Prof. Ricardo Soncim · Engenheiro Civil do Ministério da Saúde. ... das provas objetivas! É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser ... ESAF e FCC. Daremos prioridade,

Curso: Matemática Financeira p/ ICMS RJ Teoria e Questões comentadas Prof. Ricardo Soncim - Aula 00

Aula 00

Curso: Matemática Financeira

Professor: Custódio Nascimento

Curso: Matemática Financeira p/ ISS Cuiabá Teoria e Questões comentadas

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00

Prof. Custódio Nascimento 2 de 47

www.exponencialconcursos.com.br

Caros alunos e alunas,

Bem vindos ao curso online preparatório para o cargo de Auditor Fiscal Tributário da Receita Municipal de Cuiabá.

Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver estudar para um concurso público no meio civil.

No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento foram:

• Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3 meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso, das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;

• Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de estudo;

• Fui aprovado, ainda, nos concursos para Analista do Ministério Público da União, na área de Perícia/Engenharia Civil, e para Engenheiro Civil do Ministério da Saúde.

Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.

Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos.

No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva, baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão sonhado concurso público.

Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.

APRESENTAÇÃO





E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus objetivos.

Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira, com base no edital do último concurso (2014), mas garantimos a atualização e inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer, quando da divulgação do novo edital.

A carreira de Auditor Fiscal Tributário da Receita Municipal de Cuiabá é uma excelente oportunidade de ingresso na carreira fiscal, com uma remuneração inicial de R$ 11.905,49, segundo as informações do último edital. O cargo exige diploma de nível superior em qualquer área, com jornada de trabalho de 40 horas semanais.

O último certame foi conduzido pela FGV, uma banca muito tradicional, que já conduziu vários concursos na área fiscal, em diversos órgãos. O nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital.

Por ser um curso de Teoria e Exercícios, procuraremos fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada. O conteúdo não estará voltado ao ensino da disciplina, nos moldes acadêmicos tradicionais, mas sim, trará objetivamente os conceitos necessários e suficientes à resolução das questões.

Os assuntos de Matemática Financeira foram cobrados no último certame na Prova I, com 10 questões, representando 14,3% da Prova I e 7,1% das provas objetivas! É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser atingida é de 50% em cada disciplina. Portanto, você não pode deixar de estudar nenhuma disciplina.

O nosso curso terá mais de 150 questões comentadas, com prioridade para as questões da FGV cobradas em provas recentes. Sempre que for necessário complementar o entendimento do assunto tratado, serão utilizadas questões de outras bancas, tais como CESPE, ESAF e FCC.

Daremos prioridade, também, para as questões de provas de concursos de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos nos preparando.

Antes de começarmos efetivamente a nossa primeira aula, vamos fazer uma breve análise da nossa disciplina na última prova ocorrida para o AFTRM/Cuiabá.





O último concurso para AFTRM/Cuiabá ocorreu em 2014, e foi organizado pela FGV.

A prova de Matemática Financeira trouxe 10 questões e cobrou praticamente todos os tópicos do edital. Na nossa opinião, foi uma prova elegante, com diversas questões que podiam ser resolvidas com aplicação de conhecimento teórico, sem necessidade de desenvolvimento de longos cálculos. Houve, também, algumas questões de nível mais elevado, que exigiram bastante dos candidatos. Enfim, foi uma boa prova, que soube separar os que realmente se prepararam para a disciplina daqueles que a deixaram de lado.

Apresentaremos a resolução de todas as questões da prova em nossa última aula do curso.

O quadro abaixo mostra a distribuição das questões da prova em assuntos:

Prova AFTRM/Cuiabá (2014)

Assunto Quant.

Juros simples 1

Juros compostos. Capitalização. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, real e aparente.

1

Operações de desconto. 1

Equivalência de capitais. Rendas uniformes e variáveis. Atualização monetária. Valor atual e valor futuro.

1

Planos de amortização de empréstimos e de financiamentos. Cálculo financeiro do custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento

2

Métodos de análise de investimentos: Valor anual uniforme equivalente; Taxa interna de retorno; Valor presente líquido; Métodos não exatos. Taxa mínima de atratividade. Comparação de alternativas de investimento e financiamento

4

Análise da prova de Matemática Financeira do concurso de 2014





Aula Assunto Data

00 Porcentagem Disponível

01 Juros simples 07/03/2015

02 Juros compostos 14/03/2015

03 Descontos 21/03/2015

04 Equivalência de capitais. Anuidades 28/03/2015

05 Sistemas de amortização 04/04/2015

06 Métodos de análise de investimentos 11/04/2015

07 Questões complementares. Resolução da prova de 2014 14/04/2015





Assunto Página

1. Preciso estudar esta aula? 6

2. Porcentagem 7

3. Questões comentadas 14

4. Resumo da aula 36

5. Questões apresentadas na aula 38

6. Gabarito 47

E para facilitar sua referência, abaixo as esquematizações disponíveis nesta aula:

Esquema 1 – Fatores de multiplicação .............................................................................. 11

Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação ............................................................ 11

Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas ................................................................... 12

Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante ..................................................... 13

Nesse primeiro encontro, abordaremos um assunto bem básico, mas que causa alguns problemas a alguns alunos: Porcentagem! Preste bastante atenção, pois o entendimento desse conceito será fundamental no decorrer da nossa disciplina.

Então, ajeite-se na cadeira, esqueça seu celular e concentre-se, para que seu rendimento seja o mais favorável possível.

Ah, e lembre-se, você já está na frente, pois já está se preparando!

1. Preciso estudar esta aula?

Você precisará estudar essa aula se você não souber responder mentalmente as duas perguntas que colocaremos a seguir ou se você souber, porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma delas.

1ª pergunta

Aula 00: Porcentagem





Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

A resposta para as duas perguntas é a alternativa C, ou seja, ele passará a receber R$ 99,00.

Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para cada questão, você pode passar para a Aula 01, sobre juros simples.

2. Porcentagem

2.1 – Conceito

A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada

pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a 20

100. Há

três maneiras de se representar esse número:

Forma percentual

Forma fracionária

Forma unitária (ou decimal)

20% 20

100 0,2





1% 1

100 0,01

0,5% 0,5

100 0,005

Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis:

� = � ∙

Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres. Quantas mulheres existem na sala?

Solução

C = 120

i = 30%

Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte fórmula:

� = � ∙

onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas maneiras de realizar o cálculo:

1ª maneira: utilizando a forma centesimal: =��

��:

� = 120 ∙30

100= 36

2ª maneira: utilizando a forma unitária: = 0,30:

� = 120 ∙ 0,30 = 36

Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para utilizá-la também.

Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

(A) 28%





(B) 25%

(C) 22%

(D) 20%

(E) 18%

Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a magnitude do aumento da passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$:

� = 1,40 − 1,15 = 0,25

Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do preço inicial da passagem:

� = � ∙ ⇒ =�

�

=0,25

1,15≈ 0,22 = 22%

Logo, a alternativa C é a resposta.

Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de multiplicação.

2.2 – Fator de Multiplicação

O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de matemática financeira e é o item mais importante desta aula.

Vamos explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o aumento?

Solução

Vamos calcular o valor do aumento:

� = � ∙ = 800 ∙20

100= 160

Depois, calculamos o salário final (CF) somando o aumento (P) com o salário anterior (C):

�� = � + � = 800 + 160 = 960

Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida, multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por definição, vale:

� = � +





Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo:

�� = � ∙ �� +

Assim,

�� = � ∙ �1 + = 800 ∙ �1 + 0,2 = 800 ∙ 1,2 = 960

E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do exemplo acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do seu novo salário após a redução?

Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na primeira maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado especificamente para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue:

! = 1 −

Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a:

! = 1 − = 1 − 0,2 = 0,8

A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a seguinte fórmula:

! = 1 +

Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%), como se segue:

! = 1 + = 1 + �−0,2 = 1 − 0,2 = 0,8

Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que, quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maior é a chance de um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos positivas as taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo).

Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo salário anterior (C), logo:

�� = � ∙ ! = 800 ∙ 0,8 = 640





Desta forma, temos os seguintes esquemas:

Esquema 1 – Fatores de multiplicação

Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação

Vejamos como isso já foi cobrado em prova:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

(A) 28%

(B) 25%

(C) 22%

(D) 20%

(E) 18%

Resolução:

Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator de multiplicação que acabamos de aprender.

Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte:

�� = � ∙ �1 �

Substituindo os valores, temos:

1,40 � 1,15 ∙ �1 � ⇒ 1 � �1,40

1,15⇒ 1 � � 1,22 ⇒ � 0,22 � 22%

A alternativa C é a resposta correta.

Fator de multiplicação 1+i

de aumento i positivo

de redução i negativo

Valor final da grandeza CF = C . (1 + i)

para aumento i positivo

para redução i negativo





2.3 – Aumentos e/ou descontos sucessivos

Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico para resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis novamente as perguntas:

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

� Taxas sucessivas

Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:

�� = � ∙ �1 � � ∙ �1 � " ∙ �1 � � …

Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.

Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas

Solução da 1ª pergunta

O aumento de 10% será aplicado com um fator de aumento (1+0,10), enquanto que o desconto de 10% será aplicado com um fator de desconto (1-0,10). Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a equação mostrada anteriormente:

�� 100 ∙ �1 � 0,10 ∙ �1 � 0,10 � 100 ∙ 1,1 ∙ 0,9 � 99

Logo, o salário final será de R$ 99,00

Valor final em taxas

sucessivasCF = C . (1 + i1) . (1 + i2)...

aumento i positivo

redução i negativo





Solução da 2ª pergunta

Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará diferença? Vejamos:

�� = 100 ∙ �1 � 0,10 ∙ �1 � 0,10 � 100 ∙ 0,9 ∙ 1,1 � 99

Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por 1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim, não faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de salário!

� Aumento (ou desconto) resultante:

Em uma situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos, podemos calcular o aumento (ou desconto) resultante (iR), da seguinte forma:

�1 � $ � �1 % � ∙ �1 % " ∙ �1 % � …

Se o resultado de iR for positivo, teremos um aumento. Por outro lado, se o resultado der um número negativo, trata-se de um desconto.

Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente:

�� ∙ �1 % � ∙ �1 % " ∙ �1 % � …

�� ∙ �1 � $

Desta forma, temos o seguinte esquema:

Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante

Vejamos uma cobrança feita em concurso:

(FGV / Auditor do Estado – Área Controlador – Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município exerceu seu mandato nos anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as de 2009 em, aproximadamente,

A) 60%.

B) 68%.

C) 73%.

Aumento ou redução resultante

(1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...aumento i positivo






D) 80%.

E) 107%.

Resolução:

Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012), sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto, de um caso de aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + " ∙ �1 + �

em que i1 = i2 = i3 = 0,2. Logo:

�1 + $ = �1 + 0,2 ∙ �1 + 0,2 ∙ �1 + 0,2 = 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2

Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três números decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de calculadora, você terá que fazer isso “na mão”. Sendo assim, comece a treinar desde já. Se for preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como se resolve uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo a multiplicação, ficamos com:

�1 + $ = 1,728 ≈ 1,73 ⟹ $ = 0,73 = 73%


3. Questões comentadas

Múltipla escolha

01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia – Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.





Resolução:

1ª solução: utilizando a forma literal

Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final praticados nas lojas A e B:

�() = preço inicial da loja A

�*) = preço final da loja A

�(+ = preço inicial da loja B

�*+ = preço final da loja B

Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado:

A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo:

�*) = �1 − 0,20 ∙ �() = 0,8 ∙ �() (I)

A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar

o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10%

a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A.

�(+ =,-.

" (II)

�*+ = �1 − 0,1 ∙ �*) = 0,9 ∙ �*) (III)

Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o valor de

�*+ − �(+

�(+

=?

Substituindo I em III, temos:

�*+ = 0,9 ∙ �0,8 ∙ �() = 0,72 ∙ �() (IV)

Substituindo II em IV, temos:

�*+ = 0,72 ∙ �2 ∙ �(+ ⟹ �*+

�(+

= 1,44

Logo, o valor do aumento é:

�*+ − �(+

�(+

=�*+

�(+

− 1 = 1,44 − 1 = 0,44 = 44%

2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e rápida)

Loja A

�( = � = 100

Loja B

�( = � 2⁄ = 50





�* = �1 − 0,2 ∙ 100 = 0,8 ∙ 100 = 80 �* = �1 − 0,1 ∙ 80 = 0,9 ∙ 80 = 72

Aumento = 72-50 = 22

22

50= 44%

A alternativa E é a resposta correta.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

Resolução:

Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é supormos que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos:

Loja Q:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 10% = �1 + 0,1 ∙ 100 = 1,1 ∙ 100 = 110

Preço após o desconto de 10% = �1 − 0,1 ∙ 110 = 0,9 ∙ 110 = 99

Loja R:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 20% = �1 + 0,2 ∙ 100 = 1,2 ∙ 100 = 120

Preço após o desconto de 20% = �1 − 0,2 ∙ 120 = 0,8 ∙ 120 = 96

Logo, a diferença de preços entre as lojas é de 99 - 96 = 3.

Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de





3

99≈ 3%

É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta

acima (�

DD), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta

aproximada.

A alternativa A é a resposta correta.

03. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo / 2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em

A) 20%.

B) 50%.

C) 10%.

D) 15%.

E) 60%.

Resolução:

Como os valores são simples, a maneira mais fácil de resolver a questão é calculando o preço final da mercadoria na loja J (Pf,J). Como o reajuste é para aumento, consideraremos uma taxa positivas (+20%):

�*,E = 50 ∙ �1 + 0,20 = 50 ∙ 1,2 = 60

Agora, basta calcularmos qual a taxa de aumento suficiente para fazer o preço na loja K sair do valor inicial (40) para o mesmo valor da loja J (60):

�* = �( ∙ �1 + ⟹ 60 = 40 ∙ �1 + ⟹ �1 + =60

40= 1,5 ⟹ = 0,5 = 50%

A alternativa B é a resposta correta.

04. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo / 2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?

A) 67%.

B) 61%.





C) 65%.

D) 63%.

E) 69%.

Resolução:

Vamos montar um esquema, para facilitar a compreensão do enunciado. No entanto, temos que perceber que o imposto incide sobre o preço de venda, enquanto que o lucro líquido é em relação ao preço de compra, logo temos:

Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços de compra (PC), sem impostos (PM) e com impostos (PV):

�F = �G ∙ �1 � 0,40

�F � �H ∙ �1 � 0,16

A questão quer o aumento total entre o preço de venda (com impostos) e o preço de compra, logo basta igualar as duas equações listadas acima:

�H ∙ �1 � 0,16 � �G ∙ �1 � 0,40

�H ∙ 0,84 � �G ∙ 1,4 ⟹ �H � �G ∙1,4

0,84⟹ �H � �G ∙

1,4

0,84⟹ �H ≅ �G ∙ 1,67

Comparando com a fórmula padrão do aumento �� ∙ �1 � , temos que:

�1 � � 1,67 ⟹ � 0,67 � 67%


05. (FCC / Assistente Administrativo Júnior - Companhia do Metropolitano de São Paulo / 2014) Um comerciante comprou certa mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% de lucro sobre o preço final de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos sobre o preço final de venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o produto por

•Preço de compra (PC)

+ 40%

•Preço de venda (sem impostos)

(PM)

-16%

•Preço de venda (com impostos)

(PV)





A) R$ 190,00.

B) R$ 189,90.

C) R$ 172,80.

D) R$ 205,20.

E) R$ 185,00.

Resolução:

Vamos começar montando um esquema com cada preço e seus descontos. Atentar que, como o lucro que o comerciante deseja é de 20% sobre o preço final de venda, isso equivale a um desconto de 20% sobre tal valor.

Você deve perceber que esta questão não trata de descontos sucessivos, pois o enunciado afirma que tanto o lucro como os impostos incidem sobre o preço final de venda, conforme o diagrama a seguir:

Sendo assim, temos um caso em que os descontos devem ser somados, conforme figura a seguir:

Logo, o cálculo é dado a seguir:

133 � �H ∙ �1 � J, KJ

�H �133

0,70� 190


06. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente

Preço de venda

Preço de compra (133,00)

Preço de venda

Preço de compra (133,00)

- 10 % (impostos) - 20 % (lucro)

- 30 %





A) 15%.

B) 12%.

C) 19%.

D) 13%.

E) 14%.

Resolução:

Mostraremos duas formas de solução:

1ª Solução: estipulando valores

Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7% o preço passa a ser igual a 100 ∙ �1 + 0,07 = 100 ∙ 1,07 = 107.

O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o preço máximo final é igual a 100 ∙ �1 + 0,22 = 100 ∙ 1,22 = 122

Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve ser:

�� = � ∙ �1 + ⟹ 122 = 107 ∙ �1 + ⟹ 1 + =122

107= 1,14 ⟹ = 0,14 = 14%

Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento:

2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos

Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos os fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + "

�1 + 0,22 = �1 + 0,07 ∙ �1 + " ⟹ �1 + " =1,22

1,07= 1,14 ⟹ " = 0,14 = 14%

Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com fórmulas matemáticas.


100

107

122

Aumento de 7% Aumento de i%

Aumento de 22%

Preço inicial Preço final





07. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

Resolução:

A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento dos preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação:

Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu um aumento percentual i1 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um aumento percentual i2 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 3: o percentual i1 mudou para i2, ou seja, sofreu uma variação percentual i3. Esse valor i3 que é a resposta do problema!

Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa e encontraremos os valores de i1, i2 e, finalmente, i3.

Etapa 1:

�� = � ∙ �1 + � ⟹ 18,75 = 15 ∙ �1 + � ⟹ 1 + � =18,75

15= 1,25 ⟹ � = 0,25

Etapa 2:

�� = � ∙ �1 + " ⟹ 22,5 = 18,75 ∙ �1 + " ⟹ 1 + " =22,5

18,75= 1,2 ⟹ " = 0,2

Etapa 3:

�� = � ∙ �1 + � ⟹ 0,2 = 0,25 ∙ �1 + � ⟹ 1 + � =0,2

0,25= 0,8

� = −0,2 = −20%

Ou seja, a taxa foi de menos 20%.


08. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto





indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

Resolução:

A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço. Logo, temos que perceber que o máximo preço “errado” da etiqueta seria R$ 960. Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960.

�� = � ∙ �1 + ⟹ 960 = 160 ∙ �1 + ⟹ 1 + =960

160= 6 ⟹ = 5 = 500%

A alternativa D é a resposta correta.

09. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

C) 15%.

D) 18%.

E) 21%.

Resolução:

Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do problema:





Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não facilita a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver a questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + "

A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda ( " = 40%), bem como do lucro resultante ( $ = 61%), e pede o valor do lucro da primeira venda (i1).

�1 + 0,61 = �1 + � ∙ �1 + 0,4 ⟹ 1,61 = �1 + � ∙ 1,4 ⟹ �1 + � =1,61

1,4= 1,15

� = 0,15 = 15%


10. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

Resolução:

Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante quer estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa anunciar um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim, garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos usar o seguinte diagrama para nos auxiliar:

Apto Y

Lucro de x% Lucro de 40%

Lucro de 61%

Apto X Preço final





Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço de venda:

I. O preço intermediário (PM) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350):

�� = � ∙ �1 + ⟹ �F = 350 ∙ �1 + 0,2 ⟹ �F = 350 ∙ 1,2 = 420

II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (PV) nos leva ao preço

intermediário (420):

�� = � ∙ �1 + ⟹ 420 = �H ∙ �1 − 0,3 = �H ∙ 0,7 ⟹ �H =420

0,7= 600


11. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de

A) 2,4%

B) 3,6%

C) 4,5%

D) 5,4%

E) 6,0%

Resolução:

O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo:

�� = � ∙ �1 + ⟹ �� = 3 ∙ �1 + 0,8 = 3 ∙ 1,8 = 5,4 ⟹ �� = 5,4%


12. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal Regional do Trabalho - 15ª Região / 2013) Uma livraria entrou em liquidação com o proprietário pedindo para que seus funcionários multiplicassem o preço de todos os livros por 0,75. Com isso, as vendas cresceram e o estoque de livros diminuiu muito, fazendo com que o proprietário da livraria determinasse que os funcionários multiplicassem os novos preços dos livros por

350 Preço intermediário (PM)

Lucro de 20% Desconto de 30%

Preço de compra

Preço de venda

PV





1,25. Comparando os preços dos livros antes da liquidação e depois da última modificação de preços na livraria, conclui-se que

A) houve redução de 6,25%.

B) houve aumento de 6,25%.

C) houve redução de 0,475%.

D) não houve aumento nem redução.

E) houve redução de 4,75%.

Resolução:

Basta aplicarmos as multiplicações informadas no enunciado, para termos a relação entre os preços inicial e final:

�* = �( ∙ 0,75 ∙ 1,25 ⟹ �* = �( ∙ 0,9375

Comparando o resultado acima com a fórmula �* = �( ∙ �1 + , temos que:

�1 + = 0,9375 ⟹ = −0,0625 = −6,25%

Logo, houve redução de 6,25%.


13. (FCC / Assistente Técnico Administrativo - Área Recursos Humanos – Sergipe Gás S.A / 2013) Três lojas cobram preços distintos por certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço, o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em

A) 60.

B) 65.

C) 35.

D) 80.

E) 50.

Resolução:

Colocando os preços em um esquema, temos:





Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços menor (P1), intermediário (P2) e maior (P3):

�� = �" ∙ �1 � 0,35

�� " ∙ �1 � 0,25

A questão quer a relação entre o preço menor e o maior, ou seja, a taxa de aumento que faz o valor menor atingir o valor maio.

Para tanto, isolamos o valor de P2 na segunda equação e substituímos tal valor na primeira:

�" ��

0,75

��

0,75∙ 1,35 � �� ∙ 1,8

Comparando o resultado acima com a fórmula �� ∙ �1 � , temos que:

�1 � � 1,8 ⟹ � 0,8 � 80%

Logo, precisamos aumentar o preço menor em 80%, para que ele fique igual ao maior preço.


14. (FCC / Técnico Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade: Tecnologia da Informação – Tribunal Regional do Trabalho - 12ª Região / 2013) Sabe-se que se o preço de um produto for multiplicado por 1,42 esse preço aumenta em 42%. A porcentagem que aumenta um preço que for multiplicado sucessivamente por 1,25 e por 1,30 é igual a

A) 28,5.

B) 55.

•Menor preço (P1)

- 25%

•Preço intermediário (P2)

+ 35%

•Maior preço (P3)





C) 62,5.

D) 55,5.

E) 12,5.

Resolução:

Basta aplicarmos as multiplicações sucessivas apontadas no enunciado, para chegarmos à resposta:

�* = �( ∙ 1,25 ∙ 1,30 ⟹ �* � �( ∙ 1,625

Comparando o resultado acima com a fórmula �* � �( ∙ �1 � , temos que:

�1 � � 1,625 ⟹ � 0,625 � 62,5%


15. (FCC / Técnico do Seguro Social – INSS / 2012) Em dezembro, uma loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro, superasse o de A em

(A) 11,5%.

(B) 12%.

(C) 12,5%.

(D) 13%.

(E) 13,5%.

Resolução:

Vamos começar traduzindo os dados da questão no seguinte esquema:

•Veículo A

+ 10%•Dezembro

-20%•Janeiro

Mesmo preço





Aqui, é importante percebermos que, para resolvermos a questão, não há necessidade de sabermos o preço inicial dos veículos (antes do mês de dezembro). Basta partirmos do mesmo valor (em dezembro) e calcularmos os descontos em janeiro.

Neste caso, a maneira mais fácil é adotarmos um valor para os carros no mês de dezembro. Adotaremos que cada veículo custa 100. Assim, basta calcularmos os preços dos veículos em janeiro:

Veículo A:

�L = 100 ∙ �1 � 0,20 � 100 ∙ 0,8 � 80

Veículo B:

�M � 100 ∙ �1 � 0,10 � 100 ∙ 0,9 � 90

A questão quer saber em quanto o preço do veículo B supera o do veículo A. Ora, temos que a diferença entre os preços dos veículos é de 10. Basta calcularmos quanto isso significa em relação ao preço de A:

N ! ��O ��P

�P�

10

80� 0,125 � 12,5%


16. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal Regional do Trabalho - 6ª Região / 2012) Três lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente

A) 50.

•Veículo B

+ 15%•Dezembro

-10%•Janeiro





B) 33,3.

C) 25.

D) 22,5.

E) 12.

Resolução:

Para resolvermos esta questão, vamos calcular quanto cada cliente pagou em cada loja pela compra de 4 camisetas, seguindo as regras de cada promoção. Para tanto, vamos supor que o preço sem desconto da camiseta seja 100.

Loja Q-Preço Melhor Compra Você Sempre Volta

Promoção 4 camisetas pelo

preço de 3

Primeira: preço

Segunda: preço

Terceira: 25%

Quarta: 25%

Primeira: preço

Segunda: 10%

Terceira: 20%

Quarta: 30%

Cálculos 3 ∙ 100

Primeira: 100

Segunda: 100

Terceira: 75

Quarta: 75

Primeira: 100

Segunda: 90

Terceira: 80

Quarta: 70

Total 300 350 340

Queremos saber quanto o cliente que pagou menos (300) gastou em relação ao segundo que pagou menos (340). Para tanto, fazemos o seguinte cálculo:

Q =340 − 300

340=

40

340≅ 0,12 = 12%


17. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%





B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

Resolução:

A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber:

Valorização de 20% em 2008 => i1 = 20% = 0,2

Desvalorização de 20% em 2009 => i2 = – 20% = – 0,2

Valorização de 20% em 2010 => i3 = 20% = 0,2

A taxa percentual resultante será:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + " ∙ �1 + �

�1 + $ = �1 + 0,2 ∙ �1 − 0,2 ∙ �1 + 0,2 = 1,2 ∙ 0,8 ∙ 1,2 = 1,152

$ = 0,152 = 15,2%


18. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

Resolução:

Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das variações sucessivas:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + "

Pelos dados da questão, i1=20%=0,20 e i2=-30%=-0,3. Atentar que, como se trata de um desconto, o percentual entra na fórmula como um valor negativo.

Logo:

�1 + $ = �1 + 0,2 ∙ �1 − 0,3 = 1,2 ∙ 0,7 = 0,84 ⟹ $ = −0,16 = −16%





Isso significa que o desconto real foi de 16%.


19. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

Resolução:

Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto podemos utilizar a seguinte fórmula:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + " ∙ �1 + �

Neste caso, i1= i2=i3=-20%=-0,2

�1 + $ = �1 − 0,2 ∙ �1 − 0,2 ∙ �1 − 0,2 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512

$ = −0,488 = −48,8%


20. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

D) 75%

E) 100%

Resolução:





A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o investimento dobrou de valor – e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de 25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + " ⟹ 1 + 1 = �1 + 0,25 ∙ �1 + " ⟹ 2 = 1,25 ∙ �1 + "

1 + " =2

1,25= 1,6 ⟹ " = 0,6 = 60%


21. (VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário - Tribunal de Justiça –SP / 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, do total de candidatos inscritos,

a) 84%

b) 80%

c) 64%

d) 46%

e) 36%

Resolução:

A maneira mais simples de resolvermos esta questão é supondo uma quantidade inicial de candidatos igual a 100. Assim, a primeira prova eliminou 40% deles, o que dá 40 candidatos. Logo, sobraram 60. A segunda prova eliminou 40% dos restantes, ou seja, 0,4 ∙ 60 = 24. Assim, houve um total de 64 candidatos eliminados, o que corresponde a 64% do total de candidatos.


22. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda - RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%,

Resolução:





Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor do PIB e o número de habitantes (N) de uma população, logo:

PIBPIB per capita

N=

Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão:

1ª Solução – usando fator de multiplicação

Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é obtido pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja,

�� = � ∙ �1 +

O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06 e o novo valor do PIB vale PIBF = 1,06.PIB.

A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale NF = 1,02.N.

O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº de habitantes, assim:

�RO STU VWS XW� =�RO�

Y�

=1,06 ∙ �RO

1,02 ∙ Y=

1,06

1,02∙

�RO

Y= 1,039 ∙ �RO STU VWS XW(Z([()\

A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039, logo:

! = 1 + = 1,039 ⟹ = 0,039 = 3,9%


2ª Solução – utilizando valores

Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de

habitantes também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale ��

��=

1.

O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06.

A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02.

O novo valor do PIB per capita vale:

�RO STU VWS XW� =1,06

1,02= 1,039

Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou 3,9%.






23. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

Resolução:

Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do aumento resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula:

�1 + $ = �1 + � ∙ �1 + "

Pelos dados da questão,

i1=10%=0,10

i2=8%=0,08

Logo:

�1 + $ = �1 + 0,1 ∙ �1 + 0,08 = 1,1 ∙ 1,08 = 1,188 ⟹ $ = 0,188 = 18,8%


Certo ou errado

(CESPE / Agente Administrativo – Ministério do Meio Ambiente / 2009) Em determinada fábrica de parafusos, para a produção de parafusos ao custo de R$ 1,00 a unidade, a máquina X tem um custo fixo de R$ 300,00 por dia, e a máquina Y fabrica os parafusos ao custo fixo diário 25% maior que o da máquina X, mas a um custo unitário de cada parafuso produzido 25% menor que o da máquina X. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.

24. Com a máquina X, para se produzir 100 parafusos em um dia, o custo é de R$ 400,00.

Resolução:

Com a máquina X, o custo fixo é de 300,00 e o variável é de 1,00 por unidade. Logo, para se produzir 100 unidades, o custo é dado por:

300,00 + 1,00 ∙ 100 = 300,00 + 100,00 = 400,00

Item certo.





25. Com a máquina Y, o custo total de produção diária de 100 parafusos é de R$ 450,00.

Resolução:

Com a máquina Y, o custo fixo é 25% maior que o da máquina X, ou seja, de (1+0,25) x 300,00 = 375,00. Já o custo variável é 25% menor do que o da máquina X, ou seja, de (1-0,25) x 1,00 = 0,75 por unidade. Logo, para se produzir 100 unidades, o custo é dado por:

375,00 + 0,75 ∙ 100 = 375,00 + 75,00 = 450,00

Item certo.

26. Considerando que, em determinado dia, as duas máquinas produzam a mesma quantidade de parafusos e que essa quantidade seja superior a 200 parafusos, o custo total de fabricação desses parafusos na máquina Y será inferior ao da máquina X.

Resolução:

Para produzir 201 parafusos em um dia, o custo de cada máquina é de:

]á^. Q: 300,00 + 1,00 ∙ 201 = 300,00 + 201,00 = 501,00

]á^. a: 375,00 + 0,75 ∙ 201 = 375,00 + 150,75 = 525,75

Logo, para quantidades superiores a 200 unidades, o custo da máquina Y será superior ao da máquina X.

Item errado.

27. Se, em determinado dia, a máquina X produzir o dobro de parafusos produzidos pela máquina Y, de forma que os custos totais de produção sejam iguais, então, nesse caso, a máquina Y produzirá menos de 50 parafusos.

Resolução:

Sendo QX e QY as quantidades produzidas pelas máquinas X e Y, respectivamente, temos que os custos de produção de cada máquina serão:

]á^. Q: 300,00 + 1,00 ∙ bc

]á^. a: 375,00 + 0,75 ∙ bd

Como tais custos são iguais, temos:

300 + bc = 375 + 0,75 ∙ bd

Mas o item afirma que a máquina X produziu o dobro da máquina Y:

bc = 2 ∙ bd





Substituindo na equação anterior, teremos:

300 � 2 ∙ bd � 375 � 0,75 ∙ bd ⟹ 1.25 ∙ bd � 75 ⟹ bd � 60

Item errado.

4. Resumo da aula

A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem.

A taxa percentual (i), quando aplicada em relação a alguma quantidade principal (C), é calculada conforme a fórmula:

� � � ∙

O fator de multiplicação (f) é dado por:

� � � �

Para sabermos o valor final de uma grandeza que aumenta de uma taxa i, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo:

�� ∙ ��

Consideraremos positivas as taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo), conforme os esquemas:

Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:

�� ∙ �� ∙ �� e ∙ �� K …

Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.

Fator de multiplicação 1+i

de aumento i positivo

de redução i negativo

Valor final da grandeza CF = C . (1 + i)

para aumento i positivo

para redução i negativo





O aumento (ou desconto) resultante (iR) pode ser calculado por:

�� + f = �� + � ∙ �� e ∙ �� K …

Valor final em taxas

sucessivasCF = C . (1 + i1) . (1 + i2)...

aumento i positivo


Aumento ou redução resultante

(1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...aumento i positivo






5. Questões apresentadas na aula

Múltipla escolha

01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia – Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

03. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo / 2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em

A) 20%.

B) 50%.





C) 10%.

D) 15%.

E) 60%.

04. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo / 2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?

A) 67%.

B) 61%.

C) 65%.

D) 63%.

E) 69%.

05. (FCC / Assistente Administrativo Júnior - Companhia do Metropolitano de São Paulo / 2014) Um comerciante comprou certa mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% de lucro sobre o preço final de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos sobre o preço final de venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o produto por

A) R$ 190,00.

B) R$ 189,90.

C) R$ 172,80.

D) R$ 205,20.

E) R$ 185,00.

06. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente

A) 15%.

B) 12%.

C) 19%.





D) 13%.

E) 14%.

07. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

08. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

09. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade: Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

C) 15%.





D) 18%.

E) 21%.

10. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

11. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de

A) 2,4%

B) 3,6%

C) 4,5%

D) 5,4%

E) 6,0%

12. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal Regional do Trabalho - 15ª Região / 2013) Uma livraria entrou em liquidação com o proprietário pedindo para que seus funcionários multiplicassem o preço de todos os livros por 0,75. Com isso, as vendas cresceram e o estoque de livros diminuiu muito, fazendo com que o proprietário da livraria determinasse que os funcionários multiplicassem os novos preços dos livros por 1,25. Comparando os preços dos livros antes da liquidação e depois da última modificação de preços na livraria, conclui-se que

A) houve redução de 6,25%.

B) houve aumento de 6,25%.





C) houve redução de 0,475%.

D) não houve aumento nem redução.

E) houve redução de 4,75%.

13. (FCC / Assistente Técnico Administrativo - Área Recursos Humanos – Sergipe Gás S.A / 2013) Três lojas cobram preços distintos por certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço, o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em

A) 60.

B) 65.

C) 35.

D) 80.

E) 50.

14. (FCC / Técnico Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade: Tecnologia da Informação – Tribunal Regional do Trabalho - 12ª Região / 2013) Sabe-se que se o preço de um produto for multiplicado por 1,42 esse preço aumenta em 42%. A porcentagem que aumenta um preço que for multiplicado sucessivamente por 1,25 e por 1,30 é igual a

A) 28,5.

B) 55.

C) 62,5.

D) 55,5.

E) 12,5.

15. (FCC / Técnico do Seguro Social – INSS / 2012) Em dezembro, uma loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro, superasse o de A em

(A) 11,5%.

(B) 12%.

(C) 12,5%.





(D) 13%.

(E) 13,5%.

16. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal Regional do Trabalho - 6ª Região / 2012) Três lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente

A) 50.

B) 33,3.

C) 25.

D) 22,5.

E) 12.

17. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%

B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

18. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos





os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

19. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

20. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

D) 75%

E) 100%

21. (VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário - Tribunal de Justiça –SP / 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, do total de candidatos inscritos,

a) 84%





b) 80%

c) 64%

d) 46%

e) 36%

22. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda - RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%,

23. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

Certo ou errado

(CESPE / Agente Administrativo – Ministério do Meio Ambiente / 2009) Em determinada fábrica de parafusos, para a produção de parafusos ao custo de R$ 1,00 a unidade, a máquina X tem um custo fixo de R$ 300,00 por dia, e a máquina Y fabrica os parafusos ao custo fixo diário 25% maior que o da máquina X, mas a um custo unitário de cada parafuso produzido 25% menor que o da máquina X. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.

24. Com a máquina X, para se produzir 100 parafusos em um dia, o custo é de R$ 400,00.





25. Com a máquina Y, o custo total de produção diária de 100 parafusos é de R$ 450,00.

26. Considerando que, em determinado dia, as duas máquinas produzam a mesma quantidade de parafusos e que essa quantidade seja superior a 200 parafusos, o custo total de fabricação desses parafusos na máquina Y será inferior ao da máquina X.

27. Se, em determinado dia, a máquina X produzir o dobro de parafusos produzidos pela máquina Y, de forma que os custos totais de produção sejam iguais, então, nesse caso, a máquina Y produzirá menos de 50 parafusos.





6. Gabarito

01. E

02. A

03. B

04. A

05. A

06. E

07. C

08. D

09. C

10. C

11. D

12. A

13. D

14. C

15. C

16. E

17. D

18. D

19. E

20. A

21. C

22. E

23. E

24. C

25. C

26. E

27. E

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Prof. Ricardo Soncim · Engenheiro Civil do Ministério da Saúde. ... das provas objetivas! É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser ... ESAF e FCC. Daremos prioridade,