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Prof.Ilydio Sá 1
MatemáticaFinanceira
(Juros Simples x Juros Compostos)
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Taxa de Juros
FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital.Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITÁRIAFORMA UNITÁRIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital.Ex.: 0,12 ao ano.
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JUROS SIMPLES
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CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:
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CÁLCULO DO JURO
• FÓRMULA BÁSICA:
J = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . n
onde: J = JuroC = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
EXEMPLO
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MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital aplicado.
M = C + J
onde:C= principaln= prazo de aplicaçãoi = taxa de juros
M = C(1 + in) = C. FATOR
EXEMPLO
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TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2
(referida ao período n2) se:
2
1
2
1
n
n
i
i
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
2
2
1
1
n
i
n
i
EXEMPLO
1221 .nin.i
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TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.
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JURO EXATO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
EXEMPLO
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JURO COMERCIAL
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial (360 dias):
EXEMPLO
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JUROS COMPOSTOS
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Juros Compostos
Juros Simples:• Apenas o capital inicial rende juros;• O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado;• No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge-rar novos juros;• O regime de juros compostos é mais importante, por-que retrata melhor a nossa realidade.
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Diferença entre os regimes de capitalização
Co= 1000,00i= 20 % a.a.n= 5 anos
nJuro por Período Montante Juro por período Montante
0 0 1000,00 0 1000,001 1000 x 0,2 = 200 1200,00 1000 x 0,2 = 200 1200,002 1000 x 0,2 = 200 1400,00 1200 x 0,2 = 240 1440,003 1000 x 0,2 = 200 1600,00 1440 x 0,2 = 288 1728,004 1000 x 0,2 = 200 1800,00 1728 x 0,2 = 346 2074,005 1000 x 0,2 = 200 2000,00 2074 x 0,2 = 414,80 2488,80
Juros Simples Juros Compostos
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GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
1800,00
2000,002074,00
2488,80
1400,001200,001000,00
1600,001200,00
1440,00
1000,00
1728,00
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
1 2 3 4 5 6
TEMPO (ANOS)
MO
NT
AN
TE
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Uma questão: Será que, pelo que vimos no gráfico anterior, podemos então concluir que os montantes gerados, sob as mesmas condições e sobre o mesmo capital, a juros simples e a juros compostos ou são iguais ou o montante dos juros compostos será maior?
Para ajudar na resposta, vamos incluir na tabela e no gráfico anterior mais uma linha. Vamos calcular os dois montantes para um prazo de 15 dias após o início da aplicação, ou seja, após meio mês.
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JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOSMontante Montante
0 1000,00 1000,000,5 1000 x 1,1 = 1100 1000 x 1,2^0,5= 1095,451 1000 x 1,2 = 1200 1000 x 1,2 = 12002 1000 x 1,4 = 1400 1000 x 1,2^2 = 14403 1000 x 1,6 = 1600 1000 x 1,2^3 =17284 1000 x 1,8 = 1800 1000 x 1,2^4 =20745 1000 x 2,0 = 2000 1000 x 1,2^5 = 2488,8
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GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
1600,00
1800,00
2000,00
1200,001100,00
1000,00
1400,001095,45
1200,00
1000,00
1440,00
2488,80
2074,00
1728,00
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
1 2 3 4 5 6 7
TEMPO (ANOS)
MO
NT
AN
TE
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Montante
O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula:
n)i.(CM 1
M = montante ao fim de “n” períodosC = capital inicialn = número de períodosi = taxa de juros por período, efetivaF = fator de correção da taxa i
n C.FM
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ExemploUma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado sob taxa efetiva 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? Resolução: C = 1.000
i = 2% a .m.n = 10 meses
Temos:
$1.218,99M
2)1.000.(1,0M
C.FM
i)C.(1M
10
10 0
n
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Valor Atual e ValorNominal
• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicaçãoem uma data inferior à do vencimento.• O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento.
V = valor atualN = valor nominali = taxa de jurosn = número de períodos que antecedem o vencimento do título
ni
NV
)1(
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Exemplo
a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com-postos corrente for de 2,5% a.m. ?
Resolução:
n = 5 Meses
N=1.131,40V
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N = 1.131,40i = 2,5 % a.m.n = 5 meses
00,000.1$
131408,1
40,131.1
)025,1(
40,131.1
)1(
5
V
V
i
NV
n
Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-rei fazendo mau negócio.
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Exemplob) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro-ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valorde $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.
Resolução:
N=1.344,89N*=1.080,00
0 3 12
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ExemploO valor atual na data focal zero da letra de câmbio que venceem 12 meses é dado por:
112 12
1
1
1344, 89(1 ) (1, 025)
1.344, 891.000, 00
1,344889
$1.000, 00
NV
i
V
V
Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que venceem 3 meses:
23 3
* 1080, 00(1 ) (1, 025)N
Vi
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Comparando os dois valores atuais constatamos que:
12 VV
89,002.1$
076891,1
00,080.1
2
2
V
V
Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual umpouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a trocaseria vantajosa.
TAXAS COMPOSTAS
Os diversos tipos de taxas para juros compostos.
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TAXA NOMINALÉ uma taxa “simbólica” para juros compostos e usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. É fácil determinar quando a taxa é nominal, pois ela estará sempre referida a uma unidade de tempo, distinta da unidade que define o período de capitalização. Ex: 24% ao ano, com capitalização mensal.
TAXA EFETIVAÉ a taxa de juros compostos que já está referida à mesma unidade de tempo que o período de capitalização. Ex: 1% ao mês, com capitalização mensal; 24% ao ano, com capitalização anual; 0,5% quinzenal, com capitalização quinzenal.
Importante: A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva (que é a usada na fórmula dos juros compostos) é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos.
24% ao ano, com capitalização mensal
TAXA NOMINAL
24%:12 = 2% ao mês, com capitalização mensal
TAXA EFETIVA
Prof.Ilydio Sá 34
Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. Obtenha o montante final dessa aplicação, sabendo-se que ela foi feita por um prazo de 2 anos.
20% ao ano, com capitalização trimestral
TAXA NOMINAL
20%:4 = 5% ao trimestre
TAXA EFETIVA
7387,27 (1,05) x 5000 M 8
2 anos = 8 trimestres
Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA NOMINAL nos cálculos com juros compostos.
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TAXAS EQUIVALENTES
São taxas efetivas, que geram montantes iguais, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo prazo.
Exemplo: 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Veja, por exemplo, que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,0, para um investimento de um ano, vão gerar os seguintes montantes:
4% ao mês
1601,03 (1,04) x 1000 M 12 8,16% ao bimestre
1601,03 (1,0816) x 1000 M 6
Na prática, quando queremos determinar uma taxa que seja equivalente a outra, com capitalização distinta, usamos apenas os fatores de correção, já que ao igualar os montantes, os capitais (que são iguais) serão cancelados. Vejamos dois exemplos disso.
Prof.Ilydio Sá 36
EX. 1: Qual a taxa bimestral equivalente a 15,9693% ao ano?
Como um ano tem 6 bimestres, é claro que o fator bimestral (procurado), elevado ao expoente 6, terá de ser igual ao fator anual, vejamos:
a.b 2,5% procurada taxa
1,025 1,159693 F
1,159693 F F F
6b
6ba
6b
EX. 2: Qual a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia?
1,51% mensal taxa
1,0151 (1,0005) F
F F30
m
30dm