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Prof. Jorge
Cálculo combinatório
Prof. Jorge
Princípios de contagem
Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos.
O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos.
Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora.
Prof. Jorge
Princípios de contagem
Princípio Aditivo de contagem;
Princípio multiplicativo de contagem.
Prof. Jorge
Princípio aditivo de contagem
Vamos considerar o seguinte problema
Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas:
Um de seus dois automóveis (A1 e A2);
Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3);
O metrô (M).
Prof. Jorge
Princípio aditivo de contagem
De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte?
hipóteses:opções:
Automóvel
Ônibus
Metrô
ou
ou
A1 A2 O1 O2 O3 M
2 opções 3 opções 1 opção
Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de:
2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes
Prof. Jorge
Princípio aditivo de contagem
Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes.Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses.
Prof. Jorge
Princípio multiplicativo de contagem
Vamos considerar o seguinte problemaSuponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T1 e T2);
Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4);
Três camisetas (C1, C2 e C3).
Prof. Jorge
Princípio multiplicativo de contagem
De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha?
Etapas:
opções:
Tênis Jeans
camiseta
e e
T1 T2 J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3
2 opções 4 opções 3 opções
Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de:
2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes
Prof. Jorge
Árvores de possibilidades
1ª etapa: escolha do
tênis
T1
J1
2ª etapa: escolha do
jeans
3ª etapa: escolha da camiseta
Resultado
J2
J3
C1
C2
C3
J4
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
T1J1C1
T1J2C3
T1J3C1
T1J3C2
T1J3C3
T1J4C1
T1J4C2
T1J4C3
T1J2C2
T1J2C1
T1J1C3
T1J1C2
Prof. Jorge
Árvores de possibilidades
1ª etapa: escolha do
tênis
T2
J1
2ª etapa: escolha do
jeans
3ª etapa: escolha da camiseta
Resultado
J2
J3
C1
C2
C3
J4
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
T2J1C1
T2J2C3
T2J3C1
T1J3C2
T2J3C3
T2J4C1
T2J4C2
T2J4C3
T2J2C2
T2J2C1
T2J1C3
T2J1C2
Prof. Jorge
Princípio multiplicativo de contagem
Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m . n maneiras diferentes.Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas.
Prof. Jorge
Princípios de contagem
Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. A conjunção ou liga duas hipóteses e está
associado à adição.
A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação.
Prof. Jorge
Exemplos
A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)?
O evento se compõe de duas etapas:
escolha do salgado escolha do refrigerante
1ª etapa 2ª etapa
4 opções 5 opções
Pelo, P.M.C., temos 4 . 5 = 20 maneiras diferentes
e
Prof. Jorge
Exemplos
Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso?
O evento se compõe de duas etapas:
entrada saída
1ª etapa 2ª etapa
4 opções 3 opções
Pelo, P.M.C., temos 4 . 3 = 12 maneiras diferentes
e
Prof. Jorge
Exemplos
Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?
A B
C
Prof. Jorge
Exemplos
Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?
O evento se compõe de duas hipóteses:
A → B
1ª hipótese 2ª hipótese
4 trajetos
3 trajetosA → C
C → B 2 trajetos
ou
Valéria poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes.
e 2 . 3 = 6
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos?
O evento se compõe de duas hipóteses:
3 algarismos
1ª hipótese 2ª hipótese
4 algarismos
3 etapas 4 etapas
ou
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos?
1º alg.
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa
2º alg. 3º alg.
7 opções 7 opções 7 opções
Pelo, P.M.C., são 7.7.7 = 343 números de 3 algarismos
Números de 3 algarismos:
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos?
1º alg.
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa
2º alg. 3º alg.
7 opções 7 opções 7 opções
Pelo, P.M.C., são 7.7.7.7 = 2 401 números de 4 algarismos
4ª etapa
4º alg.
7 opções
Podemos formar = 343 + 2 401 = 2 744 números
Números de 4 algarismos:
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que 7 000 e de 4 algarismos distintos podemos formar?
O evento se compõe de quatro etapas:
Pelo, P.M.C., temos 2.5.4.3 = 120 números
1º alg.
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa
2º alg. 3º alg.
2 opções 5 opções 4 opções
4ª etapa
4º alg.
3 opções
Prof. Jorge
Observação
Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos.
Prof. Jorge
Exemplo
A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas?
O evento se compõe de duas etapas:
Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto)
1ª etapa 2ª etapa
4 opções 3 opções
escolha do 1º membro
escolha do 2º membro
Prof. Jorge
Exemplo
A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas?
Veja as hipóteses reais
(A, B)(A, C)(A, D)(B, A)(B, C)(B, D)
(C, A)(C, B)(C, D)(D, A)(D, B)(D, C)
1ª comissão
2ª comissão3ª comissão
igual à 1ª
igual à 2ª
igual à 4ª
igual à 3ª
igual à 5ª
igual à 6ª4ª comissão
5ª comissão
6ª comissão
Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes.
Prof. Jorge
Agrupamentos ordenados e não-ordenados
Prof. Jorge
Agrupamentos
O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente.
Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados.
Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados.
Prof. Jorge
Exemplos
A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas?
Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas.
{A, B, C}
Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado.
{A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}
{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}
Prof. Jorge
Exemplos
A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)?
(A, B, C)(A, B, D)(A, B, E)(A, C, D)(A, C, E)(A, D, E)(B, C, D)(B, C, E)(B, D, E)(C, D, E)
(A, C, B)(A, D, B)(A, E, B)(A, D, C)(A, E, C)(A, E, D)(B, D, C)(B, E, C)(B, E, D)(C, E, D)
(B, A, C)(B, A, D)(B, A, E)(C, A, D)(C, A, E)(D, A, E)(C, B, D)(C, B, E)(D, B, E)(D, C, E)
(B, C, A)(B, D, A)(B, E, A)(C, D, A)(C, E, A)(D, E, A)(C, D, B)(C, E, B)(D, E, B)(D, E, C)
(C, A, B)(D, A, B)(E, A, B)(D, A, C)(E, A, C)(E, A, D)(D, B, C)(E, B, C)(E, B, D)(E, C, D)
(C, B, A)(D, B, A)(E, B, A)(D, C, A)(E, C, A)(E, D, A)(D, C, B)(E, C, B)(E, D, B)(E, D, C)
Prof. Jorge
Exemplos
Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado.
a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa.
b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso.
c) Colocar 5 pessoas em fila.
d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas.
e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas.
O
O
O
NO
NO
Prof. Jorge
Exemplos
Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados
a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9.
b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}.
c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento.
Ord.
Ord.
N-Ord.
Prof. Jorge
Exemplos
Analise, em cada caso, se os agrupementos são ordenados ou não-ordenados
d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira.
e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis.
f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados.
Ord.
N-Ord.
N-Ord.
Prof. Jorge
Permutação simples
Prof. Jorge
Permutação simples
Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila?
No total são 24 maneiras diferentes.
Veja as possibilidades
ABCDBACDCABDDABC
ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BADC BCAD BCDA BDAC BDCACABD CBAD CBDA CDAB CDBADACB DBAC DBCA DCAB DCBA
Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos.
⇒ P4 = 24
Prof. Jorge
Permutação simples
Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A.
O número de permutações simples de n
elementos é indicado por Pn.
Prof. Jorge
Cálculo no total de permutação simples
A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja
A → n elementos
Etapas:
Opções:
E1 E2 E3 ... En
n n – 1 ...n – 2 1
Pn = n(n – 1)(n – 2). ... . 1
Prof. Jorge
Exemplos
O número de permutações simples de 6 elementos é
P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720
O número de permutações simples de 5 elementos é
P5 = 5.4.3.2.1 = 120
O número de permutações simples de 4 elementos é
P4 = 4.3.2.1 = 24
P3 = 3.2.1 = 6
Prof. Jorge
Exemplos
Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.
a) Qual é o total de anagramas?b) Quantos começam por consoante e terminam por
vogal?c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta
ordem?d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em
qualquer ordem?
Prof. Jorge
Exemplos
Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.
a) Qual é o total de anagramas?
P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 anagramas
Prof. Jorge
Vogal Cons.
Exemplos
Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.
b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal?
A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes.
P6
4 . 4 . P6 = 11 520
4 opç. 4 opç.
= 4 . 4 . 6.5.4.3.2.1
Prof. Jorge
U RSO N I V E
Exemplos
Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.
c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem?
P6
P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720
Prof. Jorge
U RSO N I V E
P3
Exemplos
Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.
d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem?
P6
P3 . P6 = 4320 = 6 . 6.5.4.3.2.1
Prof. Jorge
Arranjo simples
Prof. Jorge
Arranjo simples
Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o total deles?
Para formar cada número temos duas etapas:
Escolhemos3 algarismos
2, 4, 5
2, 4, 82, 5, 8
4, 5, 8
245 254 425 452 524 542
248 284 428 482 824 842258 285 528 582 825 852
458 485 548 584 845 854
Ordenamos os alg. escolhidos
Dizemos que cada um desses números é um arranjo simples de 4 elementos, tomados 3 a 3.
Prof. Jorge
Arranjo simples
Arranjo simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A.
O número de arranjos simples de n
elementos, tomados p a p, é indicado por An,p.
No nosso exemplo, A4,3 = 24
Prof. Jorge
Cálculo no total de Arranjo simples
A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja
A → vamos escolher p entre os n elementos.
Etapas:
Opções:
E1 E2 E3 ... Ep
n n – 1 ...n – 2 n – (p – 1)
An,p = n(n – 1)(n – 2). ... . (n – p + 1)
!!
pn
nA pn
Prof. Jorge
Cálculo no total de Arranjo simples
No cálculo de An,p é importante perceber os
significados de n e p.
n → primeiro fator An,p
p → número de fatores
Prof. Jorge
Exemplos
A4,3 = 4.3.2 = 241.º fator → 4
Número de fatores → 3
A8,5 = 8.7.6.5.4 = 6 7201.º fator → 8
Número de fatores → 5
An+1,3 = (n + 1)n(n – 1)1.º fator → n
Número de fatores → 3
An,p é o produto dos p números naturais consecutivos
tomados decrescentemente a partir de n.
Prof. Jorge
Exemplos
Formei todos os arranjos simples com os elementos de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos. Quantos são os elementos de A?
An,2 = 90 ⇒ n(n – 1) = 90 ⇒ n = 10
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formara) De 4 algarismos?b) Ímpares, de 3 algarismos?c) Maiores que 70 000?
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formara) De 4 algarismos?
A7,4 = 7.6.5.4 = 840
Prof. Jorge
ímpar
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarb) Ímpares, de 3 algarismos?
A6,2
5 opções
5 . A6,2 = 150 = 5 . 6.5
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarc) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
1.ª hipótese: números de 5 algarismos
A6,4
2 opções (7 ou 9)
2 . A6,4 = 150 = 2 . 6.5.4.3
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarc) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
2.ª hipótese: números de 6 algarismos
A7,6 = 5 040 = 7.6.5.4.3.2
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarc) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
3.ª hipótese: números de 7 algarismos
A7,7 = P7 = 5 040 = 7.6.5.4.3.2.1
Prof. Jorge
Exemplos
Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarc) Maiores que 70 000?
1.ª hipótese: 720
2.ª hipótese: 5 040
3.ª hipótese: 5 040
Total: 720 + 5 040 + 5 040 = 10 800
Prof. Jorge
Exemplos
Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H.
a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados?
b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado?
Prof. Jorge
Exemplos
Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H.
a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados?
A8,4 = 1 680 = 8.7.6.5
b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado?
A7,3 = 210 = 7.6.5
Prof. Jorge
Combinação simples
Prof. Jorge
Combinação simples
Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. Quantas alternativas tenho?
O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos.
Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.
{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}
{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}
No total são 10 maneiras diferentes. ⇒ C5,3 = 10
Prof. Jorge
Combinação simples
Combinação simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento não-ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A.
O número de combinações simples de n
elementos, tomados p a p, é indicado por Cn,p.
Prof. Jorge
Cálculo no total de Combinações simples
O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples.
A formação de arranjos simples envolve duas etapas:
1ª etapa
Formação das combinações
simples
2ª etapa
Formação das permutações
simples
Resultado
Formação dos arranjos simples
Cn,p . Pp = An,p ⇒ Cn,p =An,p
Pp
Prof. Jorge
P2
10.9.8.7
4.3.2.1
A10,4
P4
12.11.10
3.2.1
A12,3
P3
(n – 1).(n – 2)
2
An – 1,2
Exemplos
C10,4 = = = 210
C12,3 = = = 220
Cn – 1,2 = =
Prof. Jorge
Exemplos
Duas pessoas de um grupo de amigos serão escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma festa. A escolha pode ser feita de 21 modos diferentes. Quantas pessoas há no grupo?
P2
n.(n – 1)
2
Cn,2 = 21An,2
= 21⇒
= 21⇒
n.(n – 1) = 42⇒ n = 7⇒
Prof. Jorge
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
a) 5 pessoas?b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores?c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?
Prof. Jorge
11.10.9.8.7
5.4.3.2.1
A11,5
P5
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
a) 5 pessoas?
C11,5 = = = 462
Prof. Jorge
7.6.5.4
4.3.2.1
4.3.2
3.2.1
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores?
C7,4 . C4,3 = .
1ª etapa
Escolher 4 alunos
2ª etapa
Escolher 3 professores
= 35 . 4 = 140
C7,4 C4,3
Prof. Jorge
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?
7C7,1 . C4,3 = .
1ª etapa
Escolher 1 aluno
2ª etapa
Escolher 3 professores
4.3.2
3.2.1= 7 . 4 = 28
Temos 2 hipóteses:
1ª hipótese:
C7,1 C4,3
Prof. Jorge
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?
C4,4 =
Escolher 4 professores
4.3.2.1
4.3.2.1= 1
Pelo princípio aditivo, 28 + 1 = 29 maneiras
Temos 2 hipóteses:
2ª hipótese:
Prof. Jorge
Exemplos
Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:
d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?
C11,3 =11.10.9
3.2.1= 165
Total de comissões de
3 pessoas
Total de comissões de 3 pessoas, só
com alunosmenos
C7,3 =7.6.5
3.2.1= 35
165 – 35 = 130 maneiras.
Prof. Jorge
Exemplos
Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir?
Veja a ilustração da situação.
r
s
Prof. Jorge
Exemplos
Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir?
Total de triângulos.
(2 pontos de r e 1 de s) ou (1 ponto de r e 2 de s)
C5,2 . C6,1
5.4
2.1. 6
C5,1 . C6,2+
6.5
2.15 .
C5,2 . C6,1 + C5,1 . C6,2 = 60 + 75 = 135
Prof. Jorge
Exemplos
Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir?
Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos, sendo 2 de r e 2 de s.
C5,2 . C6,2 =5.4
2.1
6.5
2.1. = 10. 15 = 150
Prof. Jorge
Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples
Prof. Jorge
Arranjos, combinações ou permutações?
ArranjoOrdenadoEscolher e ordenar
os escolhidos
CombinaçãoNão-ordenadoSó escolher os
elementos
PermutaçãoOrdenadoSó ordenar os
elementos (todos)
Nome do agrupamento
Tipo de agrupamento
Critério de formação