Professores: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Marcelo Almeida e Paulo Luiz

O que é semelhança em geometriaEm um primeiro nível de raciocínio,podemos dizer que duas ou mais figuras sãosemelhantes quando causam, noobservador, a mesma sensação, no que serefere a sua forma.

AULA 01

Figura 1 Figura 2 Figura 3

As três figuras desse slide são semelhantes?

O que é semelhança em geometria

Da observação das imagens anteriores,podemos pensar (de maneira informal) queduas imagens são semelhantes quandopodemos dizer que, em relação à outra, umadelas é

Uma cópia

Uma redução

Uma ampliação

Obviamente, sem deformações.

Def.: Semelhança de TriângulosDois triângulos são ditos semelhantes

quando é possível estabelecer umacorrespondência entre seus vértices de tal sorteque

1) Vértices correspondentes sejam vértices deângulos internos congruentes; e

2) A razão entre lados homólogos de umtriângulo para o outro seja constante.

Obs.1: homólogos = correspondentes

Obs.2: É comum nos referirmos a essa constante como ke ela recebe o nome de razão de semelhança.

Exercício Fundamental 1.1Na figura, tem-se ∆ABC ~ ∆A’B’C’. Se o perímetro do∆ABC é de 64,8 cm e os lados A’B’, B’C’ e A’C’ têmmedidas iguais a 10 cm, 14 cm e 12 cm,respectivamente, determine

a) a razão de semelhança (k) do triângulo ABC para otriângulo A’B’C’.

b) a razão de semelhança (k’) do triângulo A’B’C’ para otriângulo ABC.

c) a medida de cada um dos lados do ∆ABC.

d) a razão de AB para A’B’; e a razão de B’C’ para BC.

10 12

14

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: LADO – ÂNGULO – LADO (L.A.L.)

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: LADO – LADO – LADO (L.L.L.)

Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: ÂNGULO - ÂNGULO (A.A.)

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA

Se uma reta é paralela aum dos lados de umtriângulo e intercepta osoutros dois lados empontos distintos, então otriângulo determinadopor ela é semelhante aoprimeiro.

A.A

Exercício Fundamental 1.2Para medir a altura de um prédio, Ana fez o seguinte:amarrou um cabo no topo do prédio e depois fixou aoutra ponta do cabo no solo, a 5 m de distância da basedo prédio (esticado).

Em seguida, a uma altura de 5 m a partir do solo,amarrou outro cabo, paralelo ao primeiro, porém fixou-o no solo a 2 m de distância da base do prédio.Determine a altura do prédio.

(Acafe-SC-2001) Uma pessoa caminha sobre uma rampainclinada (inclinação constante) de 3,5 m de altura. Apóscaminhar 12 m sobre ela, se encontra a 1,5m de altura emrelação ao solo.Para atingir o ponto mais alto da rampa, quantos metrosesta pessoa deve ainda caminhar?

Exercício Fundamental 1.3

TAREFA 1

SALA: PSA 3 e 9

CASA: PSA 1, 2, 4 a 7, 10, 12 e 13

Sugestão de roteiro de resolução para os exercícios1) Nomeie os ângulos internos de um dostriângulos e, utilizando relações, conclua quais sãoos ângulos correspondentes no outro triângulo.

2) Anotar as medidas dos lados e dos ângulos nafigura.

Obs.: É comum que um dos triângulos apresente pelomenos um dos lados com medida igual a uma soma(ou subtração) de dois valores.

3) Montar a proporção com os lados homólogos eresolvê-la.

Professores: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Paulo Luiz, Marcelo Almeida

e Jorge Augusto

Um triângulo retângulo é qualquer triângulo que tem um ângulo reto,90°.

Cateto

.

C

a

t

e

t

o

Os lados do triângulo retângulo recebem

nomes especiais:

➢Hipotenusa : lado oposto ao ângulo reto

➢Catetos: lados que formam o ângulo reto

Usando o conhecimento sobre proporções e semelhança de triângulos podemos chegar a algumas

relações métricas notáveis em qualquer triângulo retângulo.

Triângulo RetânguloA

B CH

m n

a = m + n

c bh

A

m

c

HB

h

CH

n

bh

Os triângulos HBA, HAC e

ABC são semelhantes

)1(. 2cmaa

c

c

m

)2(. 2bnaa

b

b

n

Somando as

equações (1) e (2)

22)( cbnma

222 cba

B

a = m + n

CH

n

bh

A

m

c

A

m

c

HB

h

CH

n

bh

n

h

h

m

nmh .2

A área do triângulo

ABC pode ser

calculada por:

2

.

2

. cbha

cbha ..

Triângulo Retângulo

Em bom português!!As relações métricas podem ser “memorizadas” como:

1) O quadrado do cateto é igual

ao produto da sua projeção pela hipotenusa;

2) O quadrado da altura é igual

ao produto das projeções.

3) O produto da hipotenusa pela sua altura é igual

ao produto dos catetos.

4) O quadrado da hipotenusa é igual

à soma dos quadrados dos catetos.

b² = n . a ou c² = m . a

h² = m . n

a . h = b . c

a² = b² + c²

Exercício Fundamental 1.1Considere a figura, formada por dois triângulos retângulos justapostos. O valor de y é:

a) 8 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18

12

y

9

17

Na figura acima, que representa o projeto de umaescada com 5 degraus de mesma altura, ocomprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m

Exercício Fundamental 1.2

TAREFA 2

PSA 17 a 24