Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel ... · Analisi modale – Modi dominanti 18 Siano v i gli autovettori associati agli autovalori λ i. Dato che gli autovettori

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

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Analisi modaleAnalisi modale

CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica

Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 2008/2009

2AnalisiAnalisi ModaleModaleSi vuole studiare l’evoluzione nel tempo di un sistema dinamico. A tale scopo, sifaccia riferimento a:

Sistema tempo continuo

Sistema tempo discreto

L’evoluzione nei due casi dipende dalle funzioni del tempo di tipo eA t o Adk, le cui

proprietà strutturali possono essere evidenziate tramite una opportunatrasformazione di similarità

dove le matrici T sono costanti e le A, Ad hanno forma più semplice (forma di Jordan: diagonali o diagonali a blocchi) rispetto a quelle originali.

(1)

(2)


3AnalisiAnalisi ModaleModaleDefinizione: le funzioni del tempo che compaiono in eA t o Ad

k, in (1) o (2) rispettivamente prendono il nome di modi del sistema.

Mediante l’analisi dei modi (analisi modale) si può caratterizzare la risposta libera di un sistema a partire dai suoi autovalori.

Autovalori distintiIn questo caso la matrice A (Ad) è in forma diagonale del tipo

Caso tempo continuo Caso tempo discreto


4AnalisiAnalisi ModaleModaleI modi del sistema sono funzioni linearmente indipendenti in quanto gli autovaloriλ1, …, λn sono distinti.

eλ1 t, …, eλn t λ1k, …, λn

k

Se lo stato iniziale x0 appartiene all’autospazio relativo ad un particolare autovalore, allora l’evoluzione libera del sistema appartiene allo stesso autospazio.

Ciascun modo può venire “eccitato” indipendemente dagli altri modi; ciascun modo complesso in generale viene eccitato assieme al suo complesso, a meno che lo stato iniziale sia a componenti complesse.

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1

0

1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

V

x0


5AnalisiAnalisi ModaleModale

0 2 4 6 80

10

20

30

40

50

60

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Autovalore sul piano complesso Andamento del modo

λ = 0.5

λ = 0

λ = -0.5

SistemiSistemi tempo continuotempo continuo

AutovaloriAutovalori realireali semplicisemplici

eλ t


6AnalisiAnalisi ModaleModaleAutovalore sul piano complesso Andamento del modo

λ = 1.5

λ = 1

λ = 0.5

SistemiSistemi tempo tempo discretodiscreto


λk

0 5 100

10

20

30

40

50

60

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2



0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 10-0.5

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 10-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


λ = 0

λ = -0.5

λ = -1



λk



0 5 10-60

-40

-20

0

20

40

60

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10-2

-1

0

1

2

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10-2

-1

0

1

2

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

λ = 0.5 ± 2j

λ = ± 2j

λ = -0.5 ± 2j

SistemiSistemi tempo continuotempo continuo

AutovAutov. . complessicomplessi semplicisemplici

eσ t cos(ω t)




0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

λ = e ± j π/4

λ = e ± j π/2

λ = 0.5 e ± j π/4



AutovAutov. . complessicomplessi semplicisemplici

eσ t cos(k ω)


10AnalisiAnalisi ModaleModale –– AutovaloriAutovalori multiplimultipliNel caso tempo continuo si ha:

Nel caso tempo discreto si ha:

I modi del sistema sono

I modi del sistema sono


11AnalisiAnalisi ModaleModale –– AutovaloriAutovalori multiplimultipliInvarianza: se lo stato iniziale xo appartiene al sottospazio generato da una catena (miniblocco) relativa ad un autovalore λ, allora la traiettoria ècompletamente contenuta nel medesimo sottospazio.

Interdipendenza: non è possibile in alcun modo eccitare singolarmente i modi appartenenti ad un miniblocco di Jordan

Sia x0 lo stato iniziale

Sistema tempo continuo

Sistema tempo discreto


12AnalisiAnalisi ModaleModale -- EsempioEsempioSia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2

Modi m1 = eλ t ed m2 = t e λ t con λ = 0 Modi m1 = eλ t ed m2 = t eλ t con λ = -0.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

0.5

1

1.5

2

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

2

4

6

8

10


13AnalisiAnalisi ModaleModale -- EsempioEsempioSia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2

Modi m1 = λk ed m2 = k λk-1 con λ = 1 Modi m1 = λk ed m2 = k λk-1 con λ = 0.5

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

5

10

15

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

0 5 100

0.5

1

1.5


14Analisi modale Analisi modale -- AutovaloriAutovalori complessi complessi coniugconiug. multipli. multipliSulla base della forma reale di Jordan, è possibile considerare i modi reali corrispondenti a coppie di autovalori complessi coniugati con grado di molteplicità maggiore di uno.

Caso tempo discreto

Caso tempo continuo

…

…


15AnalisiAnalisi modalemodale –– caratterecarattere di di convergenzaconvergenza deidei modimodiDato un SL stazionario (tempo continuo o tempo discreto), il modo m(t) (realeo complesso) definito per t ≥ 0 è:

Convergente se:

Limitato ma non convergente, se ∃ un numero reale M > 0 tale che

Non limitato se ∀ M > 0, esiste t tale che

Proposizione 1: I modi del sistema sono:Convergenti sse tutti λ(A) hanno parte reale < 0Limitati sse tutti λ(A) hanno parte reale · 0 e quelli a parte reale nulla sonoassociati a miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del polinomio minimo)

Proposizione 2: I modi del sistema sono:Convergenti sse tutti λ(A) hanno modulo < 1Limitati sse tutti λ(A) hanno modulo · 1 e quelli a modulo = 1 sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del polinomio minimo)


16AnalisiAnalisi modalemodale –– ModiModi dominantidominantiL’evoluzione libera del sistema lineare

a partire dallo stato iniziale x(0) = x0 è data da

al tendere di t (di k) all’infinito, i modi del sistema tendono a zero, rimangono costanti o divergono a seconda del valore degli autovalori.

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (sec)

Alcuni di essi, però, tendono a zero più rapidamente rispetto ad altri, per cui la loro influenza sul comportamento asintotico del sistema diventa trascurabile all’aumentare del tempo

Modo dominante


17AnalisiAnalisi modalemodale –– ModiModi dominantidominantiConsideriamo per semplicità il caso di autovalori reali distinti

Definizione: Siano λi gli autovalori della matrice A. L’autovalore λ1 è l’autovalore dominante della matrice A se vale la seguente relazione:

Caso tempo continuo

Caso tempo discreto

Proprietà. Al tendere di t (di k) all’infinito, l’evoluzione libera x(t) [x(k)] di un sistema lineare tempo continuo [tempo discreto] tende ad appiattirsi lungo il sottospazio corrispondente all’autovalore dominante, cioè l’autovalore λ1 a parte reale [modulo] maggiore.


18AnalisiAnalisi modalemodale –– ModiModi dominantidominantiSiano vi gli autovettori associati agli autovalori λi. Dato che gli autovettori vicostituiscono una base dello spazio degli stati, una qualsiasi condizione inizialex0 può essere espressa come somma delle sue componenti lungo i vi

dove le componenti x0,i si possono esprimere come

x0,i = vi*T x0

cioè come prodotto scalare tra x0 e le righe v*i di T-1

Le evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x0 sono


19AnalisiAnalisi modalemodale –– ModiModi dominantidominantiLe evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x0 sono

Indipendentemente dalla condizione iniziale x0, se x0,1 ≠ 0 l’evoluzione del sistema tende verso l’autospazio corrispondente al polo (modo) dominante

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


20AnalisiAnalisi modalemodale –– ModiModi dominantidominantiNel caso di autovalori complessi coniugati, la coppia di autovalori λ1,2=σ ± j ωè detta dominante se (tempo continuo)

Se v1 è l’autovettore complesso corrispondente a λ1 e v1R, v1I le sue componenti reali ed immaginarie, si può dimostrare che

cioè l’evoluzione libera del sistema tende verso il sottospazio generato dai vettori v1R e v1I.

Considerazioni simili valgono anche nel caso di sistemi tempo-discreti con autovalori complessi coniugati dominanti.


21AnalisiAnalisi modalemodale -- EsempioEsempioDeterminare il sottospazio corrispondente al modo dominante del sistema dinamico LS tempo continuo

Polinomio caratteristico di A:

Vi sono quindi tre autovalori coincidenti: λ = 2. Il corrispondente autovettorev1 si ottiene risolvendo il sistema


22AnalisiAnalisi modalemodale -- EsempioEsempioGli autovettori generalizzati v2 e v3 si ricavano da

Utilizzando la matrice di trasformazione

si ottiene


23AnalisiAnalisi modalemodale -- EsempioEsempioSe x3 ≠ 0 si ha che

La direzione lungo la quale si “appiattisce” la traiettoria x(t) è quindi


24InvariantiInvarianti

In termini matematici, un invariante è un aspetto, una proprietà, o una caratteristica che non cambia se soggetta ad una trasformazione.

Esempi:Parte reale e valore assoluto di un numero complesso con la operazione di coniugazione;Il grado di un polinomio con una trasformazione lineari delle variabili;Gli autovalori o i valori singolari di una matrice con una trasformazione di similitudine;La norma Euclidea (lunghezza di vettori) con una trasformazione ortonormale (rotazione);L’angolo tra due vettori con una trasformazione ortonormale (rotazione);



Dati:R3: spazio vettoriale {e1, e2, e3}: base principale (colonne della matrice I)V: sottospazio { v1, v2}: base del sottospazio VV = [v1. v2]: matrice di base del sottospazio V

Data una matrice A n x n, lo spazio V si dice invariantein A se è

A V ⊆ VProprietà:

La somma di due invarianti è un invarianteL’intersezione di due invarianti è un invariante

V è invariante in A se

e1

e3

e2

v1 v2

V



e1

e3

e2

v1 v2

V

Esempio: Siano date


È immediato verificare in questo caso che questa proprietà vale.

Esempio: Siano date


In questo caso questa proprietà non vale.


27AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometricheCambiamenti di base

Al posto della base e1, e2, e3 si assume una nuova base h1, h2, h3 con T = [h1, h2, h3] non singolare.

Si indica con x il vettore delle componenti di un punto p nella base principale, con z le componenti nella nuova. Si ha

x = T z, z = T-1 x

Nella nuova base, ad una matrice A n x ncorrisponde la matrice A1

A1 = T-1 A TInfatti

e1

e3

e2

v1 v2

V

e1

e3

e2

h1

h3h2

p


28AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometriche

Data una matrice A, sia dato un invariante V rispetto ad A con dimensione k < n, ed una sua matrice di base V, n x k. Assumendo

T = [V, V’]

non singolare, la matrice A1 = T-1 A T ha la struttura

T

T-1A = T A1 T-1 A1 = T-1 A T


29AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometricheEsempi: il vettore p nella base principale {e1, e2, e3} ha componenti

p = [3, 2, 5]T;

Sia

la matrice che definisce la nuova base. Allora:p’ = T-1 p = [-0.6548, 3.7892, 4.8180]T

con

e1

e3

e2

h1

h3h2

p

e1

e3

e2

h1

h3

h2

p

2 3

1


30AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometricheEsempio: data la matrice A e l’invariante descritto da V

Si ottiene

k = 2

n - k = 1


31AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometricheEsempio: data la matrice A e l’invariante descritto da V

Si ottiene

k = 1

n - k = 2

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