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Posições relativas de duas retas

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Retas paralelas e retas concorrentes

Duas retas distintas de um plano podem ocupar duas posições relativas. Elas podem ser:Paralelas, se não têm ponto em comum;

Concorrentes ou secantes, se têm um único ponto comum;

r

s t

u

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Retas paralelas e retas concorrentes

Quando duas retas estão contidas no plano cartesiano xOy, podemos analisar suas posições relativas, a partir de suas equações:

Para duas retas horizontais ou verticais essa análise é simples.

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Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x =

3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?

x

y

O 3–5r ∕∕ s

r s

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Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x =

3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?

x

y

O

–2

1t

u

t ∕∕ u

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Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x =

3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?

x

y

O

6

1

m e n → concorrentes no ponto P(1, 6).

m

nP

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Retas não-paralelas aos eixos

No caso de as retas serem não-paralelas aos eixos, tudo depende da comparação das inclinações das retas. Por isso vamos trabalhar com suas equações reduzidas.

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Retas não-paralelas aos eixos

Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’.

x

y

O

r

α α’

sr ∕∕ s

⇕α =

α’

tg α = tg α’

a = a’

⇕

⇕

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Retas não-paralelas aos eixos

Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’.

x

y

O

r

α α’

sr é secante a s

⇕α ≠

α’

tg α ≠ tg α’

a ≠ a’

⇕

⇕

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Retas não-paralelas aos eixos - Resumo

Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos:r e s são paralelas ⇔ a = a’ e b ≠ b’.

r e s são concorrentes ⇔ a ≠ a’.

No caso de as retas serem concorrentes, pode-se obter o ponto de interseção. Basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.

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Exemplos

Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.Primeiro vamos escrever (r) e (s) na

forma reduzida.

r: 2x + y + 3 = 0

s: 3x – y + 7 = 0

⇒ y = –2x – 3

⇒ y = 3x + 7

a = –2

a’ = 3

a ≠ a’ ⇒ as retas r e s são concorrentes.

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Exemplos

Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.O ponto de interseção é obtido resolvendo o sistema formado pelas equações de (r) e (s).

y = –2x – 3y = 3x + 7

⇒ 3x + 7 = –2x – 3

⇒ 5x = –10

⇒ x = –2

y = 3x + 7

⇒ y = 3.(–2) + 7

⇒ y = 1

O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–2, 1).

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Exemplos

Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.Na figura, podemos visualizar o

problema.

x

y

O

rs

–2

1

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Exemplos

Calcular o parâmetro k, para que sejam paralelas as retas r: x + 2y – 3 = 0 e s: kx – 4y + 2 = 0.Primeiro vamos escrever (r) e (s) na

forma reduzida.r: x + 2y – 3

= 0s: kx – 4y + 2

= 0

⇒ 2y = –x + 3

⇒ 4y = kx + 2

⇒ y = (–1/2)x + 3/2

⇒ y = (k/4)x + 1/2

Retas paralelas, os coeficientes lineares diferentes e as inclinações iguais.

4k

2–1

= ⇒ 2k = –4

⇒ k = –2

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Exemplos

Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1).A figura ilustra o problema.

x

y

O

r s

2

1

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Exemplos

Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1).Primeiro, vamos obter a equação

reduzida de (r).r: 2x – y – 1 = 0

⇒ y = 2x – 1

a = 2

s ∕∕ r ⇒ a inclinação de s a’ = 2.

A equação reduzida de (s) é do tipo y = 2x + b.

1 = 2.2 + b

Fazendo x = 2 e y = 1 na equação y = 2x + b, temos

⇒ 1 = 4 + b

⇒ b = –3

A equação reduzida de s é y = 2x – 3.

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Retas perpendiculares

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Retas perpendiculares

Se duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

No plano cartesiano, uma reta horizontal e uma vertical são perpendiculares.

Quando duas retas não-paralelas aos eixos são perpendiculares entre si, suas inclinações obedecem a uma relação importante.

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Retas perpendiculares

Na figura as retas (r) e (s), não paralelas aos eixos, são perpendiculares entre si.

x

y

O

r

α α’

s

β

tg β = – tg α’tg β =

tg α1

( 1 )( 2 )

tg α = a;tg α’ = a’

= – tg α’

tg α1

1 = – tg α . tg α’

a . a’ = –1

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Retas perpendiculares

Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos:

(r) é perpendicular a (s) ⇔ a . a’ = –1

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Exemplos

Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.

Vamos escrever as equações na forma reduzida.

r: 2x + 3y – 1 = 0

s: 3x – 2y + 5 = 0

⇒ 3y = –2x + 1

⇒ 2y = 3x + 5

a . a’ = –1

⇒ as retas (r) e (s) são perpendiculares.

⇒ y = (–2/3)x + 1/3

⇒ y = (3/2)x + 5/2

.3

–2 23

= –1

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Exemplos

Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.

O ponto de interseção é obtido resolvendo-se o sistema.

2x + 3y – 1 = 03x – 2y + 5 = 0

⇒ y = 1

O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–1, 1).

⇒6x + 9y – 3 =

0–6x + 4y – 10 = 0

x(3)

x(–2)

+

13y – 13 = 0e x =

–1

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Exemplos

Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.

A figura ilustra o problema.

x

y

O

rs

–1

1

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Exemplos

Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.Fazendo x = 0, na equação de (s) (s

intercepta o eixo y).x =

0⇒ 3.0 + y – 2

= 0⇒ y =

2A reta s intercepta o eixo y no ponto

P(0, 2).Vamos obter a inclinação de (r).

s: 3x + y – 2 = 0

⇒ y = –3x + 2

a . a’ = –1

⇒ a = –3

⇒(–3)a . a’ = –1

⇒ a’ = 1/3

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Exemplos

Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.A reta (r) passa por P(0, 2) e tem

inclinação 1/3.

y – yP = a(x – xP)

⇒ y – 2 = 1/3(x – 0)

⇒ y – 2 = 1/3x

x (3)

⇒ 3y – 6 = x

⇒ x – 3y + 6 = 0

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Exemplos

Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.Veja a solução gráfica do problema.

x

y

O

r

s

2

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Distância de umponto a uma reta

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Projeção ortogonal

Dado um ponto P e uma reta r, chama-se projeção ortogonal de P sobre r o ponto Q interseção da reta r com a reta s que passa por P e é perpendicular a r.

P

r

s

Q

Distância do ponto P à reta r.

d = PQ

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Exemplos

Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.

Primeiro obtemos a inclinação de (r) → (r ⊥ s).r: x + y – 2 =

0⇒ y = –x +

2a . a’ =

–1

⇒ a = –1

⇒(–1)a . a’ = –1

⇒ a’ = 1

Equação de s que passa por P(1, 5).

y – yP = a(x – xP)

⇒ y – 5 = 1(x – 1)

⇒ y – 5 = x – 1

⇒ x – y + 4 = 0.

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Exemplos

Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.

Obtendo o ponto Q, projeção de P sobre (r).

x + y – 2 = 0

x – y + 4 = 0

⇒ x = –1

A projeção de P sobre (r) é o ponto Q(–1, 3).

+

2x + 2 = 0

e y = 3

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Exemplos

A distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0 é dado por:

dP,r = PQ PQ = √(xP – xQ)2 + (yP – yQ)2

A partir dos pontos P(1, 5) e Q(–1, 3), obtemos a dP,r.

dP, r = PQ =

√(1 – (–1))2 + (5 – 3)2

= √(2)2 + (2)2

dP, r = PQ =

√8

= 2√2

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Distância de um ponto até uma reta.

Existe uma fórmula muito simples para o cálculo dessa distância.

Se uma reta (r) é dada por uma de suas equações gerais, Ax + By + C = 0, a distância do ponto P(xP, yP) à reta (r) é dado por

d = √A2 +

B2

|AxP + ByP + C|

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Exemplos

Calcular a distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.

d = √A2 +

B2

|AxP + ByP + C|

No caso, xP = 1, yP = 5, A = 1, B = 1 e C = –2.

=√ 12 + 12

|1.1 + 1.5 + (–2)|

=√2

4=

√2 . √2

4√2 =

24√2 =

2√2