Profesor: Simón Lyon

C.I: 15679532

-1- Prof. S i m ó n L y o n

Unidad de aprendizaje 1 Números enteros ( Z ) __________ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros están formados por

REPRESENTACIÓN DE Z EN LA RECTA NUMÉRICA

Los enteros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

En la práctica, para calcular el valor absoluto de un número entero, se toma el número

natural que resulta al prescindir del signo del número.

ORDEN EN Z Todo entero positivo y el cero son mayores que cualquier entero negativo. Cuando se

comparan dos enteros negativos es mayor el que está más cerca del cero.

Ejemplo: a) 3 > -14 b) -42 < 0 c) -2 > -12

I Actividad 1) ¿Cuál de los siguientes números es enteros?

a) -5,2 b) -14 c) 0 d ) 16 e) 1/5 f) 7

3 g) -11

2) Completa con los signos <,> o =, según corresponda.

a) -25 __ -20 b) -17 __ 16 c) 1 __ -13 d) |−15| ___ |15|

3) Representa en la recta numérica

a) 0, -2 , 6, 9 , -9 , -1 , 3 , -5 , 4 , -7

Unidad de aprendizaje 2 Operaciones en (Z) ______________________

ADICIÓN EN (Z)

Para sumar números enteros se deben considerar los signos, si son iguales se suman sus

valores absolutos y se colocan los mismos signos, y si los signos son diferentes se restan y se

coloca el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo: a) (+3) + (+2) = 5 b) (+15) + (-6) = (+9) c) (-3) + (2) = (-5)

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SUSTRACCIÓN EN (Z)

Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. Ejemplo

MULTIPLICACIÓN EN (Z)

Si dos números enteros tienen igual signo el producto será un entero positivo

Si dos enteros tienen diferentes signos su producto será un entero negativo

DIVISIÓN EN (Z) Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos y el cociente será positivo si tienen signo igual y negativo si los signos son diferentes.

POTENCIACIÓN EN (Z)

Una potencia es un producto de factores iguales.

Si la base es positiva, el resultado es positivo

Si la base es negativa, el resultado es negativo si el exponente es impar y es positivo si el

exponente es par. Ejemplo:

a) b)

II ACTIVIDAD 1) Efectúa las siguientes operaciones

a) 650 + (-558) = b) 822 – (+13) = c) (-100) . (-105)= d) (-880) ÷ 55 =

e) (-373) + ( -39) = f) (-75) – (-25) = g) (-1) . 990 =

2) calcula cada potencia

a) (-2)3 b) 45 = c) (-2)4 d) (-5) 2 e) (-1)51 f) (75) 0

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3) ¿Qué signo tiene el producto de cinco enteros negativos? ¿ Y de ocho enteros

negativos?

4) Resuelve las operaciones y completa la tabla.

A B C A . |𝐵 − 𝐶| |𝐴| . |𝐵 + 𝐶| |𝐴 + 𝐵 | . C (B.C) ÷ 2

2 5 4

-2 -4 -3

Unidad de aprendizaje 3 Propiedades de la adición en (z) __________

Conmutativa: si a y b son números enteros entonces : a + b = b + a

Asociativa: si a y b son números enteros entonces: (a + b) +c = a + ( b + c) esta

propiedad permite efectuar la suma de varios sumandos

Elemento neutro: todo número entero sumado con cero es igual al mismo número.

Elemento opuesto: si es un numero entero el opuesto de a es (-a) esto implica que la

suma de un numero entero mas su opuesto es igual a cero a + (-a) = 0

Ejemplo

Aplicación de las propiedades de adición en z: para efectuar las adiciones de varios

sumandos enteros se pueden efectuar las sumas en el orden dado aplicando la propiedad

asociativa. Por ejemplo = (-24) + 8 +3 + (-18) + ( -6) + 10

= [(-24) + 8] +3 + (-18) + ( -6) + 10

=[-16+3 ] + (-18) + ( -6) + 10

=[-13 + (-18)] + ( -6) + 10

=[-31+ ( -6)] + 10 = -37 + 10 = -27

Unidad de aprendizaje 4 Propiedades de la multiplicación en (Z)___________

Conmutativa: sean a y b números enteros, se cumple: a . b = b . a Asociativa: si a, b y c son números enteros, entonces: a . (b . c) = ( a . b) . c Elemento neutro: el número 1 es el elemento neutro para la multiplicación. 1 . a = a Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición: si a, b y c son

números enteros, entonces: a .(b + c) = a . b + a . c

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Ejemplo

Unidad de aprendizaje 5 propiedades de la potenciación en (z) _____

OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS EN NÚMEROS ENTEROS (Z)

Para simplificar operaciones combinadas con potencias en los números enteros, es

recomendable ir eliminando elementos semejantes, corchetes y llaves; aplicando definición de

potencia, propiedades de las potencias y operaciones con números enteros.

EJEMPLO

Eliminemos el corchete interno, aplicando potencia de un producto.

Simplifiquemos potencias de igual base:

Cambiemos el signo a (-2) en el denominador, ya que está elevado a una potencia par:

-5-

Simplifiquemos potencias en el numerador y denominador,

aplicando división de potencias de igual base con cada elemento semejante.

Eliminemos corchete, aplicando potencia de una potencia a cada elemento.

III ACTIVIDAD

1) Escribe en el lugar de cada casilla el número correspondiente para que se cumpla cada

igualdad.

A) 25 + __ = 0 B) __ + (-34) = (-34) C) 508 + (-51) = -51 + ___

D) 8 + 6 + (-1) = (-1) + ___ + 6 E) -29 + 29 = ____

2) Escribe cada operación como adición y aplica la propiedad conmutativa para resolverla

A) 500 – 670 = b) -213 – 704 = c) 811 - ( -92) =

3) Calcula aplicando las propiedad de la adición en Z

a) (-2) + 0 + (-10) + (-8) + 4 +1 + 25 + (-2) =

4) Efectúa los siguientes productos aplicando las propiedades

A) (-11) . (-10) . 8 = b) 5 . (-3) . (-15) (-1) = c) (-251) . 1 =

5) Expresa cada operación como una potencia

a) (-5)4 . (-5)3 . (-5)0 . (-5)2 . (-5) b) 511

59 = c) (155)2 d) 20101

20100

b) m4 . m6 m10 .m-3

6) Calcula la siguiente expresión

A) (−2)3 . 32. [(−2). 3 ]2

(−2 .3)3 . 1

Unidad de aprendizaje 6 Ecuaciones en Z _______________________

Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita. La solución

es hallar el valor de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad. Ejemplo:

a) b)

IV ACTIVIDAD

1) Resuelve las siguientes ecuaciones

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2) Problemas

A) Un pulpo se encuentra dos metros debajo del mar y baja 5 metros más. ¿a qué

profundidad se encuentra?

B) Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay diez veces más

baterías que la hora anterior, si se parte de uno sola bacteria: ¿Cuántas habrá dentro

de una hora?, si en un determinado momento hay 10 millones de bacterias, ¿Cuántas

habrá la hora anterior?, ¿Cuántas horas son necesarias para que haya un millón de

bacterias?

C) La suma de un número y su doble es 69. ¿Cuál es ese número?

Unidad de aprendizaje 7 números racionales _________________ Los números racionales representan al

conjunto de los naturales, enteros y las fracciones.

OPERACIONES EN Q

Adición y sustracción de racionales con iguales denominadores: se suman o restan los

numeradores según sea el caso y se coloca el mismo denominador.

Adición y sustracción de racionales con distintos denominadores: se reducen las

fracciones a común denominador y luego se suman o se restan los numeradores, según sea el

caso y se deja el mismo denominador.

Multiplicación de números racionales: se multiplican numeradores y denominadores entre

sí. Ejemplo

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División de números racionales: se multiplica la primera fracción por la inversa de la

segunda, ejemplos.

a) b) c)

Potenciación en q con exponente natural: se multiplica numerador y denominador tantas

veces como indique el exponente.

Ejemplo

V ACTIVIDAD

1) Efectúa y simplifica

a) 18

25 +

7

25 = c)

6

7 .

5

3 = e)

−26

7 ÷ (-9)= g)

9

8 -

3

6 i) 5 . (−

4

5 )

b) 3

5 +

1

2 -

8

3 -

4

5 = d) (-

1

3 ) 3 = f) (

11

8 )2 = h)

13

45

16

j) ( 5 - 3

7) . ( 2 +

1

4 )

2) Ana resolvió 12

21 de los problemas de matemática y Ángel resolvió

2

7 de los problemas

restantes. ¿Qué parte de los problemas quedaron sin resolver?

PROPIEDADES DE ADICION EN Q

Conmutativa: 𝟑

𝟕 +

𝟑

𝟐 =

𝟑

𝟕 +

𝟑

𝟐

27

14 =

27

14

Asociativa:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Q

Conmutativa: 𝟓

𝟕 .

𝟑

𝟐 =

𝟓

𝟕 .

𝟑

𝟐

15

14 =

15

14

Asociativa:

Propiedad distributiva:

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PROPIEDADES DE LA POTENCIACION EN Q

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

VI ACTIVIDAD

1) Resuelve aplicando la propiedad correspondiente

a) 1

2 . (−

3

5) = c) (

7

4 +

3

5 ) +

2

3 = e) (

2

3 )3 . (

2

3 ) . (

2

3 )2 = g)

5

3 . [(−

1

3 ) .

7

3 ] =

b) 2

3 . (

9

4 +

15

8 ) d) (

1

3 )4 ÷ (

1

3 )3 = f) [ (

7

12) 0 ]12 h)

1

9 . (-3 +

2

5)

2) Aplica la propiedad conveniente

a) En un supermercado se venden 200

3 Kg de papas,

63

10 Kg de arroz y

520

6 Kg de azúcar.

¿Cuántos kilos se vendieron entre los tres productos?

Unidad de aprendizaje 8 Funciones __________________

Relación entre conjuntos: una relación entre dos conjuntos A y B se puede establecer como un

conjunto de pares ordenados cuyas primeras componentes están en A y sus segundas

componentes es tan en B.

Par ordenado: es un conjunto formado por dos elementos colocados en orden.

Un par ordenado se representa colocando los dos elementos dentro de paréntesis

separados por una coma.

Ejemplo; (a,1) ; (a,4) ; (b,2) ; (c,3)

Nota: En una relación A en B, el conjunto A se llama conjunto

de partida y el conjunto B se llama codominio o conjunto de llegada

DIAGRAMA SAGITAL

Es un diagrama que representa una relación mediante flechas.

El diagrama contiene dos conjuntos encerrados mediante óvalos, conjunto

de partida y de llegada

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EJEMPLO

Dados los conjuntos A=(4,5,6,7) Y B=(2,4,6,8) y la relación R: ”es mayor que”

Hallar: a) conjunto de pares ordenados b) diagrama sagital

Pares ordenados:

(4,2); (5,2) ;(5,4);(6,2);(6,4) ;(7,2);(7,4);(7,6)

DIAGRAMA SAGITAL

Función: es una relación que cumple con dos condiciones:

Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados

Cada elemento del conjunto de partida solo, tiene relación con un elemento del

conjunto de llegada

Ejemplos:

Diferencia entre relación y función

Es función porque todos los elementos del

conjunto de partida están

relacionados una sola vez,

Es función porque todos los elementos del

conjunto de partida están

relaciona

dos una sola vez

Es función porque todos los elementos del

conjunto de partida están

relacionados una sola vez

No es función porque, el elemento a del

conjunto de partida está relacionado dos

veces.

dos una sola vez

Es función porque todos los elementos del

conjunto de partida están

relacionados una sola vez

No es función porque, el elemento b del

conjunto de partida no está relacionado.

Dominio: son los elementos del

conjunto de partida. Dom f.

Rango: son los elementos del

conjunto de partida que están

relacionados. Rg f

Nota: toda función es una

relación, pero toda

relación no es función

A B

1

2

3

4

1

3

5

7

9

f

f(x)= 2x – 1

f(1)= 2(1) – 1 = 1

f(2)= 2(2) – 1 = 3

f(3)= 2(3) – 1=5

f(4)= 2(4) – 1 = 7

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Función numérica

Cuando una función está dada por una fórmula matemática y se desea hallar la imagen de

cualquier elemento del dominio, bastara sustituir la variable independiente por dicho elemento, y

efectuar las operaciones indicadas.

EJEMPLO

Dados los conjuntos A=(1,2,3,4) Y B=(1,3,5,7) y la si se define f: A -> B de la siguiente manera:

f(x)= 2x – 1, Hallar: dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados.

Diagrama sagital

Dominio: {1,2,3,4}

Rango: {1.3.5.7}

Pares ordenados; (1,1); (2,3) ;(3,5);(4,7)

Clasificación de las funciones

Función inyectiva: La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada Y

tiene un único elemento del conjunto de partida X al que le corresponde. Es decir, no

pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y.

Ejemplo

Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de

llegada Y tiene al menos un elemento del conjunto de partida X al que le corresponde.

Ejemplo:

Función biyectiva: Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

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Ejemplo:

VII ACTIVIDAD

1) Observa los siguientes diagramas e indica si son función y explica, por qué.

2) Halla una relación en la que cada elemento del primer conjunto esté relacionado con su

doble en el segundo conjunto.

3) Realiza un diagrama sagital en el que se establezca la relación entre 5 estados y sus

capitales.

4) Dados los conjuntos A=(1,2,3,4,5) y la si se define f: A -> B de la siguiente manera:

f(x)= x + 1, Hallar: Conjunto B. dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados

5) Dados los conjuntos C=(5.6.7.8) y la si se define f: C -> D de la siguiente manera:

f(x)= 2x - 1, Hallar: Conjunto D. dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados

6) Dados los conjuntos A y B si f define una función de A en B, ¿Cuál es la fórmula que

representa esta funcion?

7) Determina la clasificación de las siguientes funciones

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x2

c) d) e)

A B

1

2

3

4

2

4

6

8

f