c3).

1. α · β =3∑i=1

aibi =3∑i=1

biai = β · α.

2. α · (β + γ) =3∑i=1

ai (bi + ci) =3∑i=1

(aibi + aici) =3∑i=1

aibi +3∑i=1

aici

= (α · β) + (α · γ).

3. (kα · β) =3∑i=1

(kai) bi =3∑i=1

ai (kbi) = (α · kβ).

(α · kβ) =3∑i=1

ai (kbi) = k3∑i=1

aibi = k (α · β).

4. Sea α 6= (0, 0, 0), es decir ai 6= 0 para alguna i ∈ {1, 2, 3}.

Entonces α · α =3∑i=1

a2i , y como a2

i > 0 para alguna i ∈ {1, 2, 3}, la suma es no

negativa. Por lo tanto α · α > 0.

5. α ·α =3∑i=1

a2i = 0 si y solo si cada termino de la suma es cero, y esto solo puede

ocurrir si α = (0, 0, 0).

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Ahora, utilizando el producto interno, enunciamos una desigualdad muy im-portante.

Teorema 3 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Para todo α, β ∈ R3 se tiene

(α · β)2 ≤ (α · α) (β · β) . (1.2)

La igualdad es valida si y solo si los vectores son linealmente dependientes.

DemostracionSi α o β es el vector cero, la demostracion es trivial, por lo que supondremos

que α y β son ambos no nulos. Sea ψ el vector ψ = xα − yβ, donde x = β · β yy = α · β. Por las propiedades 4 y 5 del teorema anterior, se tiene que ψ · ψ ≥ 0.Sustituyendo ψ en la expresion anterior:

ψ · ψ = (xα− yβ) · (xα− yβ)

= x2 (α · α)− 2xy (α · β) + y2 (β · β) (1.3)

= (α · α) (β · β)2 − 2 (α · β)2 (β · β) + (α · β)2 (β · β)

= (α · α) (β · β)2 − (α · β)2 (β · β) ≥ 0.

El producto interno α · β 9

Como β · β > 0, al dividir entre β · β se obtiene la desigualdad deseada:

(α · α) (β · β)− (α · β)2 ≥ 0.

La igualdad es valida en (1.2) si y solo si ψ = 0. Pero ψ = 0 si y solo si xα = yβ,es decir, si α y β son linealmente dependientes. Por lo tanto, la desigualdad estrictaocurre cuando los vectores son linealmente independientes.

�

Ahora definimos la longitud o norma de un vector, que asocia a cada vectorde R3 con un numero real.

Definicion 4 Si α ∈ R3, su longitud o norma se designa por ‖α‖ y se define como

‖α‖ =√α · α, (1.4)

o alternativamente‖α‖2 = α · α. (1.5)

La norma tiene las siguientes propiedades.

Teorema 5 Si α ∈ R3 y c ∈ R se cumple

1. ‖α‖ > 0 si y solo si α 6= 0,

2. ‖α‖ = 0 si y solo si α = 0,

3. ‖cα‖ = |c| ‖α‖,

4. ‖α + β‖ ≤ ‖α‖+ ‖β‖ (Desigualdad triangular).

DemostracionEstas propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades del producto

interno y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.�

Expresamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en funcion de la norma como:

(α · β)2 ≤ ‖α‖2 ‖β‖2 . (1.6)

Tomando la raız cuadrada positiva de cada miembro en la expresion anterior:

|α · β| ≤ ‖α‖ ‖β‖ . (1.7)

Ahora daremos una definicion del angulo entre dos vectores mediante el productointerno.


Definicion 6 Sean α, β ∈ R3 distintos de cero. Se define el angulo entre α y β como

cos θ =α · β‖α‖ ‖β‖

, (1.8)

donde 0 ≤ θ ≤ π.

Geometricamente, el producto interno es el producto de la longitud de α, lalongitud de β y el coseno del angulo entre α y β; [9].

Esto nos permite escribir el producto interno en la forma α ·β = ‖α‖ ‖β‖ cos θ,lo que nos conduce a la siguiente:

Definicion 7 Dos vectores α, β ∈ R3 distintos de cero, se dice que son ortogonalessi α · β = 0.

Una consecuencia de las propiedades del producto interno y de la norma es laley de los cosenos.

Teorema 8 Sean ‖α‖, ‖β‖ y ‖γ‖ las longitudes de los lados de un triangulo y sea θel angulo opuesto al lado de longitud ‖γ‖. Entonces

‖γ‖2 = ‖α‖2 + ‖β‖2 − 2 ‖α‖ ‖β‖ cos θ. (1.9)

DemostracionSea γ = β − α, entonces

γ · γ = (β − α) · (β − α)

= (β − α) · β − (β − α) · α (1.10)

= β · β − α · β − β · α + α · α.

Por la definicion de norma y la definicion alternativa de producto interno se llega a

‖γ‖2 = ‖α‖2 + ‖β‖2 − 2 ‖α‖ ‖β‖ cos θ.

�

El producto cruz vectorial α1 × α2 11

Dado que R3 es un espacio con producto interno, podemos hablar del comple-mento ortogonal de un subconjunto de R3.

Definicion 9 Sea S ⊆ R3. El complemento ortogonal de S, denotado por S⊥, consisteen aquellos vectores de R3 que son ortogonales a todo vector α ∈ S:

S⊥ ={β ∈ R3 | β · α = 0 para todo α ∈ S

}. (1.11)

En particular, dado un vector α ∈ R3 tendremos

α⊥ ={β ∈ R3 | β · α = 0

}, (1.12)

es decir, α⊥ consiste en todos los vectores que son ortogonales al vector dado α.El complemento ortogonal de R3 es el subespacio cero, y, de manera recıproca,

0⊥ = R3.Supongamos que α es un vector no nulo en R3. En este caso la interpretacion

geometrica de α⊥ es el plano en R3 que pasa por el origen y es perpendicular al vectorα; [8].

1.2. El producto cruz vectorial α1 × α2

En varios problemas de geometrıa y de la fısica, es necesario obtener un vectorque sea perpendicular a dos vectores dados. Estos problemas se resuelven facilmentecon el producto cruz vectorial, definido de la siguiente manera:

Definicion 10 Sean α1 = (a11, a12, a13), α2 = (a21, a22, a23) ∈ R3. Se define el pro-ducto cruz vectorial entre α1 y α2 como el vector

α1 × α2 = (a12a23 − a13a22, a13a21 − a11a23, a11a22 − a12a21). (1.13)


El producto cruz vectorial cumple con las siguientes propiedades.

Teorema 11 Para todo α, β, γ ∈ R3 y para todo k ∈ R se cumple:

1. α× β = − (β × α) (Simetrıa alternada),

2. k (α× β) = (kα)× β = α× (kβ) (Homogeneidad),

3. α× (β + γ) = (α× β) + (α× γ) (Distributividad),

4. α · (α× β) = 0 = β · (α× β) (Ortogonalidad respecto a α y β),

5. ‖α× β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 − (α · β)2 (Identidad de Lagrange),

6. α× β = 0 si y solo si α y β son linealmente dependientes.

DemostracionSean α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3) y γ = (c1, c2, c3).1) Al intercambiar α y β en la definicion de producto cruz, resulta

β × α = (a3b2 − a2b3, a1b3 − a3b1, a2b1 − a1b2) = − (α× β) , (1.14)

y ası, multiplicando (1.14) por (−1) se obtiene el resultado deseado. Esto nosmuestra que el producto cruz no es conmutativo.

2)

k (α× β) = k (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

= (k (a2b3 − a3b2) , k (a3b1 − a1b3) , k (a1b2 − a2b1))

= ((ka2) b3 − (ka3) b2, (ka3) b1 − (ka1) b3, (ka1) b2 − (ka2) b1)

= (kα)× β.

(kα)× β = ((ka2) b3 − (ka3) b2, (ka3) b1 − (ka1) b3, (ka1) b2 − (ka2) b1)

= (a2 (kb3)− a3 (kb2) , a3 (kb1)− a1 (kb3) , a1 (kb2)− a2 (kb1))

= α× (kβ) .

3)

α× (β + γ) = (a1, a2, a3)× (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3)

=

a2 (b3 + c3)− a3 (b2 + c2)a3 (b1 + c1)− a1 (b3 + c3)a1 (b2 + c2)− a2 (b1 + c1)

T

= (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

+ (a2c3 − a3c2, a3c1 − a1c3, a1c2 − a2c1)

= (α× β) + (α× γ) .

El producto cruz vectorial α1 × α2 13

4)

α · (α× β) = a1 (a2b3 − a3b2) + a2 (a3b1 − a1b3) + a3 (a1b2 − a2b1)

= a1a2b3 − a1a3b2 + a2a3b1 − a1a2b3 + a1a3b2 − a2a3b1 = 0.

β · (α× β) = b1 (a2b3 − a3b2) + b2 (a3b1 − a1b3) + b3 (a1b2 − a2b1)

= a2b1b3 − a3b1b2 + a3b1b2 − a1b2b3 + a1b2b3 − a2b1b3 = 0.

5)

‖α× β‖2 = (a2b3 − a3b2)2 + (a3b1 − a1b3)

2 + (a1b2 − a2b1)2

={a2

2b23 − 2a2a3b2b3 + a2

3b22 + a2

3b21 − 2a1a3b1b3

+a21b

23 + a2

1b22 − 2a1a2b1b2 + a2

2b21

}.

Por otra parte

‖α‖2 ‖β‖2 − (α · β)2 =(a2

1 + a22 + a2

3

) (b21 + b22 + b23

)− (a1b1 + a2b2 + a3b3)

2

={a2

1b21 + a2

1b22 + a2

1b23 + a2

2b21 + a2

2b22 + a2

2b23

+a23b

21 + a2

3b22 + a2

3b23 − a2

1b21 − a2

2b22 − a2

3b23

−2a1a2b1b2 − 2a1a3b1b3 − 2a2a3b2b3}=

{a2

1b22 + a2

1b23 + a2

2b21 + a2

2b23 + a2

3b21 + a2

3b22

−2a1a2b1b2 − 2a1a3b1b3 − 2a2a3b2b3} ,

por lo tanto ‖α× β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 − (α · β)2.La propiedad 5 muestra que α×β = 0 si y solo si (α · β)2 = ‖α‖2 ‖β‖2, y esto

ocurre si y solo si α y β son linealmente dependientes.

�

La direccion de α1 × α2 esta determinada por la regla de la mano derecha;esto es, cuando α1 gira hacia α2 de modo que los dedos de la mano derecha senalen elsentido de la rotacion, entonces el pulgar indica la direccion de α1 × α2 (suponiendoque el pulgar esta perpendicular a los otros dedos).

La norma de α1 × α2 tiene una interpretacion geometrica interesante. Si α1 yα2 son vectores no nulos que forman un angulo θ, al sustituir α1 ·α2 = ‖α1‖ ‖α2‖ cos θen la propiedad 5 del teorema 10, obtenemos

‖α1 × α2‖2 = ‖α1‖2 ‖α2‖2(1− cos2 θ

)= ‖α1‖2 ‖α2‖2 sin2 θ, (1.15)

de lo que resulta‖α1 × α2‖ = ‖α1‖ ‖α2‖ sin θ. (1.16)


Puesto que ‖α2‖ sin θ es la altura del paralelogramo determinado por los vec-tores α1 y α2, la norma ‖α1 × α2‖ representa el area de ese paralelogramo, [9]; ademas,α1 × α2 es perpendicular a α1 y α2.

Definicion 12 Alternativamente, el producto cruz entre α1 y α2 esta dado por

α1 × α2 =3∑i=1

A1iei, (1.17)

donde los A1i son los cofactores de la matriz 1 1 1a11 a12 a13

a21 a22 a23

, (1.18)

es decir,

α1 × α2 =

∣∣∣∣ a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ a11 a13

a21 a23

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ e3, (1.19)

siendo e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1) los vectores de la base canonica deR3.

De manera informal, la expresion (1.19) tambien se expresa como

α1 × α2 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

∣∣∣∣∣∣ . (1.20)

El producto vectorial mixto 15

1.3. El producto vectorial mixto

El producto interno y el producto cruz pueden combinarse para formar el pro-ducto mixto α1 · α2 × α3, cuya interpretacion es α1 · (α2 × α3); primero se realiza elproducto cruz y luego el producto interno. Tambien recibe el nombre de triple produc-to escalar por estar involucrados tres vectores y porque el resultado es precisamenteun escalar.

Proposicion 13 Sean α1, α2, α3 ∈ R3. El triple producto escalar α1·α2×α3 esta dadopor

α1 · α2 × α3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , (1.21)

donde α1 = (a11, a12, a13), α2 = (a21, a22, a23) y α3 = (a31, a32, a33).

Tambien podemos escribir α1 · α2 × α3 en la forma

α1 · (α2 × α3) = a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣ . (1.22)

Por simplicidad, la expresion (1.22) suele denotarse como det(α1, α2, α3).Por propiedades de los determinantes se sabe que al intercambiar dos filas

adyacentes, el signo del determinante cambia. Haremos uso de esta propiedad parademostrar la siguiente proposicion.

Proposicion 14 Sean α1, α2, α3 ∈ R3. Los productos interno y cruz se puedenintercambiar, es decir:

α1 · α2 × α3 = α1 × α2 · α3. (1.23)

DemostracionSean α1, α2 y α3 las filas del determinante que se forma al realizar el producto

mixto α1 · α2 × α3, entonces

α1 · α2 × α3 = det (α1, α2, α3) = − det (α1, α3, α2)

= det (α3, α1, α2) = α3 · α1 × α2

= α1 × α2 · α3.

�

Proposicion 15 Sean α1, α2, α3 ∈ R3. El triple producto escalar cumple

α1 · α2 × α3 = α2 · α3 × α1 = α3 · α1 × α2. (1.24)


Demostracion


= det (α2, α3, α1) = α2 · α3 × α1.


= det (α3, α1, α2) = α3 · α1 × α2.

�

Lo que nos dice la proposicion anterior es que el producto vectorial mixtopermanece invariable cuando se realiza una permutacion cıclica de los vectores α1, α2

y α3.El triple producto escalar tiene una interpretacion geometrica. La figura mues-

tra un paralelepıpedo determinado por los vectores geometricos α1, α2 y α3. Su alturaes ‖α1‖ cosφ, siendo φ el angulo que forman α1 y (α2 × α3), con 0 ≤ φ ≤ π

2. El volu-

men del paralelepıpedo es

V = ‖α2 × α3‖ (‖α1‖ cosφ) = α1 · α2 × α3. (1.25)

Cuando π2< φ ≤ π, cosφ < 0, y el producto α1 · α2 × α3 es el negativo del

volumen. Cuando φ = π2, los tres vectores estan en un mismo plano que pasa por

el origen, por lo que son linealmente dependientes y su producto mixto es nulo, esdecir: α1 · α2 × α3 = 0.

El producto vectorial mixto 17

Por la proposicion anterior, el volumen del paralelepıpedo tambien se puedeobtener de la siguiente manera:

V = α2 · α3 × α1 = α3 · α1 × α2. (1.26)

En ocasiones es necesario realizar otros tipos de combinaciones de productosentre vectores, por lo que se dan algunos a continuacion.

Proposicion 16 Sean α, β, γ ∈ R3. Entonces

α× (β × γ) = (α · γ) β − (α · β) γ. (1.27)

DemostracionSea θ el angulo entre α y β. Si α y β son linealmente dependientes, la de-

mostracion es trivial, por lo que supondremos que son linealmente independientes;[15]. Primero obtendremos una formula para α × (α× β). Observe que el vectorα × (α× β) es perpendicular a α y a (α× β), por lo que esta en el plano generado

por α y β. Entonces el vector α× (α× β) es un multiplo escalar de β −(β·α‖α‖2

)α, es

decir

α× (α× β) = k

[β −

(β · α‖α‖2

)α

]. (1.28)

Calculando el producto interno de β con (1.28) y resolviendo para k tenemos:

β · α× (α× β) = k

[β · β −

(β · α‖α‖2

)β · α

]β × α · (α× β) = k

[‖β‖2 − (β · α)2

‖α‖2

]

− (α× β) · (α× β) = k

[‖β‖2 − ‖α‖

2 ‖β‖2 cos2 θ

‖α‖2

](1.29)

−‖α× β‖2 = k ‖β‖2(1− cos2 θ

)−‖α‖2 ‖β‖2 sin2 θ = k ‖β‖2 sin2 θ

k = −‖α‖2 .

Sustituyendo k en (1.28):

α× (α× β) = −‖α‖2[β −

(α · β‖α‖2

)α

]= (α · β)α− ‖α‖2 β. (1.30)

Ahora consideremos α× (β × γ) para vectores arbitrarios α, β y γ. Sea

α = z1 (β × γ) + z2β + z3γ. (1.31)


Efectuando el producto interno de (1.31) con β:

α · β = z1 (β × γ) · β + z2 (β · β) + z3 (γ · β)

= z2 ‖β‖2 + z3 (γ · β) . (1.32)

Tomando el producto interno de (1.31) con γ:

α · γ = z1 (β × γ) · γ + z2 (β · γ) + z3 (γ · γ)

= z2 (β · γ) + z3 ‖γ‖2 . (1.33)

Calculando el producto cruz de (1.31) con (β × γ):

α× (β × γ) = z1 (β × γ)× (β × γ) + z2β × (β × γ) + z3γ × (β × γ)

= z2

[(β · γ) β − ‖β‖2 γ

]− z3γ × (γ × β)

= z2 (β · γ) β − z2 ‖β‖2 γ − z3

[(γ · β) γ − ‖γ‖2 β

]=

[z2 (β · γ) + z3 ‖γ‖2

]β −

[z2 ‖β‖2 + z3 (γ · β)

]γ. (1.34)

Sustituyendo (1.32) y (1.33) en (1.34) se obtiene

α× (β × γ) = (α · γ) β − (α · β) γ.

�

Corolario 17 Dados α1, α2, α3 ∈ R3 se cumple

(α1 × α2)× α3 = (α1 · α3)α2 − (α2 · α3)α1. (1.35)

Demostracion

(α1 × α2)× α3 = −α3 × (α1 × α2)

= − [(α3 · α2)α1 − (α3 · α1)α2]

= (α1 · α3)α2 − (α2 · α3)α1.

�

De la proposicion y del corolario anterior se concluye que

α1 × (α2 × α3) 6= (α1 × α2)× α3. (1.36)

Corolario 18 Sean α1, α2, α3, α4 ∈ R3. Entonces

α1 × α2 · (α3 × α4) = (α1 · α3) (α2 · α4)− (α1 · α4) (α2 · α3) . (1.37)

Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial 19

Demostracion

α1 × α2 · (α3 × α4) = α1 · α2 × (α3 × α4)

= α1 · [(α2 · α4)α3 − (α2 · α3)α4]

= (α2 · α4) (α1 · α3)− (α2 · α3) (α1 · α4) .

�

Tambien [21], podemos escribir la expresion anterior por medio de un deter-minante en la forma:

α1 × α2 · (α3 × α4) =

∣∣∣∣ (α1 · α3) (α1 · α4)(α2 · α3) (α2 · α4)

∣∣∣∣ . (1.38)

1.4. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial

1.4.1. Obtener una base de R3 dados dos vectores l. i.

Sean α1, α2 ∈ R3 dos vectores linealmente independientes. Se verifica facil-mente que

A = {α1, α2, α1 × α2} (1.39)

es una base de R3.

1.4.2. Base dual en R3

Dada una base ordenada de R3 se puede encontrar su base dual resolviendotres sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incognitas cada uno. En esta sec-cion se propone un algoritmo alternativo para encontrar la base dual en R3; [25].Comenzaremos exponiendo el material de algebra lineal necesario para establecer unlenguaje basico que se usara a lo largo del presente trabajo; [4].

Definicion 19 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F . Una transformacionlineal f : V −→ F se denomina funcional lineal (o forma lineal).

Si V es un espacio vectorial, el conjunto de todos los funcionales lineales sobreV es ası mismo un espacio vectorial, denotado por L (V, F ). Se designa este espaciopor V ∗ y recibe el nombre de espacio dual de V , denotado por

V ∗ = L(V, F ),

que posee la siguiente caracterıstica:

dimV ∗ = dimV .

Suponga que V es un espacio vectorial de dimension n sobre F y sea A = {α1, ..., αn}una base de V . Entonces, para cada i existe un funcional lineal fi unico, tal que

fi (αj) = δij, (1.40)


con i, j ∈ {1, 2, ..., n}. Estos funcionales son linealmente independientes, y en tal

caso {f1, ..., fn} constituye la unica base dual A∗, respecto de la base A. Para cadafuncional lineal f sobre V se tiene

f =n∑i=1

f (αi) fi, (1.41)

y para cada vector α de V se tiene

α =n∑i=1

fi (α)αi. (1.42)

Sea V = R3 y F = R. Sean α, β ∈ R3, con α = (x, y, z) y β = (u1, u2, u3). Unfuncional lineal en R3 esta dado en la forma

fβ (α) = u1x+ u2y + u3z, (1.43)

= β · α. (1.44)

A continuacion se propone el algoritmo alternativo para obtener labase dual, dada una base ordenada de R3. En este algoritmo se emplea elproducto interno y el producto cruz vectorial definidos en las seccionesanteriores.

Sea A = {α1, α2, α3} una base ordenada de R3 y α ∈ R3 arbitrario. Seanβ1 = α2×α3, β2 = α1×α3, β3 = α1×α2. Se definen funcionales lineales en la forma

fγi(α) = γi · α, (1.45)

con

γi =

(1

αi · βi

)βi, para i = 1, 2, 3. (1.46)

Los vectores γ1, γ2 y γ3 se denominan vectores inversos o recıprocos de los vectoresα1, α2 y α3. Su producto interno satisface:

αi · γj = δij =

{0 i 6= j,

1 i = j.para i, j = 1, 2, 3. (1.47)


Utilizando la ecuacion (1.27) se obtiene

γ1 · γ2 × γ3 =

(β1

α1 · β1

)·(

β2

α2 · β2

)×(

β3

α3 · β3

)=

(α2 × α3

α1 · α2 × α3

)·(

α1 × α3

α2 · α1 × α3

)×(

α1 × α2

α3 · α1 × α2

)=

(α2 × α3) · [(α3 × α1)× (α1 × α2)]

(α1 · α2 × α3)3

=(α2 × α3) · [(α3 × α1 · α2)α1]

(α1 · α2 × α3)3 (1.48)

=(α3 × α1 · α2) (α2 × α3 · α1)

(α1 · α2 × α3)3 =

(α1 · α2 × α3)2

(α1 · α2 × α3)3

=1

α1 · α2 × α3

,

es por esta razon que se les da el nombre de vectores recıprocos. Finalmente llegamosa los funcionales lineales

fγi(α) = γi · α

=

(1

αi · βi

)βi · α (1.49)

=α · βiαi · βi

,

Cabe mencionar que αi · βi 6= 0 siempre, porque α1,α2 y α3 son linealmente indepen-dientes. Por ejemplo,

α1 · β1 = α1 · α2 × α3 = det (α1, α2, α3) 6= 0. (1.50)

En efecto, veamos que la expresion (1.49) cumple (1.40) para i = 1:

fγ1(α1) =

α1 · β1

α1 · β1

= 1,

fγ1(α2) =

α2 · β1

α1 · β1

=α2 · α2 × α3

α1 · β1

= 0, (1.51)

fγ1(α3) =

α3 · β1

α1 · β1

=α3 · α2 × α3

α1 · β1

= 0.

De la misma manera se puede ver que

fγ2(α1) = 0, fγ2

(α2) = 1, fγ2(α3) = 0,

fγ3(α1) = 0, fγ3

(α2) = 0, fγ3(α3) = 1. (1.52)


Por lo tanto, A∗={fγ1

(α) , fγ2(α) , fγ3

(α)}

es la base dual de la base A.

Ahora se da un ejemplo de como encontrar la base dual, primero resolviendolode la manera usual, es decir, resolviendo tres sistemas de tres ecuaciones lineales contres incognitas cada uno, y despues por medio del producto cruz, para finalmentecomparar ambos algoritmos.

Algoritmo 1:Sea A = {α1 = (1, 0, 1) , α2 = (1, 1, 2) , α3 = (1, 2, 4)} una base ordenada de

R3. Encontrar su base dual.Buscamos funcionales lineales

φ1 (x, y, z) = a11x+ a12y + a13z,

φ2 (x, y, z) = a21x+ a22y + a23z, (1.53)

φ3 (x, y, z) = a31x+ a32y + a33z,

tales que

φ1 (α1) = 1, φ1 (α2) = 0, φ1 (α3) = 0,

φ2 (α1) = 0, φ2 (α2) = 1, φ2 (α3) = 0, (1.54)

φ3 (α1) = 0, φ3 (α2) = 0, φ3 (α3) = 1.

Por lo tanto, se deben resolver tres sistemas de tres ecuaciones lineales con tresincognitas cada uno. A continuacion se plantea cada sistema y se dan los resultadoscorrespondientes a cada uno:

φ1 (α1) = φ1 (1, 0, 1) = 1a11 + 0a12 + 1a13 = 1φ1 (α2) = φ1 (1, 1, 2) = 1a11 + 1a12 + 2a13 = 0φ1 (α3) = φ1 (1, 2, 4) = 1a11 + 2a12 + 4a13 = 0

para obtener a11 = 0, a12 = −2, a13 = 1.


(1.55)

para obtener a21 = 2, a22 = 3, a23 = −2.


para obtener a31 = −1, a32 = −1, a33 = 1.


Sustituyendo el valor de cada aij en los funcionales lineales de (1.53) se tieneque la base dual de A es:

A∗ =

φ1 (x, y, z) = −2y + z,

φ2 (x, y, z) = 2x+ 3y − 2z,φ3 (x, y, z) = −x− y + z

.

Algoritmo 2:Sea A = {α1 = (1, 0, 1) , α2 = (1, 1, 2) , α3 = (1, 2, 4)} una base de R3. Obte-

ner la base dual por medio del algoritmo del producto cruz vectorial se reduce a losiguiente:

1. Resolver tres productos cruz para calcular los β′is.

2. Calcular el producto interno de α1 · β1.

3. Para obtener α2 · β2 y α3 · β3 no es necesario ni siquiera calcular los productosinternos, ya que su valor numerico va a ser el mismo que el de α1 · β1, exceptopor un signo, que dependera de la permutacion de los subındices de los vectores:si la permutacion es par, el signo sera (+); si la permutacion es impar, el signosera (−). Esto se puede ver facilmente de la siguiente manera

α2 · β2 = α2 · (α1 × α3) = det (α2, α1, α3)

= − det (α1, α2, α3) = −1, (1.56)

α3 · β3 = α3 · (α1 × α2) = det (α3, α1, α2)

= − det (α1, α3, α2) = det (α1, α2, α3) = 1.

4. Calcular los vectores recıprocos γi =(

1αi·βi

)βi.

5. Finalmente, obtener los funcionales lineales que constituyen la base dual

fγi (α) = γi · α,

con α = (x, y, z) ∈ R3 arbitrario.

Calculemos primero los β′is:

β1 = α2 × α3 =

∣∣∣∣ 1 22 4

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ 1 2

1 4

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ 1 11 2

∣∣∣∣ e3

= −2e2 + e3 = (0,−2, 1) ,

β2 = α1 × α3 =

∣∣∣∣ 0 12 4

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ 1 1

1 4

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ 1 01 2

∣∣∣∣ e3

= −2e1 − 3e2 + 2e3 = (−2,−3, 2) , (1.57)


β3 = α1 × α2 =

∣∣∣∣ 0 11 2

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ 1 1

1 2

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ 1 01 1

∣∣∣∣ e3

= −e1 − e2 + e3 = (−1,−1, 1) .

Ahora

α1 · β1 = det (α1, α2, α3) = (1, 0, 1) · (0,−2, 1) = 1,

α2 · β2 = α2 · (α1 × α3) = det (α2, α1, α3) = −1, (1.58)

α3 · β3 = α3 · (α1 × α2) = det (α3, α1, α2) = 1,

lo que nos permite obtener los vectores recıprocos

γ1 =

(1

α1 · β1

)β1 = (0,−2, 1) ,

γ2 =

(1

α2 · β2

)β2 = (2, 3,−2) , (1.59)

γ3 =

(1

α3 · β3

)β3 = (−1,−1, 1) .

Sea α ∈ R3, con α = (x, y, z). Los funcionales lineales que se obtienen son

fγ1(α) = γ1 · α = (0,−2, 1) · (x, y, z) = −2y + z,

fγ2(α) = γ2 · α = (2, 3,−2) · (x, y, z) = 2x+ 3y − 2z, (1.60)

fγ3(α) = γ3 · α = (−1,−1, 1) · (x, y, z) = −x− y + z.

Por lo tanto, la base dual de A es:

A∗ =

fγ1

(x, y, z) = −2y + z,fγ2

(x, y, z) = 2x+ 3y − 2z,fγ3

(x, y, z) = −x− y + z

.

Como se puede ver, la cantidad de operaciones a realizar para obtener la basedual mediante el algoritmo del producto cruz vectorial, es mucho menor que las quese realizarıan empleando el algoritmo uno; esto nos permite resolver el problema enmenos tiempo y emplear menos espacio a la hora de escribir el desarrollo del problema.Otra ventaja que nos ofrece el algoritmo dos, es que no se requiere saber resolversistemas de ecuaciones lineales para poder emplearlo. Ademas, como se vera en elcapıtulo cuatro, este algoritmo se puede generalizar a Rn, y en la medida en queaumenta la dimension del espacio, al comparar los dos algoritmos, sucede lo siguiente:

numero de operaciones (algoritmo 2) < numero de operaciones (algoritmo 1).

En resumen, los conocimientos necesarios para poder calcular la base dualempleando el algoritmo dos son:


Determinantes,

Producto interno,

Producto cruz.

1.4.3. Matriz de cambio de base

Otra aplicacion del producto cruz vectorial consiste en obtener la matriz decambio de base de B a A, dadas dos bases ordenadas

A = {α1, α2, α3} ,

B = {ω1, ω2, ω3} ,

en R3, para lo cual es necesario calcular los vectores recıprocos de la base A. Veamoscomo es esto.

Sea A∗={fγ1

(α) , fγ2(α) , fγ3

(α)}

la base dual de A, donde fγi(α) = γi · α

∀ α ∈ R3, con γi como en (1.46) e i = 1, 2, 3. Por ser A una base ordenada, cadaωi ∈ B puede ser expresado como combinacion lineal de la siguiente manera

ωi = ai1α1 + ai2α2 + ai3α3, (1.61)

o mediante la base dual

ωi = fγ1(ωi)α1 + fγ2

(ωi)α2 + fγ3(ωi)α3

= (γ1 · ωi)α1 + (γ2 · ωi)α2 + (γ3 · ωi)α3, (1.62)

es decir

ω1 = (γ1 · ω1)α1 + (γ2 · ω1)α2 + (γ3 · ω1)α3,

ω2 = (γ1 · ω2)α1 + (γ2 · ω2)α2 + (γ3 · ω2)α3, (1.63)

ω3 = (γ1 · ω3)α1 + (γ2 · ω3)α2 + (γ3 · ω3)α3.

Tomando la transpuesta de la matriz de coeficientes del arreglo anterior obtenemosla matriz de cambio de base de B a A

A =

γ1 · ω1 γ1 · ω2 γ1 · ω3

γ2 · ω1 γ2 · ω2 γ2 · ω3

γ3 · ω1 γ3 · ω2 γ3 · ω3

. (1.64)

Entonces, se tiene queA [ω]B = [α]A , (1.65)

donde [α]A y [ω]B son vectores coordenados en terminos de las bases A y B respecti-vamente.


Ejemplo:Sean

A = {α1 = (1, 0, 1) , α2 = (1, 1, 2) , α3 = (1, 2, 4)} ,

B = {ω1 = (1, 0, 0) , ω2 = (2, 1, 0) , ω3 = (1,−1, 1)} ,

dos bases ordenadas de R3. Hallar la matriz de cambio de base de B a A.Los vectores recıprocos γi de la base A ya se calcularon en el ejercicio de base

dual:

γ1 =

(1

α1 · β1

)β1 = (0,−2, 1) ,

γ2 =

(1

α2 · β2

)β2 = (2, 3,−2) , (1.66)

γ3 =

(1

α3 · β3

)β3 = (−1,−1, 1) .

Ademas

γ1 · ω1 = 0, γ2 · ω1 = 2, γ3 · ω1 = −1,

γ1 · ω2 = −2, γ2 · ω2 = 7, γ3 · ω2 = −3, (1.67)

γ1 · ω3 = 3, γ2 · ω3 = −3, γ3 · ω3 = 1.

Por lo tanto, la matriz de cambio de base de B a A es:

A =

0 −2 32 7 −3−1 −3 1

.

1.4.4. Base ortogonal de R3

Sean α1, α2 ∈ R3 dos vectores linealmente independientes y sea S = {α1, α2}.Mediante el uso del producto cruz, se puede obtener a partir de S una base ortogonalordenada de R3, de la siguiente manera:

Proposicion 20 Sean α1, α2 ∈ R3 dos vectores linealmente independientes. Sean

β1 = α1,

β2 = α1 × α2, (1.68)

β3 = β1 × β2.

Entonces B = {β1, β2, β3} es una base ortogonal de R3.


DemostracionPor las propiedades del producto cruz se tiene que los vectores β1, β2, β3 son

mutuamente ortogonales y por consiguiente linealmente independientes, por lo tantoconstituyen una base ortogonal de R3.

�

A continuacion se da un ejemplo de como encontrar una base ortogonal me-diante la proposicion anterior.

Ejemplo:Sea S = {α1 = (1, 0, 1) , α2 = (1, 1, 2)} un conjunto linealmente independiente.Entonces

β1 = (1, 0, 1) ,

β2 =

∣∣∣∣ 0 11 2

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ 1 1

1 2

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ 1 01 1

∣∣∣∣ e3 = (−1,−1, 1) , (1.69)

β3 =

∣∣∣∣ 0 1−1 1

∣∣∣∣ e1 −∣∣∣∣ 1 1−1 1

∣∣∣∣ e2 +

∣∣∣∣ 1 0−1 −1

∣∣∣∣ e3 = (1,−2,−1) .

Verificando, tenemos que

βi · βj = 0 para i 6= j, y det (β1,β2,β3) 6= 0, (1.70)

es decir, los vectores son mutuamente ortogonales y linealmente independientes, comose querıa. Por lo tanto

B = {β1 = (1, 0, 1) , β2 = (−1,−1, 1) , β3 = (1,−2,−1)}

es una base ortogonal de R3.

1.4.5. La ecuacion α× β = γ

Dados dos vectores α, γ ∈ R3 con α 6= 0, considere la ecuacion

α× β = γ. (1.71)

A continuacion demostraremos que esta ecuacion tiene una solucion β ∈ R3 siy solo si α · γ = 0, y que cuando esto ocurre, todas las soluciones de (1.71) son de laforma

β = β0 + kα, (1.72)

con k ∈ R arbitrario yβ0 = −‖α‖−2 (α× γ). (1.73)

La demostracion se realiza de la siguiente manera:Sean α, γ ∈ R3 con α 6= 0 y α · γ = 0. Queremos encontrar β ∈ R3 tal que

α × β = γ. Para esto, vamos a obtener primero una solucion particular β0 ∈ R3

suponiendo α · β0 = 0, es decir, vamos a resolver la ecuacion

α× β0 = γ. (1.74)


Tomando el producto cruz por la derecha, de (1.74) con α tenemos

(α× β0)× α = γ × α,∣∣∣∣ α · α αβ0 · α β0

∣∣∣∣ = γ × α,

‖α‖2 β0 − (β0 · α)α = γ × α, (1.75)

‖α‖2 β0 = γ × α,

β0 = −‖α‖−2 (α× γ).

Ahora vamos a encontrar todas las soluciones.Como α y β0 son linealmente independientes y perpendiculares a γ, cualquier

solucion β de (1.71) es combinacion lineal de β0 y α, y se puede expresar en la forma(1.72) con k ∈ R arbitrario.

1.4.6. Reflexion de un vector arbitrario ϕ

Sea N⊥ un plano fijo con un vector normal unitario N. Encontrar la reflexionespejo de un vector arbitrario ϕ a traves del plano N⊥. Sea ϕe la reflexion espejo delvector ϕ a traves del plano N⊥.

Se deduce facilmente que

N · ϕe = −N · ϕ, (1.76)

y N× ϕe = N× ϕ. (1.77)

Ahora, tomando α unitario en la ecuacion α × β = γ, la solucion de estaecuacion se puede expresar en la forma

β = γ × α + kα. (1.78)


Finalmente, podemos encontrar la reflexion de un vector arbitrario ϕ por mediode la ecuacion (1.78) tomando β = ϕe, α = N, k = −N · ϕ y γ = N× ϕ:

ϕe = (N× ϕ)×N− (N · ϕ) N

= ϕ− 2 (N · ϕ) N. (1.79)

Para mas detalles vease [22]. La segunda igualdad se sigue de (1.35).

1.4.7. Rotacion de un vector arbitrario ϕ

Sea w una lınea fija en la direccion del vector unitario ω. y sea θ un angulo fijo.Encuentre la rotacion ϕR de un vector arbitrario ϕ alrededor de la lınea w, despuesde girar un angulo θ.

Se deducen facilmente las siguientes ecuaciones

ω · ϕR = ω · ϕ, (1.80)

y ω × ϕR = ω × [ϕ cos θ + (ω × ϕ) sin θ] . (1.81)

Se utilizara el hecho de que

ϕ = ϕ⊥ + ϕ‖, (1.82)

donde ϕ⊥ es la proyeccion perpendicular de ϕ respecto de ω, y ϕ‖ es la proyeccionparalela de ϕ respecto de ω (para mas detalles de este hecho ver [22]).

La segunda ecuacion se puede deducir de la siguiente figura, que es una vistade la rotacion, en el plano perpendicular al eje de rotacion. Para cada vector, solo semuestran las componentes que son perpendiculares a ω.


y se puede ver que

ϕ⊥R = ϕ⊥ cos θ +(ω × ϕ⊥

)sin θ, (1.83)

lo que implicaω × ϕ⊥R = ω ×

[ϕ⊥ cos θ +

(ω × ϕ⊥

)sin θ

]. (1.84)

Peroω × ϕ⊥R = ω × ϕR y ω × ϕ⊥ = ω × ϕ, (1.85)

por lo tantoω × ϕR = ω × [ϕ cos θ + (ω × ϕ) sin θ] . (1.86)

Finalmente, podemos encontrar la rotacion de un vector arbitrario ϕ alrededor deuna lınea w, despues de girarlo un angulo θ mediante la ecuacion (1.78) haciendoβ = ϕR, α = ω, k = ω · ϕ y γ = ω × [ϕ cos θ + (ω × ϕ) sin θ]:

ϕR = {ω × [ϕ cos θ + (ω × ϕ) sin θ]} × ω + (ω · ϕ)ω

= (cos θ)ϕ+ [(1− cos θ) (ω · ϕ)]ω + (sin θ)ω × ϕ. (1.87)

Para mas detalles vease [22]. La segunda igualdad se sigue de (1.35) y del hecho deque ω · (ω × ϕ) = 0 ya que (ω × ϕ) ⊥ ω.

Esta formula para la rotacion es conocida como la Formula de Rodrigues .

Generalizar la mayorıa de estos metodos a Rn requiere que el producto cruzeste definido en Rn. La pregunta que surge es: ¿se puede dar una generalizacion delproducto cruz a Rn?, y si esto es posible, ¿que propiedades tiene? La respuesta a estaspreguntas se dara en los siguientes capıtulos.

Capıtulo 2

CUATERNIOS Y OCTONIOS

2.1. Los cuaternios H

Hasta 1871 al menos cinco matematicos habıan descubierto o publicado, inde-pendientemente unos de otros, la representacion geometrica de los numeros complejos.Estos autores eran Wessel, Gauss, Argand, Warren y Mourey. Fue gracias al presti-gio y a la autoridad de Gauss que esta representacion fue ampliamente difundida ycada vez mas aceptada. Sin embargo, ninguno de ellos habıa llegado a extender estarepresentacion al espacio de tres dimensiones, y entre los que intentaron encontraruna representacion adecuada para ello, despues de 1831, figura Sir William RowanHamilton. Sin embargo, si la historia de la representacion geometrica de los numeroscomplejos constituye una lınea de desarrollo que desemboca en los cuaternios, existeotra que fue establecida por el mismo Hamilton en su largo e importante ensayo pu-blicado en 1837 con el tıtulo: Theory of conjugate functions, or algebraic couples; witha preliminary and elementary essay on algebra as the science of pure time (Teorıade las funciones conjugadas o parejas algebraicas; con un ensayo preliminar y ele-mental sobre el algebra como ciencia del tiempo puro). En la tercera seccion de suobra, Hamilton desarrolla los numeros complejos en terminos de parejas ordenadasde numeros reales de una manera casi identica a la que se utiliza en las matematicasmodernas. Como Hamilton creıa que la representacion geometrica era util para laintuicion pero no satisfactoria para la justificacion logica de esos numeros, busco otramanera de representarlos. Ası, introdujo el par ordenado de numeros reales (a, b) ydefinio operaciones sobre este par. Todas esas operaciones se efectuan teniendo encuenta reglas que son validas para los numeros reales:

(a0, a1) + (b0, b1) = (a0 + b0, a1 + b1) ,

(a0, a1)− (b0, b1) = (a0 − b0, a1 − b1) ,

(a0, a1) (b0, b1) = (a0b0 − a1b1, a0b1 + a1b0) , (2.1)

(a0, a1)

(b0, b1)=

(a0b0 + a1b1b20 + b21

,a1b0 − a0b1b20 + b21

).

Hamilton se cuida de anadir, inmediatamente despues de estas reglas, lo siguiente:Estas definiciones, aunque arbitrarias, no son contradictorias una con respecto

a otra, ni con respecto a los primeros principios del algebra, y es posible extraer

32 Cuaternios y Octonios

conclusiones legıtimas, mediante un razonamiento matematico riguroso, a partir delas premisas aceptadas arbitrariamente de este modo; pero las personas que han leıdocon atencion las observaciones precedentes de esta teorıa, y las han comparado conel ensayo preliminar, veran que esas definiciones no estan escogidas arbitrariamente,en realidad, y a pesar de que otras podrıan haber sido propuestas, ninguna otra serıaigualmente apropiada.

Al final de esta seccion, afirma con determinacion que el par ası consideradoes equivalente al numero complejo a+ bi de la manera siguiente:

En la teorıa de los numeros simples (reales), el sımbolo√−1 es absurdo, y

designa una raız imposible, o un numero imaginario simple; pero en la teorıa de lasparejas, el mismo sımbolo

√−1 es significativo, y designa una raız posible, o una

pareja real, la raız cuadrada principal de la pareja (−1, 0). Ademas, en esta ultimateorıa, no en la primera, el sımbolo

√−1 puede ser propiamente utilizado, y podemos

escribir para toda pareja (a0, a1),

(a0, a1) = a0 + a1

√−1. (2.2)

Con esta teorıa de las parejas, Hamilton estaba bien preparado para descubriry aceptar como legıtimos los “numeros complejos” de cuatro dimensiones, inclusoaunque no se dispusiera de ninguna justificacion geometrica. Por otro lado, al finalde su ensayo de 1837, Hamilton dice que esta investigando ternas de numeros reales;[3].

2.1.1. Los cuaternios de Hamilton

Hamilton, despues de su teorıa de las parejas, se fijo la tarea de extender lateorıa de los numeros complejos al espacio de tres dimensiones. En una primera eta-pa, intento probablemente elaborar un algebra de tres unidades para establecer unacorrespondencia con las tres dimensiones espaciales, pero actualmente se sabe que talalgebra no puede existir. Hamilton no lo sabıa, y debio de tardar mucho tiempo enconvencerse de que no llegarıa nunca a alcanzar su objetivo. ¿Como llego mas tarde abuscar un algebra con cuatro unidades que respondiera a sus expectativas? Suponien-do que se hubiera convencido de la pertinencia de esta investigacion, Hamilton debıa,por otra parte, transgredir la ley de la conmutatividad de la multiplicacion para al-canzar su objetivo: los cuaternios. Como habıa hecho Cardano con la existencia delas raıces complejas, Hamilton decide aceptar lo que era comunmente inaceptable enaquella epoca, que la multiplicacion de los “cuadruplos” no es conmutativa. El 16de octubre de 1843, Hamilton se paseaba a la orilla del Canal Real cuando de pron-to, despues de largos meses, e incluso de largos anos de espera, emerge el resultadoque habıa esperado tanto tiempo: i2 = j2 = k2 = ijk = −1. El grabo esta relacionfundamental en la madera del Puente Brougham.

Presento la forma definitiva de su teorıa de los cuaternios en sus Lectures onquaternions (Lecciones sobre los cuaternios) en 1853, y en una obra en dos volumenes

Los cuaternios H 33

publicada despues de su muerte bajo el tıtulo: Elements of quaternions (Elementosde los cuaternios) en 1886.

En 1843, Hamilton presento sus cuaternios. Dos cuaternios son iguales solosi las componentes correspondientes son iguales. Escribe el cuaternio en la formaq = (a, b, c, d). En su teorıa de las parejas, el operador i tiene la propiedad de cambiarla pareja (a1, a2) por la pareja (−a2, a1). De la misma manera, en la teorıa de loscuaternios, los operadores i, j, k son tales que

iq = (−b, a,−d, c) ,

jq = (−c, d, a,−b) , (2.3)

kq = (−d,−c, b, a) .

A continuacion, Hamilton define (ij) q de manera que obtenga i (jq) y llega a sucelebre relacion fundamental

i2 = j2 = k2 = ijk = −1. (2.4)

Hamilton estaba entusiasmado con sus cuaternios, lo mismo que su amigo ydiscıpulo Peter Guthrie Tait (1831-1901), quien fundo una sociedad para la difusionde los cuaternios y llego incluso a mantener una lucha feroz y esteril, por anadidura,contra los otros metodos vectoriales que se elaboraron paralelamente. Hamilton creıafirmemente que esta creacion serıa tan importante como el calculo diferencial e inte-gral para la fısica matematica. Sin embargo, aunque el mismo hizo aplicaciones a lageometrıa, a la optica, a la mecanica, ademas de consagrar los veinte ultimos anosde su vida a su algebra favorita, la reaccion general de los fısicos de esa epoca, fuela de ignorar practicamente este descubrimiento. No obstante, los trabajos de Hamil-ton conducirıan indirectamente hacia un algebra y un analisis de los vectores que losfısicos adoptarıan de lleno a finales del siglo XIX.

En el tema del algebra, es importante hacer notar que es la primera vez en lahistoria de las matematicas que un sistema de numeros hipercomplejos estructuradologicamente no verifica la ley conmutativa, cierta, por otra parte, para los numerosreales y complejos. Era un primer paso adelante en la liberacion del algebra de lasujecion tradicional, y ello permitirıa abrir completamente la vıa hacia la libre creacionde nuevas algebras, como las algebras vectoriales, en particular la de Grassmann ylas algebras de dimension finita; [11].

En lugar de proseguir paso a paso la exposicion de su teorıa tal como el lapresento, preferimos recordar brevemente, sirviendonos de la notacion moderna, losprincipales resultados a los que llego.

Los cuaternios de Hamilton se denotan por H y son un algebra no-conmutativade dimension cuatro, que contiene al algebra de los numeros complejos.

Un cuaternio α es un numero hipercomplejo que puede ser escrito de una ysolo una manera, en la forma

α = a0 + a1i+ a2j + a3k, (2.5)


donde an ∈ R, e i, j, k son vectores unitarios mutuamente perpendiculares entre sı,dirigidos segun los ejes x, y, z, respectivamente. La parte real del cuaternio es a0, lacual se llama tambien la parte escalar, y el resto constituye la parte vectorial.

Sean c ∈ R y α, β ∈ H, con α = a0 +a1i+a2j+a3k y β = b0 + b1i+ b2j+ b3k.Entonces

α = β ⇔ an = bn, n ∈ {0, 1, 2, 3} ; (2.6)

la suma de dos cuaternios esta dada por

α + β = (a0 + b0) + (a1 + b1) i+ (a2 + b2) j + (a3 + b3) k; (2.7)

el cero o neutro aditivo de los cuaternios es

0H = 0 + 0i+ 0j + 0k; (2.8)

la unidad o neutro multiplicativo de los cuaternios es

1H = 1 + 0i+ 0j + 0k; (2.9)

el producto de un escalar por un cuaternio se define como

cα = ca0 + ca1i+ ca2j + ca3k, (2.10)

en particular,

−α = (−1)α. (2.11)

El producto de los vectores unitarios se resume en la figura que se da a continuacion.Cuando se multiplican en sentido contrario al de las flechas, el producto es negativo.

Los cuaternios H 35

La figura anterior muestra graficamente las siguientes identidades:

ij = −ji, jk = −kj, ki = −ik, ijk = −1. (2.12)

Las reglas de multiplicacion para los vectores unitarios i, j, k = ij se resumen en lasiguiente tabla

· i j ki −1 k −jj −k −1 ik j −i −1

. (2.13)

2.1.2. Aritmetica en HH es un algebra de division (asociativa), sobre el campo R. Sean α, αi, β ∈ H

y c, ci ∈ R arbitrarios.El algebra de cuaternios posee las siguientes propiedades.ADICION.Conmutatividad:α + β = β + α.Asociatividad:(α1 + α2) + α3 = α1 + (α2 + α3).Neutro aditivo:α + 0H = α = 0H + α.Inverso aditivo:α + (−α) = 0H = −α + α.ESCALARES POR CUATERNIOS.(c1c2)α = c1 (c2α).c (αβ) = (cα) β = α (cβ).c (α1 + α2) = cα1 + cα2.(c1 + c2)α = c1α + c2α.PRODUCTO DE CUATERNIOS.No se cumple la conmutatividad:αβ 6= βα.Asociatividad:(α1α2)α3 = α1 (α2α3).Neutro multiplicativo:α1H = α = 1Hα.Inverso multiplicativo para cada α 6= 0H:αα−1 = 1H = α−1α.Distributividad:β (α1 + α2) = βα1 + βα2.(α1 + α2) β = α1β + α2β.


Sean α = a0 + a1i+ a2j + a3k y β = b0 + b1i+ b2j + b3k.El producto de cuaternios αβ se realiza teniendo en cuenta:-La suma y el producto en R;-La suma, la no-conmutatividad y las leyes distributivas en H;-Las reglas para la multiplicacion de vectores unitarios.Por lo tanto, al multiplicar α por β obtenemos

αβ = (a0 + a1i+ a2j + a3k) (b0 + b1i+ b2j + b3k)

= a0 (b0 + b1i+ b2j + b3k) + a1i (b0 + b1i+ b2j + b3k)

+a2j (b0 + b1i+ b2j + b3k) + a3k (b0 + b1i+ b2j + b3k) (2.14)

= (a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3) + (a0b1 + a1b0 + a2b3 − a3b2) i

+ (a0b2 − a1b3 + a2b0 + a3b1) j + (a0b3 + a1b2 − a2b1 + a3b0) k.

A diferencia de los numeros reales y complejos, en los cuaternios sucede que αβ 6= βα;por ejemplo, sean

α = 3 + i+ 3j + 2k

y β = 5 + 2i+ 3j + k,

entonces

αβ = (3 + i+ 3j + 2k) (5 + 2i+ 3j + k)

= 2 + 14i+ 21j + 16k,

y βα = (5 + 2i+ 3j + k) (3 + i+ 3j + 2k)

= 2 + 8i+ 27j + 10k,

de manera que la ley conmutativa no se verifica en la multiplicacion de cuaternios.Hamilton demostro que la multiplicacion es asociativa, y esa serıa la primera vez quefue utilizado este concepto.

Se define el conjugado de α, denotado por α como

α = a0 − a1i− a2j − a3k. (2.15)

La conjugacion de cuaternios cumple

α = α, (2.16)

cα = cα, (2.17)

α + β = α + β, (2.18)

αβ = β α. (2.19)

Multiplicando α por su conjugado α se obtiene αα = αα, ya que

αα = (a0 + a1i+ a2j + a3k) (a0 − a1i− a2j − a3k)

= a20 + a2

1 + a22 + a2

3 (2.20)

= (a0 − a1i− a2j − a3k) (a0 + a1i+ a2j + a3k)

= αα.

Los cuaternios H 37

Esto nos permite definir la forma cuadratica no-degenerada Q como

Q (α) 1H = αα

=3∑

n=0

a2n, (2.21)

que tiene la propiedad

Q (cα) = c2Q (α) . (2.22)

A partir de la forma cuadratica no-degenerada Q, se define B1 (α, β), la forma bilinealsimetrica no-degenerada

B1 (α, β) =1

2{Q (α + β)−Q (α)−Q (β)} , (2.23)

que se puede escribir alternativamente en la forma

B1 (α, β) =1

2

(αβ + βα

)=

3∑n=0

anbn. (2.24)

Haciendo β = 1H se tiene que

2B1 (α, 1H) = α + α ≡ T (α) . (2.25)

Tambien se define la norma de α, denotada por ‖α‖ como

‖α‖ =√Q (α)

=√αα (2.26)

=

√3∑

n=0

a2n.

Mediante las definiciones anteriores podemos escribir

B1 (α, α) = Q (α)

= αα (2.27)

= ‖α‖2 .

Teorema 21 Todo elemento α del algebra H cumple la ecuacion caracterıstica

α2 − T (α)α + ‖α‖2 1H = 0H. (2.28)


Demostracion

α2 − T (α)α + ‖α‖2 1H = α2 − (α + α)α + (αα) 1H

= α2 − αα− αα + αα = 0H.

�

Se define a su vez, el inverso multiplicativo de α, denotado por α−1 como

α−1 = Q (α)−1 α, (2.29)

para todo α 6= 0H.

2.1.3. Los cuaternios y el producto cruz

En esta tesis mostramos como se puede definir otro producto binario entre loscuaternios α y β, que llamaremos producto cruz de cuaternios puros; ası mismo, vere-mos que existe un producto cruz de tres cuaternios, cuyo resultado sera perpendiculara cada uno de los tres cuaternios dados.

Sean α′, β′ ∈ H cuaternios puros. Para encontrar el producto cruz binario decuaternios puros calculamos

α′β′ = (a1i+ a2j + a3k) (b1i+ b2j + b3k)

= −a1b1 + a1b2k − a1b3j − a2b1k − a2b2

+a2b3i+ a3b1j − a3b2i− a3b3 (2.30)

= (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j

+ (a1b2 − a2b1) k −B1(α′, β′)1H.

Pero (a2b3 − a3b2) i−(a1b3 − a3b1) j+(a1b2 − a2b1) k es equivalente al productocruz definido en el capıtulo uno, por lo que a continuacion se da la siguiente

Definicion 22 Sea V ⊂ H el complemento ortogonal de 1H y sean α′, β′ ∈ V . Sedefine el producto cruz de dos cuaternios puros X : V × V −→ V como

X (α′, β′) = α′β′ +B1(α′, β′)1H, (2.31)

o en forma explıcita

X (α′, β′) = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k

=

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ . (2.32)

Los cuaternios H 39

Este producto cruz cumple las siguientes propiedades1. X (α′, β′) es una funcion bilineal.2. B1(X (α′, β′) , α′) = B1(X (α′, β′) , β′) = 0.

3. ‖X (α′, β′)‖2 = ‖α′‖2 ‖β′‖2 − [B1(α′, β′)]

2= 4(α′, β′).

Sus demostraciones son analogas a las hechas en el capıtulo uno.

Ahora se definira un producto cruz con tres cuaternios.

Definicion 23 Sean α, β, γ ∈ H. Se define el producto cruz de α, β, γ, denotadopor X (α, β, γ) como

X (α, β, γ) = B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − αβγ. (2.33)

Teorema 24 El producto cruz de tres cuaternios tiene las siguientes propiedades:

1. X (α, β, γ) es una funcion lineal en cada uno de sus argumentos.

2. B1(X (α, β, γ) , α) = B1(X (α, β, γ) , β) = B1(X (α, β, γ) , γ) = 0.

3. ‖X (α, β, γ)‖2 = 4(α, β, γ).

DemostracionSean α, αi, β, βi, γ ∈ H y c ∈ R.1)

X (α1 + α2, β, γ) = B1 (α1 + α2, β) γ +B1 (β, γ) (α1 + α2)

−B1 (γ, α1 + α2) β − (α1 + α2) βγ

= B1 (α1, β) γ +B1 (β, γ)α1 −B1 (γ, α1) β − α1βγ

+B1 (α2, β) γ +B1 (β, γ)α2 −B1 (γ, α2) β − α2βγ

= X (α1, β, γ) + X (α2, β, γ) .

X (cα, β, γ) = B1 (cα, β) γ +B1 (β, γ) (cα)−B1 (γ, cα) β − (cα) βγ

= c{B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − αβγ

}= cX (α, β, γ) .

Las demostraciones de

X (α, β1 + β2, γ) = X (α, β1, γ) + X (α, β2, γ) ,

X (α, β, γ1 + γ2) = X (α, β, γ1) + X (α, β, γ2) ,

X (α, cβ, γ) = cX (α, β, γ) ,

X (α, β, cγ) = cX (α, β, γ) ,


son analogas.2)

B1 (X (α, β, γ) , α) = B1

({B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − αβγ

}, α)

= B1 (α, β)B1 (γ, α) +B1 (β, γ)B1 (α, α)

−B1 (γ, α)B1 (β, α)−B1

(αβγ, α

)= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1

(αβ, αγ

)= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1 (α, α)B1 (β, γ)

= 0.

Las demostraciones de

B1 (X (α, β, γ) , β) = 0 = B1 (X (α, β, γ) , γ) ,

son analogas.3)

‖X (α, β, γ)‖2 = B1 (X (α, β, γ) ,X (α, β, γ))

= B1

(X (α, β, γ) ,

[B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − αβγ

])= B1 (α, β)B1 (X (α, β, γ) , γ) +B1 (β, γ)B1 (X (α, β, γ) , α)

−B1 (γ, α)B1 (X (α, β, γ) , β)−B1

(X (α, β, γ) , αβγ

)= −B1

(X (α, β, γ) , αβγ

)= −B1

([B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − αβγ

], αβγ

)= B1 (γ, α)B1(β, αβγ) +B1(αβγ, αβγ)

−B1 (α, β)B1(γ, αβγ)−B1 (β, γ)B1(α, αβγ)

= B1 (γ, α)B1(βγ, αβ) +B1(α, α)B1(β, β)B1(γ, γ)

−B1 (α, β)B1(β, α)B1(γ, γ)−B1 (β, γ)B1(α, α)B1(β, γ)

= B1 (γ, α) [2B1(α, β)B1(γ, β)−B1(γ, α)B1(β, β)]

+ ‖α‖2 ‖β‖2 ‖γ‖2 − ‖γ‖2 [B1 (α, β)]2 − ‖α‖2 [B1 (β, γ)]2

= ‖α‖2[‖β‖2 ‖γ‖2 − [B1 (β, γ)]2

]−B1 (α, β)

[‖γ‖2B1 (β, α)−B1(β, γ)B1(γ, α)

]+B1(α, γ)

[B1(β, α)B1(γ, β)− ‖β‖2B1(γ, α)

]=

∣∣∣∣∣∣B1 (α, α) B1 (α, β) B1 (α, γ)B1 (β, α) B1 (β, β) B1 (β, γ)B1 (γ, α) B1 (γ, β) B1 (γ, γ)

∣∣∣∣∣∣= 4(α, β, γ).

�

Los octonios O 41

La propiedad 2) nos dice que el cuaternio X (α, β, γ) es simultaneamente per-pendicular a los cuaternios α, β y γ. Por otro lado, la propiedad 3) nos dice que lanorma de X (α, β, γ) representa el volumen del paralelepıpedo con lados α, β y γ.

2.2. Los octonios O

Menos conocido es el descubrimiento de los octonios por el amigo de Hamiltonde la universidad, John T. Graves. Fue el interes de Graves en el algebra lo quetuvo a Hamilton al principio pensando en numeros complejos y tripletas. Al dıasiguiente del paseo de Hamilton por el Canal Real y el puente Brougham, el mismoHamilton envio una carta de ocho paginas a Graves, describiendole los cuaternios.Graves respondio el 26 de octubre, felicitando a Hamilton por la audacia de la idea,pero agregando “Aun hay algo en el sistema que no me gusta. Todavıa no tengo unpanorama claro hasta cierto punto, de que libertad arbitraria tenemos para crearimaginarios y dotarlos con propiedades supernaturales.” Y le pregunto: “Si con tualquimia puedes crear tres libras de oro, ¿por que debes detenerte ahı?”

Graves se puso entonces a trabajar por su cuenta y el 26 de diciembre le es-cribio a Hamilton describiendole un algebra de dimension 8 que el llamo “Octaves”.Demostro que eran un algebra de division normada, y uso esto para expresar el pro-ducto de dos sumas de ocho cuadrados perfectos como otra suma de ocho cuadradosperfectos: el “teorema de los ocho cuadrados”.

En enero de 1844, Graves le envio tres cartas a Hamilton ampliando su des-cubrimiento. Considero la idea de una teorıa general de “2n-adas”, y trato de construirun algebra de division normada de dimension 16, pero se encontro con algo inesperadoy llego a dudar que esto fuera posible. Hamilton ofrecio publicar el descubrimiento deGraves, pero al estar ocupado con el trabajo sobre los cuaternios, siguio aplazandolo.En julio le escribio a Graves senalando que los octonios no eran asociativos. Hamiltoninvento el termino asociativo aproximadamente en este tiempo, de manera que losoctonios pudieron haber jugado un papel importante en clarificar la importancia deeste concepto.

Entretanto, el joven Arthur Cayley, recien egresado de Cambridge, habıa es-tado pensando en los cuaternios desde que Hamilton anuncio su existencia. Parecıaestar buscando relaciones entre los cuaternios y las funciones hiperelıpticas. En mar-zo de 1845 publico un artıculo en la Philosophical Magazine titulado On Jacobi’sElliptic Functions, in Reply to the Rev. B. Bronwin; and on Quaternions (Sobre lasFunciones Elıpticas de Jacobi, en respuesta al Rev. B. Bronwin; y sobre Cuaternios).La mayor parte de este artıculo era un intento de refutar otro artıculo que senalabalos errores en el trabajo de Cayley sobre funciones elıpticas. Aparentemente como unaidea tardıa, remato con una breve descripcion de los octonios. De hecho, este artıculoestaba tan lleno de errores que fue omitido de sus trabajos recolectados, excepto porla parte acerca de octonios.

Disgustado por la publicacion, Graves agrego una posdata a un artıculo suyo


que iba a aparecer en la siguiente edicion de la misma revista, diciendo que el sabıade los octonios desde la navidad de 1843. El 14 de junio de 1847, Hamilton envio unabreve nota a la academia real irlandesa, atestiguando para la prioridad de Graves. Peroera demasiado tarde: los octonios fueron conocidos como “los numeros de Cayley”.Aun peor, mas tarde, Graves encontro que su teorema de los ocho cuadrados ya habıasido descubierto por C. F. Degen en 1818; [11].

2.2.1. Los octonios de Cayley & Graves

Los octonios de Cayley & Graves, que se denotan por O, son un algebra no-conmutativa y no-asociativa de dimension ocho, que contiene al algebra no-conmutati-va de los cuaternios de Hamilton.

Un octonio es un numero que puede ser escrito de una y solo una manera, enla forma

α = a0 +7∑

k=1

akik

= a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i4 + a5i5 + a6i6 + a7i7, (2.34)

donde los ak ∈ R y los ik son vectores unitarios mutuamente perpendiculares entresı.

La parte real del octonio es a0, que tambien es llamada la parte escalar, y elresto lo constituye la parte vectorial, tambien llamada octonio puro.

Sean c ∈ R y α, β ∈ O, con α = a0 +7∑

k=1

akik y β = b0 +7∑

k=1

bkik. Entonces

α = β ⇔ an = bn, n ∈ {0, 1, ..., 7} ; (2.35)

la suma de dos octonios esta dada por

α + β = (a0 + b0) +7∑

k=1

(ak + bk) ik; (2.36)

el cero o neutro aditivo de los octonios es

0O = 0 + 0i1 + 0i2 + 0i3 + 0i4 + 0i5 + 0i6 + 0i7; (2.37)

la unidad o neutro multiplicativo de los octonios es

1O = 1 + 0i1 + 0i2 + 0i3 + 0i4 + 0i5 + 0i6 + 0i7; (2.38)

el producto de un escalar por un octonio se define como

cα = ca0 + ca1i1 + ca2i2 + ca3i3 + ca4i4 + ca5i5 + ca6i6 + ca7i7, (2.39)

Los octonios O 43

en particular

−α = (−1)α. (2.40)

La multiplicacion de los vectores unitarios

1O, i1, i2, i3 = i1i2, i4, i5 = i1i4, i6 = i2i4, i7 = (i1i2) i4, (2.41)

viene dada en la siguiente tabla

· 1O i1 i2 i3 i4 i5 i6 i71O 1O i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7i1 i1 −1O i3 −i2 i5 −i4 −i7 i6i2 i2 −i3 −1O i1 i6 i7 −i4 −i5i3 i3 i2 −i1 −1O i7 −i6 i5 −i4i4 i4 −i5 −i6 −i7 −1O i1 i2 i3i5 i5 i4 −i7 i6 −i1 −1O −i3 i2i6 i6 i7 i4 −i5 −i2 i3 −1O −i1i7 i7 −i6 i5 i4 −i3 −i2 i1 −1O

. (2.42)

2.2.2. El plano de Fano

Otra manera de recordar y obtener rapidamente el producto de los vectoresunitarios, es mediante la siguiente figura que consta de 7 unidades y 7 lıneas conorientaciones, [7], conocida como el Plano de Fano:

.

Se define el producto en terminos de las unidades imaginarias por


ikik = −1O, e ijik = −ikij para j 6= k. (2.43)

Entre todos los subconjuntos de tres unidades imaginarias de octonios, haysiete tripletas que estan asociadas, de manera que cada tripleta junto con i0, generauna subalgebra isomorfa a H. Cada lınea del plano de Fano corresponde a una tripletageneradora. En la siguiente tabla, cada renglon muestra como esta asociada cadatripleta.

i1i2 = i3, i2i3 = i1, i3i1 = i2.i1i4 = i5, i4i5 = i1, i5i1 = i4.i2i4 = i6, i4i6 = i2, i6i2 = i4.i3i4 = i7, i4i7 = i3, i7i3 = i4.i5i3 = i6, i3i6 = i5, i6i5 = i3.i6i1 = i7, i1i7 = i6, i7i6 = i1.i7i2 = i5, i2i5 = i7, i5i7 = i2.

(2.44)

2.2.3. Aritmetica en OLos octonios son un algebra (no-asociativa) de division sobre el campo R. Sean

α, αi, β, ω ∈ O, y c, ci ∈ R arbitrarios.El algebra de octonios tiene las siguientes propiedades.SUMA.Conmutatividad:α + β = β + α.Asociatividad:(α1 + α2) + α3 = α1 + (α2 + α3).Neutro aditivo:α + 0O = α = 0O + α.Inverso aditivo:α + (−α) = 0O = −α + α.ESCALARES POR OCTONIOS.(c1c2)α = c1 (c2α).c (αβ) = (cα) β = α (cβ).c (α1 + α2) = cα1 + cα2.(c1 + c2)α = c1α + c2α.PRODUCTO DE OCTONIOS.No se cumple la conmutatividad:αβ 6= βα.No se cumple la asociatividad:(α1α2)α3 6= α1 (α2α3).pero se cumplen las propiedades alternativas:(αα) β = α (αβ).β (αα) = (βα)α.

Los octonios O 45

(αβ)α = α (βα).Identidad de Moufang:(ωα) (βω) = ω (αβ)ω.Neutro multiplicativo:α1O = α = 1Oα.Inverso multiplicativo para cada α 6= 0O:αα−1 = 1O = α−1α.Distributividad:β (α1 + α2) = βα1 + βα2.(α1 + α2) β = α1β + α2β.

Sean α = a0 +7∑

k=1

akik y β = b0 +7∑

k=1

bkik.

El producto de octonios αβ se realiza teniendo en cuenta:-La suma y el producto en R;-La suma, la no-conmutatividad, la no-asociatividad y las leyes distributivas

en O;-Las reglas para la multiplicacion de vectores unitarios.Por lo tanto, al multiplicar α por β obtenemos

αβ = (a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i4 + a5i5 + a6i6 + a7i7) β

= a0β + a1i1β + a2i2β + a3i3β + a4i4β + a5i5β + a6i6β + a7i7β

= {a0 (b0 + b1i1 + b2i2 + b3i3 + b4i4 + b5i5 + b6i6 + b7i7)

+a1i1 (b0 + b1i1 + b2i2 + b3i3 + b4i4 + b5i5 + b6i6 + b7i7)






+a7i7 (b0 + b1i1 + b2i2 + b3i3 + b4i4 + b5i5 + b6i6 + b7i7)} (2.45)

= {(a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 − a4b4 − a5b5 − a6b6 − a7b7) i0

+(a0b1 + a1b0 + a2b3 − a3b2 + a4b5 − a5b4 − a6b7 + a7b6)i1

+ (a0b2 + a2b0 − a1b3 + a3b1 + a4b6 − a6b4 + a5b7 − a7b5) i2

+(a0b3 + a3b0 + a1b2 − a2b1 + a4b7 − a7b4 − a5b6 + a6b5)i3

+ (a0b4 + a4b0 − a1b5 + a5b1 − a2b6 + a6b2 − a3b7 + a7b3) i4

+ (a0b5 + a5b0 + a1b4 − a4b1 − a2b7 + a7b2 + a3b6 − a6b3) i5

+ (a0b6 + a6b0 + a1b7 − a7b1 + a2b4 − a4b2 − a3b5 + a5b3) i6

+ (a0b7 + a7b0 − a1b6 + a6b1 + a2b5 − a5b2 + a3b4 − a4b3) i7}


Se define el conjugado de α, que se denota por α como

α = a0 −7∑

k=1

akik. (2.46)

La conjugacion de octonios cumple lo siguiente:

α = α, (2.47)

cα = cα, (2.48)

α + β = α + β, (2.49)

αβ = β α. (2.50)

Multiplicando α por su conjugado α se concluye que αα = αα, ya que

αα = (a0 +7∑

k=1

akik)(a0 −7∑

k=1

akik)

= a20 +

7∑k=1

a2k (2.51)

= (a0 −7∑

k=1

akik)(a0 +7∑

k=1

akik)

= αα.

Esto nos permite definir la forma cuadratica Q no-degenerada como

Q (α) 1O = αα

=7∑

k=0

a2k, (2.52)

que tiene la propiedadQ (cα) = c2Q (α) . (2.53)

A partir de esta forma cuadratica se define B1 (α, β), la forma bilineal simetrica no-degenerada

B1 (α, β) =1

2{Q (α + β)−Q (α)−Q (β)} , (2.54)

que se puede escribir alternativamente en la forma

B1 (α, β) =1

2

(αβ + βα

)=

7∑k=0

akbk; (2.55)

Los octonios O 47

haciendo β = 1O se tiene que

2B1 (α, 1O) = α + α ≡ T (α) . (2.56)

Se define tambien la norma de α, denotada por ‖α‖ como

‖α‖ =√Q (α)

=√αα (2.57)

=

√√√√ 7∑k=0

a2k.

Mediante las definiciones anteriores podemos escribir

B1 (α, α) = Q (α)

= αα (2.58)

= ‖α‖2 .

Teorema 25 Toda α del algebra O cumple la ecuacion caracterıstica

α2 − T (α)α + ‖α‖2 1O = 0O. (2.59)

Demostracion

α2 − T (α)α + ‖α‖2 1O = α2 − (α + α)α + (αα) 1O

= α2 − αα− αα + αα = 0O.

�

Se define a su vez el inverso multiplicativo de α, denotado por α−1 como

α−1 = Q (α)−1 α, (2.60)

para todo α 6= 0O.

2.2.4. Los octonios y el producto cruz

Ademas del producto αβ, se puede definir un producto cruz vectorial con dosoctonios puros. Tambien veremos que existen dos productos cruz de tres octonios. Laresultante de cada uno de estos productos cruz es perpendicular a cada uno de losoctonios dados.

Para encontrar el producto cruz binario de octonios puros se da la siguiente


Definicion 26 Sea V ⊂ O el complemento ortogonal de 1O y α′, β′ ∈ V . Se defineel producto cruz de dos octonios puros X : V × V −→ V como

X (α′, β′) = α′β′ +B1(α′, β′)1O. (2.61)

Teorema 27 El producto cruz de dos octonios puros tiene las siguientes propiedades:

1. X (α′, β′) es una funcion bilineal.

2. B1(X (α′, β′) , α′) = B1(X (α′, β′) , β′) = 0.

3. ‖X (α′, β′)‖2 = ‖α′‖2 ‖β′‖2 − [B1(α′, β′)]

2= 4(α′, β′).

Demostracion

Sean α′, α′i, β′, β′i ∈ V y c ∈ R.

1)

X (α′1 + α′2, β′) = (α′1 + α′2) β

′ +B1(α′1 + α′2, β

′)1O

= [α′1β′ +B1(α

′1, β

′)1O] + [α′2β′ +B1(α

′2, β

′)1O]

= X (α′1, β′) + X (α′2, β

′) .

X (cα′, β′) = (cα′) β′ +B1(cα′, β′)1O

= c (α′β′) + cB1(α′, β′)1O

= cX (α′, β′) .

Las demostraciones de que

X (α′, β′1 + β′2) = X (α′, β′1) + X (α′, β′2) ,

X (α′, cβ′) = cX (α′, β′) ,

son analogas.

2)

B1(X (α′, β′) , α′) = B1 (α′β′ +B1(α′, β′)1O, α

′)

= B1 (α′β′, α′) +B1(α′, β′)B1 (1O, α

′)

= B1 (α′, α′)B1 (β′, 1O) +B1(α′, β′)B1 (1O, α

′)

= 0.

La demostracion de que B1(X (α′, β′) , β′) = 0 es analoga.

Los octonios O 49

3)

‖X (α′, β′)‖2 = B1(X (α′, β′) ,X (α′, β′))

= B1(α′β′ +B1(α

′, β′)1O, α′β′ +B1(α

′, β′)1O)

= B1(α′β′, α′β′) +B1(α

′, β′)B1(α′β′, 1O)

+B1(α′, β′)B1(1O, α

′β′) + [B1(α′, β′)]

2B1(1O, 1O)

= B1(α′, α′)B1(β

′, β′) + 2B1(α′, β′)B1(α

′, β′) + [B1(α′, β′)]

2

= ‖α′‖2 ‖β′‖2 − 2B1(α′, β′)B1(α

′, β′) + [B1(α′, β′)]

2

= ‖α′‖2 ‖β′‖2 − [B1(α′, β′)]

2.

El resultado anterior se puede escribir en forma de determinante, con lo que se obtienela expresion

‖X (α′, β′)‖2 =

∣∣∣∣ B1 (α′, α′) B1 (α′, β′)B1 (β′, α′) B1 (β′, β′)

∣∣∣∣= 4(α′, β′).

�

Tambien se puede definir un par de productos cruz con tres octonios como sehace a continuacion.

Definicion 28 Sean α, β, γ ∈ O. Se definen los productos cruz de α, β, γ, denotadospor X1 (α, β, γ) y X2 (α, β, γ) respectivamente, como

X1 (α, β, γ) = B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − α(βγ)

, (2.62)

X2 (α, β, γ) = B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β −(αβ)γ. (2.63)

Para demostrar las propiedades de estos productos cruz [13], se hara uso de laidentidad que se prueba a continuacion.

Proposicion 29 2B1 (α, β)B1 (β, γ) = B1 (β, β)B1 (α, γ) +B1

(βγ, αβ

).

Demostracion

Por (3.21) y (3.152) se obtiene

2B1 (α, β) γ = α(βγ)

+ β (αγ) . (2.64)


Por un lado tenemos que

2B1

(βγ, αβ

)= 2B1

(αβ, βγ

)= 2B1

(β, α

(βγ))

= β(α(βγ))

+(α(βγ))β

= β ((γβ)α) + (α (γγ)) β

= β{(

2B1 (β, γ)− βγ)α}

+ {α (2B1 (β, γ)− γβ)} β (2.65)

= 2B1 (β, γ) (βα)− β[(βγ)α]

+2B1 (β, γ)(αβ)− [α (γβ)] β

= 2B1 (β, γ)(αβ + βα

)−{

[α (γβ)] β + β[(βγ)α]}

= 4B1 (α, β)B1 (β, γ)− r,

conr = [α (γβ)] β + β

[(βγ)α]

. (2.66)

Multiplicando la expresion anterior por β arbitrario y haciendo uso de (2.64) tenemosque

rβ ={

[α (γβ)] β}β +

{β[(βγ)α]}β

= [α (γβ)]B1 (β, β) +[β(βγ)]

(αβ)

= B1 (β, β) [α (γβ)] +[(ββ)γ]

(αβ) (2.67)

= B1 (β, β) [α (γβ)] + [B1 (β, β) γ] (αβ)

= B1 (β, β) [α (γβ) + γ (αβ)]

= 2B1 (β, β)B1 (α, γ) β,

por lo tanto

B1

(βγ, αβ

)= 2B1 (α, β)B1 (β, γ)−B1 (β, β)B1 (α, γ) . (2.68)

�

Teorema 30 Los productos cruz X1 (α, β, γ) y X2 (α, β, γ) poseen las siguientespropiedades:

1. X1 (α, β, γ) es una funcion lineal en cada argumento.

2. B1(X1 (α, β, γ) , α) = B1(X1 (α, β, γ) , β) = B1(X1 (α, β, γ) , γ) = 0.

Los octonios O 51

3. ‖X1 (α, β, γ)‖2 = 4(α, β, γ).

4. X2 (α, β, γ) es una funcion lineal en cada argumento.

5. B1(X2 (α, β, γ) , α) = B1(X2 (α, β, γ) , β) = B1(X2 (α, β, γ) , γ) = 0.

6. ‖X2 (α, β, γ)‖2 = 4(α, β, γ).

DemostracionSean α, αi, β, βi, γ ∈ O y c ∈ R.1) Linealidad en el primer argumento:

X1 (α1 + α2, β, γ) = B1 (α1 + α2, β) γ +B1 (β, γ) (α1 + α2)

−B1 (γ, α1 + α2) β − (α1 + α2)(βγ)

= B1 (α1, β) γ +B1 (α2, β) γ +B1 (β, γ)α1 +B1 (β, γ)α2

−B1 (γ, α1) β −B1 (γ, α2) β − α1

(βγ)− α2

(βγ)

= B1 (α1, β) γ +B1 (β, γ)α1 −B1 (γ, α1) β − α1

(βγ)

+B1 (α2, β) γ +B1 (β, γ)α2 −B1 (γ, α2) β − α2

(βγ)

= X1 (α1, β, γ) + X1 (α2, β, γ) .

X1 (cα, β, γ) = B1 (cα, β) γ +B1 (β, γ) (cα)−B1 (γ, cα) β − (cα)(βγ)

= cB1 (α, β) γ + cB1 (β, γ)α− cB1 (γ, α) β − c(α(βγ))

= c[{B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β − α

(βγ)}]

= cX1 (α, β, γ) .


X1 (α, β1 + β2, γ) = X1 (α, β1, γ) + X1 (α, β2, γ) ,

X1 (α, β, γ1 + γ2) = X1 (α, β, γ1) + X1 (α, β, γ2) ,

X1 (α, cβ, γ) = cX1 (α, β, γ) ,

X1 (α, β, cγ) = cX1 (α, β, γ) ,

son analogas.2) Perpendicularidad para α:

B1 (X1 (α, β, γ) , α) = B1 (B1 (α, β) γ, α) +B1 (B1 (β, γ)α, α)

−B1 (B1 (γ, α) β, α)−B1

(α(βγ), α)

= B1 (α, β)B1 (γ, α) +B1 (β, γ)B1 (α, α)

−B1 (γ, α)B1 (β, α)−B1

(α(βγ), α)

= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1 (α, α)B1 (γ, β)

= 0.


Para β tenemos

B1 (X1 (α, β, γ) , β) = B1 (B1 (α, β) γ, β) +B1 (B1 (β, γ)α, β)

−B1 (B1 (γ, α) β, β)−B1

(α(βγ), β)

= B1 (α, β)B1 (γ, β) +B1 (β, γ)B1 (α, β)

−B1 (γ, α)B1 (β, β)−B1

(α(βγ), β)

= 2B1 (α, β)B1 (γ, β)−B1 (γ, α)B1 (β, β)−B1

(βγ, αβ

)= 2B1 (α, β)B1 (γ, β)−B1 (γ, α)B1 (β, β)

−2B1 (α, β)B1 (γ, β) +B1 (γ, α)B1 (β, β) (∗)= 0,

por (2.68) en (∗).Para γ tenemos

B1 (X1 (α, β, γ) , γ) = B1 (B1 (α, β) γ, γ) +B1 (B1 (β, γ)α, γ)

−B1 (B1 (γ, α) β, γ)−B1

(α(βγ), γ)

= B1 (α, β)B1 (γ, γ) +B1 (β, γ)B1 (α, γ)

−B1 (γ, α)B1 (β, γ)−B1

(α(βγ), γ)

= B1 (α, β)B1 (γ, γ)−B1

(βγ, αγ

)= B1 (α, β)B1 (γ, γ)−B1

(β, α

)B1 (γ, γ)

= B1 (α, β)B1 (γ, γ)−B1 (β, α)B1 (γ, γ)

= 0.

3)En esta demostracion se hara uso de (2.68) en (∗):

‖X1 (α, β, γ)‖2 = B1 (X1 (α, β, γ) ,X1 (α, β, γ))

= B1 (X1 (α, β, γ) , B1 (α, β) γ) +B1 (X1 (α, β, γ) , B1 (β, γ)α)

−B1 (X1 (α, β, γ) , B1 (γ, α) β)−B1

(X1 (α, β, γ) , α

(βγ))

= B1 (α, β)B1 (X1 (α, β, γ) , γ) +B1 (β, γ)B1 (X1 (α, β, γ) , α)

−B1 (γ, α)B1 (X1 (α, β, γ) , β)−B1

(X1 (α, β, γ) , α

(βγ))

= −B1

(B1 (α, β) γ, α

(βγ))−B1

(B1 (β, γ)α, α

(βγ))

−B1

(−B1 (γ, α) β, α

(βγ))−B1

(−α(βγ), α(βγ))

= B1 (γ, α)B1(β, α(βγ)) +B1(α

(βγ), α(βγ))

−B1 (α, β)B1(γ, α(βγ))−B1 (β, γ)B1(α, α

(βγ))


−B1 (α, β)B1(αγ, βγ)−B1 (β, γ)B1(α, α)B1(β, γ)

= B1 (γ, α) [2B1(α, β)B1(γ, β)−B1(γ, α)B1(β, β)] (∗)+ ‖α‖2 ‖β‖2 ‖γ‖2 − ‖γ‖2 [B1 (α, β)]2 − ‖α‖2 [B1 (β, γ)]2

Los octonios O 53

= ‖α‖2[‖β‖2 ‖γ‖2 − [B1 (β, γ)]2

]−B1 (α, β)

[‖γ‖2B1 (β, α)−B1(β, γ)B1(γ, α)

]+B1(α, γ)

[B1(β, α)B1(γ, β)− ‖β‖2B1(γ, α)

]=


∣∣∣∣∣∣= 4(α, β, γ).

4) Linealidad en la primera entrada:

X2 (α1 + α2, β, γ) = B1 (α1 + α2, β) γ +B1 (β, γ) (α1 + α2)

−B1 (γ, α1 + α2) β −((α1 + α2) β

)γ

= B1 (α1, β) γ +B1 (α2, β) γ +B1 (β, γ)α1 +B1 (β, γ)α2

−B1 (γ, α1) β −B1 (γ, α2) β −(α1β

)γ −

(α2β

)γ

= B1 (α1, β) γ +B1 (β, γ)α1 −B1 (γ, α1) β −(α1β

)γ

+B1 (α2, β) γ +B1 (β, γ)α2 −B1 (γ, α2) β −(α2β

)γ

= X2 (α1, β, γ) + X2 (α2, β, γ) .

X2 (cα, β, γ) = B1 (cα, β) γ +B1 (β, γ) (cα)−B1 (γ, cα) β −((cα) β

)γ

= cB1 (α, β) γ + cB1 (β, γ)α− cB1 (γ, α) β − c((αβ)γ)

= c{B1 (α, β) γ +B1 (β, γ)α−B1 (γ, α) β −

(αβ)γ}

= cX2 (α, β, γ) .


X2 (α, β1 + β2, γ) = X2 (α, β1, γ) + X2 (α, β2, γ) ,

X2 (α, β, γ1 + γ2) = X2 (α, β, γ1) + X2 (α, β, γ2) ,

X2 (α, cβ, γ) = cX2 (α, β, γ) ,

X2 (α, β, cγ) = cX2 (α, β, γ) ,

son analogas.5) Perpendicularidad para α:

B2 (X1 (α, β, γ) , α) = B1 (B1 (α, β) γ, α) +B1 (B1 (β, γ)α, α)

−B1 (B1 (γ, α) β, α)−B1

((αβ)γ, α

)= B1 (α, β)B1 (γ, α) +B1 (β, γ)B1 (α, α)

−B1 (γ, α)B1 (β, α)−B1

((αβ)γ, α

)= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1

(αβ, αγ

)= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1 (α, α)B1

(β, γ

)= B1 (β, γ)B1 (α, α)−B1 (α, α)B1 (β, γ) = 0.


Utilizando el hecho de que B1 (x, y) = B1 (x, y) y haciendo x = α, y = β, z = γ en

2B1 (x, y)B1 (z, y) = B1 (z, x)B1 (y, y) +B1 (yz, xy) ,

obtenemos

2B1

(α, β

)B1

(γ, β

)= B1 (γ, α)B1

(β, β

)+B1

(βγ, αβ

), (2.69)

y 2B1 (α, β)B1 (γ, β) = B1 (γ, α)B1 (β, β) +B1

(βγ, αβ

). (2.70)

Para β se utilizara (2.70) en (∗).

B2 (X1 (α, β, γ) , β) = B1 (B1 (α, β) γ, β) +B1 (B1 (β, γ)α, β)

−B1 (B1 (γ, α) β, β)−B1

((αβ)γ, β

)= B1 (α, β)B1 (γ, β) +B1 (β, γ)B1 (α, β)

−B1 (γ, α)B1 (β, β)−B1

((αβ)γ, β

)= 2B1 (α, β)B1 (γ, β)−B1 (γ, α)B1 (β, β)−B1

(αβ, βγ

)= 2B1 (α, β)B1 (γ, β)−B1 (γ, α)B1 (β, β)−B1

(βγ, αβ

)= 2B1 (α, β)B1 (γ, β)−B1 (γ, α)B1 (β, β)

−2B1 (α, β)B1 (γ, β) +B1 (γ, α)B1 (β, β) (∗)= 0.

Para γ tenemos

B2 (X1 (α, β, γ) , γ) = B1 (B1 (α, β) γ, γ) +B1 (B1 (β, γ)α, γ)

−B1 (B1 (γ, α) β, γ)−B1

((αβ)γ, γ)

= B1 (α, β)B1 (γ, γ) +B1 (β, γ)B1 (α, γ)

−B1 (γ, α)B1 (β, γ)−B1

((αβ)γ, γ)

= B1 (α, β)B1 (γ, γ)−B1 (α, β)B1 (γ, γ)

= 0.

6) Para esta demostracion se hara uso de (2.70) en (∗)

‖X2 (α, β, γ)‖2 = B1 (X2 (α, β, γ) ,X2 (α, β, γ))

= B1 (X2 (α, β, γ) , B1 (α, β) γ) +B1 (X2 (α, β, γ) , B1 (β, γ)α)

−B1 (X2 (α, β, γ) , B1 (γ, α) β)−B1

(X2 (α, β, γ) ,

(αβ)γ)

= B1 (α, β)B1 (X2 (α, β, γ) , γ) +B1 (β, γ)B1 (X2 (α, β, γ) , α)

−B1 (γ, α)B1 (X2 (α, β, γ) , β)−B1

(X2 (α, β, γ) ,

(αβ)γ)

= −B1

(X2 (α, β, γ) ,

(αβ)γ)

= −B1

(B1 (α, β) γ,

(αβ)γ)−B1

(B1 (β, γ)α,

(αβ)γ)

−B1

(−B1 (γ, α) β,

(αβ)γ)−B1

(−(αβ)γ,(αβ)γ)

Los octonios O 55

= B1 (γ, α)B1(β,(αβ)γ) +B1(

(αβ)γ,(αβ)γ)

−B1 (α, β)B1(γ,(αβ)γ)−B1 (β, γ)B1(α,

(αβ)γ)


−B1 (α, β)B1(β, α)B1(γ, γ)−B1 (β, γ)B1(α, α)B1(γ, β)

= B1 (γ, α) [2B1(α, β)B1(γ, β)−B1(γ, α)B1(β, β)] (∗)+ ‖α‖2 ‖β‖2 ‖γ‖2 − ‖γ‖2 [B1 (α, β)]2 − ‖α‖2 [B1 (β, γ)]2

= ‖α‖2[‖β‖2 ‖γ‖2 − [B1 (β, γ)]2

]−B1 (α, β)

[‖γ‖2B1 (β, α)−B1(β, γ)B1(γ, α)

]+B1(α, γ)

[B1(β, α)B1(γ, β)− ‖β‖2B1(γ, α)

]=


∣∣∣∣∣∣= 4(α, β, γ).

�

Capıtulo 3

EL PROBLEMA DE HURWITZ

En este capıtulo vamos a estudiar la posibilidad de generalizar el productocruz vectorial a Rn de manera que tenga propiedades similares a las del productocruz en R3.

Como vimos en el capıtulo uno, el producto cruz vectorial en R3 posee lassiguientes propiedades:

Teorema 31 Para todo α, β, γ ∈ R3, y para todo k ∈ R se cumple:

1. α× β = − (β × α) (Simetrıa alternada),

2. (kα)× β = α× (kβ) = k (α× β) (Homogeneidad),

3.α× (β1 + β2) = (α× β1) + (α× β2)(α1 + α2)× β = (α1 × β) + (α2 × β)

}(Bilinealidad),

4. (α× β) · α = (α× β) · β = 0 (Ortogonalidad respecto a α y β),

5. ‖α× β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 − (α · β)2 (Identidad de Lagrange),

6. α× β = 0 si y solo si α y β son linealmente dependientes,

7. α · β × γ = α× β · γ,

8. α · β × γ = β · γ × α = γ · α× β,

9.α× (β × γ) = (α · γ) β − (α · β) γ(α× β)× γ = (α · γ) β − (β · γ)α

},

10. (α× β) · (γ × ϕ) = (α · γ) (β · ϕ)− (α · ϕ) (β · γ) =

∣∣∣∣ α · γ α · ϕβ · γ β · ϕ

∣∣∣∣.Nos gustarıa poder generalizar el producto cruz vectorial a Rn para resolver

problemas, de la misma manera como se hizo para R3.El producto cruz vectorial en R3 es una operacion binaria:

× : R3 × R3 −→ R3; (3.1)

58 El problema de Hurwitz

entonces surge la siguiente pregunta: En el caso de que se pueda generalizar unproducto cruz vectorial en Rn, ¿la operacion sera binaria? La respuesta a esta preguntadependera de cuales propiedades del producto cruz vectorial usual requiere que secumplan para un espacio vectorial Euclıdeo de dimension n.

Teorema 32 Suponga definido un producto cruz binario en Rn para n ≥ 3, el cualasigna a cualesquiera dos vectores α, β ∈ Rn un vector α × β ∈ Rn que cumple lassiguientes propiedades

1. α× β es una funcion bilineal de α y β.

2. (α× β) · α = (α× β) · β = 0.

3. ‖α× β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 − (α · β)2.

Entonces n = 3 o n = 7.DemostracionLa prueba consiste en mostrar que un producto cruz definido en Rn que cumpla

con las tres propiedades listadas, implica la existencia de una multiplicacion bilinealen Rn+1.

Consideraremos a Rn+1 como una suma directa ortogonal

Rn+1 = R⊕ Rn. (3.2)

De esta manera, un elemento de Rn+1 es un par ordenado (c, α) donde c ∈ Ry α ∈ Rn.

Sean (c, α), (b, β) ∈ Rn+1. Se define el producto de dos elementos de Rn+1

como

(c, α) (b, β) = (cb− α · β, cβ + bα + α× β) , (3.3)

lo cual es consistente con las definiciones del producto de cuaternios (2.14) y deoctonios (2.45).

Esta multiplicacion es bilineal y la unidad es (1, 0). Mediante calculos sencillosy utilizando las propiedades 2) y 3) se puede mostrar que la norma del producto dedos elementos de Rn+1 esta dada por la formula

‖(c, α) (b, β)‖2 = ‖(c, α)‖2 ‖(b, β)‖2 . (3.4)

Esta es exactamente la situacion considerada por Hurwitz, quien demostro quesi tenemos una multiplicacion bilineal con unidad (con neutro multiplicativo) definidaen Rq, tal que la norma del producto de dos vectores es el producto de las normas,entonces q = 1, 2, 4, 8, y la multiplicacion es isomorfa a la de los numeros reales, loscomplejos, los cuaternios y los octonios, respectivamente.

El problema de Hurwitz 59

Notese que la aseveracion de unicidad del teorema de Hurwitz muestra quelas propiedades 1), 2) y 3) caracterizan los productos cruz en R3 y en R7 de maneraunica mediante isomorfismos.

�

Se puede considerar tambien otra manera posible de generalizar la definicion deproducto cruz en espacios euclıdeos. Analogo al producto cruz α× β ∈ R3, podemosdefinir en Rn de manera similar, un producto cruz α1×α2×...×αn−1 de cualesquiera(n− 1) vectores ordenados. La k−esima componente de α1×α2×...×αn−1 es (−1)k

veces el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la k− esima columna. Esteproducto cruz generalizado cumple varias de las propiedades del producto cruz en R3:

1. Es una funcion multilineal semisimetrica.

2. El vector α1 × α2 × ...× αn−1 es perpendicular a αi para i = 1, 2, ..., (n− 1).

3. La norma del producto cruz α1×α2×...×αn−1 es el volumen (n− 1)-dimensionaldel paralelepıpedo generado por los vectores α1, α2, ..., αn−1.

Finalmente surge la siguiente pregunta: dados enteros k y n tales que

2 < k < n− 1,

¿se puede definir un producto cruz vectorial de cualesquiera k vectores ordenadosα1, α2, ..., αk ∈ Rn que cumpla las siguientes propiedades:

α1 × α2 × ...× αk es una funcion k-lineal del arreglo ordenado (α1, α2, ..., αk),

(α1, α2, ..., αk) · αi = 0 para i = 1, 2, ..., k,

si los vectores son linealmente independientes, entonces α1 × α2 × ...× αk 6= 0?

La respuesta a esta pregunta es que tal producto cruz vectorial existe, unica-mente para los valores n = 8 y k = 3; [10].

3.1. El problema de Hurwitz

El siguiente problema fue considerado por A. Hurwitz en 1898. ¿Para que va-lores de n existen identidades de la forma

(n∑1

x2i )(

n∑1

y2i ) =

n∑1

z2i , (3.5)

donde los zi estan dados por

zi =n∑

j,k=1

aijkxjyk, (3.6)


con aijk, xi, yi, zi ∈ C?El teorema de Hurwitz, el cual se generalizara y probara en esta seccion, dice

que las identidades dadas existen solo si n = 1, 2, 4 y 8. La identidad se cumple en R

x21y

21 = (x1y1)

2; (3.7)

tambien se cumple en C

(x21 + x2

2)(y21 + y2

2) = (x1y1 − x2y2)2 + (x1y2 + x2y1)

2 ; (3.8)

ademas se cumple en H

(x21 + x2

2 + x23 + x2

4)(y21 + y2

2 + y23 + y2

4) = z21 + z2

2 + z23 + z2

4 , (3.9)

donde

z1 = x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4,

z2 = x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3, (3.10)

z3 = x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2,

z4 = x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y1.

Estas pueden ser verificadas directamente o mejor aun, deducidas de las propiedadesde la multiplicacion de los numeros reales, complejos y cuaternios. La correspondientepara n = 8 se dara al final del capıtulo.

Teorema 33 (Hurwitz) R, C, H y O son las unicas algebras composicion.

3.2. Las algebras composicion

Ahora generalizaremos el teorema de Hurwitz. Para esto, primero daremosalgunas definiciones importantes.

Definicion 34 Un algebra (asociativa) sobre un campo F es un par que consiste deun anillo (A,+, ·, 0, 1) y de un espacio vectorial A sobre F , tales que el conjunto A,la suma y el 0 son los mismos en el anillo y en el espacio vectorial, ademas de que

a (xy) = (ax) y = x (ay)

se cumple ∀ x, y ∈ A, a ∈ F .

Usualmente el algebra se denotara con la misma letra que se empleo pararepresentar el anillo y el espacio vectorial.

Definicion 35 Un algebra no-asociativa A sobre un campo F , es un espacio vectorialA equipado con un producto binario (x, y)→ xy, el cual es bilineal, es decir

(x1 + x2) y = x1y + x2y, a (xy) = (ax) y = x (ay) ,

x (y1 + y2) = xy1 + xy2, x, xi, y, yi ∈ A, a ∈ F .

Las algebras composicion 61

Notese que no se supone la existencia de una unidad, como se hace en lasalgebras asociativas.

Sea A un espacio vectorial de dimension finita sobre un campo F de carac-terıstica 6= 2, equipado con una forma cuadratica Q no-degenerada y sea 1F la unidaddel campo. Diremos que Q permite composicion si es posible definir un producto bi-lineal xy en A tal que Q (x)Q (y) = Q (xy) ∀ x, y ∈ A. Tenemos entonces un algebrano-asociativa definida por el espacio vectorial y el producto xy, y se mostrara ahoraque se puede suponer que nuestra algebra tiene unidad. Para esto elegimos v ∈ A talque Q (v) 6= 0 y sea u = Q (v)−1 v2. Entonces

Q (u) = Q(Q (v)−1 v2) = Q (v)−2Q (v)Q (v) = 1F , (3.11)

y por lo tantoQ (xu) = Q (x) = Q (ux) , (3.12)

∀ x ∈ A. Ası, las multiplicaciones uR y uL son transformaciones ortogonales de Arelativas a Q, y por lo tanto son invertibles y sus inversas son tambien ortogonales.Ahora definimos un nuevo producto x ∗ y en A por

x ∗ y = (u−1R x)(u−1

L y), (3.13)

y tenemosQ (x ∗ y) = Q(u−1

R x)Q(u−1L y) = Q(x)Q(y). (3.14)

Ademasu−1L u2 = u−1

L (uLu) = u y u−1R u2 = u−1

R (uRu) = u, (3.15)

lo cual implica que

u2 ∗ x = (u−1R u2)(u−1

L x) = u(u−1L x) = x, (3.16)

x ∗ u2 = (u−1R x)(u−1

L u2) = (u−1R x)u = x. (3.17)

Ası u2 es una unidad, relativa a la multiplicacion ∗. Ahora regresaremos a la notacionoriginal xy para x ∗ y, y supondremos que nuestra algebra A tiene unidad, la cualdenotaremos por 1A.

Definicion 36 Un algebra composicion es un par (A,Q) que consiste de un algebrano-asociativa A con unidad 1A, y una forma cuadratica Q no-degenerada en A talque

Q (xy) = Q (x)Q (y) . (3.18)

Una forma cuadratica Q no-degenerada en A se representa como QA y suforma bilineal simetrica asociada se representa por BA, pero para abreviar su escriturausaremos la siguiente notacion de aquı en adelante:

Q = QA y B = BA.


Nuestro objetivo es determinar todas las algebras composicion.Sea (A,Q) un algebra composicion. Observamos primero que la ley de com-

posicion (3.18) nos da Q (x)Q (1A) = Q (x), por lo que

Q (1A) = 1F . (3.19)

Ahora linealizamos la ley de composicion en la variable x, reemplazandola por x+ z:

Q (x+ z)Q (y) = Q ((x+ z) y) = Q (xy + zy) . (3.20)

La forma bilineal simetrica asociada con la forma cuadratica Q esta dada por

B (x, y) = Q (x+ y)−Q (x)−Q (y)

= B (1A, 1A)B1 (x, y) (3.21)

= 2B1 (x, y) ,

pues

B (1A, 1A) = Q (1A + 1A)−Q (1A)−Q (1A)

= Q (2 (1A))− 2Q (1A) (3.22)

= 22Q (1F )− 2(1F )

= 2;

de donde

B1 (x, y) =1

2{Q (x+ y)−Q (x)−Q (y)} . (3.23)

Haciendo uso de (3.21), por un lado tenemos que

Q (x+ z)Q (y) = Q (x)Q (y) +B (x, z)Q (y) +Q (z)Q (y)

= Q (xy) +B (x, z)Q (y) +Q (zy) , (3.24)

y por otroQ (xy + zy) = Q (xy) +B (xy, zy) +Q (zy) , (3.25)

por lo tantoB (x, z)Q (y) = B (xy, zy) . (3.26)

Similarmente, linealizando con respecto a la variable y, reemplazandola por y + w:

Q (x)Q (y + w) = Q (x (y + w)) = Q (xy + xw) , (3.27)

y

Q (x)Q (y + w) = Q (x)Q (y) +Q (x)B (y, w) +Q (x)Q (w)

= Q (xy) +Q (x)B (y, w) +Q (xw) , (3.28)


junto conQ (xy + xw) = Q (xy) +B (xy, xw) +Q (xw) , (3.29)

por lo queQ (x)B (y, w) = B (xy, xw) . (3.30)

Ahora linealizamos (3.26) con respecto a y, reemplazandola por y + w:

B (x, z)Q (y + w) = B [x (y + w) , z (y + w)] . (3.31)

Por un lado tenemos

B (x, z)Q (y + w) = B (x, z) [Q (y) +B (y, w) +Q (w)]

= B (xy, zy) +B (x, z)B (y, w) +B (xw, zw) , (3.32)

por otro lado

B (x (y + w) , z (y + w)) = B (xy + xw, zy + zw) , (3.33)

y por la bilinealidad de B:

B (xy + xw, zy + zw) = B (xy, zy) +B (xy, zw) +B (xw, zy) +B (xw, zw) , (3.34)

por lo tantoB (x, z)B (y, w) = B (xy, zw) +B (zy, xw) . (3.35)

Intercambiando z por w y x por y en la ecuacion anterior

B (y, w)B (x, z) = B (yx, wz) +B (wx, yz) , (3.36)

pero B (y, w)B (x, z) = B (x, z)B (y, w), por lo que obtenemos ademas

B (x, z)B (y, w) = B (yx, wz) +B (yz, wx) . (3.37)

Debido a que

Q (y)B (x, z) = B (yx, yz) y B (x, z)Q (y) = B (xy, zy) , (3.38)

se puede concluir queB (xy, zy) = B (yx, yz) . (3.39)

Sea j = −S1, donde S1 es la simetrıa en el plano ortogonal a 1A,

j : x→ B (x, 1A)

Q (1A)1A − x = B (x, 1A) 1A − x, (3.40)

y abreviandox = j (x) y T (x) = B (x, 1A) . (3.41)


Ahora calculemos Q (x) y x:

Q (x) = Q (B (x, 1A) 1A − x)

= Q (B (x, 1A) 1A) +B (B (x, 1A) 1A,−x) +Q (−x)

= B2 (x, 1A)Q (1A)−B2 (x, 1A) +Q (x) (3.42)

= Q (x) ,

y

x = B (x, 1A) 1A − x= B (B (x, 1A) 1A − x, 1A) 1A − (B (x, 1A) 1A − x) (3.43)

= B (x, 1A)B (1A, 1A) 1A −B (x, 1A) 1A −B (x, 1A) 1A + x

= x,

entonces tenemos:Q (x) = Q (x) y x = x. (3.44)

Tambien notemos que:

B (z, yx) = B (z, (B (y, 1A) 1A − y)x)

= B (y, 1A)B (z, x)−B (z, yx) (3.45)

= B (yz, x) +B (z, yx)−B (z, yx)

= B (yz, x) ,

y

B (x, zy) = B (x, z (B (y, 1A) 1A − y))

= B (y, 1A)B (x, z)−B (x, zy) (3.46)

= B (xy, z) +B (x, zy)−B (x, zy)

= B (xy, z) ,

por lo tanto

B (yz, x) = B (z, yx) , (3.47)

B (xy, z) = B (x, zy) . (3.48)

Haciendo uso de los resultados obtenidos hasta aquı, vamos a probar el siguiente

Lema 37 Sean x, y elementos arbitrarios del algebra composicion A. Entonces secumplen las siguientes propiedades:

1) xx = Q (x) 1A = xx, (3.49)

2) x (xy) = Q (x) y = (xx)y, (3.50)

3) (yx)x = Q (x) y = y(xx), (3.51)

4) xy = y x. (3.52)


DemostracionSean x, y, z ∈ A arbitrarios.1) Por (3.30) y (3.47) tenemos que

Q (x)B (1A, y) = B (x, xy) = B (xx, y) , (3.53)

y Q (x)B (1A, y) = B (Q (x) 1A, y) , (3.54)

por lo tanto

B (xx, y) = B (Q (x) 1A, y) , (3.55)

y B (xx−Q (x) 1A, y) = 0, ∀ y ∈ A. (3.56)

Como B es no-degenerada, esto implica que

xx−Q (x) 1A = 0, es decir, xx = Q (x) 1A. (3.57)

Ademas, haciendo z = x en zz = Q (z) 1A obtenemos

x x = xx = Q (x) 1A = Q (x) 1A, (3.58)

es decirxx = Q (x) 1A. (3.59)

2) Tenemos que

B (x (xy) , z) = B ((B (x, 1A) 1A − x) (xy) , z)

= B (x, 1A)B (xy, z)−B (x (xy) , z)

= B (x (xy) , z) +B (xy, xz)−B (x (xy) , z) (3.60)

= Q (x)B (y, z)

= B (Q (x) y, z) , ∀ z ∈ A.

Como B es no-degenerada, esto implica que

x (xy) = Q (x) y. (3.61)

Tambien

B((xx)y, z) = B ((Q (x) 1A) y, z)

= B (Q (x) y, z) , ∀ z ∈ A. (3.62)

Por la no-degeneracion de B se tiene que

(xx)y = Q (x) y. (3.63)


3) Primero

B ((yx)x, z) = B ((yx) (B (x, 1A) 1A − x) , z)

= B (x, 1A)B (yx, z)−B ((yx)x, z)

= B ((yx)x, z) +B (zx, yx)−B ((yx)x, z) (3.64)

= B (z, y)Q (x) = Q (x)B (y, z)

= B (Q (x) y, z) , ∀ z ∈ A.

Como B es no-degenerada:

(yx)x = Q (x) y. (3.65)

Ademas

B(y(xx), z) = B (Q (x) y, z) , ∀ z ∈ A, (3.66)

entonces, por la no-degeneracion de B:

y(xx) = Q (x) y. (3.67)

4) Calculamos primero

B (xy, z) = B (xy1A, z) = B (1A, (xy) z) . (3.68)

Por otra parte

B(y x, z) = B ((B (y, 1A) 1A − y) (B (x, 1A) 1A − x) , z)

= B (B (x, 1A)B (y, 1A) 1A −B (y, 1A)x−B (x, 1A) y + yx, z)

= B (x, 1A)B (y, 1A)B (z, 1A)−B (y, 1A)B (x, z)

−B (x, 1A)B (y, z) +B (yx, z)

= [B (xy, 1A) +B (y, x)]B (z, 1A)−B (yx, z) (3.69)

−B (x, yz)−B (xy, z)−B (y, xz) +B (yx, z)

= B ((xy) z, 1A) +B (z, xy) +B (yz, x) +B (xz, y)

−B (x, yz)−B (xy, z)−B (y, xz)

= B ((xy) z, 1A) , ∀ z ∈ A.

Por (3.68) y (3.69) se concluye que

B (xy, z) = B(y x, z), (3.70)

y por la no-degeneracion de B se tiene que

xy = y x. (3.71)


�

Notese ademas que, haciendo z = x en z (zy) = Q (z) y = (zz) y se obtiene

x (xy) = Q (x) y = (xx) y; (3.72)

de la misma manera, haciendo z = x en (yz) z = Q (z) y = y (zz) obtenemos

(yx)x = Q (x) y = y (xx) . (3.73)

Definicion 38 Un isomorfismo x → x∗ de A en sı mismo (automorfismo) quecumple 1∗ = 1 e invierte el orden de la multiplicacion

(xy)∗ = y∗x∗, ∀ x,y ∈ A,

es llamado un anti-automorfismo de A.

Definicion 39 Una involucion en A es un anti-automorfismo de A que ademascumple

(x∗)∗ = x, ∀ x ∈ A.

Ya que j : x → x es lineal, x = x y (3.52) se cumple, entonces j es unainvolucion en A. Ademas, por la definicion de x tenemos que x+ x = T (x) 1A.

Definicion 40 Sea A un algebra no-conmutativa. Se define el conmutador [x, y] dex, y como

[x, y] = xy − yx, (3.74)

para todo x, y ∈ A.

Si se cumple que

[x, y] = 0 ∀ x, y ∈ A, es decir, xy = yx, (3.75)

se dice que el algebra es conmutativa.

Definicion 41 Sea A un algebra no-asociativa. Se define el asociador [x, y, z] de x,y, z como

[x, y, z] = (xy)z − x(yz), (3.76)

para todo x, y, z ∈ A.


Si se cumple que

[x, y, z] = 0 ∀ x, y, z ∈ A, es decir, (xy)z = x(yz), (3.77)

se dice que el algebra es asociativa.Las relaciones (3.50) y (3.51) nos permiten obtener los asociadores

[x, x, y] = 0 = [y, x, x] , (3.78)

pues

[x, x, y] = (xx)y − x (xy) = 0, (3.79)

[y, x, x] = (yx)x− y(xx) = 0. (3.80)

Como[1A, x, y] = 0 = [y, x, 1A] y x = T (x) 1A − x, (3.81)

estas relaciones implican

[x, x, y] = (xx) y − x (xy)

= ((T (x) 1A − x)x) y − (T (x) 1A − x) (xy) (3.82)

= T (x) (xy)− (xx)y − T (x) (xy) + x (xy)

= 0,

ademas

[y, x, x] = (yx)x− y (xx)

= (y (T (x) 1A − x))x− y ((T (x) 1A − x)x) (3.83)

= T (x) (yx)− (yx)x− T (x) (yx) + y(xx)

= 0.

De esta manera A es un algebra alternativa en el sentido de la siguiente definicion.

Definicion 42 Un algebra A es alternativa si se cumple

[x, x, y] = 0 = [y, x, x] , (3.84)

∀ x, y ∈ A.

Se ha mostrado que si (A,Q) es un algebra composicion, entonces A es alter-nativa con involucion j : x→ x tal que xx = Q (x) 1A. Sucede que estas condicionesson ademas suficientes para obtener un algebra composicion. Antes de que podamosprobar esto necesitaremos derivar algunas propiedades basicas de algebras alternati-vas.


Ahora, sea A cualquier algebra alternativa, sean x, y, z, w ∈ A arbitrarios ysea c ∈ F . Notese primero que linealizando en cada entrada del asociador (3.84) seobtiene para la suma:

[cx+ w, z, y] = ((cx+ w) z) y − (cx+ w) (zy)

= c (xz) y + (wz) y − cx (zy)− w (zy) (3.85)

= c [x, z, y] + [w, z, y] .

Analogamente se tiene que

[x, cz + w, y] = c [x, z, y] + [x,w, y] (3.86)

y [x, z, cy + w] = c [x, z, y] + [x, z, w] , (3.87)

entonces

0 = [x+ z, z + x, y]

= [x, z, y] + [x, x, y] + [z, z, y] + [z, x, y] (3.88)

= [x, z, y] + [z, x, y] ;

de manera analoga

0 = [y, x+ z, z + x] = [y, x, z] + [y, z, x] , (3.89)

por lo tanto[x, z, y] + [z, x, y] = 0 = [y, x, z] + [y, z, x] . (3.90)

Por (3.90) tenemos

[x, z, y] = − [z, x, y] y [y, x, z] = − [y, z, x] , (3.91)

por lo tanto

[x, y, z] = − [y, x, z] = [y, z, x] = − [z, y, x] = [z, x, y] = − [x, z, y] , (3.92)

con esto se puede ver que el asociador [x, y, z] es una funcion alternante de sus argu-mentos, es decir, permanece invariante bajo permutaciones pares y cambia de signobajo permutaciones impares de sus argumentos. Se obtiene ademas que

[x, y, x] = − [y, x, x] = 0, (3.93)

por lo tanto, tenemos las leyes

x2y = x (xy) , (xy)x = x (yx) , yx2 = (yx)x, (3.94)

por (3.84) y (3.93). Tambien abreviaremos (xy)x = x (yx) por xyx.A continuacion se demuestra una identidad importante para algebras alterna-

tivas debida a R. Moufang.


Proposicion 43 Sea A un algebra alternativa y sean u, x, y ∈ A arbitrarios. En-tonces

(ux) (yu) = u (xy)u. (3.95)

DemostracionLa identidad [u, x, y] = [x, y, u] es equivalente a

(ux) y + x (yu) = u (xy) + (xy)u. (3.96)

Remplazando sucesivamente x por ux y despues y por yu en (3.96)

(u (ux)) y + (ux) (yu) = u ((ux) y) + ((ux) y)u, (3.97)

(ux) (yu) + x ((yu)u) = u (x (yu)) + (x (yu))u; (3.98)

sumando las ecuaciones anteriores(u2x)y + 2 (ux) (yu) + x

(yu2)

= u ((ux) y + x (yu)) + ((ux) y + x (yu))u

= u (u (xy) + (xy)u) + (u (xy) + (xy)u)u

= u2 (xy) + 2u (xy)u+ (xy)u2,

es decir,(u2x)y + 2 (ux) (yu) + x

(yu2)

= u2 (xy) + 2u (xy)u+ (xy)u2. (3.99)

Sustituyendo u por u2 en (3.96):(u2x)y + x

(yu2)

= u2 (xy) + (xy)u2; (3.100)

restando (3.100) de (3.99) obtenemos la identidad de Moufang.

�

Por lo dicho antes de esta ultima proposicion, podemos escribir la identidadde Moufang de la siguiente manera:

(ux) (yu) = u (xy)u = (u (xy))u = u ((xy)u) . (3.101)

Ahora suponga que A es un algebra alternativa con unidad e involucion

j : x→ x tal que xx = Q (x) 1A,

donde Q (x) es una forma cuadratica no-degenerada. Entonces tenemos

ax = B (ax, 1A) 1A − ax= a (B (x, 1A) 1A − x) = ax, (3.102)


y

x+ y = B (x+ y, 1A) 1A − (x+ y)

= [B (x, 1A) 1A − x] + [B (y, 1A) 1A − y] (3.103)

= x+ y,

es decirax = ax y x+ y = x+ y, (3.104)

para todo x, y ∈ A, a ∈ F . Ademas

B (x, y) 1A = Q (x+ y) 1A −Q (x) 1A −Q (y) 1A

= (x+ y) (x+ y)− xx− yy= (x+ y) (x+ y)− xx− yy (3.105)

= xx+ xy + yx+ yy − xx− yy= xy + yx,

y

B (x, y) 1A = Q (x+ y) 1A −Q (x) 1A −Q (y) 1A

= (x+ y) (x+ y)− xx− yy= (x+ y) (x+ y)− xx− yy (3.106)

= xx+ xy + yx+ yy − xx− yy= xy + yx,

por lo tantoxy + yx = B (x, y) 1A = xy + yx. (3.107)

Haciendo y = 1A en la expresion anterior obtenemos

x+ x = B (x, 1A) ≡ T (x) 1A. (3.108)

Entonces (3.84) y(3.108) nos dan (3.78) de manera que obtenemos (3.50) y (3.51).Ademas

Q (xy) 1A = (xy) (xy) = (y x) (xy)

= [(T (y) 1A − y)x] (xy)

= (T (y)x− yx) (xy)

= T (y)x (xy)− (yx) (xy) (3.109)

= Q (x)T (y) y − y (xx) y

= Q (x) [T (y) 1A − y] y

= Q (x) (yy) = Q (x)Q (y) 1A.

Por lo tanto Q (xy) = Q (x)Q (y) y (A,Q) es un algebra composicion. Con esto hemosllegado al siguiente:


Teorema 44 Cualquier algebra composicion (A,Q) es alternativa y tiene una involu-cion j : x → x tal que xx = Q (x) 1A. Inversamente, sea A un algebra alternativacon unidad e involucion j : x → x tal que xx = Q (x) 1A, donde Q (x) es una formacuadratica no degenerada. Entonces (A,Q) es un algebra composicion.

A continuacion se da la construccion de algebras composicion, la cual cons-tituye una generalizacion casi trivial de la construccion familiar de los numeros com-plejos como parejas de numeros reales.

Por el momento no haremos uso de la ley alternativa y solo supondremos queA es un algebra no-asociativa con unidad 1A y una involucion j tal que xx = Q (x) 1Adonde Q (x) es una forma cuadratica no-degenerada. Entonces tenemos (3.107) y

x+ x = T (x) 1A donde T (x) = B (x, 1A) .

Sean a, c ∈ F , con c 6= 0. A partir de A, j y c construiremos un algebra D quesatisfaga las mismas condiciones de A teniendo dimension (2 dimA).

Sea D = A × A el espacio vectorial de pares (x,y) tales que x, y ∈ A, conla suma directa de la estructura de espacio vectorial usual. Definimos un productobinario en D por la formula

(u, v) (x, y) = (ux+ cyv, yu+ vx) . (3.110)

Este producto es bilineal, es decir

(x1, y1) [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) (x2, y2) + (x1, y1) (x3, y3) ,

[(x1, y1) + (x2, y2)] (x3, y3) = (x1, y1) (x3, y3) + (x2, y2) (x3, y3) , (3.111)

a [(u, v) (x, y)] = [a (u, v)] (x, y) = (u, v) [a (x, y)] ,

de manera que junto con la estructura de espacio vectorial esto define un algebraen D. Es claro de (3.110) que (1A, 0) es la unidad en D, de modo que escribimos1D = (1A, 0). Tenemos ademas que

(u, 0)(x, 0) = (ux, 0). (3.112)

de lo cual se sigue que u→ (u, 0) es un monomorfismo (un isomorfismo inyectivo) deA en D. De esta manera podemos identificar A con la subalgebra de D que consistede los elementos de la forma (u, 0) con u ∈ A. Ahora extendemos la involucion j enA al mapeo lineal

jD : (x, y)→ (x, y) = (x,−y). (3.113)

Se tiene quej2D(x, y) = (x, y), (3.114)

puesj2D(x, y) = jD(jD(x, y)) = jD(x,−y) = (x,−(−y)) = (x, y),


ademas(u, v)(x, y) = (x, y)(u, v), (3.115)

ya que

(u, v)(x, y) = (ux+ cyv, yu+ vx)

= (ux+ cyv,−(yu+ vx))

= (x u+ cvy,−vx− yu),

y

(x, y) (u, v) = (x,−y)(u,−v)

= (x u+ cvy,−vx− yu),

por lo tanto jD es una involucion en D.Aun mas, tenemos que

QD (x, y) 1D = (x, y)(x, y)

= (x,−y)(x, y) (3.116)

= ({QA(x)− cQA(y)} 1A, 0)

= {QA(x)− cQA(y)} 1D,

y

BD ((u, v) , (x, y)) 1D = (u, v) (x, y) + (x, y) (u, v)

= (u,−v) (x, y) + (x,−y) (u, v)

= (ux− cyv, yu− vx) + (xu− cvy, vx− yu) (3.117)

= ((ux+ xu)− c (vy + yv) , 0)

= ({BA (u, x)− cBA (v, y)} 1A, 0)

= {BA (u, x)− cBA (v, y)} 1D,

de manera que (x, y)→ QA(x)−cQA(y) es una forma cuadratica no-degenerada en Dy su forma bilineal simetrica correspondiente ((u, v), (x, y)) → BA(u, x)− cBA(v, y),es no-degenerada. Por lo tanto D y su involucion satisfacen las mismas condicionesque A. Llamaremos a D la c-doble de A. Ahora probaremos el siguiente

Lema 45 Para un algebra composicion A se tiene: (1) La c-doble D es conmutativay asociativa si y solo si A es conmutativa, asociativa y j(x) = x (es decir x = x). (2)D es asociativa si y solo si A es conmutativa y asociativa. (3) D es alternativa si ysolo si A es asociativa.

DemostracionSean X = (x, y), U = (u, v), Z = (z, w), con u, v, w, x, y, z ∈ A.


Entonces

[U,X] = ([u, x] + c(yv − vy), y(u− u) + v(x− x)), (3.118)

[U,X,Z] =

[u, x, z] + c

{w (yu)− u (wy) + w (vx)−(x w)v + (yv) z − (zy) v

},

w (ux)− (wx)u+ (yu) z − (yz)u+ (vx) z − v(z x) + c {w(yv)− v(yw)}

. (3.119)

Como A es subalgebra de D (bajo la identificacion x → (x, 0)), es claro quesi D es conmutativa o asociativa, entonces A es respectivamente conmutativa o aso-ciativa. Ademas, (3.118) con u = 0 = x, y v = 1, muestra que [U,X] = 0D implicay = y; por lo tanto j(x) = x. Inversamente, esta claro por (3.118) que si A es aso-ciativa y conmutativa, y j(x) = x, entonces [U,X] = 0D, es decir, D es conmutativa.Ademas si hacemos v = x = z = 0, y w = 1 en (3.119) obtenemos la condicionnecesaria yu = uy, con y, u ∈ A, para la asociatividad de D ([U,X,Z] = 0D). Ası,D asociativa implica A asociativa y conmutativa. Inversamente, (3.119) muestra quesi A es asociativa y conmutativa entonces [U,X,Z] = 0D, es decir, D es asociativa.Esto prueba (1) y (2).

Para probar (3) notemos que D es alternativa si y solo si[X,X,Z

]= 0D para

todo X, Z: como X +X = T (X)1D esto es equivalente a [X,X,Z] = 0D. Aplicandola involucion a esta relacion obtenemos

[Z,X,X

]= 0D, ya que

[X, Y, Z] = (XY )Z −X(Y Z) = Z(Y X)− (Z Y )X = −[Z, Y ,X

]. (3.120)

Por lo tanto tenemos que [Z,X,X] = 0D para todo Z, X.Sea A alternativa. Entonces, tomando U = X = (x,−y) en (3.119) y utilizando

[x, x, y] = 0, (yy)z = Q(y)z = (zy)y, etcetera, obtenemos[X,X,Z

]= (c [x,w, y] ,− [y, z, x]), (3.121)

lo cual muestra que[X,X,Z

]= 0D para todo X, Z si y solo si A es asociativa. Esto

prueba (3).

�

Recordando que las algebras que consideramos en el Lema 45 son algebrascomposicion si y solo si son algebras alternativas (por el Teorema 44), podemos obte-ner una jerarquıa de ejemplos como sigue. Comenzamos con A = F que satisface lascondiciones trivialmente. El doble de esta nos da un algebra conmutativa y asociativa(por el Lema 45 (1)) la cual es de dimension dos. Estas algebras composicion seranllamadas algebras cuadraticas. Entre ellas estan incluidos los campos de extensioncuadraticos de F . Una doble de un algebra cuadratica es asociativa pero no conmuta-tiva, ya que la involucion en el algebra cuadratica no es el mapeo identidad. Las dobles


de algebras cuadraticas son llamadas algebras de cuaternios (generalizadas) sobre F .El doble de estas nos dan algebras de dimension ocho, las cuales son alternativas.Estas algebras composicion son llamadas algebras de octonios (algebras de Cayley).Puesto que las algebras de cuaternios no son conmutativas, las algebras de octoniosno son asociativas. Por lo tanto, hasta donde concierne a las algebras composicion,hemos llegado al final del camino.

Ahora probaremos que nuestras construcciones nos dan todas las algebrascomposicion. Para ver esto necesitamos el siguiente:

Lema 46 Sea (A,Q) un algebra composicion, C una subalgebra propia, estabilizadapor la involucion j de A (C ⊂ C) tal que 1A ∈ C y C es un subespacio no-degeneradode A, relativo a la forma bilineal B. Entonces C puede ser incrustada en una subalge-bra D de A, satisfaciendo las mismas condiciones que C, e isomorfa a una doble deC.

DemostracionPuesto que C es no-degenerada tenemos que

A = C ⊕ C⊥ (3.122)

y podemos elegir t ∈ C⊥ tal que

Q(t) = −c 6= 0. (3.123)

Como 1A ∈ C,T (t) = B(1A, t) = 0, (3.124)

ası quet = −t, (3.125)

y por lo tantot2 = tt = −tt = −Q(t)1A = c1A. (3.126)

Si x ∈ C,B(x, t) = 0,

entonces, por (3.107)xt+ tx = 0,

ytx = xt, x ∈ C. (3.127)

Sustituyendo x = y en la ecuacion anterior tenemos

ty = yt,

es decirty = yt. (3.128)


Si x, y ∈ C entonces yx ∈ C, ası que

B(x, yt) = B(yx, t) = 0, (3.129)

por lo tanto el subespacio

Ct = {yt | y ∈ C} ⊆ C⊥, (3.130)

y por consiguienteD ≡ C + Ct = C ⊕ Ct. (3.131)

En A tenemos la relacion x(xy) = Q(x)y, por medio de la cual se puede deducir

x (zy) + z (xy) = B (x, z) y (3.132)

de la siguiente manera:

B (x, z) y = [Q (x+ z)−Q (x)−Q (z)] y

= Q (x+ z) y −Q (x) y −Q (z) y

= (x+ z) ((x+ z) y)− x (xy)− z (zy) (3.133)

= (x+ z) (xy + zy)− x (xy)− z (zy)

= x (xy) + x (zy) + z (xy) + z (zy)− x (xy)− z (zy)

= x (zy) + z (xy) .

Tomando x, y ∈ C y z = t en la ecuacion anterior obtenemos

x(ty) = t(xy); (3.134)

entonces, por la ecuacion anterior y por (3.127)

x(yt) = x(ty) = t(xy) = (xy)t = (y x)t,

es decirx(yt) = (y x)t. (3.135)

A partir de lo anterior se obtiene

x(yt) = (yx)t, x, y ∈ C, (3.136)

pues

(y x)t = ((B(1A, y)1A − y)(B(1A, x)1A − x))t

= B(1A, x)B(1A, y)t−B(1A, y)(xt)−B(1A, x)(yt) + (yx)t, (3.137)

y

x(yt) = (B(1A, x)1A − x)((B(1A, y)1A − y)t)

= (B(1A, x)1A − x)(B(1A, y)t− yt) (3.138)

= B(1A, x)B(1A, y)t−B(1A, x)(yt)−B(1A, y)(xt) + x(yt).


Sustituyendo y = B(1A, y)1A − y en (3.135) obtenemos

(yx)t = x(yt). (3.139)

AdemasB(x, yt) = 0 = x(yt) + (yt)x, (3.140)

es decirx(yt) = −(yt)x = −(t y)x = (ty)x = (yt)x, (3.141)

por (3.127). Por lo tanto, tenemos

(yt)x = (yx)t. (3.142)

Finalmente(xt)(yt) = (tx)(yt) = t(xy)t = (yx)t2 = cyx,

por lo tanto(xt)(yt) = cyx, x, y ∈ C. (3.143)

Las formulas (3.126) y (3.143) muestran que si u, v, x, y ∈ C, entonces

(u+ vt)(x+ yt) = (ux+ cyv) + (yu+ vx)t. (3.144)

Por lo tanto D = C + Ct es una subalgebra de A que contiene a C. Ademas

u+ vt = u+ t v = u− tv = u− vt, (3.145)

de manera que Dj ⊂ D y

Q(xt) = Q(x)Q(t) = −cQ(x). (3.146)

Esto implica que x → xt es un mapeo lineal biyectivo de C sobre Ct. Por lo tantoC y Ct son isomorfos como espacios vectoriales. Ademas, Ct es no-degenerado. Porlo tanto D, que es una suma directa ortogonal de C y Ct, es no-degenerada. Lacomparacion de (3.144) y (3.110) muestran que (x, y)→ x+ yt es un isomorfismo dela c-doble de C con D. Esto completa la prueba del Lema.

�

En la literatura tambien se puede encontrar el producto de dos elementos deD escrito en la forma

(u+ tv)(x+ ty). (3.147)

Obtener este producto requiere aplicar primero (3.127), despues (3.144) y nuevamente(3.127), como se muestra a continuacion

(u+ tv)(x+ ty) = (u+ vt)(x+ yt)

= (ux+ cyv) + (yu+ v x) t

= (ux+ cyv) + t(yu+ v x)

= (ux+ cyv) + t(yu− v x

)= (ux+ cyv) + t (uy − v x) ,


es decir

(u+ tv) (x+ ty) = (ux+ cyv) + (yu+ v x) t, (3.148)

o (u+ tv) (x+ ty) = (ux+ cyv) + t (uy − v x) . (3.149)

Tambien se pueden obtener expresiones para B (x, z) y como se hace a continuacion.Utilizando la relacion Q (x) y = (xx) y tenemos que

B (x, z) y = [Q (x+ z)−Q (x)−Q (z)] y

=[(x+ z) (x+ z)− xx− zz

]y

= [(x+ z) (x+ z)− xx− zz] y (3.150)

= [xx+ xz + zx+ zz − xx− zz] y

= (xz) y + (zx) y,

y las dos expresiones siguientes por medio de la relacion (3.72)

B (x, z) y = [Q (x+ z)−Q (x)−Q (z)] y

=[(x+ z) (x+ z)− xx− zz

]y

= [(x+ z) (x+ z)− xx− zz] y (3.151)

= [xx+ xz + zx+ zz − xx− zz] y

= (xz) y + (zx) y;

B (x, z) y = [Q (x+ z)−Q (x)−Q (z)] y

=[(x+ z) (x+ z)

]y − (xx) y − (zz) y

= (x+ z) [(x+ z) y]− x (xy)− z (zy) (3.152)

= x (xy) + x (zy) + z (xy) + z (zy)− x (xy)− z (zy)

= x (zy) + z (xy) .

Ahora podemos probar el resultado principal.

Teorema 47 Generalizado de Hurwitz. La siguiente es una lista completa de lasalgebras composicion sobre un campo F de caracterıstica 6= 2: (I) F1; (II) algebrascuadraticas; (III) algebras de cuaternios; (IV) algebras de octonios.

DemostracionHemos visto que las algebras listadas son algebras composicion (con Q definida

como en la construccion). Ahora, sea (A,Q) un algebra composicion. Si A = F1tenemos el caso I. De lo contrario, F1 ⊂ A, ası que (por el Lema 31) A contiene unasubalgebra cuadratica que es no-degenerada y es estable bajo j. Si A coincide con


esta subalgebra tenemos el caso (II). De lo contrario, A contiene una subalgebra decuaternios estable bajo j y no-degenerada. Si A coincide con esta subalgebra tenemosel caso (III). De lo contrario, A contiene una subalgebra de octonios estable bajo jy no-isotropica. Entonces A coincide con esta subalgebra ya que, de lo contrario, Acontiene una doble de un algebra de octonios. Tal doble no es alternativa. Puesto queA es alternativa esto es imposible, y ası tenemos el caso (IV).

�

Ahora derivaremos en forma explıcita las bases y las tablas de multiplicacionque se obtienen de manera natural por el proceso para construir el doble de unalgebra. Estas bases y tablas de multiplicacion se pueden utilizar para escribir lasleyes de composicion para la forma cuadratica.

Primero, tenemos A0 = F con base i0 = 1 y multiplicacion i20 = i0.

Sea A1 la c1-doble de A0. La base que escogemos para A1 es i0 = (1, 0) = 1A1 ei1 = (0, 1). Omitiendo los productos que involucran a i0, la multiplicacion esta descritapor

i21 = c11. (3.153)

Ahora construimos A2, la c2-doble de A1 y escribimos i2 = (0A1 , 1A1) en esta. Entoncestenemos la base {i0, i1, i2, i3 = i1i2} ya que A2 = A1 ⊕ A1i2. La parte esencial de latabla de multiplicacion para esta base de algebra de cuaternios A2 es

i21 = c11, i22 = c21, i23 = −c1c21, (3.154)

i1i2 = i3 = −i2i1,i2i3 = −c2i1 = −i3i2, (3.155)

i3i1 = −c1i2 = −i1i3.

Los ultimos dos renglones se pueden deducir de la ley asociativa, i21 = c11, i22 = c21,i1i2 = −i2i1, (3.126) y (3.127).

Finalmente, construimos un algebra de octonios A3 que es la c3-doble de A2 yque por lo tanto tiene la base

{i0 = 1, i1, i2, i3 = i1i2, i4, i5 = i1i4, i6 = i2i4, i7 = (i1i2)i4} . (3.156)

La tabla de multiplicacion para esta base, la cual se deduce de (3.126) a (3.143) es


· i0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7i0 i0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7i1 i1 c1i0 i3 c1i2 i5 c1i4 −i7 −c1i6i2 i2 −i3 c2i0 −c2i1 i6 i7 c2i4 c2i5i3 i3 −c1i2 c2i1 −c1c2i0 i7 c1i6 −c2i5 −c1c2i4i4 i4 −i5 −i6 −i7 c3i0 −c3i1 −c3i2 −c3i3i5 i5 −c1i4 −i7 −c1i6 c3i1 −c1c3i0 c3i3 c1c3i2i6 i6 i7 −c2i4 c2i5 c3i2 −c3i3 −c2c3i0 −c2c3i1i7 i7 c1i6 −c2i5 c1c2i4 c3i3 −c1c3i2 c2c3i1 c1c2c3i0

. (3.157)

Sean

x = x0i0 + x1i1, (3.158)

y = y0i0 + y1i1, (3.159)

en A1, entonces

xx = (x20 − c1x2

1)1A1 , (3.160)

de manera que

Q(x) = x20 − c1x2

1. (3.161)

Ademas,

xy = (x0y0 + c1x1y1)i0 + (x0y1 + x1y0)i1, (3.162)

por lo que la ley de composicion para Q en este caso es:

(x20 − c1x2

1)(y20 − c1y2

1) = (x0y0 + c1x1y1)2 − c1(x0y1 + x1y0)

2. (3.163)

Similarmente, en A2 tenemos:

x = x0i0 + x1i1 + x2i2 + x3i3, (3.164)

y = y0i0 + y1i1 + y2i2 + y3i3; (3.165)

xx =(x2

0 − c1x21 − c2x2

2 + c1c2x23

)1A2 ; (3.166)

Q(x) = x20 − c1x2

1 − c2x22 + c1c2x

23; (3.167)

xy = (x0y0 + c1x1y1 + c2x2y2 − c1c2x3y3) i0

+(x0y1 + x1y0 − c2x2y3 + c2x3y2)i1 (3.168)

+ (x0y2 + c1x1y3 + x2y0 − c1x3y1) i2

+(x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0)i3;


Q (x)Q (y) = (x0y0 + c1x1y1 + c2x2y2 − c1c2x3y3)2

−c1(x0y1 + x1y0 − c2x2y3 + c2x3y2)2 (3.169)

−c2 (x0y2 + c1x1y3 + x2y0 − c1x3y1)2

+c1c2(x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0)2,

con

Q (x) = (x20 − c1x2

1 − c2x22 + c1c2x

23),

y Q (y) =(y2

0 − c1y21 − c2y2

2 + c1c2y23

). (3.170)

Finalmente, en A3 tenemos

x = x0 +7∑

k=1

xkik, (3.171)

y = y0 +7∑

k=1

ykik; (3.172)

xx =(x2

0 − c1x21 − c2x2

2 + c1c2x23 − c3x2

4 + c1c3x25 + c2c3x

26 − c1c2c3x2

7

)1A3 ; (3.173)

Q(x) = x20 − c1x2

1 − c2x22 + c1c2x

23 − c3x2

4 + c1c3x25 + c2c3x

26 − c1c2c3x2

7; (3.174)

xy =

(x0 +

7∑k=1

xkik

)(y0 +

7∑k=1

ykik

)= {x0y0 + c1x1y1 + c2x2y2 − c1c2x3y3

+c3x4y4 − c1c3x5y5 − c2c3x6y6 + c1c2c3x7y7} i0+ {x0y1 + x1y0 − c2x2y3 + c2x3y2

−c3x4y5 + c3x5y4 − c2c3x6y7 + c2c3x7y6} i1+ {x0y2 + x2y0 + c1x1y3 − c1x3y1

−c3x4y6 + c3x6y4 + c1c3x5y7 − c1c3x7y5} i2+ {x0y3 + x3y0 + x1y2 − x2y1 (3.175)

−c3x4y7 + c3x7y4 + c3x5y6 − c3x6y5} i3+ {x0y4 + x4y0 + c1x1y5 − c1x5y1

+c2x2y6 − c2x6y2 − c1c2x3y7 + c1c2x7y3} i4+ {x0y5 + x5y0 + x1y4 − x4y1

+c2x2y7 − c2x7y2 − c2x3y6 + c2x6y3} i5+ {x0y6 + x6y0 − c1x1y7 + c1x7y1

+x2y4 − x4y2 + c1x3y5 − c1x5y3} i6+ {x0y7 + x7y0 − x1y6 + x6y1

+x2y5 − x5y2 + x3y4 − x4y3} i7;


Q (x)Q (y) = {x0y0 + c1x1y1 + c2x2y2 − c1c2x3y3

+c3x4y4 − c1c3x5y5 − c2c3x6y6 + c1c2c3x7y7}2

−c1 {x0y1 + x1y0 − c2x2y3 + c2x3y2

−c3x4y5 + c3x5y4 − c2c3x6y7 + c2c3x7y6}2

−c2 {x0y2 + c1x1y3 + x2y0 − c1x3y1

−c3x4y6 + c1c3x5y7 + c3x6y4 − c1c3x7y5}2

+c1c2 {x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0

−c3x4y7 + c3x5y6 − c3x6y5 + c3x7y4}2 (3.176)

−c3 {x0y4 + c1x1y5 + c2x2y6

−c1c2x3y7 + x4y0 − c1x5y1 − c2x6y2 + c1c2x7y3}2

+c1c3 {x0y5 + x1y4 + c2x2y7

−c2x3y6 − x4y1 + x5y0 + c2x6y3 − c2x7y2}2

+c2c3 {x0y6 − c1x1y7 + x2y4

+c1x3y5 − x4y2 − c1x5y3 + x6y0 + c1x7y1}2

−c1c2c3 {x0y7 − x1y6 + x2y5

+x3y4 − x4y3 − x5y2 + x6y1 + x7y0}2 .

con

Q (x) ={x2

0 − c1x21 − c2x2

2 + c1c2x23

−c3x24 + c1c3x

25 + c2c3x

26 − c1c2c3x2

7

}, (3.177)

y Q (y) ={y2

0 − c1y21 − c2y2

2 + c1c2y23

−c3y24 + c1c3y

25 + c2c3y

26 − c1c2c3y2

7

}.

Tomando los ci = −1 se obtienen las identidades listadas al principio de estadiscusion del problema de Hurwitz.

Si el campo base F = R y c1 = −1, entonces el algebra cuadratica A1 tiene labase {i0, i1} con i0 como unidad e i21 = −1. Es claro que esta algebra es el campo Cde los numeros complejos.

Tomando c2 = −1 obtenemos el algebra de cuaternios con base {i0, i1, i2, i3},tal que i0 = 1, i2j = −1 para 1 ≤ j ≤ 3, i1i2 = i3 = −i2i1, i2i3 = i1 = −i3i2,i3i1 = i2 = −i1i3. Claramente esta es el algebra de cuaternios H de Hamilton.

Tomando c3 = −1 obtenemos el algebra clasica de octonios O. La definicion deesta algebra como una doble de un algebra de cuaternios se debe a L. E. Dickson. Elalgebra O de Cayley & Graves es un algebra de division en el sentido de que cualquierx 6= 0 en O tiene un inverso x−1 tal que

xx−1 = 1O = x−1x. (3.178)


Si x = x0+7∑

k=1

xkik entonces x = x0−7∑

k=1

xkik y Q(x) =7∑

k=0

x2k 6= 0. Entonces podemos

tomar x−1 = Q(x)−1x. Mas generalmente, cualquier algebra composicion cuya formacuadratica es anisotropica (Q (u) 6= 0 ∀ u 6= 0) es un algebra de division; [5].

Capıtulo 4

EL PRODUCTO CRUZ VECTORIAL EN RN

Todas las propiedades usuales del producto cruz vectorial α1 × α2 en R3 sederivan de una definicion algebraica de α1×α2. La generalizacion obvia de esta defini-cion nos llevara al producto cruz vectorial α1×α2× ...×αn−1 en Rn y se mostrara quetodas las propiedades usuales de α1 × α2 tienen generalizaciones naturales. Aun losresultados que involucran el producto cruz vectorial repetido (α1 × α2) × α3 se ge-neralizan de manera directa. Comenzaremos definiendo los elementos que seran nece-sarios para generalizar el producto cruz vectorial a Rn.

4.1. Funciones determinante y los productos interno y vectorial

Dada una base ordenada {e1, e2, ..., en} de Rn se sabe que existe una unicafuncion determinante, de valor escalar, de n argumentos vectoriales α1, α2, ..., αn ∈Rn, la cual denotaremos por [α1, α2, ..., αn], que satisface las siguientes propiedades:

D0. Normalizacion.[e1, e2, ..., en] = 1. (4.1)

D1. Multilinealidad.[α1, α2, ..., αn] es una funcion lineal en cada uno de sus n argumentos.

D2. Semisimetrıa.[α1, α2, ..., αn] cambia de signo al intercambiar αi y αj para cada i 6=

j. Cualquier otra funcion multilineal semisimetrica de valor real, de n argumentosvectoriales en Rn es un multiplo escalar de la funcion determinante de D0.

Una consecuencia inmediata de D0 y D2 es:D0’. Valores de la base {e1, e2, ..., en}.[

ei, ej, ..., ep]

= εij...p, (4.2)

donde εij...p denota una permutacion de n terminos, definida por

εij...p =

+1 si (ij...p) es una permutacion par de (12...n) ,−1 si (ij...p) es una permutacion impar de (12...n) ,

0 si (ij...p) no es una permutacion de (12...n) .(4.3)

Las siguientes propiedades son consecuencia de D0-D2:

86 El producto cruz vectorial en Rn

D3. Invarianza.El valor de la funcion determinante no cambia si a alguno de los argu-

mentos se le suma cualquier combinacion lineal de los (n− 1) argumentos restantes,es decir:

[α1 + c2α2 + ...+ cnαn, α2, ..., αn] = [α1, α2, ..., αn] ,

...

[α1, ..., c1α1 + ...+ ci−1αi−1 + αi + ci+1αi+1 + ...+ cnαn, ..., αn] = [α1, α2, ..., αn] ,

...

[α1, α2, ..., αn−1, c1α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1 + αn] = [α1, α2, ..., αn] . (4.4)

D4. [α1, α2, ..., αn] = 0 ⇔ α1, α2, ..., αn son linealmente dependientes.D5. Componentes con respecto a la base {e1, e2, ..., en}

[αi, αj, ..., αp] =∑i

∑j

...∑p

εij...pa1ia2j...anp, (4.5)

donde αi =∑k

aikek, i = 1, ..., n.

De acuerdo con D4, para cualquier base {β1, ..., βn} de Rn se tiene que

[β1, ..., βn] 6= 0.

Ya que Rn es un espacio vectorial real, las bases ordenadas de Rn caen en dos clasesde orientacion:

Orientacion positiva si [β1, ..., βn] > 0,orientacion negativa si [β1, ..., βn] < 0.

(4.6)

Dado que se necesita la estructura metrica de Rn para la construccion del productocruz vectorial, se utilizara el producto interno canonico α · β.

Definicion 48 Sean α = (a1, ..., an), β = (b1, ..., bn) ∈ Rn. Se define el productointerno canonico de α con β como el escalar

α · β =n∑i=1

aibi. (4.7)

Una consecuencia de las propiedades del producto interno es que la baseortonormal existe y satisface

ei · ej = δij. (4.8)

Definicion 49 Si α ∈ Rn, su longitud o norma se designa por ‖α‖ y se define como

‖α‖ =√α · α o alternativamente ‖α‖2 = α · α. (4.9)

El producto cruz vectorial α1 × α2 × ...× αn−1 en Rn (n ≥ 3) 87

La propiedad D0 que fija la funcion determinante que se esta utilizando, seobtiene por medio de una base ortonormal. Otra consecuencia bien conocida de laspropiedades del producto interno es que dado cualquier mapeo lineal f : Rn → Rexiste un unico vector α ∈ Rn tal que

f (β) = α · β, ∀ β ∈ Rn; (4.10)

es usual denotar el mapeo anterior por

fα (β) = α · β. (4.11)

Ahora, para α1, α2,..., αn−1 ∈ Rn fijos, el mapeo

f : β 7→ [α1, α2, ..., αn−1, β] (4.12)

es lineal y por lo tanto existe un unico vector α = α (α1, α2, ..., αn−1) tal que

[α1, α2, ..., αn−1, β] = α · β, ∀ β ∈ Rn. (4.13)

Escribiendo la dependencia de α sobre α1, α2,..., αn−1 como

α (α1, α2, ..., αn−1) = α1 × α2 × ...× αn−1, (4.14)

llegamos al producto cruz vectorial de los (n− 1) vectores α1, α2, ..., αn−1 ∈ Rn,definido como el unico vector (α1 × α2 × ...× αn−1) ∈ Rn que satisface

[α1, α2, ..., αn−1, αn] = (α1 × α2 × ...× αn−1) · αn, ∀ αn ∈ Rn.

4.2. El producto cruz vectorial α1 × α2 × ...× αn−1 en Rn (n ≥ 3)

Definicion 50 El producto cruz vectorial α1 × α2 × ...× αn−1 en Rn se define como

[α1, α2, ..., αn−1, αn] = (α1 × α2 × ...× αn−1) · αn, ∀ αn ∈ Rn. (4.15)

Teorema 51 Sean α1, α2, ..., αn−1, β1, β2, ..., βn−1 ∈ Rn y sea {e1, e2, ..., en}una base ortonormal de Rn. El producto cruz α1 × α2 × ...× αn−1 en Rn cumple lassiguientes propiedades:

V0. Valores de la base ortonormal positiva {e1, e2, ..., en}

ei×ej×...× em =∑p

εij...mpep. (4.16)

V1. Multilinealidad

(β1 + β2)× α2 × ...× αn−1 = (β1 × α2 × ...× αn−1) + (β2 × α2 × ...× αn−1) ,

α1 × (β1 + β2)× ...× αn−1 = (α1 × β1 × ...× αn−1) + (α1 × β2 × ...× αn−1) ,...

α1 × α2 × ...× (β1 + β2) = (α1 × α2 × ...× β1) + (α1 × α2 × ...× β2) . (4.17)


V2. Semisimetrıa

α1 × α2 × ...× αn−1 = εij...pαi × αj × ...× αp. (4.18)

V3. Invarianza.Sean c1, c2, ..., cn−1 ∈ R. El producto cruz no cambia si a alguno de los

argumentos se le suma una combinacion lineal de los (n− 2) argumentos restantes

(α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1)× α2 × ...× αn−1 = α1 × ...× αn−1,

α1 × (c1α1 + α2 + c3α3 + ...+ cn−1αn−1)× α3 × ...× αn−1 = α1 × ...× αn−1,... (4.19)

α1 × α2 × ...× αn−2 × (c1α1 + ...+ cn−2αn−2 + αn−1) = α1 × ...× αn−1.

V4. α1×α2×...×αn−1 = 0 ⇔ α1, α2, ..., αn−1 son linealmente dependientes.

V5. Componentes con respecto a la base ortonormal positiva {e1, e2, ..., en}.

(α1 × α2 × ...× αn−1)p =∑i

∑j

...∑m

εij...mpa1ia2j...a(n−1)m, (4.20)

donde αi =∑k

aikek, i = 1, ..., n− 1.

V6. Intercambiar el punto por la cruz.

(α1 × α2 × ...× αn−1) · αn = (−1)n−1 α1 · (α2 × ...× αn−1 × αn) . (4.21)

V7.(α1 × α2 × ...× αn−1) · αi = 0, i = 1, 2,..., n− 1. (4.22)

V8.

α1 × ...× αn−1 · β1 × ...× βn−1 =

∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−1

......

αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−1

∣∣∣∣∣∣∣ . (4.23)

V9. El producto cruz repetido.

(α1 × ...× αn−1)× β1 × ...× βn−2 = (−1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−2 α1

α2 · β1 ... α2 · βn−2 α2...

......

αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−2 αn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .(4.24)

V10. La norma (ver [16])

‖α1 × α2 × ...× αn−1‖2 = 4 (α1, α2, ..., αn−1) . (4.25)


DemostracionV0. Sean i, j, k, ..., m, p ∈ {1, 2, ..., n} y ep ∈ {e1, ..., en}. Dado que[ei, ej, ..., em,ep

]= εijk...mp y

[ei, ej, ..., em,ep

]= ei×ej × ...× em ·ep, tenemos

ei×ej × ek × ...× em · ep = εijk...mp, (4.26)

y como ep · ep = 1 podemos escribir (4.26) en la forma

ei×ej × ek × ...× em · ep = εijk...mpep · ep. (4.27)

De la expresion anterior se tiene que

ei×ej × ek × ...× em · ep − εijk...mpep · ep = 0, (4.28)

por lo cual(ei×ej × ek × ...× em − εijk...mpep) · ep = 0, (4.29)

y como ep 6= 0 se concluye que

ei×ej × ek × ...× em = εijk...mpep. (4.30)

Ademas, εijk...mpep 6= 0 cuando (ij...mp) es una permutacion de (12...n), y εijk...mpep =0 cuando (ij...mp) no es una permutacion de (12...n). Por lo tanto podemos escribir(4.30) en la forma

ei×ej × ...× em =∑p

εij...mpep. (4.31)

V1. Sea

γ = (β1 + β2)× α2 × ...× αn−1 − (β1 × α2 × ...× αn−1)− (β2 × α2 × ...× αn−1) ,(4.32)

y sea ω ∈ Rn arbitrario. Entonces

γ · ω = {(β1 + β2)× α2 × ...× αn−1} · ω− (β1 × α2 × ...× αn−1) · ω − (β2 × α2 × ...× αn−1) · ω

= [(β1 + β2) , α2, ..., αn−1, ω]− [β1, α2, ..., αn−1, ω]

− [β2, α2, ..., αn−1, ω]

= [β1, α2, ..., αn−1, ω] + [β2, α2, ..., αn−1, ω]

− [β1, α2, ..., αn−1, ω]− [β2, α2, ..., αn−1, ω]

= 0. (4.33)

Como ω es arbitrario se tiene que γ = 0, por lo tanto

(β1 + β2)×α2× ...×αn−1 = (β1 × α2 × ...× αn−1) + (β2 × α2 × ...× αn−1) . (4.34)


Para cada uno de los (n− 2) casos restantes la demostracion es analoga.

V2. La semisimetrıa es consecuencia inmediata de D2 y el signo se obtiene dela permutacion de los subındices. En el producto cruz, una permutacion cıclica de nvectores con n impar, no cambia el signo, pero una permutacion cıclica de n vectorescon n par, sı.

V3. Es consecuencia inmediata de D3. Sea ω ∈ Rn arbitrario y sea

ϕ = α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1,

entonces

ϕ× α2 × ...× αn−1 · ω = [(α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1) , α2, ..., αn−1, ω]

= [α1, α2, ..., αn−1, ω]

= (α1 × α2 × ...× αn−1) · ω, (4.35)

por lo tanto

(α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1)× α2 × ...× αn−1 = α1 × α2 × ...× αn−1. (4.36)

La demostracion es analoga para los demas casos.

V4. Sea ω ∈ Rn arbitrario y α1 × α2 × ...× αn−1 = 0. Entoncesα1 × ...× αn−1 = 0 ⇔ 0 = (α1 × ...× αn−1) · ω = [α1, ..., αn−1, ω] ⇔α1, α2, ..., αn−1, ω son linealmente dependientes ⇔ α1, α2, ..., αn−1 son

linealmente dependientes por ser ω arbitrario.

V5. Sea αi ∈ Rn con i = 1, ..., n, tal que

αi = ai1e1 + ai2e2 + ...+ ainen. (4.37)

Entonces

α1 × ...× αn−1 =∑i

a1iei ×∑j

a2jej × ...×∑m

a(n−1)mem

=∑i

∑j

...∑m

∑p

a1ia2j...a(n−1)mεij...mpep, (4.38)

por la linealidad del producto cruz.Calculando el producto interno de la ecuacion anterior con ep

(α1 × ...× αn−1) · ep =∑i

∑j

...∑m

∑p

a1ia2j...a(n−1)mεij...mpep · ep (4.39)

(α1 × ...× αn−1)p =∑i

∑j

...∑m

εij...mpa1ia2j...a(n−1)m. (4.40)


V6. Para intercambiar el punto por la cruz se realizan (n− 1) intercambiosde vectores, por lo tanto

(α1 × α2 × ...× αn−1) · αn = [α1, α2, ..., αn−1, αn]

= (−1)n−1 [α2, α3, ..., αn, α1]

= (−1)n−1 (α2 × α3 × ...× αn) · α1

= (−1)n−1 α1 · (α2 × ...× αn) . (4.41)

V7. Se tiene por D4 que

(α1 × α2 × ...× αn−1)·αi = [α1, α2, ..., αn−1, αi] = 0 ∀ i ∈ {1, 2, ..., n− 1} . (4.42)

V8. Ambos lados son funciones n-lineales de β1, β2, ..., βn−1, por lo tanto essuficiente probar V8 para β1, β2, ..., βn−1 tomando valores de la base {e1, ..., en}, esdecir

α1 × α2 × ...× αn−1 · ei×ej × ...× em

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1 · ei α1 · ej . . . α1 · emα2 · ei α2 · ej . . . α2 · em

......

...αn−1 · ei αn−1 · ej . . . αn−1 · em

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1i a1j . . . a1m

a2i a2j . . . a2m...

......

a(n−1)i a(n−1)j . . . a(n−1)m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (4.43)

Por la semisimetrıa de ambos lados en ij...m es suficiente verificar la ecuacion anteriorpara los n valores

ij...m = 23...n, 34...n1, ..., 12... (n− 1) . (4.44)

Para ij...m = 34...n1 queremos demostrar que

α1 × ...× αn−1 · e3×e4 × ...× en × e1 =

∣∣∣∣∣∣∣a13 a14 . . . a1n a11...

......

...a(n−1)3 a(n−1)4 . . . a(n−1)n a(n−1)1

∣∣∣∣∣∣∣ .(4.45)


Suponga n par, entonces

α1 × ...× αn−1 · e3×e4 × ...× en × e1

= α1 × ...× αn−1 ·∑p

ε34...n1pep

= α1 × ...× αn−1 · ε34...n12e2

= α1 × ...× αn−1 · e2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n...

......

a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)n

0 1 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (4.46)

= (−1)n+2

∣∣∣∣∣∣∣a11 a13 . . . a1n...

......

a(n−1)1 a(n−1)3 . . . a(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣= (−1)n−2

∣∣∣∣∣∣∣a13 a14 . . . a1n a11...

......

...a(n−1)3 a(n−1)4 . . . a(n−1)n a(n−1)1

∣∣∣∣∣∣∣ .Ahora suponga que n es impar, entonces:

α1 × ...× αn−1 · e3×e4 × ...× en × e1

= α1 × ...× αn−1 ·∑p

ε34...n1pep

= α1 × ...× αn−1 · ε34...n12e2

= α1 × ...× αn−1 · e2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n...

......

a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)n

0 1 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (4.47)

= (−1)n+2

∣∣∣∣∣∣∣a11 a13 . . . a1n...

......

a(n−1)1 a(n−1)3 . . . a(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣= (−1) (−1)n−2

∣∣∣∣∣∣∣a13 a14 . . . a1n a11...

......

...a(n−1)3 a(n−1)4 . . . a(n−1)n a(n−1)1

∣∣∣∣∣∣∣ .La demostracion para los demas valores de ij...m es analoga.


V9. Sea βn−1 ∈ Rn arbitrario. Por V8 y V6 se tiene que∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−1

......

αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−1

∣∣∣∣∣∣∣ = (α1 × ...× αn−1) · β1 × ...× βn−1 (4.48)

= (−1)n−1 (α1 × ...× αn−1)× β1 × ...× βn−2 · βn−1.

Por otro lado∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−1

......

αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−1

∣∣∣∣∣∣∣= A1(n−1)α1 · βn−1 + A2(n−1)α2 · βn−1 + ...+ A(n−1)(n−1)αn−1 · βn−1

={A1(n−1)α1 + A2(n−1)α2 + ...+ A(n−1)(n−1)αn−1

}· βn−1

=

∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−2 α1

......

αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−2 αn−1

∣∣∣∣∣∣∣ · βn−1, (4.49)

donde Aij es el cofactor que se obtiene al eliminar la fila i − esima y la columnaj − esima de los determinantes. De las dos ecuaciones anteriores se tiene que

(α1 × ...× αn−1)× β1 × ...× βn−2 · βn−1

= (−1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−2 α1

......

...αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−2 αn−1

∣∣∣∣∣∣∣ · βn−1, (4.50)

y como la igualdad anterior se cumple para βn−1 arbitrario

(α1 × ...× αn−1)× β1 × ...× βn−2 = (−1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣α1 · β1 ... α1 · βn−2 α1

......

...αn−1 · β1 ... αn−1 · βn−2 αn−1

∣∣∣∣∣∣∣ .(4.51)

V10. Tomando βi = αi en V8 tenemos

‖α1 × ...× αn−1‖2 = (α1 × ...× αn−1) · (α1 × ...× αn−1)

=

∣∣∣∣∣∣∣α1 · α1 ... α1 · αn−1

......

αn−1 · α1 ... αn−1 · αn−1

∣∣∣∣∣∣∣= 4 (α1, α2, ..., αn−1) . (4.52)

�


La propiedad V7 nos dice que el vector α1 × ... × αn−1 es simultaneamenteperpendicular a todos los vectores que intervienen en el producto cruz; V9 nos diceque podemos expresar (α1 × ...× αn−1)×β1× ...×βn−2 como una combinacion linealde α1, ..., αn−1; V10 nos dice que ‖α1 × ...× αn−1‖ representa el volumen n − 1dimensional del paralelotopo generado por α1, ..., αn−1. Finalmente, el volumen ndimensional del paralelotopo generado por α1, ..., αn se puede obtener por cualquierade las siguientes expresiones

(α1 × ...× αn−1) · αn = [α1, ..., αn−1, αn] = ‖α1 × ...× αn−1‖ ‖αn‖ cosφ (4.53)

siendo φ el angulo que forman (α1 × ...× αn−1) y αn, con 0 ≤ φ ≤ π2. Cuando

π2< φ ≤ π, cosφ < 0, y el producto (α1 × ...× αn−1) · αn es el negativo del volumen.

Cuando φ = π2, los n vectores estan en un mismo hiperespacio que pasa por el

origen, por lo que son linealmente dependientes y su producto mixto es nulo, esdecir: (α1 × ...× αn−1) ·αn = 0. La permutacion cıclica de α1× ...×αn−1 ·αn tambiennos da el volumen n dimensional del paralelotopo generado por α1, ..., αn.

4.3. Aplicaciones del Producto Cruz Vectorial

Ahora que se ha definido el producto cruz en Rn junto con las propiedadesque cumple, se dan aplicaciones del producto cruz generalizado, a la resolucion deproblemas de algebra lineal:

1. Dada una base ordenada de Rn, obtener su base dual.

2. Dadas dos bases ordenadas de Rn, obtener la matriz de cambio de base.

3. Dados n − 1 vectores linealmente independientes, obtener una base ortogonalde Rn.

4.3.1. Obtener una base de Rn dados n− 1 vectores l. i.

Sean α1, ..., αn−1 ∈ Rn linealmente independientes. Se verifica facilmente que

A = {α1, ..., αn−1, α1 × ...× αn−1} (4.54)

es una base de Rn.

4.3.2. Base dual en Rn

La manera habitual de obtener una base dual, dada una base ordenada de Rn,es resolver n sistemas de n ecuaciones, con n incognitas cada uno; en el caso de quela dimension sea tres, esto es muy sencillo. El algoritmo se complica al aumentar ladimension del espacio vectorial, ya que la cantidad de operaciones a realizar crececonsiderablemente. Haciendo uso del producto cruz generalizado, podemos calcularla base dual resolviendo n + 1 determinantes y el producto interno entre algunosvectores.


Teorema 52 Sea α ∈ Rn arbitrario y A = {α1, α2, ..., αn} una base ordenada deRn. Sean

βi = α1 × ...× αi−1 × αi × αi+1 × ...× αn, (4.55)

γi =

(1

βi · αi

)βi (4.56)

y

fγi(α) = γi · α =

(1

βi · αi

)βi · α (4.57)

con i = 1, 2, ..., n. El sımbolo indica que se excluye este vector. Entonces

A* ={fγ1

(α) , fγ2(α) , ..., fγn

(α)}

,

es la base dual de A.

DemostracionPara probar que los funcionales lineales fγi

constituyen una base dual de Rn,solo es necesario probar que generan al espacio dual de Rn.

Sea f un elemento arbitrario del dual de Rn y suponga que

f (α1) = c1, f (α2) = c2, ..., f (αn) = cn, (4.58)

con c1, c2, ..., cn ∈ R. Tome ahora g en el dual de Rn tal que

g = c1fγ1+ c2fγ2

+ ...+ cnfγn, (4.59)

entonces

g (α1) =(c1fγ1

+ c2fγ2+ ...+ cnfγn

)(α1)

= c1fγ1(α1) + c2fγ2

(α1) + ...+ cnfγn(α1)

= c1 · 1 + c2 · 0 + ...+ cn · 0= c1, (4.60)

de forma similar, para i = 2, ..., n:

g (αi) =(c1fγ1

+ c2fγ2+ ...+ cnfγn

)(αi)

= ci. (4.61)

De este modo g (αi) = f (αi) para i = 1, 2, ..., n. Debido a que f y g coincidensobre los vectores de la base,

f = c1fγ1+ c2fγ2

+ ...+ cnfγn, (4.62)

es decir, el conjunto{fγ1

, fγ2, ..., fγn

}genera el espacio dual de Rn.


�

Los vectores γ1, γ2, ..., γn se denominan vectores recıprocos de α1, α2, ..., αn,porque

{(α1 × α2 × ...× αn−1) · αn}{(γ1 × γ2 × ...× γn−1

)· γn}

=

=

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c11 c12 · · · c1nc21 c22 · · · c2n...

......

cn1 cn2 · · · cnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c11 c21 . . . cn1

c12 c22 cn2...

......

c1n c2n . . . cnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1 · γ1 α1 · γ2 · · · α1 · γnα2 · γ1 α2 · γ2 · · · α2 · γn

......

...αn · γ1 αn · γ2 · · · αn · γn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1,

por lo tanto (γ1 × γ2 × ...× γn−1

)· γn =

1

(α1 × α2 × ...× αn−1) · αn. (4.63)

Su producto interno satisface lo siguiente:

αi · γj = δij =

{0 i 6= j,

1 i = j.para i, j = 1, 2, ..., n. (4.64)

Recuerdese ademas que ∀ α ∈ Rn se tiene que

α = fγ1(α)α1 + fγ2

(α)α2 + ...+ fγn(α)αn

= (γ1 · α)α1 + (γ2 · α)α2 + ...+ (γn · α)αn. (4.65)

Los calculos para obtener una base dual de Rn se simplifican aun mas teniendo encuenta lo siguiente: como

βn · αn = (α1 × α2 × ...× αn−1) · αn = [α1, α2, ..., αn−1, αn] , (4.66)

entonces, si n es par

βi · αi = (−1)i (βn · αn) , i = 1, ..., n− 1; (4.67)


si n es impar

βi · αi = (−1)i−1 (βn · αn) , i = 1, ..., n− 1. (4.68)

Ejemplo.

Sea A = {α1 = (1, 1, 1, 1) , α2 = (0, 1, 1, 1) , α3 = (0, 0, 1, 1) , α4 = (0, 0, 0, 1)}una base ordenada de R4. Encontrar su base dual.

Sean

β1 = α2 × α3 × α4, β2 = α3 × α4 × α1,

β3 = α4 × α1 × α2, β4 = α1 × α2 × α3,

entonces

β1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 10 0 1 10 0 0 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 0, 0, 0), β2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 1 10 0 0 11 1 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 1, 0, 0),

β3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0 11 1 1 10 1 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 1,−1, 0), β4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 1 1 10 0 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,−1, 1).

Ademas

β4 · a4 = (0, 0,−1, 1) · (0, 0, 0, 1) = 1,

y como n es par, tenemos tambien que

β1 · α1 = (−1)1 (β4 · a4) = −1,

β2 · α2 = (−1)2 (β4 · a4) = 1,

β3 · α3 = (−1)3 (β4 · a4) = −1.

Esto nos permite calcular los vectores recıprocos

γ1 =

(1

β1 · α1

)β1 = (1, 0, 0, 0),

γ2 =

(1

β2 · α2

)β2 = (−1, 1, 0, 0),

γ3 =

(1

β3 · α3

)β3 = (0,−1, 1, 0),

γ4 =

(1

β4 · α4

)β4 = (0, 0,−1, 1),


para finalmente obtener los funcionales lineales

fγ1(α) = γ1 · α = (1, 0, 0, 0) · α,

fγ2(α) = γ2 · α = (−1, 1, 0, 0) · α,

fγ3(α) = γ3 · α = (0,−1, 1, 0) · α,

fγ4(α) = γ4 · α = (0, 0,−1, 1) · α.

con α = (x, y, z, w) arbitrario. Por lo tanto, la base dual de A es

A∗ ={fγ1

(α) = x, fγ2(α) = −x+ y,

fγ3(α) = −y + z, fγ4

(α) = −z + w}

. (4.69)

4.3.3. Matriz de cambio de base

Otra aplicacion del producto cruz generalizado consiste en obtener las matricesde cambio de base, dadas dos bases ordenadas. Esto se logra haciendo uso de losvectores recıprocos de cada base dada. Veamos como es esto.

Sean A = {α1, ..., αn} y B = {ω1, ..., ωn} dos bases ordenadas de Rn. SeanA∗=

{fγ1

(α) , ..., fγn(α)}

y B∗= {fθ1 (ω) , ..., fθn (ω)} sus bases duales, donde

fγi(α) = γi · α y fθi

(ω) = θi · ω, ∀ α, ω ∈ Rn. (4.70)

Por ser A una base ordenada, cada ωi ∈ B puede ser expresado como combinacionlineal, de la siguiente manera:

ωi = ai1α1 + ...+ ainαn, (4.71)

o mediante la base dual

ωi = fγ1(ωi)α1 + fγ2

(ωi)α2 + ...+ fγn(ωi)αn

= (γ1 · ωi)α1 + (γ2 · ωi)α2 + ...+ (γn · ωi)αn, (4.72)

es decir

ω1 = (γ1 · ω1)α1 + (γ2 · ω1)α2 + ...+ (γn · ω1)αn,

ω2 = (γ1 · ω2)α1 + (γ2 · ω2)α2 + ...+ (γn · ω2)αn,...

ωn = (γ1 · ωn)α1 + (γ2 · ωn)α2 + ...+ (γn · ωn)αn. (4.73)

Tomando la transpuesta de la matriz de coeficientes del arreglo anterior obtenemosla matriz de cambio de base de B a A:

A =

γ1 · ω1 γ1 · ω2 · · · γ1 · ωnγ2 · ω1 γ2 · ω2 · · · γ2 · ωn

......

...γn · ω1 γn · ω2 · · · γn · ωn

. (4.74)


Entonces se tiene queA [ω]B = [α]A , (4.75)

donde [α]A y [ω]B son vectores coordenados, en terminos de las bases A y B respecti-vamente.

De la misma manera, por ser B una base ordenada, cada αi ∈ A puede serexpresado como combinacion lineal por medio de su base dual en la forma

αi = fθ1 (αi)ω1 + fθ2 (αi)ω2 + ...+ fθn (αi)ωn

= (θ1 · αi)ω1 + (θ2 · αi)ω2 + ...+ (θn · αi)ωn. (4.76)

Entonces

α1 = (θ1 · α1)ω1 + (θ2 · α1)ω2 + ...+ (θn · α1)ωn,

α2 = (θ1 · α2)ω1 + (θ2 · α2)ω2 + ...+ (θn · α2)ωn,... (4.77)

αn = (θ1 · αn)ω1 + (θ2 · αn)ω2 + ...+ (θn · αn)ωn,

y al tomar la transpuesta de la matriz de coeficientes del arreglo anterior, obtenemosla matriz de cambio de base de A a B:

B =

θ1 · α1 θ1 · α2 · · · θ1 · αnθ2 · α1 θ2 · α2 · · · θ2 · αn

......

...θn · α1 θn · α2 · · · θn · αn

, (4.78)

con lo que se tieneB [α]A = [ω]B , (4.79)


Ejemplo.Sean

A = {α1 = (1, 1, 1, 1) , α2 = (0, 1, 1, 1) , α3 = (0, 0, 1, 1) , α4 = (0, 0, 0, 1)}B = {ω1 = (1, 0, 0, 0) , ω2 = (2, 1, 0, 0) , ω3 = (1,−1, 1, 0) , ω4 = (3,−2, 2, 1)}

dos bases ordenadas de R4. Hallar la matriz de cambio de base de B a A y la matrizde cambio de base de A a B.

Del ejercicio anterior tenemos los vectores recıprocos

γ1 =

(1

β1 · α1

)β1 = (1, 0, 0, 0), γ2 =

(1

β2 · α2

)β2 = (−1, 1, 0, 0),

γ3 =

(1

β3 · α3

)β3 = (0,−1, 1, 0), γ4 =

(1

β4 · α4

)β4 = (0, 0,−1, 1).


Ademas

γ1 · ω1 = 1, γ2 · ω1 = −1, γ3 · ω1 = 0, γ4 · ω1 = 0,

γ1 · ω2 = 2, γ2 · ω2 = −1, γ3 · ω2 = −1, γ4 · ω2 = 0,

γ1 · ω3 = 1, γ2 · ω3 = −2, γ3 · ω3 = 2, γ4 · ω3 = −1,

γ1 · ω4 = 3, γ2 · ω4 = −5, γ3 · ω4 = 4, γ4 · ω4 = −1.

Por lo tanto, la matriz de cambio de base de B a A es:

A =

1 2 1 3−1 −1 −2 −50 −1 2 40 0 −1 −1

.

Entonces se tiene queA [ω]B = [α]A ,


Para la otra matriz de cambio de base, sean

ρ1 = ω2 × ω3 × ω4, ρ2 = ω3 × ω4 × ω1,

ρ3 = ω4 × ω1 × ω2, ρ4 = ω1 × ω2 × ω3,

entonces

ρ1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 01 −1 1 03 −2 2 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 2, 3, 1), ρ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 03 −2 2 11 0 0 0e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 1, 1, 0),

ρ3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 −2 2 11 0 0 02 1 0 0e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,−1, 2), ρ4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 02 1 0 01 −1 1 0e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 0, 1).

Tambien

ρ4 · ω4 = (0, 0, 0, 1) · (3,−2, 2, 1) = 1,

ρ3 · ω3 = (−1)3ρ4 · ω4 = −1,

ρ2 · ω2 = (−1)2ρ4 · ω4 = 1,

ρ1 · ω1 = (−1)1ρ4 · ω4 = −1,

de lo que podemos obtener los vectores recıprocos

θ1 =ρ1

ρ1 · ω1

= (1,−2,−3,−1), θ2 =ρ2

ρ2 · ω2

= (0, 1, 1, 0),

θ3 =ρ3

ρ3 · ω3

= (0, 0, 1,−2), θ4 =ρ4

ρ4 · ω4

= (0, 0, 0, 1).


Ademas

θ1 · α1 = −5, θ2 · α1 = 2, θ3 · α1 = −1, θ4 · α1 = 1,

θ1 · α2 = −6, θ2 · α2 = 2, θ3 · α2 = −1, θ4 · α2 = 1,

θ1 · α3 = −4, θ2 · α3 = 1, θ3 · α3 = −1, θ4 · α3 = 1,

θ1 · α4 = −1, θ2 · α4 = 0, θ3 · α4 = −2, θ4 · α4 = 1.

Por lo tanto, la matriz de cambio de base de A a B es:

B =

−5 −6 −4 −12 2 1 0−1 −1 −1 −21 1 1 1

,

y ası podemos escribir

B [α]A = [ω]B ,


4.3.4. Base ortogonal

Dado que para realizar un producto cruz en Rn se necesitan n − 1 vectores,podemos obtener una base ortogonal de Rn a partir de n − 1 vectores linealmenteindependientes, de la siguiente manera:

Proposicion 53 Sean α1, ..., αn−1 ∈ Rn con n ≥ 4. Sea S = {α1, ..., αn−1} unconjunto linealmente independiente y sean

β1 = α1,

β2 = α1 × ...× αn−1,...

βi = β1 × ...× βi−1 × αi−1 × ...× αn−2, para i = 3, ..., n− 1,...

βn = β1 × ...× βn−1. (4.80)

Entonces B = {β1, ..., βn} es una base ortogonal de Rn.

DemostracionPor V7 tenemos que βi · βj = 0 ∀ i 6= j con i, j ∈ {1, ..., n}. Ahora de-

mostraremos que B = {β1, ..., βn} genera a Rn. Sean c1, ..., cn ∈ R y sea

c1β1 + ...+ cnβn = 0. (4.81)


Calculando el producto interno de βi con (4.81) tenemos que

βi · (c1β1 + ...+ cnβn) = βi · 0 = 0, i = 1, ..., n, (4.82)

lo que implica

ci = 0, i = 1, ..., n, (4.83)

es decir, B = {β1, ..., βn} genera a Rn. Por lo tanto, B = {β1, ..., βn} es una baseortogonal de Rn.

�

El caso para n = 3 se explico en el capıtulo uno.

Ejemplo.

Sea

S = {α1 = (1, 1, 1, 1) , α2 = (0, 1, 1, 1) , α3 = (0, 0, 1, 1)}

un conjunto linealmente independiente. Obtener una base de R4 que sea ortogonal.

Sean

β1 = α1 = (1, 1, 1, 1) ,

β2 = α1 × α2 × α3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 1 1 10 0 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,−1, 1),

β3 = β1 × β2 × α2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 0 −1 10 1 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0,−2, 1, 1),

β4 = β1 × β2 × β3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 0 −1 10 −2 1 1e1 e2 e3 e4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (6,−2,−2,−2).

Como βi · βj = 0 ∀ i 6= j con i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, entonces

B = {β1 = (1, 1, 1, 1) , β2 = (0, 0,−1, 1),

β3 = (0,−2, 1, 1), β4 = (6,−2,−2,−2)} (4.84)

es una base ortogonal de R4.


4.3.5. La ecuacion vectorial α1 × ...× αn−2 × β = γ

Dados vectores α1, α2, ..., αn−2, γ ∈ Rn con α1, α2, ..., αn−2 linealmenteindependientes, considere la ecuacion

α1 × ...× αn−2 × β = γ. (4.85)

A continuacion se demostrara que esta ecuacion tiene solucion si y solo siγ · αi = 0, con i = 1, 2, ..., n − 2, y que cuando esto ocurre, todas las soluciones de(4.85) son de la forma

β = β0 + c1α1 + ...+ cn−2αn−2, (4.86)

donde los ci ∈ R son arbitrarios y

β0 = −4 (α1, ..., αn−2)−1(α1 × ...× αn−2 × γ). (4.87)

Sean α1, α2, ..., αn−2, γ ∈ Rn con α1, α2, ..., αn−2 linealmente independientes yγ ·αi = 0, con i = 1, 2, ..., n−2. Queremos encontrar β ∈ Rn tal que se cumpla (4.85);para esto, vamos a obtener primero una solucion particular β0 ∈ Rn suponiendoβ0 · αi = 0, es decir, vamos a resolver la ecuacion

α1 × ...× αn−2 × β0 = γ. (4.88)

Tomando el producto cruz por la derecha, de (4.88) con α1 × ...× αn−2 tenemos

(α1 × ...× αn−2 × β0)× α1 × ...× αn−2 = γ × α1 × ...× αn−2, (4.89)

que podemos expresar por medio de V9 en la forma

(−1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1 · α1 · · · α1 · αn−2 α1

......

...αn−2 · α1 · · · αn−2 · αn−2 αn−2

β0 · α1 · · · β0 · αn−2 β0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = γ × α1 × ...× αn−2, (4.90)

es decir(−1)n−14 (α1, ..., αn−2)β0 = (−1)n−2α1 × ...× αn−2 × γ, (4.91)

por lo cualβ0 = −4 (α1, ..., αn−2)

−1(α1 × ...× αn−2 × γ). (4.92)

Ahora vamos a encontrar todas las soluciones.Como α1, α2, ..., αn−2, β0 son linealmente independientes y perpendiculares a

γ, cualquier solucion β de (4.85) es combinacion lineal de α1, α2, ..., αn−2, β0, y sepuede expresar en la forma

β = β0 + c1α1 + ...+ cn−2αn−2, (4.93)

con ci ∈ R arbitrarios.

CONCLUSIONES

La mayorıa de los estudiantes de la rama fısico-matematicas de los nivelesmedio superior y superior, conocen el producto cruz vectorial en R3 ası como suspropiedades, pero pocos saben que en realidad estan trabajando con cuaternios puros.En el presente trabajo se vio que: se pueden realizar dos productos cruz con doselementos, uno en R3 y otro en R7, mediante los cuaternios puros y los octoniospuros, respectivamente; se puede realizar un producto cruz con tres elementos en Hy dos productos cruz con tres elementos en O; se puede realizar un producto cruzcon n− 1 elementos en Rn. Ademas, se puede emplear el producto cruz para resolverproblemas de algebra lineal en R3 tales como: dados dos vectores l. i. extenderlos auna base; dadas dos bases ordenadas, obtener la matriz de cambio de base; dada unabase ordenada, obtener una base ortogonal; resolver la ecuacion α × β = γ para β;obtener la reflexion de un vector, respecto de un plano; obtener la rotacion de unvector (formula de Rodrigues). Al final se generalizaron estas soluciones a Rn, conexcepcion de la reflexion y la rotacion. Para encontrar las ecuaciones que describenla reflexion y la rotacion de un vector, se tuvo que resolver para µ el sistema

α · µ = c ...(1) y α× µ = γ ...(2), (4.94)

considerando α, γ como cuaternios puros. El producto de cuaternios puros esta dadopor la ecuacion

αβ = −α · β + α× β. (4.95)

Al restar la primera ecuacion de la segunda obtenemos

αµ = −α · µ+ α× µ = −c+ γ. (4.96)

de donde es facil despejar µ.Se propuso un algoritmo alternativo para obtener la basedual mediante el producto cruz dada una base ordenada de Rn, evitando ası el tenerque resolver n sistemas de n ecuaciones con n incognitas. Para encontrar la base dualmediante este algoritmo alternativo, las operaciones que deben realizarse principal-mente son: calcular n productos cruz, un producto interno y n− 1 multiplicaciones.El algoritmo para obtener la base dual en R3 se encuentra en el capıtulo uno; elalgoritmo para obtener la base dual en Rn con n > 4, se encuentra en el capıtulocuatro.

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108 BIBLIOGRAFIA

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Indice alfabetico

Algebraalternativa, 68asociativa, 60composicion, 61no-asociativa, 60

Aplicaciones del producto cruzen R3, 19

base dual, 19base ortogonal, 26extender a una base, 19matriz de cambio de base, 25reflexion de un vector, 28rotacion de un vector, 29solucion de la ec. vectorial, 27

en Rn, 94base dual, 94base ortogonal, 101extender a una base, 94matriz de cambio de base, 98solucion de la ec. vectorial, 103

Asociador, 67

Complemento ortogonal, 11Conmutador, 67Cuaternios, 31

conjugado, 36forma

bilineal simetrica, 37cuadratica, 37

multiplicacion de unidades, 35producto, 36producto cruz binario, 38

propiedades, 39

producto cruz ternario, 39propiedades, 39

propiedades aritmeticas, 35puros, 38

DesigualdadCauchy-Schwartz, 8

Determinante en Rn, 85propiedades, 85

Formula de Rodrigues, 30

Identidad de Moufang, 69Inverso multiplicativo

en los cuaternios, 38en los octonios, 47

Involucion, 67

Normaen R3, 9en Rn, 86en los cuaternios, 37en los octonios, 47

Octonios, 41conjugados, 46forma

bilineal simetrica, 46cuadratica, 46

multiplicacion de unidades, 43producto, 45producto cruz binario, 47

propiedades, 48productos cruz ternarios, 49

propiedades, 50

109

110 INDICE ALFABETICO

propiedades aritmeticas, 44puros, 47

Plano de Fano, 43Problema de Hurwitz, 59Producto cruz

en R3, 11, 14propiedades, 12

en Rn, 87propiedades, 87

Producto internoen R3, 7

propiedades, 7en Rn, 86

Producto mixto en R3, 15

Vectores recıprocosen R3, 20en Rn, 96

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PRODUCTO CRUZ EN ESPACIOS EUCLÍDEOS