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NOÇÕES DE LÓGICAProfessor: Renilson
CONCEITOS DE LÓGICAProposição:
é uma frase declarativa — afirmativa ou negativa — com sujeito e predicado, à qual se pode atribuir um dos valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F).
Ex.:O céu é azul.O mar não está para peixe.A Lua é uma estrela.3 + 4 = 78 + 4 ≠ 4 + 8
CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕESProposições simples: são aquelas que não podem ser
decompostas em duas ou mais proposições.Indicaremos uma proposição por uma letra minúscula.
Exemplosp: O Brasil é um país tropical.q: 5 < 3.
Proposições compostas: são aquelas que podem ser decompostas em duas ou mais proposições simples.
Exemplosp: Na Argentina fala-se o espanhol e no Brasil fala-se o português .q: 5 ≥ 3 ( Cinco é maior que três ou cinco é igual a três )
Princípios básicos das proposições
SentençaToda frase declarativa é chamada de sentença.
ExemploA frase “Melancia é a fruta mais saborosa que existe” é declarativa
e, portanto, é uma sentença. Note, porém, que essa sentença não é uma proposição, pois não pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), já que não é um conceito universal.
Sentença aberta
Exemplo:
a) x + 3 = 9b) Fulano é presidente do Brasil.
Conectivos lógicos
Ligando as proposições p: “Luís é professor” e q: “Luís cursou faculdade de Filosofia” por meio dos conectivos lógicos, podemos formar novas proposições. Por exemplo:
~p (lê-se “não p”): Luís não é professor;
p^q (lê-se “p e q”): Luís é professor e Luís cursou faculdade de Filosofia;
p v q (lê-se “p ou q”): Luís é professor ou Luís cursou faculdade de Filosofia;
p q (lê-se “se p, então q”): Se Luís é professor, então Luís cursou faculdade de Filosofia;
p q (lê-se “p se, e somente se, q”): Luís é professor se, e somente se, Luís cursou faculdade de Filosofia.
Operações com proposiçõesNegação de uma proposição (~)
Podemos representar os valores lógicos de p e ~p pela tabela a seguir, chamada de tabela verdade.
Exemplosa) p: 7 ≠ 6 (V) ~p: 7 = 6 (F)
b) q: 6 < 4 (F) ~q: 6 ≥ 4 (V)
Conjunção de duas proposições (^)Podemos representar os valores lógicos de p, q e p ^ q pela tabela verdade a seguir.
Disjunção de duas proposições ( v )Podemos representar os valores lógicos de p, q e p v q pela tabela verdade a
seguir.
Condicional entre duas proposições ( )Podemos representar os valores lógicos de p, q e p q pela tabela verdade a
seguir.
Bicondicional entre duas proposições ( )Podemos representar os valores lógicos de p, q e p q pela tabela verdade a
seguir.
QuantificadoresNesse item, mostraremos que é possível transformar uma sentença aberta em uma proposição sem atribuir um valor à variável, bastando acrescentar à sentença aberta uma expressão lógica chama da quantificador.
I. Quantificador universalO quantificador universal é a expressão “Qualquer que seja” (ou “Para todo”), que é simbolizado por .
II. Quantificadores existenciaisOs quantificadores existenciais são as expressões:• “Existe pelo menos um”, que é simbolizado por ;• “Existe um único”, que é simbolizado por |.
Exemplo:Sentença aberta:
“x é um número par.”
Acréscimo dos quantificadores: Qualquer que seja o numero x, x é um número
par. Existe pelo menos um número x tal que x é par. Existe um único numero x tal que x é par.
Negação de uma proposição contendo quantificador
EXEMPLO:Escrever a negação de cada uma das proposições a seguir.
p: x tem-se x + 2 = 6~p: x | x + 2 ≠ 6
q: x tal que 2x > 7~q: x, tem-se 2x ≤ 7