Producto Punto

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Vectores Página 1

Vectores

Un vector en el plano es un segmento de recta dirigido. El segmento

de recta dirigido AB tiene un punto inicial A y un punto final B ; su

longitud o magnitud se denota como AB . Dos vectores son iguales si

tienen la misma longitud y dirección.

Definición Expresión cartesiana o en componentes

Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con un

punto inicial en el origen y punto final 1 2,v v , entonces la expresión de

v en componentes es

1 2,v v v

Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el

origen y punto final 1 2 3, ,v v v , entonces la expresión de v en

componentes es

1 2 3, ,v v v v

La magnitud o longitud del vector v PQ es el número no negativo

2 2 22 2 2

1 2 3 2 1 2 1 2 1v v v v x x y y z z

El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 0,0 ó 0 0,0,0 .

Este vector también es el único vector que no tiene una dirección

específica.

Operaciones Algebraicas con vectores

Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores

son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Un escalar

es simplemente u numero real, y los llamamos de esta manera cuando


Vectores Página 2

queremos resaltar su diferencia con los vectores. Los escalares

pueden ser positivos, negativos o cero.

Definiciones Suma de vectores y multiplicación de un vector por un

escalar

Sean 1 2 3, ,u u u u y 1 2 3, ,v v v v vectores y k un escalar.

1 1 2 2 3 3

1 2 3

: , ,

: , ,

Suma u v u v u v u v

Multiplicación escalar ku ku ku ku

Propiedades de las operaciones con vectores

Sean , ,u v w vectores y ,a b escalares

1. u v v u

2. u v w u v w

3. 0u u

4. 0u u

5. 0 0u

6. 1u u

7. a bu ab u

8. a u v au av

9. a b u au bu

Vectores unitarios

Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores

unitarios estándar (ó básicos) son

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k

Cualquier vector 1 2 3, ,v v v v se puede escribir como una combinación

lineal de los vectores unitarios estándar como sigue:


Vectores Página 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

, , ,0,0 0, ,0 0,0,

1,0,0 0,1,0 0,0,1

v v v v v v v

v v v

v i v j v k

Llamamos al escalar (ó numero) 1v el componente en i del vector v ,

a 2v al componente en j y a

3v al componente en k . La expresión en

componentes del vector de 1 1 2 2, ,P x y z a 2 2 2 2, ,P x y z es:

1 2 2 1 2 1 2 1PP x x i y y j z z k

En resumen podemos expresar cualquier vector no nulo v en

términos del producto de sus dos características fundamentales,

longitud y dirección, escribiendo v

v vv

Si 0v , entonces

1. v

v es un vector unitario en la dirección de v ;

2. La ecuación v

v vv

expresa a v en términos de su longitud y

dirección

Punto medio de un segmento de recta

Con frecuencia, los vectores son útiles en geometría. Por ejemplo, las

coordenadas del punto medio de un segmento de recta se determinan

con un promedio

El punto medio M del segmento de recta que une a los puntos

1 1 1 1, ,P x y z y 2 2 2 2( , , )P x y z es el punto

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z z


Vectores Página 4

Teoría y Aplicaciones

Problemas Propuestos

Medianas de un triangulo. Suponga que ,A B y C son las esquinas

de una delgada placa triangular de densidad constante como muestra

la siguiente figura

a. Determine el vector que va desde C hasta el punto medio M

del lado AB .

El punto medio de AB es M

1 2 1 2 1 2 4 1 2 3 0 0 5 5, , , , , ,0

2 2 2 2 2 2 2 2

x x y y z z

Y el 5 5 3 3

1 1 0 3 32 2 2 2

CM i j k i j k


Vectores Página 5

b. Determine el vector que va desde C hasta el punto que esta

sobre la mediana CM , a dos tercios de la distancia de C a M .

El vector deseado es 2 2 3 3

3 23 3 2 2

CM i j k i j k

c. Determine las coordenadas del punto donde se cortan las

medianas del triangulo ABC . Este punto es el centro de masa

de la placa.

El vector cuya suma es el vector desde el origen a C y el

resultado de la parte (b) terminara en el centro de masa el

punto terminal de 3 2 2 2i j k i j k i j k es el punto

2,2,1 que es la ubicación del centro de masa.

Problema 2

Suponga que ,A B y C son los vértices de un triangulo y que ,a b y

c son respectivamente los puntos medios de los lados opuestos.

Muestre que 0Aa Bb Cc .

Solución


Vectores Página 6

Sin perder de generalidad nosotros podemos asignar los vértices del

triangulo de tal manera que (0,0), ( ,0) y ( , )c cA B b C x y a esta

localizada en ,2 2

c cb x y

, b esta en ,2 2

c cx y

y c esta en ,02

b

.

Entonces,

El vector en posición canonica v que representa a Aa es

2 2 2

El vector en posición canonica v que representa a Bb es

2

El vector en posición canonica v qu

c c

c

b x yAa i j

xBb b i

e representa a Cc es

02

c c

bCc x i y j Aa Bb Cc

El producto punto

El producto punto también se conoce como producto interno o escalar

debido a que el producto da como resultado un escalar, no un vector.

Angulo entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores no nulos 1 2 3, ,u u u u y 1 2 3, ,v v v v

esta dado por

1 1 1 2 2 3 3cosu v u v u v

u v


Vectores Página 7

Definición de producto punto

El producto punto u v " punto "u v de los vectores 1 2 3, ,u u u u y

1 2 3, ,v v v v es

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v

Vectores perpendiculares (ortogonales)

Dos vectores no nulos u y v son perpendiculares u ortogonales si el

ángulo entre ellos es / 2 . Para tales vectores tenemos que 0u v

pues cos / 2 0 . El reciproco también es cierto. Si u y v son

vectores no nulos con cosu v u v , entonces cos 0 y

1cos 0 / 2 .

Definición de vectores ortogonales

Los vectores u y v son ortogonales ( o perpendiculares) si y solo si

0u v .

Propiedades del producto punto y proyecciones de vectores

El producto punto cumple varias leyes validas para productos

ordinarios de números reales (escalares)

Propiedades del producto punto

Si , y u w w son tres vectores cualesquiera y c es un escalar, entonces

1. u v v u

2. cu v u cv c u v

3. u v w u v u w

4. 2

u u u

5. 0 0u


Vectores Página 8

El número cosu se conoce como la componente escalar de u en la

dirección de v .

En resumen, el vector proyección de u sobre v :

2v

u vproy u v

v

Componente escalar de u en la dirección de v :

cosu v v

u uv v

Observe que tanto el vector proyección de u sobre v como la

componente escalar de u sobre v dependen solo de la dirección del

vector v y no de su longitud (pues hacemos el producto punto de u

con /v v , que es la dirección de v .

Trabajo realizado por una fuerza constante

El trabajo realizado por una fuerza constante F que actúa a través de

un desplazamiento D PQ es

cosW F D F D ,

Donde es el ángulo entre F y D

Como escribir u como la suma de un vector paralelo a v y otro

ortogonal a v

2 2

Pararlelo a v Ortogonal a v

v vu proy u u proy u

u v u vu v

v v


Vectores Página 9

Ejercicios

Problema 1

Triangulo. Calcule la medida de los ángulos del triangulo cuyos

vértices son 1,0 , 2,1 y 1, 2A B C

x

y

A

B

C

(x,y) = (-1,0)

(x,y) = (2,1)

(x,y) = (1,-2)


Vectores Página 10

Solución

Calculamos

1 1

3,1 , 1, 3 y 2, 2

3, 1 , 1,3 y 2,2

10, 10, 2 2

3 2 1 2cos cos c

10 2 2

AB BC AC

BA CB CA

AB BA BC CB AC CA

AB ACA

AB AC

1

1 1 1

1 1 1

1os 63.435º

5

1 3 3 1 3cos cos cos 53.130º

510 10

1 2 3 2 1cos cos cos 63.435º

510 2 2

BC BAB

BC BA

CB CAC

CB CA

Problema 2

Teoría y ejemplos.

Vectores unitarios ortogonales. Si 1u y 2u son vectores unitarios

ortogonales y 1 2v au bu , calcule 1v u .

Solución

Los vectores unitarios ortogonales son los siguientes:

1 2,u i j u i j

Entonces tenemos:

1 1 2 1 1 1 2 1

2 21 2 1 1 0

v u au bu u au u bu u

a u b u u a b a


Vectores Página 11

Problema 3

Si u es un vector unitario, encuentre u v y u w

Solución

Los vectores , y u v w son vectores unitarios, por lo tanto la figura

anterior es un triangulo equilátero. Hacemos la consideración que

ángulo entre los vectores u y v es de 60º y tenemos lo siguiente:

1 1

cos60º 1 12 2

u v u v


Vectores Página 12

Si w lo movemos al punto inicial donde se encuentra el vector u ,

nosotros tenemos que el ángulo entre ellos es de 120º y tenemos lo

siguiente:

1 1

cos120º 1 12 2

u v u v

Problema 4

Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus

aristas.

Solución


Vectores Página 13

Por conveniencia consideramos cada lado del cubo como la unidad de

modo que su esquina posterior izquierda está en el origen, y sus

bordes se encuentran a lo largo de los ejes de coordenadas. La

diagonal del cubo que comienza en el origen con coordenadas 0,0,0

y termina en la esquina superior derecha con coordenadas 1,1,1 el

resultado será el vector 1,1,1 . El ángulo entre este vector y el vector

del borde izquierdo inferior que también comienza en el origen y corre

a lo largo del eje x será 1,0,0 , lo cual implicara lo siguiente:

x

y

z


Vectores Página 14

11,1,1 1,0,0 1 1cos cos 55º

1,1,1 1,0,0 3 3

Producto Cruz

El producto cruz a b de dos vectores a y b, a diferencia del producto

punto, es un vector. Por esta razón, también recibe el nombre de

producto vectorial. Note que a b esta definido solo cuando a y b son

vectores tridimensionales.

Definición

Si 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b , entonces el producto cruz de a y b es

el vector

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

, ,

i j k

a b a a a a b a b a b a b a b a b

b b b

Una de las propiedades más importantes del producto cruz esta dada

por el siguiente teorema.

Teorema 1

El vector a b es ortogonal a y b

Ahora que conocemos la dirección del vector a b , lo que resta para

completar su descripción geométrica es su longitud a b . Esta dada

por el siguiente teorema.

Teorema 2

Si es el ángulo entre a y b (de modo que 0 ), entonces

a b a b sen


Vectores Página 15

Como un vector esta determinado completamente por su magnitud y

dirección, ahora podemos decir que a b es el vector que es

perpendicular a a y b, cuya orientación esta determinada por la regla

de la mano derecha, y cuya longitud es a b sen . De hecho, es

exactamente la forma en que los físicos definen a b

Teorema 3

Dos vectores no nulos a y b son paralelos si y solo si

0a b

Así tenemos la siguiente forma de interpretar la magnitud de un

producto cruz.

La longitud del producto cruz a b es igual al área del paralelogramo

determinado por a y b.

Sin embargo, algunas de las leyes usuales de algebra se cumplen

para productos cruz. El siguiente teorema resume las propiedades del

producto vectorial.

Teorema 4

Si a, b y c son vectores y c es un escalar, entonces:

1. a b b a

2. ca b c a b a cb

3. a b c a b a c

4. a b c a c b c

5. a b c a b c

6. a b c a c b a b c

Estas propiedades se pueden demostrar si escribimos los vectores en

términos de sus componentes y usamos la definición del producto

cruz.


Vectores Página 16

El producto a b c que aparece en la propiedad 5 se llama

producto escalar triple de los vectores a, b y c.

En consecuencia tenemos la siguiente formula

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b,c es

la magnitud de su producto escalar triple:

V a b c

Si empleamos la ecuación anterior y descubrimos que el volumen del

paralelepípedo determinado por los vectores , y a b c es 0, entonces

los vectores deben hallarse en el mismo plano, es decir son

coplanares.

Ejercicios

Problema 5

Utilice el producto escalar triple para verificar que los vectores

2 3 , y 7 3 2a i j k b i j c i j k

son coplanares.

Solución

2 3 11 0 1 0 1 1

1 1 0 2 3 13 2 7 2 7 3

7 3 2

4 6 10 0

a b c

Por lo tanto el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c es

0, por lo tanto los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir

son coplanares.


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Problema 6

Del siguiente conjunto de puntos

1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,3P Q R

(a) Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos

,P Q y R

(b) (b) encuentre el área del triangulo PQR .

Solución

Inciso a

Debido a que el plano formado por ,P Q y R contiene los vectores PQ

y PR y un vector ortogonal entre estos vectores (por ejemplo, su

producto vectorial) es también ortogonal al plano. Por lo tanto:

2 3 0 0 , 0 1 1 3 , 1 0 2 1 6,3,2PQ PR

Entonces el vector 6,3,2 (o cualquier múltiplo escalar) es ortogonal al

plano formado por ,P Q y R .

Inciso b

El área del triangulo esta determinado por los puntos ,P Q y R que es

igual a la mitad del área del paralelogramo determinado por estos tres

puntos. Del inciso (a) tenemos que el área del paralelogramo es:

26,3,2 36 9 4 7PQ PR u

Por lo tanto el área del triangulo es

21 77

2 2u

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