Produit d’inertie – Notions sur les axes principaux d’une

section

I- Définition du produit d’inertie d’une section:

Soit une section S quelconque. Repérons celle-ci dans un système d’axe de référence Oxy. Le produit d’inertie de la section est relatif aux 2 axes

Ox et Oy. Décomposons la section en éléments S de coordonnées x et y (voir fig ci-dessous) .

Le produit d’inertie élémentaire de l’élément S par rapport aux 2 axes est

égal à :

SyxI xy ..

Pour la surface complète il faut réaliser la somme de tous les x.y.S de la

section:

)(.... 4

)2()1( munitédSyxSyxIxy

Le terme 1 s’appliquera lorsque la section S peut être décomposée en éléments de forme

géométrique simple : carrés, rectangles, triangles ayant une aire calculable.

Le terme 2 est plus général, il nécessite une intégration de l’expression sur toute la surface.

Attention, un produit d’inertie est une grandeur algébrique (alors qu’un moment quadratique qui a la même unité est strictement positif).

II –Cas où l’un des deux axes est axe de symétrie de la section : Considérons la section suivante d’axe de symétrie Gy .Comparons les

produits d’inertie des 2 sections S symétriques 1 et 2 par rapport à Gy

Ixy (1)= (-x)(-y) S =x.y.S et Ixy(2)=(x)(-y).S=-x.y.S et

donc Ixy(1)+Ixy(2)=0

Les produits d’inertie des surfaces s’annulent deux à deux. Le produit d’inertie de l’ensemble de la section S est donc nul

De plus, on démontre dans ce cas que les moments quadratiques par rapport aux axes sont extrémums (ici Ix est maxi, Iy est mini et Ixy=0).

La poutre ayant cette section est prévue pour être chargée suivant la direction GY car Ix maxi implique flèche mini suivant y.

Les axes Gx et Gx sont appelés axes principaux de cette section.

Résultat important que nous admettrons: Relativement aux axes principaux, le produit d’inertie d’une

section est nulle (Ixy=0) et les moments quadratiques sont

extrémums (par exemple Ix maxi et Iy mini ) .Toute rotation de la section par rapport au système d’axe Gxy entraine Ixy non nul , une

diminution de Ix et une augmentation de Iy avec toujours Ix>Iy

On conçoit que la détermination des axes principaux soit importante car

c’est par rapport à l’un de ces axes que le moment quadratique est maximum. Cet axe sera placé perpendiculairement à la direction des

charges afin d’obtenir la flèche minimale.

III – Cas d’une section n’ayant pas d’axe de symétrie : exemple d’une cornière à ailes égales.

Les deux axes de référence Ox et Oy parallèles aux ailes ne sont pas des

axes de symétrie, contrairement au cas précédent, le produit d’inertie Ixy de la section relatif à ces 2 axes n’est donc pas nul.

Soient Ix et Iy les moments quadratiques de la même section par rapport

à ces deux axes. Dans ce cas la section est donc caractérisée par 3 grandeurs d’inertie : Ix, Iy, Ixy non nul .

Par rapport à ces 2 axes non principaux ,Ix et Iy ne sont pas extrémums. Il n’est pas intéressant de charger la poutre suivant l’un de

ces 2 axes.

Nous allons faire tourner la section autour du repère Oxy afin de déterminer les axes principaux

Expérience :

1/Posons la cornière sur 2 appuis, les 2 ailes étant en contact avec cet appui comme l’indique la 1ère figure ci-dessous. Soient OX l’axe

horizontal et OY l’axe vertical en rotation de 45° par rapport au repère Oxy de référence.

Suivant cette orientation nous constatons que la flèche de la poutre soumise à la charge concentrée suivant OY est maximum. Cela signifie

que le moment quadratique IX est alors minimal (et dans ce cas

IXY=0)

2/Faisons tourner la section de 90° en calant les extrémités (2éme

figure). La flèche de la poutre soumise à la même charge suivant OX cette fois est minimale. Le moment quadratique Iy est maximal. (dans ce cas

en effet, la matière de la section s’éloigne le plus de l’axe OY) .Cette orientation est plus favorable car elle réduit la flèche.

Les axes OX et OY sont bien les axes principaux de la section.

Exemple pratique d’utilisation du profilé en cornière : Si on veut

l’utiliser comme panne de toiture par exemple, il faut l’orienter sur le versant de telle sorte que les charges verticales dues aux charges de

toiture soient perpendiculaire à l’axe principal OY.