Prof.ssa Paola Sirigu

DivisoriDivisori

15: 3 = 5

QUOTOQUOTO

SEGNO DI OPERAZIONE

DIVIDENDODIVIDENDODIVISOREDIVISORE

33 È DIVISORE DIÈ DIVISORE DI 1515 PERCHPERCHÉ LA DIVISIONE È ESATTA É LA DIVISIONE È ESATTA (IL RESTO È ZERO).(IL RESTO È ZERO).

MA QUALI SONO GLI ALTRI DIVISORI DIMA QUALI SONO GLI ALTRI DIVISORI DI 1515? ?

D(15) = {1; 3; 5; 15}I DIVISORI DI UN NUMERO SONO SEMPRE UN NUMERO I DIVISORI DI UN NUMERO SONO SEMPRE UN NUMERO FINITOFINITO. . QUELLI DI QUELLI DI 1515 SONO 4. SONO 4.

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Esempi:Esempi:

D(12)={1; 2; 3; 4; 6; 12}

D(18)={1; 2; 3; 6; 9; 18}

D(45)={1; 3; 5; 9; 15; 45}

D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(64)={1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}

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MultipliMultipliCOS’COS’È UN MULTIPLO?È UN MULTIPLO?

TROVIAMO UN MULTIPLO DI TROVIAMO UN MULTIPLO DI 1212..

UN MULTIPLO DI UN MULTIPLO DI 1212 È UN NUMERO CHE SI È UN NUMERO CHE SI PUPUÒ OTTENERE MOLTIPLICANDO IL NUMERO Ò OTTENERE MOLTIPLICANDO IL NUMERO

1212 PER UN ALTRO NUMERO: PER UN ALTRO NUMERO:

1212 × × 2 = 2 = 2424QUINDIQUINDI 2424 È È UN MULTIPLO DI UN MULTIPLO DI 1212

UN NUMERO HAUN NUMERO HA INFINITIINFINITI MULTIPLIMULTIPLI

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VEDIAMO ALTRI MULTIPLI DI VEDIAMO ALTRI MULTIPLI DI 1212

M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}

1212 × × 1 = 1 = 12121212 × × 2 = 2 = 24241212 × × 3 = 3 = 36361212 × × 4 = 4 = 48481212 × × 5 = 5 = 60601212 × × 6 = 6 = 72721212 × × 7 = 7 = 84841212 × × 8 = 8 = 9696

1212 × × 9 = 9 = 108108

1212 × × 10 = 10 = 1201201212 × × 11 = 11 = 1321321212 × × 12 = 12 = 1441441212 × × 13 = 13 = 1561561212 × × 14 = 14 = 1681681212 × × 15 = 15 = 1801801212 × × 16 = 16 = 192192……

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Esempi:Esempi:

M(18)={18; 36; 54; 72; 90; 108; …}

M(45)={45; 90; 135; 180; 225; …}

M(64)={64; 128; 192; 256; 320; …}

M(24)={24; 48; 72; 96; 120; 144; …}

M(5)={5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; …}

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CRITERIO DIVISIBILITCRITERIO DIVISIBILITÀ PER À PER DUEDUE

UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER DUEDUE SE SE L’ULTIMA CIFRA A DESTRA (UNITL’ULTIMA CIFRA A DESTRA (UNITÀ) È:À) È:

0 0 oppureoppure 2 2 oppureoppure 4 4 oppureoppure 6 6 oppureoppure 8 8

CIOCIOÈ È PARIÈ È PARI

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210 finisce con 0

72 finisce con 2

3254 finisce con 4

1286 finisce con 6

538 finisce con 8

Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 22::

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111 finisce con 1

73 finisce con 3

125 finisce con 5

727 finisce con 7

1139 finisce con 9

Esempi di numeri Esempi di numeri nonnon divisibili per divisibili per 22::

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CRITERIO DIVISIBILITCRITERIO DIVISIBILITÀ PER À PER TRETRE

UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER TRETRE SE SE LA SOMMA DELLE SUE CIFRE LA SOMMA DELLE SUE CIFRE È UN È UN MULTIPLO DI TRE. MULTIPLO DI TRE.

3 6 912

15

18

21

24

27

30

SE LA SOMMA NON SE LA SOMMA NON È MOLTO GRANDE È MOLTO GRANDE STA NELLA TABELLINA DEL TRESTA NELLA TABELLINA DEL TRE

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Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 33::

531

951

4002

919191

888

9999

5 + 3 + 1 = 9

9 + 5 + 1 = 15

4 + 0 + 0 + 2 = 6

9 + 1 + 9 + 1+ 9 + 1 = 30

8 + 8 + 8 = 24

9 + 9 + 9 + 9 = 36

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Esempi di numeri Esempi di numeri nonnon divisibili per divisibili per 33::

125

721

6412

182141

257

5555

1 + 2 + 5 = 8

7 + 2 + 1 = 10

6 + 4 + 1 + 2 = 13

1 + 8 + 2 + 1+ 4 + 1 = 17

2 + 5 + 7 = 14

5 + 5 + 5 + 5 = 20

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CRITERIO DIVISIBILITCRITERIO DIVISIBILITÀ PER À PER CINQUECINQUE

UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER CINQUECINQUE SE L’ULTIMA CIFRA A SE L’ULTIMA CIFRA A DESTRA (UNITDESTRA (UNITÀ) È:À) È:

00 oppureoppure 55

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900 finisce con 0

45 finisce con 5

1245 finisce con 5

5320 finisce con 0

235 finisce con 5

Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 55::

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431 finisce con 1

62 finisce con 2

623 finisce con 3

277 finisce con 7

7639 finisce con 9

Esempi di numeri Esempi di numeri nonnon divisibili per divisibili per 55::

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CRITERIO DIVISIBILITCRITERIO DIVISIBILITÀ PER À PER DIECI, CENTO, MILLE, …DIECI, CENTO, MILLE, …

UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER DIECIDIECI SE SE

L’ULTIMA CIFRA A DESTRAL’ULTIMA CIFRA A DESTRA È È 00

UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER CENTOCENTO SE LE SE LE

ULTIME DUE CIFRE A DESTRA ULTIME DUE CIFRE A DESTRA SONO SONO 0000UN NUMERO È DIVISIBILE PER UN NUMERO È DIVISIBILE PER MILLEMILLE SE LE SE LE

ULTIME DUE CIFRE A DESTRA ULTIME DUE CIFRE A DESTRA SONO SONO 000000……

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SE UN NUMERO SE UN NUMERO ÈÈ DIVISIBILE PER DIVISIBILE PER 10001000 ÈÈ DIVISIBILE ANCHE PER DIVISIBILE ANCHE PER

100100 E PER E PER 1010

SE UN NUMERO SE UN NUMERO ÈÈ DIVISIBILE DIVISIBILE PERPER 100100 ÈÈ DIVISIBILE ANCHE DIVISIBILE ANCHE

PER PER 1010ESEMPIO:ESEMPIO: 13130000

ESEMPIO:ESEMPIO: 433433000000

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910 finisce con 0

40 finisce con 0

9000 finisce con 0

120 finisce con 0

11400 finisce con 0

Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 1010::

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900 finisce con 00

1400 finisce con 00

9000 finisce con 00

12000 finisce con 00

5100 finisce con 00

Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 100100::

Questi sono divisibili anche per Questi sono divisibili anche per 10.10.

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9000 finisce con 000

14000 finisce con 000

2000 finisce con 000

10000 finisce con 000

5000 finisce con 000

Esempi di numeri divisibili Esempi di numeri divisibili per per 10001000::

Questi sono divisibili anche per Questi sono divisibili anche per 10 10 e pere per 100 100

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NUMERI NUMERI PRIMIPRIMI E NUMERI E NUMERI COMPOSTICOMPOSTI

UN NUMERO SI DICE UN NUMERO SI DICE PRIMOPRIMO SE SE ÈÈ DIVISIBILE SOLO PERDIVISIBILE SOLO PER 1 1 E PER E PER SE SE

STESSOSTESSO

D(17)={1; 17}

D(2)={1; 2}D(7)={1;7}

D(37)={1; 37}

D(19)={1; 19}D(31)={1;31}

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D(12)={1; 2; 3; 4; 6; 12}

D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

UN NUMERO SI DICE UN NUMERO SI DICE COMPOSTOCOMPOSTO SE HA ALTRI SE HA ALTRI DIVISORI OLTRE A DIVISORI OLTRE A 1 1 E SE E SE

STESSOSTESSO

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00 ee 11

Casi ParticolariCasi Particolari

CI SONO DUE NUMERI CHE NON CI SONO DUE NUMERI CHE NON SONO NSONO NÉ PRIMI NÉ COMPOSTI É PRIMI NÉ COMPOSTI

E SONO:E SONO:

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Scomposizione in fattori primi

Ogni numero, se non è primo, può essere considerato come il prodotto di due o più numeri primi

36 2

18 2

9 3

3 3

1

60 2

30 2

31 3

5 5

1

36=2x2x3x3

60=2x2x3x5

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MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)

Dati due, o più, numeri naturali, Dati due, o più, numeri naturali, diversi da zero, si chiama loro diversi da zero, si chiama loro minimo minimo comune multiplo (mcm)comune multiplo (mcm), il più piccolo , il più piccolo

fra i loro multipli comuni. fra i loro multipli comuni.

M(8)={8; 16; 24; 32; 40; 48; …}

M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}mcm(8;12)= 24

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M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}

M(15)={15; 30; 45; 60; 75; 90; …}

mcm(10;12;15)= 60

Altri esempiAltri esempi

M(10)={10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …}

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Scomposizione in fattori primie minimo comune multiplo

Si moltiplicano i Fattori comuni e non comuni, una volta sola, con il max esponente:

22x32x5 =180

36= 22x32

60= 22x3x5

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per trovare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si

devono scomporre i numeri in fattori primi e si moltiplicano fra loro i fattori

comuni e non comuni presi una sola volta e con l'esponente più grande

36= 22x32

60= 22x3x5

m.c.m.= 22x 32x 5 = 180

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MASSIMO COMUNE DIVISORE MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD)(MCD)

Dati due o più numeri naturali, diversi Dati due o più numeri naturali, diversi da zero, si chiamada zero, si chiama massimo comune massimo comune divisore (MCD)divisore (MCD) il più grande divisore il più grande divisore

che hanno in comune. che hanno in comune.

D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(30)={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}MCD(24;30)= 6

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D(20)={1; 2; 4; 5; 10; 20}

D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

MCD(16;20;24)= 4

D(16)={1; 2; 4; 8; 16}

Esempio con tre numeriEsempio con tre numeri

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Scomposizione in fattori primie massimo comune divisore

36 2

18 2

9 3

3 3

1

60 2

30 2

31 3

5 5

1

Si moltiplicano solo i Fattori comuni con l’esponente più piccolo:

2 x 2 x 3 = 12

M.C.D. =22x3 = 12

36= 22x32

60= 22x3x5

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se i numeri non hanno fattori in comune il

M.C.D. è 1

se i numeri non hanno fattori in comune il

M.C.D. è 1

per trovare il massimo comune divisore tra due o più numeri si devono scomporre i

numeri in fattori primi e si moltiplicano fra loro i fattori comuni presi una sola volta e con

l'esponente più piccolo

per trovare il massimo comune divisore tra due o più numeri si devono scomporre i

numeri in fattori primi e si moltiplicano fra loro i fattori comuni presi una sola volta e con

l'esponente più piccolo

36= 22x32

60= 22x3x5

M.C.D. =22x3 = 12