Prof. Ilydio Pereira de S UERJ - USS RAZO DE OURO OU NMERO DE
OURO
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INTRODUO Durante muito tempo os artistas devem se ter
perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se
dividir um objeto em duas partes iguais. Durante muito tempo os
artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e
harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais.
Tambm devem se ter perguntado qual a relao entre as partes que
constituem um objeto para que ele seja considerado belo. Tambm
devem se ter perguntado qual a relao entre as partes que constituem
um objeto para que ele seja considerado belo. Um objeto pode ser
dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou
mesmo que uma parte seja igual a da outra...podemos at dizer que
podemos fazer qualquer partio ou diviso de um objeto. Um objeto
pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da
outra ou mesmo que uma parte seja igual a da outra...podemos at
dizer que podemos fazer qualquer partio ou diviso de um
objeto.
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Na antiguidade clssica, o grego Plato observou uma forma de
dividir um segmento de uma forma harmnica e agradvel vista. Ele a
chamou de A Seo. Na antiguidade clssica, o grego Plato observou uma
forma de dividir um segmento de uma forma harmnica e agradvel
vista. Ele a chamou de A Seo.
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Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides,
encontrou geometricamente a forma de se fazer essa diviso harmnica
e agradvel vista. Ele a chamou de Seo urea. Cerca de 300 anos antes
de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma
de se fazer essa diviso harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de
Seo urea. Euclides
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Euclides escreveu em seus Elementos: Euclides escreveu em seus
Elementos: Para que um segmento seja dividido em seo urea, a razo
entre o segmento e a parte maior deve ser igual razo entre a parte
maior e a parte menor.
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Vamos agora ver como foi que Euclides definiu tal diviso: Temos
um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes
iguais: AC e CB. Vamos supor que AC > CB. Euclides descobriu que
essa diviso mais harmoniosa vista ocorre quando a razo entre o
segmento todo e a parte maior a mesma que existe entre a parte
maior e a parte menor.
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Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base
para a arte e a arquitetura grega. Essa forma de particionarmos um
segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega. O
Partenn, templo dos Deuses Gregos
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Vamos agora determinar o valor dessa razo urea, conhecida como
nmero de ouro. Para essa determinao vamos usar a definio de
Euclides, associada uma equao do segundo grau. Para essa determinao
vamos usar a definio de Euclides, associada uma equao do segundo
grau.
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Vamos representar o segmento AB e as partes da diviso da
seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. Vamos representar o
segmento AB e as partes da diviso da seguinte forma: AC = a, CB =
b, AB = a + b. CB = b o segmento menor dessa diviso. CB = b o
segmento menor dessa diviso. Pela definio de Euclides, teremos:
Pela definio de Euclides, teremos: ab
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Pelo teorema fundamental das propores, teremos: Ou ainda:
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Vamos resolver essa equao na incgnita b. Arrumando seus termos,
teremos:
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Aplicando a frmula de Bskara, teremos: operando,
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Colocando o termo a em evidncia, teremos: ou ainda: Ou
dividindo amos os membros da igualdade por a:
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Ou ainda, invertendo a razo obtida:
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Temos duas solues: ou
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Como sabemos que, um nmero irracional e maior que 1 Teremos: um
nmero POSITIVO um nmero NEGATIVO Como estamos lidando com medidas
de segmentos de reta, a soluo negativa no nos interessa.
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O nmero vale, aproximadamente 2,236067 logo: Este valor, que se
chama razo ou nmero de outro, ficou representado pela letra grega
(phi). (se pronuncia Fi) Essa escolha foi uma homenagem ao escultor
e arquiteto grego Fdeas, que construiu o Partenon usando a razo de
ouro.
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ONDE ENCONTRAMOS A RAZO DE OURO? O Homem Vitruviano -Leonardo
Da Vinci- A razo entre a distncia do umbigo aos ps e a distncia da
cabea ao umbigo o nmero de ouro. Da mesma forma, a razo entre a
altura do homem e a distncia do umbigo aos ps tambm esse mesmo
nmero.
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Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:
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J conhecemos o valor da razo urea; J conhecemos o valor da razo
urea; J sabemos dividir um segmento na razo de ouro; J sabemos
dividir um segmento na razo de ouro; Podemos tambm construir
qualquer figura geomtrica onde exista tambm essa razo; Podemos
tambm construir qualquer figura geomtrica onde exista tambm essa
razo; Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a
mais famosa dessas formas que o RETNGULO DE OURO. Usando alguns
conhecimentos de geometria podemos construir a mais famosa dessas
formas que o RETNGULO DE OURO.
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CONSTRUO DO RETNGULO DE OURO Um retngulo de ouro simplesmente
um retngulo cuja razo entre o lado maior e o lado menor o nmero de
ouro Um retngulo de ouro simplesmente um retngulo cuja razo entre o
lado maior e o lado menor o nmero de ouro a b
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COMO PODEMOS CONSTRU-LO?
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Quer ver a justificativa matemtica?
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Onde podemos encontrar o nmero de ouro? Na vida cotidiana:
Tambm so bem prximas do retngulo de ouro algumas telas das modernas
TVs de LCD. Geralmente os retngulos usados na fabricao dos cartes
de crdito so retngulos de ouro, ou seja, a razo entre o lado maior
e o menor igual a.
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Mona Lisa -Leonardo Da Vinci- Seo urea - Mondrian- A RAZO DE
OURO NA ARTE
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Duas composies com retngulos de ouro de Piet Mondrian
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Em muitas obras de artistas do Renascimento eles usaram a razo
de ouro. Sir Theodore Cook (sc. XIX) descobriu uma escala simples
de divises ureas aplicvel figura humana, que se encaixa
surpreendentemente bem nas obras de alguns pintores, como
Boticelli. O nascimento de Venus -Boticelli-
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H muitos outros exemplos do uso do retngulo de ouro nas artes.
Ele era mesmo usado para a diviso espacial da rea onde a obra era
pintada. Temos um belo exemplo dessa diviso espacial em O martrio
de So Bartolomeu, do espanhol Ribera.
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O Partenn Os gregos usaram a razo urea como base arquitetnica
de monumentos e prdios em honra de seus Deuses. O Partenn, templo
dos Deuses gregos Na fachada do Prtenon temos um retngulo de ouro.
Em Monumentos e arquitetura
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4) Na natureza A espiral maravilhosa Existe, por exemplo, na
concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de
circunferncia concordantes, construdos a partir de sucessivos
retngulos de ouro. A espiral maravilhosa Existe, por exemplo, na
concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de
circunferncia concordantes, construdos a partir de sucessivos
retngulos de ouro.
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Na natureza: Na concha do cefalpode marinho Nautilus