Professor Carlos Cley

LÓGICA DE PROPOSIÇÕES PROFESSOR CARLOS CLEY

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RACIOCÍNIO LÓGICO/LÓGICA PROPOSICIONAL LÓGICA PROPOSICIONAL Proposição é uma afirmação verbal que pode ser verdadeira ou falsa, nunca ambos. • A validade ou falsidade de uma proposição é denominada valor verdade. Veja! p: “A terra é quadrada” (F) q: “Ceará é o clube do coração do prof. Cley” (V) r: ”Todo político é ladrão” (F) t: “Todo número natural e primo é ímpar” (F) u: “Se x é negativo, então (–x) é positivo” (V) • Algumas proposições são compostas, isto é, compõem-se de subproposições e vários conectivos que serão discutidos a seguir. Ex: “Os meninos são altos e as meninas são baixas” é uma proposição composta das subproposições “Meninos são altos” e “Meninas são baixas” • Não são proposições: “De quanto foi o jogo?”, por não ser nem falsa nem verdadeira, “x + 5 = 8”, por ser uma sentença aberta, “Carlos é feio”, pois é subjetivo, porque sua namorada pode achá-lo indo! e 5 − 8 ÷ 2, por ser incompleto. Conectivos Conectivos são símbolos usados para formar, a partir de proposições já conhecidas, proposições compostas. Veja!

Conectivos Lê-se Significado ∧∧∧∧ e conjunção ∨∨∨∨ ou disjunção ~ não negação →→→→ se... então... condicional ↔↔↔↔ ...se, e somente se... bicondicional

Por exemplo: Sejam p: “O baiano é alegre” e q: “O cearense é estudioso”, duas proposições. Então: ~p: O baiano não é alegre. p ∧ q: O baiano é alegre e o cearense é estudioso. p ∨ q: O baiano é alegre ou o cearense é estudioso.

p → q: Se o baiano é alegre, então o cearense é estudioso. p ↔ q: O baiano é alegre se, e somente se o cearense é estudioso. ~p → q: Se o baiano não é alegre, então o cearense é estudioso. Exercício 01 Seja p: “está quente” e seja q: “está chovendo”. Diga a sentença verbal que descreva cada uma das seguintes proposições: a) ~p: ____________________________________ b) ~q: ____________________________________ c) p ∧ q: __________________________________ d) p ∨ q: __________________________________ e) p → q: _________________________________ _________________________________________ f) p ↔ q: __________________________________ __________________________________________ g) p → ~q: _________________________________ __________________________________________ h) q ∨ ~p: _________________________________ _________________________________________ I) ~p ∧ q: __________________________________ _________________________________________ j) p ↔ ~q: _________________________________ __________________________________________ l) ~(~q): __________________________________ __________________________________________ m) (~p ∧~q) → p: ___________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________


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Conjunção

Duas proposições p e q quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta, denominada conjunção das proposições originais. Essa conjunção é representada por

p ∧∧∧∧ q

• O símbolo ∧∧∧∧ pode ser usado para definir a interseção de dois conjuntos, particularmente,

A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}.

• O valor verdade da proposição p ∧ q é verdadeiro se: p é verdadeiro e se q é verdadeiro, caso contrário p ∧ q será falso. Ex: Considere as quatro proposições seguintes:

(1) Petrolina está no Pernambuco e 3 + 3 = 7. (2) Petrolina está no Ceará e 3 + 3 = 6. (3) Petrolina está na Bahia e 3 + 3 = 7. (4) Petrolina está no Pernambuco e 3 + 3 = 6.

De acordo com a propriedade acima, apenas a

conjunção (4) é verdadeira, pois em cada uma das outras, pelo menos uma das subproposições é falsa.

Um meio conveniente para estabelecer a propriedade anterior é construir a seguinte tabela, denominada tabela-verdade:

Disjunção Duas proposições p e q quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” (com o sentido de e/ou) para formar uma proposição composta, denominada disjunção das proposições originais. Essa conjunção é representada por

p ∨∨∨∨ q

• O símbolo ∨∨∨∨ pode ser usado para definir a união de dois conjuntos, particularmente,

A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}.

• O valor verdade da proposição p ∨ q é verdadeiro se: p é verdadeiro e ou se q é verdadeiro, caso contrário p ∨ q será falso. Veja a tabela verdade: Ex: Considere as quatro proposições seguintes:

(1) Petrolina está no Pernambuco ou 3 + 3 = 7. (2) Petrolina está no Ceará ou 3 + 3 = 6. (3) Petrolina está no Pernambuco ou 3 + 3 = 6. (4) Petrolina está na Bahia ou 3 + 3 = 7.

De acordo com a propriedade acima, apenas a disjunção (4) é falsa, pois em cada uma das outras, pelo menos uma das subproposições é verdadeira. Negação Dada a proposição p qualquer, chama-se negação de p, à proposição obtida a partir de p, usando “é falso que...”, “não é verdade que…”, antes de p ou, se possível, usando a palavra “não” para negar p. Representa-se a negação de p por:

∼∼∼∼ p Ex: Considere as proposições seguintes:

(1) São Paulo está no Brasil. (2) É falso que São Paulo está no Brasil. (3) São Paulo não está no Brasil.

Note que (2) e (3) são as negações de (1) ● A negação de p também pode ser simbolizada por

¬¬¬¬ p • O valor verdade da negação de uma proposição p, ( ∼ p ) satisfaz à seguinte condição: Se p é verdadeiro, então ∼ p é falso; se p é falso, então


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∼ p é verdadeiro, ou seja, o valor verdade da negação de uma proposição é sempre o oposto do valor verdade da proposição original. • O símbolo ~ também é denominado modificador. Condicional É muito comum em matemática aparecerem proposições da forma: “Se p, então q”. Tais proposições são denominadas condicionais e representadas por

p →→→→ q

O condicional p → q também pode ser lido:

(a) p implica em q. (b) p somente se q. (c) p é suficiente para q. (d) p é necessário a q.

• O valor verdade da proposição condicional p → q é verdadeiro, a menos que p seja verdadeiro e q seja falso, em outra palavras, uma proposição verdadeira não pode implicar numa proposição falsa. Considere as proposições seguintes:

(1) Se Petrolina está no Pernambuco, então 3 + 3 = 6.

(2) Se Petrolina está no Ceará, então 3 + 3 = 6. (3) Se Petrolina está na Bahia, então 3 + 3 = 7. (4) Se Petrolina está no Pernambuco, então

3 + 3 = 7.

De acordo com a propriedade, apenas a condicional (4) é falsa, pois é a única em que uma proposição verdadeira implica numa falsa.

Veja a tabela verdade:

Bicondicional Outra proposição também muito comum em matemática é a “p se, e somente se q”. Estas proposições são denominadas bicondicionais e são representadas por:

p ↔↔↔↔ q

• O valor verdade da proposição bicondicional p ↔ q é verdadeiro se p e q têm o mesmo valor verdade; se p e q têm valores verdade opostos, então p ↔ q é falso. Considere as proposições seguintes:

(1) Petrolina está no Pernambuco se, e somente se, 3 + 3 = 6.

(2) Petrolina está no Ceará se, e somente se, 3 + 3 = 6.

(3) Petrolina está na Bahia se, somente se, 3 + 3 = 7.

(4) Petrolina está no Pernambuco se, e somente se, 3 + 3 = 7.

De acordo com a propriedade, as bicondicionais (1) e (3) são verdadeiras, pois têm o mesmo valor verdade.

Veja a tabela verdade: Exercício 02 Determine o valor verdade de cada uma das proposições: a) Se 5 + 3 = 9, então 2 + 4 = 6. b) Não é verdade que 2 + 1 = 4 se, e somente se, 6 + 7 = 11. c) Recife é capital do Ceará ou Salvador é capital de Pernambuco. d) Não é verdade que 1 + 1 = 4 ou 3 + 2 = 5. e) Se Paris está na Inglaterra, então Londres está na França.


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Exercício 03 Achar a tabela verdade de cada uma das proposições: a) ~p ∧ q b) ~(p → ~q) c) (p ∧ q) → (p ∨ q) d) ~(p ∧ q) ∨ ~(q ↔ p).

Tautologia Uma proposição composta é uma tautologia se for verdadeira independente das subproposições que a compõem. Em outras palavras, uma tautologia contém apenas V na última coluna da sua tabela verdade. • A proposição “p ou não p”, isto é, p ∨ ∼ p é uma tautologia. Veja a tabela verdade: Ex: Se p é a proposição: “está chovendo”, então ∼ p é a proposição: “não está chovendo”, logo a proposição: “Está chovendo ou não está chovendo”, (p ∨ ∼p) é uma tautologia. • Um princípio fundamental do raciocínio lógico é a “lei do silogismo” que estabelece: “Se p implica em q, e q implica em r, então p implica em r”. Em outras palavras a proposição [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r). Essa lei é uma tautologia. Veja a tabela verdade: Fazendo: (p → q) = (1); (q → r) = (2); (p → r) = (3), temos:

Obs! Ao construir uma tabela verdade com duas variáveis usamos 4 linhas, para 3 variáveis, são necessárias 8 linhas; e de um modo geral, para n

variáveis, são necessárias n2 linhas.

p q r (1) (2) (1 ∧∧∧∧ 2) (3) (1 ∧∧∧∧ 2) →→→→ (3)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V


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Contradição Uma proposição composta é uma contradição se for falsa independente das subproposições que a compõem. Em outras palavras, uma contradição contém apenas F na última coluna da sua tabela verdade. • A proposição “p e não p”, isto é, p ∧ ∼p é uma contradição. Veja a tabela verdade: Ex: Se p é a proposição: “a prova está fácil”, então ∼p é a proposição: “a prova não está fácil”, logo a proposição: “A prova está fácil e não está fácil” é uma contradição. • Como uma tautologia é sempre verdadeira, a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, é uma contradição, e vice-versa. • Se uma proposição não for tautologia nem contradição, então ela é denominada indeterminada ou contingência. Relação de implicação Sendo p e q duas proposições, dizemos que “p implica q” quando na tabela verdade de se p então q não aparece VF em nenhuma linha, ou seja, quando o condicional p → q é verdadeiro. Quando p implica q, indicamos p ⇒ q • Todo teorema é uma implicação da forma hipótese ⇒ tese Ex: 3 9 ⇒ 3 9.2 que significa o condicional ”se 3 divide 9, então 3 divide 9.2” Equivalência Lógica Duas proposições são logicamente equivalentes se suas tabelas verdade forem idênticas, ou seja, quando têm o mesmo valor lógico. Ex: As tabelas verdade de (p → q) ∧ (q → p) e p ↔ q são as seguintes:

p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Assim, (p → q) ∧ (q → p) ⇔ p ↔ q • ~(~p) ⇔ p • Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é um a equivalência.

hipótese ⇔ tese Exercício 04 (UNEB)

p: todo número inteiro é natural q: o número 42 tem 8 divisores naturais Tem valor lógico verdade a proposição

01) p ∨ ~q 02) p ∧ q 03) se q, então p 04) p ↔ q 05) ~p ∧ q Exercício 05 (UNIT) Dadas as proposições p e q, a sentença (p ∧ ~q) é verdadeira: A) Se p e q forem verdadeiras B) Se p for verdadeira e q for falsa. C) Se p for falsa e q for verdadeira. D) Se p e q forem falsas. E) Quaisquer que forem os valores de p ou q.


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Exercício 06 Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, A) estudo e fumo. B) não fumo e surfo. C) não velejo e não fumo. D) estudo e não fumo. E) fumo e surfo. Quantificadores O símbolo ∀, que se lê “para todo(s)” ou ”para qualquer” ou ainda “para todo e qualquer que seja” é denominado quantificador universal. Ex: Seja M o conjunto das mulheres. Assim, “Todas as mulheres são especiais” pode ser escrito da seguinte forma:

∀ x ∈ M; x é especial.

O símbolo ∃, que se lê “existe” ou “para algum” ou “para ao menos um”, é denominado quantificador existencial. Ex: Seja M o conjunto das mulheres belas. Logo, “Existem mulheres belas que são mães” pode ser escrito da seguinte forma:

∃ x ∈ M; x é mãe. O símbolo , que se lê "existe um único” ou “existe um e somente um”, também é um quantificador existencial. Ex: Seja P o conjunto dos naturais primos. Assim, “Existe um único natural primo e par” pode ser escrito da seguinte maneira:

x ∈ P; x é par.

Negação de proposições com quantificadores

Para negar uma proposição com quantificadores, basta trocar ∃∃∃∃ por ∀∀∀∀ ou vice-versa e negar a função que define a proposição. A negação da proposição:

“Todos os homens são corajosos” é “existe ao menos um homem que não é corajoso” Simbolicamente, se H é o conjunto dos homens, o que foi dito acima pode ser escrito assim: ~(∀x∈H; x é corajoso) ⇔ (∃x∈H; x não é corajoso) A negação da proposição: “Existe uma metrópole habitável” é “Todas as metrópoles não são habitáveis”. Simbolicamente, se C é o conjunto das metrópoles, então ~(∃x∈ C; x é habitável)⇔(∀x ∈ C; x não é habitável) Outros exemplos: proposição: “Todo quadrado é retângulo” negação: ”existe quadrado que não é retângulo” proposição: ∃x; x – 4 ≥ 7 negação: ∀x; x − 4 < 7 Exercício 07 (ESAF/01) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: A) pelo menos um economista não é médico B) nenhum economista é médico C) nenhum médico é economista D) pelo menos um médico não é economista E) todos os não médicos são não economistas Exercício 08 (UCSal) Considere a seguinte sentença: Todo baiano é bem humorado. A negação dessa sentença é: A) Existe baiano mal humorado. B) Alguns baianos são bem humorados. C) Não existe baiano mal humorado. D) Existe baiano bem humorado. E) Nenhum baiano é mal humorado.


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Leis da negação 1. ~(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ ~p ∧∧∧∧ ~q (1ª lei de De Morgan)

BABA ∩=∪

Exemplo: A negação de “A mulher é fiel ou o homem é ingênuo” é “A mulher não é fiel e o homem não é ingênuo” 2. ~(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ ~p ∨∨∨∨ ~q

BABA ∪=∩ (2ª lei de De Morgan)

Exemplo: A negação de: “A mulher é fiel e o homem é ingênuo” é “A mulher não é fiel ou o homem não é ingênuo” 3. ~(p →→→→ q) ⇔⇔⇔⇔ p ∧∧∧∧ ~q Exemplo: A negação de: “Se loiras são lindas, então o homem é objeto” é “As loiras são lindas e o homem não é objeto” 4. ~(p ↔↔↔↔ q) ⇔⇔⇔⇔ p ↔↔↔↔ ~q ⇔⇔⇔⇔ ~p ↔↔↔↔ q Exemplo: A negação de “As morenas são fogosas se, e somente se os homens são carinhosos” é “As morenas são fogosas se, e somente se os homens não são carinhosos” ou “As morenas não são fogosas se, e somente se os homens são carinhosos”

Exercício 09 A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema” é: A) Ana voltou ou não foi ao cinema B) Ana voltou e não foi ao cinema C) Ana não voltou ou não foi ao cinema D) Ana não voltou e não foi ao cinema E) Ana não voltou e foi ao cinema Exercício 10 (AGENTE DE TRÂNSITO – RO/09) Marque a alternativa que contém a negação da proposição “Paula é feliz ou Lívia é bonita”. A) Paula é feliz ou Lívia é feia. B) Paula é triste ou Lívia é bonita. C) Paula é triste e Lívia é feia. D) Paula é feliz e Lívia é bonita. E) Paula é triste ou Lívia é feia. Exercício 11 Negue cada uma das proposições: a) Se a professora está ausente, alguns alunos não completam suas tarefas de casa. b) Todos os alunos completaram suas tarefas de casa e a professora está presente. c) Alguns alunos não tomam banho ou a professora é perfumada. Exercício 12 (UCSal) Sejam as proposições simples: p: Salvador é a capital da Bahia q: Porto Seguro não tem praias A negação da proposição ~ p ∨ ~q pode ser lida como A) Se Salvador é a capital da Bahia, então Porto Seguro não tem praias. B) Salvador não é a capital da Bahia e Porto Seguro tem praias. C) Salvador é a capital da Bahia e Porto Seguro não tem praias. D) Salvador não é a capital da Bahia ou Porto Seguro tem praias. E) Salvador não é a capital da Bahia ou Porto Seguro não tem praias.


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Argumento Um argumento é uma relação entre um conjunto de proposições p1, p2, p3, ...,pn denominadas premissas que conduzem a outra proposição chamada conclusão. Representa-se um argumento por:

p1, p2, ..., pn q • O argumento é uma proposição e como tal tem um valor real que pode ser verdadeiro (válido) ou falso (falácia). • Se p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧... ∧ pn → q for uma tautologia, então o argumento é válido, caso contrário é um argumento inválido ou falácia ou sofisma. • Os diagramas de Venn muitas vezes são usados para determinar a validade de um argumento. Exemplo 1: Argumento válido p: Todo losango é paralelogramo (premissa 1) q: Todo quadrado é losango (premissa 2) ______________________________________ r: Todo quadrado é paralelogramo (conclusão válida)

Exemplo 2: Argumento inválido p: Alguns animais podem raciocinar (premissa 1) q: O homem é um animal (premissa 2) _________________________________________ r: O homem pode raciocinar (conclusão inválida)

Exercício 13 (TJ-RO/08) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é conseqüência necessária das premissas. São dados 3 conjuntos formados por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente verdadeira. (I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol. Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol. Conclusão: Júlio é brasileiro. (II) Premissa 1: Paulo é brasileiro. Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de voleibol. Conclusão: Paulo gosta de voleibol. (III) Premissa 1: Marcos é brasileiro. Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo. Conclusão: Marcos gosta de atletismo. São silogismos: A) I, somente. B) II, somente. C) III, somente. D) I e III, somente. E) II e III, somente.


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Exercício 14 (UFC) Três bolas, A, B e C, foram pintadas: uma de verde, uma de amarelo e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo: I) B não é azul. II) A é azul. III) C não é amarela. Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que: A) a bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azul. B) a bola A é verde, a bola B é azul e a bola C é amarela. C) a bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C é verde. D) a bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C é azul. E) a bola A é azul, a bola B é verde e a bola C é amarela. Exercício 15 (PM-Ba/07) Caetano Gilberto e Eudes, soldados da Polícia Militar do Estado da Bahia, foram designados certo dia para o patrulhamento de trânsito em três bairros – A, B e C – de uma cidade. Indignados sobre seus locais de patrulhamento, forneceram as seguintes informações: - o soldado que vai patrulhar o bairro A disse que Caetano vai patrulhar B; - o soldado que vai patrulhar B disse chamar-se Gilberto; - o soldado que vai patrulhar C afirmou que Eudes vai patrulhar B.

Como era sabido que apenas Caetano não mentiu, então os bairros que Caetano, Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente, A) C, B e A B) A, B e C C) A, C e B D) B, C e A E) C, A e B Exercício 16 Na residência assaltada, Sherlock encontrou os seguintes vestígios deixados pelos assaltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de sapatos deixadas no carpete: – Um toco de cigarro – Cinzas de charuto – Um pedaço de goma de mascar – Um fio de cabelo moreno As suspeitas recaíram sobre cinco antigos empregados, dos quais se sabia o seguinte: - Indivíduo M: só fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, não mastiga goma. - Indivíduo N: só fuma cigarro sem filtro e charuto, cabelo louro, não mastiga goma. - Indivíduo O: não fuma, é ruivo, mastiga goma. - Indivíduo P: só fuma charuto, cabelo moreno, não mastiga goma. - Indivíduo Q: só fuma cigarro com filtro, careca, mastiga goma Sherlock concluirá que o par de meliantes é: A) M e Q B) N e P C) M e O D) P e Q E) M e P


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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (UFBA) Sendo a proposição p → (r ∨ s) falsa e a proposição (q ∧ ~s) ↔ p, verdadeira, tem valor lógico verdadeiro: (01) s (16) ~t ∧ s (02) q (32) t ∨ (~r ∨ p) (04) r → (t ∨ s) (08) r ∨ p

02. (UNEB) Considere as proposições:

p: ( )( )

*R x,xx

x 36

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∈∀=−

− −

q: Se a > 0, b > 0 e a ≠ b, então

0ba

ab

ba

1=

−

−+

+

r: 0,333...0,99999... =

Tem valor lógico verdade

I. ~p II. q ↔ ~r III. p → q 01) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 02) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 03) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 04) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 05) Todas as afirmativas são verdadeiras. 03. (ESAF/03) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: A) Caio e Beto são inocentes B) André e Caio são inocentes C) André e Beto são inocentes D) Caio e Dênis são culpados E) André e Dênis são culpados

04. (UFBA) a negação de Hoje é segunda-feira e

amanhã não choverá é: A) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. B) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. C) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverá. D) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. E) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 05. (UCSal) A negação lógica da proposição “Todos os homens são inteligentes” é A) Pelo menos um homem não é inteligente. B) Todos os homens não são inteligentes. C) Todas as mulheres são inteligentes. D) Existem mulheres inteligentes. E) Os homens não são inteligentes. 06. (UNIFACS) A negação da proposição”Todo

número real x é positivo ou x ∉ R” é

01) “Nenhum número real x é positivo ou x ∉ R”.

02) “Existe número real x que é positivo e x ∉ R”.

03) “Todo número real x não é positivo ou x ∈ R”. 04) “Todo número real x não é positivo nem

x ∈ R”. 05) “Existe número real x que não é positivo e

x ∈R”. 07. (Pol. Civil - PE/07) Supondo-se que todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são, podemos logicamente concluir que: A) nenhum filósofo é objetivo. B) algum filósofo é cientista. C) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. D) alguns cientistas não são filósofos. E) não pode haver cientista filósofo. 08. (FEI-SP) Dadas as proposições: (1) Toda mulher é boa motorista. (2) Nenhum homem é bom motorista. (3) Todos os homens são maus motoristas. (4) Pelo menos um homem é mau motorista. (5) Todos os homens são bons motoristas. A negação de (5) é: A) (1) D) (4) B) (2) E) n.d.a. C) (3)


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09. (ESAF/01) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber: estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode. Testemunha 1: “Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 2: “Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.” Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.” Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. Assim, o assaltante é:

A) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.

B) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode

C) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa

bigode.

D) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos

e não usa bigode.

E) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos

e não usa bigode.

10. (UCSal) A negação da sentença “Se eu corro então canso” é: A) Corro e não canso B) Se eu corro então não canso C) Se eu canso então não corro D) Corro ou não canso E) Não corro e não canso 11. (FTE) Algumas pessoas não gostam de matemática nem de sorvete. A negação da proposição em destaque é: A) Todas as pessoas gostam de matemática e de sorvete. B) Todas as pessoas gostam de matemática ou de sorvete. C) Todas as pessoas gostam de matemática e algumas não gostam de sorvete. D) Algumas pessoas gostam de matemática ou de sorvete. E) Algumas pessoas gostam de matemática e de sorvete.

12. Se não é verdade que “Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que: A) todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. B) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. C) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. D) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. E) todas as aulas interessantes são dadas por professoras universitárias. 13. Marcos é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que Marcos faça a seguinte declaração: “Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã” A) Sábado D) Terça B) Domingo E) Quarta C) Segunda 14. (UFBA) Considere as sentenças p: “Todo país em desenvolvimento possui dívida externa”; q: “Todo país economicamente independente não possui dívida externa”; r: “Nenhum país em desenvolvimento é economicamente independente”; e os conjuntos X = {países em desenvolvimento} Y = {países que possui dívida externa} Z = {países economicamente independente}. Nessas condições, pode-se afirmar: (01) A negação da sentença p é “Algum país em desenvolvimento não possui dívida externa” (02) “Existe país economicamente independente que possui dívida externa e nenhum país em desenvolvimento é economicamente independente é equivalente a q → r. (04) p ∧ r q é válido. (08) q ∧ r p não é válido. (16) A representação em diagrama de Venn do argumento p ∧ q é


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15. (UECE) A letra que ocupa a posição 2002 na seqüência PQRSRQPQRSRQPQ...é: A) S D) P B) R C) Q 16. (UFPE) Objetivando conhecer a preferência musical dos seus ouvintes, certa emissora de rádio realizou uma pesquisa, dando como opções três compositores: M, B e S. Os resultados são:

votos opções 27 gostam de B 34 gostam de M 40 gostam de S 16 gostam de B e M 12 gostam de B e S 14 gostam de M e S 6 gostam de B, M e S 4 não gostam de B, M e S

Considerando esses dados, podemos classificar em verdadeiros (V) ou falsos (F) as seguintes afirmações: A) 42 não gostam de B. B) 18 gostam de M e não gostam de B. C) 20 gostam exclusivamente de S. D)24 gostam de exatamente dois dos compositores E) 25 não gostam de M. 17. (UFC) Um estudante em férias, durante “d” dias observou que: I. Choveu 9 vezes de manhã ou de tarde. II. Sempre que chovia de manhã, não chovia à tarde. III. Houve 10 tardes e 7 manhãs sem chover. Determine “d” 18. (FGV) Numa universidade com n alunos, 80 estudam Física, 90 biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na universidade? A) 304 D) 154 B) 162 E) n.d.a. C) 146 19. (UECE) Num certo grupo de pessoas, metade lê o jornal “A NOTÍCIA” e um terço lê o jornal “O INFORMATIVO”, mas somente um sexto lê ambos os jornais. Do grupo, a quantidade de pessoas que não lêem, nem “A NOTÍCIA” e nem “O INFORMATIVO”, é:

A) a metade D) um sexto B) um terço C) um quarto 20. (CESGRANRIO - CITEPE/09) Uma dada semana terminou em um sábado, dia 19. É correto afirmar que certamente esse mês A) começou em uma segunda-feira. B) começou em uma quarta-feira. C) terminou em uma quarta-feira. D) terminou em uma quinta-feira. E) não terminou em uma sexta-feira. 21. (MPE-AM/08) Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A ∨ B e ¬A sejam proposições compostas. A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir. 23 Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira. 24 Se a proposição A for F e a proposição (¬A) ∨ B for V,então, obrigatoriamente, a proposição B é V. 25 Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a proposição ¬(A ∨ B) ∨ (A ∨ B) é sempre V. 22. (PF/04) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 39 Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira. 40 Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. 41 Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.


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23. (PF/04) Considere as sentenças abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido. Q Fumar de ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 42 A sentença I pode ser corretamente representada

por P ∧ (¬ T). 43 A sentença II pode ser corretamente

representada por (¬ P) ∧ (¬ R). 44 A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. 45 A sentença IV pode ser corretamente

representada por (R ∧ (¬ T)) → P. 46 A sentença V pode ser corretamente

representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)). 24. (IBGE/06) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se: A) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota. B) Antônio não é professor, Antônio não é religioso. C) Joaquim é religioso, Joaquim é professor. D) Pedro é poliglota, Pedro é professor. E) João é religioso, João é poliglota.

25. (INSS/08) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeira ou falsa, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples “é dever do servidor, apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função”, e que B represente a proposição simples “é permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão”. Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subseqüentes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao raciocínio lógico. 27 Represente-se por ¬ A a proposição composta que é a negação da proposição A, isto é, ¬ A é falso quando A é verdadeiro e ¬ A é verdadeiro quando A é falso. Desse modo, as proposições “Se ¬ A então ¬ B” e “Se A então B” têm valores lógicos iguais. 28 Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira. 29 A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira. 26. (IBGE/06)

Na figura acima, quantos caminhos diferentes levam de A a E, não passando por F e sem passar duas vezes por um mesmo ponto? A) 2 D) 5 B) 3 E) 6 C) 4

A

F

E D

B

C


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27. (PF/04) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. • A afirmou que C matou o líder. • B afirmou que D não matou o líder. • C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. • D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. 42 A declaração de C não pode ser verdadeira. 43 D matou o líder. 28. (BB/09) Uma empresa bancária selecionou dois de seus instrutores para o treinamento de três estagiários durante três dias. Em cada dia apenas um instrutor participou do treinamento de dois estagiários e cada estagiário foi treinado em dois dias. As escalas nos três dias foram: 1º dia: Ana, Carlos, Helena; 2º dia: Helena, Lúcia, Márcio; 3º dia: Ana, Carlos, Lúcia. Considerando que um dos instrutores era mulher, julgue os itens que se seguem. 65 Os dois instrutores eram mulheres. 66 Carlos era estagiário. 67 Um estagiário era Lúcia ou Márcio. 29. (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: A) O jardim é florido e o gato mia. B) O jardim é florido e o gato não mia. C) O jardim não é florido e o gato mia. D) O jardim não é florido e o gato não mia. E) Se o passarinho canta, então o gato não mia. 30. (IBGE/06) Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em um círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos números, e cada 3a pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de número 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem continua normalmente com aqueles que não foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número:

A) 2 D) 9 B) 5 E) 11 C) 7 31. (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente, A) todo responsável é artista B) todo responsável é filósofo ou poeta C) todo artista é responsável D) algum filósofo é poeta D) algum trabalhador é filósofo 32. (PC-Pe/06) Sabe-se que Louise não gosta de livros ou Milena não gosta de música, mas não ocorrem as duas possibilidades simultaneamente. Também é conhecido que, se Vinícius não é dinamarquês, então Louise gosta de livros. Como Milena gosta de música, podemos afirmar que: A) Vinícius é dinamarquês. B) Se Vinícius é dinamarquês, então Louise gosta de livros. C) Louise gosta de livros. D) Se Milena gosta de música, então Louise gosta de livros. E) Milena não gosta de música. 33. (CESPE-PMRB/04) 43 Na pirâmide ilustrada abaixo, x e y são números reais tais que x + y = 5 e, em cada retângulo acima da base, deverá ser colocado o valor correspondente ao produto dos valores que estão nos retângulos que o sustentam. Nessa situação, é correto afirmar que x3 + y3 = 35.

34. (IBGE/06) Na seqüência (1, 2, 4, 7, 11,16,22,...) o número que sucede 22 é: A) 32 D) 29 B) 31 E) 28 C) 30


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35. (INSS/08) Algumas sentenças abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma (x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F. A partir das definições acima, julgue os itens a seguir. 48 Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “ x é funcionário do INSS”, então é falsa a sentença ∀xP(x). 49 Considere que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “ x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. (i) ∀x(Se Q(x) então P(x)) (ii) ∀x(P(x) ou Q(x)) (iii) ∀x(Se P(x) então Q(x)) 36. (PC-Pe/06) Sabe-se que alguns artistas não são pessoas geniais e que alguns atletas são pessoas geniais. Tomando por base apenas essas afirmações, podemos, com certeza, concluir que: A) Algumas pessoas geniais não são artistas. B) Algumas pessoas geniais não são atletas. C) Nenhum artista é atleta. D) Algum artista é atleta. E) Algumas pessoas geniais são atletas. 37. (PM-Ba/07) A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, o qual corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à definição dada “Entrada ilegal de mercadorias no país” (11) A) C D) S B) B E) T C) E

38. (PM-Ba-07) A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério.

I L J

H G F ? _ N _

E D C B A Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K, W e Y, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é A) L D) O B) M E) P C) N 39. (PC-Pe/06) Em uma Faculdade há uma oferta de três disciplinas optativas: L: Lógica, F: Filosofia e HM: História da Matemática. Em certo semestre os 1000 estudantes da Faculdade matricularam-se conforme a tabela abaixo. 290 matricularam-se na disciplina L. 370 matricularam-se na disciplina F. 200 matricularam-se na disciplina HM. 50 matricularam-se nas três disciplinas. 130 matricularam-se nas disciplinas L e F. 90 matricularam-se nas disciplinas F e HM. 110 matricularam-se nas disciplinas L e HM. Quantos estudantes não se matricularam em nenhuma das disciplinas optativas oferecidas? A) 420 D) 580 B) 390 E) 600 C) 430 40. (IBGE/06) Em um quarto totalmente escuro, há uma gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares de meias pretas. Devido à escuridão, é impossível ver a cor das meias. Quantas meias devem ser retiradas para que se tenha certeza de que, entre as meias retiradas, haja pelo menos um par de meias pretas? A) 2 D) 6 B) 4 E) 8 C) 5 41. (PC-Pe/06) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas podemos concluir logicamente que: A) Algum cronópio não é fama. B) Algum cronópio é fama. C) Todos os cronópios são famas. D) Nenhum fama é cronópio. E) Nenhum cronópio é fama.


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42. (PM-Ba/07) Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é

43. (PC-Pe/06) João Paulo, Antônio e César são jogadores de basquete. Sabe-se que: 1) Antônio é o mais alto ou César é mais alto; 2) João Paulo é o mais alto ou Antônio é o mais baixo, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente. Podemos afirmar que: A) Antônio é o mais alto dos três. B) João Paulo é o mais alto dos três. C) João Paulo é o mais alto e César é o mais baixo. D) Antônio é o mais baixo e João Paulo é o mais alto. E) César é o mais alto dos três. 44. (IBGE/06) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua existem 10 letras: 6 do tipo I e e 4 do tipo II. As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. As letras do tipo II são: g, p, q, y. Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I. Pode-se afirmar que:

A) dhtby é acentuada. D) btdh é acentuada. B) pyg é acentuada. E) kpth não é acentuada. C) kydd é acentuada. 45. (PC-Pe/06) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de lógica, então George é culpado. Mas George não é culpado. Logo: A) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica. B) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala. C) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica. D) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende. E) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica. 46. (ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo, A) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento B) Camile e Carla não foram ao casamento C) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou D) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou E) Vera e Vanderléia não viajaram 47. (IBGE/09) Em uma rua há 10 casas do lado direito e outras 10 do lado esquerdo. Todas as casas são numeradas de tal forma que, de um lado da rua, ficam as de número par e, do lado oposto, as de número ímpar. Em ambos os lados, a numeração das casas segue uma ordem crescente (ou decrescente, dependendo do sentido em que o observador caminha). Não há grandes diferenças entre os números de casas adjacentes e nem entre os números daquelas que ficam frente a frente. Um agente censitário encontra-se nessa rua, na porta da casa de número 76. Sem mudar de lado, ele segue em um sentido. Em poucos segundos, percebe que está diante da porta da casa de número 72. Pretendendo entrevistar o morador da casa de número 183, o mais provável é que ele precise A) continuar no mesmo sentido sem mudar de lado. B) continuar no mesmo sentido, mas mudando de lado. C) apenas atravessar a rua. D) andar no sentido contrário sem mudar de lado. E) andar no sentido contrário, mas mudando de lado.


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48. (BB/08)

O número de mulheres no mercado de trabalho mundial é o maior da História, tendo alcançado, em 2007, a marca de 1,2 bilhão, segundo relatório da Organização Internacional do Trabalho (OIT). Em dez anos, houve um incremento de 200 milhões na ocupação feminina. Ainda assim, as mulheres representaram um contingente distante do universo de 1,8 bilhão de homens empregados. Em 2007, 36,1% delas trabalhavam no campo, ante 46,3% em serviços. Entre os homens, a proporção é de 34% para 40,4%. O universo de desempregadas subiu de 70,2 milhões para 81,6 milhões, entre 1997 e 2007 — quando a taxa de desemprego feminino atingiu 6,4%, ante 5,7% da de desemprego masculino. Há, no mundo, pelo menos 70 mulheres economicamente ativas para 100 homens. O relatório destaca que a proporção de assalariadas subiu de 41,8% para 46,4% nos últimos dez anos. Ao mesmo tempo, houve queda no emprego vulnerável (sem proteção social e direitos trabalhistas), de 56,1% para 51,7%. Apesar disso, o universo de mulheres nessas condições continua superando o dos homens. O Globo, 7/3/2007, p. 31 (com adaptações).

Proposição é uma frase que pode ser julgada como verdadeira — V — ou falsa — F —, não cabendo a ela ambos os julgamentos. Um argumento correto é uma seqüência de proposições na qual algumas são premissas, e consideradas V, e as demais são conclusões, que, por conseqüência da veracidade das premissas, também são V. Proposições simples podem ser representadas simbolicamente pelas letras A, B, C etc. Conexões entre proposições podem ser feitas por meio de símbolos especiais. Uma proposição da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B são F; caso contrário, é V. Uma proposição da forma A ∧ B, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B são V; caso contrário, é F. Uma proposição da forma ¬A, a negação de A, é F quando A é V, e é V quando A é F. Uma expressão da forma P(x), proposição da lógica de primeira ordem, em que P denota uma propriedade a respeito dos elementos x de um conjunto U, tem a sua veracidade ou falsidade dependente de U e do significado dado a P. Se a proposição for da forma ∃xP(x), lida como “Existe x tal que P(x)”, tem a sua valoração V ou F dependente de existir ou não um elemento em U que satisfaça a P.

De acordo com as definições apresentadas acima e a veracidade de todas as informações apresentadas no texto precedente, julgue os itens de 31 a 37. 31 Infere-se do texto que a proposição “Há mais mulheres economicamente ativas do que homens, no mercado de trabalho mundial” é verdadeira. 32 A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição. 33 Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposições I e II abaixo. I Se uma mulher está desempregada, então, ela é infeliz. II Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco. Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se um argumento correto. 34 Considere que A seja a proposição “O número de mulheres no mercado de trabalho mundial atingiu 1,2 bilhão, em 2007” e B seja a proposição “O percentual de mulheres que trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em serviços, em 2007”. Atribuindo valores lógicos, V ou F, à proposição A e à proposição B, de acordo com o referido texto,

pode-se garantir que a proposição (¬A) ∨ B é V. 35 Se P(x) é a proposição “Entre 1997 e 2007, verificou-se que 70,2 milhões ≤ x ≤ 81,6 milhões”, e se x pertence ao conjunto de todas as mulheres desempregadas, então P(x) é V. 36 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente simbolizada por ¬∃(M(x)∧D(x)). 37 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma ∃ (M(x) → G(x)). 49. (IBGE/06) Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que: A) todo Z é Y. D) existem X que são Z. B) todo Y é X. E) todo X é Z. C) todo X é Y.


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50. Considere a afirmação abaixo, feita a respeito de um número natural n: “Se n é múltiplo de 8 e n é quadrado perfeito, então n é menor do que 20”. Dependendo do valor que se atribui a n, essa afirmação pode se tornar verdadeira ou falsa. Dentre os valores apresentados abaixo para n, o único que torna a afirmação falsa é: A) 81 D) 16 B) 64 E) 9 C) 24 51. (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: A) nenhum professor de violão é professor de canto B) pelo menos um professor de violão é professor de teatro C) pelo menos um professor de canto é professor de teatro D) todos os professores de piano são professores de canto E) todos os professores de piano são professores de violão 52. (TJ-RO/08) Em uma seqüência de números, o primeiro termo é 61 e todos os outros termos correspondem à soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior. O número que ocupa a 81ª posição desta seqüência é A) 4 D) 42 B) 16 E) 61 C) 37 53. Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo, A) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia B) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia C) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz D) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz E) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz

54. (IBMEC-SP/05) Suponha que as declarações (I), (II) e (III) abaixo são sentenças verdadeiras.

I . “Todo ser que envelhece é mortal.”

II. “Os deuses não envelhecem.”

III. “Todo homem é mortal.”

Então, não se pode concluir necessariamente que:

A) “Se um ser é imortal, então não envelhece.” B) “Nenhum deus é mortal.” C) “Se um ser é imortal, então não é homem.” D) “Nenhum imortal é homem.” E) “Se um ser envelhece, então não é um deus.”

55. (IBGE/09) Um dado é dito “comum” quando faces opostas somam sete. Um dado comum é colocado sobre uma mesa. Se o número da face voltada para cima é 2, o número da face em contato com a mesa tem o número A) 1 D) 5 B) 3 E) 6 C) 4

56. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: A) pelo menos um economista não é médico B) nenhum economista é médico C) nenhum médico é economista D) pelo menos um médico não é economista E) todos os não médicos são não economistas

57. (AGENTE DE TRÂNSITO – RO/09) Em um grupo de professores, todos os professores de lógica são, também, professores de matemática, mas nenhum professor de matemática é também professor de história. Todos os professores de atualidades são professores de geografia, e alguns professores de geografia são também professores de história. Como nenhum professor de geografia é também professor de matemática, e como neste grupo de professores não existe nenhum professor que seja de geografia, história e atualidades ao mesmo tempo, assinale a alternativa correta. A) Pelo menos um professor de atualidades é também professor de história. B) Pelo menos um professor de lógica é também professor de história. C) Todos os professores de geografia são também professores de lógica. D) Todos os professores de geografia são também professores de atualidades. E) Nenhum professor de atualidades é também professor de lógica.


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58. (PF/09) Uma proposição é uma declaração que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —, mas não como V e F simultaneamente. As proposições são, freqüentemente, simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C, D etc.

As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, como nos casos a seguir. • A → B, lida como “se A, então B”, tem valor lógico F quando A for V e B for F; nos demais casos, será V; • A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B forem F; nos demais casos, será V; • A ∧ B, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B forem V; nos demais casos, será F; • ¬ A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F.

Uma sequência de proposições A1, A2, ..., Ak

é uma dedução correta se a última proposição, Ak, denominada conclusão, é uma conseqüência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas. Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P ∧ (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa. A partir dessas informações, julgue os itens os itens subseqüentes. 70 Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V. 71 As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes. 72 Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram.

73 Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬ A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”. 74 A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol.

59. (IBGE/09) Admita como verdadeiras as seguintes declarações: • todo matemático sabe física; • há médicos que não sabem física. Com base nestas declarações, é correto concluir que há A) médicos que não são matemáticos. B) médicos que são matemáticos. C) médicos que sabem física. D) físicos que são matemáticos. E) físicos que são médicos. 60. (IBGE/09) Aldo, Beto e Caio são amigos. Um deles é médico, o outro, jornalista e o terceiro, advogado. Sabe-se que: • Beto não é o jornalista; • Caio não é o médico; • Aldo não é o advogado e nem o médico. Com base nas informações, conclui-se corretamente que A) Caio é o advogado. D) Beto não é o médico. B) Caio é o jornalista. E) Aldo é o médico. C) Beto é o advogado. 61. (TJ-RO/08) Considere verdadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”. Com base na declaração, é correto concluir que, se A) x é ímpar, então y é par. B) x é ímpar, então y é ímpar. C) y é ímpar, então x é par. D) y é par, então x é par. E) y é par, então x é ímpar. 62. (IBGE/09) Depois de amanhã é segunda-feira, então, ontem foi A) terça-feira. B) quarta-feira. C) quinta-feira. D) sexta-feira. E) sábado.


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63. (TJ-RO/08) A negação de “Nenhum rondoniense é casado” é A) há pelo menos um rondoniense casado. B) alguns casados são rondonienses. C) todos os rondonienses são casados. D) todos os casados são rondonienses. E) todos os rondonienses são solteiros. 64. (TJ-RO/08) Considere uma pergunta e duas informações as quais assumiremos como verdadeiras: Pergunta: Entre Ana, Beatriz e Camila, quem é a mais velha? Informação 1: Beatriz é mais velha do que Camila. Informação 2: Camila é mais nova do que Ana. Conclui-se, então, que A) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente. B) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente. C) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente. D) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente à pergunta. E) cada uma das informações, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta. 65. (TJ-RO/08)

A figura acima ilustra as 8 possibilidades de disposição, em 3 linhas, de

Se Yin e Yang fossem dispostos em 8 linhas, haveria quantas possibilidades de disposição? A) 512 D) 63 B) 256 E) 32 C) 128

66. (FATEC) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: I – Todos os amigos de João são amigos de Mário. II – Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo. II – Antônio só é amigo de todos os amigos de Roberto.

Se Roberto é amigo de Paulo, então: A) Antônio é amigo de Mário B) João é amigo de Roberto. C) Mário é amigo de Roberto. D) Antônio não é amigo de João. E) n.d.a. 67. (AGENTE DE TRÂNSITO – RO/09) Marque a alternativa que contém a negação da proposição “Todo cachorro é amigo do homem”. A) Pelo menos um cachorro não é amigo do homem. B) Algum cachorro é amigo do homem. C) Pelo menos um cachorro é amigo do homem. D) Nenhum cachorro não é amigo do homem. E) Todo homem não é amigo dos cachorros. 68. (AGENTE DE TRÂNSITO – RO/09) Marque a alternativa que contém uma proposição equivalente à “Se Laura viajou para a Inglaterra, então Laura viajou para o exterior”. A) Se Laura não viajou para a Inglaterra, então Laura não viajou para o exterior. B) Se Laura não viajou para o exterior, então Laura não viajou para a Inglaterra. C) Se Laura viajou para o exterior, então Laura não viajou para a Inglaterra. D) Se Laura viajou para a Inglaterra, então Laura não viajou para o exterior. E) Laura não viajou para Inglaterra mas viajou para o exterior. 69. (TJ-RO/08) Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por ∧ e ∨. A negação da proposição composta ~ p ∨ q é A) p ∧ ~q D) ~p ∧ ~q B) p ∨ ~q E) ~p ∧ q C) ~p ∨ ~q 70. (AGENTE DE TRÂNSITO – RO/09) Marque a alternativa que contém a negação da proposição “Algum professor é rigoroso”. A) Todo professor é rigoroso. B) Nenhum professor é rigoroso. C) Pelo menos um professor é rigoroso. D) Pelo menos um professor não é rigoroso. E) Algum professor não é rigoroso.


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GABARITO - PROPOSTOS

01 46 25 E,C,E 49 D 02 05 26 A 50 D 03 B 27 C,C 51 A 04 B 28 E,C,C 52 D 05 A 29 C 53 C 06 05 30 C 54 B 07 C 31 D 55 D 08 D 32 A 56 A 09 C 33 C 57 E 10 A 34 D 58 # 11 B 35 C,E 59 A 12 A 36 E 60 A 13 C 37 A 61 E 14 25 38 E 62 D 15 A 39 A 63 A 16 V,V,V,V,F 40 E 64 D 17 13 41 A 65 B 18 B 42 D 66 D 19 B 43 E 67 A 20 E 44 C 68 B 21 C,E,C 45 B 69 A 22 E,E,C 46 E 70 B 23 E,C,C,C,E 47 E 24 A 48 E,C,C,E,C,C,E

58 - # E,E,C,E,C,E,C

CURIOSIDADE!!! BUG NO CÉREBRO Foi descoberto que o nosso cérebro tem um bug (no computador significa um erro de programação, que liga e age parecido com um vírus). Aqui vai um pequeno exercício de cálculo mental. Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente), sem calculadora, nem papel, nem caneta. Tens 1000 reais, acrescenta-lhe 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 30 e novamente 1000. Acrescenta 20. Acrescenta 1000 e ainda 10. Qual é o total? O teu resultado é de 5000? Parabéns!! Você foi mais um que errou a conta!!! Volte e refaça a conta. A resposta certa é 4100!!! Se não acreditar, verifique com a calculadora. O que acontece é que a seqüência decimal confunde o nosso cérebro, que salta naturalmente para a mais alta casa decimal (centenas em vez de dezenas). O pior é que você vai refazer a conta, e agora que já sabe o resultado, vai chegar aos 4100 e não saberá como achou 5000 antes!!!!

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Professor Carlos Cley