DELTION SPRINT COLLEGE ZWOLLE

Shinpeki Sanpō“Heilige Wiskunde”

Profielwerkstuk VWO

Arianne van de GriendJaargang 2010-2011

1 | P a g i n a

Inhoudsopgave1. Inleiding...................................................................................................32. De Edo Periode.........................................................................................53. Rekenhulpmiddelen.................................................................................7

3.1 Het Japanse getallenstelsel.................................................................73.2 De Sangi.............................................................................................83.3 De Soroban.......................................................................................10

3.3.1 Soroban oefeningen....................................................................154. Wasan....................................................................................................17

4.1 Chinese wiskunde.............................................................................174.2 De ontwikkeling van Japanse wiskunde............................................184.3 Japanse wiskundigen........................................................................19

5. Tempels en Heiligdommen.....................................................................215.1 Shintoïsme........................................................................................215.2 Boeddhisme......................................................................................22

6. Sangaku.................................................................................................236.1 Het woord Sangaku...........................................................................236.2 De oorsprong van Sangaku...............................................................236.3 Het oplossen van een Sangaku.........................................................246.4 Een makkelijke Sangaku...................................................................246.5 Een moeilijk Sangaku........................................................................266.6 Sangaku en het dagelijks leven........................................................30

7. Wasan versus yosan..............................................................................328. Conclusie...............................................................................................339. Bronnenlijst............................................................................................3510. Logboek...............................................................................................37

2 | P a g i n a

1. InleidingShinpeki Sanpō, 'Heilige Wiskunde', daar gaat dit profielwerkstuk over. Wiskundige problemen, gemaakt en opgelost door normale mensen en vervolgens opgeschreven op grote houten tabletten. En tenslotte geöfferd aan de Goden. Of ineen woord uitgedrukt: Sangaku.In de 17de tot en met de 19de eeuw werden in Japan veel van deze sangaku gemaakt en opgehangen in verschillende tempels over heel Japan.Nu is ligt het erg voor de hand om te zeggen: 'Die Japanners weer met hun vreemde dingen.' Maar in die tijd was het heel normaal om wiskundige kennis aan de Goden te offeren. Net als dat het Afrikanen heel vreemd lijkt dat de katholieken met water een kruis maken op hun voorhoofd als ze de kerk binnen gaan, wat bij ons als normaal wordt gezien.Maar wat houdt zo'n Sangaku nu eigenlijk in?

Sangaku leek een erg leuk onderwerp, omdat ik Japan een leuk land vind en wiskunde een leuk vak; een perfecte combinatie voor het profielwerkstuk. Helemaal omdat er veel over het onderwerp te vertellen is en de wiskunde niet te moeilijk wordt. Je moet alleen op een nieuwe manier leren kijken.Verder is het een erg origineel onderwerp en dat maakt daarmee ook dit profielwerkstuk origineel. Originaliteit is een belangrijke eigenschap, helemaal als veel anderen een soortgelijk product maken, in dit geval het profielwerkstuk.

In dit profielwerkstuk gaat het over de vraag: “Wat is een sangaku en wat was de rol daarvan in Japan?” Deze vraag zal ik in 6 hoofdstukken beantwoorden. Als eerste zullen we stil staan bij de periode waarin de sangaku werden gemaakt, de Edo Periode, want deze periode is kenmerkend voor de ontwikkelingen binnen de wiskunde.Zonder getallen en rekenhulpmiddelen kan je niet rekenen, dus hier zullen we daarna bij stil staan. Eerst een paragraaf over het Japanse getallenstelsel, wat erg makkelijk in elkaar zit. Hierin laat ik ook het verschil zien tussen de Japanse cijfers van vroeger en nu en ook een interessant verschil tussen de Nederlandse en de Japanse cijfers.Vervolgens gaan we het hebben over de ontwikkelingen in de Japanse wiskunde, wat zijn oorsprong vindt in de Chinese wiskunde, en kijken we naar de ontdekkingen van een stel Japanse wiskundigen.Omdat de sangaku worden opgehangen in de tempels zullen we ook stil staan bij de twee grootste religies in Japan, het Shintoïsme en het boeddhisme. Het hoofdstuk daarna gaat over de Sangaku zelf. In de eerste paragraaf wordt uitgelegd wat het woord Sangaku betekend. Daarna vertel ik wat over de oorsprong van de sangaku. Vervolgens kijken we kort naar hoe je een sangaku oplost met in de twee volgende paragrafen voorbeelden van sangaku problemen. En als laatste paragraaf kijken we naar de rol van de sangaku in het dagelijks leven.

3 | P a g i n a

In hoofdstuk 7 gaan we het hebben over de verschillen tussen de Westerse wiskunde (yosan) en de Japanse wiskunde (wasan).Ten slotte krijgen we een samenvatting van de hoofdstukken in de conclusie en beantwoorden we ook de hoofdvraag.

4 | P a g i n a

2. De Edo PeriodeDit hoofdstuk gaat over de periode waarin de Japanse wiskunde tot bloei kwam. In deze periode werden ook de Sangaku voor het eerst gemaakt. Dit hoofdstuk is erg belangrijk voor het onderwerp, omdat in de Edo periode Japan was afgesloten voor de buitenwereld, net zoals Noord-Korea nu is afgesloten. En waardoor de wiskunde zich op een totaal andere manier heeft ontwikkeld dan in het Westen. De Edo periode staat in Japan ook wel bekend als de 'Grote Vrede', omdat er in die tijd geen oorlog was met andere landen.

De Edo periode begon in 1603 toen Tokugawa Ieyasu shogun werd van Japan. De shogun is de machtigste samurai van Japan, hij is zelfs machtiger dan de keizer. Tokugawa besloot om vanuit het stadje Edo te gaan regeren, tegenwoordig kennen we die stad als Tokyo. De Tokugawa familie heeft in Japan geregeerd tot 1868. Halverwege de 16e eeuw kwamen veel Westerse schepen naar Japan om handel te drijven. Maar met deze handelsschepen kwamen ook vaak missionarissen die de Japanners wilden bekeren tot 'het ware geloof', het christendom. Doordat de leiders van het land vonden dat het christendom zorgde voor een instabiel land, het christendom was namelijk in strijd met de oorspronkelijke religies, werd er besloten om geen handel meer te drijven met het buitenland in 1635. Alleen met China, Korea en Nederland werd er nog handel gedreven, omdat zij geen missionarissen stuurden om de Japanners te bekeren. Nederland mocht echter alleen op een klein eilandje in het zuiden van Japan, Nagasaki, aanmeren.Hierdoor ontstond het zogeheten sakoku, gesloten land. Er was nog weinig contact met andere landen. Dit is vergelijkbaar met Noord-Korea, dat land heeft op dit moment weinig contact met het buitenland, alleen in bijzondere gevallen mogen buitenlanders het land binnen.

Aan het begin van de Edo periode waren er in Japan zelf veel gevechten tussen de dorpen onderling. Samurai, mannen van militair adel, vochten, voor een dorp, tegen elkaar. Hiermee werden conflicten 'opgelost'. Maar later in de Edo periode waren er weinig conflicten tussen dorpen en hadden de samurai geen werk meer. Daarom gingen ze werken voor 'de staat' als een soort accountant. Ze berekende de belastingen aan de hand van Chinese wiskunde boeken en ze maten stukken grond van boeren. Sommige samurai besloten een schooltje op te richten, een juku. Hier werd geleerd hoe je moet rekenen, schrijven en lezen.

5 | P a g i n a

Afbeelding 1: Nederlandse schepen aan de kust van Japan.

Afbeelding 2: Een shogun

Door deze ontwikkeling bleven samurai langer op een plek. Daardoor kwamen de samurai niet meer langs bij de boeren om hun land op te meten en te berekenen hoeveel graan ze nodig hadden om te zaaien en dergelijke. Daardoor besloten de boeren ook naar de juku te gaan om te leren hoe ze die berekeningen kunnen uitvoeren. Zo ontstonden er erg vroeg openbare scholen in Japan en konden in de Edo periode al veel mensen lezen, schrijven en rekenen.

6 | P a g i n a

3. Rekenhulpmiddelen Wiskunde zonder rekenhulpmiddelen is erg moeilijk, alleen pen en papier is al een hele hulp bij het maken van berekeningen. Als je alles uitrekent in je hoofd, dan maak je snel fouten en heb je geen overzicht over wat je aan het doen ben. En omdat er vroeger nog geen rekenmachine was, heb ik besloten om een hoofdstuk aan de rekenhulpmiddelen in Japan in die tijd te besteden.Eerst gaan we het hebben over het Japanse getallenstelsel, daarna over de sangi en tenslotte over de Japanse abacus, de soroban. Om een indruk te krijgen van de problemen die werden opgelost met de soroban is er aan het eind een paragraaf met oefeningen voor de soroban.

3.1 Het Japanse getallenstelselZoals in elke taal worden de getallen anders genoemd. En aangezien het getallenstelsel het begin is van de wiskunde, ben ik hier mee begonnen. Verder zijn getallen zelf eigenlijk ook een rekenhulpmiddel, zonder getallen kan je niet rekenen.

Ik heb een tabel1 gemaakt met verschillende cijfers, hun oude benaming en hun nieuwe benaming erbij geschreven. Dit zijn alleen de hoofdtelwoorden, de rangtelwoorden zijn weer anders, maar die zullen we niet nodig hebben.

Cijfer

Oud Nieuw Cijfer Oud Nieuw

1 Hito Ichi 100 Momo Hyaku2 Futa Ni 1 000 Chi Sen3 Mi San 10 000 Yorozu Man4 Yo Shi 100 000 So yorozu Jiu man5 Itsu Go 1 000 000 Momo yorozu Hyaku man6 Mu Roku 10 000 000 Chi yorozu Sen man7 Nana Shichi 100 000 000 Yorozu yorozu Oku8 Ya Hachi 1 000 000 000 So yorozu yorozu Jiu oku9 Koko Ku10 Tō JiuTabel1 : Japans getallenstelsel vroeger en nu

1

Eugene, D. en Yoshio, M. (2004). A history of Japanese mathematics. Mineola: Dover Publications. (Page 4).

7 | P a g i n a

Wat opvallend is aan het Japanse getallen stelsel, is de naamgeving van de machten van 10. In Nederland, en in eigenlijk alle bekende talen, tellen we met machten van tien alsvolgt: tien, honderd, duizend, tienduizend, honderdduizend, miljoen etc. In Japan wordt anders geteld, namelijk tien, honderd, duizend, tienduizend, tien tienduizend, honderd tienduizend duizend tienduizend et cetera. In het oude Japans ging het zelfs verder met tienduizend tienduizend, tien tienduizend tienduizend enzovoort.

3.2 De Sangi Sangi, of 'tel staven', is een rekenhulpmiddel dat in Japan werd gebruikt voordat de abacus daar bekend was. Sangi is bedoeld voor het vereenvoudigen van kwadratische en derde graads vergelijkingen. In deze paragraaf gaan we in op de werking van zo'n sangi.

Een sangi werkt behoorlijk makkelijk, als je begrijpt wat je moet doen, net als met de grafische rekenmachine moet je eerst leren om ermee om te gaan en ook eerst alle functies leren.

Afbeelding 3: Positie en kleur van de stokjes

Afbeelding 4: Voorbeeld van een berekening in stappen

8 | P a g i n a

Een sangi bestaat uit twee delen; een groot vel met daarop een tabel en een stel stokjes in twee verschillende kleuren. De manier waarop je de stokjes neerlegt en de kleur van de stokjes bepalen het getal waar de stokjes voor staan, zoals in het figuur hierboven te zien is. De tabel heeft ook een speciale vorm. In de bovenste rij staan de veelvouden van de getallen die daaronder komen te staan. In de rechter kolom staan de machten van de x; Gu betekent x3, ren betekent x2, ho betekent x, jitsu betekent x0 (=1) en sho is de wortel van x.

Voordat ik ga uitleggen hoe je een sangi moet gebruiken geef ik eerst een voorbeeld2 om een beeld te maken van hoe dat er dan uit ziet. In het plaatje hiernaast is een ingevulde tabel te zien met daaronder tabellen met de uitwerking.In de bovenste tabel staat de vergelijking x3+2x2+3x-9=0.Door 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur 2. sho1*gu1 + ren2 = 3 (wat wordt gebuikt bij ren) sho1*ren3 + ho3 = 6 (wat wordt gebuikt bij ho) sho1*ho6 + jistu(-9) = (-3) (wat wordt gebuikt bij jitsu) Door daarna weer 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur 3.sho1*gu1 + ren3 = 4 (wat is gebuikt bij rensho1*ren4 + ho6 = 10 (wat is gebuikt bij ho) En door weer 1 in sho te doen krijgen we de volgende stappen en figuur 4.sho1*gu1 + ren4 = 5 (wat wordt gebuikt bij ren ) Door de vorige stappen hebben we de volgende formule gekregen: -3 + 10y + 5y^2 + y^3 = 0, na het transformeren van x = y + 1 in -9 + 3x + 2x^2 + x^3 = 0. Dus wat je moet als je een vergelijking wilt oplossen met behulp van een sangi is: Je neemt 1 sho, je doet dat keer het aantal gu en je telt het op bij het aantal ren. Daarna neem je 1 sho keer het aantal ren en tel je dat op bij het aantal ho. Vervolgens neem je 1 sho keer het aantal ho en dat tel je op bij het aantal jitsu. Dan heb je verschillende aantal ren, ho en jitsu. Met deze verschillende waarden herhaal je stap 1 en 2. Dan krijg je verschillende waarden voor ren en ho en met die waarden herhaal je stap 1. Hierdoor krijg je een nieuwe vergelijking. De variabele in de nieuwe vergelijking is niet x maar y geworden. Wat we nu hebben gedaan is x=y+1 transformeren in de vergelijking.

2

Van http://www.wasan.jp/english/sangi.html

9 | P a g i n a

3.3 De SorobanDe soroban staat hier in Nederland beter bekend als de abacus. Ook in Japan werd dit rekenhulpmiddel vroeger veel gebruikt en zelfs nu gebeurt dat nog.De soroban is vermoedelijk vanuit China naar Japan gekomen, net als veel andere wiskundige kennis.

Afbeelding 5: Soroban

De soroban ( 算盤 of tel blad) bestaat uit een oneven aantal kolommen of stokjes. Om elk stokje zitten kralen, 4 kralen met een waarde van 1 en 1 kraal met een waarde van 5. De kralen met een verschillende waarde worden gescheiden door een plankje dwars door alle staafjes, zoals op de afbeelding hierboven te zien is. De soroban ziet er dus iets anders uit dan zoals wij gewend zijn. Maar verder werkt hij wel ongeveer hetzelfde.

De soroban werkt alsvolgt: de kraaltjes in de meest rechter kolom zijn het aantal enkelen, de kolom links daarvan geeft het aantal tientallen aan, de kolom daarnaast geeft de honderd tallen aan etc. Het aantal kralen tegen het plankje geeft aan hoeveel enkelen, tientallen of honderdtallen etc. in het getal zitten. Waarbij de losse kraal een waarde van 5 heeft en de andere kraal een waarde van 1. In de soroban van afbeelding 3 wordt dus het getal 444.444.444.444.444 aangegeven.

Rekenen met de Soroban is erg makkelijk. Vooral optellen en aftrekken zal weinig problemen geven. Hierbij geef ik een stel voorbeelden3 om te laten zien hoe het rekenen werkt.

3

http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm

10 | P a g i n a

We gaan eerst optellen. Als voorbeeld nemen we de som 135+321=456.Stap 1: Neem stokje H als het stokje met de kralen die tellen als enkelen, zo kun je op stokje I het aantal tienden uitzetten. En zet op de soroban het getal 135. Zoals te zien is in het figuur hieronder.

A B C D E F G H I . . . 0 0 0 0 0 1 3 5 0

Stap 2: Tel 3 op bij stokje F voor de honderdtallen.Stap 3: Tel 2 op bij stokje G voor de tientallen.Stap 4: Tel 4 op bij het stokje H voor de enkelen, dit geeft het antwoord 456 op de stokjes FGH. Dit is te zien in het figuur hieronder.

A B C D E F G H I . . . 0 0 0 0 0 1 3 5 0 + 3 Stap 20 0 0 0 0 4 3 5 0 + 2 Stap 30 0 0 0 0 4 5 5 0 + 1 Stap 40 0 0 0 0 4 5 6 0

Dus optellen doe je door op elk stokje het aantal kraaltjes erbij te doen, dit spreekt redelijk voor zich. Het wordt echter moeilijker als de uitkomst groter is dan 10, want dan moet je 1 optellen bij het volgende staafje, aan de linker kant.

Nu gaan we aftrekken met de soroban. Als voorbeeld nemen we 4321-3456=865.Stap 1: Neem het stokje H weer als het stokje voor het aantal enkelen en zet op de soroban het getal 4321 uit.Stap 2: Haal 3 van het stokje E, voor de duizendtallen, af.Stap 3: Haal 4 af van het stokje F, maar er zijn niet genoeg kralen aanwezig. Dan gebruiken we een complement. Haal eerst 1 af van het stokje E en tel het complement 6 op bij stokje F. Dit zorgt voor het getal 921 op de stokjes EFG. Stap 4: Haal 5 af van het stokje G voor de tienden, maar weer hebben we niet genoeg, dus gebruiken we de complement. Haal eerst 1 af van stokje F en tel vervolgens 5 op bij stokje G, nu staat er het getal 871.Stap 5: Haal 6 van het stokje H af. Weer zijn er niet genoeg kralen aan het stokje, dus we halen 1 af van het stokje G en we tellen 4 op aan stokje H. Dit geeft het antwoord 865.

11 | P a g i n a

Hieronder zijn de stappen in het figuur te zien.A B C D E F G H I

. . . 0 0 0 0 4 3 2 1 0 - 3 Stap 20 0 0 0 1 3 2 1 0

- 1 Stap 3

0 0 0 0 0 3 2 1 0 + 6 0 0 0 0 0 9 2 1 0

- 1 Stap 4

0 0 0 0 0 8 2 1 0 + 5 0 0 0 0 0 8 7 1 0

- 1 Stap 5

0 0 0 0 0 8 6 1 0 + 4 0 0 0 0 0 8 6 5 0

Dus het aftrekken met een soroban is ook niet erg moeilijk. Je haalt gewoon van elk staafje het aantal kralen af, dat je eraf moet halen. Maar ook hier wordt het weer moeilijk, nu als er niet genoeg kralen op het staafje zitten om eraf te halen. Dan haal je bij het staafje aan de linker kant een kraal af, wat gelijk is aan het afhalen van 10 kraaltjes aan het eerste staafje, en daarna tel je de overige kralen er bij op. Dus als je ergens X vanaf wil halen, maar er zijn niet genoeg kraaltjes aan het stokje, dan haal je een kraaltje van het linker stokje en dan tel je 10-X kraaltjes op bij het stokje waarvan je X kraaltjes wilde halen.

Nu gaan we vermenigvuldigen met behulp van de soroban. Bij deze techniek werden vroeger in Japan vermenigvuldigings tabellen gebruikt om de uitkomsten van de vermenigvuldigingen op te zoeken. Als voorbeeld nemen we hier de som 2,3*17=39,1.

Stap 1: Zet het getal 23 uit op de stokjes F en G en zet het getal 17 uit op de stokjes B en C.Stap 2: Vermenigvuldig de getallen 3 op G en 1 op B en tel het antwoord, 03, op bij de stokjes H en I. Bij vermenigvuldigen en delen is het verstandig alle getallen te zien alsof ze bestaan uit twee of meer cijfers.Stap 3: Vermenigvuldig de getallen 3 op G en 7 op C en tel het antwoord, 21, op bij de stokjes I en J.Stap 4: Haal de 3 van het getal dat je wilde vermenigvuldigen af van stokje G, want daarmee heb je nu vermenigvuldigt.Stap 5: Vermenigvuldig de 2 op F en de 1 op B en tel het antwoord, 02, op bij de stokjes G en H.

12 | P a g i n a

Stap 6: Vermenigvuldig de 2 op F en de 7 op C en tel het antwoord, 14, op bij de stokjes H en I.Stap 7: Haal de 2 van het getal dat je wilde vermenigvuldigen af van stokje F. Dit geeft het antwoord 39,1 op de soroban. In het figuur hieronder zijn de stappen te zien.

A B C D E F G H I J K . . . 0 1 7 0 0 2 3 0 0 0 0 + 0 3 Stap 20 1 7 0 0 2 3 0 3 0 0 + 2 1 Stap 30 1 7 0 0 2 3 0 5 1 0

(-3) Stap 4 0 1 7 0 0 2 0 0 5 1 0

+ 0 2 Step 50 1 7 0 0 2 0 2 5 1 0 + 1 4 Step 60 1 7 0 0 2 0 3 9 1 0 (-2) Step 70 1 7 0 0 0 0 3 9 1 0

Vermenigvuldigen op de soroban is wel wat moeilijker. Gelukkig hadden ze tabellen voor de producten van alle getallen tussen 0 en 10, zoals eerder gezegd. Deze tabellen zijn gelijk aan de tafels die je in groep 4 hebt moeten leren op de basis school.Wat je doet met de soroban is eigenlijk het zelfde als de manier van vermenigvuldigen die je hebt geleerd op de basisschool, toen je nog geen rekenmachine mocht gebruiken, nu had je alleen een soroban om de optel sommen mee te maken.Om het geheugen even op te frissen geef ik de som van het voorbeeld op de basisschool manier.

0,3 x 7 = 2,12 x 7 = 140,3 x 10 = 32 x 10 = 20

2,317 x 2,114 320 +39,1

Dus op de soroban vermenigvuldig je elk cijfer van het ene getal met elk cijfer van het andere getal en de antwoorden tel je bij elkaar op. Hierbij moet je natuurlijk wel opletten op de locatie van de antwoorden. Ten slotte gaan we delen met de soroban. Bij het delen zijn er verschillende belangrijke termen: de deler, dat is het getal waardoor je deelt, het deeltal, dat is het getal dat wordt gedeeld en het quotiënt dat is het “antwoord”.

13 | P a g i n a

Ook zijn twee regels van belang over de plek waar je het antwoord opschrijft.

1) Als de deler kleiner is of gelijk aan het “eerste cijfer” van het deeltal zet je het quotiënt twee stokjes links van het deeltal.

2) Als de deler groter dan het “eerste cijfer” van het deeltal zet je het quotiënt niet twee maar één stokje links van het deeltal. ?

Als voorbeeld nemen we de som: 951 : 3 = 317.Stap 1: Zet het deeltal, 951, op de staafjes FGH en de deler, 3, op stokje A.Stap 2: Het getal 3 is kleiner dan 9, dus we gebruiken regel 1. 3 x 3 = 9, dus de quotiënt van de eerste berekening is 3. Deze zet je volgens regel 1 op stokje D en haal 9 van stokje F. Je hebt nu nog 51 op de stokjes GH over.Stap 3: Het getal 3 is kleiner dan 5, dus we gebruiken weer regel 1. 1 x 3 = 3, dus het quotiënt van de tweede berekening is 1. Deze zet je volgens regel 1 op stokje E en je haalt 3 van stokje G. Je hebt nu 21 over op de stokjes GH.Stap 4: Het getal 3 is groter dan 2, dus we gebruiken regel 2. 7 x 3 = 21, dus de quotiënt van de derde berekening is 7. Deze zet je volgens regel 2 op stokje F en je haalt 21 van de stokjes GH. Nu heb je het antwoord 317 op je soroban staan.Deze stappen zijn ook te zien in het figuur hieronder.

A B C D E F G H I J K. . . 3 0 0 0 0 9 5 1 0 0 0 stap 1 (3) Stap 2 - 9 3 0 0 3 0 0 5 1 0 0 0

(1) Stap 3 -3 3 0 0 3 1 0 2 1 0 0 0

(7) Stap 4 -2 1 3 0 0 3 1 7 0 0 0 0 0

Het delen met een soroban is wat ingewikkelder, maar niet te moeilijk. Deze manier van rekenen werd in Nederland ook veel gebruikt. Alleen hier ziet het er anders uit, en heet het ook anders, namelijk staartdelingen. Hieronder staat de voorbeeldsom als een staartdeling opgeschreven. En natuurlijk kan het ook op de manier waarop je op de basisschool hebt leren delen.

300 x 3 = 900

10 x 3 = 30

7 x 3 = 21

3/951\ 900 - 300 51 30 – 10 21 21 – 7 + 0 3173/951\317

14 | P a g i n a

15 | P a g i n a

Voor de mensen die de voorbeeldsom niet hebben begrepen zal ik uitleggen wat ik heb gedaan. De opdracht is om 951 te delen door 3. Als eerst zoek je de grootste veelvoud van 3 dat kleiner is of gelijk is aan dan het deeltal. In dit geval 900<951 en 300x3=900. Dat getal haal je af van het deeltal. Je houdt nu 51 over. Hiermee doe je hetzelfde; 30<51 en 10x3=30, je haalt 30 van 51 en je houdt 21 over. Dan doe je weer hetzelfde; 21=21en 7x3=21. Nu tel de gevonden veelvouden, 300, 10 en 7, bij elkaar op en krijg je het antwoord.

Het is ook mogelijk om met de soroban berekeningen uit te voeren met negatieve getallen. Hiervoor gebruiken ze een “leensysteem”. Bijvoorbeeld: 3-7=-4. 3<7 dus het antwoord wordt negatief. Met de soroban is het niet mogelijk dit uit te rekenen, maar het is wel mogelijk om 13-7=6 uit te rekenen. Je “leent” dan als het ware 10, daar blijft in dit geval 6 van over, je komt dus 10-6=4 tekort. Het antwoord is dus -4.

Met behulp van een soroban kan je vraagstukken oplossen, zelfs als het antwoord negatief is. Daarom werd de soroban veel gebruikt in Japan. Zelfs nu worden de methoden op de soroban op de Japanse scholen geleerd. Maar niet alleen in Japan maar op de hele wereld is de abacus een makkelijk en veel gebruikt rekenhulpmiddel geweest.

We hebben nu twee verschillende rekenhulpmiddelen uit Japan besproken, de Sangi en de Soroban. De soroban kwam later in Japan dan de sangi. Maar dat betekend niet dat, toen de Japanners een soroban hadden, ze de sangi niet meer gebruikten. De sangi blijft erg makkelijk voor het oplossen van vergelijkingen. Daarom werden de soroban en de sangi vaak samen gebruikt, de sangi voor het vereenvoudigen van vergelijkingen en de soroban om de vereenvoudigde vergelijkingen vervolgens op te lossen.

3.3.1 Soroban oefeningen In deze paragraaf geef ik een stel voorbeelden van oefeningen voor het gebruik van de soroban. In de geschiedenis van de Japanse wiskunde zijn er veel wiskundigen geweest die dit soort oefeningen publiceerden in hun boeken. Mensen waren geïnteresseerd en gingen die oefeningen ook doen, dit is erg belangrijk geweest voor de ontwikkeling van de wiskunde in Japan.

Oefening 1:Dit probleem, Nusubito San, of “Dieven Rekenen”, komt uit het boek Sun-Tsu Suanjing.

Op een avond stalen een stel dieven een lange rol zijde stof uit een schuurtje. De dieven waren de stof aan het verdelen onder een brug, toen er ee n voorbijganger langs kwam en hun gesprek hoorde: “Als elk van

16 | P a g i n a

ons 7 tan4 krijgt, dan is er 8 tan over, maar als iedereen 8 tan krijgt, dan komen we 7 tan tekort.” Hoeveel dieven waren er en hoelang was de stof?Antwoord:Stel N is het aantal dieven en L is de lengte van de stof, dan gelden er twee formules: 7N = L – 8 en L = 8N – 7. Als je de eerste formule in de tweede formule invult en de vergelijking oplost, krijg je het antwoord; N=15 dieven en L= 113 tan.

Oefening 2:Dit probleem komt uit het Chinese boek Jiu zhang Suanshu.

Er is een veld in de vorm van een donut. De buitenste omtrek is 120 ken5 en de binnenste omtrek is 84 ken. In het midden van het veld staat een huis, dus we kunnen de diameter niet meten, maar de afstand tussen de twee cirkels van het veld is 6 ken. Vind het oppervlakte van het veld zonder gebruik te maken van π.

Het orginele antwoord:Oppervlakte = (120+84)/ 2 x 6 = 612 tubo.

Oefening 3:In de Edo periode werd colza olie gebruikt voor het verlichten van de huizen. Vandaar dit abura wake of “olie verdelings” probleem:

Een colza olie handelaar verkoopt olie. Op een avond op zijn terug weg vraagt een klant hem om 5 shō6 olie. Maar de olie handelaar heeft alleen nog 10 shō olie over in zijn grote kruik. De enige manier om de olie af te meten is met behulp van een lege 3 shō kruik en een lege 7 shō kruik. Hoe meet de olie handelaar 5 shō af voor zijn klant?Het orginele antwoord: Noem de grote kruik A, de 3 shō kruik B en de 7 shō kruik C. Als eerst vult de handelaar 3 kruik B drie keer vanuit kruik A en vult daarmee kruik C zover mogelijk. Dan zit er dus 1 shō olie in kruik A, 2 shō in kruik B en 7 shō in kruik C. Daarna gooit de handelaar alles uit kruik C terug uit A. En hij doet de hoeveelheid olie uit kruik B in kruik C. Zo zit er in kruik A 8 shō, in kruik C 2 shō en kruik B is helemaal leeg. Vervolgens vult de handelaar kruik B met 3 shō uit kruik A en doet dit in kruik C. Zodat er in kruik A en kruik C 5 shō olie zit en kruik B leeg is. Dit kan de handelaar nu aan de zijn klant geven.

4 Een tan is een eenheid voor het meten van een rol stof van ongeveer 34 cm breed. Een tan van dat soort stof is ongeveer 10 meter lang.

5 Een ken is een lengte van 1,8m. Een vierkante ken is: 1 ken x 1 ken = 1 tubo.6 Een shō is een volume maat. 1 shō = 1,8 liter. Ook in China bestaat de shō, maar deze

maat is anders.17 | P a g i n a

Afbeelding 6: Een soroban oefening

4. WasanDit hoofdstuk gaat over de Japanse wiskunde, in het Japans “wasan”. Als eerst beginnen we met de oorsprong van wasan, wat de Chinese wiskunde is. We gaan het hebben over gebeurtenissen, Chinese boeken en wiskundigen die een belangrijke rol hebben gespeeld in de oorsprong van de wiskunde.Daarna krijgen we een paragraaf over de ontwikkeling van de Japanse wiskunde, hoe de wiskunde verder in Japan is opgebloeid en waar de mensen zich vooral mee bezig hielden.Ten slotte staan we stil bij een paar Japanse wiskundigen die een belangrijke rol hebben gespeeld in de wiskunde door hun ontdekkingen.

4.1 Chinese wiskundeDe Chinese wiskunde ontstond, zonder de kennis van andere landen te gebruiken, in de 11de eeuw voor christus. De ontwikkeling van de Chinese wiskunde is opgedeeld in verschillende periodes; vroege Chinese wiskunde, Qin wiskunde, Han wiskunde, wiskunde in de periode van verdeeldheid in het land, Tang wiskunde en Song en Yuan wiskunde.

De vroege Chinese wiskunde duurde vanaf het begin van de wiskunde tot het jaar 221 voor christus. In deze periode werden in China decimale getallen gebruikt. Ook waren algebra, vergelijkingen en negatieve getallen al bekend, hiermee waren de Chinezen de eerste. Maar ondanks hun gevorderde wiskundige kennis, werd dit alleen gebruikt voor astronomie en het maken van kalenders. In deze periode was wiskunde een onderdeel van je ontwikkeling. Als je een perfecte man wilde zijn, moest je onder andere de wiskunde beheersen.Er bestonden ook al boeken over wiskunde. Het oudste bekende werk is Yi Jīng, ook wel bekend als het “boek van de veranderingen” en het oudste nog bestaande boek over geometrie in China is Mo Jing, hierin wordt veel gefilosofeerd over veelvlakken.

De Qin wiskunde duurde niet erg lang, van ongeveer 221 tot 206 voor Christus. Over deze periode is niet veel bekend. Het is echter wel bekend dat er in deze periode een standaard systeem voor gewichten ontstaat. De keizer in die tijd was Qin Shihuang en hij liet veel standbeelden van zichzelf maken, hierdoor lag de nadruk in de wiskunde op de bouwkunde.

De Han wiskunde duurde van ongeveer het jaar 206 voor Christus tot het jaar 220 na christus. In deze periode ontwikkelden de getallen tot een positiestelsel met decimalen. Een positiestelsel is een getallenstelsel waarbij de locatie van het getal een andere waarde geeft aan het getal. Wij gebruiken ook een positiestelsel; was je het getal 123 betekend de 2 eigenlijk 20, maar als we het getal 245654 hebben, dan betekend het

18 | P a g i n a

getal 2 200000. In China werden de getallen geschreven met behulp van “tel stokjes”, het principe werkt hetzelfde als de stokjes van de sangi, de positie en locatie van de stokjes bepalen het getal dat het moet uitbeelden.Uit deze periode stamt ook het boek Jiu zhuang Suanshu, of de negen hoofdstukken over de kunst van de wiskunde. Dit boek is erg belangrijk geweest bij de ontwikkeling van wiskunde in Japan. Het bestaat uit negen hoofdstukken; Fangtian, Sumi, Cuifen, Shaoguang, Shanggong, Junshu, Yingbuzu, Fangcheng en Gougu. Fangtian gaat over rechthoekige velden, en de oppervlakten daarvan. Sumi gaat over het prijzen van producten in de verkoop. Het hoofdstuk Cuifen gaat over de verdeling van geld en goederen onder de mensen en de proporties daarin. Shaoguang en Shanggong gaan over de volumes van verschillende vormen. Het hoofdstuk Junshu gaat over belastingen. In de hoofdstukken 7 en 8, Yingbuzu en Fangcheng, worden verschillende lineaire problemen opgelost. Ten slotte word in het laatste hoofdstuk, Gougu, problemen opgelost met behulp van de stelling van Pythagoras.

Tussen 220 en 618 na christus was China verdeeld in verschillende regio’s met verschillende leiders. In deze periode leefde de eerste Chinees die π = 3,1416 uitrekende, Haidao Suanjing, die verder veel andere wiskundige mijlpalen in China heeft gezet.Verder leefde een eeuw later, in de 4de eeuw na christus, een wiskundige genaamd Zu Chongzhi. Hij berekende de waarde van pi tot 7 decimalen nauwkeurig, deze waarde was de meest accurate waarde voor de komende negen eeuwen.

De Tang periode in de Chinese wiskunde duurde van 618 tot 907 na christus. In deze periode was het vak wiskunde normaal op de grote scholen. Wang Xiaotong was een wiskundige uit die tijd. Hij schreef het boek Jigu Suanjing, waarin voor het eerst kwadratische formules voorkwamen.

De Song en Yuan wiskunde duurde van 960 tot 1368. In deze periode waren veel veranderingen in de wiskunde. Zo kwam er in die periode een symbool voor het getal 0.De wiskundige Yang Hui was de eerste die “de driehoek van Pascal” ontdekte en bewees. Daarnaast schreef hij het boek Suanfa, methoden van de wiskunde, dat ook een belangrijk boek was voor de ontwikkeling van wasan.Ook kwam in deze tijd de abacus voor het eerst voor in China.

4.2 De ontwikkeling van Japanse wiskundeDe ontwikkeling van de Japanse wiskunde, wasan, begon toen verschillende boeken vanuit China na Japan werden gebracht. De twee belangrijkste boeken waren, zoals genoemd in paragraaf 4.1, Suanfa (methoden van de wiskunde) en Jiu zhuang Suanshu (negen hoofdstukken over de kunst van de wiskunde). Oorspronkelijk werden deze boeken

19 | P a g i n a

alleen gebruikt als hulp bij het berekenen van de belastingen. Aan het begin van de Edo periode was er zelfs een wet die zei dat je niet meer wiskunde mocht weten dan wat er in “de negen hoofdstukken” staat.Later werd deze wet geschrapt en leerden de Japanners meer over wiskunde. Door de Juku, kleine openbare scholen, gingen mensen elkaar ook uitdagen elkaars problemen op te lossen, hierdoor werd de wiskundige kennis vergroot. Daarnaast gingen de wiskundigen boeken schrijven over hun ontdekkingen en handboeken over hoe je met de sangi of soroban om moet gaan, zodat de mensen beter leerden rekenen.

Aan het eind van de Edo periode kwamen langzaam westerse invloeden in de wiskunde, door de handel met China en Nederland. Dusdanig dat er manuscripten bestaan uit halverwege de 19de eeuw waarin niet alleen de Japanse notatie staat, maar ook de westerse. Maar wasan hield stand in Japan, totdat de familie Tokugawa zijn macht verloor in 1868. De nieuwe regering, Meiji, besloot om Japan te moderniseren, zodat Japan in ontwikkeling gelijk werd aan de westerse wereld. Er werden scholen opgericht vanuit de regering en de leiders van Japan besloten in 1872 om wasan niet meer in de scholen aan te leren. In plaats daarvan werd op de scholen yosan aangeleerd; westerse wiskunde.

4.3 Japanse wiskundigenIn deze paragraaf besteden we wat aandacht aan verschillende belangrijke Japanse wiskundigen. De meeste wiskundigen zijn bekend geworden om hun accurate berekening van pi of door het schrijven van een boek dat later erg belangrijk werd.We gaan het hebben over de wiskundigen: Yoshida Mitsuyoshi, Muramatus Shigekiyo, Takebe Katahiro, Matsunaga Yoshisuke, Ajima Naonobu en fujita Sadasuke.

Als eerst gaan we het hebben over Yoshida Mitsuyoshi. Hij schreef een belangrijk boek voor de Japanse wiskunde, Jinkō-ki. Er is niet veel bekend over Mitsuyoshi. Hij is geboren in Kyoto in 1598 en stierf 75 jaar later. Zijn vader was een belangrijk handelaar en daardoor had hij makkelijk toegang tot Chinese wiskundige boeken. In Jinkō-ki staan veel oefeningen voor de soroban. Veel komen uit het dagelijks leven of het zakenleven.

Muramatsu Shigekiyo leefde van 1608 tot 1695. Hij was de eerste Japanner die een betere waarde van pi berekende dan de 3,16 die toen werd gebruikt. Hij gebruikte hiervoor de formule P(n)=2n*sin(180/2n), hij kon helaas alleen tot n=15 uitrekenen en kwam hiermee op het antwoord π=3,141592648. Dit is tot aan 8 decimalen correct. Maar omdat er in heel Japan π=3,16 werd gebruikt, vertelde Shigekiyo alleen dat π=3,14, zoals in China werd gebruikt, wat hij ook als extra ondersteuning gebruikte.

Takebe Katahiro leefde van 1664 tot 1739. In 1719 kreeg hij de opdracht een kaart te maken van Japan, die kwam bekend te staan om zijn details,

20 | P a g i n a

helaas bestaat deze kaart niet meer. Takebe berekende de waarde van pi tot in 40 decimalen nauwkeurig. Hiervoor gebruikte hij een erg gecompliceerde methode, dat gebruik maakte van oneindige rijen. Deze methode had hij zelf bedacht en zo kwam hij op de waarde π=5419351/1725033, wat maar een klein beetje groter is dan de echte waarde van pi.

Matsunaga Yoshisuke leefde van ongeveer 1692 tot 1744. Er is niet veel over hem bekend, maar ook hij berekende de waarde van pi. Hij schreef 42 boeken, maar geen van deze zijn afgemaakt. In een van zijn boeken berekende hij het getal pi correct tot de 52ste decimaal. Dit is de meest accurate waarde van pi in de geschiedenis van de Japanse wiskunde.

Ajima Naonobu leefde van 1732 tot 1798. Hij werd bekend door het proberen oplossen van het zogenaamde Gion heiligdom probleem. In dit heiligdom hangt een sangaku met daarop een probleem dat uiteindelijk een vergelijking wordt van de 1024ste graad. Naonobu is erin geslaagd om deze vergelijking te vereenvoudigen tot de 10de graad. Daarnaast heeft hij ook veel wiskundige boeken geschreven.

Fujita Sadasuke leefde van 1734 tot 1807. Hij werd in 1762 astronoom van de staat, maar doordat hij problemen had met zijn ogen stopte hij 5 jaar later. Samen met zijn zoon, Fujita Kagen, maakte hij een collectie van Sangaku, genaamd Shinpeki Sanpō, of zoals het voorblad zegt: “Heilige wiskunde”. Na de dood van zijn vader schreef Kagen een vervolg op dit boek, Zoku Shinpeki Sanpō.

21 | P a g i n a

5. Tempels en HeiligdommenOmdat Sangaku werden opgehangen in de tempels, wil ik graag dit hoofdstuk wijden aan het godsdienstig aspect van de Sangaku. Eerst gaan we het hebben over de oorspronkelijke Japanse religie; het Shintoïsme. Daarna gaat het over een religie dat wat meer bekend is, maar pas later naar Japan is overgekomen; het Boeddhisme.

5.1 ShintoïsmeIn deze paragraaf gaat het over het Shintoïsme, of Shinto. Het Japanse woord voor Shinto is 神道 en dat betekent “de weg van de Goden”. In deze religie aanbeden de Japanners zogeheten kami. Kami zijn ruim vertaald “natuurgeesten” en ze zijn volgens de Japanners overal. Het Shintoïsme is, ook nu, in Japan een veel voorkomende godsdienst. Dit is vooral te zien in de gewoonte om op de deur te kloppen voordat je een leeg huis of een lege kamer binnen gaat. Zo weten de kami dat je eraan komt.

Het Shintoïsme heeft veel verschillende uitingen. Zo zijn er verschillende soorten Shinto, zoals wij in Nederland verschillende soorten kerken hebben; hervormd, gereformeerd, evangelisch. Ook zijn er veel rituelen voor het offeren, het bezoeken van een heiligdom of het reinigen van je lichaam en geest. Hier gaan we niet bij stil staan, omdat dit niet erg relevant is voor het onderwerp.

Om het Shintoïsme in stand te houden worden veel wezens uit andere religies als kami beschouwd, zodat nieuwe godsdiensten niet in conflict kunnen raken met het oorspronkelijke Japanse geloof. Zo zijn de christelijke engelen en demonen of de Boeddha’s uit het boeddhisme volgens het Shintoïsme ook kami. Hierdoor worden veel religieuze oorlogen verhoed.

22 | P a g i n a

Afbeelding 7: Japanse tekening van kami

Afbeelding 8: Shinto tempel

Afbeelding 9: Japanse monniken van het Shintoïsme

5.2 BoeddhismeHet Boeddhisme was in de Edo periode duidelijk aanwezig in Japan, er waren al veel tempels en er zijn ook sangaku in de Boeddhistische tempels opgehangen. Maar de meeste sangaku werden opgehangen in de Shinto heiligdommen. Ook is het Boeddhisme veel bekender hier in Nederland dan het Shintoïsme, daarom zal ik niet zo veel aandacht besteden aan dit onderwerp.

Het Boeddhisme is een geloof zonder goden. Boeddha is namelijk geen god, zoals veel mensen denken, maar Boeddha is een normaal mens dat “de verlichting heeft bereikt”. Het Boeddhisme heeft vier edele wijsheden die leiden tot de verlichting. De vier edele wijsheden zijn:

1. Al het leven is lijden.2. De oorzaak van het lijden is verlangen.3. Om niet te lijden moet je je losmaken van aardse verlangens. 4. Dit kan alleen door het volgen van het achtvoudige pad.

Het achtvoudige pad bestaat uit acht handelingen; juist begrijpen, juiste intenties, juist spreken, juiste handelingen, juist levensonderhoud (beroep), juiste aandacht, juiste inspanning en juiste mentale absorptie. Dit wordt ook wel omschreven als moraliteit, meditatie en wijsheid.In de Boeddhistische tempels worden verschillende Boeddha’s vereerd, omdat zij zich wel konden losmaken van verlangens. Ter ere van deze Boeddha’s werden in de tempels sangaku opgehangen.

23 | P a g i n a

Afbeelding 10: Boeddhistische Tempel in Japan

6. SangakuNu zijn we eindelijk aangekomen bij het hoofdstuk over Sangaku, deze tabletten hebben mij tot het kiezen van dit onderwerp gebracht. Allereerst vertel ik wat over het woord Sangaku, en de betekenis hiervan. Daarna gaan we het hebben over de oorsprong van de Sangaku. Vervolgens krijgen we een paragraaf over het oplossen van een Sangaku.En tenslotte geef ik twee voorbeelden in de laatste twee paragrafen, een makkelijke en een moeilijke Sangaku.

6.1 Het woord SangakuHet woord sangaku komt, net als de puzzels zelf, uit het Japans. Zoals vele weten, schrijven Japanners niet alleen met het “normale” alfabet, maar ook met karakters. Ook sangaku kan in karakters worden geschreven, dat ziet er als volgt uit: 算額. Het karakter 算 betekent opsommen en het karakter 額 betekent hoeveelheid of lijst. Dus je kunt er ook iets als “het opsommen van een hoeveelheid” of “een opsomming in een lijst” van maken. De tweede vertaling lijkt erg veel op de letterlijke vertaling; wiskunde tablet. Een lijst, of een tablet, met daarop een opsomming, wiskunde, een wiskunde tablet dus.

6.2 De oorsprong van SangakuMaar hoe kwamen de Japanners op het idee om tabletten op te hangen in een heiligdom? Vroeger geloofden de shintoïsten dat kami van paarden hielden. Maar paarden zijn erg duur en veel mensen konden geen paard betalen om te offeren aan de kami. Daarom maakten de mensen die geen paard konden veroorloven een tekening van een paard op een tablet en hingen ze die in de tempel als offer voor de kami. Later toen de wiskunde opbloeide wilden de wiskundigen hun kennis terug geven aan de kami of iemand bedanken om de kennis die hij aan hun had gegeven en maakten ze een tablet met daarop een puzzel. En zo zijn de Sangaku in de tempels gekomen.

24 | P a g i n a

Afbeelding 11: Een Sangaku

Afbeelding 12: Een sangaku in een tempel

6.3 Het oplossen van een SangakuHet oplossen van een sangaku verschilt per probleem. Veel sangaku zijn meetkundige problemen en moeten daarom met behulp van meetkundige stellingen en regels opgelost worden. Hierdoor krijg je vaak veel vergelijkingen die moeten worden opgelost met algebra en analyse. Analyse is een tak binnen de wiskunde die zich bezig houdt met de veranderingen binnen functies. Hierbij wordt dan gekeken naar de helling en de oppervlakten van functies, maar ook naar hoe een functie verloopt als je oneindig grote of oneindig kleine waarden invult. In Japan wordt dit Enri genoemd, over de originele Japanse methoden is erg weinig bekend. Wel is bekend dat de Japanners al vroeg konden differentiëren en integreren, de wiskundigen hebben echter helaas niet opgeschreven hoe ze aan hun antwoorden kwamen; alleen de begin- en eindstappen zijn opgeschreven.

6.4 Een makkelijke SangakuIn deze paragraaf geef ik twee voorbeelden van een makkelijke sangaku7. Deze zouden middelbare scholieren ook kunnen oplossen

In de afbeelding hiernaast staan 3 cirkels getekend van drie verschillende grootten. Alle cirkels liggen op één rechte lijn. De kleinste cirkel ligt in het midden en raakt beide cirkels en de grootste cirkel raakt naast de kleinste cirkel ook de andere cirkel. De grootste cirkel heeft de straal r1, de kleinere cirkel heeft de straatl r2 en de kleinste cirkel heeft de straal r3. De afstand tussen het raakpunt van de grootste cirkel en het raakpunt van de kleinste cirkel heet d1 en de afstand tussen de raakpunten van de twee kleinste cirkels heet d2.Bewijs dat 1√r 3

= 1√r1

+ 1√r2

.

7 http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php? deze_art_online_id=203

25 | P a g i n a

Afbeelding 13: Een andere sangaku

In het plaatje hier rechts staan twee cirkels. Deze situatie is gelijk aan de situatie van cirkel r1 en r2 en cirkel r1 en r3, daarnaast is het ook de situatie van r2 en r3, maar dan in spiegelbeeld. Uit deze afbeelding gaan we een afleiding maken dat ons gaat helpen bij het bewijzen van de stelling.d2 =PQ2-PT2 (stelling van Pythagoras)Daarnaast geldt er in r=PR en s=QS en dus geldt er ook: PT=r-s en PQ=r+s. Als je dit invult in de stelling van pythagoras krijg je:d2=(r+s)2-(r-s)2=(r2+2rs+s2)-(r2-2rs+s2)=4rsd=√4 rs=2√rs Als we dit toepassen op de drie cirkels krijgen we het volgenden:d1=2√r1 ∙ r3d2=2√r2 ∙ r3d1+d2=2√r1 ∙ r2Dus 2√r1 ∙ r2=2√r1∙ r3+2√r 2∙ r3 √r1 ∙ r2=√r1 ∙ r3+√r 2 ∙ r3Als je nu beide kanten deelt door √r1 ∙ r2 ∙r 3 krijg je:

√r1 ∙r 2√r 1∙ r2∙ r3

= √r1 ∙r3√r 1 ∙ r2∙ r3

+ √r2∙ r3√r1 ∙r2 ∙ r3

1√r 3= 1

√r1+ 1

√r2

De andere sangaku is wat moeilijker, maar wel gemakkelijk uit te beelden met bijvoorbeeld een stukje origami papier.Gegeven is de tekening hier rechts afgebeeld. Waarin vierhoek ABCD een vierkant is. Als je vierkant ABCD ziet als een stukje papier dat je dus danig vouwt dat punt B op zijde CD komt te liggen, ontstaan er de punten A’ en B’ als de nieuwe locatie van A en B, de lengte van AB is dus gelijk aan de lengte van A’B’. Daarnaast is punt F het punt waarom zijde AD wordt gevouwen en punt E het punt waar A’B’ de zijde AD snijdt. De zijden EA’ noemen we x, de zijde FA’ y en de zijde FE is z. Na het vouwen ontstaan er twee driehoeken: B’DE en FA’E. Van deze twee driehoeken wordt de ingeschreven cirkel getekend. De straal van de ingeschreven cirkel van driehoek B’DE heet r en de straal van de ingeschreven cirkel van driehoek FA’E heet s. Doordat hoek FA’E is ontstaan uit hoek BAD is deze hoek een rechte hoek. Ook hoek B’DE is recht, want dit is de hoek van een vierkant. Daarnaast zijn de hoeken A’EF en DEB’ overstaande hoeken en dus ook gelijk. Daaruit volgt dus dat de driehoeken B’DE en FA’E gelijkvormig zijn.Verder is gegeven dat in een rechthoekige driehoek geldt: r=a+b−c

2 met c als de hypotenusa. Bewijs dat r=x.

26 | P a g i n a

Door de gelijkvormigeheid (hh) verhouden de zijden van de driehoeken B’DE en FA’E en de stralen r en s zich tot elkaar:

rDE

= sA ' E

en rB ' E

= sEF

En dus geldt er ook: r(EF-A’E)=s(B’E-DE)Ook was gegeven dat EF=z, A’E=x en A’F=y. We noemen nu voor het gemak de zijden van vierkant ABCD a. Dus B’E=a-x en DE=a-y-z, want AF=A’F.Als we dit invullen krijgen we het volgende:r(z-x)=s((a-x)-(a-y-z))=s(y-x+z)Ook is verteld dat s= x+ y−z

2=12(x+ y−z).

Als we dat invullen in de vorige vergelijking krijgen we:r ( z−x )=1

2( y+x−z ) ( y−x+z )

r ( z−x )=12

( y−( x−z )2 )

r ( z−x )=12( y2−x2−z2+2xz )

Uit de stelling van Pythagoras kunnen we het volgende halen: x2+y2=z2.In de vergelijking stond y2-x2-z2, als we de stelling van Pythagoras veranderen krijgen we het volgende: -x2=y2-z2. Dus y2-x2-z2=-x2-x2=-2x2.Als we dit ook invullen krijgen we:r ( z−x )=1

2(2 xz−2 x2)=x ( z−x ) r=x

6.5 Een moeilijk SangakuIn deze paragraaf geef ik een voorbeeld van een moeilijke Sangaku8. Deze Sangaku is oorspronkelijk gemaakt door Sangita Naotake in 1835 en opgehangen in het Izanagi heiligdom in Mie. In de afbeelding hiernaast is een willekeurige scherphoekige driehoek ABC getekend. Hierin zitten de lijnen AE, BF en CG die elkaar snijden in het willekeurige punt P. Punt E ligt op zijde BC, punt F ligt op zijde AC en punt G ligt op zijde AB. De letters βγ geven een oppervlakte weer. is de oppervlakte van ∆ AFP, β is de oppervlakte van ∆ FCP en γ is de oppervlakte van ∆ CEP. De oppervlakte S is de ∆ ABC.Geef de oppervlakte S van ∆ ABC in termen van , β en γ.

8 Uit Sacred Mathematics blz 193, 210, 211 en 21227 | P a g i n a

Deze vraag is op meerdere manieren op te lossen. Eerst geef ik het orginele antwoord uit het manuscript Solutions to Kakki Sanpō van Furuya Michio, daarna geef ik een wat moderne oplossing van deze vraag.

Het orginele antwoord:Als eerst roteren we het figuur en we voegen een paar hulplijnen toe. Hierdoor onstaat de afbeelding hiernaast. Voor de duidelijkheid geef ik de verdere namen van de lijnen. l2=CH2, l3=CH3, t1=FH1, t2=FH2, b=AC, b1=AF, b2=CF. Daarnaast zijn er ook een aar hoogtelijnen getekend. h1 is de hoogtelijn van ∆ ACP vanuit punt P, h2 is de hoogtelijn van ∆ ABC vanuit punt B en h3 is de hoogtelijn van ∆ACE vanuit punt E.Daarna gebruiken we de fomule voor de oppervlakte van een driehoek: O=12bh. Hierdoor onstaan de volgende formules:

S=12

bh2(1)

α=12

b1h1(2)

β=12

b2h1(3)

α +β=12

bh1(4)

α +β+γ=12

bh3(5)

Verder zijn er ook gelijke driehoeken, hieruit volgen de volgende vergelijkingen (ik snap niet waarom):

l3=h3 l2h2

(6)

t 1=h1t 2h2

(7)

h3h1

=b−l3b1+t1

(8)

De laatste vergelijking kan herschreven worden als: h3 (b1+t 1 )−h1 (b−l3 )=0. Als je hier de vergelijkingen (6) en (7) in gevuld worden krijgen we:

h3(b1+h1 t 2h2 )−h1(b−

h3 l2h2 )=0

28 | P a g i n a

Ook valt er uit het figuur te af te lezen dat t2=b2 – l2. Als je dit invult in de vergelijking krijgen we:

h3(b1+h1b2h2

−h1 l2h2 )−h1(b−

h3 l2h2 )=0

h3b1+h3h1b2

h2−

h1h3 l2h2

−h1b+h1h3 l2

h2=0

b1h3+h1h3b2

h2−bh1=0

Nu halen we alle h’s uit de vergelijking door de vergelijkingen 1 t/m 5 in te vullen in de termen en daarna in de vergelijking zelf.

b1h3=

2∗12

b1h1∗12

bh3

12

bh1=2α (α +β+γ )

α +β

h1h3b2h2

=

2∗12

b2h1∗12

bh3

12

bh2=2 β (α +β+γ )

S

bh1=2∗12

bh1=2α+β

2α(α+β+γ )α+β

+2β (α+β+γ )

S−(2α+ β )=0

α (α+β+γ )α+β

+β (α+ β+γ )

S−(α +β )=0

Als je de vergelijking veranderd tot de vorm S= krijgen we:β(α+β+γ )

S=α+ β−

α (α+β+γ )α +β

S=β (α+ β+γ )

α +β−α (α+ β+γ )

α+β

=β (α+β+γ )∗(α+β)

¿¿

Om deze uitkomst en de volgende uitkomst te kunnen vergelijken haal ik de haakje uit de teller en de noemer van het antwoord:

S=( αβ+β2+γβ ) (α +β )

α 2+2αβ+β2−α 2−αβ−αγ=α2 β+αβ2+αβγ+αβ2+β3+γ β2

αβ+β2−αγ

S=α 2β+2α β2+αβγ+β3+γβ2

αβ+β2−αγ

Het moderne antwoord:Bij deze methode gebruiken we een andere afbeelding om de opdracht overzichtelijk te maken. Hiernaast zie je de afbeelding. De betekenis van de letters , β en γ zijn gegeven in de opdracht. is de oppervlakte van ∆ AFP, β is de oppervlakte van ∆ FCP en γ is de oppervlakte van ∆ CEP. De oppervlakte S is de ∆ ABC. Daarnaast zijn de oppervlakten X, Y en Z

29 | P a g i n a

toegevoegd. X is de oppervlakte van ∆BEP, Y is de oppervlakte van ∆BGP en Z is de oppervlakte van ∆AGP.Uit het figuur kunnen we het volgende halen: S = X + Y + Z + + β + γ. We gaan proberen om X + Y + Z te vinden in termen van , β en γ. Op basis van de formule voor de oppervlakten van de driehoek kunnen we stellen dat de oppervlakte van twee driehoeken tot de zelfde verhouding behoren als de basis van die twee driehoeken.

CEBE

= γX

= α+β+γX+Y +Z

EnAFFC

=αβ=α+Y+Z

β+X+γ=Y+Z

X+γ

De laatste vergelijking onstaat omdat als ab= c

d dan geldt er ab= a± c

b± d .

Want ab= c

d→ad=bc ook als je kruislingsvermenigvuldigt met de andere

formule dan krijg je:a (b±d )=b (a±c )ab±ad=ab± bc

ad=bc

Er komt hetzelfde uit, dus als ab= c

d geldt dan geldt ook ab= a± c

b± dDoor kruislings te vermenigvuldigen komen we op twee nieuwe vergelijkingen:

X (α +β+γ )=γ ( X+Y +Z )→ X+Y +Z=(α+β+γ )

γX

β (Y +Z )=α ( X+γ ) →Y +Z=α (X+γ )β

Als we deze formules in elkaar invullen krijgen we:X+

α (X+γ )β

=X (α+β+γ )

γ

X=X ( α+β+γ )

γ−

α ( X+γ )β

X=βX (α +β+γ )

γβ−

αγ ( X+γ )βγ

=βX (α+β+γ )−αγ ( X+γ )

γβ

X= Xαβ+ Xβ2+Xβγ−Xαγ−α γ 2

γβXγβ=Xαβ+ X β2+ Xβγ−Xαγ−α γ 2

γβ=αβ+β2+γβ−αγ−α γ 2

Xαγ2

X=αβ+β2−αγ

X= α γ 2

αβ+β2−αγ= α γ 2

β (α +β )−αγ

30 | P a g i n a

Dit kunnen we invullen in de formule voor X+Y+Z die we eerder al hadden gekregen.

X+Y +Z= (α+ β+γ )γ

X

X+Y +Z=

(α+β+γ )γ

∗α γ 2

β ( α+β )−αγ

X+Y +Z=α γ2 (α+ β+γ )

γ ( β (α +β )−αγ )=

αγ (α+ β+γ )β ( α+β )−αγ

En dan geldt voor de hele oppervlakte S:S=X+Y +Z+α+β+γ= αγ (α+ β+γ )

β ( α+β )−αγ+α+β+γ

S= αγ (α +β+γ )β (α+β )−αγ

+(α+ β+γ ) ( β (α+β )−αγ )

β (α +β )−αγ

S=αγ (α +β+γ )+ (α+β+γ )(αβ+ β2−αγ)β (α+β )−αγ

S=α 2 γ+αβγ+α γ 2+α 2β+α β2−α 2 γ+α β2+β3−αβγ+αβγ+γ β2−αγ 2

β ( α+β )−αγ

S=αβγ+α2β+2α β2+β3+γ β2

β (α +β )−αγOm de antwoorden beter te kunenn vergelijken halen we de haakjes uit de noemer.

S=α 2β+2α β2+αβγ+β3+γβ2

αβ+β2−αγDit is hetzelfde antwoord als bij het orginele antwoord, dus de methode maakt eigenlijk niet uit.

6.6 Sangaku en het dagelijks levenIn deze paragraaf gaat het over de rol van de sangaku in het dagelijks leven. Het regelmatig maken en oplossen van wiskundige problemen zorgt voor veel veranderingen in het dagelijks leven. Eerst ga ik vertellen over de kleine veranderingen en daarna vertel ik over de sangaku pelgrimstochten die werden gemaakt.

Als je regelmatig wiskundige problemen oplost, ga je op een andere manier denken; je gaat nadenken met meer logica en oorzaak en gevolg. Door de trend om sangaku te maken, begon wiskunde een steeds belangrijkere rol te spelen in het dagelijks leven. Veel ouders stuurden hun kinderen naar school, terwijl deze het eerst belangrijker vonden voor de kinderen om op het land te werken en geld te verdienen.

31 | P a g i n a

Afbeelding 14: Een sangaku

Verder trokken wiskundigen het land rond om sangaku uit het hele land te verzamelen. Zo ontstonden de sangaku pelgrimstochten. De wiskundigen sliepen dan bij vrienden en hielpen mensen uit de dorpen met hun wiskundige problemen. Een ander doel van de pelgrimstochten was om nieuwe kennis te verzamelen.Een van de wiskundigen die zo’n pelgrimstocht heeft gemaakt was Yamaguchi Kanzan. Hij hield bij wat hij had beleefd in een dagboek en schreef ook verschillende sangaku over uit verschillende tempels. Dit dagboek werd uiteindelijk een boek genaamd: Syuyuu Sanpō, “reis wiskunde”.

32 | P a g i n a

Afbeelding 15: Sangaku hangend in een tempel

7. Wasan versus yosanIn dit hoofdstuk gaan we het hebben over de verschillen in de Japanse wiskunde (wasan) en de westerse wiskunde (yosan).

Japan liep behoorlijk voor op de westerse wiskunde. Zo word met de Sangi, zoals verteld in hoofdstuk 3, een principe gebruikt dat wij kennen als het Hornerschema. Dit is een algoritme dat is vernoemd naar William George Horner, die het pas in 1819 beschreef. Terwijl het twee eeuwen eerder al door je Japanners en nog eerder door de Chinezen in de sangi werd gebruikt.

Wat erg opvallend is voor het Japanse getallenstelsel is dat er al heel vroeg werd gerekend met negatieve getallen, ook al staan ze niet in de tabel van paragraaf 3.1. Voor veel wiskundigen uit het vroegere Westen waren negatieve getallen taboe, hoe kan iemand nu een negatieve hoeveelheid aan goederen hebben, of een negatieve lengte. Dat was voor hun onvoorstelbaar. Verder is het vooral erg opmerkelijk, omdat de Japanse wiskunde vooral ging over meetkunde en een negatieve lengte is erg vreemd.

Ook konden de Japanners al erg vroeg differentiëren. Helaas is niet bekend hoe ze dat deden, omdat alleen de eerste en de laatste stap werden opgeschreven. Wat wel bekend is dat de manier waarop totaal anders is. Wij gebruiken tegenwoordig voor differentiëren de volgende formule:

f ' ( x )= f ( x+∆ x )−f (x )∆ x

Maar in Japan werd deze formule niet als basis gebruikt. Voor welke methode wel werd gebruikt zijn alleen aannames gemaakt op basis van de twee opgeschreven stappen.

Naast differnetiëren konden de Japanners natuurlijk ook intergreren. Het berekenen van oppervlaktes was één van de hoofdonderwerpen in de Japanse wiskunde. Helaas valt hier verder heel weinig informatie over te vinden. Dus de Japanse intergreer methode is mij onbekend.

33 | P a g i n a

8. ConclusieIn dit hoofdstuk geef ik de antwoorden op de hoofd- en deelvragen die in dit profielwerkstuk zijn gegeven en beantwoord. Dit gebeurd in volgorde van de thema’s van de hoofdstukken en een kleine samenvatting daarbij.

Sangaku werden vooral gemaakt in de Edo Periode, dit is de periode waarin de familie Edo aan de macht was. Tijdens dit bewind werd Japan afgesloten voor de buiten wereld en ontstond er een nieuwe vorm van het uitoefenen van de wiskunde, de sangaku.

In die periode was er in Japan een getallenstelsel met negative getallen ontwikkeld de naamgevind in dit stelsel is anders dan de hedendaagse getallen. De Japanners gebruikten twee verschillende rekenhulpmiddelen bij het oplossen van de problemen op de sangaku: de sangi en de soroban. De sangi werd gebruikt om meerdergraads vergelijkingen mee te vereenvoudigen en de soroban, hier bekend als de abacus, werd gebruikt voor het oplossen van deze vergelijkingen. Voor de soroban werden veel vraagstukken geschreven, zodat mensen de soroban leerden te gebruiken.

De Japanse wiskunde vindt zijn oorsprong in de Chinese wiskunde. Door overlevering van Chinese wiskundige boeken werd de wiskunde ook in Japan bekend. Eerst werd de wiskunde gebruikt voor het berekenen van de belastingen, maar later ook voor de sangaku. Veel Japanse wiskundigen en hun boeken hebben meegewerkt aan de ontwikkeling van de wiskunde.

In de Edo Periode had Japa twee hoofdreligies, het Shintoïsme, dat de oorspronkelijke Japanse godsdienst is, en het Boeddhisme. De shintoïsten geloofden in kami, vaak vertaald als Goden of natuurgeesten en de Boeddhisten geloven in Boeddha, een verlicht man.

Sangaku is oud Japans voor ‘wiskunde tablet’.De sangaku zijn ontstaan doordat mensen hun wiskundige problemen als het ware offerden aan de kami en de Boeddha’s, als een teken van eerbetoon of een vraag om hulp bij het oplossen.De problemen die staan op de sangaku zijn op te lossen met geometrie. De moeilijkheidsgraad van het probleem bepaald ook hoeveel je van de meetkunde moet weten.Om sangaku te verzamelen en mensen te helpen met hun wiksundige problemen hielden wiskundigen vaak een pelgrimstocht langs verschillende tempels waarin sangaku hingen en noteerden die, onderweg sliepen ze bij vrienden en collega’s en hielpen de wiskundigen mensen die vast zaten in hun berekeningen.

34 | P a g i n a

De ontwikkeling van de wiskunde, zoals het in Japan ging, heeft ervoor gezorgd dat er in Japan al vroeg openbare scholen, juku, waren. Hierdoor was in heel Japan het algemene wiskunde niveau hoger dan in de rest van de wereld.

Al met al kunnen we concluderen dat de sangaku een buitengewone, nieuwe ontwikkeling was in de geschiedenis van de wiskunde. Wiskunde dat aan de Goden werd geofferd, dat deden zelfs de Grieken en de Romeinen niet. Verder zijn de sangaku erg belangrijk geweest voor de verdere ontwikkeling van Japan. Doordat de Japanners heel veel interesse hadden in de wiskunde, heeft dit zich ook sneller ontwikkeld dan in de rest van de wereld. De Japanse ontdekkingen werden ongeveer tegelijk met de Westerse ontdekkingen gedaan, maar de Japanse wiskunde bestond veel minder lang dan de Westerse. Dit is daarom een behoorlijke prestatie geweest voor de Japanners. En nog steeds zijn ze ons vaak op technologisch gebied een beetje voor, met dank aan hun goede wiskundige achtergrond.

35 | P a g i n a

9. Bronnenlijst1. Fukagawa, H en Rothman, T. (2008). Sacred Mathematics: Japanese

Temple Geometry. New Jersey: Princeton Univerity Press.2. Eugene, D. en Yoshio, M. (2004). A history of Japanese mathematics.

Mineola: Dover Publications. (Page 4) 22 november 2010 (online versie)

3. http://www.kennislink.nl/upload/258486_962_1228484277625- 116561_962_1093258458636-japan-5.jpg 11 oktober 2010(plaatje voorkant)

4. http://translation.babylon.com/japanese/to-english/%E9%A1%8D/ 22 november 2010

5. http://translation.babylon.com/japanese/to-english/%E7%AE%97/ 22 november 2010

6. http://en.wikipedia.org/wiki/Edo_period 8 december 2010 7. http://en.wikipedia.org/wiki/Sangaku (research)8. http://www.wasan.jp/english/sangi.html 8 december 2010 9. http://en.wikipedia.org/wiki/Soroban 8 december 201010. http://en.wikipedia.org/wiki/Shinto 9 december 201011. http://nl.wikipedia.org/wiki/Shinto%C3%AFsme 9 december

201012. http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm 8

december 201013. http://nl.wikipedia.org/wiki/Boeddhisme 28 december 201014. http://nl.wikipedia.org/wiki/Analyse_(wiskunde) 30 december

2010(research)15. http://en.wikipedia.org/wiki/

The_Nine_Chapters_on_the_Mathematical_Art 30 december 201016. http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_mathematics 30

december 201017. http://www.google.nl/imgres?imgurl=http://www.tads.nl/

wordpress/wp-content/uploads/2009/08/history2-380x229.jpg&imgrefurl=http://www.tads.nl/&usg=__s7bJe-PyhpFD3rqjXkZ3PN2YE10=&h=229&w=380&sz=30&hl=nl&start=6&zoom=1&tbnid=vmWZk07jnMz02M:&tbnh=137&tbnw=211&ei=3FZ-TdWHLIqUOqvtuZYH&prev=/images%3Fq%3Dthe%2Bisland%2Bof%2Bdeshima%26hl%3Dnl%26biw%3D853%26bih%3D447%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:10%2C332&itbs=1&iact=hc&vpx=525&vpy=118&dur=5076&hovh=174&hovw=289&tx=206&ty=120&oei=AFZ-Tc3nLdDLsgbQzJj1Bg&page=2&ndsp=6&ved=1t:429,r:2,s:6&biw=853&bih=447 14 maart 2011 (Afbeelding 1)

18. http://www.nickhelsloot.nl/Judo%20site/images/Samurai.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 2)

19. http://www.wasan.jp/english/sangi.html 14 maart 2011 (Afbeelding 3)

20. http://www.wasan.jp/english/sangi.html 14 maart 2011 (Afbeelding 4)

36 | P a g i n a

21. http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/ComputerXHistory/EarlyHistory/ 1956-Soroban1171.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 5)

22. http://de.academic.ru/pictures/dewiki/121/yoshida_soroban.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 6)

23. http://img300.imageshack.us/img300/7374/okami.png 14 maart 2011 (Afbeelding 7)

24. http://laicite-aujourdhui.fr/IMG/jpg/temple_Kiyomizu2.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 8)

25. http://www.reizennaarjapan.nl/beelden/achtergronden/Shinto- OyamaMatsuri.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 9)

26. http://i438.photobucket.com/albums/qq109/ypma/Japan %202009/P9262630.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 10)

27. http://www.pythagoras.nu/mmmcms/images/article/202/ sangaku.jpeg 14 maart 2011 (Afbeelding 11)

28. http://www.sangaku.info/images/ichiNoSekiHachiman/ Sangaku_Hachiman_ichinoseki_2368_small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 12)

29. http://3.bp.blogspot.com/_V-St_0oqpAw/SSHuiHbPF2I/ AAAAAAAAAXM/j0GeknPF8hU/s320/sangaku_Uchiko.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 13)

30. http://www.sangaku.info/images/ichiNoSekiMuseum/ Sangaku_Museum_2310_small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 14)

31. http://www.sangaku.info/images/fukushima/ Sangaku_Fukushima_2583_small.jpg 14 maart 2011 (Afbeelding 15)

32. http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/ artikel_printversie.php?deze_art_online_id=23 28 februari 2011

37 | P a g i n a

10. LogboekDatum Tijdsduur Activiteit13-10-10 60 minuten Begin maken aan de Inleiding14-10-10 tot 22-11-10

~ 80 uur Het boek 'Sacred Mathematics' lezen en sommige problemen, die daarin staan, oplossen.

22-11-10 30 minuten De Indeling afmaken.22-11-10 15 minuten Paragraaf 3.1 schrijven.22-11-10 30 minuten Paragraaf 6.1 schrijven.25-11-10 60 minuten Inleidingen schrijven voor elk hoofdstuk.08-12-10 30 minuten Hoofdstuk 2 schrijven.08-12-10 30 minuten Paragraaf 3.2 schrijven.08-12-10 30 minuten Paragraaf 3.3 schrijven tot en met het

vermenigvuldigen.09-12-10 45 minuten Paragraaf 5.1 schrijven.15-12-10 30 minuten Paragraaf 3.3 verder schrijven tot de

staartdelingen.27-12-10 45 minuten Paragraaf 3.3 afmaken.28-12-10 25 minuten Paragraaf 6.6 schrijven.28-12-10 30 minuten Paragraaf 5.2 schrijven.30-12-10 15 minuten Paragraaf 6.3 schrijven.30-12-10 210 minuten Paragraaf 4.1 schrijven.30-12-10 120 minuten Paragraaf 4.2 schrijven.30-12-10 90 minuten Paragraaf 4.3 schrijven.21-02-11 15 minuten Verbeteren van spelling- en taalfouten.21-02-11 45 minuten Het schrijven van Paragraaf 3.3.1.28-02-11 15 minuten Hoofstuk 7 afmaken.28-02-11 60 minuten Paragraaf 6.4 schrijven28-02-11 120 minuten Schrijven van het orginele antwoord in paragraaf

6.501-03-11 60 minuten Begin gemaakt aan het schrijven van het

morderne antwoord in paragraaf 6.510-03-11 20 minuten Inleiding afmaken14-03-11 45 minuten Het moderne antwoord in paragraaf 6.5

afmaken.14-03-11 45 minuten Conclusie schrijven.14-03-11 30 minuten Plaatjes toevoegen.16-03-11 15 minuten Bronnenlijst in orde maken.Totale tijd: 6165 minuten ≈ 103 uur

38 | P a g i n a