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Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
1
Grundlagen
Es wird eine Wertebelegung für die Optimierungsparameter so gesucht, dass die Zielfunktion ein Minimum oder Maximum annimmt.
Randbedingungen beschreiben den erlaubten Bereich für die Optimierungsparameter.
Man unterscheidet grundsätzlich zwei Vorgehensweisen: Lineare Optimierung Heuristische Suchverfahren
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
2
Lineare Optimierung
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Vorraussetzung: Zielfunktion und Nebenbedingungen müssen linear sein.
Ergebnis: Man erhält das Optimum analytisch.
Einsatzfeld: Die Einsatzmöglichkeiten sind sehr beschränkt.
Lineare Optimierung
Gesucht ist das Produktionsprogramm für die Erzeugnisse E1
und E2, die aus den Materialarten M1 und M2 hergestelltwerden können. Gegeben sind die Materialaufwandfaktorenund die Materialkontingente. Die Abgabepreise einer Einheit von E1 bzw. von E2 betragen 10,- bzw. 20,- Euro. Gesucht ist ein Produktionsprogramm, welches maximale Geldeinnahmen sichert und bei dem mindestens 50 bzw. 100 Einheiten von E1
bzw. E2 erzeugt werden.
Beispiel
3
Zielfunktion
10 * x1 + 20 * x2 = max
Nebenbedingungen
Einheit M1 pro Erzeugungseinheit
Einheit M2 pro Erzeugungseinheit
E1
E2
0,15
0,2
0,2
0,1
60
Materialmenge M1
40
Materialmenge M2
4
.
Das lineare Gleichungssystem
ZF: Z = 10 x1 + 20 x2 = max.
NB: 0,15 x1 + 0,2 x2 ≤ 60,
0,2 x1 + 0,1 x2 ≤ 40,
x1 ≥ 50,
x2 ≥ 100.
5
Die Nebenbedingungen
g1: 0,15 x1 + 0,2 x2 = 60
6
Die Zielfunktion für verschiedene Werte von C
7
Das Optimum
x1 = 50, x2 = 262,5, Z = 5750
8
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9
Heuristische Suchverfahren
Heuristische Suchverfahren ermitteln die optimale Werte-belegung für die Optimierungsparameter durch Trial and Error.
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
x1
x2
f(x1, x2)
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10
Heuristische Suchverfahren
Grundlagen:Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Optimierungs-parameter
Modell-zustands-variablen
Zielfunktions-wert
Optimierungs-algorithmus
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Heuristische Suchverfahren
Übersicht:Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
10 5
4
2 9
2
6 7
R ekom bination
M utation
8 7
9
Gradientenaufstiegs-verfahren
DeterministischeSuchverfahren
GenetischerAlgorithmus
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
12
Gradientenaufstiegsverfahren
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Vorgehen: Die Suchrichtung liegt in Richtung des steilsten Aufstiegs
Algorithmus: Startpunkt bestimmen Für alle Nachbarpunkte Zielfunktionswert bestimmen Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert als neuen
Startpunkt wählen
Bewertung: Die Wahrscheinlichkeit, auf einem lokalen Optimum
anzukommen, ist hoch Der Aufwand zur Bestimmung der Suchrichtung ist hoch Wenig geeignet
12
Gradientenaufstiegsverfahren1. Schritt
15
y
10
5
0x
151050
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
13
15
y
10
5
0x
151050
Gradientenaufstiegsverfahren2. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
14
15
y
10
5
0x
151050
Gradientenaufstiegsverfahren3. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
15
15
y
10
5
0x
151050
GradientenaufstiegsverfahrenAbbruch
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
16
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Deterministische Suchverfahren(i) Variablenweise Enummeration
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Vorgehen:
Es werden für alle Optimierungsvariablen in fester Schrittweite die Punkte mit dem besten Zielfunktionswert gesucht
Algorithmus:
Startpunkt festlegen Reihenfolge festlegen, in der die Optimierungsvariablen bearbeitet werden Neue Punkte bestimmen, in denen die erste Optimierungsvariable variiert wird,
während die anderen fest bleiben Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert bestimmen und zum neuen
Startpunkt machen Von diesem neuen Startpunkt ausgehend, die anderen Optimierungsvariablen
in gleicher Weise behandeln
Bewertung:
Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Hoher Aufwand Wenig geeignet
17
15
y
10
5
0x
151050
Variablenweise Enummeration 1. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
18
15
y
10
5
0x
151050
Variablenweise Enummeration 2. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
19
x15
15
y
10
105
5
0
0
Variablenweise Enummeration 3. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
20
15
y
10
5
0x
151050
Variablenweise Enummeration Abbruch
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
21
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Deterministische Suchverfahren(ii) Complex - Verfahren
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Vorgehen:
Sei n die Anzahl der Optimierungsvariablen Es werden n+1 Startpunkte gewählt Der Punkt mit dem niedrigsten Zielfunktionswert wird in Richtung einer
Suchachse verschoben
Algorithmus: Festlegen der Suchachse (diese verbindet den Punkt mit dem schlechtesten
Zielfunktionswert und dem Schwerpunkt aller anderen Punkte) Durch Reflexion wird der schlechteste Punkt über den Schwerpunkt hinaus
verlängert
Bewertung: Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Vertretbarer Aufwand Geeignetes Verfahren zur Optimierung von Simulationsvariablen
22
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
Complex - Verfahren1. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
23
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
Complex - Verfahren2. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
24
15
y
10
5
0x
151050
Complex - Verfahren3. Schritt
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
25
15
y
10
5
0x
151050
Complex - VerfahrenAbbruch
Startpunkt
G etesteter Punkt
Bester Punkt
A lter Startpunkt
26
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27
Genetischer Algorithmus
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Vorgehen:
Die Strategie orientiert sich am Vorgehen der Natur Aus sog. Elternpunkten werden zufällig Kinderpunkte erzeugt Die besten Kinderpunkte werden in der nächsten Generation zu
Elternpunkten
Algorithmus: Bestimmen von n Elternpunkten Erzeugen von m Kinderpunkten durch Rekombination Mutation der Kinderpunkte Auswahl der n besten Kinderpunkte durch Selektion Ausgewählte Kinderpunkte werden zu neuen Elternpunkten
Bewertung: Hohe Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Sehr hoher Aufwand zur Bestimmung der Kinderpunkte Nicht geeignet
27
Genetischer Algorithmus
10 5
4
2 9
2
6 7
Rekom bination
M utation
8 7
9
28
Genetischer Algorithmus
2. Generation
1. Generation
Eltern
Kinder
Neue Generation
Eltern
Kinder
Neue Generation
10 2
1
5 10
1,5
8 14
1,5
13 7
1,75
7,5 5 11,5 4,5 10,5 10,5
Rekom bination
5
4 5 5
M utation
Selektion
11,5 13 10,58,57,5
11,5 13
5
8,5 10,5
5
13 7
1,75
7,5 5
4
10,5 8, 5 9,5 9 10 11,5
11,5
9,25 2,75 7,5
7 9 11,510 10,5
11,5 13
5
8,5 10,5
5
10,5 11,5
9,25
10 11,5
7,5
11,5 13
5
8,5 10,5
5
13 7
1,75
7,5 5
4
Rekom bination
M utation
Selektion
29
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
Genetischer Algorithmus 1. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten
Elternpunkte
K inderpunkte
Beste Punkte
30
15
y
10
5
0x
151050
15
y
10
5
0x
151050
Genetischer Algorithmus
2. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern
Elternpunkte
K inderpunkte
Beste Punkte
31
15
y
10
5
0
151050
15
y
10
5
0
151050
Genetischer Algorithmus 3. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten
Elternpunkte
K inderpunkte
Beste Punkte
32
15
y
10
5
0
151050
15
y
10
5
0
151050
Genetischer Algorithmus 4. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern
Elternpunkte
K inderpunkte
Beste Punkte
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Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
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Stückkostenoptimierung
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Einlaufende WerkstückeEinlaufende Werkstücke
FertigstellungFertigstellung
Bearbeitung durch WerkerBearbeitung durch Werker
Optimierung: Mittlere Produktionskosten
Werkstück
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
35
Produktionskosten
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Fixkosten für Anlage
Fixkosten für Werker
Bearbeitungskosten für Werker
Bearbeitungskosten / Werkstück
Strafkosten bei Terminüberschreitungen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
36
Werkeranzahl:
Geringe Werkeranzahl:
lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten
Hohe Werkeranzahl:
geringe Werkerauslastung hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten
Anschauliche Vorüberlegung
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
37
Produktionsumfang:
Niedrige Werkstückanzahl :
geringe Auslastung der Anlage Fixkostenanteil dominiert hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten
Hohe Werkstückanzahl:
lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten
Anschauliche Vorüberlegung
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
38
Anschauliche Vorüberlegung
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Wo liegt nun das Optimum ?
Werkeranzahl ?
Werkstückanzahl ? x2
x1
z
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
39
Modellergebnisse
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
0
10
20
30
40
50
60
70
29 Werkeranzahl
Stück-kosten
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
40
0
10
20
30
40
50
60
70
Modellergebnisse
Modelle
Optimierung Grundlagen
Lineare Optimierung
Heuristische Suchverfahren
Projekt: Stückkosten- Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
35 Werkstückanzahl
Stück-kosten
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
41
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
ISSOP: Intelligentes System zur Simulation und Optimierung
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
42
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Die wichtigsten Leistungsmerkmale von ISSOP
Entwicklung beliebiger dynamischer Modelle Erstellung beliebiger statischer Modelle Optimierung mit über 100 Freiheitsgraden und mehreren
Zielkriterien Optimierung von Einsteuerfolgen mit mehreren Zielkriterien Online-Kopplung zu verschiedenen Simulationstools (z.B. Arena,
Excel, Simple++), über offenes Interface erweiterbar Systematische Lösungssuche durch leistungsfähige
Optimierungsstrategien Lern- und Adaptationssystem mit Online-Monitor Steuerung und gezielter Einsatz der Optimierungsstrategien Berechnung von Kompromißmengen bei mehreren Zielkriterien Grafische Auswertung der Ergebnisse und Optimierungshistorie Verwendung offener Schnittstellen, komfortable WINDOWSTM –
Oberfläche Übersichtliches Benutzerhandbuch
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43
Beispiel: Optimierung
1. Modellaufbau
2. Optimierung
3. Auswertung
x2
x1
z
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
44
Menüstruktur
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
45
Modellaufbau
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
46
Statisches Modell
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
47
Modelleigenschaften
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
48
Optimierung
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
49
Auswertung
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
50
Projekt
M1M1 M2M2
M4M4
M3M3
10 Bearbeitungsstationen kein Puffer feste Bearbeitungszeiten
4 Bearbeitungsstationen kein Puffer einstellbarer Nutzungsgrad
X1, X2, X3 und X40.2 Nutzungsgrad 2.0
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
51
Zielgrößen
Anschauliche Vorüberlegung:
X1 gering:
hoher Rückstau hohe Leerlaufzeiten geringe Produktionsmenge hohe Kosten / Stück
X1 hoch:
geringer Rückstau geringe Leerlaufzeiten hohe Produktionsmenge geringe Kosten / Stück
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
52
Optimierung
Wo liegt das Optimum X1 für die drei Zielgrößen
- Produktionskosten- Stillstandszeiten- Durchlaufzeiten
in Abhängigkeit von X1?
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen
Optimierung
53
Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung
54
Optimierung
Z = g1 F1 + g2 F2 + g3 F3
Optimum bei X1 = 0,5
Modelle
Optimierung
ISSOP
Optimierung für mittelständische Unternehmen