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Átomo de Hidrogeno y más
Profesor: Benjamín Koch Alumno: Ma>as Bejide
Solución de ecuación de Dirac con potencial de coulomb (átomo de hidrogeno).
• La ecuación tendrá la forma:
• Tomando y . Obteniéndose el ha miltoniano de Dirac .
• Aplicando la separación de variables se Lene:
2(x, t) (x, t)ei c p A mc et c
ψα β ψ
⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= − + + Φ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠h
20 (r)Zee Vr
Φ = − ≡ 0A =( )2c p mc eα β⋅ + + Φ
( )2(x) (r) (x)E c p mc Vψ α β ψ= ⋅ + +
• Antes de resolver la ecuacion se estudiaran los espinores: Debemos construir los espinores de Dirac a parLr de los espinores de Pauli.
• Sabemos de la adición de momento angular (“l” y “s”):
• Esto es simplemente la adición de momentos angulares vistos en cursos anteriores.
1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ;2 2 2 2 2 2 22 1j,1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ;2 2 2 2 2 2 22 1
j j j j
j
j j j j
l m l m l m l m j llm
l m l m l m l m j ll
⎧ ⎫⎡ ⎤+ + − + + − + + − = +⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦+⎪ ⎪= ⎨ ⎬
⎡ ⎤⎪ ⎪+ + + − − − + − + = −⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦+⎩ ⎭
• Entonces se usaran los números cuánLcos y , siendo (L=J-‐S y m=-‐j..j).
• Se obLenen los espinores:
• Se uLliza el número “l” en ves de “j” porque “l” define la paridad de los armónicos esféricos.
12jm m
l
1, 2
1, 2
121, 2 12 1
21 1, 2 22 1
j
j
j
j
l mj
jm
j j
l m
l mYl m l j l
l m l mY
l
ϕ−
±
+
⎧ ⎫± +⎪ ⎪⎧ ⎫− ↑ ⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⇒ = ±⎨ ⎬ ⎨ ⎬
+ ↓⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭ ⎪ ⎪±+⎩ ⎭
m
• Entonces para cada valor de “j” hay 2 espinores (disLntos “l”).
• Debe poder escribirse a parLr de . Se introduce el operador:
• Este operador actúa: . Cambia paridad.
• necesario porque cambia la paridad del segundo espinor y debe mantenerse.
β
1; 21; 2
j
j
j
jmljm
jm
l j
l j
ϕϕ
ϕ
+
−
⎧ ⎫= −⎪ ⎪= ⎨ ⎬
= +⎪ ⎪⎩ ⎭jjmϕ +
jjmϕ−
( )x̂σ ⋅
( )ˆj jjm jmxϕ σ ϕ± = ⋅ m
• Podemos construir los espinores de Dirac: Ansatz
,
(r)
(x)(r)
ˆ( x)
j
j
j
lj ljm
lj m
lj ljm
iGr
Fr
ϕ
σ ϕ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
Ψ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⋅⎪ ⎪⎩ ⎭
• Ahora que tenemos ansatz volvemos a la ecuación de Dirac:
( )2(x) (r) (x)E c p mc Vψ α β ψ= ⋅ + +
Zm pr
Zp mr
ασ
ασ
⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
• Se debe tratar con cuidado el termino: • Usando la idenLdad: se obtendrá:
Para
( ) (r)j
ljmp hσ ϕ⋅
a b a b i a bσ σ σ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ × ˆ ˆ 1x xσ σ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )
( )( )ˆ ˆ(r) 1 (r) (r)
ˆ ˆ (r) 1(x p i ) (r) 1 (r)2
j j j
j j
l l ljm jm jm
l ljm jm
p h p h x x p h
x x hL h i r j hr r r
σ ϕ σ ϕ σ σ σ ϕ
σ σσ ϕ ϕ
⋅ → ⋅ → ⋅ ⋅ ⋅ →
⋅ ⋅ ∂⎧ ⎫⋅ + →− + +⎨ ⎬∂⎩ ⎭
m
12j l= ±
• Con esto podemos obtener las ecuaciones para las funciones radiales:
• Ahora se hacen susLtuciones con el fin de simplificar las ecuaciones:
( )
( )
(r) (r)1(r) 2
(r) (r)1(r) 2
lj ljlj
lj ljlj
dF FZE m G jr dr r
dG GZE m F jr dr r
α
α
⎧ ⎫⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎪ ⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+ + = +⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
m
m
( )2 2
1 2 1 2, , ,
1r , , =Z2
m E m E m E
k j
α α σ α α
ρ σ γ α
= + = − = − =
= = ± +
• Con todo esto obtenemos el sistema 1):
• Para grandes “rho” el sistema se comporta como: y lleva al sistema 2):
2
1
0
0
d k F Gd
d k G Fd
α γρ ρ σ ρ
α γρ ρ σ ρ
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
( ) f( ) e ; ( ) g( )eF Gρ ρρ ρ ρ ρ− −= =
2
1
0
0
kff f g
kgg g f
α γρ σ ρ
α γρ σ ρ
⎧ ⎫⎛ ⎞ʹ′ − + − − =⎪ ⎪⎜ ⎟
⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬
⎛ ⎞⎪ ⎪ʹ′ − − − + =⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
• El sistema 2) se resuelve mediante el método de Frobenius. Consiste en:
• SusLtuyendo en el sistema anterior y separando para los términos: a) y b) . Obtendremos:
a) b)
00
00
s
s
f b
g a
ν
ν
ν
ν
ρ ρ
ρ ρ
∞
=
∞
=
⎧ ⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪
⎨ ⎬⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
∑
0ν = 0ν ≠
0 0
0 0
(s k) b 0(s k)a 0
abλ
λ
+ + =⎧ ⎫⎨ ⎬
− − =⎩ ⎭
21 1
11 1
(s k) b b 0
(s k)a 0
a a
a b b
ν ν ν ν
ν ν ν ν
αν γ
σα
ν γσ
− −
− −
⎧ ⎫+ + − + − =⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪+ − − − − =⎪ ⎪⎩ ⎭
• Dado que , de a) se obLene: solo el valor posiLvo Lene senLdo.
• Con la relación b) podemos ver si la serie converge o no: se obLene: 3)
• Ahora para grandes obtenemos: que al ser reemplazado en b) lleva a:
• Las series divergen para grandes que implica grandes .
0 0 y 0a b ≠ 2 2s k γ= ± −
( ) ( )2 2b s k a s kν νσ ν α γ α ν σγ+ + + = + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ν2b aν ν
ασ
=
22 2 (2 ), a !
b b a eν
ρν ν ν ν
ν
ρν ν ν
= = → =∑
νρ
• Para evitar divergencia las series deben terminar.
• Supongamos , de la relación b) se obLene: . “N” es el numero radial (N=0,1,2…)
• Reemplazando esta condición en 3) se llega a: . Usando las definiciones para
0, a 0 N Nb = =
2N Na bσ
α−
=
1 22 (s N) ( )σ γ α α+ = −1 2, α α
12 2
221 ; 1
(s N)E mc cγ
−
⎡ ⎤= + =⎢ ⎥+⎣ ⎦
• Si usamos el valor encontrado para “s”, el numero principal (n=N+j+1/2) y el resto de las definiciones:
212
2
2 21
1 1(j ) (j ) (Z )2 2
ZE mcn
α
α
−
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− + + + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Para obtener las funciones radiales • Comenzando con ecuación 1): se reescribe como 4):
• Se deriva según “rho” y se obLene 5):
2
1
kF F F Fd d MG G G Gd dk
α γρ σ ρ
ρ ρα γσ ρ ρ
⎛ ⎞⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟= ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
22
2
F Fd dMMG Gd dρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• En donde:
• Hay que diagonalizar para desacoplar las ecuaciones.
• Obteniéndose (“lambda es el valor propio”):
22 1 2
2
1 00 1
kM α αγ γρ σ ρ σ ρ
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2
1 kdMkdγ
γρ ρ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
dMdρ
2
2 2
2 ( 1)1F Fd EG Gd
γ λ λρ σρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞±= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Ahora se hace la susLtución • Y se uLliza la base de vectores que diagonalizan :
• Obteniéndose finalmente:
• Se usa el ansatz: y obtenemos 6):
F fG g
ρ
ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dM
dρ
1
2
uf fA A
ug gρ
ρ ρρ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
21,2 1,2
1,22 2
2 2 ( 1)1 0d u du E ud d
γ λ λρ ρ ρ σρ ρ
⎛ ⎞±+ − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 1 /21,2 1,2 ( )u e yγ γ ρρ ρ− −=
[ ]
[ ]
21 1
12
2 22 2
22
2( 1) (1 n) y 02;12 ny 0
d y dyd d En
d y dy Ed d
ρ λ ρρ ρ γ
λσρ λ ρ
ρ ρ
⎧ ⎫+ + − − − =⎪ ⎪
⎪ ⎪= −⎨ ⎬
−⎪ ⎪+ − + =⎪ ⎪⎩ ⎭
• Este Lpo de ecuaciones se llaman ecuaciones de Kummer:
• Y sus soluciones son funciones hipergeometricas confluentes:
• Y las soluciones son:
[ ]2
2 0d w dwb awd d
ρ ρρ ρ
+ − − =
2(a 1)(a, b, ) 1 ...(b 1) 2!
a aFb b
ρρ ρ
+= + + +
+
1 1 1
2 2 2
(1 n,2( 1), )( n,2 , )
y c Fy c F
λ ρ
λ ρ
= − +⎧ ⎫⎨ ⎬
= −⎩ ⎭
Finalmente se obLene:
1 /21 1
1 1 /22 2
(1 n,2( 1), )( n,2 , )
f A e c Fg A e c F
γ ρ
γ ρ
ρ λ ρ
ρ λ ρ
− −
− − −
⎧ ⎫= − +⎨ ⎬
= −⎩ ⎭
Respecto a los niveles de energía • La energía obtenida de la ecuación de Dirac:
puede expandirse considerando pequeño: • Se puede observar que se recuperan los términos de la energía no relaLvista.
212
2
2 21
1 1(j ) (j ) (Z )2 2
ZE mcn
α
α
−
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− + + + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Zα2 4
22 3
(Z ) (Z ) 1 31 ...12 2 42E mc
n n njα α⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= − − − +⎨ ⎬
⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
• De la expresión para la energía obtenida de de la ec. de Dirac se puede observar los siguientes niveles: (Usaremos los números n, l, j)
• Esta separación de niveles se conoce como estructura fina del átomo de hidrogeno
• Es debido a la interacción spin-‐orbita del electrón
• Es efecto relaLvista.
Singularidad
• Existe una singularidad en la energía cuando:
• Esta singularidad se elimina considerando núcleo finito.
• Esta es también la condición que evita orbitas espirales.
2 21(j ) (Z ) 02 α+ − <
bibliografia • Cohen-‐Tannoudji.Quantum mechanics, vol.1,2.
• Franz Schwabl Advanced Quantum Mechanics.
• Am. J. Phys., Vol. 65, No. 3.
• A.D. Alhaidari / Physics Le2ers A 322 (2004) 72–77.
• Journal of MathemaLcal Physics 11, 125 (1970).
• Journal of MathemaLcal Physics 36, 3332 (1995).