Progetto elementi in CA

7/29/2019 Progetto elementi in CA

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PROGETTAZIONE AGLI STATI LIMITE DI

ELEMENTI STRUTTURALI IN CEMENTO

ARMATO

Giovanni Di Luzio


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Indice

1 131.1 Descrizione dellopera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Normativa di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 I materiali 19

2.1 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 27

3.1 Schematizzazione della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Predimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Solaio 35

4.1 Determinazione delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Verifiche di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Travi 61

5.1 Determinazione delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Armatura trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 Verifiche di resistenza allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . 87

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5.5 Verifiche agli stati limite di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Pilastri 101

6.1 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2 Dimensionamento della sezione e delle armature . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Verifica allo stato limite di tensioni in esercizio . . . . . . . . . . . . . . 106

7 Fondazioni 111

7.1 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 Dimensionamento della sezione e delle armature . . . . . . . . . . . . . 1127.3 Verifica allo stato limite di tensioni in esercizio . . . . . . . . . . . . . . 117

8 Dettagli costruttivi 119

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Ad Antonella ed Antonio

Two roads diverged in a wood, and I-

I took the one less travelled by,

And that has made the difference.

ROBERT FROST

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Prefazione

Il corso di Tecnica delle Costruzioni nellambito del Laboratorio di Costruzioni pres-

so la Facolta di Architettura e Societa del Politecnico di Milano, prevede la redazionedi un elaborato progettuale, nella maggior parte dei casi, con elementi strutturali in

cemento armato. Al fine di fornire agli allievi un esempio di svolgimento di questo pro-

getto, si e deciso di prendere spunto dagli elaborati di Laurea triennale in Ingegneria

Civile svolti da Andrea Grandi e Giulia Bartoli e da Collenghi Claudio, De Amici Al-

berto e Roberta Forlani nel Settembre 2008, dei quali e stata ampliata la parte teorica

ed inseriti alcuni commenti.

In questo esempio didattico si e scelta una certa impostazione (soluzione), che in

numerosi casi non e unica, ma sono possibili differenti scelte tecniche o di calcolo,

comunque, ugualmente corrette. Utilizzarne una, come in questo esempio, non significa

che le altre siano sbagliate. Pertanto, lo studente deve valutare con spirito critico

il presente esempio cercando di leggerlo con un sano scetticismo valutando anche le

possibili alternative.

A causa della necessita di fornire in tempi brevi un prodotto finito, non posso

escludere che vi possano essere errori di calcolo (e saro grato a chiunque me li segnalera).

Giovanni Di Luzio

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Introduzione

Nella presentazione di un progetto conviene preparate due distinte relazioni strut-

turali: 1) la prima, denominata relazione generale, in cui si riportano i criteri gener-

ali che sono stati seguiti nel progetto; 2) la seconda, denominata relazione di calcolo,

riporta invece in dettaglio tutte le elaborazioni numeriche effettuate secondo i criteri

indicati nella relazione generale. La relazione generale e abbastanza breve (una o due

pagine per argomento) e, nel seguito, si riportano i criteri adottati per la sua stesura.

Invece, la relazione di calcolo e sempre molto estesa, perche deve contenere tutte le

elaborazioni svolte.

La relazione generale deve essere prodotta secondo il seguente schema, in cui sono

riportati gli argomenti che essa deve contenere per il progetto di una struttura in

cemento armato.

1. Indicazioni generali

Caratteristiche principali del fabbricato (geometria, numero di piani, ubicazione,

destinazione duso, tipologia strutturale) e del terreno su cui esso e edificato. Caratte-

ristiche dei materiali utilizzati. Normativa cui si e fatto riferimento nel calcolo.

2. Solaio

Criteri seguiti per dimensionarne lo spessore. Schemi e combinazioni di carico presi

in esame. Metodo utilizzato per la risoluzione degli schemi. Tipologia di armatura

prescelta e formule utilizzate per valutare larea di armatura necessaria a flessione.

Motivazioni che possono rendere necessarie le fasce piene e semipiene (flessione, taglio)

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e formule utilizzate per determinarle. Sezioni nelle quali si e effettuata la verifica a

flessione e procedura utilizzata per la verifica.

3. Travi

Criteri utilizzati per valutare il carico sulla trave. Metodo usato per stimare il

momento massimo e per definire la sezione. Schemi e combinazioni di carico presi

in esame. Programma utilizzato per la determinazione delle azioni interne per i vari

schemi statici. Tipologia di armatura scelta per la flessione e il taglio e formule uti-

lizzate per valutare larea di armatura necessaria. Sezioni per le quali si e effettuata

la verifica a flessione e procedura utilizzata per la verifica. Criteri seguiti per valutare

carichi e caratteristiche di sollecitazione in esercizio e per effettuare le verifiche per la

fessurazione, le tensioni di esercizio, e la deformabilita.

4. Pilastri

Criteri utilizzati per valutare i carichi sui pilastri a ciascun piano e lazione normale

conseguente. Criteri seguiti per dimensionarne la sezione e le armature. Criteri seguiti

per valutare le caratteristiche di sollecitazione in esercizio e per la verifica allo statolimite di tensioni.

5. Effetto del vento e del sisma

Modalita seguite nel calcolare la pressione del vento e le accellerazioni dovute al-

lazione sisma, e le conseguenti forze orizzontali. Metodo usato per stimare i momenti

flettenti prodotti dalle forze orizzontali. Combinazioni di carico prese in esame. Pro-

gramma di calcolo utilizzato per calolare le azioni interne. Considerazioni sullincremen-

to di sollecitazioni provocato dal vento e sui conseguenti effetti su sezione e armaturenecessarie per le travi. Modalita per la determinazioni dei domini limite M-N. Con-

siderazioni sulleffetto dellincremento di sollecitazioni su sezione e armature necessarie

per i pilastri. Criteri seguiti per valutare le caratteristiche di sollecitazione in esercizio

e per effettuare la verifica allo stato limite di tensioni di esercizio.

6. Plinti di fondazione

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Modello utilizzato per rappresentare il comportamento del terreno. Criteri segui-

ti per il dimensionamento dei plinti di fondazione (dimensioni della sezione ed delle

armature). Criteri utilizzati per dimensionare le travi di collegamento tra i vari plinti.

Per questo esempio didattico, nel seguito non si fara distinzione tra la relazione

generale e la relazione di calcolo, ma si riportera in ciascun capitolo la progettazione e

la verifica dei vari elementi strutturali che appartengono ad una struttura in cemento

armato presa come esempio.

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Capitolo 1

1.1 Descrizione dellopera

La progettazione di unopera di ingegneria civile e un processo complesso, che si

svolge attraverso numerose fasi, ed e, inoltre, un processo iterativo di perfezionamento

(ciclico), in cui la ricerca della migliore soluzione comporta un processo di continua

ridefinizione dellopera. La parte piu delicata di questo processo e quella della con-

cezione dello schema strutturale ed il calcolo non puo condurre direttamente alla scelta

della soluzione strutturale. Inoltre, vi sono numerose decisioni da prendere che devono

tenere conto della natura del suolo, dei problemi esecutivi, di quelli estetici ed economi-

ci. Pertanto, lintreccio delle influenze e dei condizionamenti su tali decisioni e tale da

rendere ogni progetto unico.

La progettazione richiede anche immaginazione ed intuizione, supportate dalla co-

noscenza della statica e della meccanica, in un processo continuo di cooordinamento e di

sintesi. Dalla concezione strutturale della struttura piu che da minuti perfezionamenti

del calcolo dipende alla fine il buon esito dellopera.

In questo volume si vuole presentare la progettazione della parte strutturale di un

edificio a destinazione abitativa e commerciale (Fig. 1.1). Lo sviluppo in pianta e di

forma rettangolare con un asse di simmetrica coincidente con lasse verticale del ret-

tangolo stesso. Il fabbricato e costituito da due piani fuori terra: il primo e destinato

ad ospitare due unita immobiliari di 90 m2 circa cadauna, mentre, il secondo piano

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Figura 1.1: Viste delledificio da progettare.

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Figura 1.2: Vista assonometrica degli elementi strutturali.

e destinato a semplice copertura piana praticabile. Entrambi i piani sono accessibili

attraverso una scala situata allinterno della costruzione stessa. Il piano terreno del-

ledificio e destinato a diventare sede di attivita commerciali. La struttura portante

delledificio e realizzata in cemento armato, in cui le travi ed i pilastri, connessi fra di

loro, sostengono i solai in latero-cemento che, orientati lungo la direzione di maggiore

luce in pianta, costituiscono la componente strutturale degli orizzontamenti (vedi Fig.

1.2).

La parte strutturale del solaio ha uno spessore di 20+4cm; considerando le finiture

si raggiunge lo spessore complessivo di 34cm. Le travi sono a sezione rettangolare,

tutte di dimensioni 30x45 cm. I pilastri hanno dimensioni diverse a seconda della

posizione in pianta e dellimpalcato in cui si trovano con dimensioni massime di 30x35

cm e minime di 25x25cm. Lo sviluppo in senso verticale dei pilastri e stato realizzato in

modo che non si vengano a creare momenti parassiti dovuti ad eccentricita geometriche.

Il vano scala e realizzato interamente in calcestruzzo armato, la cui struttura portante

verticale e realizzata mediante setti in c.a. incastrati fra di loro. Tale conformazione

conferisce al vano scala una rigidezza sensibilmente maggiore rispetto al resto della

struttura. Eventuali azioni orizzontali, come quelle derivanti dal vento o da azioni

sismiche, saranno quindi competenza del vano scale, visto come nucleo irrigidente di

controventamento. Le rampe sono costituite da solette piene, poggianti su travi disposte

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in corrispondenza dei pianerottoli, inclinate secondo la pendenza della rampa. Le

solette hanno un intradosso piano, mentre la parte superiore e sagomata secondo il

profilo dei gradini. Le murature perimetrali di tamponamento esterno, intonacate sia

internamente che esternamente, sono costituite da blocchi di laterizio alveolare con uno

spessore totale e di 35cm.

La scelta delle tipologie costruttive e derivata da precise scelte di carattere tecnico,

tecnologico ed economico. In particolare, e stata posta particolare attenzione sulla

effettiva praticita di esecuzione in cantiere delle indicazioni progettuali. A volte, quindi,

la progettazione e stata eseguita privilegiando la semplicita costruttiva rispetto adaltri criteri, come ad esempio quello del minimo uso di materiale. Tale scelta, oltre a

migliorare in generale la sicurezza delledificio, riducendo le probabilita di una cattiva

esecuzione delle opere, presenta anche un sensibile vantaggio economico derivante dal

minore utilizzo di mano dopera.

1.2 Normativa di riferimento

Per la progettazione della struttura si e fatto riferimento ad alla normativa tecnica

vigente: gli Eurocodici e le relative appendici nazionali. Gli Eurocodici sono norme eu-

ropee, che aggiornano ed uniformano per i paesi membri della Unione Europea, i metodi

di calcolo per la progettazione delle strutture. Il loro obiettivo e quello di armonizzare

le regole di progettazione e di calcolo vigenti nei paesi che aderiscono allUnione Euro-

pea contribuendo alla creazione di un mercato unico. Le norme nazionali (per lItalia,

le norme UNI) che recepiscono gli Eurocodici, ne contengono il testo completo cos

come emanato dal CEN (comprese tutte le appendici), il quale puo essere preceduto da

una premessa nazionale e/o seguito da una appendice nazionale. Lappendice nazionale

puo contenere solo informazioni su quei parametri, noti come parametri determinati a

livello nazionale, che in ogni Eurocodice sono lasciati a libera scelta per ogni singolo

stato. Oggetto delle appendici nazionali sono:

valori e/o classi per i quali nellEurocodice sono fornite alternative;

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valori da impiegare, per i quali nellEurocodice e fornito solo un simbolo;

coefficienti inerenti la taratura di modelli o derivanti da prove sperimentali;

dati specifici della singola nazione (geografici, climatici, ecc.), come, a titolo di

esempio, la mappa della neve;

la procedura da impiegare quando nellEurocodice ne sono proposte diverse in

alternativa.

Per meglio districarsi attraverso il complesso gruppo di norme tecniche, ogni Eu-rocodice tratta un preciso argomento. Quello utilizzato in questo lavoro e il secondo,

che tratta le progettazione delle opere in cemento armato. Questo e ulteriormente sud-

diviso in quattro parti, ognuna delle quali tratta specificatamente di alcuni tipi di opere

(edifici, ulteriori prescrizioni per la progettazione contro lincendio, ponti, strutture di

contenimento dei liquidi). Viene quindi adottato il seguente codice: Eurocodice 2 -

UNI EN 1992-1-1:2005 Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici nel seguito

indicato come EC-2.

Le Appendici Nazionali dellEurocodice, emanate di recente per armonizzare le

nuove Norme Tecniche con lEurocodice stesso, sono state utilizzate ove necessario;

in generale, si e notata una maggiore penalizzazione riguardo alle caratteristiche dei

materiali da parte delle appendici. Viceversa, non variano sensibilmente le procedure

di calcolo e di verifica.

Nello studio dei carichi agenti sulla struttura e di grande importanza la corretta va-

lutazione dei carichi permanenti e dei sovraccarichi accidentali (o variabili). La natura

di questi ultimi, e soprattutto la loro valutazione numerica, risulta tanto piu difficoltosa

tanto meno risultano prevedibili i futuri utilizzi dellopera e delle condizioni in cui ques-

ta si verra a trovare. La normativa di riferimento utilizzata per la determinazione dei

carichi e dei sovraccarichi e rappresentata dalle Norme Tecniche per le Costruzioni em-

anate con il DM 14 gennaio 2008 (di seguito indicate con NTC) specificatamente ai

Capitoli 2 e 3.

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Capitolo 2

I materiali

Nella progettazione della struttura la scelta dei materiali da utilizzare riveste un

ruolo fondamentale non solo nel garantire le caratteristiche meccaniche necessarie, ma

anche nel conferire allopera buone caratteristiche di durabilita e di comportamento in

esercizio. E inoltre necessario sottolineare che il calcolo delle strutture viene influenzato

direttamente dalla scelta dei legami sforzi-deformazioni di progetto, i quali hanno il

difficile compito di essere il piu possibile semplici da applicare senza pero perderela dovuta affidabilita. Vengono quindi analizzati nel dettaglio le caratteristiche dei

due principali materiali utilizzati nella realizzazione della struttura: il calcestruzzo e

lacciaio. Secondo lEC-2 (paragrafo 2.3.2), per la determinazione delle proprieta dei

materiali e dei prodotti si rimanda alla norma EN 1990 (Sezione 3 e Sezione 4).

2.1 Calcestruzzo

Il calcestruzzo e un materiale composto da aggregati, detti anche inerti, (sabbia e

ghiaia o pietrisco di varie dimensioni) legati tra loro dalla pasta di cemento che si forma

per idratazione del cemento stesso (formando pricipalmente il gel di silicato di calcio

idrato e cristalli di idrossido di calcio). Le proprieta meccaniche di tale agglomerato

lapideo artificiale dipendono da quelle dei singoli componenti e dal legame che si realizza

tra loro.

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LEC-2 raccomanda di considerare le proprieta del calcestruzzo che dipendono dal

tempo come il ritiro e la viscosita nei seguenti casi

nella verifica agli stati limite di esercizio;

nella verifica agli stati limite ultimi solo se i loro effetti sono significativi, per

esempio, nella verifica agli stati limite ultimi di stabilita dove gli effetti del secondo

ordine sono importanti. Negli altri casi non e necessario che siano tenuti in conto a

condizione che la duttilita e la capacita di rotazione degli elementi siano sufficienti.

Nel caso si dovesse condiderare la viscosita, lEC-2 raccomanda di valutare i suoi

effetti sul progetto sotto la combinazione di azioni quasi-permanente (carichi perma-

nenti e il valore medio della precompressione), indipendentemente dalla situazione di

progetto considerata. LEC-2 nel paragrafo 3.1.4 (insieme all Appendice B) presenta

un procedimento con cui determinare il coefficiente di viscosita a tempo infinito e la

deformazione da ritiro a tempo infinito.

I calcestruzzi vengono classificati in base alla resistenza caratteristica cilindrica, fck,

e cubica, fck,cube, a compressione (prove di compressione uniassiale effettuate su provinidi forma cilindrica e cubica, rispettivamente). Il termine carattestistica sta ad indicare

che si fa riferimento al frattile del 5%, cioe, quel particolare valore che, con riferimento

ad una densita di probabilita ottenuta sperimentalmente, ha una probabilita del 5%

di essere minorato). LEC-2 rimanda alla norma EN 206-1 per la classificazione dei

calcestruzzi e per le proprieta meccaniche da utilizzare nella progettazione.

La scelta della classe del calcestruzzo non viene effettuata solo in base alla resisten-

za meccanica richiesta in fase di progetto, ma anche in base ai requisiti di durabilit a.

Infatti, lEC-2 nella Sezione 4 richiede che una struttura durevole deve soddisfare i

requisiti di attitudine al servizio, resistenza e stabilita durante la sua vita utile di pro-

getto, senza presentare perdite significative di funzionalita ne richiedere manutenzione

straordinaria eccessiva. Le condizioni ambientali sono classificate secondo il Prospetto

4.1 dellEC-2 (basato sulla EN 206-1), in cui la classe di esposizione e stabilita in base

alle condizioni chimiche e fisiche alle quali la struttura e esposta.

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Nel caso in esame, i requisiti di durabilita sono legati alla protezione dallattacco

corrosivo della armature metalliche in seguito alla carbonatazione del calcestruzzo, che

inducono alla necessita di utilizzare un calcestruzzo di buona qualita. Lambiente in cui

si trova la struttura e caratterizzato da umidita moderata; inoltre, il calcestruzzo espos-

to allesterno e protetto dalla pioggia. Secondo il Prospetto 4.1 dellEC-2, in conformita

alla EN 206-1, la classe di esposizione che si adatta al caso in esame e la XC3. In rifer-

imento al prospetto E.1N (Appendice E dellEC-2), che fornisce unindicazione sulle

classi di resistenza da impiegare in funzione delle classi di esposizione, si sceglie di imp-

iegare per la realizzazione della struttura un calcestruzzo di classe C30/37. Una classedi resistenza cos elevata, che non sarebbe giustificata dalle esigenze di resistenza, riesce

a garantire, insieme ad altri specifici provvedimenti (riguardanti i dettagli costruttivi,

lesecuzione, il controllo di qualita ed i copriferri), il requisito della durabilita nel tempo

di vita della struttura.

Le principali caratteristiche meccaniche del calcestruzzo da impegare nella pro-

gettazione sono legate alla resistenza caratteristica a compressione nel Prospetto 3.1

dellEC-2. Le caratteristiche meccaniche relative al calcestruzzo C30/37 sono di segui-

to riportate: ,=37MPa, =30MPa, resistenza media a compressione a 28 giorni

di =38MPa, resistenza media a trazione assiale di =2.9MPa, resistenza carat-

teristica a trazione assiale (frattile 5%) di ,0.05=2,0MPa, resistenza caratteristica

a trazione assiale (frattile 95%) di ctm,0.95=3,8MPa, modulo di elasticita secante di

cm=33GPa, deformazione alla tensione di picco pari a 2 =0.2%, deformazione ulti-

ma (o di rottura) di 2 =0.35%. Le resistenze di progetto a compressione e trazione

vengono definite secondo il punto 3.1.6 dellEC-2, ottenendo

=

(2.1)

= ,0.05

(2.2)

dove e un coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a

compressione e degli effetti sfavorevoli risultanti dal modo in cui il carico e applicato,

il cui valore si puo reperire nellappendice nazionale ed e pari a 0,85. Il coefficiente

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tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a trazione e degli effetti

sfavorevoli risultanti dal modo in cui il carico e applicato, il cui valore si puo reperire

nellappendice nazionale ed e pari a 1. Il coefficiente e il coefficiente di sicurez-

za parziale per il calcestruzzo, il cui valore, anchesso viene reperito nellappendice

nazionale, ed e pari ad 1,5. Pertanto, le resistenze di progetto hanno i seguenti valori

= 17.0MPa e = 1.33MPa (2.3)

Al punto 3.1.7 dellEC-2 sono indicati i vari legami costitutivi (relazione sforzo-

deformazione) per il calcestruzzo che possono essere utilizzati per la progettazione,

come, ad esempio, il legame denominato parabola-rettangolo riportato nella Fig. 2.1.

Per semplificare i calcoli (punto 3.1.7.3 dellEC-2), e consentito adottare una dis-

trubuzione rettangolare di tensioni su di una altezza compressa ridotta come mostra-

to in Fig. 2.2 in cui il coefficiente , che definisce laltezza efficace della zona di

compressione e il coefficiente , che definisce la resistenza effettiva, si deducono da:

= 0, 8 per 50MPa

= 0, 8 ( 50)/400 per 50 > 90MPa (2.4)

= 1, 0 per 50MPa

= 0, 8 ( 50)/200 per 50 > 90MPa (2.5)

Inoltre, se la larghezza della zona di compressione decresce nella direzione della fibra

piu compressa, si raccomanda di ridurre del 10% il valore .

2.2 Acciaio

Nel cemento armato normale e precompresso si utilizzano, per le armature, solita-

mente, barre nervate di acciaio fornite in fasci di verghe dritte di lunghezza di 12m.

Le proprieta delle barre di armatura ordinaria necessarie per lutilizzo con lEC-2 sono

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Figura 2.1: Legame costitutivo parabola-rettangolo del calcestruzzo.

Figura 2.2: Legame costitutivo parabola-rettangolo del calcestruzzo.

fornite nellappendice C, in accordo con la EN 10080. Le regole applicative per la pro-

gettazione e i dettagli costruttivi dellEC-2 sono valide per acciai con tensioni di sner-

vamento = da 400 MPa a 600 MPa e con superficie nervata in modo da assicurare

adeguata aderenza al calcestruzzo.

Si e scelto di utilizzare barre di armatura ad aderenza miglorata del tipo B450C. In

Figura 2.3 sono mostrate alcune barre ad aderenza migliorata.

Le principali caratteristiche dellacciaio utilizzato vengono di seguito elencate:

=450MPa (tensione di snervamento caratteristica);

=391,3MPa (tensione di snervamento di progetto);

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Figura 2.3: Tipiche barre di armatura ad aderenza migliorata.

=0.1957% (deformazione di progetto al limite elastico);

=1% (limite ultimo di deformazione dellacciaio);

=200GPa (modulo elastico dellacciaio, punto 3.2.7-(4) dellEC-2)

La tensione di snervamento di progetto viene cos calcolata

=

(2.6)

essendo il coefficiente di sicurezza parziale per lacciaio, reperito nellappendice

nazionale, pari ad 1,15.

Al punto 3.2.7 dellEC-2 vengono indicate le possibili relazioni sforzi deformazioni

per lacciaio da utilizzare in sede di progetto; viene scelto il legame elastico-perfettamente

plastico, con deformazione massima dellacciaio pari all1%, come schematizzato nellaFig. 2.4.

La deformazione di progetto, , che identifica il passaggio dal comportamento

elastico lineare a quello perfettamente plastico viene calcolata come:

=

(2.7)

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Calcolo

Idealizzato

Figura 2.4: Legame costitutivo dellacciaio elastico-perfettamente plastico.

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Capitolo 3

3.1 Schematizzazione della struttura

Al fine di trovare le azioni interne della struttura, necessarie per la successiva pro-

gettazione dei vari elementi strutturali, e necessario ricondursi ad un efficace schema

statico ed effettuare una corretta analisi dei carichi. La struttura in esame e costituita

da un complesso tridimensionale intelaiato. Si potrebbe pensare di effettuare unanal-

isi tridimensionale complessiva: essa pero porterebbe ad un grande onere di calcolo a

causa dellelevato numero di gradi di liberta della struttura. Inoltre, per valutare effet-

tivamente in modo corretto le sollecitazioni si dovrebbe tenere conto anche delle varie

fasi esecutive della costruzione, in cui la struttura assume configurazioni diverse. Per

questo, si puo pensare di utilizzare schemi statici semplificati che forniscono ugualmente

soluzioni sufficientemente sicure.

Una prima ipotesi porterebbe, considerata lorditura dei solai, a considerare la strut-

tura portante composta da un telaio costituito da travi longitudinali incastrate ai pi-

lastri. Si otterrebbe quindi un telaio a due piani, formato da un insieme di 10 travi e

12 pilasti; ipotizzando di voler risolvere la struttura mediante il metodo degli sposta-

menti e trascurando il contributo di taglio e azione assiale, si avrebbe un sistema di 14

equazioni in 14 incognite.

Una seconda ipotesi, utilizzata in questo esempio, consiste nel considerare i vari

elementi strutturali portanti distintamente gli uni dagli altri, imponendo, per questo,

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diverse condizioni di vincolo. Pertanto, lo schema di calcolo utilizzato in questo lavoro

consiste nello studiare indipendentemente (soltanto per quanto riguarda i vincoli) i

travetti del solaio, le travi, i pilastri e le fondazioni.

3.2 Predimensionamento

I carichi agenti sulla struttura dipendono, in parte, dalle dimensioni della strut-

tura stessa, che, a loro volta, dipendono dai carchi. Pertanto, la progettazione degli

elementi strutturali e un processo iterativo che necessita di un punto di partenza che

consiste nel predimensionare gli elementi strutturali. Nel caso in studio, gli elementi

da predimensionare sono il solaio e le travi di piano.

Solaio

La regola empirica vuole che lo spessore del solaio, , non risulti maggiore di 1/25

della luce massima. Seguendo, invece, le indicazioni dellEC-2 (punto 4.4.3), per man-

tenere limitate le inflessioni in esercizio, nel caso di schemi di solaio a piu campate, il

rapporto luce/altezza utile e non superiore a 23 per calcestruzzo molto sollecitato o 32

per calcestruzzo poco sollecitato. Utilizzando queste indicazioni e possibile effettuare

il dimensionamento imponendo:

25(3.1)

Anche lo sbalzo, secondo lEC-2 (punto 4.4.3), per evitare la sua eccessiva deformabilita,

deve avere un rapporto luce/altezza utile dello sbalzo non superiore a 7 per calcestruzzo

molto sollecitato o 10 per calcestruzzo poco sollecitato.

La luce massima per il solaio delledificio in esame e di 5.80 m; con riferimento alla

Eq. 3.1 laltezza del solaio deve essere di almeno 23.2cm. La luce massima degli sbalzi

e 1.65 m; in base alle indicazioni dellEC-2 (punto 4.4.3) laltezza utile dello sbalzo deve

essere di almeno 16.5cm (o 23.6cm nel caso di elevate sollecitazioni). Si e quindi deciso

di assegnare allo sia allo sbalzo che al solaio uno spessore costante di 24 cm.

Travi

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Figura 3.1: Sezione del solaio con evidenza della parte strutturale.

Si decide di utilizzare travi emergenti, cioe travi di altezza maggiore dello spessore

del solaio. La larghezza usuale delle travi emergenti e compresa tra 15 e 40 cm. Si decide

di adottare travi emergenti di larghezza pari a 30 cm, che corrisponde alla larghezza

dei quasi tutti i pilastri. Mentre, laltezza viene calcolata pari a 1/(1012) la luce

massima, che corrisponde a 45cm (525/12=43.8cm).

3.3 Analisi dei carichi

Le azioni agenti sulla struttura oggetto di progettazione sono dovute principal-

mente ai carichi permanenti, cioe quelli non rimovibili durante il normale esercizio

della costruzione e costituiti dai pesi propri dei vari elementi che la compongono, ed ai

sovraccarichi variabili, cioe quelli che variano durante la vita della costruzione come,

ad esempio, i carichi di esercizio, lazione del vento, il carico da neve, lazione sismica,

le azioni dovute alle variazioni termiche ambientali, etc. Per la determinazione delleazioni sulla struttura si seguono le NTC del 14 gennaio 2008.

Gran parte dei carichi permanenti agenti sulla struttura sono dovuti al peso proprio

del solaio, la cui sezione e rappresentata in Fig. 3.1 (quote in mm).

Considerando per ogni strato, il suo spessore moltiplicato per il suo peso specifico,

si ottiene il peso per unita di superficie. Peso proprio della parte strutturale di una

29


30/122

porzione unitaria di solaio:

Peso specifico [kN/m3] Spessore [mm] Peso proprio [kN/m2]

Soletta 25 40 1.00

Travetti 25 200 1.00

Pignatte 20 200 0.8

Totale - - 2.8

Carichi permanenti del solaio di abitazione:


Massetto 14 70 0.98

Pavimento 27 100 0.27

Intonaco 15 20 0.3

Tramezzi - - 1.2

Il carico dei divisori interni viene considerato come un carico permanente portato

uniformemente distribuito, poiche i solai sono in grado di assicurare una adeguata

ripartizione di tale carico. Essendo il peso proprio per unita di lunghezza delle partizioni

interne pari a 2,5kN/m il carico permanente uniformemente distribuito risulta pari a

1,20kN/m.

Carichi permanenti del solaio di copertura:


Massetto 14 70 0.98

Pavimento 27 100 0.27

Intonaco 15 20 0.3

Coibentazione - - 0.1

Seguendo le indicazioni delle NTC del 14 gennaio 2008 (par. 2.6.1), i carichi

permanenti vengono distinti in:

carichi permanenti, che rappresentano i carichi dovuti ai pesi propri degli elementi

strutturali;

30


31/122

carichi permanenti non strutturali, che rappresentano i carichi dovuti ai pesi

propri degli elementi portati (non strutturali).

Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali siano compiutamente definiti,

essi possono essere considerati come carichi permanenti. Nel seguito si terra conto di

questa distinzione.

Essendo la struttura in esame destinata a civile abitazione, quindi non suscettibile

ad affollamento, si puo assumere, secondo le NTC del 14 gennaio 2008 che i sovraccarichi

variabili agenti sul piano di abitazione (primo piano) siano pari a 2.00 kN/m2 per i locali

di abitazione e relativi servizi e a 4.00 kN/m2 per i balconi, ballatoi e scale comuni.

Per quanto riguarda, invece, i sovraccarichi variabili gravanti sul solaio di copertura, si

deve in aggiunta considerare leventuale presenza del carico da neve, pari a:

= = 1.2kN/m2 (3.2)

dove il coefficiente e il coefficiente di forma della copertura e e il valore di rifer-

imento del carico neve al suolo relativo il sito della costruzione. Essendo la copertura

dellabitazione praticabile, ne deriva un sovraccarico pari a 0.5kN/m2; questo pero,

come da disposizioni normative, non deve essere cumulato con il sovraccarico dovuto

alla neve. Viene scelto quindi il maggiore tra i due.

Riassumendo, i carichi gravanti sul solaio sono i seguenti:

4.35 kN/m2 carico permanente piano di abitazione;

1.20 kN/m2 carico permanente non strutturale piano di abitazione;

4.45 kN/m2 carico permanente copertura;

0.0 kN/m2 carico permanente non strutturale copertura;

2.0 kN/m2 carico variabile abitazione;

1.2 kN/m2 carico variabile copertura.

31


32/122

Figura 3.2: Sezione di una tipica muratura esterna di chiusura.

Figura 3.3: Sezione di un muretto di parapetto.

La sezione del muro di tamponamento esterno e riportata nella Fig. 3.2 ed il suo

peso per unita di lunghezza e dato da

Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m]

Muratura 11.3 0.35 3.16 12.5

Intonaco interno 15 0.02 3.16 0.95

Intonaco esterno 19 0.03 3.16 1.81

Totale - - - 15.26

La sezione del muretto parapetto e riportata in Fig. 3.3 ed il proprio peso e

32


33/122

Figura 3.4: Sezione tipo della trave di solaio.

Figura 3.5: Sezione tipo del pilastro.

Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m]

Muratura 11 0.12 1.1 1.45

Intonaco interno 15 0.02 1.1 0.33

Intonaco esterno 19 0.03 1.1 0.63

Totale - - - 2.4

La sezione delle travi, tutte di uguali dimensioni, e riportata in Fig. 3.4 il cui peso

per unita di lunghezza e di 3.375kN/m (25 0, 3 0, 45).

La sezione dei pilastri e riportata in Fig. 3.5; le dimensioni variano a seconda

della posizione del pilastro in pianta ed in elevazione, il peso dei pilastri per unit a di

33


34/122

lunghezza e riporatato nella seguente tabella

Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m2]

Sezione 25x25 25 0.25 0.25 1.563

Sezione 25x30 25 0.25 0.25 1.875

Sezione 30x30 25 0.30 0.30 2.25

Sezione 30x35 25 0.30 0.35 2.625

34


35/122

Capitolo 4

Solaio

Le tipologie di solaio comumemente previste sono tre:

solai in getto pieno;

solai misti in c.a. e c.a.p. con elementi di alleggerimento;

solai con elementi prefabbricati in c.a. e c.a.p.

Alla prima categoria appartengono le solette piene e solette nervate. Mentre le

prime vengono solitamente impiegate per realizzare piccole porzioni di un impalcato

quali balconcini, pianerottoli ecc. ed hanno un funzionamento a piastra (elemento

bi-dimensionale), le seconde sono utilizzate solo per particolari esigenze architettoniche.

Alla seconda categoria appartengono i solai latero-cementizi gettati in opera che, in

passato, hanno rappresentato lunico tipo di solaio misto in laterizio e cemento armato,

mentre, attualmente, a causa dellonerosita della loro messa in opera, vengono utilizza-

ti soltanto in situazione particolari come, ad esempio, quando la pianta del fabbricato

presenta irregolarita tali da impedire limpiego di elementi prefabbricati. Attualmente,

per ridurre lonere di realizzazione sono utilizzati i solai con travetti prefabbricati in

cemento armato (Fig.4.1) o cemento armato precompresso (Fig.4.2). Questi travetti

hanno capacita portanti piu o meno elevate e sono in grado, quindi, di sostenere da

soli il peso dei laterizi e del getto di completamento in calcestruzzo, aiutati solo da

35


36/122

Figura 4.1: Solaio con travetti prefabbricati a traliccio.

Figura 4.2: Solaio con travetti prefabbricati precompressi.

elementi rompitratta situati ad intervalli regolari. I travetti a traliccio sono quelli piu

in uso e sono composti da una piccola struttura reticolare spaziale con discrete ca-

pacita autoportanti (Fig.4.1). Oltre a unarmatura di base, gia inserita nellelemento,

possono essere annegati nella suola ulteriori ferri a seconda delle esigenze statiche del

solaio. Mentre, larmatura destinata ad assorbire i momenti flettenti negativi deve

essere posizionata in opera prima del getto finale. Con i travetti a traliccio gli ele-

menti rompitratta devono essere posti a una distanza di circa 2.5m. I travetti in c.a.p.

(Fig.4.2) sono una valida alternativa ai travetti a traliccio soprattutto in presenza di lu-

ci o carichi elevati o quando e difficoltosa la realizzazione di una puntellazione adeguata

e necessitano di travetti rompitratta posti ad una distanza di circa 2m. Le dimensioni

e larmatura di precompressione variano a seconda del campo di utilizzazione, mentre,

36


37/122

larmatura destinata ad assorbire i momenti flettenti negativi, anche in questo caso,

deve essere posizionata in opera prima del getto di completamento finale.

Infine, alla terza categoria appartengono i solai realizzati con elementi prefabbricati

generalmente in c.a.p. come, ad esempio, i solaio alveolari. Inoltre, sono anche uti-

lizzati solai realizzati con lastre prefabbricate, dette anche predalles, e solai a pannelli

prefabbricati.

Pertanto, un solaio e comunemente composto da unalternanza di travetti in cemen-

to armato (precompresso o non) con elementi di alleggerimento in laterizio o polistirolo

e da una soletta di collegamento in cemento armato che copre tutta la superficie sol-

idarizzando i vari elementi tra loro. La presenza della soletta fa s che il solaio sia

assimilabile ad una piastra (elemento strutturale bidimensionale), soggetto ad uno sta-

to tensionale piano e caricato in direzione perpendicolare al piano stesso. Pero, la

piastra presenta una forte anisotropia dovuta al procedimento costruttivo per il quale

si hanno sezioni diverse al variare della direzione (ex. quantitativi diversi di armatura,

geometria diversa ecc.), e quindi, il carico si diffonde privilegiando la direzione di mag-

giore rigidezza. Il solaio ha una composizione eterogenea (cemento armato e laterizio)ed una geometria tale da rendere la rigidezza nella direzione parallela alla tessitura dei

travetti di gran lunga superiore a quella nella direzione perpendicolare. Questa notevole

differenza consente di trascurare, nel calcolo, le sollecitazioni che si sviluppano perpen-

dicolarmente alla direzione dei travetti e di approssimare il comportamento del solaio a

quello di una trave (elemento monodimensionale). Grazie a questassunzione, un solaio

di una o piu campate puo essere staticamente modellato come una trave continua su

appoggi fissi. Tuttavia, e necessario fare alcune precisazioni sulla scelta dei vincoli.

Infatti, gli appoggi del solaio, nella realta, sono costituiti dalle travi in cemento armato

che lo portano e che sono dotate di una certa rigidezza flessionale. Quindi, il vincolo

dato dalla trave assomiglia ad una molla estensionale piu che ad un appoggio fisso.

Tuttavia, questa semplificazione del modello strutturale e tale da rendere trascurabile

lerrore commesso. Inoltre, i vincoli alle estremita del solaio sono esercitati delle travi

di bordo che possiedono una propria rigidezza torsionale che impedisce, in parte, la

37


38/122

rotazione del solaio con conseguente sviluppo di un momento flettente negativo nel so-

laio. Pertanto, il vincolo esistente tra trave e solaio corrisponderebbe ad un semincastro

i cui effetti dipendono dalla rigidezza torsionale della trave (minore nella mezzeria e

maggiore in corrispondenza del pilastro). Per questo motivo, nella progettazione di un

solaio bisogna considerare diversi schemi di vincolo, come verra di seguito mostrato.

Nel presente progetto vengono utilizzati travetti prefabbricati a traliccio del tipo di

Fig. 4.1 e la tipologia di solaio la cui geometria e illustrata in Fig. 3.1. I travetti che

costituiscono lossatura portante del solaio possone essere staticamente modellati, per

quanto detto in precedenza, attraverso i tre diversi schemi strutturali riportati in Fig.4.3.

Schema 1

Schema 2

Schema 3

Figura 4.3: Schemi di calcolo.

Lo schema 1 di vincolo di Fig. 4.3, trave continua su piu oppoggi, approssima meglio

il comportamento dei travetti situati in prossimita della mezzeria delle travi e/o per

travi di estremita poco rigide. Invece, lo schema 2 di vincolo di Fig. 4.3, travi separate

ed incatrate alle estremita, approssima il comportamento dei travetti in prossimita dei

pilastri. Lo schema 3 di vincolo di Fig. 4.3, trave incernierate agli estremi con carichi

38


39/122

Figura 4.4: Pianta del solaio del primo piano.

39


40/122

dimezzati, si utilizza per cautelarsi da eventuali interruzioni della continuita causata

da variazioni termiche o da eventuali cedimenti dei vincoli. La risoluzione dei diversi

schemi di vincolo produrra una serie di diagrammi delle azioni interne, il cui inviluppo

ci consente di progettare e verificare il solaio. Per i travetti dei solai il momento

flettente rappresenta la sollecitazione piu gravosa, mentre, poiche i solai normali non

vengono armati a taglio salvo rispettare alcune prescrizioni costruttive, il taglio non

viene considerato.

Osservando la pianta strutturale del primo piano (di abitazione) in Fig. 4.4 e del

piano di copertura in Fig. 4.5, possiamo constatate come vi siano tre diverse tipologiedi solaio:

i travetti che si trovano fra le travi T 115-116 e T 117-118 sono continui con tre

appoggi e con due sbalzi laterali che costituiscono i balconi esterni; di seguito

indicato come travetto A.

I travetti posizionati fra le travi T 117-118 e T 119-120 sono, anche essi, continui

con tre appoggi, ma presentano un unico sbalzo incastrato nella campata piu

corta; di seguito indicato come travetto B.

I restanti travetti del primo piano e tutti quelli del piano di copertura sono con-

tinui con due campate e tre appoggi senza sbalzi laterali; di seguito indicato come

travetto C.

Nel seguito si presenta lanalisi della prima tipologia di travetto (travetto A) essendo

le altre tipologie (travetto B e C) un caso particolare della prima.

4.1 Determinazione delle azioni interne

Schema 1

Nel caso di schema 1 di vincolo (Fig. 4.3), per determinare le azioni interne si utilizza

il metodo delle forze con riferimento alla generica trave continua su due campate di

40


41/122

Figura 4.5: Pianta del solaio del piano di copertura.

41


42/122

L1 LA LB L2

q1 qA qB q2

1 2 3

Figura 4.6: Generica geometria e condizione di carico di un travetto di solaio su tre

appoggi e con due sbalzi laterali.

q1 qA qB q2

X XR2 R2R1 R1 R3 R3

Figura 4.7: Struttura di servizio del travetto di Fig. 4.6.

42


43/122

Fig. 4.6 la cui trave di servizio e illustrata in Fig. 4.7. Pertanto, la condizione di

congruenza sullappoggio centrale si scrive come:

11+ 10 = 0 (4.1)

Sostituendo nellEq. 4.1 i valori delle rotazioni dovute alliperstatica ed ai carichi esterni

si ottiene lequazione che consente di calcolare lincognita iperstatica :

3+

3

+

3

24

3

24+

121

12+

222

12

= 0 (4.2)

Nel caso in cui la sezione del travetto sia costante ( = = ) sia ha:

3

+3

+

3

24

3

24+

121

12+

222

12

= 0 (4.3)

Noto il valore dellincognita iperstatica e possibile calcolare le reazioni vincolari

(1, 2,

2, 3) e i valori dei momenti flettenti in mezzeria delle campate (, )

1 = 11 e 1 =

121

2

+

1

2 (4.4)

2 =

+

1

2 e

2 =

+

1

2 (4.5)

3 = 22 e 3 =

222

2

+

1

2 (4.6)

= 1

21

4

2+

2

8(4.7)

= 2

22

4

2+

2

8(4.8)

Al variare della posizione dei carichi accidentali si ottengono diversi diagrammi delle

azioni interne, in particolare, del momento flettente. In generale, si cerca il massimo

momento in campata ed il minimo sugli appoggi che conseguono dal carico disposto

sulla campata interssata ed in alternanza sulle altre e dal carico disposto sulle due

43


44/122

campate adiacenti lappoggio interessato, rispettivamente. Nel caso in considerazione

(Fig. 4.6) indichiamo i carichi uniformemente distribuiti su una striscia unitaria (fascia

di solaio di un metro) con i seguenti simboli: 1 carico permenente in camapata, 2

carico permenente non strutturale in camapata, 1 carico permenente sullo sbalzo, 2

carico permenente non strutturale sullo sbalzo, carico accidentale in camapata e

carico accidentale sullo sbalzo. Come mostrato nel Capitolo 3 i carichi e le luci delle

campate assumono, nel caso considerato, i seguenti valori:

1 = 4.35kN/m, 2 = 1.2kN/m, 1 = 4.35kN/m e 2 = 0.0kN/m

= 2.0kN/m e = 4.0kN/m (4.9)

1 = 1.65m, = 4.85m, = 5.85m e 2 = 1.65m (4.10)

Pertanto, i carichi della Fig. 4.6 assumeranno diversi valori a seconda della condizione di

carico considerata. Tali carichi devono essere amplificati attraverso i coefficienti parziali

di sicurezza, 1, 2 e , che sono applicati, rispettivamente, ai carichi permanenti,

carichi permanenti non strutturali ed accidentali ed assumono i valori di 1 = 1.3,

2 = 1.5 e = 1.5 nel caso sfavorevole oppure di 1 = 1.0, 2 = 0 e = 0 nel caso

favorevole. Questi valori portano a tre condizioni di carico dello schema 1 di vincolo

che sono rappresente in Fig. 4.8 e sono analizzate singolarmente nel seguito.

44


45/122

1 2 3

gg1 c1g + ggg2 c2

gq cq

A B

gg1 s1g + ggg2 s2

gq sq

1-a)

1 2 3A B

1-b)

1 2 3A B

1-c)

gq cq gq sq

gq cq

gg1 c1g + ggg2 c2

gg1 s1g + ggg2 s2

gg1 s1g + ggg2 s2 gg1 s1g + ggg2 s2

gg1 c1g + ggg2 c2gg1 s1g + ggg2 s2 gg1 s1g + ggg2 s2

Figura 4.8: Condizioni di carico dello schema 1.

45


46/122

1 2 3

A B

a)

1 2 3

A B

b)

1 2 3

A B

c)

M =15.91

kN/m X=M =28.692 kN/m M =7.73

kN/m

M =-0.357A

kN/m M =26.53B

kN/m

M =7.71 kN/m X=M =25.292 kN/m M =15.93 kN/m

M =14.25A

kN/m M =11.31B

kN/m

M =7.71

kN/mX=M =34.54

2kN/m

M =7.73

kN/m

M =9.62A

kN/m M =23.61B

kN/m

Figura 4.9: Diagrammi del momento flettente per le condizioni di carico dello schema

1.

Schema 1-a Questa condizione di carico (Fig. 4.8 1-a) consente di determinare il

massimo momento sollecitante nella campata B a cui corrispondono i seguenti valori

dei carichi

1 = 1 1 + 2 2 + , = 1 1 + 2 2,

= 1 1 + 2 2 + e 2 = 1 1 + 2 2 (4.11)

46


47/122

Sostituendo i valori dei carichi 4.11 nellequazione di congruenza 4.3, si ottine

=1(

3

+ 3

) ( (11 + 22)324

+(11 + 22 + )

3

24

(11 + 22 + )21

12

(11 + 22)22

12) (4.12)

e si ricava liperstatica = 26.3kN/m. Dalle Equazioni 4.7 e 4.8 si ottengono i momenti

nella mezzeria delle due campate: = 0.445kNm e = 27.73kNm. In Fig. 4.9a)

e riportato il diagramma del momento flettente per questa condizione di carico.

Schema 1-b Questa condizione di carico (Fig. 4.8 1-b) consente di determinare ilmassimo momento sollecitante nella campata A a cui corrispondono i seguenti valori

dei carichi

1 = 1 1 + 2 2, = 1 1 + 2 2 + ,

= 1 1 + 2 2 e 2 = 1 1 + 2 2 + (4.13)

Sostituendo i valori dei carichi 4.13 nellequazione di congruenza 4.3 si ottiene

=1(

3

+ 3

) ( (11 + 22 + )324

+(11 + 22)3

24

(11 + 22)21

12

(11 + 22 + )22

12) (4.14)

e si ricava lincognita iperstatica = 21.1kN/m ed i momenti nella mezzeria delle due

campate: = 16.35kNm e = 5.72kNm. In Fig. 4.9b) e riportato il diagramma

del momento flettente per questa condizione di carico.

Schema 1-c La condizione di carico in Fig. 4.8 1-c consente, invece, di determinareil massimo (minimo se consideriamo positivi i momenti flettenti che tendono le fibre in-

feriori) momento sollecitante in corrispondenza dellappoggio centrale (2) con i seguenti

valori dei carichi

1 = 1 1 + 2 2, = 1 1 + 2 2 + ,

= 1 1 + 2 2 + e 2 = 1 1 + 2 2 (4.15)

47


48/122

Sostituendo i valori dei carichi nellequazione di congruenza 4.3 si ottiene

= 1(

3+

3

) ((11 + 22 + )324

+ (11 + 22 + )3

24

(11 + 2 2)21

12

(11 + 2 2)22

12) (4.16)

e si ricava lincognita iperstatica = 34.54kN/m ed i momenti flettenti = 9.62kNm

e = 23.61kNm. In Fig. 4.9b) e riportato il diagramma del momento flettente per

questa condizione di carico.

Schema 2 Si considera il caso di campate separate, perfettamente incastrate agli

estremi e caricate come mostrato in Fig. 4.10a) insieme ai diagrammi del momento

flettente dincastro perfetto di Fig. 4.10b).

gg 1 c1g

gq cq

gg c11g

gq cq

1 2 3

A B

a)

M =20.51

kN/m M =20.52

kN/m M =29.823 kN/m

M =10.25A

kN/m M =14.91B

kN/m

b)

2

M =29.822

kN/m

gg2 c2g gg2 c2g

Figura 4.10: Condizioni di carico (a) e diagramma del momento flettente (b) per lo

schema 2.

Schema 3 Si considera, infine, il caso di travi incernierate agli estremi con carico

dimezzato come mostrato in Fig. 4.11a) insieme ai diagrammi del momento flettente

di Fig. 4.11b).

48


49/122

gg c11g /2

gq cq /2

gg1 c1g /2

gq cq /2

1 3A B

a)

M =15.37A

kN/m M =22.36B

kN/m

b)

2

gg2 c2g /2gg2 c2g /2

Figura 4.11: Condizioni di carico (a) e diagramma del momento flettente (b) per lo

schema 3.

Sovrapponendo i diagrammi dei momenti flettenti ricavati per i vari schemi di calcolo

si ottiene il diagramma inviluppo dei momenti, riportato in Fig. 4.12 che ci consente

di dimensionare e verificare i travetti del solaio. Il diagramma inviluppo deve pero

prima essere traslato lungo lasse longitudinale nel verso sfavorevole (che per una certa

sezione da luogo ad un aumento, in valore assoluto, del momento flettente) per tenere

in conto linterazione tra taglio e momento flettente. La distanza con cui traslare il

diagramma inviluppo del momento flettente vale = , dove e il braccio della coppia

interna con = 0.9, poiche si fa riferimento ad un travetto sprovvisto di armatura a

taglio.

49


50/122

INVILUPPO MOMENTI

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

LUNGHEZZA [m]

-M

[KNm]

Figura 4.12: Diagramma di inviluppo dei momenti flettenti.

4.2 Armatura longitudinale

Noto il diagramma inviluppo del momento flettente si procede alla progettazione

delle armature ed alla successiva verifica delle sezioni. Per determinare larmatura

del solaio e il suo posizionamento si utilizza la formula semplificata per le sezioni

rettangolari a semplice armatura:

=

0.9(4.17)

o inversa

= 0.9 (4.18)

dove e laltezza utile della sezione, e larea dellarmatura in zona tesa, ,e la ten-

sione di snervamento di progetto dellarmatura e il momento flettente sollecitante

della sezione, e il momento flettente resistente dellarmatura . Per il dimen-

50


51/122

INVILUPPO MOMENTI

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

LUNGHEZZA [m]

-M

[KNm]

5

-5

10

-10

-15

15

20

2 10 L=560 cmf

2 12 L=660 cmf

1 10 - L=435 cmf

1 12 L=920 cmf

160 cm

M(2 10)r f

M(2 12)r f

M (1 10+ )r f 1 12f

M(3 12)r f

M(1 12)r f

1 12 L=500 cmf

160 cm

1 12 L=340 cmf

2 12 L=450 cmf

215 cm 280 cm

280 cm

370 cm

860 cm

M(2 12)r f

Figura 4.13: Disposizione delle armature longitudinali del solaio con la verifica del

momento resistente.

51


52/122

sionamento e il posizionamento dellarmatura si puo procedere attraverso le seguenti

fasi:

1. si calcola larmatura con la formula approssimata 4.17 nelle sezioni di mezzeria

e sugli appoggi e, successivamente, il numero di barre necessarie (per eccesso).

2. Si disegna larmatura calcolata nel punto 1 in genere costituita da: (1) un sago-

mato ed un dritto in campata; (2) un moncone aggiuntivo sugli appoggi; (3) una

molla per gli sbalzi.

3. Si calcola con la formula 4.18 il momento resistente dellarmatura presente in

ogni sezione e si verifica che esso sia maggiore del momento flettente sollecitante.

Se, in alcune sezioni, tale verifica non dovesse essere soddisfatta si modifica il

posizionamento o la sagomatura o la lunghezza delle barra ipotizzata nella fase

2.

Nel caso considerato si determina larmatura , apprimando per eccesso il risultato

della formula 4.17, in mezzeria e sugli appoggi relativa ad una striscia di un metro (duetravetti) con d=22cm. I risultati sono riporati nella seguente tabella:

- [kNm] Amins [mm

2] n barre As [mm2] [kNm]

Appoggio 1 -10.25 132.3 10 + 12 191 14.85

Campata A 7.13 91.95 210 157 12.17

Appoggio 2 -17.3 223.3 312 339 26.29

Campata B 13.3 171.22 212 226 17.53

Appoggio 3 -14.91 192.5 212 226 17.53

Si dispone larmatura calcolata come indicato nel punto (2)e si calcola con la formula

4.18 il corrispondente momento resistente in ogni sezione e si verifica graficamente che

esso sia maggiore del momento flettente sollecitante come riportato nella Fig. 4.13. La

costruzione del grafico del momento resistente deve essere effettuata considerando le

opportune lunghezze di ancoraggio delle armature metalliche.

52


53/122

4.3 Verifiche di resistenza

Progettata larmatura longitudinale si procede alla verifica delle sezioni inflesse

maggiormente sollecitate (in mezzeria delle campate ed in corrispondenza degli appog-

gi). La verifica a flessione consente di avere una conferma della correttezza delle scelte

progettuali (altezza del solaio, fasce semipiene e piene, armatura dei travetti). Poiche

la sezione non e stata dimensionata con formule di progetto appropriate, e necessario

effettuare la verifica della sezione a flessione. La verifica a taglio e invece essenziale

per ottenere ulteriori indicazioni sullestensione delle fasce semipiene e piene. A rigorela sezione del travetto andrebbe considerata a T poiche parte del getto di completa-

mento viene a collaborare, in compressione, con il travetto nelle sezioni di campata. In

prossimita degli appoggi, dove si ha momento negativo, la parte di sezione compressa

e quella inferiore e, quindi, con larghezza pari a quella del travetto. In queste sezioni,

particolarmente sollecitate, la sezione compressa potrebbe essere sottodimensionata e

per questo si puo aumetare la larghezza della sezione del travetto in prossimita dellap-

poggio eliminando una fila di pignate, fascia piena, o eliminando una in modo alternato,

fascia semipiena. Nel caso in esame, si e deciso di far riferimento sempre ad un travetto

di sezione rettangolare costante (di dimensioni h=24cm, b=10cm, c=c=2cm) ed, in

prima battuta, non si considera linserimento di fasce semipiene o piene.

La verifica allo stato limite ultimo (S.L.U.) per sforzi normali si basa sulle seguenti

ipotesi: (1) le sezioni si conservano piane; (2) il calcestruzzo teso non fornisce contributo

alla resistenza; (3) perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo; (4) i legami costitutivi

adottati sono quelli presentati nel Capitolo 2. Per la verifica allo S.L.U. della sezione si

si fa ancora riferimento ad un singolo travetto. Le verifiche a flessione vengono effettuate

nelle sezioni maggiormente sollecitate sia da momento positivo sia da momento flettente

negativo. Il solaio e un elemento soggetto a flessione retta e la verifica va quindi

effettuata calcolando la percentuale di armatura meccanica per la sezione in esame

e, successivamente, confrontando tale valore con i valori di , , , che sono

le percentuali di armatura meccanica relative rispettivamente ai diagrammi b, c, c

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54/122

h d

c

c

o

b

y

z

AS

AS

trazione compressione

deformazioni

esu eyd ecu

e=0

2a

3

4

eyd

2b

b

c

d

c

b

Figura 4.14: Campi di rottura in flessione semplice.

Percentuale meccanica Campo di rottura

< 2a

< < 2b

< < 3

> 4

Tabella 4.1: Percentuale meccanica di armatura ed il corrispondente campo di rottura

di Fig. 4.14. In tal modo e possibile individuare il campo di comportamento in cui

si trova il diagramma delle deformazioni della sezione analizzata, secondo la seguente

Tabella 4.3.

In Fig. 4.14 e rappresentato il caso di una sezione rettangolare con doppia armatu-

ra sollecitata da momento flettente positivo con le possibili situazioni di rottura. In

particolare, si evidenziano tre diversi campi:

campo 2 caratterizzato dalla rottura convenzionale dellacciaio teso ( = )

mentre il calcestruzzo compresso non raggiunge il limite di rottura ( ).

Questo campo, per comodita, viene suddiviso nei due campi 2a e 2b, in cui,

54


55/122

rispettivamente, larmatura compressa risulta essere in fase elastica ( > )

oppure snervata ( ).

campo 3 caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo compresso ( = )) con

acciaio teso e compresso snervato ( > e <

).

campo 4 caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo compresso ( = )) con

acciaio teso in fase elastica ( < ) e acciaio compresso snervato ( <

).

Si fara sempre nel seguito la convenzione di considerare positivi per il calcestruzzo

gli accorciamenti e le compressioni, mentre, per lacciao gli allungamenti e le trazioni.Pertanto, solo lacciaio compresso presenta segni negativi. Le percentuali meccaniche

limite sono ottenute dallequilibrio alla traslazione della sezione semplicemente inflessa

(N=0) per la quale indichiamo con la distanza dellasse neutro dal lembo compresso

e con = / la posizione dellasse nuetro adimensionalizzata rispetto allaltezza utile

. Definiamo i rapporti meccanici di armatura e come

=

, =

(4.19)

Per i materiali utilizzati (calcestruzzo con Rck= 37 MPa ed acciaio FeB44k) i valori

delle deformazioni limite sono: 1 = 0.002, = 0.0035, = / = 0.001957 e

= 0.01.

Diagramma b La posizione dellasse neutro associata al diagramma limite b si

ottiene dalla seguente similitutide

=

(4.20)

con < 0 essendo di contrazione, che porta a

=

= (4.21)

da cui si ricava = 0.24 per / = 20/220.

Diagramma c La posizione dellasse neutro associata al diagramma limite c si

ottiene dalla equazione

=

(4.22)

55


56/122

dalla quale si ottene che

= + = (4.23)

da cui si ricava = 0.259.

Diagramma c La posizione dellasse neutro associata al diagramma limite c si

ricava dalla seguente similitutide

=

(4.24)

dalla quale si ottene che

= +

= (4.25)

da cui si ottiene = 0.641.

Nella Fig. 4.15 sono rappresentati per i tre diversi diagrammi limite b, c e c le

corrispondenti distribuzioni di tensioni normali sulla sezione con le risultati distanziate

di . Con riferimento alla Fig. 4.15 si pone lequilibrio alla traslazione come

0

= (4.26)

dove 0 rappresenta il coefficiente di riempimento, e la tensione nellacciaio compresso

e e la tensione nellacciaio in zona tesa. Dividendo lEq. 4.26 per si ottiene

lequazione di equilibrio alla traslazione in forma adimensionalizzata:

0

=

(4.27)

dalla quale risolvendo per si ottiene il valore della percentuale meccanica limite, ,

corrispondente alla posizione dellasse neutro

=0

/

/(4.28)

Sostituendo nellEq. 4.27 i valori prima determinati ed assumendo =0 (sezione

semplicemente armata) e 0=0.8 (stress block come legame costitutivo del calcestruz-

zo), si ottengono le percentuali meccaniche di armatura limite riportate nella seguente

Tabella 4.3.

56


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d

c

c

o

b

y

z

AS

es=esu eyd

ec


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diagramma limite Posizione asse neutro percentuali meccaniche limite

c =0.259 = 0.207

c =0.641 = 0.513

Tabella 4.2: Percentuali meccaniche di armatura limite

Noto il campo di deformazione si impone lequilibrio alla traslazione per determinare

la posizione dellasse neutro = /0 e, succesivamente, si calcola il valore del braccio

della coppia interna = (1 0.4/0). Quindi, si calcola il momento resistente

= che va quindi confrontato con il momento sollecitante . La sezionee verificata se risulta . Nella Tabella 4.3 sono riportate le verifiche nelle

sezioni critiche, cioe quelle maggiormente sollecitate, per le quali sono stati determinati

il campo di rottura, la posizione dellasse neutro , il braccio della coppia interna , il

momento resistente di progetto ed il rapporto tra momento resistente e momento

sollecitante /.

Sezione Campo di rottura [mm] [mm]

[kN]

/

Appoggio 1 = 0.2 < 2 55.14 197.95 -14.84 1.45

Campata A = 0.164 < 2 45.2 201.92 12.41 1.71

Appoggio 2 < = 0.355 < 3 97.62 180.95 -24.02 1.39

Campata B < = 0.237 < 3 65.08 193.97 17.17 1.32

Appoggio 3 < = 0.237 < 3 65.08 193.97 -17.17 1.15

Tabella 4.3: Verifiche nelle sezioni critiche.

La verifica a taglio e essenziale per ottenere ulteriori indicazioni sullestensione delle

fasce semipiene e/o piene. Essa viene effettuata nelle sezioni critiche, cioe nelle sezioni

di passaggio fra la fascia semipiena e quella alleggerita. Poiche il solaio e sprovvisto

di armature trasversali, la verifica al taglio riguarda soltanto il calcestruzzo, per il

quale deve risultare che ,, essendo , la resistenza a taglio di progetto

dellelemento privo di armatura a taglio. Il valore di progetto della resistenza a taglio

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, e dato da (EC-2 6.2.2(1)):

, =[

, (100 )1/3 + 1

] (4.29)

in ogni caso non minore di

, = ( + 1 ) (4.30)

dove e in MPa, , = 0.18/, = 1 +

200/ 2 con in mm, = /()

con =area longitudinale dellarmatura tesa, =larghezza minima della sezione in

zona tesa calcolata in mm, 1 = 0.15, = 0.00353/2)1/2, = / < 0.2

in MPa, con =forza assiale in N ( > 0 se di compressione).

Nel caso in esame, considerando un singolo travetto che si estende sino allappoggio,

quindi senza linserimento di fasce piene o semipiene, abbiamo: =100mm, =220mm,

=armatura in zona tesa sufficientemente ancorata rispetto alla sezione considerarta

(per non meno di + ), =0.00714, =1.953, , =0.12. Da cui si ottene che il

taglio resistente riporato nella Tabella 4.3 e confrontato con il taglio sollecitante .

Sezione ,[kN] [kN]

Appoggio 1 210 14.32 10.96

Appoggio 2 312 18.51 18.27

Appoggio 3 212 14.32 12.62

Tabella 4.4: Verifica al taglio

La verifica e soddisfatta e non e richiesto linserimento di fascie piene e/o semipiene

cos come si e anche ottenuto nella verifica in flessione semplice, si decide, pertanto, diinserire, per ragioni costruttive, una fascia piena di 5cm tra trave e pignate.

59


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60


61/122

Capitolo 5

Travi

Analisi dei carichi

Per determinare i carichi che gravano sulle travi bisogna considerare:

il carico che il solaio trasmette alla trave;

il peso proprio della trave

i carichi direttamente applicati alla trave (come, ad esempio, la muratura di

chiusura esterna).

Nello schema di trave continua utilizzato per il calcolo del solaio la reazione di ogni

appoggio costituisce il carico trasmesso dal solaio al trave posizionata in corrispondenza

dellappoggio stesso. In assenza di continuita del solaio ogni campata trasmetterebbe

un carico corrispondente a meta campata. Per tenere conto della continuita tra le

campate di solaio, questo carico viene incrementato attraverso un coefficiente , detto

coefficiente di continuita. Gli sbalzi non necessitano del coefficiente di continuita in

quanto il carico viene direttamente calcolato imponendo lequilibrio. In realta, il valore

del carico potrebbe essere calcolato con precisione a partire dai risultati della risoluzione

dello schema di trave continua del solaio, prendendo in considerazione tutte le condizioni

di carico analizzate per il solaio. In pratica, risulta essere molto pi u semplice utilizzare

valori approssimati stimati in base allandamento del diagramma dei momenti flettenti

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Trave Larghezza Perm. [kN/m] Perm. non Accid.[kN/m]

dinfluenza[m] strutt. [kN/m]

T1 1.0 4.85/2=2.425 10.55+15.26+3.375 2.91 4.85

T2 1.25 5.85/2+4.85/2=5.35 29.1+3.375 8.03 13.38

T3 1.0 5.85/2=2.925 12.73+15.26+3.375 3.51 4.85

T4 1.0 4.85/2=2.425 10.80+3.375 0 2.91

T5 1.25 5.85/2+4.85/2=5.35 29.76+3.375 0 8.03

T6 1.0 5.85/2=2.925 13.02+3.375 0 3.51

Tabella 5.1: Carichi uniformemente distrubuiti per le travi di solaio

del solaio. Si decide di utilizzare un valore di pari alla media dei due valori relativi alle

due campate considerate separatamente (adottando un valore minimo pari a 1 quando

il momento massimo sullappoggio in esame e allincirca uguale al momento allaltro

estremo della campata; un valore massimo pari a 1.25 quando nellaltro estremo il

momento e nullo). Nei calcoli, dellesempio in esame, si e usato il valore di =1.25,

generalmente a favore di sicurezza, per lappoggio di continuita.

Per il calcolo delle sollecitazioni nelle travi portanti del primo piano (T1 tra i pilastri

P101 e P106, T2 tra i pilastri P107 e P112, T3 tra i pilastri P113 e P118) e del piano

copertura (T4 tra i pilastri P201 e P206, T5 tra i pilastri P207 e P212, T6 tra i pilastri

P213 e P218) bisogna, innanzitutto, determinare la larghezza dinfluenza di ogni singola

trave che viene determinata suddividendo in corrispondenza della mezzeria le campate

del solaio che si appoggia su di essa.

Il peso proprio della trave e stato stimato considerando la sezione della trave pred-

imensionata nel Capitolo 3 pari a 3.375kN/m. La validita di queste sezioni verra

controllata immediatamente dopo aver calcolato il carico agente sulle campate.

Nellanalisi dei carichi (Capitolo 3) si sono valutati i carichi variabili separatamente

da quelli permanenti, in modo da poterli poi combinare nel modo piu gravoso per la

trave e sono riportati nella Tabella 5.

62


63/122

d

c

o

b

y

z

AS

n nx

ss sd=f

0.8x

fcd

es

ec=e

cu

T

C

z

0.4x

Figura 5.1: Sezione rettangolare a rottura.

Per la trave T1 nella campata tra i pilastri P101-P102 e nella prima met a della

campata tra i pilastri P102-P103, cos per la trave T3 nella campata tra i pilastri P113-

P114 i carichi devono essere incrementati per considerare anche gli sbalzi del solaio che

producono i seguenti carichi: carico permanente di 4.35 1.65 + 2.4 =9.58kN/m ed

un carico accidicentale di 4.0 1.65 =6.6kN/m. Nel seguito, per ragioni di sintesi,

si presenta la progettazione e verifica della sola trave centrale, di spina, denominata,

in precedenza, T2 compresa tra i pilastri P107 e P112. Tale procedura puo essere

facilmente applicata per progettare e verificare le altre travi.

Controllo sezione trave

Verificato che le dimensioni adottate per la sezione della trave siano sufficienti. Per

una trave su piu di tre appoggi il massimo momento negativo in corrispondenza degli

appoggio puo essere stimato pari a

=2

10=

(1.3 32.47 + 1.5 8.03 + 1.5 13.38) 5.252

10= 204.86kNm (5.1)

Per controllare la correttezza delle dimensioni assunte, si fa riferimento alla seguente

situazione. Si consideri una sezione semplicemente armata sollecita in flessione semplice

con rottura lato calcestruzzo come mostrato in Fig. 5.1. La posizione dellasse neutro

63


64/122

vale

=

=

+ = (5.2)

dove, nel caso di rottura duttile con acciaio teso snervato, il valore di risulta com-

preso tra 0.259 e 0.641 (per acciaio B450C), come ricavato nel Capitolo 4. Si assume,

pertanto, un valore di compreso in questo intervallo e pari a = 0.3. Dallequilibrio

alla rotazione (vedere Fig. 5.1), si ottiene

= 0.8( 0.4) (5.3)

Sostituendo nellEq. 5.3 il valore di = 0.3 si ricava la seguente espressione

= 0.212 (5.4)

Questa relazione puo essere utilizzata per ricavare una tra le seguenti grandezze: il

momento resistente della sezione per rottura lato calcestruzzo , laltezza utile della

sezione oppure la larghezza della sezione. Ricavando dallEq. 5.4 laltezza utile si

ottiene

= 1

0.21

=

(5.5)

dove e un coefficiente che dipende dal tipo di calcestruzzo utilizzato secondo quanto

riportato nella Tabella 5.

[MPa] 20 25 30 35 40

[mm/N1/2] 0.648 0.58 0.529 0.49 0.458

Tabella 5.2: Valori del coefficiente

DallEq. 5.4 e possibile ricavare il momento resistente oppure la larghezza della

sezione:

=2

2e =

2

2(5.6)

Utilizzando nellesempio considerato un calcestruzzo con =30MPa, si ha un valore

di = 0.529. DallEq. 5.5 si ottiene unaltezza utile = 43.7cm, alla quale va aggiunto

64


65/122

il copriferro c = 4 cm. Pertanto si ritiene accettabile la sezione 30x45 che e stata

inizialmente considerata anche se leggermente sottodimensionata secondo questi calcoli

preliminari.

Dallequilibrio alla rotazione rispetto al baricentro delle compressioni, vedere Fig.

5.1, per = 0.3 , si ottiene

= ( 0.4) = 0.88 (5.7)

Per semplicita ed unifomita con le tensioni ammissibili si utilizza la seguente espressione

per il dimensionamento delle armature

=

0.9(5.8)

La sollecitazione di taglio massima puo essere stimata per eccesso attraverso la

seguente formula

=2/2 + 2/10

= 235.8kN (5.9)

Il taglio resistente associato alla crisi del puntone compresso di parete nel traliccio

di Morsch (punto 6.2.3 (3), espressione 6.9 dellEC-2) vale

, =1 +

(5.10)

dove rappresenta linclinazione dei puntoni compressi di calcestruzzo, e un coeffi-

ciente che tiene conto dellinterazione tra la tensione nel corrente compresso e qualsiasi

tensione di compressione assiale ( = 1 per strutture non precompresse), = 0.9

e il braccio della coppia interna, e la larghezza minina della sezione, 1 e un coeffi-

ciente di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato calcolato con la seguente

espressione

1 = 0.6

1

250

(5.11)

in cui e in MPa.

Secondo il modello a inclinazione variabile del traliccio di Morsch, al diminuire del-

langolo vengono caricati maggiormente i puntoni compressi di parete che modellano

65


66/122

Schema 1: trave continua

Schema 2: travi incastrate alle estremita

Schema 3: campate appoggiate con carico dimezzato

Sezione trave

Figura 5.2: Schemi statici della trave.

il comportamento del calcestruzzo e scaricati i tiranti di parete in acciaio che rap-

presentano larmatura trasversale. LEC-2 nel punto 6.2.3(2) consente di adottare un

qualsiasi valore di cotg compreso tra 1 e 2.5. Il taglio resistente , conviene

inizialmente calcolarlo utilizzando il massimo valore consentito dalla normativa per

langolo (cotg=2.5), che fornisce la minima resistenza ,. Pertanto, nel caso in

esame con = 0.526, = 30cm, = 16.31MPa, cotg=2.5, = 37.8cm si ha

, = 335.8kN (5.12)

Questo valore risulta ben maggiore del taglio sollecitante stimato con lEq. 5.9.

66


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5.1 Determinazione delle azioni interne

Come visto nel caso del solaio nel Capitolo 4, anche nel caso delle travi di solaio, lo

schema di funzionamento statico reale dipende dalla rigidezza dei vincoli. Per questo

motivo si considerano diversi schemi di vincolo, riporati in Fig. 5.2, che considerano le

diverse situazioni estreme di vincolo che la trave potrebbe avere:

schema 1 di trave continua approssima bene il comportamento della trave nel

caso di pilastri deformabili;

schema 2 di campate incastrate approssima bene il comportamento della trave in

presenza di pilastri molto rigidi;

schema 3 di campate separate ed appoggiate con carichi dimezzati considera il caso

in cui la trave perdesse la continuita a causa di fessurazione, variazioni termiche

o plasticizzazione in corrispondenza degli appoggi.

Schema 1 trave continua

La trave T2 in esame e stata, dapprima, schematizzata come trave continua. Per

determinare le azioni interne si utilizza il metodo delle forze con riferimento alla generica

trave continua su sei appoggi di Fig. 5.3 la cui trave di servizio e illustrata in Fig. 5.3.

Pertanto, le equazioni di congruenza sugli appoggi ci permettono di scrivere il seguentesistema risolvente:

+ + + + 0 = 0

+ + + + 0 = 0

+ + + + 0 = 0

+ + + + 0 = 0

(5.13)

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L1 L2 L3 L4

q1 q2 q3 q4

XB XB

RC RC

A B C

RB RB RD RD

q5

L5

D E F

q1 q2 q3 q4 q5

XC XC XD XD XE XE

RFRE RERA

Figura 5.3: Generica trave continua su sei appoggi e la sua struttura di servizio.

68


69/122

Dove i coefficienti dinfluenza rappresentano i valori delle rotazioni relative dovute

a valori unitari delle iperstatiche ed ai carichi esterni e sono di seguito riportati:

=1

31+ 2

32; = =

262

; = = 0; = = 0;

0 = 131

24

23224

; =2

32+ 3

33; = =

363

; = = 0;

0 = 232

24

33324

; =3

33+ 4

34; = =

464

;

0 = 333

24

43424

; =4

34+ 5

35; 0 =

43424

535

24

(5.14)

Sostituendo nel sistema di Eq. 5.13 i valori dei coefficienti di influenza si ottengono

le quattro Eq. che consentono di calcolare le incognite iperstatiche , , e .Per il caso in studio, il problema puo essere semplificato sfruttando la simmetria della

trave (simmetria geometrica, i.e. 1 = 5 e 2 = 4, e simmetria dei carichi, i.e.

1 = 5 e 2 = 4) come illustrato in Fig. 5.4. In questo caso si hanno due equazioni di

congruenza (essendo = e =) ed il seguente sistema risolvente:

+ + 0 = 0

+ + 0 = 0

(5.15)

Dove i coefficienti dinfluenza hanno gli stessi valori riportati in precedenza con la sola

eccezione di che vale

=2

32+

323

La soluzione del sistema di Eq. 5.15 consente di determinare le incognite iperstatiche

come di seguito mostrato.

= 0+0

2

0

=0+0

2

(5.16)

Sostituendo nelle Eq. 5.16 i valori dei coefficienti di influenza e considerando il caso di

una trave di sezione costante (i.e. (1 = 2 = 3 = 4 = 5 = )), si ottine

=2(232+3

3

3)2(2+33/2)(131+232)

42216(2+33/2)(1+2)

=131+2

3

2

42

2(1+2)2

(5.17)

69


70/122

L1 L2 L /23

q1 q2 q3

XB XB

RC RC

A B C

RB RB

q1 q2 q3

XC XC

RA

q1q2q3

L1L2L /23

D E F

Figura 5.4: Trave continua su sei appoggi simmetrica e la sua struttura di servizio.

70


71/122

Noto il valore delle incognite iperstatiche e possibile calcolare le reazioni vincolari e

lazione di taglio alle estremita delle campate (, + , + , + , +

, ) e i valori dei momenti flettenti in mezzeria delle campate (1, 2, 3, 4, 5)

= =12

11 1

= =

12

11 +1

= =

12

22 +2

2

= =

12

22 2

+ 2

= =

12

33

(5.18)

1 = 5 =121

8

2

2 = 4 =

2

8

2

2

3 =323

8

(5.19)

Procediamo ora alla risoluzione dei vari schemi di carico per la determinazione dei

massimi e minimi momenti flettenti e delle azioni taglianti in corrispondenza degli

appoggi. Nel caso in esame si ha:

1 = 5 = 4.35, 2 = 4 = 5.25, 3 = 2.8 (5.20)

mentre i carichi di ciascuna campata 1 = 5, 2 = 4 e 3 variano a seconda dello

schema di carico considerato. Nel caso in considerazione, il carico permenente 1,

il carico permenente non strutturale 2 e quello accidentale , come determinato in

precedenza (vedi Tab. 5), hanno i seguenti valori:

1 = 32.47kN/m, 2 = 8.03kN/m e = 13.38kN/m (5.21)

Tali carichi devono essere amplificati attraverso i coefficienti parziali di sicurezza 1 =

1.3 (oppure 1 se favorevole) e 2 = 1.5 (oppure 0 se favorevole) per i carichi permanenti

e = 1.5 (oppure 0 se favorevole) per i carichi accidentali. Le diverse condizioni di

carico dello schema 1 di vincolo sono analizzate singolarmente nel seguito.

Schema 1-a Questa condizione di carico consente di determinare il massimo mo-

mento sollecitante nella campata 1, 3 e 5 a cui corrispondono i seguenti valori dei

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72/122

carichi

1 = 5 = 1 1 +2 2 + , 2 = 4 = 1 1 +2 2, 3 = 1 1 +2 2 +

(5.22)

Sostituendo i valori dei carichi (Eq. 5.22) nellEq. 5.17, si ottiene

=2((11+22)32+(11+22+)33)2(2+33/2)((11+22+)31+(11+22)32)

42216(2+33/2)(1+2)

=(11+22+)31+(11+22)32

42

2(1+2)2

(5.23)

da cui si ricavano le incognite iperstatiche: = 159.7kN/m e = 81.06kN/m.

Dalle Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: 1 = 5 =

95.94kNm, 2 = 4 = 66.54kNm e 3 = 8.26kNm. In Fig. 5.5 e riportato il

diagramma del momento flettente e del taglio per questa condizione di carico.

Schema 1-b Questa condizione di carico consente di determinare il massimo mo-

mento sollecitante nella campata 2 e 4 a cui corrispondono i seguenti valori dei carichi

1 = 5 = 11+22, 2 = 4 = 11+22+, 3 = 11+22 (5.24)


=2((11+22+)32+(11+22)33)2(2+33/2)((11+22)31+(11+22+)32)

42216(2+33/2)(1+2)

=(11+22)31+(11+22+)32

42

2(1+2)2

(5.25)

da cui si ricavano le incognite iperstatiche: = 167.7kN/m e = 111.4kN/m.

Dalle Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: 1 = 5 =



Schema 1-c Questa condizione di carico consente di determinare il massimo momen-

to sollecitante in corrispondenza dellappoggio B a cui corrispondono i seguenti valori

dei carichi

1 = 5 = 1 1 +2 2 + , 2 = 4 = 1 1 +2 2 + , 3 = 1 1 +2 2

(5.26)

72


73/122

L1 L2 L /23

q =1.3g +1.5(g +q)1 1 2

A B C

L1L2L /23

D E F

q =2 1.3g +1.5g1 2

q =3 1.3g +1.5(g +q)1 2q =4 1.3g +1.5g1 2

q =5 1.3g +1.5(g +q)1 2

XB=159.7kN/mXC=81.06kN/m

M1=95.94kN/m M =662 .54kN/m M3=/8.26kN/m

RB=157.4kN RC=104.1kNRA=125kN

RB=198.4kN RC=127.4kN

Figura 5.5: Condizione di carico a dello schema 1.

73


74/122

L1 L2 L /23

A B C

L1L2L /23

D E F

XB=167.7.8kN/mXC=111.4kN/m

M1=44.47kN/m M2=116.5kN/m M3=-58.26kN/m

RB=205.8kN RC=75.96kNRA=79.45kN

RB=156.6kN RC=188.4kN

q =1.3g1 1+1.5g2

q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2q =3 1.3g +1.5g1 2 q =5 1.3g +1.5g1 2

q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2

Figura 5.6: Condizione di carico b dello schema 1.

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L1 L2 L /23

A B C

L1L2L /23

D E F

XB=191kN/m

XC=105kN/m

M1=80.3kN/m M2=108.1kN/m M3=-51.79kN/m

RB=211.5kN RC=75.96kNRA=117.8kN

RB=205.6kN RC=178.7kN

q =1.3g +1.5(g +q)1 1 2 q =5 1.3g +1.5(g +q)1 2q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2 q =3 1.3g +1.5g1 2 q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2

Figura 5.7: Condizione di carico c dello schema 1.


=

2((1

1+2

2+

)3

2+(1

1+2

2)33)

2(2+33/2)((1

1+2

2+

)3

1+(1

1+2

2+

)3

2)

42216(2+33/2)(1+2) =

(11+22+)31+(11+22+)3242

2(1+2)

2

(5.27)

da cui si ricavano le incognite iperstatiche: = 191kN/m e = 105kN/m. Dalle

Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: 1 = 5 =



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Schema

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