Profs.: Bruno C N QueirozJosé Eustáquio R. de

QueirozMarcelo Alves de Barros

IntroduçãoIntrodução

Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IMódulo I

2

Introdução IIntrodução I

O que é

Cálculo NuméricoCálculo Numérico?

3

Introdução IIIntrodução II

Cálculo NuméricoCálculo Numérico é uma área de estudo de ferramentas ou métodos empregados na resolução de problemas matemáticos, de forma aproximadaaproximada, relativos às mais diversas áreas do conhecimento humano.

Principal aplicação Problemas cujas soluções exatasexatas são inviáveis ou impossíveis de se obter, de modo que carecem de uma abordagem numéricanumérica para sua resolução.

4

0iRV RV

i Solução exataexataSolução exataexata

Introdução de um diodo no circuito:

1

Ii

lnqkT

ivs

01Ii

lnqkT

iRVs

Solução via métodos numéricosmétodos numéricos

Solução via métodos numéricosmétodos numéricos

VR

i

VR

Di

Exemplo:Exemplo: Circuito elétrico composto por uma fonte de alimentação contínua e um resistor.

Introdução IIIIntrodução III

5

Por que empregarsoluçõessoluções numéricasnuméricas?

Introdução IVIntrodução IV

6

Um problema de Cálculo pode ser solucionado analiticamenteanaliticamente, mas sua resolução pode tornar-se impraticávelimpraticável com o aumento do escopo do problema.

Exemplo: Resolução de sistemas de equações lineares (SEL).

Introdução VIntrodução V

7

Existência de problemas para os quais não existem métodos analíticosanalíticos de resolução.

Exemplos:

a) nãonão tem primitiva em forma simples;

b) nãonão pode ser solucionada analiticamente;

c) equações diferenciais parciais (EDP) não lineares sósó podem ser solucionadas analiticamente em casos particulares.

dxe2x

22 tyy +=′

Introdução VIIntrodução VI

8

Métodos numéricosnuméricos visam a soluções aproximadasaproximadas para formulações matemáticas.

Em problemas reais, dados são medidasmedidas e, como tais, nãonão são exatosexatos

Medidas físicas nãonão são númerosnúmeros, mas intervalosintervalos, pela própria imprecisão das medidas.

Emprego de uma figura do errofigura do erro, inerente à própria medição.

Introdução VIIIntrodução VII

9

Métodos numéricos buscam aproximaçõesaproximações para soluções que, analiticamente, seriam exatasexatas.

Inerência do erro aos métodos Consideração de uma figura da aproximação, do erro, do desvio associadas às medições que produzem os dados a serem processados.

Introdução VIIIIntrodução VIII

10

Função do Cálculo NuméricoCálculo Numéricona Engenharia

Resolução de problemas a partirde métodos numéricosnuméricos

Fundamentação em modelosmodelosmatemáticosmatemáticos de eventos do mundo

real

Introdução IXIntrodução IX

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Etapas para a resolução de problemas

PROBLEMAPROBLEMA

MODELAGEMMODELAGEM

REFINAMENTOREFINAMENTO RESULTADO DECIÊNCIAS AFINSRESULTADO DECIÊNCIAS AFINS

MENSURAÇÃOMENSURAÇÃO

ESCOLHADE MÉTODOS

ESCOLHADE MÉTODOS

ESCOLHADE PARÂMETROS

ESCOLHADE PARÂMETROS

TRUNCAMENTODAS ITERAÇÕESTRUNCAMENTODAS ITERAÇÕES

RESULTADORESULTADONUMÉRICONUMÉRICO

RESULTADORESULTADONUMÉRICONUMÉRICO

Introdução XIntrodução X

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Fluxograma – Resolução NuméricaNumérica

PROBLEMPROBLEMAA

MODELO MODELO MATEMÁTICMATEMÁTIC

OO

SOLUÇÃSOLUÇÃOOmodelagemodelage

mmresoluçãresoluçã

oo

PROBLEMPROBLEMAA

ESCOLHA DO ESCOLHA DO MÉTODO MÉTODO

NUMÉRICONUMÉRICO

IMPLEMENTAÇÃO IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONACOMPUTACIONA

LLCONSTRUÇÃO CONSTRUÇÃO DO MODELO DO MODELO MATEMÁTICOMATEMÁTICO

LEVANTAMENLEVANTAMENTO DE DADOSTO DE DADOS

ANÁLISE DOS ANÁLISE DOS RESULTADOSRESULTADOS

VERIFICAÇÃVERIFICAÇÃOO

Introdução XIIntrodução XI

13

Influência dos Erros nas SoluçõesInfluência dos Erros nas Soluções

Exemplo Exemplo 0202: Falha no lançamento do : Falha no lançamento do míssil míssil PatriotPatriot (Guerra do Golfo – 1991) (Guerra do Golfo – 1991)

Erro de 0,34 s no cálculodo tempo de lançamento

Limitação na representação

numérica (24 bits)

Introdução XIIIntrodução XII

Comprometimento do rastreio dos mísseis

inimigos (Scud)https://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/patriot.html

14

Influência dos Erros nas SoluçõesInfluência dos Erros nas Soluções

Exemplo Exemplo 0101: Explosão do foguete lançador : Explosão do foguete lançador Ariane 5 Ariane 5 (Kourou, Guiana Francesa – 1996)(Kourou, Guiana Francesa – 1996)

Erro de 36,7 s no cálculodo tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (conversão 64 bits

para 16 bits)

Introdução XIIIIntrodução XIII

Explosão do lançador, perda do satélite e prejuízo U$ 7,5

bilhões)http://turingsman.net/my-blog-list/142-ariane-5

15

Aplicações na Engenharia

Determinação de raízes de equações

Resolução de SEL

Interpolação de valores tabelados

Integração numérica

Diferenciação numérica

Resolução de EDO...

Introdução XIVIntrodução XIV

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Objetivos Ementa Abordagem Metodológica Recursos Didáticos Avaliação Bibliografia

Plano de EnsinoPlano de Ensino

17

Fornecer condições para que se conheça, calcule, utilize e aplique corretamente métodos numéricos na resolução de problemas de Engenharia.

Construir métodos numéricos e analisar em que condições se pode ter a garantia de que os resultados computados são satisfatórios, baseados no conhecimento dos métodos.

Objetivos do CursoObjetivos do Curso

18

EmentaEmenta

1.1. MotivaçãoMotivação/FerramentasFerramentas: considerações introdutórias e exame de bibliotecas e ferramentas atuais

2.2. Conceitos BásicosConceitos Básicos: princípios empregados, representação binária de números inteiros e reais, padrão IEEE 754

3.3. ErrosErros: geração e propagação

4.4. Métodos NuméricosMétodos Numéricos: determinação de zeros de equações, resolução de SEL, interpolação de pontos e ajuste de curvas, integração e diferenciação

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Módulos I Motivação e Ferramentas de SuporteMotivação e Ferramentas de Suporte II Conceitos BásicosConceitos Básicos III Erros Numéricos – Geração e Erros Numéricos – Geração e

PropagaçãoPropagação IV Determinação de Zeros de EquaçõesDeterminação de Zeros de Equações V Resolução Numérica de SELResolução Numérica de SEL VI Interpolação de Pontos e Ajuste de Interpolação de Pontos e Ajuste de

CurvasCurvas VII Integração e Diferenciação Integração e Diferenciação

NuméricasNuméricas

ProgramaPrograma

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Aulas teórico-demonstrativas

Aulas práticas

Atividades individuais e em grupo

Abordagem MetodológicaAbordagem Metodológica

21

Quadro branco

Projetor multimídia (Data show)

Infraestrutura da Sala RE-10 (Laborátorio de programação)

Recursos DidáticosRecursos Didáticos

22

Atividades teóricas Atividades teóricas (Minitestes e provas)

Atividades práticasAtividades práticas (Laboratoriais e extraclasse)

Atividades de pesquisa extra-classeAtividades de pesquisa extra-classe

Seminários de pesquisaSeminários de pesquisa

AvaliaçãoAvaliação

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ASANO, C. H. & COLLI, E. Cálculo Numérico: Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.

CHAPRA, S. C., Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists. McGraw-Hill Higher Education, 2012. 3rd Ed.

CHAPRA, S. C. & CANALE, R. P. Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill, 2010. 6th Ed.

EPPERSON, J. F., An introduction to numerical methods and analysis. John Wiley & Sons, Inc., 2013. 2nd Ed.

Bibliografia IBibliografia I

24

FERNANDES, E. M. DA G. P., Computação Numérica. Publicações da Universidade do Minho, 1997. 2a. Edição.

FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2006. 1a. Edição.

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2a ed. São Paulo, Makron, 1997.

Bibliografia IIBibliografia II