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11

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.ufrgs.br/~viali/


ESTATESTATÍÍSTICA DESCRITIVASTICA DESCRITIVA

Organização;

Resumo;

Apresentação.

Conjunto de dados:

Amostra

ou

População


Um conjunto de dados éresumido de acordo com as seguintes características:

Tendência ou posição centralDispersão ou variabilidadeAssimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação


Tendência ou PosiTendência ou Posiçção Centralão Central

(a) As médias

Si

mples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna


A mA méédia Aritmdia Aritméética (tica (mean))

nxxn

1

nx...xxx

ii

n21

∑=∑=

=+++=


A mA méédia Aritmdia Aritméética Ponderadatica Ponderada

∑∑=

=+++

+++=

wwx

wwwwxwxwxm

i

ii

k

kkap

.

.........

21

2211

22


A mA méédia Geomdia Geoméétricatrica

ni

nn21g

x

x ... .x.xm

∏=

==


A mA méédia Geomdia Geoméétrica Ponderadatrica Ponderada

∑=

=∑=

∏w w

w w ... .w.w

i ii

i kkgp

x

xxxm 2211


A mA méédia Harmônicadia Harmônica

∑=

+++=

=+++

=

xxxx

xxx

m

in

n

h

n ...

n

n

...

1111

1111

21

21


A mA méédia Harmônica Ponderadadia Harmônica Ponderada

∑

∑

+

=

=+++

+=

xww

xw

xw

xw

wwwm

i

i

i

k

k

kP

...h

2

2

1

1

21


A mA méédia Quadrdia Quadrááticatica

nx

nx...xxm

2i

2n

22

21

q

∑=

=++

=


A mA méédia Quadrdia Quadráática Ponderadatica Ponderada

∑w∑ xw

=w+...+w+w

xw+...+xw+xw=m

i

2i

k21

2kk

222

21

qpi1

33


A mA méédia Interna (dia Interna (trimmed mean))

É a mesma média aritmética sóque aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) édescartada.


4,84,954 6

1,8351 9

mhmgConjuntos x

Médias

ExemploExemplo


RelaRelaçção entre as mão entre as méédiasdias

Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:

mm hgx ≥≥


2 u2,101,50Pão

5 kg5,524,80Carneqp02p01Produtos

12 lt0,920,80Ceva

------Total

1 l4,945,20Cana

ExemploExemplo


1,000,070,230,120,58

α

--1,401,150,951,15

p(0,t)

2,101,504

5,524,801p02p01Produtos

0,920,803

----Total

4,945,202


114,31%=1,1431 =

=07,0+23,0+12,0+57,0

07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map

Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 14,31%.

44


Média geométrica ponderada dos relativos (aumentos) será:


%90,113=1390,1 = =40,115,195,015,1 =

=40,115,195,015,1=m07,023,012,058,0

1 07,023,012,058,0gp


Média harmônica ponderada dos relativos (aumentos) será:


%48,113=1348,1=

=

40,107,0

+15,123,0

+95,012,0

+15,158,0

1=m h P


Tendência ou PosiTendência ou Posiçção Centralão Central

(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar


Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.


Considere o seguinte conjunto:1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 4 3 5Então: me = x4 = 2

ExemploExemplo


Se o conjunto for:1 -1 0 4 2 5 3 -2

Tem-se: n = 8 (par)

Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50

55


(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).


Considere o conjunto

0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).

ExemploExemplo


Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

Conjunto bimodal



0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.


(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade


h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)


-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7

66


A média é:

155

553021

==+++−−

=x

O dma (average deviation)


-2 -1 0 3 5


Calculando os desvios: xxi −

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4


Como pode ser visto a soma éigual a zero. Tomando o módulo vem:

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

==

=++++−+−+−

=

=∑ −=


Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:

8065

345

164149

542123 22222

22

,

((

ni

)))(

)xx(s

==++++

=

=+++

=

==

+−−−

∑ −

A variância (variance)


ni

nn....

)xx(

)xx()xx()xx(s

∑ −

−−−

=

=+++

=

2

2222 21

A variância de um conjunto de dados será:

xxs ni2 22−= ∑


É a raiz quadrada da variância

xnx

n)xx(s 2

2i

2i −

∑=∑ −=

O Desvio Padrão (standard deviation)

Obs.: A variância e o desvio padrão também podem ser calculados com “n – 1” no denominador, dependendo dos objetivos do estudo.

77


Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:

61,280,6n

)xx(s i2

==∑ −=


g2 = s2 / x 2

g = s / x

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação


O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2xsg ===


Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

.......................................MaiorMenorMenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado

Defeitos em uma linha de produção

88


100500Total5,4027Trincado

11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito

Distribuição de freqüências


SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Apresentação

FREQÜÊNCIAS

Apresentação

Percentual

Decimal

Relativa

Absoluta

Percentual

Decimal


1,000,020,030,050,150,200,250,30fri

10023515202530fri

—20019619018015011060Fi

—100989590755530Fri

200Total4665104303402501600fiValores

Freqüências - Representação


99


14%

20%

19%14%

7%

11%5%

DesenhoEsmalteLascadoMaiorMenorTortoTrincado



Número de irmãos dos alunos da turma D -Probabilidade e Estatística - UFRGS - 2007/01

01032112012234120114655111121314220111540113136110



Distribuição de freqüências por ponto

ou valores da variável: “Número de

irmãos dos alunos da turma D” da

disciplina: Probabilidade e Estatística

UFRGS - 2007/01.


50∑263544538221170

No de alunosNo de irmãos

1010


Diagrama de colunas simples da

variável: Número de irmãos dos alunos

da turma D - Disciplina: Estatística,

UFRGS - 2007/01.


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6



Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ffx.f...x.fxfx ii

k21

kk2211 ∑=++++++

=

(A) A média Aritmética

1111


EXEMPLO

9550∑1226153516441553168221211070

fixifixi


A média será, então:

irmãos 90,15095

nx.f x ii ==∑=


Como n = 50 é par, tem-se:

irmão 1211

2x 26x 25

2x 1(50/2)x 2/50

2x 1(n/2)xn/2

me

=+

=+

=

=++

=++

=

(B) A Mediana


Total de dados n = 50 (par)

—50∑5026483545444153368228211770Fifixi

Metade dos

dados n/2 = 25

EXEMPLO


mo = valor(es) que mais se repete(m)

(C) A Moda


50∑2635445382

21170fixi

A moda A moda éé igual aigual a1 (um)1 (um)

Pois ele se repete mais

vezes

EXEMPLO

1212


h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos

(A) A Amplitude (h)


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

(B) O dma


64,4050∑2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082

21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070

fi|xi - | fixi xEXEMPLO


O dma será, então:

irmãos 29,150

40,64n

|xx|.f dma ii ==−∑=


xnxf

n)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

(C) A Variância (s2)

1313


29950∑62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282

12.21 = 2121102.7 = 070

fixi2fixi

EXEMPLO


A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150

299 xnxfs

2

222i2 i

=

=−=−∑=

EXEMPLO


O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xnxfs 2

2ii

≅=

==−∑=

(D) O Desvio Padrão (s)


Dividindo o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g ==

(E) O Coeficiente de Variação (g)


Idade (em meses) dos alunos da turma

D da disciplina: Probabilidade e

Estatística - UFRGS - 2007/01.

1414


276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234



Distribuição por classes ou intervalos

da variável “idade dos alunos da turma

D” da disciplina: Probabilidade e

Estatística da UFRGS - 2007/01.


50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250

Número de alunosIdades


Histograma de freqüências da variável

“Idade dos alunos da turma D” de

Probabilidade e Estatística da

UCRGS - 2007/01.

1515


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

2 3 0 | - - - 2 50 2 50 |- - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0

fi / hi



Antes de apresentarmos as

medidas, i. é, representantes do

conjunto, é necessário estabelecer uma

notação para alguns elementos da

distribuição.


xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.


Ponto Médio da Classe

—50∑3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi


1616


Média da Distribuição

5035678912fi

∑360340320300280260240xi

142601080170019202100224023402880fi. xi


A média será:

meses 20,28550

14260n

x.f x ii ==∑=


Neste caso, utilizam-se as

freqüências acumuladas para identificar

a classe mediana, i. é, a que contém o(s)

valor(es) central(is).

(B) A Mediana


Total de dados n = 50 (par)

Metade dos dados n/2 = 25

—50∑503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi

EXEMPLO


Portanto, a classe mediana é a

terceira. Assim i = 3. A mediana será

obtida através da seguinte expressão:

EXEMPLO


meses 2808420 270

8

212

50

20702

8

212

50

20702 f

F2n

hli mi

1i

iie

=+=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+=

−

1717


Neste caso é preciso inicialmente

apontar a classe modal, i. é, a de

maior freqüência. Neste exemplo é a

primeira com fi = 12. Assim i = 1.

(C) A Moda


Classe modal, pois

fi = 12.

—7654321i

50∑3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250fixi

EXEMPLO


Portanto a moda poderá ser

obtida através de uma das seguintes

expressões:

EXEMPLO


Critério de King:

meses 250 99.20023

90

9.20302 ff

fhli m1i 1i

1iiio

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

− +

+


Critério de Czuber:

meses 246 16230

924

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m1ii

i

1i

1iiio

=+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=− +

−


1818


h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

(A) A Amplitude (h)


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

(B) O dma


x

5035678912fi

∑360340320300280260240xi

1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,006.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,608.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80

12.|240 – 285,20| = 542,40fi.|xi - |

EXEMPLO


O dma será, então:

meses 32,43 50

60,1621n

|xx|.f dma ii

=

==−∑=


xn

xfn

)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

(C) A variância (s2)


50356789

12fi

∑360340320300280260240xi

4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 608400

12.2402 = 691200 fixi

2

EXEMPLO

1919


A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xnxfs

2

2

22i2 i

=

=−=

=−∑=


O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xnxfs 2

2ii

≅=

==−∑=

(D) O Desvio Padrão (s)

Obs.: O livro texto utiliza “n -1” no cálculo do desvio e da variância.


Dividindo o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiente de variação:

%22,1320,285

695623,37g ==

(E) O Coeficiente de Variação (g)



1. Primeiro coeficiente de Pearson;

2. Segundo coeficiente de Pearson;

3. Coeficiente quartílico;

4. Coeficiente do momento.


Primeiro coeficiente de Pearson

a1 = (média - moda) / desvio padrão

Segundo coeficiente de Pearson

a2 = 3(média - mediana) /desvio padrão

2020


Coeficiente quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σfi(Xi - )3/nX


S1

Coeficiente = 0 (Simétrica)

Coeficiente > 0 (Assimetria positiva)

Coeficiente < 0 (Assimetria negativa)


Coeficiente de curtose [kurtosis]

a4 = 3 ou 0 (Mesocúrtica)

a4 > 3 ou 0 (Leptocúrtica)

a4 < 3 ou 0 (Platicúrtica)

a4 = m4/s4, onde m4 = Σfi(Xi - )4/nX


Teorema de Chebyshev

O teorema de Chebyshev permite verificar qual é o percentual mínimo de valores de um conjunto de dados que deve estar um “certo número” de desvios em torno da média.


Em qualquer conjunto de dados com desvio padrão “s”, pelo menos (1 – 1/k2) dos valores do conjunto devem estar entre “k” desvios em torno da média, onde “k” é um valor tal quek > 1.

2121


Exemplos:Assim pelo menos:

75% dos valores estão dentro de k = 2desvios a partir da média;

89% dos valores estão dentro de k = 3desvios a contar da média;

94% dos valores estão dentro de k = 4desvios a contar da média.


1 - 1/4 = 75%.

S2<X-X

Graficamente:

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