Profª. Mariana Bamberg Amaral

Indaial – 2021

Resistência dos MateRiaisProfª. Mariana Bamberg Amaral

2a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2021

Elaboração:

Profª. Mariana Bamberg Amaral

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

A485r

Amaral, Mariana Bamberg

Resistência dos materiais. / Mariana Bamberg Amaral. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.

168 p.; il.

ISBN 978-65-5663-506-4ISBN Digital 978-65-5663-505-7

1. Resistência de materiais. – Brasil. II. Centro Universitário Leonardo da Vinci.

CDD 620.112

apResentaçãoCaro acadêmico! Convidamos você a conhecer e aprender com o Li-

vro Didático de Resistência dos Materiais, onde conhecerá os principais con-ceitos e fundamentos da mecânica, reações de apoio e carregamentos em um corpo rígido. Estes conceitos são fundamentais para o bom entendimento inicial a respeito do cálculo das estruturas ou cálculo de equipamentos e má-quinas. O livro está dividido em três unidades, abordando no mínimo três tópicos em cada, dividindo didaticamente os conteúdos que serão aborda-dos ao longo do curso. Cada unidade é escrita baseada em grandes obras de Resistência dos Materiais, sendo que além dos conceitos, há dicas de leituras e questões de autoatividade no final de cada tópico. Vamos começar?

Na Unidade 1, você aprenderá os principais conceitos e introdução à Resistência dos Materiais, onde serão apresentados inicialmente conceitos a respeito de esforços mecânicos, tipos de apoios e tipos de carregamentos. Abordando ainda, a tensão resultante em um ponto do corpo (material) cau-sada por carregamentos externos e como esse corpo reage a essas forças (de-formação). Você também vai aprender as Leis de Hooke e Poisson, que estão diretamente interligadas à tensão e deformação. Ao final da Unidade 1, você terá adquirido os conhecimentos básicos das propriedades mecânicas, para utilização em análises e projetos de máquinas e estruturas, através de concei-tos e resoluções de questões de autoatividade.

Na Unidade 2, você compreenderá mais sobre as forças axiais atuantes num corpo rígido e a realizar o diagrama de esforço normal axial de uma estru-tura. Vamos estudar também os elementos de uma ponte de treliça e de torres de transmissão determinando cada elemento de sua estrutura. E por fim, abordare-mos a respeito do cisalhamento, que é quando a magnitude do esforço normal, momento fletor e torçor, são desprezíveis em relação ao esforço cortante.

Na Unidade 3 serão abordados os assuntos de transformação de ten-são, envolvendo o Círculo de Mohr que é uma forma gráfica de resolver um estado de tensões. Você também vai aprender a respeito do giro de uma barra reta carregada por momentos, chamada de torção de um elemento e a deformação em que esse momento torçor pode resultar. Por fim, será apre-sentado o estudo de flexão, que é um esforço físico aplicado no meio de uma viga, onde causa deformação perpendicular ao seu eixo.

Ao final deste livro didático, nós esperamos que você seja capaz de iden-tificar e compreender os esforços atuantes sobre uma estrutura, calcular seu carre-gamento resultante e as reações dos apoios que estão submetidos. Bons estudos!

Profª. Mariana Bamberg Amaral

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-dades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-to em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

NOTA

Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um novo conhecimento.

Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.

Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.

Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!

LEMBRETE

suMáRio

UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ................................ 1

TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS .......................................... 31 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 32 FUNDAMENTOS DA MECÂNICA ................................................................................................ 3

2.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADAS ..................................................................................................... 42.1.1 Quanto aos materiais ............................................................................................................. 42.1.2 Quanto à geometria dos elementos estruturais ................................................................. 52.1.3 Quanto aos carregamentos ................................................................................................... 72.1.4 Quanto aos vínculos .............................................................................................................. 82.1.5 Estaticidade e estabilidade ................................................................................................. 10

2.2 ESFORÇOS INTERNOS E RESULTANTES – MÉTODO DAS SEÇÕES ............................... 14RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 18AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 19

TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO ..................................................................................... 231 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 232 TENSÃO .............................................................................................................................................. 233 DEFORMAÇÕES ............................................................................................................................... 27

3.1 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (Ε) ............................................................ 273.2 DEFORMAÇÃO TANGENCIAL ................................................................................................ 28

4 LEI DE HOOKE .................................................................................................................................. 285 LEI DE POISSON............................................................................................................................... 306 LEI DE HOOKE GENERALIZADA ............................................................................................... 31

6.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA ............................................ 33RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 36AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 37

TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS....................................... 411 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 412 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO .................................................................................. 413 ENSAIO DE TRAÇÃO ...................................................................................................................... 434 ENSAIO DE COMPRESSÃO .......................................................................................................... 455 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E PLÁSTICO DOS MATERIAIS ...................................... 46LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 51RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 53AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 54

REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 58

UNIDADE 2 — FORÇAS AXIAIS, TRELIÇAS E CISALHAMENTO DOS MATERIAIS ..... 61

TÓPICO 1 — ESFORÇO NORMAL AXIAL .................................................................................... 631 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 63

2 FORÇAS INTERNAS E FORÇAS AXIAIS ................................................................................... 633 PRINCÍPIO DE SAINT VENANT .................................................................................................. 654 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES ................................................................................. 66RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 70AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 71

TÓPICO 2 — TRELIÇAS ..................................................................................................................... 751 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 752 INTRODUZINDO AS TRELIÇAS ................................................................................................. 753 ESTATICIDADE ................................................................................................................................. 764 MÉTODO DOS NÓS ........................................................................................................................ 78RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 84AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 85

TÓPICO 3 — CISALHAMENTO ....................................................................................................... 891 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 892 CISALHAMENTO CONVENCIONAL ......................................................................................... 893 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES ............................................................................................... 904 TENSÃO DE ESMAGAMENTO .................................................................................................... 935 RUPTURA POR TRAÇÃO NAS PLACAS ................................................................................... 97LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 99RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 101AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 102

REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 105

UNIDADE 3 — ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO ................................ 107

TÓPICO 1 — TORÇÃO ..................................................................................................................... 1091 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1092 ESFORÇO DE TORÇÃO ............................................................................................................... 1093 DIAGRAMA MOMENTO TORÇOR .......................................................................................... 1104 TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM EIXO CIRCULAR ............................................................. 1145 ÂNGULO DE TORÇÃO ................................................................................................................ 1176 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA ................................................................................................. 119RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 121AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 122

TÓPICO 2 — FLEXÃO ....................................................................................................................... 1251 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1252 ESFORÇO DE FLEXÃO .................................................................................................................. 1253 DIAGRAMAS DE FORÇA NORMAL, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTOS ............ 1264 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR ............... 1295 TENSÃO DE FLEXÃO .................................................................................................................... 134RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 141AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 142

TÓPICO 3 — TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ................................ 1451 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1452 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES ........................................................................................... 1453 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO NO PLANO ....... 150

4 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DAS TENSÕES ................................................... 1525 TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ................................................................................ 1556 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES ........................................ 158LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 161RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 163AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 164

REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 167

1

UNIDADE 1 —

FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• entender os fundamentos da mecânica em relação ao tipo de ma-terial, diferentes geometrias, carregamentos e vínculos;

• compreender o método das seções e como encontramos os esfor-ços internos resultantes de um corpo rígido sujeito a uma força;

• calcular a tensão e deformação de um corpo rígido;

• compreender o diagrama de tensão X deformação de um corpo e o seu comportamento em relação ao estado elástico e plástico.

PLANO DE ESTUDOS

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

TÓPICO 2 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO

TÓPICO 3 – PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS

Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.

CHAMADA

2

3

TÓPICO 1 — UNIDADE 1

INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico, nós vamos aprender os fundamentos iniciais da mecânica e com eles, as forças que atuam em um corpo rígido, a característica dos materiais, os tipos de carregamento e os tipos de vínculos. Ainda falaremos sobre estatici-dade e estabilidade, conhecendo as condições de equilíbrio de um corpo rígido e os três graus de estaticidade em que são divididos.

Para finalizar estudaremos o método das seções, em que serão calculadas as tensões e reações de um corpo rígido, quando ele está sujeito a um conjunto de forças em equilíbrio. O corpo é separado em uma seção para que, através dela seja possível decompor dois componentes e obter forças e momentos perpendiculares a ela (esforços simples ou esforços internos resultantes).

Bons estudos!

2 FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

O estudo dos fundamentos da mecânica dos sólidos abrange a combinação entre diversas forças que atuam em um corpo rígido considerando os efeitos inter-nos e baseando-se no equilíbrio estático. Este equilíbrio estático é a determinação das reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a definição das solicitações (equilíbrio interno). Em outras palavras, sempre que você aplicar uma força sobre um corpo sólido, ele vai responder de forma a equilibrar esta força, gerando uma reação contrária, assim como Newton já nos ensinou na sua lei da “ação e reação”.

Na mecânica, há o estudo dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e

dos fluidos. Nós vamos nos concentrar no estudo dos corpos rígidos, em que há uma subdivisão: estática, cinemática e dinâmica.

Para compreender melhor este equilíbrio, a Resistência dos Materiais for-nece uma explicação satisfatória do comportamento dos sólidos entre as solicita-ções externas e os efeitos causados em seu interior, abordando ainda as deforma-ções resultantes neste meio, por menores que sejam elas.

UNIDADE 1 — FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

4

A compreensão dos conceitos abordados na mecânica dos sólidos está di-retamente ligada às grandezas físicas de tensão e deformação, grandezas funda-mentais para realizar o cálculo de uma estrutura.

2.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADAS

Segundo Hallack et al. (2012) para avaliar um cálculo estrutural e tornar a aná-lise dos problemas praticável e viável, foram criados hipóteses e esquemas de cálculos que simplificassem sua compreensão. Estas hipóteses simplificadas são definidas:

• Quanto aos materiais;• Quanto à geometria dos elementos estruturais;• Quanto ao carregamento;• Quanto aos vínculos.

2.1.1 Quanto aos materiais

Quanto aos materiais são aplicadas hipóteses em que suas características sejam: contínua, homogênea, isótropos e elásticos. Isto nos permite utilizar técnicas elementares de cálculos infinitesimal para solucionar os problemas estruturais.

Em relação à continuidade do material leva-se em conta materiais com ausência de imperfeições e bolhas, para materiais homogêneos utiliza-se iguais propriedades em todos os pontos e quando se fala em materiais isótropos con-sidera-se que o material tenha características e propriedades iguais em todas as direções. Por fim, emprega-se ainda o conceito de que estes materiais sejam elás-ticos, ou seja, que sofrem deformações proporcionais ao esforço que estão sendo submetidos e quando estes são cessados, voltam a sua forma inicial. Entretanto, materiais como concreto, madeira e granito, tem características diferentes, sendo materiais heterogêneos e anisotrópicos. Estes requerem cálculos com maior cau-tela, pois chegariam a resultados aproximados e não exatos.

Pode-se observar na Figura 1 as diferentes propriedades heterogêneas e anisotrópicas dos materiais de concreto e madeira, onde ambos contêm imperfei-ções no seu interior.

TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

5

FIGURA 1 – PROPRIEDADES HETEROGÊNEAS EM MATERIAIS DISTINTOS. (A) CORPO DE PROVA CILÍNDRICO DE CONCRETO APRESENTANDO AS DIFERENTES PROPRIEDADES E CARACTERÍS-

TICAS DO MATERIAL E (B) MATERIAL EM MADEIRA COM DIFERENTES PROPRIEDADES

(a) (b)

FONTE: (a) <https://bit.ly/3mwBN4d>. (b) <https://bit.ly/3mvUghf>. Acesso em: 15 out. 2020.

Na imagem acima no item (a) pode-se verificar um corpo de prova em concreto, cortado ao meio, onde as características e propriedades heterogêneas deste material ficam visíveis, sendo possível identificar a presença de brita em seu interior e de bolhas de ar. Já o item da figura (b) apresenta um pedaço de madeira, também com características e propriedades heterogêneas, onde em seu interior é possível verificar uma grande variabilidade na textura e cor.

2.1.2 Quanto à geometria dos elementos estruturais

• Blocos: Materiais com dimensões principais iguais, ou seja, mesma ordem de grandeza (a=b=c). Na Figura 2, pode-se observar este material de mesmas di-mensões no item (a) e no item (b) temos um exemplo prático de elemento estrutural de bloco de fundação.


6

FIGURA 2 – MATERIAL COM MESMA ORDEM DE GRANDEZA EM SUAS DIMENSÕES. (A) GEOME-TRIA DE UM BLOCO E (B) ELEMENTO ESTRUTURAL DE BLOCO EM FUNDAÇÃO

FONTE: (a) <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020; (b) <https://bit.ly/2PEtmrP>. Acesso em: 20 out. 2020.

(a) (b)

• Folhas: Elementos que tenham uma das dimensões (espessura) de menor ta-manho (e<<a=b) e são denominadas de placas e chapas, além de poder en-contrar as “placas” curvas que são denominadas de cascas, como pode ser verificado na Figura 3. Já a Figura 4 apresenta situações reais de elementos estruturais onde se aplicam estas geometrias.

FIGURA 3 – ELEMENTOS COM ESPESSURAS DIFERENTES: PLACAS, CHAPAS E PLACAS EM FOR-MATO DE CURVA

FONTE: <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020.


7

FIGURA 4 – EXEMPLOS REAIS DE APLICAÇÃO DAS PLACAS E CHAPAS. (A) LAJES MACIÇAS; E (B) NAVIO

(a) (b)

FONTE: <https://bit.ly/2Q6ilzl>. Acesso em: 22 out. 2020; (b) <https://bit.ly/31XT0ds>. Acesso em: 30 out. 2020.

• Barras: elementos estruturais onde duas das dimensões (largura e altura) são muito menores que a terceira (comprimento). Como se pode visualizar na Fi-gura 5 do item (a) estes elementos são retas (vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos), já no item (b) apresenta-se um exemplo de aplicação do tipo barra e viga em um projeto estrutural de um edifício.

FIGURA 5 – ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM BARRAS. (A) BARRA RETA, VIGA E ARCO; (B) PROJE-TO ESTRUTURAL DE UM EDIFÍCIO

(a) (b)

FONTE: <https://bit.ly/3uz89OK>. Acesso em: 10 out. 2020.

2.1.3 Quanto aos carregamentos

Os carregamentos encontrados em uma estrutura, nada mais são que as forças solicitantes. O conceito de forças é estudado em Mecânica0, que são os pesos próprios dos elementos estruturais (sentido vertical para baixo), como por exem-plo, o peso próprio de uma viga ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.

Estas forças podem ser concentradas ou distribuídas, e serão detalhadas a seguir:


8

• Forças concentradas: são forças que se concentram em uma pequena extensão (Figura 6), comparadas a dimensão do elemento que recebe o carregamento. Este conceito é mais abstrato, sendo que se um material recebesse uma força pontual, provavelmente ocorreria um rompimento neste ponto da estrutura.

FIGURA 6 – FORÇAS CONCENTRADAS

FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 479)

• Forças distribuídas: são forças que atuam ao longo de um trecho (Figura 7), como em barragens, comportas, tanques, entre outros. Podem ser em volu-mes (como a ação gravitacional, como as forças de inércia nos corpos acelera-dos), em superfícies (como a ação de esforços sobre placas, a ação da pressão de fluidos, Equação 1) e em linha (como a ação ao longo de vigas, Equação 2).

FIGURA 7 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS


(Eq. 1)p = dF/dA

(Eq. 2)q = dF/dx

2.1.4 Quanto aos vínculos

São estabelecidos três vínculos distintos de apoio em uma estrutura, para diferenciá-los são utilizados símbolos que representam cada apoio e o tipo de reação que exerce sobre o elemento que está em seu contato.

Tipos de apoios:

• Apoio Simples ou Móvel: resulta na reação de uma força perpendicular à su-perfície de um ponto de contato, onde possui apenas uma incógnita. É capaz de impedir o movimento do ponto do corpo numa direção pré-determinada.


9

• Apoio Duplo ou Articulado: resulta na reação de dois componentes de uma força paralela e perpendicular à superfície de um ponto de contato, onde pos-sui duas incógnitas. É capaz de impedir qualquer movimento do ponto do corpo em todas as direções.

• Apoio Fixo ou engaste: resulta na reação de dois componentes de uma força paralela e perpendicular à superfície de um ponto de contato e um momento, onde possui três incógnitas. É capaz de impedir qualquer movimento do pon-to do corpo em todas as direções, além do movimento de rotação do corpo em relação a esse corpo.

Estes apoios e suas forças resultantes estão identificados na Figura 8.

FIGURA 8 – TIPOS DE APOIO

FONTE: Adaptado de Hibbeler (2004, p. 3)

Na Figura 9 apresentam-se exemplos aplicados em situações reais de cada apoio comentado acima.


10

FIGURA 9 – TIPOS DE APOIOS: (A) APOIO SIMPLES, (B) APOIO DUPLO E (C) APOIO FIXO

(a) (b) (c)

FONTE: <https://bit.ly/3uIr49D>. Acesso em: 15 nov. 2020; (b) e (c) Rodrigues (2013)

No item (a) da imagem acima o apoio simples utilizado impede o movimento do corpo em apenas uma dimensão, este exemplo é encontrado em algumas pontes. No item (b) já se limita o movimento do corpo em duas dimensões e estes apoios são vistos principalmente em pontes estaiadas. Por fim, o item c é utilizado quando pre-cisa impedir o movimento do corpo, estes são encontrados especialmente em vigas e pilares de um edifício ou de uma estrutura metálica conforme apresentado na figura.

2.1.5 Estaticidade e estabilidade

Para falarmos sobre estaticidade e estabilidade você precisa antes conhe-cer as condições de equilíbrio de um corpo, que são condições que garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da estrutura como um todo, ou seja, quando o corpo não possui movimento. Desta forma, para que o corpo não tenha movimento, em todos os seus pontos, a resultante dos esforços deve ser nula, isto é, a resultante das forças e a resultante dos momentos sejam iguais a zero. Conforme apresentado nas Equações 3 e 4:

(Eq. 3)∑ F = 0

(Eq. 4)∑ M = 0

O ∑ F é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo e o ∑ M é a soma dos momentos deste corpo ou até mesmo fora dele, em um ponto qualquer.

Compreendendo o conceito de estaticidade e as reações de apoio que atu-am sobre em um corpo, você pode classificar as estruturas segundo o grau de estaticidade, que está dividido em três tipos:

• Estruturas Isostáticas

Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação de equilí-brio estável, como é apresentada na Figura 10, onde se encontram três incógnitas para cada uma das situações, VA, VB e HR ou VC, HC e MC.


11

FIGURA 10 – EXEMPLO DE ESTRUTURA ISOSTÁTICA

FONTE: Rodrigues (2013, s.p.)

Número de reações = Número de equações de equilíbrio

Equações de equilíbrio de acordo com a figura acima:

Exemplo 1

Para a viga AB temos a reação em A que é a força VA e as reações em B que são as for-ças VB e HB. Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, em Fy e em MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações da seguinte forma:Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:

∑ FX = 0 HR = 0 Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:∑ FY = 0 VA + VB = 0

Como em Fy temos duas incógnitas, utilizamos o somatório dos momentos em A ou em B (neste caso utilizou-se em A) para encontrar uma das incógnitas acima e poder encontrar o valor em ambas equações.

∑ MA = 0 + VB . x = 0

Desta forma, pode-se identificar as três reações de apoio e três equações de equi-líbrio, identificando uma estrutura isostática conforme descrito anteriormente.

Exemplo 2

Para o exemplo 2 foi analisado da mesma forma que o exemplo 1, apenas alterando o tipo de apoio da viga, ou seja, avaliando uma viga engastada, onde as três in-cógnitas estão no engaste da estrutura. Desta forma, serão avaliadas as reações de apoio no ponto C em relação as equações de equilíbrio em Fx, em Fy e em MC.

Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:

∑ FX = 0HC = 0


12

Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:

∑ FY = 0VC = 0

Em MC realiza-se o somatório dos momentos atuantes no ponto C, ou seja:

∑ MC = 0- MC = 0

Desta forma, pode-se identificar, como no exemplo 1, as três reações de apoio e as três equações de equilíbrio, identificando uma estrutura isostática conforme descrito anteriormente.

• Estruturas hipostáticas

Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação indesejável de equilíbrio instável, como é apresentada na Figura 11 as incógnitas são duas, VA e VB ou VC e HC. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais.

FIGURA 11 – EXEMPLO DE ESTRUTURA HIPOSTÁTICA



Exemplo 1

Para a viga AB temos a reação em A que é a força VA e a reação em B que são as for-ças VB e HB. Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, em Fy e em MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações da seguinte forma:Em Fx não tem nenhuma força atuante no eixo x. Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:

∑ FY = 0 VA + VB = 0

Como em Fy temos duas incógnitas, utilizamos o somatório dos momentos em A ou em B (neste caso utilizou-se em A) para encontrar uma das incógnitas acima e poder encontrar o valor na equação do somatório de Fy.


13

∑ MA = 0+ VB . x = 0

Desta forma, pode-se identificar a duas reações de apoio e três equações de equi-líbrio, identificando uma estrutura hipostática conforme descrito anteriormente.

Exemplo 2

Neste segundo exemplo, temos uma viga com apoio duplo, com duas reações de apoio no ponto C, HC e VC. Estes são calculados conforme descrito a seguir.Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:

∑ FX = 0HC = 0Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:∑ FY = 0VC = 0

Desta forma, pode-se identificar a duas reações de apoio e três equações de equi-líbrio, identificando uma estrutura hipostática conforme descrito anteriormente.

• Estruturas hiperestáticas

Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é superior ao número de equações de equilíbrio estático, ocorrendo uma situação indesejável de equilíbrio estável. Nesse caso, as equações da Estática não são suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações, conforme apresentado na Figura 12 onde as incógnitas são quatro, VA, VB, HA e HB ou HC, VC, MC e HD.

FIGURA 12 – EXEMPLO DE ESTRUTURA HIPERESTÁTICA



Exemplo 1

Nesta situação, temos mais incógnitas do que equações de equilíbrio, onde na viga AB temos apoio duplo nos pontos A e B resultando em quatro reações de apoio. Como já vimos anteriormente, as equações de equilíbrio são três, em Fx, em Fy e em


14

MA ou MB. Desta forma, pode-se calcular as equações conforme descrito a seguir.Em Fx realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo x, ou seja:

∑ FX = 0 HA + HB = 0

Em Fy realiza-se o somatório das forças atuantes no eixo y, ou seja:

∑ FY = 0 VA + VB = 0

Desta forma, temos mais incógnitas do que equações de equilíbrio, identificando a estrutura como estrutura hiperestática.

2.2 ESFORÇOS INTERNOS E RESULTANTES – MÉTODO DAS SEÇÕES

De acordo com Hibbeler (2004), os esforços internos solicitantes são os que atuam no corpo de uma estrutura no seu ponto interno. A melhor forma de você compreender as forças atuantes de um corpo é desenhar o diagrama de cor-po livre conforme a Figura 13.

FIGURA 13 – SEÇÃO DE UM CORPO

FONTE: Adaptado de Hibbeler (2004, p. 4)

Ainda, a aplicação da estática na análise dos problemas de resistência dos materiais, é de suma importância para determinar a força resultante e o momento que atuam no interior de um corpo, para que este se mantenha unido quando o mesmo estiver submetido a forças externas. Para realizar esse cálculo devemos utilizar o método das seções, onde requer que seja realizado uma seção na região interna do corpo onde as cargas internas devem ser determinadas.


15

Você vai perceber que o termo “momento” será bastante utilizado em todo estudo da Resistência dos materiais. O termo “momento” sempre vai se referir à reação resultante de uma força multiplicada pela distância até o ponto de apoio ou reação. Pode ser momento fletor ou momento torçor, dependendo das condições do carregamento.

IMPORTANTE

Considerando que o corpo rígido da figura acima está submetido a um conjunto de forças em equilíbrio, seccionamos o corpo por um plano P que o intercepta por uma seção S e dividimos a seção em duas partes, por exemplo, ponto D e E. Desta forma, as duas partes do corpo estão separadas e o diagrama do corpo livre é apresentado (Figura 14).

FIGURA 14 – DIAGRAMA DO CORPO LIVRE

FONTE: Hibbeler (2004, p. 4)

Nesta área exposta da seção, pode-se verificar a presença de uma distribuição de força interna atuando para a área externa, isso nada mais é, do que os materiais da parte superior do corpo, atuando sobre o material adjacente da parte inferior.

Para ser possível essa divisão, preservando o equilíbrio das duas partes, de-ve-se aplicar na seção S da parte E um sistema estático equivalente ao das forças que ficaram na parte da direita, e da mesma forma, para a parte D, um sistema estático equivalente ao das forças na parte da esquerda. Para obter os esquemas estáticos equi-valentes, reduz-se as forças a esquerda e a direita da seção S, até o centroide da seção.

Desta forma, a resultante FR da parte esquerda é obtida pelas forças da direita e vice-versa e o mesmo acontece para o momento MR (Figura 15), ou seja, a seção de um corpo que está em equilíbrio é submetida a uma parte de forças FR e (-FR ) e a um par de momentos MR e (-MR) aplicados no seu centro de gravidade e resultantes da redução, a este centro de gravidade, das forças atuantes, respec-tivamente, à esquerda e à direita da seção S.


16

FIGURA 15 – FORÇA RESULTANTE E MOMENTO


Decompondo as forças FR e MR no ponto 0 em duas componentes, uma perpendicular à seção S e outra no próprio plano da seção S, obtemos as forças N (força normal) e V (força de cisalhamento) e os momentos M (momento fletor) e T (momento de torção), conforme pode ser visualizado na Figura 16. Estas resul-tantes são chamadas de esforços simples ou esforços internos resultantes.

FIGURA 16 – DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS


Estas forças e momentos são separados em quatro cargas resultantes, que serão descritos nos itens a seguir.

Esforço Normal (N): Força que atua perpendicular ao plano da seção, ou seja, promove separa-

ção das seções, permanecendo paralelas uma a outra. Em relação ao sinal, o esforço normalmente será positivo quando a força for de tração (quando separa duas se-ções) e negativo quando a força for de compressão (quando aproxima duas seções).


17

Força de cisalhamento – esforço cortante (V):Força que está contida no plano da seção, ou seja, tende de realizar o mo-

vimento de deslizamento entre uma seção e outra.Neste caso, o sinal será positivo quando calculado pelo lado esquerdo

da seção tendo o sentido positivo do eixo Y e para o lado direito da seção tiver o sentido oposto da seção do eixo.

Momento fletor (M):Tende a realizar uma rotação na seção de um eixo no seu próprio plano,

ou seja, momento contido em um plano perpendicular ao plano de ação.

Momento torçor (T):Momento contido no plano de ação, ou seja, promove uma rotação entre

duas seções próximas em um eixo perpendicular a elas.

Para melhor compreensão dos sinais para cada uma das situações descri-tas acima, é apresentada Figura 17.

FIGURA 17 – CONDIÇÕES DE SINAIS PARA CADA SITUAÇÃO DAS CARGAS RESULTANTES

FONTE: Morilla (2012, p. 20)

Sugestão para leitura adicional são os Capítulos 1, 2 e 3 da Apostila de Resis-tência dos Materiais. Disponível para download no link: https://bit.ly/3mEaTHC.

DICAS

18

Neste tópico, você aprendeu que:

RESUMO DO TÓPICO 1

• Os fundamentos da mecânica, em que se encontra a resistência dos materiais, que é o estudo da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja, relação entre as so-licitações externas dos materiais e os efeitos provocados no interior dos sólidos.

• A influência das características dos materiais quando estão submetidos a al-gum esforço externo, sendo que tanto o tipo, quanto a geometria e as vincula-ções são importantes na análise final, utilizando, assim, hipóteses simplifica-das que permitem com que as análises dos problemas sejam praticáveis.

• O conceito de estaticidade e as reações de apoio que atuam sobre em um cor-po, podendo classificar as estruturas segundo o grau de estaticidade.

• O método das seções para calcular as tensões e reações, em que um corpo rígido é submetido a um conjunto de forças em equilíbrio e através da divisão do corpo em duas partes (preservando o equilíbrio entre elas). Desta forma, você decompõe as duas componentes resultantes da divisão das partes, ob-tendo forças e momentos perpendiculares e pertencentes da seção, que são chamados de esforços simples ou esforços internos resultantes.

19

1 A figura a seguir representa uma viga carregada:

AUTOATIVIDADE

PÓRTICO

FONTE: <https://bit.ly/3uN4vB1>.

É correto afirmar que o momento fletor máximo será:

a) ( ) No ponto B.b) ( ) A ¼ da distância entre A e B mais próximo do ponto B.c) ( ) Na metade da distância entre A e B.d) ( ) A ¼ da distância entre A e B mais próximo do ponto A.e) ( ) No ponto A.

2 Como é classificada uma estrutura segundo o grau de estaticidade e quan-tos tipos está dividida?

3 Determine os esforços solicitantes internos no ponto C da seção transversal da viga, conforme figura a seguir.

VIGA COM CARREGAMENTOS COM UMA SEÇÃO


20

4 Determinar os esforços solicitantes internos nos pontos C e D da seção transversal da viga, conforme a figura a seguir. Considerar no ponto B um apoio de rolete.

VIGA COM CARREGAMENTOS E DUAS SEÇÕES


5 Determinar os esforços solicitantes internos nos pontos C e D da seção transversal da viga, conforme a figura a seguir.

VIGA COM CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDO E DUAS SEÇÕES


6 A viga da figura a seguir tem peso uniforme de 80 N/m e se encontra presa na parede, considerando que a viga suporte um peso de 1.500 N/m, quais os esforços internos resultantes que atuam nos pontos da seção transversal C e D.

21

VIGA COM CARREGAMENTOS DE SUPORTE COM PESO DE 1500 N E DUAS SEÇÕES


7 Uma viga engastada de seção DF tem uma carga na região de EF, sendo que a distribuição da carga sobre essa viga DF está representada na figura a seguir, sabendo ainda, que uma pessoa exerce uma força inclinada de 100 kN no ponto F da viga e que os esforços cortantes encontrados nos pontos D, E, e F são:

VD = 30 kNVE = 30 kNVF = - 50 kN

Descubra qual o valor do parâmetro C.

VIGA ENGASTADA

FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 8 nov. 2020.

8 Considere a viga de esforço cortante na figura a seguir e calcule a força P, o momento fletor M e o carregamento distribuído q. Além de determinar as reações nos pontos E e G.

22

VIGA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO


23


TENSÃO E DEFORMAÇÃO

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico, você vai aprender as relações existentes entre as forças apli-cadas sobre um corpo e a maneira como ele se deforma. De certa maneira po-demos dizer que todos os corpos rígidos sofrem deformação quando aplicada alguma força sobre eles, porém, muitas vezes, esta deformação é tão pequena que não conseguimos perceber e nem medir.

Você também será apresentado a Robert Hooke e Poisson, dois cientis-tas matemáticos e físicos experimentais que contribuíram muito para o enten-dimento das propriedades dos materiais sólidos que utilizamos no nosso dia a dia. Hooke era inglês e desenvolveu uma equação que relaciona a carga aplica-da sobre um sólido e a sua deformação proporcional. Mais tarde, o Poisson, um francês, complementou os estudos de Hooke, concluindo que as deformações são compensadas nos eixos axiais dos sólidos. Assim, como você já deve ter estudado as leis de Newton, agora você vai poder estudar também as leis de Hooke e de Poisson, que serão apresentadas nesta unidade.

2 TENSÃO

Tensão é uma grandeza vetorial, definida como a resistência interna de um corpo qualquer, onde uma força externa é aplicada por uma unidade de área, ou simplesmente, uma força aplicada por unidade de área da seção de um corpo.

Para que possamos estudar a tensão de um ponto no interior do corpo, passamos uma seção quadrada pelo ponto intermédio de um plano paralelo xy.

No momento em que se realiza o corte na seção do corpo, considera-se que a seção desta área está subdividida em várias áreas menores. Ao selecionar uma destas áreas, pode-se notar uma força ∆F atuando sobre ela que está associada a uma área ∆A. Esta força tem uma única direção, mas conforme aprendemos até aqui, vamos substi-tuí-la por três componentes (normal e tangencial), que igual ao ∆A tendem a 0 (zero).

A relação entre força e área é chamada de tensão e a sua divisão tende a um elemento finito, conforme equações a seguir:

, e (Eq. 5)

24


Pode-se definir a tensão em dois tipos: Tensão Normal e Tensão Tangencial.

Tensão Normal σ (sigma): quando a direção da força é perpendicular à área, ou seja, quando a força empurra o elemento da área é chamada de tensão de tração, já ao contrário, quando a força puxa o elemento da área é chamada de tensão de compressão. Equação para determinar a tensão normal:

(Eq. 6)

σ = N/mm²/MPaF = N/kNA = mm²/m²

1 Determine a tensão normal de uma barra de seção circular que está tracionada por uma força de carga normal de 36 kN, conforme a figura a seguir. Sua seção tem 50 mm de diâmetro.

AUTOATIVIDADE

BARRA TRACIONADA

FONTE: Dutra (2015, p. 19)

Força normal F = 36000 NCálculo da área da seção circular A = π.r² = 3,1415 . (25 mm) ² = 1963,5 mm²

Tensão normal:

TÓPICO 2 — TENSÃO E DEFORMAÇÃO

25

Tensão Tangencial τ (tau): quando a direção da força é contida na área. Quando a intensidade da força por unidade de área atuar na tangente é chamada de tensão de cisalhamento.

(Eq. 7)

τ = N/mm² = MPaF = N ou kNA = mm² ou m²

1 Na figura a seguir apresenta-se uma barra com seção transversal quadrada de 40 mm de profundidade e largura. Nela é aplicada uma força axial de 800 N no centroide de seu eixo. Determine a tensão média e a tensão de cisalha-mento média que atuam sobre o material na seção a-a e também na seção b-b.

AUTOATIVIDADE

BARRA COM SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA


Seção a-a:

A barra está seccionada e a carga interna dela é a força axial P = 800 N

Calculando assim a tensão média:

26


DISTRIBUIÇÃO DA SEÇÃO MÉDIA TRANSVERSAL NA BARRA


Seção b-b:

Caso a barra será seccionada na área b-b o diagrama do corpo livre é igual ao apresentado na imagem acima, sendo assim as duas forças N e V, normal e cisalhamento, respectivamente, atuarão sobre a área seccionada.

Visto que a força de cisalhamento é nula, o cálculo da tensão de cisalhamento resulta em zero, conforme a seguir:

τ = 0

Mostra-se na a seguir a distribuição da seção média transversal na barra.

Desta forma a área seccionada tem largura e comprimento de 40 mm e de 40 mm / sem 60º = 46,19 mm.

Calculando assim a tensão média:

Primeiro calcula-se as forças resultantes em x e y:

∑Fx = 0; - 800 N + N sen 60º + V cos 60º = 0∑Fy = 0; V sen 60º - N cos 60º = 0

Ou utilizando x’ e y’:

∑Fx = 0; N – 800 N cos 30º = 0∑Fy = 0; V – 800 N sen 30º = 0

Resultando em:

N = 692,8 NV = 400 N


27

DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO


E a tensão de cisalhamento média:

Enfim, a figura a seguir mostra a distribuição da tensão.

3 DEFORMAÇÕES

Deformação é definida como modificação da forma ou tamanho de um corpo quando nele é aplicado uma força. Estas forças podem ser percebidas atra-vés de equipamentos que medem deformações dos materiais ou são imperceptí-veis sem a utilização destes meios.

A deformação pode ser tanto longitudinal quanto tangencia, que serão abordados nos itens a seguir.

3.1 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (Ε)

Deformações normais provocam mudança de volume na estrutura. Esta mudança de volume provoca uma deformação por unidade de comprimento, como exemplo, uma barra com um comprimento L sujeita a uma força axial F.

Com a aplicação da carga, a barra provoca o alongamento ou encurtamento dela, que é definido pelo sinal resultante da equação, onde para encontrar o ∆L resultante, utiliza-se a seguinte equação:

(Eq. 8)∆L = LF – L

28


Desta forma, pode-se definir a deformação específica longitudinal como a razão entre a deformação total ∆L (alongamento ou encurtamento) sofrido pela barra e o comprimento inicial dela, que é medido na direção da deformação. Temos assim a equação a seguir:

(Eq. 9)

3.2 DEFORMAÇÃO TANGENCIAL

As deformações por cisalhamento ou tangenciais provocam mudanças no for-mato da estrutura. Ao contrário da deformação longitudinal, a transversal não altera o comprimento do material mas resulta numa variação na sua forma (FIGURA 18).

FIGURA 18 – VARIAÇÃO NA FORMA DA ESTRUTURA


Desta forma, quando sujeito a tensões tangenciais, ocorre uma distorção nas faces elemento envolvendo variações desprezíveis de volume. Com isso, a distorção específica pode ser definida como o deslocamento produzido e o comprimento res-pectivo, medido na direção normal a este deslocamento, conforme equação a seguir:

(Eq. 10)

4 LEI DE HOOKE

A Lei de Hooke foi criada em 1676 pelo cientista inglês Sr. Robert Hooke, que através de um experimento com molas, descobriu que o aumento da tensão causa um aumento na deformação proporcionalmente, até certos limites. Mate-maticamente essa Lei é expressa pela equação abaixo:

(Eq. 11)


29

Na equação acima, consta o item E que representa o módulo de elasticidade ou módulo de Young. Thomas Young em 1807 introduziu a expressão matemática da Lei de Hooke E, sendo uma constante de proporcionalidade a qual nomeou de módulo de Young e que mais tarde ficou mais conhecida como módulo de elasticidade (E).

O módulo de elasticidade indica quanto um material resiste à deformação, ou seja, a sua rigidez. Pode-se expressar a Lei de Hooke em duas equações:

Módulo de elasticidade longitudinal:

(Eq. 12)

Módulo de elasticidade transversal:

(Eq. 13)

1 De acordo com o gráfico de tensão-deformação de uma liga de aço (figura a seguir), que foi obtido através do ensaio de tração, calcule o módulo de elasticidade.

AUTOATIVIDADE

GRÁFICO DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE UMA LIGA DE AÇO


30


Pode-se perceber através do gráfico que uma reta se estende do ponto O ao ponto A, com coordenadas aproximadas de 0,0016 pol/pol e 50 ksi.Desta forma o módulo de elasticidade é:

5 LEI DE POISSON

Quando se aplica uma força axial de tração em um corpo deformável, ele sofre um alongamento na estrutura e também uma contração nas suas laterais. Caso a força seja de compressão, resulta em uma contração do corpo em direção à força e uma expansão lateral.

No ano de 1811, o cientista francês Poisson definiu que a relação entre as de-formações unitárias entre duas direções é constante, dentro do limite de proporciona-lidade. Estas definições foram realizadas após observações de experimentos em que se verificou a deformação transversal em elementos submetidos a esforços normais.

O Coeficiente de Poisson é representado pela sigla ν. A equação que a define:

(Eq. 14)

Pode-se concluir ainda, que as deformações longitudinais e transversais são sempre de sinais contrários e, que numa mesma seção transversal, a deforma-ção específica transversal é constante.

1 A barra da figura a seguir é feita com material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro. Sob uma força axial de 12 kN, sendo que seu comprimento aumenta 300 µm e seu diâmetro reduz 2,4 µm. Determine o módulo de elasticidade da barra e o coeficiente de Poisson.

AUTOATIVIDADE


31

BARRA DE MATERIAL ISOTRÓPICO


Calculando o coeficiente de Poisson temos:

Área da seção transversal da barra é:

A = π . r² = π . (8 . 10-3 m)² = 201 . 10-6 m²

Consideramos que o eixo x coincidente com o eixo da barra para escrever então:

Da Lei de Hooke:

6 LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Até o momento estudamos elementos submetidos a cargas normais, ou seja, em uma direção do eixo, onde somente é empregue um estado simples de tensão. A lei de Hooke generalizada aborda elementos estruturais sujeitos a carregamentos que atuam em três direções, gerando tensões normais nos três eixos, x, y e z (FIGURA 19).

32


FIGURA 19 – PRISMA SUJEITO A CARREGAMENTOS ATUANDO EM TRÊS DIREÇÕES


Quando um corpo homogêneo e isótropo tiver atingido sobre ele um estado múltiplo de tensões, resulta em um alongamento em seu corpo e em duas contrações. Desta forma, deseja-se encontrar a deformação em cada um dos eixos através das tensões que estão sujeitos.

Por meio de uma dedução de fórmulas, a Lei de Hooke generalizada apresenta a seguinte forma para calcular a deformação em cada eixo, através das tensões que o corpo sofre. A equação a seguir permite-nos encontrar estes valores:

(Eq. 15)

(Eq. 16)

(Eq. 17)

1 A figura a seguir representa um bloco de aço submetido à ação de pressão uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de -24µm. Determinar: (a) a variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E = 200 GPa e v = 0,29.

AUTOATIVIDADE


33

BLOCO DE AÇO SUBMETIDO À AÇÃO DE PRESSÃO UNIFORME


A alteração no comprimento das outras arestas. Substituindo σX = σY = σZ = -P nas Equações apresentadas acima verificamos que os três componentes de deformação específica têm um valor comum:

6.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Ao realizar projetos estruturais ou mecânicos deve-se considerar a carga limite do material maior que o carregamento receberá em situações normais de utilização. Este carregamento é conhecido como tensão admissível.

Seguindo assim:

δy = εy (BC) = (-300μ)(40mm) = -12 μmδz = εz (BD) = (-300μ)(60mm) = -18 μm

Da equação anterior, determinamos a pressão p:

Como:

Teremos:

εx = εy = εz = -300 µm

34


Um exemplo disso, é o cálculo realizado para guindastes e cabos, que devem ser considerados fatores de segurança adequados, pois precisarão suportar cargas pesadas durante o trabalho. Desta forma, para garantir a segurança da máquina, uti-liza-se uma tensão admissível menor que a carga que o elemento possa suportar.

A tensão admissível deve ser mantida dentro da região de deformação elástica do material. Como já observamos anteriormente, se esta tensão ultrapas-sar a região da deformação elástica, pode romper. Alguns casos, como na cons-trução de aviões e foguetes, essa condição não é válida, pois é precisa obter um peso muito menor do material, que se enquadra na região de deformação plástica.

Também é utilizado para obter uma maior segurança no cálculo dos ele-mentos da construção um coeficiente de segurança. Este cálculo é denominado conforme a experiência do projetista, tipo de material a ser utilizado, tipo de car-regamento, ambiente de atuação, entre outros.

1 Uma barra engastada submetida a uma força normal de tração de 75 kN, com seção transversal quadrada de 20 mm de lado, calcule o coeficiente de seguran-ça utilizado no projeto. Considerando:

AUTOATIVIDADE

σlr - t = 250 MPaσlr - c = 200 Mpa

De acordo com o enunciado a barra está tracionada, desta forma, iremos uti-lizar a tensão da barra tracionada para encontrar o coeficiente de segurança.Em primeiro lugar descobre-se a área desta barra:

A = 20 . 20 = 400 mm²

Após encontra-se a tensão:


35

Dica de leitura adicional são os Capítulos 1 e 2 do livro de “Resistência dos Materiais”, de R. C. Hibbeler. Disponível na biblioteca virtual Pearson.

DICAS

A tensão encontrada deve ser sempre menor ou igual a tensão máxima em projeto, desta forma, pode-se encontrar o coeficiente de segurança conforme descrito a seguir:

36

RESUMO DO TÓPICO 2


• A tensão que um elemento sofre quando aplicada uma força em uma deter-minada área pode ser separada por dois tipos, tensão normal onde a direção da força é perpendicular à área e tensão tangencial quando a direção da força é contida na área.

• A deformação de um elemento, que modifica a forma ou o tamanho do mes-mo, quando nele é aplicada uma força. Essas deformações também são sepa-radas em dois tipos, uma é a deformação longitudinal, onde há uma mudança no volume da estrutura e outra é a deformação tangencial onde há uma mu-dança na forma da estrutura.

• A Lei de Hooke e a Lei de Poisson são definidas respectivamente como: o aumento da tensão é proporcional a deformação da peça e a relação das de-formações unitárias entre duas direções é constante. Além disso, Hooke tem uma lei generalizada, onde explica como calcular a deformação de cada eixo de uma peça, quando ela está sujeita a várias tensões.

• A tensão admissível de um material, que deve ser levada em conta sempre que uma estrutura for projetada e deve estar relacionada com o coeficiente de segurança do cálculo.

37

1 Determinar a tensão normal média máxima da barra submetida ao carrega-mento apresentado na figura a seguir. Ela tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm.

AUTOATIVIDADE

BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTOS


2 Determine a tensão normal média em cada haste da luminária da figura a seguir, sendo que a haste AB tem diâmetro de 10 mm e a BC com diâmetro de 8 mm. O peso da luminária é de 80 Kg.

LUMINÁRIA

FONTE: Hibbeler, 2004, p. 21)

3 O material apresentado na figura a seguir tem uma haste com área transversal de 400 mm² e área no contato do ponto C de 650 mm². Este material está carregado com uma força vertical de 3 kN. Desta forma, defina a posição x de aplicação da força, de modo que o esforço de compressão médio no ponto C seja igual ao esforço de tração no tirante AB.

38

MATERIAL COM CARREGAMENTO DE 3 KN


3 Calcule a tensão da barra feita de aço em AB e latão em BC, onde, respectivamente, obtém módulo de elasticidade de E = 200 GPa e E = 105 GPa. Lembrando que as barras são unidas em B e carregadas conforme a figura a seguir.

BARRAS DE AÇO E LATÃO


4 Com os dados da questão 7 calcule as deformações específicas nos trechos AB e BC.

5 Na figura a seguir, calcule as forças normais atuantes em AB, BC e DE. AB é uma barra com seção quadrada de lado a, BC é uma barra com seção re-tangular com largura de 2b e altura b e a seção DE é um fio com diâmetro d. Ainda, temos as seguintes características do material para que possamos realizar o cálculo das forças:

39

σ lr -t = 400 MPaσ lr -c = 200 MPaE aço = 210 GPaν aço = 0,25C.S.Tração = 2,5C.S.Compres. = 1,6P = 50 kN

BARRA RÍGIDA


4 Ainda, com os mesmos dados da questão 9, calcule o dimensionamento das barras AB, BC e DE e os deslocamentos verticais na barra AE.

5 A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de tensões e deformações em peças com formas complexas. A passagem de luz polarizada através de um modelo de material fotoelástico sob tensão forma franjas luminosas escuras e claras. O espaçamento apresentado entre as franjas caracteriza a distribuição das tensões: espaçamento regular indica distribuição linear de tensões, redução do espaçamento indica concentra-ção de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante (Figura a se-guir), com concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura ao lado. O elemento está equilibrado por duas cargas momento M, e tem seu estado de tensões apresentado por fotoelasticidade.

40

ELEMENTO EQUILIBRADO POR DUAS CARGAS

FONTE: Adaptado de ENADE (2008, p. 15)

Em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo de tensão nor-mal no ponto:

a) ( ) P é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.b) ( ) Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.c) ( ) Q é menor que o módulo da tensão normal no ponto S.d) ( ) R é maior que o módulo da tensão normal no ponto S.e) ( ) S é menor que o módulo da tensão normal no ponto P.

6 A lei de Hooke:

a) ( ) É a relação não linear entre a carga e o alongamento, no caso de uma barra em tração.

b) ( ) É a relação linear entre a tensão e o alongamento, no caso de uma barra em tração.

c) ( ) É a relação não linear entre tensão e deformação, no caso de uma barra em tração.

d) ( ) É a relação linear entre a carga e a deformação, no caso de uma barra em tração.

e) ( ) É a relação linear entre tensão e deformação, no caso de uma barra em tração.

41


PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS

MATERIAIS

1 INTRODUÇÃO

Neste terceiro tópico, nós vamos aplicar os conhecimentos adquiridos nas unidades anteriores para entender aos efeitos da aplicação de tensões nos ma-teriais, assim como, avaliar as consequentes deformações. Estas avaliações são facilitadas pelos gráficos e diagramas que nos permitem entender de forma mais direta os comportamentos dos materiais sob tensão.

Grande parte dos conhecimentos que você vai adquirir neste tópico é im-prescindível para o entendimento, interpretação e avaliação de laudos técnicos referentes às propriedades mecânicas de materiais, assim como, a interpretação de ensaios e testes de laboratório. A capacidade de interpretação e avaliação des-tas informações é necessária para a tomada de decisões em projetos e a correta escolha dos materiais adequados ao desempenho exigido.

Bons estudos!

2 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO

Para avaliar as propriedades de um material em relação a tensão e deforma-ção, é realizado um ensaio de tração ou compressão em um corpo de prova. Este corpo de prova é medido sua seção transversal e seu comprimento, depois disso é inserido em um equipamento e submetido a carregamentos até sua ruptura.

A partir da medição da variação destas grandezas, feito pelo equipamento de ensaio, é obtido o diagrama de tensão x deformação, utilizando ε como abscis-sa e σ como ordenada. Este diagrama varia conforme o material utilizado ou ob-ter resultados diferentes para um mesmo material, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade do carregamento.

Na Figura 20, a seguir, apresenta-se o gráfico de tensão x deformação do material dúctil aço, material utilizado para elementos estruturais e mecânicos. Com ele, vamos avaliar o comportamento deste material, quando ele está sujeito a uma força de carregamento.

42


Logo no começo do carregamento, o comportamento do material é elásti-co, nesta faixa a curva é praticamente igual a uma reta, sendo que o resultado da tensão e da deformação é muito semelhante. Resumindo, o material é linearmen-te elástico. Após exceder um pouco o limite de elasticidade, o material continua se comportando como elástico, mas com um pequeno achatamento da curva, até alcançar o limite elástico. No limite elástico, se retirar a força que o material está recebendo, ele ainda retorna a sua forma inicial.

Se continuar a receber a força e o material passar do limite de elasticidade, ele resulta em um colapso do material e em uma deformação permanente. Esta deformação é denominada como deformação plástica.

FIGURA 20 – DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO (AÇO)


Após o escoamento, aplica-se uma carga adicional ao corpo de prova, resultando em uma curva crescente até que alcance a tensão máxima, ou seja, o limite de resistência. Enfim, ao continuar com o carregamento o material chega à estricção, onde a área da seção transversal diminuiu em uma região localizada. Este fenômeno é provocado por planos de deslizamento encontrados no meio do material e as deformações produzidas são por tensão de cisalhamento.

A curva começa a decair, pois a área da seção transversal está decrescendo, curvando cada vez mais a curva do material até chegar à ruptura.

• Tensão de escoamento σe: tensão crítica correspondente ao início de escoamento;• Tensão última σU: tensão correspondente a máxima carga aplicada.• Tensão de ruptura σR: tensão correspondente ao ponto de ruptura.

TÓPICO 3 — PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS

43

3 ENSAIO DE TRAÇÃO

O ensaio de tração é realizado com um corpo de prova típico de uma barra de material homogêneo e formato circular. Antes de iniciar o ensaio anota-se o valor da seção transversal e dois pontos na barra. O equipamento que mede os resultados desse ensaio, submete a barra a uma força que vai aumentando gradativamente.

Para cada valor de P aplicado é anotado o valor de L e o valor de ∆L = Lf – L. E para cada valor de F é anotado o valor da tensão e da deformação, pois conforme aumenta a força, aumenta a tensão e consequentemente a deformação. E por fim, realiza-se o diagrama de tensão x deformação do material ensaiado.

Podemos separar os materiais em dois tipos:

• Materiais dúcteis: materiais que apresentam grandes deformações antes da ruptura.

• Materiais frágeis: materiais que não apresentam deformações grandes, apenas antes de romper. Observação: em materiais frágeis não ocorre estricção.

1 Uma estrutura composta por duas barras distintas, conforme figura a seguir, uma de alumínio com diâmetro AB 30 mm e outra de aço com diâmetro BC de 20 mm. Na união rígida e desprezível de ambas, atua uma força P = 20 kN para a direita. Calcule as forças normais nas barras AB e BC.

AUTOATIVIDADE

ESTRUTURA EM DUAS BARRAS DISTINTAS


Primeiramente, precisamos construir o diagrama de forças na união destas barras, definindo as hipóteses iniciais do problema. Consideramos então, como se as forças fossem contrárias às forças externas, ou seja, AB sob tração e BC sob compressão:

44


Equacionando o equilíbrio das forças temos:

NAB + NBC = PNAB + NBC = 20

Substituindo esse valor na primeira equação, temos:

0,525 NBC + NBC = 20NBC = 13,11 kNNAB = 13,11 = 20NAB = 6,89 kN

A força na barra AB é de 6,89 kN (em tração) e a força na barra BC é de 13,11 kN (em compressão).

Como temos uma equação e duas incógnitas, vamos precisar de outra equação para poder calcular. Pensando no deslocamento da barra podemos:

Temos deslocamentos em B em ambas as barras:


45

4 ENSAIO DE COMPRESSÃO

Os ensaios de resistência à compressão são executados conforme preconiza a norma NBR 13279 (2005) e obtêm-se os resultados na idade de 28 dias. Da mesma forma que o ensaio de tração, inicia-se o ensaio anotando o valor da seção transversal do corpo de prova. O equipamento mede os resultados desse ensaio, submete uma força no corpo de prova que vai aumentando gradativamente. E por fim, realiza-se o diagrama de ten-são x deformação do material ensaiado, conforme demonstrado na Figura 21.

FIGURA 21 – EVOLUÇÃO DA FISSURAÇÃO NA INTERFACE ENTRE A PASTA E O AGREGADO PARA CONCRETO SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL

FONTE: Mehta e Monteiro (1994, p. 69)

• Materiais dúcteis: o ensaio de compressão poderia ser utilizado até a tensão última, mas a partir daí não, pois na compressão não ocorre a estricção (dimi-nuição) do diâmetro da barra.

• Materiais frágeis: o ensaio de compressão não poderia ser utilizado, pois a tensão última de compressão é muito maior do que a tensão última de tração (os materiais são mais resistentes ao esforço de compressão do que de tração), o que, provavelmente, causaria imperfeições nos resultados.

Para você entender melhor as aplicações deste ensaio, vou usar como exem-plo prático o ensaio de compressão que é realizado em corpos de prova de con-creto. O concreto que é utilizado para construção das estruturas deve atingir certa resistência para ser capaz de suportar as cargas da edificação. Para verificação desta resistência, são realizados controles estatísticos da resistência do concreto, quando são moldados corpos de prova cilíndricos durante a concretagem. Estes corpos de prova são então rompidos em uma prensa para a verificação de sua resistência po-tencial, que deve ser igual ou maior que a resistência especificada no projeto.

46


5 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E PLÁSTICO DOS MATERIAIS

De acordo com Beer e Johnston (1995) é chamado de comportamento elás-tico um material que recebe um carregamento que resulta em uma deformação, mas que quando é retirada essa carga o material retorna ao seu estado inicial. O máximo valor de tensão que este material suporta retornando ao seu estado ini-cial após o descarregamento é nomeado como limite de elasticidade.

Com início de descarregamento bem definido, o limite de elasticidade e limite de proporcionalidade coincidem com a tensão de escoamento do material, mantendo-se elástico com as tensões abaixo do valor de escoamento. Se o material atingir o escoamento e a carga for retirada, resultando em um gráfico de tensão x deformação decrescente de uma forma linear (figura a seguir), quer dizer que o ma-terial resultou em uma deformação durante a solicitação. Esta deformação, quando o ε não volta ao ponto zero é chamada de deformação permanente ou plástica.

FIGURA 22 – A RETA CD SIGNIFICA A DEFORMAÇÃO PERMANENTE DO MATERIAL SUBMETIDO AO PRIMEIRO CARREGAMENTO


Esta deformação permanente, não depende apenas da tensão a que o ma-terial foi submetido, mas sim do tempo que essa tensão permaneceu no material até o descarregamento.

Quando o material recebe um segundo carregamento, resulta em uma cur-va quase igual a primeira, até um pouco antes de atingir o ponto C, onde haverá uma quebra na reta, comparada a anterior, como pode ser visualizado na Figura 23. Desta forma, o limite de elasticidade resultou em um aumento de seus valores, devido à recuperação da resistência que ocorreu no primeiro carregamento.


47

FIGURA 23 – A RETA CD NO SEGUNDO CARREGAMENTO DO MATERIAL


Este segundo carregamento, resulta em uma mesma deformação específi-ca que o primeiro, mas em uma ductilidade do material menor. Sendo que os dois carregamentos foram de tração do corpo de prova do material.

Segundo Hibbeler (2004), quando o material é submetido a uma carga exter-na, ele acumula energia em seu interior, essa energia é conhecida como energia de deformação. Essa energia pode ser expressa pela unidade de volume do material, ou seja, densidade de energia de deformação, que é representada pela equação a seguir:

(Eq. 18)

Caso o material for linear-elástico, se aplica a lei de Hooke, podendo ex-pressar a equação da densidade em termos da tensão uniaxial como:

(Eq. 19)

Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade calculamos a defor-mação através do módulo de resiliência, que está representado na figura a seguir, ou seja, pela região elástica do diagrama tensão-deformação onde é representada pela área triangular que absorve energia sem sofrer qualquer dano permanente. A equação para esta situação é representada a seguir:

(Eq. 20)

48


Outra situação é o módulo de tenacidade, que representa toda a área do diagrama de tensão-deformação antes da ruptura do material, conforme apresen-tado na figura a seguir. Esta propriedade é importante quando se projetam elemen-tos carregados acidentalmente, sendo que quando o módulo de tenacidade é alto, o material distorce muito devido à sobrecarga. Mesmo assim, é preferível materiais com módulo de tenacidade alta do que as com valores baixos, pois o material nesta situação pode romper imediatamente, sem nenhum sinal de ruptura iminente.

FIGURA 25 – DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REPRESENTANDO O MÓDULO DE TENACIDADE


FIGURA 24 – DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REPRESENTANDO O MÓDULO DE RESILIÊNCIA



49

Na figura a seguir é apresentado o diagrama tensão-deformação de uma liga de alumínio. Este foi submetido a uma carga de tração em seu corpo de prova de 600 MPa, se esta carga for removida, calcule a deformação permanente neste corpo de prova e o módulo de resiliência antes e depois da aplicação da carga.

AUTOATIVIDADE

DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO LIDA DE ALUMÍNIO


Ao ser submetido a carga, o corpo de prova deforma até atingir o ponto B do diagrama, com uma deformação de 0,023 mm/mm. Quando a carga é retirada, o material retorna pela reta BC paralela à reta OA. O declive da reta OA é o módulo de elasticidade:

Pelo triângulo CBD requer-se:

CD = 0,008 mm/mm

A deformação calculada representa a deformação elástica recuperada. A deformação permanente é calculada abaixo:

50


Para o módulo de resiliência inicial e final, calculamos da seguinte forma:

Dica de leitura adicional é o Capítulo 3 do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler. Disponível na Biblioteca Virtual Pearson.

DICAS


51

LEITURA COMPLEMENTAR

COMPARATIVO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS DO PINUS CIPRESTI ENTRE MADEIRA TRATADA E SEM TRATAMENTO

Francine BardiniMárcio Vito

A madeira é um material comumente utilizado tanto para construção, quan-to para confecção de diversos produtos no nosso dia a dia, como móveis e utensílios domésticos. Para diversas destas aplicações, é necessário o conhecimento das pro-priedades mecânicas da madeira, que por se tratar de um material natural, apresenta maiores variações do que materiais industrializados como o aço e polímeros.

As variações das propriedades mecânicas nas madeiras podem ocorrer devido o teor de umidade, deterioração por fungos, bactérias e cupins, além de anomalias naturais como falhas e fissuras internas. Uma das principais maneiras de reduzir estas variações de desempenho é o tratamento em autoclaves com impregnação de produtos capazes de preservar as características da madeira ao longo do tempo, aumentando a sua durabilidade.

Foram realizados comparativos de propriedades mecânicas de amostras de madeira do tipo Pinus Ciprestis com e sem o tratamento de autoclave para verificar quais alterações podem ser observadas nas características da madeira, considerando que esta seja utilizada para construção de estruturas. Foram avalia-das as resistências à compressão e à tração e também foram gerados gráficos de tensão X deformação para avaliar o comportamento da madeira até a sua ruptura.

GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO OBTIDO NO ENSAIO DE RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO

FONTE: Bardini e Vito (2017)

52


Conforme podemos observar nos gráficos anteriores o tratamento em au-toclaves altera as características mecânicas da madeira, aumentando sua capaci-dade de resistência tanto à compressão quanto à tração. Além disso, é uma ótima oportunidade para avaliarmos na prática os gráficos de tensão x deformação ge-rados durante os ensaios.

O gráfico gerado pelo ensaio de resistência à compressão não foi plotado até a ruptura total, porém, podemos evidenciar que tanto a madeira tratada quanto a madeira natural apresentam o mesmo comportamento de deformação. Também podemos observar que até a tensão de 16MPa, ambas amostras estão apresentando os mesmos valores de tensão e deformação, e acima desta tensão, a amostra natu-ral apresentou deformações maiores enquanto a amostra tratada ainda manteve a mesma proporção entre tensão e deformação até aproximadamente os 23MPa.

Já para o ensaio de resistência à tração, o gráfico gerado com os valo-res de tensão e deformação apresentam comportamentos diferentes para as duas amostras, sendo que a amostra com tratamento apresenta uma inclinação da reta menor que a amostra natural. Conforme já aprendemos nesta unidade, a razão entre tensão e deformação no regime linear é o valor do módulo de elasticidade do material. No caso das duas amostras, podemos perceber que a amostra com tratamento apresenta um módulo de elasticidade menor que a amostra natural, no entanto, a sua resistência à tração foi maior.

A partir dos resultados que visualizamos nos gráficos fica claro que o tra-tamento de autoclave na madeira altera as características mecânicas alterando o módulo de elasticidade e aumentando a resistência à tração à compressão.

FONTE: BARDINI, Francine; VITO, Márcio. Comparativo das propriedades mecânicas do pinus cipresti entre madeira tratada e sem tratamento. UNESC 2017. Disponível em: https://bit.ly/2P-SaTIm. Acesso em: 11 dez. 2020.

53

RESUMO DO TÓPICO 3


Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.

CHAMADA

• O diagrama tensão-deformação dos materiais é obtido através de ensaios onde os materiais são submetidos a um carregamento que pode ser de tração ou compressão. Este carregamento vai gerar uma deformação no material, que pode ser elástica ou plástica.

• Os materiais podem responder de duas formas aos ensaios de tração e com-pressão: comportamento dúctil ou comportamento frágil.

• Comportamento elástico e plástico dos materiais, sendo a deformação plástica do material, quando ocorre o descarregamento da força, o material retorna ao seu estado inicial. Já para a deformação elástica, o material não retorna ao pon-to 0 da deformação, ou seja, é criada uma deformação residual e permanente.

• A respeito da densidade da deformação em cada uma das situações mencio-nadas acima e suas respectivas equações.

54

1 As propriedades dos materiais compósitos complexos, como o concreto, não precisam ser iguais à soma das propriedades de seus componentes. O gráfico, a seguir, apresenta as curvas tensão x deformação da pasta de cimento, do agregado e do concreto endurecido.

AUTOATIVIDADE

DIGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO

FONTE: ENADE (2008, p. 21)

Assinale a alternativa em que se refere à curva do material de concreto e sua justificativa.

a) ( ) C1 - o concreto apresenta módulo de elasticidade superior aos módulos de elasticidade dos seus elementos constituintes.

b) ( ) C2 - ao atingir aproximadamente 50% da tensão última, a fissuração da matriz argamassa se propaga, provocando uma diminuição mais acen-tuada no módulo de elasticidade tangencial.

c) ( ) C2 - o módulo de elasticidade secante é superior aos módulos de elasti-cidade dos seus elementos constituintes.

d) ( ) C3 - o concreto apresenta módulo de elasticidade inferior aos módulos de elasticidade dos seus elementos constituintes.

e) ( ) C3 - as microfissuras na zona de transição entre a matriz da argamassa e do agregado graúdo induzem a um aumento na relação deformação/tensão.

2 Para diferentes materiais poliméricos, é apresentado na figura a seguir o gráfi-co de tensão-deformação. Assinale a opção em que o material apresenta o mó-dulo de elasticidade e o nível de deformação de uma das curvas do diagrama.

55

GRÁFICO COM OS DADOS DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAIS POLIMÉRICOS

FONTE: Adaptado de ENADE (2017, p. 16)

a) ( ) Curva I – Alto e grande.b) ( ) Curva II – Baixo e grande.c) ( ) Curva III – Baixo e pequeno.d) ( ) Curva IV – Alto e grande.e) ( ) Curva V – Baixo e pequeno.

3 Determine o alongamento e a tensão normal de uma haste de comprimento 300 mm e com diâmetro de 25,4 mm, que foi submetida a uma força de tra-ção de 35,60 kN. Considere E = 3,10 GPa.

4 Construa o diagrama tensão-deformação e determine o módulo de tena-cidade de uma cerâmica se a tensão de ruptura for de 53,4 ksi. A figura a seguir apresenta os dados encontrados de tensão-deformação de uma cerâ-mica, onde a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.

TABELA COM OS DADOS DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE UMA CERÂMICA


56

5 O teste para encontrar a tensão-deformação (figura a seguir) do material de polietileno utilizado para revestir cabos coaxiais, é realizado em um corpo de prova de 10 pol (250 mm). Supondo-se que se encontra uma deformação de ε = 0,024 mm/mm no corpo de prova e que o corpo de prova se recupere elasti-camente, determine o comprimento aproximado quando a carga for retirada.

DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO POLIETILENO


6 Determinar o módulo de elasticidade de um corpo de prova de alumínio, con-forme apresenta na figura a seguir, sendo que o mesmo tem um diâmetro de 25 mm e um comprimento referência de 250 mm. Supondo que este corpo de prova seja alongado por uma F de 165 kN e sofra um alongamento de 1,20 mm.

Gal = 26 GPa σ∈ = 440 MPa

57

CABO DE AÇO


7 Através do suporte A montado na roda do avião, conforme a figura a seguir, controla-se a variação do peso do mesmo. Antes de carrega-lo a leitura no ex-tensômetro era de ε1 = 0,001 mm/mm e após seu carregamento de ε2 = 0,00243 mm/mm. Desta forma, determine a mudança de força que age sobre o suporte, considerando que, a área da seção transversal é de 2.200 mm² e Eal = 70 GPa.

ASA DE UM AVIÃO


58

REFERÊNCIAS

BARDINI, F.; VITO, M. Comparativo das propriedades mecânicas do pinus ci-presti entre madeira tratada e sem tratamento. Florianópolis: UNESC, 2017.

BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Makron Books, 3. ed., 1995.

CANELLA, F.; PELEGRIN, J. Aula 00 (Prof. Juliano de Pelegrin) Engenharia Mecâ-nica para concursos. Disponível em: https://bit.ly/3uN4vB1. Acesso em: 10 out. 2020.

DUTRA, K. Apostila de resistência dos materiais. Escola técnica CEPEP, 2015. (Apostila). Disponível em: https://engucm.files.wordpress.com/2015/08/apostila--completa-resistc3aancia-dos-materiais-1.pdf. Acesso em: 10 out. 2020.

ESTUDAR COM VOCÊ. Matérias: resistência dos materiais. Disponível em: ht-tps://bit.ly/3t2Lwlm. Acesso em: 8 nov. 2020.

GALVAMINAS. Blog. Disponível em: https://bit.ly/2Q6ilzl. Acesso em: 22 out. 2020.

HALLAK, J. C. et al. Apostila de resistência dos materiais I. Juiz de Fora, 2012. (Apostila). Disponível em: https://bit.ly/3s3exvI. Acesso em: 10 out. 2020.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 5. ed., São Paulo, 2004.

IME – Instituto Militar de Engenharia. Resistência dos materiais. 27 slides. Dis-ponível em: https://bit.ly/3uz89OK. Acesso em: 10 out. 2020.

ISTOCKPHOTO. Site. Disponível em: https://bit.ly/3mvUghf. Acesso em: 15 out. 2020.

METHA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. Concreto: estrutura, propriedades e mate-riais. São Paulo: PINI, 1994. 573 p.

MORILLA, J. C. Resistência dos materiais I. São Paulo, 2012. (Apostila).

PREFEITURA DE SANTOS. Site. Disponível em: https://bit.ly/31XT0ds. Acesso em: 30 out. 2020.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 1 – Introdução a resistên-cia dos Materiais, 2013. 38 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 2 – Tensão e Deformação, 2013. 56 slides.

59

RODRIGUES, L. E. M. Mecânica Técnica – Aula 15 – Reações de apoio em vigas e estruturas. 32 slides.

SENAI. SC. Resistência dos materiais. Florianópolis: SENAI/SC, 108p, 2004.

SINDICATO DOS TRABALHADORES NA INDÚSTRIA DA CONSTRUÇÃO CIVIL DE SÃO LUÍS-MA. Site. Disponível em: https://bit.ly/2PEtmrP. Acesso em: 20 out.2020.

TOP MIX. Blog: Concreto pesado: pra que serve? Disponível em: https://bit.ly/3mwBN4d. Acesso em: 15 out. 2020.

60

61

UNIDADE 2 —

FORÇAS AXIAIS, TRELIÇAS E CISALHAMENTO DOS MATERIAIS


PLANO DE ESTUDOS


• entender o princípio de Saint-Venant e a forma de calcular esfor-ços axiais e deformações causadas pelas mesmas;

• compreender os esforços atuantes em treliças e como a partir do método dos nós podemos calcular estas forças;

• determinar o cisalhamento em uma chapa de aço com parafusos;

• calcular a tensão de cisalhamento que ocorre nesses elementos e consequentemente a tensão de esmagamento nas chapas.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – ESFORÇO NORMAL AXIAL

TÓPICO 2 – TRELIÇAS

TÓPICO 3 – CISALHAMENTO


CHAMADA

62

63

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Imagine estruturas ou partes constituintes de estruturas que estejam sub-metidas unicamente a esforços de compressão ou tração... estes são os chamados esforços axiais, que atuam sobre o eixo principal das peças. Neste tópico, nós vamos estudar o método para encontrar a tensão normal através de elementos carregados axialmente. Também encontrar as reações de apoio por outro método, quando não conseguimos determiná-las por meio das equações de equilíbrio.

Você também será apresentado a Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, um senhor francês, professor e engenheiro, que desenvolveu um método de cálculo ba-seado no conceito fundamental da elasticidade. Este método recebeu seu nome, Saint--Venant, e foi uma importante contribuição ao estudo dos efeitos elásticos em estrutu-ras. Além disso, você vai aprender como determinar a deformação nesses elementos.

Bons estudos!

TÓPICO 1 —

ESFORÇO NORMAL AXIAL

2 FORÇAS INTERNAS E FORÇAS AXIAIS

Conforme você já aprendeu anteriormente, para definir as forças internas que atuam em um corpo submetido a um carregamento e que esteja em equilíbrio externo, utilizamos o método das seções, onde você corta o corpo na seção que deseja ser estudada.

Pode-se dizer que um corpo está submetido a um esforço axial, quando o somatório da Fy, Fz, Mx, My e Mz é igual a zero, mas o somatório de Fx for dife-rente de zero. E desta forma, recapitulando a unidade anterior, definimos esforço normal, como a soma das projeções sobre a normal à seção das forças que estão à direita ou à esquerda da seção que iremos considerar. Estas forças resultam em esforços de tração ou compressão do elemento.

Resumindo, quando temos forças axiais normais, corta-se a seção em estudo e a resultante delas é a soma das forças que ficaram de cada lado da seção cortada.

64

BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTOS


Desta forma, vamos determinar a força axial nas seções AB, BC e CD da barra.

Seção AB:

Seção BC:

Seção CD:

Na Unidade 1, nas autoatividades do Tópico 2, você já realizou o cálculo da figura a seguir para identificar a tensão resultante na seção BC, desta forma, teve que descobrir as reações de equilíbrio nesta parte da barra. Agora, na Unidade 2, nós vamos exemplificar através dele, o cálculo das reações de equilíbrio em cada uma das seções.

AUTOATIVIDADE

∑ Fx = 0FAB – 12 kN = 0FAB = 12 kN

∑ Fx = 0FBC – 12 kN – 9 kN – 9 kN = 0FBC = 30 kN

∑ Fx = 0- FCD + 22 kN = 0FCD = 22 kN

TÓPICO 1 — ESFORÇO NORMAL AXIAL

65

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE


Podemos verificar que os valores encontrados para a seção AB, que foram de 12 kN, estão ilustrados no primeiro terço da figura. Para os valores da seção BC está representado no gráfico no segundo terço da figura e os valores encontrados de CD no terceiro terço do gráfico.

3 PRINCÍPIO DE SAINT VENANT

De acordo com o estudo da Unidade 1, tensão é uma forma de calcular a distri-buição de uma força no interior de um corpo, e a deformação é o quanto esse corpo se al-tera através dessa força aplicada, em que a relação entre tensão e deformação depende do material que o corpo é constituído e que o corpo se comporta de maneira linear-elástica aplicando a Lei de Hooke (proporcionalidade entre tensão e deformação). Levando isso em consideração, quando aplicamos uma força P ao longo do eixo geométrico de uma barra retangular, conforme a Figura 1 a seguir, que tende a deformar-se elasticamente.

A força P, aplicada através de um furo realizado na barra, está em posição contrária ao local onde está fixada (a força P puxa para cima enquanto a barra está fixa ao solo). Pode-se observar que, as distribuições das tensões e deformações na barra se tornam uniformes à medida que se distanciam das extremidades e igua-lam-se na região central da mesma.

FIGURA 1 – FORÇA APLICADA AO LONGO DE UMA BARRA TRANSVERSAL


Desta forma, para construir o diagrama de esforço cortante das forças encontradas na barra, inserimos os valores positivos para cima e os valores negativos para baixo, conforme mostra a figura a seguir.

UNIDADE 2 — FORÇAS AXIAIS, TRELIÇAS E CISALHAMENTO DOS MATERIAIS

66

Exemplificando melhor, temos a Figura 2 apresentando a seção a-a, b-b e c-c da barra acima, onde, na seção c-c se consegue obter uma tensão com valor quase uniforme devido à força estar aplicada suficientemente longe da extremidade cortada. Esta dife-rença entre as distâncias, pode ser verificada no corte a-a e b-b, admitindo-se que quanto mais próximo ao local de execução da força, mais desuniforme resulta a tensão.

FIGURA 2 – CORTES REALIZADOS NA BARRA PARA AVALIAR A TENSÃO E DEFORMAÇÃO


Desta forma, considera-se a regra de que a distância da seção c-c deve ser igual à largura da barra, baseada na observação experimental do comportamento do material. Esta situação não ocorre para todos os elementos, sendo que quando se tem paredes muito finas, submetidos a grandes cargas resultam em tensões e deformações localizadas independente da distância da carga aplicada.

Este comportamento da tensão e da deformação é nomeado de princípio de Sain-Venant porque foi observado pela primeira vez pelo professor e engenheiro francês Adhé-mar Jean Claude Barré de Saint-Venant, em 1855. A partir dos estudos do Sr. Saint-Venant foi possível afirmar que efeitos localizados provocados por qualquer carga que atua sobre um corpo dissipam-se ou ajustam-se nas regiões suficientemente distantes de sua aplicação.

INTERESSANTE

4 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES

Neste item, você vai aprender sobre as deformações causadas por esforços normais axiais, relacionando com as tensões normais que as provocam. Através da lei de Hooke, que você já domina, e explicação das tensões e deformações vistas anteriormente, foi desenvolvida uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento quando este está sujeito a uma força normal axial.


67

A deformação relativa (δ) de uma extremidade de uma barra em relação a outra extremidade provocada pelo carregamento, sem que as quantidades excedam o limite de proporcionalidade, através das fórmulas de tensão e deformação vistas anteriormente, pode ser calculada através da composição das fórmulas, conforme apresentado a seguir.

Sabe-se que a deformação específica longitudinal é a relação entre a variação do comprimento e o comprimento inicial, ou seja:

(Eq. 9)

Como definimos que o material é elástico utilizamos através da Lei de Hooke que é válida neste intervalo, pode-se dizer que:

(Eq. 11)

Juntando as equações, temos:

(Eq. 21)

Conforme definição da tensão, podemos desenvolver a seguinte equação:

(Eq. 22)

Podendo definir, que a deformação relativa (δ) será dada:

(Eq. 23)

Onde:

δ = deslocamento de um ponto da barra em relação ao outro (m, cm ou mm);L = distância entre os pontos (m, cm ou mm);N = força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade (N ou kN);A = área da seção transversal da seção (m², cm² ou mm²);E = módulo de elasticidade do material.

Esta equação é para realizar o cálculo da deformação em elementos sub-metidos a esforços axiais. Para a determinação da deformação transversal, aplica--se a Lei de Poisson.


68

Restrições da equação

• Barra deve ser homogênea;• Módulo de elasticidade constante;• Seção transversal uniforme e constante;• Carga aplicada nas extremidades da barra.

A figura a seguir apresenta um tubo de alumínio circular AB com área de seção trans-versal de 400 mm² e um colar rígido de aço que passa através do tubo acoplado a uma haste de aço de 10 mm de diâmetro. Aplicando uma força de tração de 80 kN na haste, calcule o deslocamento da extremidade C. Eaço = 200 GPa e Ealum = 70 GPa.

AUTOATIVIDADE

TUBO DE ALUMÍNIO E HASTE DE AÇO SUBMETIDOS A FORÇA AXIAL


Através do diagrama de corpo livre do tubo e da haste apresentado na figura a seguir, mostra que a haste está sujeita a tração e o tubo está sujeito a força de compressão.

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO TUBO E DA HASTE


Primeiro, vamos calcular o deslocamento da extremidade C em relação a ex-tremidade B (utilizou-se as unidades em N e m):


69

Curiosidade:Para a verificação de uma estrutura são conhecidos os materiais (σLim), a área da seção (A) e o esforço (N), bastando determinar o coeficiente de segurança (s):

(Eq. 24)

Sugerimos acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Ca-pítulo 4 – Carga Axial – do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler.

DICAS

O sinal positivo do deslocamento carregado, significa a extremidade C mo-ve-se para a direita em relação a extremidade B, visto que a barra se alonga. Em um segundo momento, vamos calcular o deslocamento da extremidade B em relação a extremidade fixa A:

O sinal negativo do deslocamento carregado, significa que o tubo se encurta em B e assim, move-se para a direita em relação a A.Sendo que os dois deslocamentos são para a direita o deslocamento resultante de C em relação a extremidade A é:

δC = δB + δC/B = 0,001143 m + 0,003056 mδC = 0,0042 m = 4,20 mm

70


RESUMO DO TÓPICO 1

• As formas para calcular as forças axiais normais é contando a seção em estudo e definindo a resultante delas, onde a soma das forças que ficaram de cada lado da seção cortada.

• O princípio de Saint-Venant definido pelos efeitos localizados provocados por qualquer carga que atua sobre um corpo que se dissipam ou se ajustam nas regiões suficientemente distantes de sua aplicação.

• A deformação relativa resultante da aplicação de cargas axiais em um ele-mento qualquer, é calculado através do deslocamento de um ponto da barra em relação ao outro.

• A definição de verificação de estruturas através do cálculo da σLim de um ma-terial sobre o coeficiente de segurança, definindo assim sua σAdm.

71

1 O tubo da figura a seguir está submetido a uma força axial de compressão igual a F. Sendo os raios externo e interno iguais a R e r respectivamente, marque a alternativa correta das opções a seguir:

AUTOATIVIDADE

TUBO SUBMETIDO A FORÇA AXIAL

FONTE: Canella e Pelegrin, (2020, p. 112)

a) ( ) A tensão de tração atuante será maior quanto maior for o raio interno. b) ( ) A tensão de compressão atuante será maior quanto menor for o raio

interno. c) ( ) A força está aplicada no centroide da seção circular por isso não existe

compressão. d) ( ) A tensão gerada no tubo será maior do que seria gerada se o eixo fosse

maciço com o mesmo diâmetro externo. 2 Assinale a alternativa incorreta, sobre estruturas metálicas, no dimensiona-

mento de um perfil em aço submetido à tração.

a) ( ) Deve-se considerar região da peça onde não se permite o escoamento generalizado, por inutilizar a peça devido à ocorrência de alongamento excessivo.

b) ( ) Deve-se considerar região da peça onde não há uniformidade de tensões. Nes-sa região, por ser uma região restrita, permite-se o escoamento localizado.

c) ( ) Em barras tracionadas, há limites máximos de índices de esbeltez.d) ( ) Para definição da área líquida de uma seção transversal onde há furos,

considera-se, para o seu cálculo, o diâmetro quantidade de furos.e) ( ) Na região onde a limitante é a ruptura, no dimensionamento ou na ve-

rificação, considera-se a área da seção maior que a área bruta da peça.

3 Uma barra submetida a um esforço normal axial de tração P = 50 kN e com uma tensão admissível de 150 MPa, calcule o diâmetro da barra e o alonga-mento total, considerando que o comprimento máximo é igual a 4 mm, L = 4,5 m e o módulo de elasticidade do aço é 210 GPa.

72

4 Uma viga rígida AB apoia-se em dois postes de diferentes materiais, um com seção AC feito de aço e com um diâmetro de 20 mm e outro de seção BD feito de alumínio e com diâmetro de 40 mm. Caso seja aplicada uma força axial no ponto F da viga de 90 kN conforme figura a seguir e calcule o deslocamento desse ponto em AB. Considere: Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.

VIGA RÍGIDA AB APOIADA EM POSTES


5 Calcule o diâmetro e a tensão normal de uma barra prismática de seção transversal circular, que está solicitada a uma carga axial de tração F = 104 e tem um comprimento de 6 metros. O alongamento da barra é de 2,5 mm e que E = 205 GPa.

6 Calcule o alongamento dos dois cabos da figura a seguir.

Dados:𝜙1 = 𝜙2 = 25,4 mmL1 = L2 = 3,5 mE1 = E2 = 70 GPa

ALONGAMENTO DE DOIS CABOS

FONTE: <https://bit.ly/3uvRKuk>. Acesso em: 29 nov. 2020.

73

7 Calcule a tensão normal máxima e o alongamento da barra prismática da figura a seguir a seguir.

Dados:A = 7,1 . 10-4 m²E = 120 GPa

44.300 N/m³

ALONGAMENTO DA BARRA PRISMÁTICA

FONTE: <https://bit.ly/3uvRKuk>. Acesso em: 29 nov. 2020.

74

75

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico, você vai aprender as relações existentes entre as forças aplica-das em treliças que são constituídas por barras ligadas entre si através de nós. Estas barras podem estar tracionadas ou comprimidas e elas devem ser determinadas para cada elemento da estrutura para realizar o seu dimensionamento correto.

Para realizar o cálculo das treliças será abordado, neste tópico, o Método dos Nós em que se estuda o equilíbrio do nó isolado, as forças exteriores e interiores.

Bons estudos!

TÓPICO 2 —

TRELIÇAS

2 INTRODUZINDO AS TRELIÇAS

As treliças são estruturas muito comuns no nosso dia a dia e você com certeza já deve ter visto alguma estrutura treliçada. São constituídas por barras (geralmente metálicas) ligadas entre si nas extremidades através dos nós que re-cebem todos os esforços externos aplicados a ela. São comumente utilizadas em estruturas metálicas, pontes e linhas de transmissão, conforme os exemplos ilus-trados na figura a seguir.

Se você já esteve em Florianópolis, com certeza, visualizou um dos exem-plos mais belos da aplicação de treliças, a Ponte Hercílio Luz. Ou então, se você já teve a oportunidade de estar em Paris, pôde desfrutar da estrutura treliçada mais famosa do mundo, a Torre Eiffel. As forças entre os elementos das treliças devem ser determinadas para que cada barra de sua estrutura possa ser dimensionada adequadamente para atender aos níveis de esforços solicitantes. A simplicidade do dimensionamento destes elementos os torna uma solução eficiente e barata para muitas aplicações dentro da engenharia.

76


FIGURA 3 – ESTRUTURAS TRELIÇADAS. (A) PONTE DE TRELIÇA; (B) LINHA DE TRANSMISSÃO

(a) (b)

FONTE: O autor

Para efeitos de projeto, considera-se que as forças são aplicadas nos nós da estrutura e que os nós são pinos que não oferecem resistência à flexão. Desta forma, as treliças estão sujeitas a apenas dois tipos de forças: tração e compressão.

A convenção dos sinais de tração e compressão em treliças são:Barras tracionadas: Positivo

Barras comprimidas: Negativo

3 ESTATICIDADE

Você sabia que o triângulo é a forma geométrica mais estável? Por esta razão, é amplamente utilizado nas estruturas, sendo que, a combinação de vários triângulos forma as treliças, garantindo a estabilidade mesmo em estruturas de grande porte. Um vídeo explicativo é sugerido como estudo complementar para melhor compre-ensão desta afirmação, que está disposto em uma Dica com o link para acesso.

Assista a este vídeo explicativo sobre a rigidez dos triângulos:https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI&feature=emb_logo.

DICAS

TÓPICO 2 — TRELIÇAS

77

Uma treliça formada por três barras AB, BC e CA ligadas umas às outras, através dos nós, formam uma estrutura de treliça simples, rígida e estável. Este tipo de treliça representado pela figura a seguir, item a, não altera sua forma quando submetido a uma força F no nó B e nem das reações de apoio correspon-dentes nos pontos A e C. Se as três barras são conectadas por pino em suas extre-midades, elas formam uma treliça triangular que será rígida.

Para as estruturas representadas na Figura 4, item b e c, quando subme-tidas a uma força F resultam em uma alteração no seu formato, não se apresen-tando estáveis e provocando um deslocamento das barras. De forma geral, qual-quer elemento composto por quatro barras ou mais, resultam em instabilidade da peça, colapsando sob qualquer combinação de cargas.

FIGURA 4 – ESTABILIDADE EM TRELIÇAS. (A) TRELIÇA SIMPLES; (B) TRELIÇA DE QUATRO BAR-RAS INSTÁVEL; E (C) TRELIÇA DE CINCO BARRAS INSTÁVEL

(b) (c)(a)

FONTE: Gomes (2016, p. 10)

O que pode ocorrer é acrescentar mais duas barras não colineares e um nó, resultando na estrutura rígida da figura a seguir, classificada como uma treliça simples. Esta adição de barras pode ser realizada até a expansão desejada da treliça.

A treliça simples é estaticamente determinada sendo possível determi-nar as reações de apoio na barra e as forças na barra utilizando as equações de equilíbrio de estática, possuindo o mesmo número de incógnitas e equações de equilíbrio, conforme já estudado na Unidade 1.

78


FIGURA 5 – TRELIÇA SIMPLES

FONTE: Gomes (2016, p. 10)

De forma geral, os elementos com espessura mais grossa estão sujeitos à força de compressão e elementos mais esbeltos estão sujeitos à força de tração. Isso devido ao efeito de deformação e/ou flambagem que a estrutura sofre.

Para calcular a treliça deve-se:

• Determinar as reações de apoio;• Determinar as forças na barra.

A equação utilizada para calcular uma treliça simples de malhas triangu-lares e isostática é definida abaixo:

(Eq. 21)2 . n = b + ν

Onde:

b = número de barras;n = número de nós;v = número de reações de apoio.

4 MÉTODO DOS NÓS

O método dos nós é um método de resolução natural que consiste em estudar o equilíbrio em cada nó isolado, marcar as forças exteriores e os esforços normais das barras. Os esforços normais que atuam nas barras serão determi-nados como forças que resultam em equilíbrio do nó, ou seja, com a treliça em equilíbrio, os nós também estão.

Para calcular a solução do sistema deve-se começar sempre pelos nós que possuem apenas duas incógnitas. Desta forma, logo abaixo apresenta-se um ro-teiro de cálculo e em seguida um exemplo.


79

Roteiro de cálculo das treliças:

• Inicialmente identificam-se os nós desenhando o diagrama de corpo livre e os tipos de reações de apoio, tendo pelo menos uma das forças conhecidas e no máximo duas incógnitas.

• Determinar o sentido das reações.• Aplicar as equações de equilíbrio descobrindo se os sentidos adotados nas

reações estavam corretos.• Avaliar cada um dos nós, sendo que o resultado de um pode influenciar no

outro.

Para determinar as forças das barras e das reações de apoio, identificam-se pri-meiro os nós da treliça e as reações de apoio. Primeiramente pode-se afirmar que a treliça da figura a seguir tem em A um apoio móvel e em E um apoio fixo, sendo que os movimentos são restringidos apenas para deslocamentos parale-los e perpendiculares ao plano, no apoio A resulta em uma vertical reação RA e no apoio E resulta em uma reação vertical RE e uma reação horizontal HE.

AUTOATIVIDADE

TRELIÇA

FONTE: Gaspar (2012, p. 22)

1° Para verificar se a estrutura é isostática, utiliza a equação 21, sendo:

2º n = b + ν Número de barras = 9Número de nós = 6Número de reações = 32 . 6 = 9 + 3

80


4° Cálculo das forças nas barras:

O cálculo inicia-se pelo nó que tem no máximo duas forças de incógnitas e geral-mente as forças devem estar tracionadas. Depois de calculado os nós, se o resultado der negativo é porque a seta estava no sentido errado e deve-se alterar o desenho.

Vamos iniciar pelo cálculo no Nó A:

12 = 12Desta forma, a estrutura é isostática.

2° Após calcula-se o ângulo de inclinação das barras:

3° Cálculo das reações de apoio:Em x não há forças atuantes, conforme demonstrado na resolução a seguir:

∑ Fx = 0HE = 0

Ou seja, não há forças atuantes em Fx.Em y as forças atuantes são 50 kN, 50 kN e 100 kN, sendo que o somatório delas é igual a 0.

∑ Fy = 0RA + RE – 50 – 100 – 50 = 0RA + RE = + 200 kN

Como a estrutura se encontra em equilíbrio, o somatório dos momentos em A ou em E devem ser iguais a zero.

∑ MA = 04 . RE – 50 . 4 – 100 . 2 = 0RE = 100 kN

Encontrando o valor de RE:

RA + RE = + 200 kNRA + 100 kN = + 200 kNRA = 100 kN

∑ FH = 0 N2 = 0 ∑ Fy = 0 N1 + 100 = 0 N1 = - 100 kN


81

Como N1 deu um valor negativo, devemos trocar o sentido da força que utiliza-mos no dia grama de corpo livro inicialmente. Ou seja, ao invés da força sair do nó ela vai estar comprimindo o nó.

Nó B:

Como N3 deu um valor negativo, devemos trocar o sentido da força que utilizamos no dia grama de corpo livro inicialmente. Da mesma forma que no N1, troca-se o sentido da força em N3, ao invés da força sair do nó ela vai estar comprimindo o nó.

Nó C:

∑ FH = 0 N3 + N4 Cos 45° = 0 N3 = - 50 kN∑ Fy = 0 N4 . Sen 45° + 100 + 50= 0 N4 = 70,40 kN

∑ FH = 0 50 + N5 = 0 N5 = - 50 kN∑ Fy = 0 N6 + 100 = 0 N6 = - 100 kN

Como N5 e N6 deu um valor negativo, devemos trocar o sentido da força que utilizamos no dia grama de corpo livro inicialmente. Como dito anteriormen-te, a força vai estar comprimindo o nó.

Nó D:

∑ FH = 0 50 + N7 Cos 45° = 0 N7 = 70,70 kN∑ Fy = 0 50 + N8 + 70,70 . Sen 45° = 0 N8 = - 100 kN

Da mesma forma, que os Ns anteriores o N8 também resultou em valor negativo, devendo inverter a direção da flecha. Assim, como a força em N8 saia do nó, na figura abaixo ela está no sentido de compressão do nó, ou seja, entrando no nó.

82


Para verificação dos valores encontrados, pega-se um nó em que todas as for-ças já foram calculadas, realiza-se o somatório das mesmas e esse somatório deverá ser igual a zero. Desta forma, o cálculo dos nós encontra-se correto.

Nó F (verificação):

De acordo com os resultados encontrados, vamos inserir o tipo de força encontrada (tração ou compressão) no quadro a seguir:

ResultadosNAB = - 100 kN Compressão

NAF = 0 kN

NBC = - 50 kN Compressão

NBF = + 70,7 kN TraçãoNCF = - 100 kN CompressãoNCD = - 50 kN CompressãoNDF = + 70,7 kN TraçãoNDE = - 100 kN Compressão

NFE = 0 kN

RESULTADOS DAS BARRAS

Nó E:

∑ FH = 0 N9 = 0

∑ FH = 0 - 70,70 Cos 45° + 70,70 Cos 45° = 00 = 0 Ok∑ Fy = 0 - 100 + 70,70 . Sen 45° + 70,70 . Sen 45° = 0 0 = 0 Ok


83

Temos também o Método de Ritter que consiste em cortar a treliça em duas seções, obtendo duas partes independentes, podendo cortar as barras de acordo com a quantidade de equações estáticas que possam escrever. Este método não será aprofundado neste livro didático.

DICAS

Dica de leitura adicional ESTUDO E ANÁLISE DE TRELIÇAS. Disponível no link: https://www.researchgate.net/publication/301298120_Estudo_e_Analise_de_Trelicas.

DICAS

84

RESUMO DO TÓPICO 2


• As treliças são compostas por barras ligadas por nós que recebem as forças externas. As barras são sempre dispostas de modo a formarem triângulos, que são as formas geométricas mais rígidas possíveis.

• As treliças estão sujeitas a apenas dois tipos de forças, de compressão e de

tração.

• A treliça simples é estaticamente determinada através da equação de equilí-brio da estática, onde determina-se as reações de apoio na barra e as forças.

• O método dos nós é utilizado para calcular o equilíbrio em cada nó separado, marcando as forças exteriores e os esforços normais das barras.

85

1 Assinale a alternativa correta a respeito do método dos nós:

a) ( ) O Método dos nós é obtivo através do cálculo do coeficiente de Poisson.b) ( ) O Método dos nós é o cálculo entre a tensão e deformação de um corpo.c) ( ) O Método dos nós é o cálculo das forças encontradas nas barras de uma

treliça, calculando isolado cada um nos nós.d) ( ) Para o cálculo do Método dos nós primeiro encontram-se as forças em

cada nó separado e depois o cálculo das reações.

2 A respeito do sistema estrutural treliçado, marque a seguir a alternativa incorreta:

a) ( ) Treliça é uma estrutura composta de elementos esbeltos, unidos uns aos outros por meio de rótulas nas suas extremidades, denominadas de nós.

b) ( ) A organização estrutural do sistema treliçado permite que haja nas suas barras apenas esforços axiais, fazendo com que a capacidade do mate-rial empregado seja explorada ao máximo.

c) ( ) O sistema treliçado apresenta pequeno peso próprio, uma vez que seu arranjo estrutural necessita de um baixo consumo de material, propor-cionando, ao mesmo tempo, uma função estrutural semelhante à de uma grande viga de alma cheia.

d) ( ) O vasto emprego da treliça está relacionado à sua capacidade de vencer grandes vãos com consumo de material inferior ao que normalmente é necessário para viabilizar outros sistemas estruturais. Isso se deve ao fato de que os elementos que compõem as treliças trabalham predomi-nantemente a esforços axiais.

e) ( ) Para o cálculo de uma treliça de madeira, deve-se respeitar a premissa de que os eixos geométricos das extremidades das barras que compõem um nó precisam ser concêntricos.

3 Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras da treliça da figu-ra a seguir, através do método dos nós.

AUTOATIVIDADE

86

TRELIÇA EXERCÍCIO 3

FONTE: <https://bit.ly/3uzDOiO>. Acesso em: 22 nov. 2020.

4 Calcule a força em cada barra da treliça da figura a seguir.


FONTE: Gaspar (2012, p. 24)

87

5 Determine os esforços normais nas barras das treliças da figura a seguir e indique se as barras estão sob tração ou compressão. Utilize o método dos nós.


FONTE: Rodrigues (2013, s. p.)

88

89

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Neste terceiro tópico, você vai aprender como funcionam as forças de ci-salhamento convencional em estruturas presentes no nosso dia a dia. Certamente, você já deve ter acompanhado em algum momento o processo de pendurar um quadro na parede através da fixação de um parafuso, certo? Este é o exemplo clássico da atuação da força de cisalhamento, onde o parafuso é submetido a um esforço cortante na seção onde o quadro é apoiado.

Estruturas metálicas com chapas rebitadas ou parafusadas também são bons exemplos de atuação das forças de cisalhamento, onde os elementos desli-zam de face a face das ligações de rebite ou parafusos, resultando em um cisa-lhamento das peças. Além disso, vale lembrar que além das forças atuantes nos parafusos e rebites, também devemos considerar as tensões de esmagamento nas chapas. Neste tópico vamos aprender a calcular estes esforços.

TÓPICO 3 —

CISALHAMENTO

2 CISALHAMENTO CONVENCIONAL

Conforme você já aprendeu anteriormente para definir as forças internas que atuam em um corpo submetido a um carregamento e que esteja em equilíbrio externo, utiliza-se o método das seções, que corta o corpo na seção de estudo.

O cisalhamento puro, convencional ou de corte, ocorre quando a magnitu-de dos esforços internos, como, esforço normal, momento fletor e momento torçor é desprezível em relação ao esforço cortante. Quando os esforços de somatório de Fy e Fz são diferentes de zero, diz-se que o corpo está submetido a uma força cortante.

O conceito de esforço cortante é a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção continuada. Este efeito ocorre em diversos tipos de ligações, como por encaixe, entalhe, rebitadas, parafusadas e soldadas e quando agem sobre um elemento tendem a provocar um deslizamento de face em relação a face vizinha.

Em relação a vigas, elas suportam tanto cargas de cisalhamento como de momento fletor, sendo que o cisalhamento é o resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal atuante sobre a seção transversal da viga. O mesmo ocorre com cisalhamento longitudinal, onde sua atuação ocorre ao longo dos planos longitudinais da viga.

90


Além da tensão de cisalhamento, temos também a deformação de cisalha-mento que resulta na distorção da seção transversal da viga.

3 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES

A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pi-nos que ligam diversas partes de máquinas e estruturas.

Quando é aplicada uma força F grande em uma barra com apoios rígidos, a barra irá se deformar e falhar ao longo do plano. A força de cisalhamento deve ser aplicada a cada seção para manter um equilíbrio no segmento.

Essas cargas transversais quando submetem ações em um corpo, provoca o aparecimento de forças internas na seção transversal que são denominados es-forços cortantes. Para o cálculo da tensão de cisalhamento, utiliza-se a razão entre força cortante F e área da seção transversal (corte), conforme Equação 22 abaixo:

(Eq. 22)

Onde:

= Tensão de cisalhamento (N/cm², kN/m²);A = área da seção transversal, (cm², m²);F = força de cisalhamento ou força cortante (N, kN);N = representado pela quantidade de áreas cisalhadas com a aplicação da força F.

Este tipo de tensão tangencial não se distribui uniformemente ao longo da seção transversal.

Pode-se encontrar o corte simples e corte duplo no estudo de cisalhamen-to. No corte simples, por exemplo, quando um rebite une duas chapas nas quais são aplicadas uma força F que resulta em tensões em uma das seções. Já no caso do corte duplo ocorre quando o rebite é utilizado para ligar três chapas, podendo ser cortado em dois planos, estando sujeito ao corte duplo. Para melhor exempli-ficar essa situação para vocês, pode-se verificar na figura a seguir.

TÓPICO 3 — CISALHAMENTO

91

FIGURA 6 - CISALHAMENTO SIMPLES E DUPLO

FONTE: (2015, p. 51)

Para cada situação tem-se uma equação de tensão média do cisalhamento. A equação 23 é a tensão média de cisalhamento para o cisalhamento simples (corte simples) e a equação 24 é a tensão média de cisalhamento para o cisalhamento duplo (corte duplo), conforme apresentado a seguir:

(Eq. 23)

(Eq. 24)

Considerando que a tensão admissível do material do parafuso deve ser maior que a tensão tangencial, tem-se a seguinte condição de segurança ao cisalhamento:

(Eq. 25)

Outro elemento que sofre cisalhamento são as chavetas, são submetidas a cargas cortantes resultante da força que o eixo exerce na chaveta, transmitindo para o elemento de engrenagem. Desta forma, devido à resistência do giro dos elementos de transmissão, que exercem uma força na reação da chaveta e provo-cam o cisalhamento.

92


Encontre o diâmetro necessário de um rebite para unir com segurança duas chapas, conforme a figura a seguir. Para o coeficiente de segurança utiliza-se 3 e o limite de escoamento cisalhante do rebite é 600 MPa.

AUTOATIVIDADE

CHAPAS UNIDAS COM REBITE

FONTE: Dutra (2015, p. 54)

Em peças estruturais parafusos ou rebites para realizar a ligação entre chapas e mesas de perfil para vigas ou abas cantoneiras, como pode ser visuali-zado na figura a seguir.

FIGURA 6 - VIGA PARAFUSADA



93

Tem-se apenas dois tipos de ligação: superposição e topo. Onde respecti-vamente, as peças são ligadas sobrepostas umas às outras, tendo um comprimento adequado e ligadas por uma ou mais linhas de parafusos e rebites, e à outra, as peças são ligadas frente a frente e cobertas por outras duas peças (cobrejuntas), a união das peças também é realizada com uma ou mais linhas de parafusos e rebites.

4 TENSÃO DE ESMAGAMENTO

Durante o carregamento, além do cisalhamento causado nos elementos de cha-pas unidos por rebites ou parafusos resultam em esmagamento pelas chapas, ou seja, tensão de esmagamento. Quando é realizado o dimensionamento destes elementos, deve-se verificar se a tensão de esmagamento é menor que o limite admissível.

A tensão de esmagamento é obtida através da equação a seguir:

(Eq. 26)

Onde:

F = Força N ou kN;d = diâmetro do furo;t = espessura da chapa.

Como nos casos de ligações parafusadas (ou rebitadas) existirem n para-fusos, podemos utilizar a equação:

(Eq. 27)

Para que o projeto funcione com segurança, a tensão de esmagamento deve ser menor que a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou dos cobrejuntas, conforme fórmula a seguir:

(Eq. 28)

94


Para a figura a seguir, calcule as tensões nas barras AB e BC, a tensão de cisa-lhamento dos pinos A, B e C e a tensão de esmagamento nos pinos A, B e C.

AUTOATIVIDADE

BARRAS COM PINOS


Inicialmente vamos calcular as reações existentes nas barras, que estão sub-metidas apenas a esforços normais. Sendo α o ângulo entre ABC, pela geome-tria do problema temos:

cos α = 0,8sen α = 0,6

Através das equações de equilíbrio, encontramos as reações nas barras. De-finindo que as barras estão tracionadas, calculamos primeiro os esforços na barra BC decompondo-a em duas forças:


95

Como a força na barra BC resultou em valor positivo, significa que adotamos o sentido correto da barra. Já a barra AB resultou em um valor negativo, ou seja, a barra é de compressão e o sentido está ao contrário.Com o valor das forças, podemos calcular as tensões nas barras.A barra AB tem seção retangular com as seguintes dimensões de 50 mm por 30 mm, e área de:

AAB = 50 x 30 = 1500 mm²

Assim:

∑ Fy = 0Fbc-ver – 30 = 0Fbc-ver = + 30 kN

Onde:

Agora vamos calcular a reação horizontal da barra BC:

∑ Fx = 0Fbc-hor = 50 . cos αFbc-hor = + 40 kN

Após calcular os esforços na barra BC, calculamos os esforços na barra AB, onde:

∑ Fx = 0Fab-hor + 40 = 0Fab-hor = - 40 kN

96


A barra BC tem seção circular com um raio de 10 mm, e área de:

ABC = π x 10² = 314,15 mm²

Assim:

Para encontrar a tensão de cisalhamento dos pinos, primeiro calculamos a área de cada um deles (neste caso, as áreas são as mesmas):APinos = π x 12,5² = 490,87 mm²

Quando calculamos a tensão de cisalhamento, devemos ter cuidado e verificar quantas seções de corte estão no pino, pois isso altera o resultado.Para o pino A, temos a força encontrada no item A de 40 kN e duas seções de corte no pino, desta forma:

Para o pino C tem-se a força encontrada no item A de 50 kN e uma seções de corte no pino, desta forma:

Para o pino B tem várias forças atuando em diferentes sentidos, a maior delas é a de 50 kN e duas seções de corte no pino, desta forma:

E por fim, vamos calcular a tensão de esmagamento em A, B e C.Conforme já verificado temos o diâmetro dos pinhos igual a 25 mm e vamos começar calculando a tensão de esmagamento da barra AB. Em A, a espessura da chapa é de 30 mm e a força no item A é de 40 kN.


97

5 RUPTURA POR TRAÇÃO NAS PLACAS

Além da tensão de esmagamento que são exercidas nas placas, também podemos calcular a ruptura por tração nas mesmas, sendo que quando são perfuradas para inserção dos parafusos resultam em enfraquecimento da seção transversal. Quanto maior for a quantidade de furos realizados na placa, menor será sua resistência à tração devido a diminuição de sua área.

Antes de ter a perfuração do parafuso ou rebite a placa tem uma área resistente e uma tensão atuante calculada conforme as equações a seguir:

(Eq. 30)

Onde:

b = comprimento da placa (mm ou cm);t = espessura da placa (mm ou cm).

(Eq. 30)

Quando essa placa tem a perfuração para inserção de um parafuso ou rebite, as equações de área resistente e tensão atuante se modificam:

(Eq. 32)

(Eq. 33)

E quando temos dois parafusos essas equações são:

(Eq. 34)

Em B, pela barra AB, a espessura da chapa é de 2 . 20 mm e a força no item A é de 40 kN.

Pela barra BC, tanto no item B quanto em C, tem-se uma espessura de 20 mm e a força atuante de 50 kN, desta forma:

98


Onde:

F = força atuante de tração na placa (N ou kN);b = comprimento da placa (mm ou cm);t = espessura da placa (mm ou cm);d = diâmetro do parafuso ou rebite (mm ou cm).

Sugestão acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Capí-tulo 4 – Carga Axial – do livro de Resistência dos Materiais de R. C. Hibbeler.

DICAS

Onde:

(Eq. 35)

Enfim, para generalizar essa situação, inserimos como n o valor do número de parafusos ou rebites que existem na placa e calculamos da seguinte forma:

(Eq. 36)

(Eq. 37)


99


ENSAIOS DE TRAÇÃO DIRETA EM CORPOS DE PROVA DE CONCRETO

L. A. Farias A. N. M. Lopes

M. L. Stival M. A. S. Andrade R. M. Bittencourt

Apesar de sempre considerarmos que o concreto resiste unicamente a es-

forços de compressão, é importante a determinação da capacidade de resistência à tração para alguns casos específicos de aplicação, como esforços gerados por movimentação térmica, retração e também eventuais esforços de cisalhamento.

Um dos métodos mais simples de determinação da resistência à tração do

concreto é chamado de “Brazilian Test”, desenvolvido pelo Eng. Fernando Lobo Carneiro em 1934 e reconhecido pela Associação de Padrões Internacionais (ISO) na década de 1980. Este método utiliza de uma força de compressão diametral em um corpo de prova cilíndrico de concreto, onde a resultante devido a deforma-ção, acaba sendo uma tensão de tração.

No entanto, este é um método de medição da resistência à tração chama-do de “método indireto” pois não aplica a força de tração diretamente no mate-rial. É um ensaio normalizado no Brasil segundo a NBR 7222/94, da ABNT. Neste teste é aplicada uma tensão de compressão na geratriz do cilindro, que é apoiado em duas taliscas de madeira em contato com os pratos da prensa. O corpo de prova fratura devido à tração desenvolvida em planos diametralmente opostos, conforme observado na figura a seguir.

CORPOS DE PROVA DE CONCRETO SUBMETIDOS AO ESFORÇO DE COMPRESSÃO DIAMETRAL

FONTE: Engenheiros de FURNAS (1997)

100


Por outro lado, podem ser realizados “métodos diretos” de aplicação da força de tração nos corpos de prova. Um destes métodos foi desenvolvido por Leroy no laboratório de concreto de FURNAS, em Goiás. Este método utiliza de equipamentos, semelhantes a copos, que prendem o corpo de prova cilíndrico nas extremidades, permitindo que seja aplicada uma força de tração direta no material, conforme pode ser observado na figura a seguir.

APLICAÇÃO DE TRAÇÃO DIRETA EM CORPO DE PROVA DE CONCRETO

FONTE: Engenheiros de FURNAS (1997)

Além destes métodos apresentados, ainda há outros tantos diretos e indiretos aplicados de diferentes formas e regidos por diversas normas técnicas no mundo todo. A determinação dos valores reais de resistência à tração do concreto é de gran-de importância, para que se possa minimizar o aparecimento de fissuras ocasionadas por efeitos térmicos, retração e por efeitos devido à esforços atuantes nas estruturas.

FONTE: <https://bit.ly/3mt6zLs>. Acesso em: 28 nov. 2020.

101

RESUMO DO TÓPICO 3



CHAMADA

• O cisalhamento convencional ou de corte ocorre quando a magnitude dos esforços internos é desprezível em relação ao esforço cortante.

• O efeito de esforço cortante ocorre em diversos tipos de ligações, por exem-plo, encaixe, rebite, parafusos, soldadas. Quando agem sobre um elemento resultam em deslizamento da face a face.

• A tensão de cisalhamento ocorre em parafusos, rebites e pinos que ligam par-tes de máquinas e estruturas. Estes esforços podem ser calculados pelo méto-do das seções.

• A tensão de esmagamento ocorre durante o carregamento nas chapas, esma-gando-as. O cálculo desta tensão leva em consideração a espessura da chapa e o diâmetro dos furos onde estão inseridos os parafusos.

102

1 Uma haste presa em uma parede é apresentada na figura a seguir. Considere o diâmetro da haste de 10 mm e que há uma força de 5 kN atuando sobre ela. Determine a tensão de cisalhamento medida no ponto d.

AUTOATIVIDADE

ESCORA PRESA A PAREDE


2 É muito importante o engenheiro ser capaz de identificar qual é o tipo de tensão atuante sobre uma estrutura. Desta forma, identifique, na figura a seguir, os três tipos de tensões que estão aplicadas sobre as peças. Essas tensões, representadas por a, b e c são respectivamente:

TIPOS DE TENSÕES

FONTE: Concurso público, Ministério da Educação Instituto Federal do Espírito Santo Reito-ria, Magistério (2012)

a) ( ) Flexão, cisalhamento e compressão.b) ( ) Cisalhamento, tração e compressão.c) ( ) Cisalhamento, tração e torção.d) ( ) Flexão, torção e tração.e) ( ) Flexão, tração e torção.

103

3 Uma viga sofre deformação quando submetida a ação de cargas. O trabalho externo realizado por essas cargas é convertido em energia de deformação, a qual é armazenada na viga e provocada pela ação:

a) ( ) Do momento fletor e carga axial.b) ( ) Tensão multiaxial e tensão de cisalhamento.c) ( ) Momento fletor e tensão de cisalhamento.d) ( ) Tensão normal e tensão de cisalhamento.e) ( ) Tensão normal e momento fletor.

4 Determine as tensões atuantes necessárias para a ruptura por cisalhamento e por compressão na parede dos furos apresentados na figura a seguir. Considerar:

Força P = 14,3 kN;Largura da chapa b = 25 cm;Espessura da chapa t = 10 cm;Espessura das cobrejuntas t = 1,5 cm;Diâmetro do parafuso d = 3,25 cm.

TENSÃO NA CHAPA COM PARAFUSOS


5 Para fixar uma chapa de aço em uma viga de madeira, foram utilizados três parafusos, conforme pode ser observado na figura a seguir. Determine o di-âmetro necessário para os parafusos sabendo que a carga atuante na chapa é de 110kN, que o limite de tensão do aço utilizado é de 360MPa e que se deseja um coeficiente de segurança de 3,35.

CHAPA DE AÇO COM TRÊS PARAFUSOS


104

6 Determine a tensão de cisalhamento média ao longo da linha tracejada no corpo de prova de madeira apresentado na figura a seguir. Considere que a ruptura ocorreu quando a força P alcançou 8 kN.

CORPO DE PROVA EM MADEIRA


105

REFERÊNCIAS

Apostila de Resistência dos Materiais. Disponível em: https://bit.ly/3uzDOiO. Acesso em: 22 de novembro de 2020.

BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Pearson Makron Books, 3. ed. São Paulo, 1995.

CANELLA, F.; PELEGRIN, J. Aula 00 (Prof. Juliano de Pelegrin) Engenharia Me-cânica p/ Concursos. Disponível em: https://bit.ly/3uN4vB1. Acesso em: 8 nov. 2020.

DUTRA, K. Apostila de resistência dos materiais. Escola técnica CEPEP, 2015. (Apostila). Disponível em: https://bit.ly/3fOvGXM. Acesso em: 8 nov. 2020.

ESTUDAR COM VOCÊ. Matérias: resistência dos materiais. Disponível em: ht-tps://bit.ly/3t2Lwlm. Acesso em: 8 nov. 2020.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E MECÂNICA DOS SÓLIDOS. Disponível em: https://bit.ly/3uvRKuk. Acesso em: 29 nov. 2020.


HALLAK, J. C. et al. Apostila de resistência dos materiais I. Juiz de Fora, 2012. (Apostila). Disponível em: https://bit.ly/3s3exvI. Acesso em: 8 nov. 2020.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Pearson Prentice Hall, 5. ed. São Paulo, 2004.

IME – Instituto Militar de Engenharia. Resistência dos materiais. 27 slides. Dis-ponível em: https://bit.ly/3uz89OK. Acesso em: 10 out. 2020.

ISTOCKPHOTO. Disponível em: https://bit.ly/3mvUghf. Acesso em: 15 out. 2020.

METHA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. Concreto: estrutura, propriedades e mate-riais. São Paulo: PINI, 1994. 573 p.


PREFEITURA DE SANTOS. Disponível em: https://bit.ly/31XT0ds. Acesso em: 30 out. 2020.

QUESTÕES DE CONCURSO. Disponível em: https://bit.ly/3wGTbrC. Acesso em: 13 dez. 2020.

106

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 1 – Introdução a resistên-cia dos materiais, 2013. 38 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – aula 2 – Tensão e deformação, 2013. 56 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 4 – Treliças simples, 2013. 22 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 5 – Cisalhamento conven-cional, 2013. 35 slides.

RODRIGUES, L. E. M. Mecânica técnica – Aula 15 – Reações de apoio em vigas e estruturas. 32 slides.

SENAI. SC. Resistência dos materiais. Florianópolis: SENAI/SC, 108p., 2004.

SINDICATO DOS TRABALHADORES NA INDÚSTRIA DA CONSTRUÇÃO CIVIL DE SÃO LUÍS-MA. Site. Disponível em: https://bit.ly/2PEtmrP. Acesso em: 20 out. 2020.


107

UNIDADE 3 —

ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO



• compreender o esforço de tensão em materiais como eixos e tubos podem sofrer, em que será abordado o estudo da regra da mão direita para a convenção dos sinais;

• aprender como calcular os esforços de flexão que atuam em eixos e vigas e representar através de gráficos o diagrama de força cor-tante e momento fletor nestes elementos;

• estudar o cálculo do estado de tensão e deformação no plano, aprendendo como transformar estes componentes em elementos associados a um sistema de coordenadas particular e componen-tes ligados a um sistema de coordenadas com orientação distinta;

• realizar o cálculo e o desenho do círculo de Mohr, tanto para trans-formação no plano de tensão, quanto no plano de deformação.

108

PLANO DE ESTUDOS

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – TORÇÃO

TÓPICO 2 – FLEXÃO

TÓPICO 3 – TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO


CHAMADA

109

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico vamos entender o comportamento de materiais sob efeitos de esforços de torção em elementos lineares como eixos ou tubos. Aprender o cálculo do esforço torçor e a regra da mão direita, que define se o momento torçor é positivo ou negativo.

Serão abordados os temas de tensões de cisalhamento tangenciais ao pla-no de torção de barras e perpendiculares ao raio de uma seção circular, além de compreender a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo circular maciço e um eixo circular vazado. E por fim, descobrir o ângulo de torção do eixo onde ocorre esse momento torçor e a transmissão de potência quando máquinas dependem de um valor certo de acionamento para gerar os requisitos de potência do motor.

TÓPICO 1 —

TORÇÃO

2 ESFORÇO DE TORÇÃO

O principal interesse no projeto de eixos ou eixos de acionamentos são uti-lizados em veículos ou maquinarias. A torção é a força P aplicada a uma barra re-tilínea em relação ao seu eixo longitudinal, resultando no giro da seção transversal circular. Esta ação resulta em deformação na peça conforme apresentado na Figura 1, onde as retas radiais permanecem retas e as retas longitudinais ficam torcidas.

FIGURA 1 – BARRA CIRCULAR SUBMETIDA AO ESFORÇO DE TORÇÃO


UNIDADE 3 — ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO

110

Após observar a situação ilustrada na figura acima, pode-se dizer que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu raio permanece-rão inalterados. Agora, caso o eixo esteja fixo em uma extremidade e realizar um torque na outra extremidade o plano sombreado distorcerá e apresentará uma forma oblíqua conforme apresentada na letra (b) da figura acima. Desta forma, a linha radial da seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo vai girar por meio de um ângulo de torção, este depende do valor de x e sofre variação ao longo do eixo.

Um exemplo prático de torção em maquinários é o sistema de um gerador com uma turbina. Para melhor compreender este fenômeno, apresenta-se a seguir na Figura 2 o esquema deste sistema.

FIGURA 2 – MOMENTO TORÇOR DE UMA TURBINA PARA O GERADOR


Conforme apresentado, ambos os sistemas estão interligados através de um eixo. Ocorre um torque T no eixo da turbina que é transmitido para o eixo do gerador, criando um torque T’ contrário conhecido como momento torçor.

3 DIAGRAMA MOMENTO TORÇOR

Nesta seção, nós vamos realizar uma introdução para compreender a con-venção de sinais que será utilizado no momento torçor. Conforme já estudado nas unidades anteriores, utilizamos novamente o método das seções, além de avaliar o equilíbrio como um todo do plano seccionado perpendicular ao eixo da peça.

TÓPICO 1 — TORÇÃO

111

Para a convenção dos sinais, é utilizado um método conhecido como ‘mé-todo da mão direita’ definindo assim a direção e o sentido do momento torçor ou de torque. Torque e ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo, conforme apresentado na Figura 3.

FIGURA 3 – REGRA DA MÃO DIREITA PARA CONVENÇÃO DE SINAIS


Para melhor compreensão da regra da mão direita, vamos realizar a seguir um exemplo indicando o torque em um eixo qualquer para identificar os sinais.


112

Na figura a seguir, vamos realizar o corte das seções AB, BC e CD e descobrir o valor de cada momento torçor e sua respectiva sinalização de acordo com a regra da mão direita.

AUTOATIVIDADE

REGRA DA MÃO DIREITA PARA CONVENÇÃO DE SINAIS


Desta forma, iniciamos pelo corte da seção AB:

Pensando no eixo x e inserindo a mão direita, temos para o momento torçor de 80 N.m um sinal negativo, sendo que quando posicionamos a mão direita no eixo x e giramos no sentido do momento torçor indicado o polegar estará em sentido aproximar-se do eixo. Para o momento torçor TAB temos o sentido con-trário a esse, e quando inserimos a mão direita no eixo x e giramos no sentido de TAB o polegar estará em sentido afastar-se do eixo, ou seja, valor positivo. Desta forma o cálculo ficaria da seguinte forma:

- 80 N.m + TAB = 0TAB = 80 N.m

Seção BC:


113

Cortando a seção BC e utilizando a regrada mão direita, a momento torçor de 80 N.m fica com sinal negativo, conforme definimos anteriormente. Os momentos torçores de 150 N.m e TBC são positivos, pois inserindo a mão direita no eixo x e girando de acordo com a direção apresentada na imagem acima, o polegar estará em sentido afastar-se do eixo, ou seja, valor positivo. O cálculo é realizado da seguinte forma:

- 80 N.m + 150 N.m + TBC = 0TBC = - 70 N.m

Seção CD:

Para a seção CD invertemos o sentido do eixo x para o lado esquerdo, mas continu-amos utilizando a regra da mão direita, onde os momentos torçores TCD e 10 N.m está com o giro para o mesmo lado. Aplicando a regra, temos o polegar em sentido a afastar-se do eixo x, portanto os dois valores são positivos, tendo assim:

TCD + 10 N.m = 0TCD = - 10 N.m

Com estes valores, é possível realizar o diagrama de esforço torçor, que está representado através da figura a seguir.

FIGURA 4 – DIAGRAMA DE ESFORÇO TORÇOR


Os valores encontrados em cada seção foram distribuídos no gráfico acima, onde na seção AB obteve-se um valor positivo de 80 N.m, sendo representado acima do eixo x, na seção BC encontrou-se um valor negativo representado abaixo do eixo x e na seção CD também se encontrou um valor negativo localizado abaixo do eixo x.


114

4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM EIXO CIRCULAR

A ação de torcer é resistida pelo material através de forças internas de cisalhamento, em que para uma condição de equilíbrio, exija da peça um mo-mento interno igual e oposto ao aplicado externamente. Entre os dois planos, identificado na figura a seguir, é produzida uma torção que produz uma rotação no material deformando o eixo e produzindo tensões.

FIGURA 5 – PLANOS DE TORÇÃO INTERNO E EXTERNO

FONTE: <https://bit.ly/3fOvGXM>. Acesso em: 16 dez. 2020.

O momento torçor resulta em tensões de cisalhamento tangenciais ao plano de torção da barra e perpendiculares ao raio da seção circular como apresentado na figura a seguir. A distância da força aplicada até o centro da seção circular é represen-tada pelo símbolo ρ, esta força é expressa por dF que é igual a dF = · dA, onde τ é a tensão de cisalhamento e dA é a área. A equação pode ser descrita da seguinte forma:

(Eq. 38)

FIGURA 6 – TENSÕES DE CISALHAMENTO

FONTE: <https://bit.ly/3t2Lwlm>. Acesso em: 18 dez. 2020.

Para resolver a questão da integral da equação 38, dependemos da geometria do eixo, que representa o momento de inércia polar da área da seção transversal, que é calculado na linha central do eixo longitudinal. Desta forma, matematicamente podemos expressar a tensão de cisalhamento máxima, τmáx no eixo em sua superfície externa como:


115

(Eq. 39)

Onde:

𝜏máx = Tensão máxima de cisalhamento no eixo na superfície externa;T = Torque interno resultante que atua na seção transversal;J = Momento de inércia polar da área da seção transversal, mm4 ou cm4;C = raio externo do eixo, mm ou cm.

A equação 39 é também denominada como fórmula da torção e é utilizada para materiais homogêneos e com eixos circulares de comportamento linear-elás-tico, sendo que a dedução é realizada através da proporção da tensão de cisalha-mento e deformação de cisalhamento.

Para calcular o momento de inércia polar da área da seção transversal, temos duas equações para diferentes situações que podem ser utilizadas. Para círculos de seção transversal maciça temos a seguinte equação:

(Eq. 40)

No caso de seção circular de eixo vazado, ou seja, eixo tubular, utiliza a diferença entre o raio interno e o raio externo no cálculo, através da seguinte fórmula:

(Eq. 41)

A distribuição das tensões para cada uma das situações em seção de eixo maciço ou vazado, pode ser observada na figura a seguir:

FIGURA 7 – DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO. (A) EM CÍRCULO MACIÇO; (B) EM CÍRCULO VAZADO



116

Desta forma, pode-se compreender a distribuição de tensões de cisalha-mento na seção transversal de um eixo circular maciço e um eixo circular vazado de raio interno c1 e raio externo c2.

Quando o eixo de alumínio ABCD de um motor elétrico está girando cons-tantemente ele exerce um torque de 500 N.m. Sabendo que G = 27 GPa, TBC = 200.000 N.mm e TCD = 500.000 N.mm, vamos determinar a partir da Figura 9 a máxima tensão de cisalhamento atuante no eixo e em qual trecho esta ocorre.

AUTOATIVIDADE

MOTOR ELÉTRICO


Em um primeiro momento, é calculado o momento de inércia polar das seções, como não tem momento no trecho AB não precisa ser calculado, já que o mesmo não resultará tensões.

No trecho BC temos um diâmetro de 44 mm (raio = 22 mm) e no trecho CD temos um diâmetro de 45 mm (raio = 22,5 mm).


117

5 ÂNGULO DE TORÇÃO

Outro item importante no estudo de projetos de eixos é o cálculo do ângu-lo de torção ao qual pode estar sujeito quando este está submetido a um torque. Admitindo o regime elástico, vamos desenvolver uma relação entre o ângulo de torção (θ) e o momento torçor aplicado ao eixo (T).

Para calcular o ângulo de torção deve se considerar valor do comprimento do eixo que é representado pela letra L e admitir que o torque, a área da seção transversal e o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material (G) são cons-tantes. Desta forma, chega-se à equação abaixo:

Para calcular a tensão de cisalhamento máximo precisamos primeiro calcular o momento aplicado em cada um dos trechos os quais já foram disponibiliza-dos no enredo da questão. Sendo assim, temos para o trecho BC:

Trecho CD:

Assim, a máxima tensão de cisalhamento ocorre no trecho CD e é de 27,94 MPa.

(Eq. 42)

Onde:

θ = é o ângulo do momento torçor, em radianos;L = é o comprimento do eixo, em mm ou cm;T = Torque interno resultante que atua na seção transversal;J = Momento de inércia polar da área da seção transversal, mm4 ou cm4;G = é o módulo de elasticidade do material, GPa.

Esta equação demonstra a relação entre o ângulo de torção sendo proporcional ao momento torçor aplicado no eixo circular, ao comprimento do eixo e inversamente proporcional ao momento polar de inércia e ao módulo de elasticidade do material. Está fórmula deve ser utilizada quando:

• Material homogêneo de módulo de elasticidade transversal constante;• Eixos com seção transversal constante;• Momentos aplicados na extremidade dos eixos.


118

Dando continuidade ao cálculo realizado anteriormente para encontrar a ten-são máxima de cisalhamento da Figura 9. Vamos agora calcular o ângulo de torção entre cada um dos trechos e o ângulo de torção total.Os valores de L para cada seção são:

• Seção AB valor de L = 1 m;• Seção BC valor de L = 1,2 m;• Seção CD valor de L = 0,9 m.

Para o cálculo deve-se sempre utilizar unidades compatíveis, desta forma, va-mos definir as unidades como: comprimentos em mm, força em N, tensões em MPa e o ângulo em radianos.

No trecho AB não temos momento torçor, resultando em um valor igual a zero.Conforme calculado anteriormente, temos o valor de J para cada seção:

AUTOATIVIDADE

Para os trechos BC e CD temos os seguintes valores de momento torçor:

TBC = 200.000 N.mmTCD = 500.000 N.mm

Desta forma, pode-se calcular o ângulo torçor de cada seção.

Seção BC:

No caso de eixos submetidos a momentos de torção aplicados em mais de um ponto, com variação no comprimento transversal e de diferentes materiais, realiza-se o somatório do valor dos ângulos.


119

6 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA

Para finalizar o tópico, vamos falar sobre a transmissão de potência em ei-xos de máquinas que precisam de um certo valor de acionamento para satisfazer os requisitos de potência do motor. Eles geram torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. Desta forma, para transfor-mar a potência gerada de um eixo rotativo em torque, utiliza-se a seguinte equação:

(Eq. 43)

Onde:

P = potência, em Watts;T = torque, em N.m ou N.mm;w = Velocidade angular do eixo, em radianos por segundo.

Caso ao invés de ser informada a velocidade angular do eixo, for informa-da a frequência de rotação, pode ser utilizada a seguinte equação:

(Eq. 44)

Onde:

P = potência, em Watts;T = torque, em N.m ou N.mm;f = frequência de rotação do eixo, em Hz ou 1 ciclo/s.

Para obter o valor do trecho AD, ou seja, o valor total do ângulo torçor, soma--se os ângulos encontrados em cada seção.

θAD = 1,38° + 2,37θAD = 3,75°

Para uma tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa, o eixo maciço que compõe a linha de engrenagens de um veículo, onde o motor transmite uma potência de rotação de 660 rpm, sendo que o eixo que recebe essa transmissão por meio de engrenagens deve fornecer uma potência de 90 cv para a máqui-na da esquerda e 30 cv para a máquina da direita, calcule o diâmetro mínimo que a linha de engrenagens deve possuir. Dado: 1 cv = 745,6 W .Para iniciar o cálculo, deve-se observar que a potência total do motor é dividida em dois lados, sendo que os dois lados têm uma mesma rotação e cada lado terá

AUTOATIVIDADE


120

Como temos a frequência do motor que é dada em rpm, transformamos a mesma em Hz, ou seja, f = 660 rpm = 11 Hz. Desta forma, o momento torçor máximo é:

Isolando o R, temos:

Sugerimos acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Ca-pítulo 5 – Torção – do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler.

DICAS

um momento torçor distinto. O momento torçor máximo do eixo está ao lado com maior transmissão de potência, ou seja, para a esquerda com 90 cv.Com isso, podemos calcular o valor do momento torçor, através dos dados de potência e de velocidade angular obtidos no enredo da questão.

Com isso, pode-se utilizar a fórmula do cisalhamento máximo na torção, po-rém primeiro teremos que calcular o momento de inércia polar:

Não temos o valor de R e nem o valor de J, desta forma substituímos na equa-ção de tensão de cisalhamento máximo:

Ou seja, seu diâmetro é igual a 50 mm.

121


RESUMO DO TÓPICO 1

• O torque T no eixo da turbina transmitido para o eixo de um gerador, cria um torque T’ contrário que é conhecido como momento torçor.

• A regra da mão direita é utilizada para a convenção dos sinais, sendo definida como a direção e o sentido do momento torçor ou de torque, onde, torque e ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo e negativo se o polegar for no sentido a se aproximar do eixo.

• O momento torçor resulta em tensões de cisalhamento tangenciais ao plano de torção da barra e perpendiculares ao raio da seção circular, que podem ser círculos maciços ou tubulares.

• A transmissão de potência em eixos de máquinas precisa de um certo valor de acionamento para satisfazer os requisitos de potência do motor.

122

1 Considere a estrutura abaixo, com um G = 27 GPa:

AUTOATIVIDADE

ESTRUTURA COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR A) ESTRUTURA B) SEÇÃO TRANSVER-SAL DA VIGA

(a) (b)


a) Encontre o diagrama de momento torçor.b) O momento polar de inércia para os trechos AB e BC, considerando o

diâmetro interno de AB igual a 140 mm.c) O valor de para que o ângulo de torção total seja igual a 2°.

2 Um eixo tubular com 1,5 m de comprimento que deve transmitir 100 kW entre a turbina e o gerador, tem uma seção circular de diâmetro externo igual a 38 mm (d1) e diâmetro interno igual a 30 mm (d2), conforme a figura a seguir. Determine a frequência mínima que o eixo pode girar.

Dados: G = 77,2 GPa, tensão de cisalhamento admissível é de 60 MPa e o ângulo de torção não deve ser maior que 3°.

SEÇÃO CIRCULAR DE UM TUBO


123

3 O eixo de um motor tem uma seção transversal em forma de coroa circular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm, este transmite potência através de sua rotação. Sendo que esta potência transmitida é de 90 kW, calcule a frequência de rotação mínima para que para a qual a ten-são de cisalhamento não exceda o valor de 50 MPa.

a) 1598 rpm;b) 3192 rpm;c) 10028 rpm;d) 524 rpm;e) 27 rpm.

4 Peças submetidas à torção são encontradas em muitas aplicações da prática de engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de eixos de transmis-são, utilizados para transmitir potência de um ponto a outro, como no caso de transmissão de potência do motor de um carro ao eixo traseiro. É IN-CORRETO afirmar que:

a) ( ) A deformação de cisalhamento é determinada como função do raio, do ângulo de torção e do comprimento do material.

b) ( ) Os materiais dúcteis, quando submetidos à torção, se quebram em um plano perpendicular ao eixo longitudinal da peça.

c) ( ) Os materiais frágeis, quando submetidos à torção, se rompem em su-perfícies que formam 45° com o eixo longitudinal da peça.

d) ( ) A lei de Hooke é válida no regime elástico, em que a tensão de cisalha-mento é diretamente proporcional ao produto do módulo de elasticida-de transversal do material e da deformação de cisalhamento.

e) ( ) Para cálculo da tensão de cisalhamento, admite-se que a seção transversal da barra varia linearmente com o comprimento, sendo que o valor máximo des-ta tensão se encontra na superfície da barra e mínimo igual à zero no centro.

5 Acoplamentos são componentes mecânicos utilizados para a união de um eixo a outro. Além disso, proporcionam um eficiente método de transmis-são de torque e velocidade entre eixos. Dentre as diversas categorias e apli-cações dos acoplamentos, o que permite a conexão e desconexão de eixos em movimento e também pode agir como dispositivo de segurança no caso sobrecargas é o do tipo:

a) ( ) Cruzeta.b) ( ) Embreagem.c) ( ) Elastômero desmontável.d) ( ) Steel Flex.e) ( ) Junta Universal.

124

125

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico, nós vamos determinar os esforços provocados por flexão em elementos estruturais e mecânicos como vigas e eixos, que são de suma importância para a engenharia. Serão abordados estudos de diagrama de força cortante e momen-to fletor nestes elementos, que constituem meios úteis para determinar o maior cisa-lhamento e momento fletor, verificando ainda onde estes valores máximos ocorrem.

Determinando os valores acima, pode-se calcular o esforço de flexão, con-siderando elementos de materiais retos, seção transversal simétrica e material ho-mogêneo linear-elástico.

TÓPICO 2 —

FLEXÃO

2 ESFORÇO DE FLEXÃO

Flexão é a solicitação que tende a provocar curvatura em peças. Estas peças, através dos esforços solicitantes de momento fletor, força normal/esforço cortante ou a soma das duas, são os responsáveis por este fenômeno. A flexão está associada ao momento fletor e pode ser classificada em dois principais tipos: flexão pura e flexão simples.

Para melhor compreensão utilizamos o exemplo de uma viga com cargas perpendiculares ao eixo, onde desenvolvem em suas seções transversais de mo-mento fletor e esforço cortante. O momento fletor é responsável pela flexão e o esforço cortante pelo cisalhamento da viga.

Algumas vezes o esforço cortante resulta em influência desprezível no comportamento da peça, podendo desprezá-la e estudando o efeito da flexão iso-lada. Desta forma, podemos explicar resumidamente cada tipo.

Flexão pura: desprezando o efeito do esforço cortante.Flexão simples: momento fletor e esforço cortante considerados.

126


3 DIAGRAMAS DE FORÇA NORMAL, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTOS

Iniciaremos o estudo de flexão com a abordagem da construção dos diagramas de força normal, esforço cortante momento fletor de uma viga ou um eixo. Conforme visto na Unidade 1, já estudamos previamente como é realizado o cálculo dos esforços internos nestes sistemas e vamos explicar mais detalhado este tema neste tópico.

As vigas são elementos estruturais longos e retos e podem ser classificadas de acordo com o seu formato, podendo ser construídas com apoios simples, engastadas ou apoiadas com balanço. Estes apoios são utilizados em apoios de pisos de edifícios, eixo de automóveis, lança de guindaste, tabuleiro de uma ponte, asa de avião, entre outros. Estas classificações podem ser mais bem compreendidas na figura a seguir.

FIGURA 8 – CLASSIFICAÇÃO DOS APOIOS EM VIGAS

FONTE: Pelegrin e Canella (2019, p. 59).

Alguns elementos que atuam como vigas: eixo de um automóvel, lança de um guindaste e muitos dos ossos humanos.

INTERESSANTE

O cálculo dos esforços internos pode ser seguido através de um simples roteiro:

1. Cálculo das reações nos apoios.2. Identificação dos pontos onde há alteração de carregamento.3. Utilizar o método das seções para cada trecho, iniciando pela direita ou pela

esquerda, somando forças e momentos.

As vigas recebem cargas que geram força cortante (cisalhante) e momento fletor, que variam ao longo do eixo. Para projetar uma viga, deve-se determinar o cisalhamento e momento máximos exercidos utilizando funções entre força e posição arbitrária de x (comprimento da viga). Estas funções são representadas através de gráficos que são denominados de diagramas de esforço cortante ou momento fletor.

TÓPICO 2 — FLEXÃO

127

Para poder representar graficamente os diagramas de momento fletor e força cortante adota-se uma convenção de sinais para cisalhamento e momentos positivos encontrados ao longo do eixo da viga. Esta convenção de sinais é de acordo com o apresentado a seguir:

Entrando pela direita

Entrando pela esquerda

Para melhor compreensão e fixação do aprendizado vamos realizar uma AUTOATIVIDADE.

Para a viga na figura a seguir, vamos identificar as reações de apoio e o cálculo da seção de acordo com o que vimos acima, e desenhar o diagrama de esforço cortante e momento fletor.

AUTOATIVIDADE

VIGA COM CARREGAMENTO P


128


Conforme aprendemos, vamos em primeiro lugar identificar as reações de apoio, ou seja, para essa viga podemos identificar e calcular o VA e VB. Pode-se verificar que a viga tem um carregamento P no meio de sua seção.

∑Fy = 0VA + VB = P

Como a força P está bem ao meio da viga, temos:

Para continuar o cálculo vamos cortar a seção em AB da viga a uma distância x e utilizar a convenção dos sinais.

As incógnitas foram adotadas no sentido positivo e aplicando as equações de equilíbrio encontramos o valor de V e M:

Agora cortando a viga na seção BC temos:


129

FIGURA 9 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR DA VIGA COM CARREGAMENTO P


Desta forma, podemos perceber que nas duas seções temos o carregamen-to de P sobre 2 o qual foi representado no gráfico de acordo com o sinal encontra-do, positivo representado no desenho acima do eixo y e negativo abaixo do eixo y. O mesmo se fez para o momento fletor.

4 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

Para definir o diagrama de esforço cortante e momento fletor quando a viga está sujeita a carregamentos diferentes, como cargas concentradas e cargas distribu-ídas, pode ser complicado. Porém, levando em consideração algumas relações entre carga, esforço cortante e momento fletor, podemos facilitar a construção do diagrama.

Na figura a seguir, nós temos uma viga simplesmente apoiada, sujeita a um carregamento arbitrário. Separando uma seção da viga separadas por Δx, a força cortante e o momento fletor no primeiro ponto desta seção será V e M, con-sideradas com valores positivos.

A figura a seguir apresenta o diagrama de esforço cortante e o diagrama do momento fletor que encontramos nos cálculos acima.

130


FIGURA 10 – VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO ARBITRÁRIO


O diagrama de corpo livre desta seção está representado na Figura 16. A carga distribuída foi concentrada, resultando na força w(x) . atuante a uma distância k . a partir da extremidade direita.

FIGURA 11 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE


Para manter o segmento em equilíbrio, tanto a força cortante interna quanto o momento interno que atuam que atuam sobre a face direita do segmen-to devem sofrer uma pequena alteração finita.

Facilitando a construção do diagrama de força cortante e momento fletor, utiliza-se um método baseados em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento. Essas relações são:


131

(Eq. 45)

Inclinação do diagrama de força cortante em cada ponto = - intensidade da carga distribuída em cada ponto

(Eq. 45)

Inclinação do diagrama de momento fletor em cada ponto = cisalhamento (força cortante em cada ponto).

Ambas as equações resultam em soluções rápidas para obter os diagra-mas de esforço cortante e momento fletor. A primeira equação determina o ponto do diagrama de esforço cortante onde o declive é igual à intensidade negativa da carga distribuída e a segunda equação que em determinado ponto o declive do diagrama do momento fletor é igual à força cortante. Sabemos ainda, que através de regras de derivadas e integrais, onde integrando w obtemos V e integrando V obtemos M. Além disso, podemos reescrever as equações da seguinte forma:

(Eq. 47)

(Eq. 48)

Onde, representam áreas infinitesimais que podem ser integradas entre quaisquer dois pontos da viga:

(Eq. 49)

Mudança de força cortante = - área sob a carga distribuída

(Eq. 50)

Mudança de momento = área sob o diagrama de força cortante

Para uma viga podemos obter vários tipos de carregamentos: nulo, constan-te e linear. Estes tipos de carregamentos resultam em força de cisalhamento cons-tante, linear ou quadrática e em um momento fletor linear, quadrático ou cúbico.

Desta forma, quando temos um carregamento nulo o diagrama de força cor-tante terá um comportamento constante e o momento fletor um comportamento linear. Com carregamento constante, teremos o diagrama de força cortante será linear e o mo-mento fletor resultará em um comportamento quadrático. E por fim, quando tivermos um carregamento linear o diagrama de força cortante será quadrático e o momento fletor cúbico. Isto pode ser mais bem avaliado de acordo com a figura a seguir.

132


FIGURA 12 – FORMATOS DE CURVA PARA OS TIPOS DE CARREGAMENTO DO DIAGRAMA DE FORÇA E MOMENTO

FONTE: Pelegrin e Canella (2019) (apud Hibbeler, 2004, p. 209)

Desenhar o diagrama de esforço cortante e momento fletor para a viga da figura a seguir.

AUTOATIVIDADE

VIGA CARREGADA



133

Primeiro calculamos as reações de apoio:

∑Fy = 0VA + VD – 8 kN – 8 kN = 0VA + VD = 16 kN∑MA = 0- 8 . 6 - 8 . 8 + VD . 10 = 0VD = 11,2 kN

Substituindo o valor de VB encontrado a partir da fórmula do momento em A, obtemos o resultado de VA.

VA + 11,2 kN = 16 kNVA = 4,8 kN

Diagrama de força cortante: No ponto x = 0 da viga, temos o valor de VA = 4,8 kN, desta forma, inserimos o valor constante do mesmo no gráfico até o ponto B acima do eixo y, sendo que o valor é positivo. Para o ponto B diminuímos o valor de – 8 kN (que é a força encontrada no ponto B) do valor encontrado no ponto A, resultando em um valor de – 3,2 kN que será inserido no gráfico abaixo do eixo y até o ponto C. Continuando, diminu-ímos novamente o valor de – 8 kN que é a força encontrada no ponto C, do valor resultante de - 3,2 kN resultante do ponto anterior, obtendo um valor de - 11,2 kN e representado no gráfico entre o ponto C e D abaixo do eixo y. O valor final encon-trado, diminuindo o valor do VD da reação de apoio, encontramos um valor de 0.Diagrama de Momento Fletor: Nas extremidades das vigas encontramos o momento em valor nulo. De A para B o valor do momento fletor é constante, ou seja, é interligado de 0 até o valor encontrado em B, pois temos na viga apenas cargas concentradas. O cálculo do momento fletor de A para B é:

ΣMAB= 0- 4,8 kN . 6 m + MAB = 0MAB = 28,8 kN.m

O momento em A é igual a 0, MB = MA + ΔMAB = 0 + 28,8 = 28,8 kN.m.A partir do ponto B a força em declividade tem um valor de – 3,2 kN. Para este cálculo encontramos primeiro o valor do momento entre B e C, ou seja:

ΣMAB = 0+ 3,2 kN . 2 m + MAB = 0MBC = - 6,4 kN.m

De modo que, MC = MB + ΔMBc = 28,8 kN.m – 6,4 kN.m = 22,4 kN.m.

Os dois diagramas de esforço cortante e momento fletor podem ser visualizados na figura a seguir.

134


O fechamento da de ambos os diagramas ocorrem no ponto D com o valor igual a 0.

VIGA CARREGADA – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR


5 TENSÃO DE FLEXÃO

Conforme aprendeu-se inicialmente no Tópico 2, no estudo da tensão, sabemos que em uma viga existem cargas perpendiculares ao seu eixo, que de-senvolvem na seção transversal solicitações de força cortante e momento fletor. Ainda, dentro das classificações de flexão, podemos separar em flexão simples, reta ou oblíqua e flexão composta, reta ou oblíqua, onde na flexão reta o plano de solicitações contém um dos eixos principais centrais de inércia da seção (y ou z) e na flexão oblíqua, é quando o plano de solicitações é desviado em relação aos eixos principais de centrais de inércia da seção.

Os principais eixos centrais de inércia da seção transversal na viga são em y e z, e temos condições de calcular o momento de inércia e os eixos correspon-dentes. Onde IZ ou IY são o momento de inércia na seção transversal em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao plano do momento fletor (MZ ou MY), a coordenada que devemos calcular a tensão é Y ou Z.

Como aprendeu-se na seção anterior, os diagramas de força cortante e momento fletor e o comportamento da curva de acordo com o tipo de carrega-mento na viga, vamos desenvolver a fórmula da tensão na flexão. Esta equação relaciona a distribuição de tensão longitudinal de uma viga ao momento fletor interno que atua na seção transversal.


135

FIGURA 13 – (A) VARIAÇÃO LINEAR DA DEFORMAÇÃO NORMAL; (B) VARIAÇÃO LINEAR DA TENSÃO NORMAL

(a) (b)


Pressupondo que o material tenha um comportamento do modo que a Lei de Hooke se aplique, ou seja, σ = Ε∈, ocorrendo na seção transversal no ponto da área mais afastado da linha neutra da viga. A figura a seguir apresenta, na letra (a), a va-riação linear da deformação normal e na letra (b) a variação linear na tensão normal.

Matematicamente esta tensão é dada por:

(Eq. 51)

Onde:

σmáx = tensão normal máxima no elemento, ocorrendo no ponto da área da seção transversal.M = momento interno resultante, calculado em torno do eixo neutro da seção transversal.I = momento de inércia da área da seção transversal.c = distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais afastado desse eixo, no qual a σmáx atua.

Além desta, para se calcular analogamente a tensão normal a uma distância in-termediária y:

(Eq. 52)

O sinal negativo é devido a regra da mão direita, onde M é positivo ao longo do eixo +z, y é positivo pra cima e σ é negativa devido a sua atuação na direção negativa do eixo x.

136


Onde:W = módulo de resistência à flexão, em m³ ou mm³;I = momento de inércia, em m4 ou mm4;y = maior distância da seção em relação ao eixo, em m ou mm.

Substituindo na equação de tensão máxima, obtemos:

(Eq. 54)ou

Um corpo quando dividido em pequenas partículas está sujeito a ação da gravidade, sendo que a resultante das forças aplicadas verticais e paralelas é o peso do corpo. O ponto onde cruza a resultante destas forças em qualquer posição do corpo, chama-se de centro de gravidade (CG) ou baricentro. O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por:

(Eq. 55)e

Para o cálculo de momento de inércia, há equações para cada geometria do elemento, estas equações serão apresentadas a seguir).

Ainda, temos como calcular o módulo de resistência à flexão, identificado pela letra W, que é a relação entre o momento de inércia em relação ao eixo e a maior distância da seção em relação ao mesmo eixo (y = c). Esta pode ser expressa pela seguinte equação:

(Eq. 53)


137

QUADRO 1 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DOS ELEMENTOS DE ÁREA

Geometria do Elemento de Área Equações de Inércia

Teorema de Steiner

FONTE: Adaptado de Hibbeler (2004)

138


A figura a seguir apresenta uma viga simplesmente apoiada com imagem da área da seção transversal e o momento fletor resultante máximo encontrado na mesma. Determinar a tensão de flexão máxima absoluta na viga e desenhar a distribuição de tensão na seção transversal da mesma nesta localização.

AUTOATIVIDADE

VIGA DE SEÇÃO TRANSVERSAL I


Primeiro é calculado o valor da inércia da viga, onde devido a geometria da peça, dividiu-se em três partes a área da peça sendo que o momento de inércia é calculado para cada uma das partes.

Para calcular a tensão de flexão máxima, com c = 170mm:

Como na seção transversal a tensão é distribuída em duas e três dimensões, calcula-se a tensão em cada ponto da seção em que há uma força que contribui com o momento fletor em torno do eixo. Especificamente, no ponto ByB tem-se um valor de 150 mm, sendo:


139

A distribuição das tensões aplicadas nos pontos B e D estão desenhadas na figura a seguir.

DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NA VIGA


Como o ponto D está localizado no extremo da seção da viga o valor do mo-mento é maior em relação ao ponto B que está localizado um pouco abaixo de sua extremidade.

Um perfil estrutural em aço deverá suportar uma carga máxima de 3 tonela-das, para ser utilizado numa ponte rolante com um comprimento de 7 metros, conforme Figura. Calcule o módulo de resistência à flexão. Para o dimensio-namento desta viga, utilizar FS = 3.

AUTOATIVIDADE

140


Iniciamos calculando o momento máximo da viga:

Após, através da fórmula da tensão de flexão, podemos calcular o valor do módulo de resistência a flexão:

Sugerimos acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Ca-pítulo 6 – Flexão – do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler.

DICAS

PONTE ROLANTE

FONTE: <https://bit.ly/3fOvGXM>. Acesso em: 2 jan. 2021.

141

RESUMO DO TÓPICO 2


• A flexão pode ser dividida em flexão simples e pura, sendo ela a solicitação em algum material que tende a provocar curvatura na peça.

• A flexão está associada principalmente ao momento fletor.

• A regra da mão direita, para representar graficamente os diagramas de mo-mento fletor e força cortante atuantes na peça.

• A tensão de flexão que é a relação entre o momento fletor do elemento com a distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais afastado desse eixo sobre o momento de inércia da peça.

142

1 A geometria da seção transversal da viga da Figura 24 é em forma de “U” com dimensões de 16 cm x 10 cm x 2 cm, sabemos ainda que todos os pon-tos de aplicação de esforços externos distam 1 m entre si.

AUTOATIVIDADE

VIGA COM SEÇÃO TRANSVERSAL EM “U”


a) Determine o diagrama de momento fletor da viga apresentada.b) Encontre a posição do baricentro da seção transversal.c) Calcule o momento de inércia em relação à linha neutra.

2 De acordo com a figura a seguir dimensione a viga de madeira que irá suportar o carregamento indicado abaixo. Considere σmad = 10 MPa e h = 3b.

VIGA DE MADEIRA

FONTE: SENAI (2004, p. 92)

143

3 O eixo da figura a seguir deverá suportar com segurança de k = 2 o carregamen-to representado abaixo, sendo que o material utilizado é da ABNT 1020 com

Dimensione o eixo necessário para suportar o carregamento.

EIXO DA VIGA CARREGADA

FONTE: SENAI (2004, p. 94)

4 A viga da figura a seguir apresenta um comprimento ‘L’ e está engastada em uma das extremidades, além disso está sujeito a uma carga distribuída ‘WG’ ao longo de seu eixo. Logo abaixo da imagem da viga, estão representados os diagramas de esforço cortante e momento fletor da mesma. Segundo estas informações, assinale a alternativa correta:

EIXO DA VIGA COM CARGA DISTRIBUÍDA

FONTE: Pelegrin e Canella (2019, p. 101)

144

a) ( ) Apenas o Gráfico 1, que representa o Esforço Cortante, está incorreto, pois o coeficiente de inclinação da reta deveria ser positivo. O Gráfico 2, que representa o Momento Fletor está correto.

b) ( ) Apenas o Gráfico 2, que representa o Momento Fletor, está incorreto, pois todos os valores deveriam estar acima do eixo das abscissas (deveriam ser positivos). O Gráfico 1, que representa o Esforço Cortante, está correto.

c) ( ) Tanto o Gráfico 1, que representa o Esforço Cortante, quanto o Gráfico 2, que representa o Momento Fletor, estão incorretos.

d) ( ) Tanto o Gráfico 1, que representa o Esforço Cortante, quanto o Gráfico 2, que representa o Momento Fletor, estão corretos.

5 Para suportar o peso de uma central ar-condicionado uma estrutura metálica de aço deve ser projetada com uma das vigas engastadas na parede e outra em balanço. Este equipamento sobre a viga tem um peso de 1000 N/m distribuídos uniformemente ao longo da viga de 3 metros de comprimento. Considere que a viga tenha um momento de inércia igual a 30 cm4 e tenha um módulo de elasticidade do aço de 200 GPa, desprezando o peso da viga assinale a alternativa correta.

a) ( ) O peso do equipamento provoca na parede um esforço vertical de apro-ximadamente 333,33 N.

b) ( ) O peso do equipamento provoca na parede um momento de aproxima-damente 9000 Nm.

c) ( ) A deflexão máxima provocada é de 168,75mm.d) ( ) O diagrama de esforço cortante gerado por esse esforço tem a forma de

uma parábola.e) ( ) A deflexão máxima ocorrerá no centro da viga.

6 A figura a seguir apresenta uma estrutura com seção transversal simétrica com posição do baricentro no ponto GG. Sendo assim, calcule os momentos de inércia em x e y do ponto baricentro.

SEÇÃO TRANSVERSAL E BARICENTRO DE UMA ESTRUTURA


145

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Para este tópico abordaremos o assunto de transformação de tensões e deformações, aprendendo como transformar os componentes de tensão que estão associados a um sistema de coordenadas particular e componentes ligados a um sistema de coordenadas com orientação distinta. Com isso, obtêm-se as equações de transformação que são necessárias para encontrar as tensões normal máxima e de cisalhamento máximo em um ponto e descobrir a orientação em que estas estão agindo.

Em questão da transformação de deformação de um ponto, a forma para descobrir esse valor é semelhante ao método das transformações de tensão. Ainda serão abordadas maneiras de desenvolver relações importantes com as propriedades dos materiais.

TÓPICO 3 —

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES E

DEFORMAÇÕES

2 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES

Para analisar as tensões em um elemento cúbico, pode-se afirmar que exis-tem seis componentes independentes de tensão normal e cisalhante que atuam na face deste elemento. Esta situação não é comumente encontrada e aplica-se nestas situações simplificações de cargas sobre o corpo a fim de avaliar esta tensão em um plano simples, desta forma, o material estará sujeito a tensões no plano.

O estado plano de tensões é representado pela combinação de dois com-ponentes de tensão normal e e um componente de tensão de cisalhamento ( ) que atuam sobre as quatro faces do elemento cúbico. Estudaremos aqui o estado de tensões no plano x-y.

A figura a seguir apresenta o estado do plano de tensões, o qual foi expli-cado nos parágrafos anteriores. A letra a representa o estado geral de tensões com seis componentes de tensão normal e de cisalhamento que atuam no elemento, na letra b temos o estado do plano de tensões, onde são simplificadas as cargas atuantes no corpo e na letra c é apresentado o plano de tensões no eixo x-y.

146


FIGURA 14 – ESTADO PLANO DE TENSÕES A) ESTADO GERAL DE TENSÕES; B) ESTADO PLANO DE TENSÕES; C) ESTADO PLANO DE TENSÕES (VISTA BIDIMENSIONAL)


Desta forma, conforme a figura a seguir, onde temos um elemento de tensão com três componentes representados pela figura da letra a e um elemento com orientações diferentes representado pela letra b, que resulta em três componentes com diferentes tensões. Resumindo, conforme Hibbeler (2004), o estado plano de tensões é representado unicamente pelos três componentes que atuam em um elemento que tenha orientação específica naquele ponto.

FIGURA 15 – ESTADO PLANO DE TENSÕES A) ELEMENTO DE TENSÃO COM TRÊS ELEMEN-TOS; B) ELEMENTO DE TENSÃO COM DIFERENTE ORIENTAÇÃO E TRÊS COMPONENTES DE

DIFERENTES TENSÕES


Neste sentido, vamos aprender a encontrar o estado de tensão de um certo elemento de acordo com a orientação determinada e também determinar o estado de tensão do elemento com diferentes orientações. Antes de aprender a dedução das equações para esta verificação das tensões deve-se estabelecer a convenção de sinais para os componentes.

Para valores positivos adota-se a direção positiva da coordenada da face posi-tiva do elemento e para valores negativos utiliza a direção negativa da coordenada da face negativa do elemento. Ou seja, é positivo uma vez que sua direção está para a direita da face vertical direita e atua para a esquerda (- ) sobre a face vertical esquerda.

TÓPICO 3 — TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

147

FIGURA 16 – CONVENÇÃO DE SINAL POSITIVO


Tensão normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalha-mento positiva atua para cima na face direita do elemento.

INTERESSANTE

Com isso, podem ser definidas as equações a seguir:

(Eq. 56)

(Eq. 57)

Para adota-se , resultando na seguinte expressão:

E a tensão de cisalhamento:

(Eq. 58)

Para maior fixação e compreensão vamos realizar um exemplo a seguir.

148


O elemento da figura a seguir está sujeito a tensões, desta forma, determine o estado de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30º no sentido horário conforme visualizado a seguir.

AUTOATIVIDADE

ELEMENTO NO PLANO DE TENSÕES E GIRO DO ELEMENTO NO SENTIDO HORÁRIO PARA θ = 30º


Pela convenção de sinal explicada anteriormente, temos para as tensões os se-guintes valores:

σx = - 80 MPaσy = 50 MPaσxy = - 25 MPa

Ainda analisando a figura acima podemos iniciar calculando no plano CD os componentes de tensão. O eixo x’ positivo é orientado para perpendicular-mente a CD e conforme o enunciado o ângulo medido entre x e x’ é igual a – 30º (negativo pois está no sentido horário). Podemos então, aplicar as equa-ções aprendidas anteriormente:

Os valores encontrados negativos, indicam que e atuam nas direções negativas de x’ e y’. Para o plano BC utilizamos o valor de θ = 60º conforme indicado na figura a seguir.


149

PLANO DE TENSÕES BC COM VALOR DE ÂNGULO 60º


Utilizamos então a mesma equação aplicada anteriormente:

Com os resultados encontrados podemos redesenhar o elemento com as calculadas.

PLANO DE TENSÕES ENCONTRADAS PARA O ELEMENTO


Com isso, podemos passar para o próximo item onde vamos abordar a respeito das tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano.

150


3 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO NO PLANO

Em relação as tensões principais, é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e mínimo e também para a tensão de cisalhamento. Como os valores de tensão dependem do valor do ângulo ( ), é igualada a 0 a equação utilizada anteriormente e assim determinar o ângulo de orientação em que as tensões principais e de cisalhamento no plano sejam máximas e mínimas. A equação encontrada é a seguinte:

(Eq. 59)

Após determinar a equação acima, pode-se encontrar a tensão normal máxima ( ) ou tensão normal mínima ( ). Estas tensões agem nos planos principais onde nenhuma tensão de cisalhamento age. Para realizar o cálculo destas tensões temos a seguinte equação:

(Eq. 60)

Agora, para a determinação da tensão de cisalhamento máxima no plano, utiliza-se a equação abaixo para determinação do ângulo de orientação do plano onde isso ocorre:

(Eq. 61)

Segundo Hibbeler (2004): Os planos para a tensão de cisalhamento máxima são determinados orientando-se um elemento a 45º da posição do elemento que define os planos de tensão principal.

INTERESSANTE


151

A tensão de cisalhamento máxima é calculada através da equação:

(Eq. 62)

Ainda, podemos dizer que há uma tensão normal nos planos de tensão de cisalhamento máxima. Assim, obtemos a fórmula da média das tensões da seguinte forma:

(Eq. 63)

Para maior fixação e compreensão das equações vamos realizar a seguir um exemplo destes cálculos.

Uma carga de torção é aplicada à barra da figura a seguir causando estado de ten-são de cisalhamento puro na barra. Sendo assim, vamos calcular o valor da tensão máxima de cisalhamento no plano, tensão normal média e a tensão principal.

AUTOATIVIDADE

TORÇÃO DE BARRA


Pela convenção dos sinais obtemos:

152


Iniciaremos calculando o valor da tensão máxima de cisalhamento no plano e a tensão média:

Quando são aplicados torques em materiais dúcteis, os mesmos resultam em falhas devido a tensão de cisalhamento.Calculada a tensão máxima de cisalhamento e a tensão média, vamos calcular abaixo a tensão normal da barra, iniciando pelo cálculo do ângulo:

Materiais frágeis falham devido à tensão normal.

4 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DAS TENSÕES

Neste item vamos abordar o assunto do círculo de Mohr, que é uma solução gráfica, representando cada plano em um sistema de coordenadas com σ no eixo das abcissas e τ no eixo das ordenadas. As equações vistas anteriormente para calcular a σx' e τx'y' podem ser reescritas e eliminado o θ quando elevamos ao quadrado, obtendo a seguinte equação:

(Eq. 64)

Estabelecendo eixos e coordenadas em que σ seja positivo para a direita e τ seja positivo para baixo e for representada a equação acima, constatamos que a mesma forma um círculo (círculo de Mohr) com raio e centro C (σméd, 0) no eixo σ. O mesmo é representado na figura a seguir.


153

FIGURA 17 – CÍRCULO DE MOHR


Para determinar o círculo de Mohr devem ser seguidos alguns passos:

• Primeiramente deve-se escolher um sistema de coordenadas onde a abcissa representa a tensão normal σ (sentido positivo para a direita) e a ordenada a tensão de cisalhamento τ com sentido positivo para baixo.

• Após utilizar a convenção de sinal, marca-se o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância da origem (σméd).

• Identificar o ponto de referência das coordenadas, como A (σx, τxy), que repre-sentam os componentes das tensões normal e de cisalhamento.

• Unir o ponto A ao centro C e determinar o mesmo através da trigonometria (essa distância representa o R do círculo).

• E por fim, traçar o círculo.

Para compreender mais a respeito do círculo de Mohr, a figura a seguir representa um elemento no plano XY com tensões normais e de cisalhamento.

FIGURA 18 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR


154


Podemos observar que, o círculo está localizado no eixo σ e que as tensões normais máxima e mínima estão localizados à direita e à esquerda do eixo, respec-tivamente. As tensões de cisalhamento se localizam na parte superior e inferior no gráfico e o centro do círculo está localizado na σméd . Ainda, o raio do círculo pode ser determinado pelas relações trigonométricas e é igual às tensões de cisalhamento máxima e mínima. E por fim, a tensão principal máxima é determinada pela soma do raio e da média da tensão normal dos planos e a mínima através da diferença entre o raio e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si.

Como exemplo, vamos determinar o círculo de Mohr para o desenho da figu-ra a seguir, onde uma carga P resulta no material uma tensão.

AUTOATIVIDADE

CARGA P EM DETERMINADO MATERIAL RESULTANDO TENSÃO NORMAL


Temos através da imagem acima os seguintes valores para tensão e cisalhamento:

O eixo do círculo está na σ, assim, temos:


155

Em relação às coordenadas pela face direita do elemento temos A (σ, 0) no ponto de referência de θ = 0, resultando em um valor de raio de:

5 TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO

A transformação de deformação é muito semelhante a transformação de tensão. Esta também atua em componentes de deformação normal e de cisalhamento, tendendo a deformar cada face de um elemento e variam de acordo com a orientação.

Como no estudo da transformação de tensão, temos o estudo do estado do plano de deformações, sendo considerado os componentes de deformação normal (∈x, ∈y) e um componente de deformação por cisalhamento (Yxy). As deformações causadas por cada um destes componentes estão representadas na figura a seguir.

FIGURA 19 – DEFORMAÇÕES NORMAL EM X E Y E DE CISALHAMENTO EM XY


As deformações normais de x e y são causadas com variações no compri-mento do elemento e a deformação de cisalhamento é identificada como rotativa relativa em xy. Devido ao efeito de Poisson, a ocorrência simultânea da transfor-mação de tensão e deformação dos estados do plano não ocorrerá, a menos que o coeficiente de Poisson seja igual a zero.

As tensões principais estão nos pontos A e D e tem valores iguais a zero. A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal média a ela associadas es-tão nas extremidades do círculo, ou seja, pontos E e F, tendo:

Só para constatar, o ângulo está no sentido horário e tem o valor de 20c1 = 90° portanto o valor de θc1 = 45°.

156


Antes de apresentar as equações de deformação nos eixos, deve-se dar uma atenção para a convenção dos sinais. As deformações normais ∈x e ∈y serão positivas se resultarem em alongamento nos eixos x e y, já as deformações por cisalhamento será positiva se o ângulo interno AOB for menor que 90º.

Conhecendo um estado de deformação de um ponto, com uma certa orien-tação do elemento, podemos calcular o estado de deformação em uma orientação distinta. Para isso, utilizamos as equações a seguir:

(Eq. 65)

(Eq. 66)

E para a deformação de cisalhamento:

(Eq. 67)

Como pode-se perceber há uma semelhança entre as equações da transforma-ção de tensão e deformação. Devido a essa semelhança podemos determinar a direção do eixo e as deformações principais, conforme as equações a seguir:

(Eq. 68)

(Eq. 69)

Da mesma forma que para as tensões no plano, a deformação por cisalha-mento máxima no plano e a deformação média é dada por:

(Eq. 70)

(Eq. 71)

(Eq. 72)

Para maior fixação do aprendizado, vamos realizar um exemplo do cálculo do estado de deformações.


157

Um elemento infinitesimal representado pela figura a seguir, o ponto está sujeito ao estado plano de deformações com valores que tendem a torcê-lo como, ∈x = -350. 10-6, ∈ = -200. 10-6 e Yxy = -80 . 10-6 . Desta forma, vamos determinar as deformações principais e a orientação do elemento.

AUTOATIVIDADE

ELEMENTO SUJEITO A DEFORMAÇÕES


Primeiro vamos calcular a orientação do elemento, a partir da equação a seguir:

Assim:

2 θp = - 8,28° e -8 ,28° + 180° = 172°

De modo que: θp = 4,14° e 85,9°

Cada ângulo é medido positivamente no sentido anti-horário, a partir do eixo x para as normais externas em cada face do elemento conforme a figura a seguir.

158


ÂNGULO DAS DEFORMAÇÕES


Agora podemos calcular o valor das deformações principais:

6 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

Da mesma forma que no cálculo do círculo de Mohr no estado plano de tensões, temos o círculo de Mohr para o estado plano de deformações. Estes são calculados da mesma maneira que no estado de tensão.

Conforme descrito na seção das tensões, o parâmetro θ pode ser eliminado e o resultado pode ser descrito da seguinte forma:

(Eq.73)


159

Determine as deformações principais e a orientação de um elemento que em um dos pontos o estado plano de deformações seja representado pelos com-ponentes: ∈x = 250. 10-6, ∈y = -150. 10-6 e Yxy = 120. 10-6.

Os eixos ∈ e já são definidos, lembrando que o sentido positivo do eixo deve ser considerado para baixo, resultando em rotações no sentido anti-ho-rário para o elemento. Ainda o centro C do círculo está localizado no eixo ∈.A seguir podemos calcular o valor do ∈méd do gráfico:

AUTOATIVIDADE

O valor de é igual a 60. 10-6 e o ponto de referência A em 0º tem coordena-das de A (250. 10-6; 60. 10-6). E pela trigonometria podemos definir o valor de R no círculo de AC, conforme abaixo:

Estes valores encontrados estão ilustrados na Figura 42.

CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR


Agora podemos calcular as deformações principais nos pontos B e D:

160


Sugerimos acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Ca-pítulo 9 – Transformação da Tensão e Capítulo 10 – Transformação da deformação – do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler.

DICAS

A direção para a deformação principal ∈1é positiva e é definida pelo ângulo 2 θp1 no sentido anti-horário, medido de CA pra CB.


161


ANÁLISE TEÓRICA DO DIMENSIONAMENTO DE UMA CAIXA REDU-TORA DE TRANSMISSÃO PARA VEÍCULO MINI-BAJA

Diego Fellipe Rodrigues da Silva Rafael José da Cunha Deiró

José Carlos de Lacerda Valmir Dias Luiz.

Para realizar o dimensionamento de uma transmissão mecânica de veículo de competição é necessário considerar diversos aspectos técnicos, que vão desde a escolha do material a ser empregado até o tipo de transmissão a ser usada. Além disso, uma transmissão de veículo off-road deve suportar os impactos causados pelo terreno acidentado e por isso deve ser robusta. Dentro de uma caixa redutora, os diversos eixos, tanto os de apoio das engrenagens, quanto os de transmissão de potência, estão sujeitos a esforços de torção e flexão. Desta forma, vamos aplicar os conhecimentos adquiridos por você nesta unidade para acompanhar o cálculo de dimensionamento dos eixos da caixa redutora deste veículo de competição. As equações apresentadas já estão abreviadas com os valores e constantes utilizadas pelos autores do artigo referentes às dimensões pré-estabelecidas das peças.

O dimensionamento dos eixos da caixa de redução deve levar em considera-ção os esforços de flexão e torção. No caso do eixo que fará a transmissão de potência em balanço, foi necessário o cálculo da flexão. Já no caso dos outros eixos que supor-tariam apenas as engrenagens, foi desprezada a flexão. O material utilizado para os cálculos foi o aço SAE 1045, com σe = 3000 kgf/cm². Coeficiente de segurança de s = 5.

Sendo assim, o eixo que suportará a transmissão terá sua flexão calcu-lada pela Eq:

Como a massa do conjunto e a distância média em relação ao ponto de apoio na caixa são de:

m = 8,5KgL = 85mmIsso resulta num eixo com diâmetro mínimo de:d = 0,984cm

162


Para os outros dois eixos, a equação a seguir relaciona apenas a torção:

Sabendo que a primeira redução tem o fator i = 2,47, temos o diâmetro mínimo do segundo eixo:

d = 1,492cm

Já a segunda redução tem o fator i = 3,15, o diâmetro mínimo do terceiro eixo de:

d = 2,1546cm

Podemos observar na figura a seguir a seguir uma visão da montagem das engrenagens nos eixos.

MONTAGEM DOS EIXOS, ENGRENAGENS E ROLAMENTOS NA CARCAÇA DA CAIXA

FONTE: Os autores (2010)

Os resultados obtidos nos cálculos estão dentro das expectativas do projeto, como os valores obtidos na relação de transmissão e o diâmetro dos eixos e as forças atuantes no mesmo. Este mesmo procedimento de cálculo é utilizado dentro das indús-trias para dimensionamento de eixos, tanto de veículos, quanto de outras máquinas.

FONTE: SILVA, D. F. R.; CUNHA DEIRÓ, R. J.; LACERDA, J. C.; LUIZ, V. D. Analise teórica do dimen-sionamento de uma caixa redutora de transmissão para veículo mini baja – VI CONEM – Campina Grande, Paraíba, 2010.

163

RESUMO DO TÓPICO 3



CHAMADA

• Transformar os elementos de tensão que tenham uma determinada orienta-ção no elemento para um elemento com diferente orientação.

• Encontrar as tensões máximas e mínimas de um elemento e a orientação do plano que resulta nesses resultados, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.

• Transformar os elementos de deformação com uma determinada orientação do elemento em um elemento com orientação distinta.

• Construir o círculo de Mohr, tanto para o estado plano de tensões, quanto para o estado plano de deformações.

164

1 Um corpo submetido a um estado de tensões, conforme apresentado na figura a seguir, está submetido a uma tensão normal de compressão σy= 10 MPa , uma tensão normal de tração σx = 50 MPa e a uma tensão de cisalhamento τxy = 40 MPa . Desta forma, determine a tensão principal e a tensão máxima de cisalhamento.

AUTOATIVIDADE

ELEMENTO SUBMETIDO A UM PLANO DE TENSÕES


2 Conforme representado na figura a seguir, um corpo está submetido a um plano de tensões, desta forma, calcule:

a) As tensões principais de σ1 e σ2.b) e represente graficamente o círculo de Mohr, indicando seu centro e raio.

CORPO SUBMETIDO A UM PLANO DE TENSÕES


165

3 De acordo com a figura a seguir, as equações de transformação do estado plano de deformação podem ser representadas pelo círculo de Mohr. Desta forma, analise quais são os valores das deformações principais (∈1 e ∈2 ) e assinale a alternativa correta.

CÍRCULO DE MOHR EM UM PLANO DE DEFORMAÇÕES


a) ( ) 240 . 10-6 e 50 . 10-6

b) ( ) 242,2 . 10-6 e -140,4 . 10-6

c) ( ) 242,2 . 10-6 e 140,4 . 10-6

d) ( ) 242,2 . 10-6 e 135 . 10-6

e) ( ) 242,2 . 10-6 e -135 . 10-6

4 O círculo de Mohr da figura a seguir representa o estado de tensões atuantes em um ponto de um elemento estrutural. Desta forma, analise o gráfico e marque a alternativa correta:

166

CÍRCULO DE MOHR


5 De acordo com a Figura, determine o estado de deformação em um elemento orientado a 20º no sentido horário em relação a posição informada. O estado plano de deformações é representado pelos componentes: ∈x = 300. 10-6, ∈y= -100 . 10-6 e Yxy = 100 . 10-6.

CÍRCULO DE MOHR


167

REFERÊNCIAS

APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Disponível em: https://bit.ly/3uzDOiO. Acesso em: 22 nov. 2020.

BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.

DUTRA, K. Apostila de resistência dos materiais. Escola técnica CEPEP, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3fOvGXM. Acesso em: 25 mar. 2021.

ESTUDAR COM VOCÊ. Matérias: resistência dos materiais. Disponível em: https://bit.ly/3t2Lwlm. Acesso em: 8 nov. 2020.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E MECÂNICA DOS SÓLIDOS. Disponível em: https://bit.ly/3uvRKuk. Acesso em: 29 nov. 2020.


HALLAK, J. C. et al. Apostila de resistência dos materiais I. Juiz de Fora, 2012. Disponível em: https://bit.ly/3s3exvI. Acesso em: 25 mar. 2021.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Pearson Prentice Hall, 5. ed., São Paulo: 2004.

IME – Instituto Militar de Engenharia. Resistência dos materiais. 27 slides. Disponível em: https://bit.ly/3uz89OK. Acesso em: 10 out.

ISTOCKPHOTO. Site. Disponível em: https://bit.ly/3mvUghf. Acesso em: 15 out. 2020.

METHA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI, 1994. 573 p.


PELEGRIN, J; CANELLA, F. Aula 00 (Prof. Juliano de Pelegrin) Engenharia Mecânica p/ Concursos – Curso Regular (Com videoaulas) 2020. 2019. (Apostila).

PREFEITURA DE SANTOS. Site. Disponível em: https://bit.ly/31XT0ds. Acesso em: 30 out. 2020.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 1 – Introdução à resistência dos materiais, 2013. 38 slides.

168

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I – Aula 2 Tensão e Deformação, 2013. 56 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I ⁻ Aula 4 Treliças Simples, 2013. 22 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I ⁻ Aula 5 Cisalhamento convencional, 2013. 35 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I ⁻ Aula 6 Torção, 2013. 41 slides.

RODRIGUES, P. C. Resistência dos materiais I ⁻ Aula 7 Flexão, 2013. 50 slides.

RODRIGUES, L. E. M. Resistência dos materiais – Aula 7 – Estudo de torção, Ângulo de torção. 13 slides.

RODRIGUES, L. E. M. Mecânica técnica – Aula 15 – Reações de Apoio em Vigas e Estruturas. 32 slides.

RODRIGUES, L. E. M. Resistência dos materiais – Aula 7 – Estudo de torção, Ângulo de torção. 13 slides. Disponível em: https://bit.ly/3t0rdVD. Acesso em: 17 dez. 2020.

SENAI. SC. Resistência dos materiais. Florianópolis: SENAI/SC, 108p., 2004.

SINDICATO DOS TRABALHADORES NA INDÚSTRIA DA CONSTRUÇÃO CIVIL DE SÃO LUÍS-MA. Site. Disponível em: https://bit.ly/2PEtmrP. Acesso em: 20 out. 2020.


Documents

Profª. Mariana Bamberg Amaral