Professora: Aula 3 Rosa M. M. Leão - Landland.ufrj.br/~classes/est-prob-2011/slides/aula_2.pdf · 1.1 Por que estudar Probabilidade e Estatística? A Estatística é empregada como

3

Probabilidade e Estatística

Conteúdo:1.1 Por que estudar ?1.2 O que é ? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade1.6 Análise Combinatória

Professora:

Rosa M. M. LeãoAula 3

1.1 Por que estudar Probabilidade e Estatística?

A Estatística é empregada como ferramenta fundamental em várias áreas, tais como:

4

• em computação - estudo do desempenho de sistemas,algoritmos para aumentar a eficiência, etc;

• na área médica - metodologia adequada que possi-bilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento;• na indústria - controle de qualidade de produto e processo;

• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;

• na definição de indicadores econômicos e sociais;

• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.

Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos:

"a inflação esse mês foi ...."

"a taxa de desemprego no Brasil no ano de 2005...."

"o candidato A tem 32% da intenção de votos, o can-didato B tem 41% e 27% dos entrevistados não souberam ou não quiseram responder"

"o número de carros vendidos no país aumentou em 20%"

" a altura média da população aumentou em 5% "

"o time A teve 60% do tempo de posse de bola, ..."

→

→

→

→

→

→5

Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia a dia, como por exemplo:

6


→

7

Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?


→

→

8

Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?

Se em um teste com várias perguntas onde teremos que responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-remos uma probabilidade de acertar um número maior de respostas se "chutarmos" sempre a mesma resposta? ou seria melhor alternarmos as respostas?

Para modelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições:

→

→

9

Caso 1: Sistema já existe e deseja-se coletar dadospara seu estudo/modelagem.

Caso 2: Sistema não existe e deseja-se criar um modelopara prever o seu desempenho.

• Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagemdo sistema:

10

• Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagemdo sistema:

11

• Se o sistema não existe, como obter os dados para criar o modelo ?

• Como definir o período no qual deve-se coletar os dados (24h, somente pela manhã, no horário de maior uso do sistema) ?

• Pode-se usar os dados coletados durante um certo período (amostra), para concluir sobre o comportamento do sistema ?

• Por quanto tempo deve-se coletar os dados ?

ii) O que fazer com os dados colhidos?

12

• Como fazer para que os dados obtidos para esse período de tempo possam ser generalizados para obtermos infomações sobre o sistema ?

• Como extrair informações de interesse?

• Como organizar esses dados?

13

Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-tam responder a essas questões com segurança e obje-tividade.

14

Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-tam responder a essas questões com segurança e obje-tividade.

Estas técnicas são:

Estatística

Probabilidade

Inferência estatística

→

→

→

Estatística: conjunto de técnicas destinadas a descrever, organizar e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões de características de interesse.

15


Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.

16


Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.

Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-lizar e prever resultados.

17

1.3 População e amostra

18

A população é o conjunto de todos os dados queque temos interesse.


Exemplos:

i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, comopor exemplo o BitTorrent. O que é a população ?

19



Exemplos:

ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um produto de uma certa fábrica durante um período de tempo, por exemplo, a durabilidade das lâmpadas produzidas durante o ano de 2004, a população será com- posta por todas as lâmpadas produzidas pela fábrica em questão no ano de 2004.

20


i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, comopor exemplo o BitTorrent. O que é a população ?

População

pode ser finita ou infinita

21

População

pode ser finita ou infinita

Em determindas situações há impossibilidade de se analisar toda população, ou por razões econômicas, ou pela população ser infinita.

22

Um exemplo:

23

Sabemos que uma aplicação é usada por milhões depessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliarquantos pacotes de voz, em média, são perdidos prejudicando a qualidade da comunicação:

Um exemplo:

Como escolher?

24

Sabemos que uma aplicação é usada por milhões depessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliarquantos pacotes de voz, em média, são perdidos prejudicando a qualidade da comunicação:

População - todos os pacotes de voz transmitidos pela aplicação

Amostra - parcela dos pacotes coletados

25

Amostra subconjunto da população a ser estudado

o mais parecido possível com a população que lhe deu origem

26

Análise: feita na população total ou em uma amostra



27


população amostra

A1 ?

A2 ?



28


população amostra

A1



29

Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos

Fenômeno Aleatório

Situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

30

Fenômeno Aleatório

Situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

Exemplos:

→ O resultado do lançamento de um dado.

→ O clima num determinado dia da semana que vem.

→ A média final que você tirará nesta disciplina.

Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos

31

Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório.

Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).

32

Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório.

Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).

Os subconjuntos do espaço amostral são chamados de eventos e são representados por letras maiúsculas (A, B, C, ...).

33

Exemplos:

→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas

onde aqui C é cara e R coroa.

Ω = CC,CR,RC,RR,

34

Exemplos:

→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas

onde aqui C é cara e R coroa.

Ω = CC,CR,RC,RR,

→ Uma moeda é lançada consecutivamente até o apare- cimento da primeira cara

Ω = C,RC,RRC,RRRC,...,

que contém um número infinito de elementos.

35

Lembrando da Teoria dos Conjuntos:

→ O conjunto vazio é denotado por ∅

→ A união de dois eventos A e B representa a ocorrên-

cia de, pelo menos, um dos eventos A ou B.

Denotamos a união de A com B por

→ A intersecção do evento A com B é a ocorrência simul-

tânea de A e B.

Denotamos a intersecção de A com B por .

36

Exemplo

Sejam A, B e C três eventos do espaço amostral Ω :

Ω = A,B,C

A B

C

Pelo menos um dos eventos ocorreA B

C

37

Exemplo

Sejam A, B e C três eventos do espaço amostral Ω :

Ω = A,B,C

A B

C

Ambos os eventos ocorrem A B

C

38

→ Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) quando não têm elementos em comum, ou seja:

→ Dois eventos A e B são complementares se sua uni- ão é o espaço amostral e sua intersecção é vazia, ou seja:

39

Exemplo:

A B

C

A e C: eventos disjuntos

Ac → complementar de A

A B

C

AAc

40

Outros exemplos

→ Pelo menos um dos eventos ocorre

→ O evento A ocorre mas o evento B não

→ Nenhum deles ocorre

41

4.3 Probabilidade

Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as condições:

ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-ricos aos eventos do espaço amostral.

,com todos os disjuntos.

42

Questão que se coloca:

como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?

43

Questão que se coloca:

como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?

1) Baseado nas características da realização de um fenômeno;

2) Usando as freqüências de ocorrência.

44

→ Baseado nas características da realização de um fenômeno

Exemplo:

Lançamento de um dado cúbico perfeitamente homogê-neo e simétrico com os lados numerados, teremos o es-paço amostral:

E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada evento será:

45

→ Usando as freqüências de ocorrência

Exemplo:

Pegamos um dado e jogamos várias vezes.

Para um número suficientemente grande de lançamentos, podemos usar as freqüências de ocorrência como probabi-lidades. Mas ......

46

O que quer dizer número suficientemente grande de lança-mentos ?

Geralmente a medida que o número de repetições aumenta, as freqüências relativas vão se estabilizando em um número que chamaremos de probabilidade.

47

Exemplo:

Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do se-xo feminino ou alguém da turma B?

Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% na turma B, escolhemos um estudante ao acaso.

Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunosde cada sexo numa escola:

Sexo fnFM

Total

37 0,7413 0,2650 1

48

Tabela

Da tabela e das características das turmas A e B temos

P(M) = 0,26;P(A) = 0,52;

P(F) = 0,74;

P(B) = 0,48.

49

Pergunta colocada:

"Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexo feminino ou alguém da turma B?"

Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já que teríamos probabilidade maior que 1.

Estamos somando duas vezes alguns elementos pois há mulheres em ambas as turmas

Queremos

P(M) = 0,26;P(A) = 0,52;

P(F) = 0,74;

P(B) = 0,48.

50

Temos que é igual ao número de estudantes do sexo feminino e da turma B.

Assim, para obter a probabilidade correta temos que somar as probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste va-lor

ou seja,

51

Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por

observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somen-te neste caso),a probabilidade da intersecção de A com B énula e temos que a união é igual a soma das probabilidadesdos dois eventos.

Esta regra pode ser estendida para soma de três ou maistermos.

52

e que

Observe que

53

Observe que

e que

Logo,

54

→ Como calcular as freqüências de ocorrência:

Contando o número de casos favoráveis para ocorrênciade um certo evento, se os eventos são equiprováveis

Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória

P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos

Documents

Professora: Aula 3 Rosa M. M. Leão - Landland.ufrj.br/~classes/est-prob-2011/slides/aula_2.pdf · 1.1 Por que estudar Probabilidade e Estatística? A Estatística é empregada como