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Producto triple escalar
producto triple escalar se define como producto de punto de uno de los vectores con producto
cruzado de los otros dos.
Interpretación geométrica
Artículo principal: Paralelepípedo
Geométrico, el producto triple escalar
es el volumen (firmado) de paralelepípedo definido por los tres vectores dados.
Características
El producto triple escalar se puede evaluar numéricamente usando de las caracterizaciones
equivalentes siguientes:
Paréntesis pueden ser omitidos sin causar ambigüedad, desde producto de punto no puede ser
evaluado primero. Si fuera, saldría del producto cruzado de un vector y de un escalar, que no se
define.
El producto triple escalar se puede también entender como determinante de la matriz 3 by-3 que
tiene los tres vectores como filas (o columnas, desde el determinante para una matriz
transportada, está igual que la original); esta cantidad es invariante bajo rotación coordinada.
Otra característica útil del producto triple escalar es que si es igual a cero, entonces los tres
vectores a, b, y c sea coplanario.
Escalar o pseudoscalar
Vea también: Producto cruzado y uso de las manos
El producto triple escalar vuelve típicamente a pseudoscalar, aunque un pseudoscalar es
equivalente a a (verdad) escalar si orientación (matemática) del sistema coordinado se selecciona
por adelantado y está fijado.
Más exactamente, a · (b × c) es el escalar (verdadero) de a solamente si:
ambos a y b × c son los vectores (verdaderos), o
son ambos pseudovectors.
Si no, es un pseudoscalar. Por ejemplo, si a, b, y c son todos los vectores, entonces b × c rinde un
pseudovector, y a · (b × c) vuelve un pseudoscalar.
Producto triple escalar como producto exterior
El producto triple escalar se puede ver en términos de producto exterior.
En cálculo exterior el producto exterior de dos vectores es a bivector, mientras que el producto
exterior de tres vectores es a trivector. Un bivector es un elemento plano orientado, mientras que
un trivector es un elemento orientado del volumen, más o menos de la misma manera que un
vector es una línea elemento orientada. uno puede ver el trivector a∧b∧c como el paralelepípedo
atravesado cerca a, b, y c, con los bivectors a∧b, a∧c y b∧c formación de tres de las 6 caras del
paralelepípedo.
Vectores dados a, b y c, el producto triple es Hodge dual del trivector a∧b∧c (más o menos de la
misma manera que el producto cruzado es el Hodge dual de un bivector).
Producto triple del vector
producto triple del vector se define como producto cruzado de un vector con el producto
cruzado de los otros dos. El asimiento siguiente de las relaciones:
Se conoce el primer fórmula como extensión triple del producto, o Fórmula de Lagrange[1].
Su miembro derecho es más fácil de recordar usando mnemónica “BAC menos el TAXI”, con tal
que usted tenga presente que los vectores se puntean juntos.
Estos fórmulas son muy útiles en la simplificaión de cálculos del vector adentro física. Una
identidad relacionada en relación con a gradientes y útil adentro cálculo del vector es
Esto se puede también mirar como caso especial del más general operador de Laplace-de Rham Δ
= dδ + δd.
Vector o pseudovector
Un producto del triple del vector vuelve típicamente vector (verdadero) de a. Más exactamente,
según las reglas dadas adentro producto cruzado y uso de las manos, el producto triple a × (b ×
c) es un vector si cualquiera a o b × c (pero no ambos) sea pseudovectors. Si no, es un
pseudovector. Por ejemplo, si a, b, y c son todos los vectores, entonces b × c rinde un
pseudovector, y a × (b × c) vuelve un vector.
Nota
1. ^ José Louis Lagrange no desarrolló el producto cruzado como producto algebraico en
vectores, sino utilizó una forma equivalente de ella en componentes: vea Lagrange, J-L
(1773). “Triangulaires de los pyramides de los les del sur de los problèmes de analytiques
de quelques de las soluciones”, Oeuvres vol. 3. Él pudo haber escrito un fórmula similar a
la extensión triple del producto en forma componente. Vea también Identidad de Lagrange
y Kiyoshi Ito (1987). Diccionario enciclopédico de las matemáticas. El MIT presiona, P.
1679. ISBN 0262590204.
Vea también
Producto triple de Jacobi
Referencias
Lass, Harry (1950). Vector y análisis del tensor. McGraw-Colina Book Company, inc., pp.
23-25.
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces:
a • ( b × c ) = a 1 ( b 2 c 3 – b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 – b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 – b 2 c 1 )
Teoremas
Sean a , b y c vectores, entonces:
a • ( b × c ) = b • ( c × a ) = c • ( a × b )
a • ( b × c ) = ( a × b ) • c
| a • ( b × c ) | = volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
A veces se define el producto mixto entre tres vectores , y como
Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser
un escalar, se puede calcular también como el determinante de la matriz que se forma
con las componentes de los vectores, es decir
Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo
formado con las aristas de los vectores , y , ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos
que:
donde no es sino el área de la base del paralelogramo (ver sección 4.3.4) y resulta ser la
altura de dicho paralelepípedo. El área de la base por la altura nos da el volumen de este
tipo de cuerpos geométricos.
Sería un buen ejercicio para el lector intentar demostrar más rigurosamente estas últimas
afirmaciones
Contenido
1. Definicón Intuitiva de Escalares y de Vectores1.1. Suma de Vectores
1.1.1. Suma Gráfica de Vectores1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Analitico 1.2. Vector Unitario o Versor 1.3. Inverso de un Vector1.4. Resta de Vectores1.5. Combinación Lineal de Vectores1.6. Rotaciòn de Coordenadas, Redefiniendo el Concepto de Vectores1.7. Productos de Vectores1.7.1. Producto Escalar de dos Vectores1.7.2 Producto Vectorial de dos Vectores1.8. Triple Producto1.8.1. Triple producto escalar1.8.2. Triple producto vectorial1.9. Inveresión de Coodenadas, Vectores Polares y Vectores Axiales1.9.1. Vectores Polares1.9.2. Vectores Axiales1.10. Gradiante de una Función Escalar1.11. Diverfencia de una Función Vectorial1.12. Rotor de una Función Vectorial1.13. Aplicaciones Sucesivas del operador Nabla
Cantidades Escalares y Vectoriales
En la vida diaria, tratamos con distintas cantidades físicas de diferentes naturaleza. Algunas de estas cantidades solo tienen una magnitud o módulo; se les conoce como escalares. El volumen del agua en un tanque, la temperatura de un paciente, la masa de luna pastilla, el tiempo de observación de un paciente son ejemplo de cantidades escalares. Otras cantidades, a parte de su magnitud requieren de una
Figura 1.1: Una cantidad vectorial tiene una magnitud y una dirección.
Dirección para dar toda la información. Consideremos por ejemplo la figura 1.1, en la cual el carro se ha movido de 20 km a lo largo de una línea recta desde el punto central, digamos A al punto B. En este caso, no es suficiente decir que la distancia recorrida por el carro es de 20 km. Esto solo significaría que el carro paró en algún punto de un círculo de 20 km de radio. Una aserción más completa precisaría que el movimiento de 20 km. de magnitud se hizo en una dirección, digamos 80 grados nor-este. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Para representar a los vectores se utilizan segmentos de recta una flechita al final. La longitud del segmento es proporcional al módulo del vector y la flecha indica su dirección. El símbolo de un vector es su nombre con un flechita sobre él. Por ejemplo un vector llamado A se representa analíticamente por , mientras su módulo se escribiría A. Existe una gama variada de cantidades vectoriales: la posición, velocidad, aceleración, las fuerzas, el torque, el momento lineal, el momento angular, el campo eléctrico, el campo magnético, la polarización etc.. son algunos ejemplos.
1.1. Suma de Vectores
A menudo es menester sumar dos o más cantidades vectoriales y el proceso debe tener en cuenta los módulos de los vectores como sus direcciones. El vector suma es llamado resultante. Dos métodos son
frecuentemente usados para sumar vectores: el método gráfico y el analítico. Empezaremos con el primero.
1.1.1. Suma Gráfica de Vectores
El caso más sencillo corresponde a los vectores colineales. Entonces la suma es similar al simple caso de cantidades escalares. El módulo de la resultante es la suma de los módulos de los vectores que s e suman y los tres tienen la misma dirección como la muestra la figura 1.2.
Figura 1.2: Suma de dos vectores colineales
Otro caso de frecuencia ocurrencia es el de vectores perpendiculares, como el ilustrado por la figura 1.3 que representa un automóvil que viaja 500 m en dirección este y 300 m en dirección norte. La distancia que lo separa de su punto de partida al final de la jornada se calcula mediante la ley de Pitágoras:
Figura 1.3: Suma de dos vectores perpendiculares
En el caso general cuando los vectores no son ni colineales, ni perpendiculares como la figura 1.4, se aplica el mismo procedimiento que consiste empezar el segundo donde termina el primer vector, pero como el triángulo formado n o es rectángulo, es necesario hallar otros métodos para determinar la resultante, por ejemplo midiendo directamente, o utilizando el teorema generalizado de Pitágoras
Figura 1.4: Suma de dos vectores ni colineales ni perpendiculares
1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Método Analítico
Las componentes de un vector en le plano x – y son dos vectores
perpendiculares y paralelos a los ejes x y y respectivamente y que al sumarse dan como resultante el vector . Sus módulos se escriben
y ; en todos los cálculos donde interviene el vector se puede usar sus componentes en su lugar.
Para determinar las componentes de un vector que tiene un módulo A y forma un ángulo con el eje x, se proyecta el vector sobre los ejes respectivos y el resultado es
Esto se puede apreciar en la figura (1.5) que muestra un vector con sus componentes.
Figura 1.5: Descomposición de un vector en sus componentes.
Esto se puede fácilmente generalizar al caso tridimensional e incluso al caso n dimensional.
Para sumar dos vectores analíticamente, se suma sus componentes para obtener las componentes del vector resultante.
Este método se puede usar en la suma y otras operaciones con vectores en todas las situaciones. Su flexibilidad hace del método analítico el favorito en la mayoría de los casos y lo utilizaremos mucho en el c urso.
1.2. Vector Unitario o Versor
Para un vector cualquiera existe un vector unitario o versor que da la dirección de pero cuyo módulo es unidad (1). A este vector se le suele llamar vector unitario en la dirección de o su versor.
La representaremos con .
Los versores a lo largo de los ejes son particularmente muy útiles. Existen varias notaciones para representarlas:
Sin importar la notación, la característica aquí es que se trata de las versores de un sistema cartesiano. Otros sistemas de coordenadas pueden ser usados y sus correspondientes versores se utilizar&iac ute;an en lugar de los cartesianos.
En términos de estas versores y las componentes cualquier vector se escribe:
dónde representa la iésima componente y el versor correspondiente.
1.3. Inverso de un vector
Dos vectores y son el inverso uno del otro si su suma es nula.
Esto significa que los vectores son colineales, tienen el mismo módulo, pero sus sentidos son opuestos:
Veremos más tarde que el inverso de un vector se obtiene multiplicándolo por –1 de modo que
1.4. Resta de vectores
Para restar dos vectores se procede como en la suma pero entre uno y el
inverso del otro:
La figura 1.6 ilustra este procedimiento: restar el vector del vector
es buscar el vector tal que .
Figura 1.6: Resta de dos vectores:
1.5. Combinación lineal de Vectores
Si un vector determinado está dado como combinación lineal de n
vectores :
Entonces cada componente de es una combinación lineal de las
correspondientes componentes de los vectores :
Esta relación es particularmente útil cuando se trabaja con varios vectores. Note que la suma es conmutativa, la resta anti-conmutativa; ambas operaciones son asociativas por lo que la combinación linea l también lo es.
1.6. Rotación de coordenadas, redefiniendo el concepto de vectores
En las secciones anteriores, vimos que un vector se determina con su módulo y dirección o dando sus componentes. Ahora veremos como el comportamiento bajo rotación y reflexión también definen el vector . Esto es sumamente importante debido a que el mundo físico es independiente de la descripción que de él hacemos. Esto significa que el fenómeno físico o la ley natural bajo estudio no puede depender de nuestra escogenci a de sistema de coordenadas o de su orientación. El vector ha de ser un objeto geométrico independiente del sistema de coordenadas.
Si tomamos dos sistemas de coordenadas tales que uno esté rotado con respecto al otro como lo muestra la figura
Figura 1.7: Sistemas de coordenadas en rotación uno con respecto al otro:
Asumamos que el primer sistema se da con los ejes ( ) y el segundo con un ángulo de rotación con respecto al primero por los ejes ( ). Se puede entonces obtener las coordenadas del segundo sistema en función de las coordenadas del primero como:
Esto se puede escribir en forma algebraica:
o de forma más compacta:
donde es el cosenos del ángulo entre y .
Esta forma es mucho más fácil de generalizar a tres, cuatro, n dimensiones. Para un vector n dimensional, las componentes en el nuevo sistema se transforman mediante:
De la definición de los como los cosenos directores entre la
dirección positiva de y la dirección positiva de se puede escribir:
Esto permite escribir la ecuación anterior de la forma:
Estos cosenos directores satisfacen la condición de ortonormalidad:
.
El símbolo es la delta de Kronecker definida por:
Llamamos vector a toda entidad que se transforma siguiendo estas propiedades bajo rotación. Note que:
1. Las definiciones realizadas de esta manera son independientes del sistema de coordenadas (que ni tiene que ser cartesiano), como ha de ser para describir la realidad física.
2. Se puede generalizar muy fácilmente a cualquier dimensión, llevándonos conduciendo a una visión tensorial.
1.7. Productos de vectores
Hasta ahora nos hemos limitado a suma y/o restar vectores, multiplicarlos por un escalar. Ahora consideramos el producto entre dos vectores. Existen en la naturalezas varias magnitudes físicas que se obtienen multiplicando dos o mas vectores: el trabajo, la potencia, el momento de una fuerza, el momento angular, la superficie, el volumen de un cuerpo son algunos ejemplos. Note que algunas de estas
magnitudes son escalares y otras son vectores. Esto se debe a que el resultado del producto de vectores puede ser un escalar o un vector, lo que lleva a distinguir dos tipos de productos de vectores: el producto escalar (o punto) cuyo resultado es un escalar y el producto vectorial (o cruz) cuyo resultado es un vector.
Esquemáticamente representaremos el producto escalar (vectorial) entre los vectores y como ( ). El producto escalar es conmutativo mientras que el producto vectorial es anti-conmutativo:
Para escribir el resultado de estos productos, usaremos la regla de suma de los índices repetidos: Cada vez que un índice aparece dos veces en una expresión, se suma sobre él.
1.7.1. Producto escalar de dos vectores
El producto escalar entre dos vectores y se define como:
Nótese que el resultado siendo un escalar, no nos preocupamos por dirección o sentido del mismo. El valor de este producto también se determina a partir de los módulos de los vectores (A) y (B):
dónde es el ángulo entre los vectores. Esta expresión nos dice que el producto escalar entre dos vectores ortogonales (perpendiculares) es nulo. T ambién nos permite determinar el ángulo entre dos vectores a través del valor de su coseno:
1.7.2. Producto vectorial de dos vectores
El producto escalar entre dos vectores y es un vector que se obtiene buscando el determinante de la matriz sig uiente:
Note en la última parte de la expresión el uso del tensor completamente anti-simétrico de los símbolos de Levi-Civita, y la convención de la suma sobre los índices repetidos.
Figura 1.8: El producto vectorial es ortogonal al plano de los vectores , como lo muestra esta representación en paralelogramo del producto cruz.
1.8. Triple producto
1.8.1. Triple producto escalar
Los productos escalar y vectorial pueden ser combinados para tener multiple productos. De particular interés para nosotros serán el triple
producto escalar y el triple producto vectorial .
El primero se puede representar convenientemente por el determinante:
Este triple producto posee las siguientes propiedades de simetría que pueden ser demostradas por aplicación directa de la definición:
El producto es invariante ante un intercambio cíclico de los vectores
, pero invierte su signo si el intercambio es anti-cíclico.
Además, el producto escalar y el producto vectorial son intercambiables (se puede probar de la regla de intercambio de filas en el determinante):
La figura 1.9. muestra la representación paraleloidal del triple producto escalar.El resultado es el volumen del paralelopípedo definido por
.
Figura 1.9: Representación geométrica del triple producto escalar.
1.8.2. Triple producto vectorial
El triple producto vectorial corresponde al producto vectorial entre el
vector ,
El vector está en el plano formado por y es una combinación lineal
de , llevando a una relación de identidad de extrem a importancia:
Esta identidad es conocida como BAC - CAB.
CAPITULO 1
______________________________
VECTORES EN R
3
1.1
Magnitudes escalares y vectoriales.
1.2
Sistema coordenado tridimensional, gráfico de puntos en R3.
1.3
Álgebra Vectorial; suma, producto de un escalar por un vector,
propiedades.
1.4
Definiciones importantes del Álgebra Lineal.
1.5
Producto interno, propiedades, proyecciones y aplicaciones.
1.6
Producto externo, propiedades y aplicaciones.
1.7
Productos triples, aplicaciones.
“Nuestras almas, cuyas facultades pueden comprender la maravillosa arquitectura del mundo, y medir el curso de cada planeta vagabundo, aún escalan tras el conocimiento infinito”
Christopher Marlowe.
2 CAPITULO 1 Vectores en R3
1.1
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Imaginémonos que queremos manejar el desplazamiento de un punto en el plano. Con un poco de creatividad podríamos comprender que el arreglo (a, b) sería suficiente para manejar
este desplazamiento; donde el número reala representaría la sombra del desplazamiento sobre un eje horizontal (control horizontal del desplazamiento) y el número realb la sombra de este desplazamiento sobre un eje vertical (control vertical del desplazamiento); de esta forma convenimos que el “par ordenado” (a, b) representa la posición de un punto y solo uno en R2 (Filosofía de Descartes). Con igual razonamiento un arreglo (a, b, c) representaría la posición de un punto en R3 y así podríamos concluir que un arreglo (a1, a2, a3,……….., an) representa la posición de uno y solo un punto en Rn.
Magnitudes, como el desplazamiento de un punto en un espacio cualquiera, que
necesitan de un arreglo numérico para su identificación, se llamanMA GN ITU D E S
VECTORIALES y el arreglo numérico que las representa es la TERNA del vector,
los números reales que componen el arreglo son las coordenadas del vector, bajo este criterio en Física tenemos magnitudes vectoriales como la fuerza, velocidad, aceleración, etc. que necesitarían de una terna para su total identificación. Las magnitudes que con un simple valor numérico quedan totalmente identificadas, como cuatro estudiantes, dos árboles, cinco edificios, son MAGNITUDES ESCALARES y no necesitan de una terna para su identificación.
Un punto, un vector o una terna la identificaremos como una magnitud vectorial.
Emplearemos la siguiente notación para la recta real, el plano, el espacio
tridimensional y el espacio n dimensional:
R1 o simplemente R para la recta realR2 para todos los pares ordenados (x, y)R3 para todas las ternas ordenadas (x, y, z)Rn para todas las ternas ordenadas (x1, x2, x3, ……. , xn)
Ejemplo 1-1
La terna (2, 3, -6); representa un vector o punto en R3.
La terna (-1, 4, -2, 8, 10); representa un vector o punto en R5.
Convenimos con los lectores en usar letras mayúsculas para representar magnitudes vectoriales (excepto i, j, k que se usan para representar los vectores unitarios en R3 y ei que usaremos para representar vectores unitarios en Rn), y minúsculas para representar magnitudes escalares. Con este criterio escribiremos al vector V en R3 como: V = (x, y, z) o al vector V en Rn como: V = (x1, x2, x3,……., xn) recordar que en la terna el orden de los números reales que la componen no puede
cambiar.
1.1 Magnitudes Escalares y Vectoriales
3
Decimos que dos vectores V1 = (x1, y1, z1) y V2 = (x2, y2, z2) son iguales si, y
solo si:
x1 = x2 ,y1 = y2 ,z1 = z2.
Son paralelos si, y solo si:
2
1
2
1
2
1
zz
yy
xx
=
=
Propiedades de la igualdad vectorial
A= A
Reflexiva
A= B⇒ B= A
Simétrica
A= B∧ B=C⇒ A =C
Transitiva
EL VECTOR CERO, que lo designaremos comoφ , será:
φ = (0,0) Є R2φ= (0, 0, 0) Є R3φ= (0, 0, 0,……….., 0) Є Rn
NORMA DE UN VECTOR
Sea A = ( a1, a2, a3,.....an ) Є Rn
II A II
La norma de un vector será siempre un número real no negativo, la norma del
vectorφ es cero.
VECTOR UNITARIO
Si
∧
Ves un vector unitario entoncesII
∧
V II= 1
Todo vector, que no sea el vector cero, puede hacerse unitario dividiéndolo para
su norma:
2
2
3
2
2
2
1
.........
..........
n
a
a
a
a
+
+
+
+
∑
=n
i
a
1
1
2
=
=
4 CAPITULO 1 Vectores en R3
A= (a1,a2,a3,.....an ) ЄRn
AA
Â=
1
1
=
×
=
=
A
A
AA
Â
Los vectores unitarios son importantes para dar la característica vectorial a
cualquier magnitud escalar.
Ejemplo 1-2
Encontrar un vector unitario en la dirección del vector V = (2, -4, 1)
Solución:
)
,
,
(
21
)
1
,
4
,
2
(
1
)
4
(
2
)
1
,
4
,
2
(
21
1
21
4
21
2
2
2
2
−
∧∧∧
=
−
=
+
−
+
−
=
VVV
1.2
SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL, GRÁFICO DE
PUNTOS EN R3.
Los puntos en el espacio R3 pueden representarse de manera análoga a como se lo hace en el plano cartesiano. Para realizar esta representación escogemos tres rectas dirigidas perpendiculares entre sí que se corten en un punto común del espacio, a estas rectas se las conoce como: eje x, eje y, eje z, y el punto común de corte se lo llama origen, como se muestra en la figura 1-1. Se define una escala adecuada sobre cada uno de los ejes y se representan los números reales de la terna (x, y, z) de tal forma que el valor de x se lo representa sobre el eje x, positivos adelante del origen y negativos atrás, el valor y, sobre el eje y, positivos a la derecha del origen y negativos a la izquierda, el valor z
, sobre el eje z, positivos arriba del origen y negativos abajo es
común llamar a este conjunto de ejes comoSistema de Coordenadas Cartesianas en el
Espacio
, la característica de este sistema es que existe una correspondencia biunívoca
entre los puntos del espacio R3 y la terna (x, y, z).
1.2 Sistema Coordenado Tridimensional
5
La figura 1-2 representa el gráfico de los puntos (2, -1, 5), (-2, 3, 6) y (3, 5, -4)
z
x
y
Figura 1-1
Figura 1-2
6 CAPITULO 1 Vectores en R3
1.3
ÁLGEBRA VECTORIAL
SUMA VECTORIAL ( + )
Dados los vectores:
A = (a1,a2,a3,.... ,an )∈ Rn ,
B = ( b1, b2, b3,.... , bn )∈ Rn , el vector suma A + B; es el vector definido por:
A + B = (a1 +b1 ,a2 +b2 ,a3 +b3 ,.... ,an +bn)∈
∈∈
∈Rn
CONDICIÓN:Para que exista la suma vectorial los vectores a sumar deben pertenecer
al mismo espacio.
SeanA yB dos vectores cualquiera en R2,C =A +B es un vector que cierra el polígono formado por los vectoresA yB (figura 1-3) colocados uno a continuación de otro, el vectorB será la diferencia entre los vectoresC yA ; esto es el vector posición entre los puntosC yA .
Entonces dados dos puntos P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) el vector posición entre
estos puntos o vector P1P2 es:
P1P2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
→A
→
B
→
→
→
+
=
B
A
C
Propiedades:
1. A + B = B + A
Conmutativa
2. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
Asociativa
3. A +φ = A
Idéntico aditivo
4. A + A’ =φ ; A’ es el vector opuesto de A Cancelativa
Figura 1-3
1.4 Definiciones Importantes del Álgebra Lineal
7
Ejemplo 1-3
Dados los vectores A = (3, -6, 1) , B = (-1, 10, -5)
Solución:
A + B = (3 + (-1), (-6) + 10, 1 + (-5)) = (2, 4, -4)
PRODUCTO POR UN ESCALAR (α
αα
α)
Dado el escalarα ∈ R y el vector A = ( a1 , a2 , a3 ,.... , an)∈ Rn, el producto
por un escalar esta definido por:
αA = ( αa1 , αa2 , αa3 ,.... , αan ) ∈Rn
A’ = ( - 1) A : opuesto de A
Propiedades:
1.α A = Aα
Conmutativa
2.α (β A) = (αβ )A
Asociativa
3. (
β
α+)A =α A + βA
Distributivas
α( A+ B ) = αA+ αB
4. 0A =φ
Cancelativa
Ejemplo 1-4
Dados los vectores A = (2, 5, -2), B = (-3, -1, 7), encontrar 3A - 2B
Solución:
3A – 2B = 3(2, 5, -2) + (-2)(-3, -1, 7)
3A – 2B = (6, 15, -6) + (6, 2, -14)
3A – 2B = (12, 17, -20)
1.4
DEFINICIONES IMPORTANTES DEL ÁLGEBRA LINEAL
A pesar de que no es nuestro objetivo estudiar los tópicos del Álgebra Lineal, es importante que analicemos ciertas definiciones de esta rama de las matemáticas que se consideran importantes para la mejor asimilación de los conceptos del Cálculo Vectorial:
8 CAPITULO 1 Vectores en R3
ESPACIO VECTORIAL
Imaginémonos que un club juvenil organiza una fiesta para jóvenes de ambos sexos entre 18 y 28 años a la cual se le imponen las condiciones de acudir en pareja y en traje formal, con un poco de esfuerzo podemos notar que en este ejemplo hay un conjunto que son los jóvenes de ambos sexos entre 18 y 28 años, y dos condiciones: el tener que acudir en pareja y vestir traje formal; como podemos ver esta estructura de un conjunto y dos condiciones definen esta fiesta juvenil.
De igual forma se define un espacio vectorialA
AA
A; como un conjunto de objetos
que se los llama vectores, aunque en algunos casos pueden ser matrices o funciones, y
dos condiciones que son:
Una operación denotada con+ que para cada par de vectores V1, V2 en el
espacioA
AA
Aasocia otro vector V1 + V2 que también pertenece al espacio A
AA
A, llamado suma.
Una operación llamada multiplicación por un escalar, que para cada escalarα
perteneciente a R y cada vector V perteneciente al espacioA
AA
Aasocia un vectorα V que
también pertenece al espacioA.
A.
A.
A.
La estructura algebraica{
}
α
,
,+
V
define un espacio vectorial.
}
+
4
3
42
1
s
condicione
elementos
V
α
;
;
SUBESPACIO VECTORIAL
Es todo subconjunto de un espacio vectorial que cumple con las mismas
condiciones de suma y multiplicación por un escalar.
COMBINACIÓN LINEAL
Sean
(
)R
R
V
V
V
V
n
n
n
∈
∧
∈
α
α
α
α
,...,
,
,
)
..,
,.........
,
,
(
3
2
1
3
2
1
, cualquier
adición de la forma
n
nV
V
V
V
α
α
α
α
+
+
+
+
....
3
3
2
2
1
1
se llamaco mb inación
lineal de los n vectores en Rn.
1.4 Definiciones Importantes del Álgebra Lineal
9
Ejemplo 1-5
Escribir (-3, 5, -5) como combinación lineal de los vectores
(-1, 1, 0), (0, 1, -1) y (1, 0, 2)
Solución:
Encontremos valores c1, c2, c3 tales que:
(-3, 5, -5) = c1(-1, 1, 0) + c2(0, 1, -1) + c3(1, 0, 2)
de aquí:
-3 = -c1 + c3
5 = c1 + c2
-5 = -c2 + 2c3 ; que da como solución c1 = 2, c2 = 3, c3 = -1
⇒(-3, 5, -5)
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Dada la combinación lineal del vector cero:n
nV
V
V
V
α
α
α
α
φ
+
+
+
+
=
....
3
3
2
2
1
1
Si
0
≠
∃
i
α
tal que la combinación lineal anterior, del vector cero, se cumpla
n
V
V
V
V
,....,
,
,
3
2
1
⇒
son vectores linealmente dependientes.
De lo contrario si la combinación lineal anterior del vector cero solo es posible
0
=
∀i
α
, entonces se dice que los vectores Vi son linealmente independientes.
Ejemplo 1-6
Demostrar que los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) son
linealmente independientes.
Solución:
(0, 0, 0) =
1
α(1, 0, 0) +
2
α(0, 1, 0) +
3
α(0, 0, 1)
(0, 0, 0) = (1
α, 0, 0) + (0,
2
α, 0) + (0, 0,
3
α)
(0,0,0) = (1
α,
2
α,
3
α)
10 CAPITULO 1 Vectores en R3
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Una base de un espacio vectorial la constituye el menor número posible de vectores linealmente independientes capaz de generar todo el espacio vectorial, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) constituyen una base de R3 y se la llama
base canónica de R3, e1 = (1, 0, 0, ……. ,0), e2 = (0, 1, 0, ………., 0), …. en = (0, 0, 0,
……… , 1) constituyen la base canónica de Rn.
Ejemplo 1-7
Demostrar que los vectores i , j , k, constituye una base en R3
Solución:
(
)
3
,
,
R
c
b
a
V
∈
=
(
) (
) (
) (
)
(
) ( )( )( )
(
)
ck
bj
ai
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
,
,
1
,
0
,
0
0
,
1
,
0
0
,
0
,
1
,
,
,
0
,
0
0
,
,
0
0
,
0
,
,
,
Por lo tanto cualquier vector en R3 puede expresarse como una combinación
lineal de i, j, k así:
(
)
k
j
i
4
4
,
1
,
1
+
−
=
−
⇒
La mayor cantidad de vectores linealmente independientes que se pueden definir
en un Espacio Vectorial determina la dimensión del espacio.
1.5
PRODUCTO INTERNO, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO
ESCALAR
Conocido como
B
A•o también
⟩
⟨B
A;
Sean:
(
)
(
)
n
n
n
n
R
b
b
b
b
B
R
a
a
a
a
A
∈
=
∈
=
,....,
,
,
,....,
,
,
3
2
1
3
2
1
(
) (
)R
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
n
n
∈
+
+
+
=
•
⇒
,....,
3
3
2
2
1
1
Entonces
∑=
=
•
n
i
i
ib
a
B
A
1
1.5 Producto Interno
11
Propiedades:
a)(
) (
)
A
B
B
A
•
=
•
Conmutativa
b)
(
) (
) (
)
C
A
B
A
C
B
A
•
+
•
=
+
•
Distributiva de la suma
vectorial
c)
0
=
•φ
A
Cancelativa
d)(
)
2
A
A
A
=
•
e)
B
A
B
A
≤
•
)
(
Desigualdad de Swartz
Demostración de la propiedad (d ) :
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
3
2
2
2
1
3
3
2
2
1
1
2
...
,....,
A
a
a
a
a
A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
A
A
A
n
n
n
=
+
+
+
+
=
•
+
+
+
=
•
=
•
Demostración de la propiedad ( e ):
Sea A y B∈
n
R
≤
•
)
(
B
A
IIAII IIBII
θ
cos
B
A
B
A
×
=
•
θ
cos
B
A
B
A
×
=
•
0≤ |Cosθ|≤ 1 por lo tanto
≤
•
)
(
B
A
IIAII IIBII
El lector debe probar demostrar las propiedades a, b, c.
Ejemplo 1-8
Encontrar el producto escalar de los vectores A = (-1, 4, -7) y
B = 2i + 4j - k
Solución:
B
A•
= (-1) x (2) + (4) x (4) + (-7) x (-1) = 21
12 CAPITULO 1 Vectores en R3
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR:
En la figura 1-4, aplicando la ley del coseno a los lados del triángulo que son las
normas de los vectores, tenemos:
θ
cos
2
2
2
2
B
A
B
A
A
B
−
+
=
−
Aplicando la propiedad (d ) del producto escalar:
2
)
(
)
(
)
(
)
(
−
•
+
•
=
−
•
−
B
B
A
A
A
B
A
B
IIAII IIBII
θ
cos
Aplicando la propiedad distributiva
θ
cos
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
B
B
A
A
A
A
B
A
A
B
B
B
−
•
+
•
=
•
+
•
−
•
−
•
Como el producto escalar es conmutativo
2
)
(
2
−
=
•
−
B
A
IIAII IIBII
θ
cos
=
•B
A
IIAIIIBIIcosθ
θ
B
A
A
B−
Figura 1-4
1.5 Producto Interno
13
APLICACIONES
1. El producto escalar sirve para determinar si dos vectores son ortogonales o no.
Si
0
)
(
=
•
⇒
⊥
B
A
B
A
0
=
•
=
•
=
•
=
•
=
•
=
•
j
k
k
j
i
k
k
i
i
j
j
i
1
=
•
=
•
=
•
k
k
j
j
i
i
2. El producto escalar sirve para encontrar el ángulo que forman dos vectores.
•
=
−
B
A
B
A
)
(
cos1
θ
Para encontrar proyecciones:
DD
V
D
V
D
V
V
V
VD
•
=
•
=
=
θ
cos
⇒
•
=
∧
D
V
VD
Proyección Escalar
Escalar
Vectorial
Proyección Escalar
θV
D
V
D
V
Proyección Vectorial
D
Figura 1-5
14 CAPITULO 1 Vectores en R3
⇒
=
D
V
VD
ˆ
Proyección Vectorial
Ejemplo 1-9
Determinar la proyección del vector (1, -3, 7) en la dirección P1P2,
donde P1(2, 3, 4) y P2:(1, 5, -1)
Solución:
D = (1 - 2, 5 - 3, -1 - 4) = (-1, 2, -5)
30
)
5
,
2
,
1
(
−
−
=
∧
D
30
42
30
1
)
5
(
7
2
)
3
(
)
1
(
1
=
−
×
+
×
−
+
−
×
=
D
V
30
)
210
,
84
,
42
(
30
)
5
,
2
,
1
(
30
42
−
−
=
−
−
⋅ =
D
V
(
)
7
,
,5
14
57
−
=
−
D
V
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR EN R3
Si V es un vector cualquiera en el espacio
3
R, entonces, Como se observa en la
figura 1-6
CosαCosβCosγ
Esto implica que:
Cosα =
)
ˆ
(
i
V•
Cosβ =
)
ˆ
(
j
V•
Cosγ =
)
ˆ
(
k
V•
Son loscosenosdirectores
del vector V
Figura 1-6
V
β
α
γ
1.6 Producto Externo
15
Se sugiere al lector demostrar las expresiones de los cosenos directores del vector V.
Ejemplo 1-10
Demostrar que para cualquier vector:
Cos
2
α+ Cos
2
β+ Cos
2
γ= 1
Solución:
Sea
)
,
,
(
3
2
1
v
v
v
V=
; Cosα =
||
||
)
(
1
Vv
i
V
=
•
∧
;Cosβ =
||
||
2
V
v
Cosγ =
||
||
3
V
v
;
||
||
)
,
,
(
3
2
1
V
v
v
v
V=
∧
∧
V=
k
v
v
j
v
v
i
v
v
||
||
||
||
||
||
3
2
1
+
+
1
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
22
2
2
3
2
2
2
2
2
1
=
=
+
+
VV
Vv
Vv
Vv
1.6 PRODUCTO EXTERNO, PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO
VECTORIAL.
SeanA yB dos vectores del espacio
3
Rel producto externo, producto cruz o
producto vectorial denotado porAx B , es un vector que tiene como módulo o norma:
||Ax B || = ||A|| || B || Senθ
Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectoresA yB y su
sentido sigue la regla de la mano derecha o del tornillo.
Propiedades:
a)(
) (
)
A
B
B
A
×
≠
×
No es conmutativa
b)
)
(
)
(
C
B
A
C
B
A
×
×
=
×
×
Asociativa; siempre que no se
cambie el orden
16 CAPITULO 1 Vectores en R3
c)
(
) (
) (
)
C
A
B
A
C
B
A
×
+
×
=
+
×
Distributiva
d)
0
=
×φ
A
Cancelativa
e) Si A es paralelo a B
0
)
(
=
×
⇒
B
A
APLICACIONES:
1. Para encontrar el vector normal a otros dos (aplicación importante)
2. Para hallar el área del paralelogramo que forman 2 vectores.
(
) (
) (
)k
b
a
b
a
j
b
a
b
a
i
b
a
b
a
B
A
i
b
a
j
b
a
i
b
a
k
b
a
j
b
a
k
b
a
B
A
k
k
b
a
j
k
b
a
i
k
b
a
k
j
b
a
j
j
b
a
i
j
b
a
k
i
b
a
j
i
b
a
i
i
b
a
B
A
k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
B
A
b
b
b
B
a
a
a
A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
,
,
(
)
,
,
(
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
−
+
−
−
−
=
×
−
+
+
−
−
=
×
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
×
+
+
×
+
+
=
×=
=
3
2
1
3
2
1
b
b
b
a
a
a
k
j
i
B
A
=
×
i x j =k
j x k=i
kx i =j
j x i = -k
k x j = -i
i x k = -j
i x i = j x j = k x k =0
i
j
k
Figura 1-7
1.7 Productos Triples
17
Ejemplo 1-11
Determine el producto vectorial de los vectores A = (1 , 2 , 4); B =
(2 , -1 , -3)
Solución:
(1 , 2 , 4)x (2 , -1 , -3)
A xB =
−
−
3
1
2
4
2
1
k
j
i
= (-2 , 11 , -5)
Αx Β →representa o mide el área del paralelogramo que forman los vectores A;
B , ver figura 1-8
1.7
PRODUCTOS TRIPLES
A• Bx C
→
Producto Triple Escalar
Ax Bx C
→
Producto Triple Vectorial
A• B• C
→
No Existe
Considerando las propiedades de los productos escalar y vectorial; existen 6 formas
posibles del triple producto escalar, estas son:
A• Bx CA• Ax CB• Ax CB• Cx AC• Ax BC• Bx A
Area = (base)x h
IIBII x IIAIIse nθ
IIA xB II
B
h =IIAII senθ
A
θ
Figura 1-8
18 CAPITULO 1 Vectores en R3
Probemos que cualquiera de estos triples productos escalares es un determinante; por
ejemplo el producto (A• Bx C)
(
)
3
2
1
,
,a
a
a
A=
(
)
3
2
1
,
,b
b
b
B=
(
)
3
2
1
,
,c
c
c
C=
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
)
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
1
2
2
1
2
1
3
3
1
1
2
3
3
2
1
2
2
1
1
3
3
1
2
3
3
2
ˆ
ˆ
ˆc
c
c
b
b
b
a
a
a
C
B
A
a
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
c
b
C
B
A
k
c
b
c
b
j
c
b
c
b
i
c
b
c
b
C
B
=
×
•
−
+
+
−
−
=
×
•
−
+
+
−
−
=
וSi cambiamos el orden lo único que ocurre es que se permutan dos filas del
determinante y este cambia de signo.
∴ Ax B •C no cambia en todas las formas posibles, y representa el
volumen del paralelepípedo formado por los 3 vectores
EJERCICIOS
Para los primeros diez problemas usar los vectores en R3:A = 3i+ 4j;B = 2i + 2j – k;
C= 3i+ 4k
1.
EncontrarIIAII, IIBII, IICII
2.
A + B; A – C; 2A + 3B - 5C
A
C
B
C
B
A
Vol
Cos
A
C
B
Vol
C
B
base
area
h
base
area
Vol
Cos
A
h
•
×
=
×
•
=
×
=
×
=×
=
=
)
(
)
(
|
.
||
||
||
||
.
||
||
)
(
.
||
||
θ
θ
Bx C
θ
θ
A
hBC
Figura 1-9
Ejercicios Capítulo 1
19
3.
IIA+ B – CII
4.
¿Con qué valores deα esIIα BII = 1?
5.
Obtenga los vectores unitarios que tengan la misma dirección de A, B y C
6.
Tomando A y C como vectores posición de los puntos respectivos,
grafique dichos puntos y compruebe gráficamente el vector suma A + C
7.
Determine el ángulo que forman los vectores A con B; A con C y B con C
8.
Encuentre las proyecciones escalares y vectoriales de B sobre A y C
9.
Encuentre los cosenos directores de A, B y C
10. Calcule el área del paralelogramo formado por los vectores B y C y el
volumen del paralelepípedo formado por A, B y C
11. Determine todos los vectores unitarios perpendiculares al plano “XZ”
12. Escriba el vector P1P2 como combinación lineal de los vectores i, j, k; si
P1 : (3,4,7); P2 : (4,-1,6)
13. Sean: V1 = i + j + k, V2 = i + j - k y V3 = i – j. Determine los escalares s,
t, y r; tales que 4i + 6j – k = sV1 + tV2 + rV314. ¿Cuáles son los cosenos directores del vector 2i – 2j + k?15. Demuestre la identidad cos2∝ + cos2β + cos2γ = 1
16. Dado los vectores A = 2i + 4j + 6k; B = (1,-3,2), encontrar un vector
perpendicular unitario a estos dos.
17. Dados los vectores A, B, C en
3
ℜ, indicar cuál de las siguientes es falsa:
a)
B
A
B
A
+
≤
+
b)
B
A
B
A
≤
•
c)(
)
(
)
A
C
B
A
C
B
•
=
•
d)
2
/
B
A+
es el área del triángulo formado porA,B .
e)
(
)
(
) (
)
B
A
C
A
C
B
C
B
A
•
=
×
•
=
×
•
20 CAPITULO 1 Vectores en R3
18. Hallar el ángulo formado por la diagonal principal de un
cubo y una de sus caras.
19. Calcule el área del triangulo que tiene sus vértices en los puntos
(
) (
) (
).
6
,
2
,
4
;
7
,
1
,
2
;
4
,
2
,
3
−
20.
Encuentre un vector de componentes positivas, magnitud
2 y ángulos directores iguales.
21.
Si la proyección vectorial de un vector A en la dirección de un vector unitarioe es 4e , y la proyección vectorial de B en la dirección dee es 5e. ¿Cuál es? :
a) La componente escalar de A sobree.b) La proyección vectorial de A - B sobree.c) La componente escalar de A + B sobree.
22.
Averiguar si los vectores (1,0); (0,1); (1,-1) son o no linealmente
independientes.
23.
Averiguar si los vectores (1, -1, 0); (0, 1, 1); (3, -5, -2) constituyen o no
una base de R3.
24.
Averiguar si los vectores (1, 0, 1); (-1, 2, 3); (0, 1, -1) constituyen o no
una base en R3 .
25.
Demuestre que, generalmente, tres vectores en R2 son siempre
linealmente dependientes.
26.
Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga al vectorφ
es linealmente dependiente.
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Cálculo Vectorial Capitulo 1: Vectores en R3
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calculo
vectors
vectores
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calculo
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vectores
Cálculo Vectorial
Espol
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