Prof. Dr. Ina Kersten

Analytische Geometrie undLineare AlgebraLATEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann

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2 INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis 10

1 Einige Beispiele 121.1 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Betrag einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Der n-dimensionale Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Geraden in der reellen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten . . . . . . . . . . 161.6 Ebenen im 3-dimensionalen reellen Raum . . . . . . . . . . 181.7 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Ubungsaufgaben 1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Vektorraume 202.1 Definition eines Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Definition einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements . . . . . 212.4 Definition eines K -Vektorraumes . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Rechenregeln in Vektorraumen . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Geometrische Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Untervektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Beispiele und Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10 Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum . . . . . . 282.11 Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.12 Summe von Teilraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.13 Direkte Summen von Teilraumen . . . . . . . . . . . . . . 322.14 Direkte Summen von Vektorraumen . . . . . . . . . . . . . 322.15 Ubungsaufgaben 5 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Basis und Dimension 353.1 Lineare Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Kriterium fur lineare Abhangigkeit . . . . . . . . . . . . . 363.3 Definition einer Basis und Beispiele . . . . . . . . . . . . . 373.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Charakterisierung einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7 Basen in Vektorraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.9 Basiserganzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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INHALTSVERZEICHNIS 3

3.10 Der Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.11 Folgerung aus dem Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . 443.12 Dimension eines K -Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . 443.13 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz . . . . . . . . 453.14 Dimension eines Untervektorraums . . . . . . . . . . . . . 453.15 Dimensionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.16 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.18 Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur lineare Abbildungen . 483.19 Eigenschaften von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . 483.20 Isomorphismen von K -Vektorraumen . . . . . . . . . . . . 493.21 Klassifikationssatz fur endlich dimensionale Vektorraume . 503.22 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.23 Folgerung aus der Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . 523.24 Beispiele fur unendlich dimensionale Vektorraume . . . . . 533.25 Ubungsaufgaben 12 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Lineare Abbildungen und Matrizen 564.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Produkt von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Die Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . 594.5 Die Dimension von Hom(V,W ) . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Die Einheitsmatrix als Darstellungsmatrix . . . . . . . . . 614.7 Darstellungsmatrix einer Komposition . . . . . . . . . . . . 624.8 Rechenregeln fur lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . 634.9 Rechenregeln fur Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.10 Koordinatenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.11 Die zu einer Matrix gehorende Standardabbildung . . . . . 644.12 Faktorisierung einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . 664.13 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.14 Basiswechsel in V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.15 Basiswechsel und Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . 684.16 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.17 Beispiel zu 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.18 Eine geschickte Basiswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.19 Matrizentheoretische Formulierung . . . . . . . . . . . . . 704.20 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.21 Rang und Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.22 Die allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 724.23 Die Transponierte einer invertierbaren Matrix . . . . . . . 73

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4 INHALTSVERZEICHNIS

4.24 Der Zeilenrang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.25 Ubungsaufgaben 22 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Lineare Gleichungssysteme 765.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Losbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Die Menge der Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Elementare Umformungen einer Matrix . . . . . . . . . . . 805.5 Elementare Umformungen und die Losungsmenge . . . . . 805.6 Gauscher Algorithmus (m = n = rang A) . . . . . . . . . 815.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix . . . . . . . . . . . . 825.8 Gauscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Ubungsaufgaben 31 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Die Determinante einer Matrix 856.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 866.3 Beweis der Eindeutigkeitsaussage in 6.1 . . . . . . . . . . . 886.4 Die Matrix Aij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 886.6 Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix . . . . . . . 916.7 Kriterium fur invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . 926.8 Determinante der transponierten Matrix . . . . . . . . . . 926.9 Multiplikationssatz fur Determinanten . . . . . . . . . . . . 936.10 Methode zur Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . 956.11 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.12 Orientierung in reellen Vektorraumen . . . . . . . . . . . . 976.13 Die Determinante eines Endomorphismus . . . . . . . . . . 986.14 Orientierungserhaltende Automorphismen . . . . . . . . . . 996.15 Orientierung im n-dimensionalen reellen Vektorraum . . . . 1006.16 Die Determinante als Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.17 Flacheninhalt eines Parallelogramms . . . . . . . . . . . . 1006.18 Die spezielle lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.19 Ubungsaufgaben 36 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Metrische Vektorraume 1047.1 Involution auf K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Metrik auf V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Spezialfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.4 Die zu einer Metrik s gehorende Matrix . . . . . . . . . . . 1087.5 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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INHALTSVERZEICHNIS 5

7.6 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.7 Euklidische und unitare Vektorraume . . . . . . . . . . . . 1127.8 Das Standardskalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 1137.10 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.11 Orthogonale Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.12 Das Radikal eines metrischen Vektorraumes . . . . . . . . 1177.13 Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung . . . . . . . . . 1187.14 Folgerung fur symmetrische und schiefsymmetr. Matrizen . 1207.15 Dualitatssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.16 Hyperbolische Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.17 Symplektische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.18 Normalform schiefsymmetrischer Matrizen . . . . . . . . . 1247.19 Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.20 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.21 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.22 Tragheitssatz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.23 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.24 Ubungsaufgaben 43 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 Metrische Abbildungen 1358.1 Metrische Abbildung und Isometrie . . . . . . . . . . . . . 1358.2 Metrische Abbildung eines regularen Raumes . . . . . . . . 1358.3 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4 Die Matrix einer Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.5 Lineare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.6 Klassifikation regularer symplektischer Raume . . . . . . . 1398.7 Klassifikation orthogonaler Raume . . . . . . . . . . . . . . 1398.8 Beispiele fur regulare orthogonale Vektorraume . . . . . . . 1408.9 Orthogonale Gruppen