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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE. “Il concetto di misura: approccio storico, teoria e applicazioni”. Liceo Scientifico Liceo Scientifico con opzione Scienze applicate Liceo Classico “Federico Quercia” Marcianise (CE). Indice. Origini della Geometria : Platone Eudosso Menecmo Euclide - PowerPoint PPT Presentation

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Unit dItalia 17/03/1861 17/03/ 2011

Cenni storici sulle origini della GeometriaLa parola geometria proviene dal greco e significa misura della terra. Si pensa che la geometria sia nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a.C., per la necessit che questi avevano di ripristinare confini di propriet, che ogni anno venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo.

Per arrivare ad uno studio filosofico della geometria bisogna aspettare il V IV sec a.C. con Platone a cui si debbono notevoli contributi circa la risoluzione dei problemi geometrici e soprattutto nei riguardi delluso della logica nello studio della geometria. Una citazione importante di Platone : nessuno ignaro della geometria entri sotto il mio tetto.

PLATONE

EUDOSSOCon Eudosso si costituisce la matematica come scienza, a lui si deve limportantissimo metodo di Esaustione: questo metodo si proponeva di riempire letteralmente unarea con delle figure note tali che la loro somma approssimasse larea cerchiata.MENECMOColui che si occup di come lellisse, liperbole e la parabola si potevano ottenere mediante la sezione di un cono con un piano Menecmo. Questi ha risolto il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo

EUCLIDE

Euclide raccoglie e sistema tutto il complesso delle conoscenze matematiche del tempo secondo un mirabile schema logico-deduttivo e ha dato un grande contributo al problema delle aree attraverso la sua teoria dellequivalenza.

ARCHIMEDE

Archimede senza dubbio uno dei pi grandi matematici di tutti i tempi. Egli affront i pi ardui problemi rimasti fino a quel tempo insoluti, come ad esempio quello del calcolo delle aree e dei volumi, fino a gettare le basi del calcolo infinitesimale. Archimede affront anche il problema della rettificazione della circonferenza.Inoltre Archimede si occup anche dellAREA DEL SEGMENTO PARABOLICO.ERONE

Erone un matematico inventore greco antico, lo ricordiamo soprattutto perch formul le leggi della riflessione e la formula che esprime larea di un triangolo in funzione dei suoi lati e del semiperimetro.

Per calcolare larea di figure regolari bisogna : Per prima cosa stabilire una unit di misura, per esempio il cm Vedere quante volte essa entra nella grandezza da misurare

FIGURE REGOLARIUtilizzando questa unit di misura abbiamo considerato un rettangolo e un quadrato, poich sono le figure pi semplici da misurare.Per le figure pi complesse, invece, abbiamo ricondotto le figure ad un rettangolo, costruendo lati paralleli e perpendicolari.

Per il rombo regolare, tracciando le diagonali, si formano quattro triangoli rettangoli, i quali mettendoli insieme formeranno un rettangolo che avr come base la diagonale minore e per altezza la diagonale maggiore diviso 2.

Ugualmente avviene per il rombo asimmetrico, con la differenza che la base la diagonale maggiore e laltezza la diagonale minore diviso 2.

In modo analogo anche i trapezi vengono ricondotti ad un rettangolo. Abbiamo poi trovato larea dellesagono in due modi: il primo quello di ricondurre ad un rettangolo; il secondo quello di ricondurre ad un trapezio isoscele.

Per quanto riguarda le figure non regolari abbiamo cercato di dividerle in varie parti, tali da formare figure regolari di cui sappiamo calcolare larea. Infine per calcolare larea delle figure irregolari bisogna sommare le aree precedentemente ricavate:

A1A2A3A4At = A1 + A2 + A3 + A4FIGURE NON REGOLARI

Il teorema di Pick un teorema di geometria che permette di calcolare larea di un poligono semplice i cui vertici stanno su un piano a coordinate intereDetti : i il numero di punti a coordinate intere interni al poligono; p il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono ( vertici compresi)

Quindi larea del poligono pu essere calcolata tramite la formula A = i + p/2 - 1TEOREMA DI PICKPer quanto riguarda le figure curvilinee abbiamo utilizzato la carta millimetrata e i suoi quadratini come unit di misura. Preso un quadratino come unit di misura, abbiamo contato il numero dei quadratini contenuti e che contenevano la figura. Dopo una serie di tentativi abbiamo osservato che la differenza tra le due aree trovate diminuiva al diminuire delle dimensioni del campione utilizzato.

U1 =

FIGURE DAL CONTORNO CURVILINEO U2 = U3 = Area del segmento parabolicoDefinizioneDati in un piano una parabola e una retta r che interseca in due punti distinti A e B, la parte finita di piano delimitata dall'arco AB di e dal segmento AB di r detta segmento parabolico.

In particolare, se la retta r perpendicolare all'asse della parabola , il segmento parabolico si dice retto.

IL METODO DI ESAUSTIONE APPLICATO AL CALCOLO DELLAREA DEL SEGMENTO PARABOLICOApprossimazione dell'areaPer valutare l'area di un segmento parabolico retto si pu operare nel seguente modo.Si sceglie un sistema di riferimento con origine nel vertice di e asse delle ordinate coincidente con l'asse della parabola orientato dal vertice al fuoco. In tale sistema l'equazione di risulta

Detta B' la proiezione del punto B sull'asse delle ascisse e l la distanza OB', si suddivide OB' in n segmenti di ugual misura. Le ascisse degli estremi destri di questi segmenti risulteranno

Si costruiscono quindi i rettangoli aventi come base ognuno di questi segmenti e come altezza l'ordinata corrispondente al loro estremo destrocalcolata sulla parabola.

Il rettangolo di ordine i ha area

La somma R delle aree di tutti i rettangoli risulta

La differenza tra R e l'area S della figura delimitata dai segmenti OB' e B'B e dall'arco OB di risulta sempre positiva, ma diventa tanto minore quanto maggiore si prende il numero n di segmenti di OB'. Si esprime questa situazione dicendo che S il limite di R per n che tende all'infinito e si pu scrivere

Calcolando il valore della sommatoria, si ottiene quindi l'area S.

ii2 i26 i26 i211161 2 3245302 3 53914843 4 7416301804 5 9525553305 6 11La somma dei quadrati

Per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali utile costruire la seguente tabella.

Per induzione, si pu concludere chePer n infinitamente grandi, le frazioni di denominatore n si annullano e quindi

cio l'area S uguale a un terzo dell'area del rettangolo di base OB' e altezza B'B. Conseguentemente l'area della rimanente parte del rettangolo due terzi dell'area dello stesso.Per la simmetria della figura si pu quindi concludere che l'area del segmento parabolico retto due terzi dell'area del rettangolo circoscritto. Questa propriet, dimostrata da Archimede di Siracusa, nota come teorema di Archimede.

TEOREMA DI ARCHIMEDEUtilizzando il risultato ottenuto, riprendendo l'espressione di R, si haTEOREMA DI ARCHIMEDEOsservando il pavimento sotto i vostri piedi, noterete che la sua superficie interamente ricoperta da piastrelle identiche, probabilmente, di forma quadrata. Le piastrelle sono disposte in maniera ordinata sul piano in modo tale da ricoprirne lintera superficie senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti.Definiamo tassellazione regolare un qualunque ricoprimento del piano ottenuto con poligoni regolari che, a due a due, hanno in comune un lato.

LA TASSELLAZIONELe uniche tassellazioni regolari sono quelle gi individuate (ossia quelle ottenute conquadrati, triangoli equilateri, esagoni regolari).

Proviamo quanto detto considerando, inizialmente, per fissare le idee, una tassellazione esagonale:

Langolo giro di vertice D, evidenziato in figura, interamente ricoperto dagli angoli interni (di vertice D) dei tre esagoni in azzurro, blu e bianco.

Gli angoli interni di un esagono regolare (n=6), hanno unampiezza di 120, per cui sono necessari k=3 esagoni per ricoprire lintero angolo giro. (360/120 = 3)

Ripetiamo questo ragionamento in generale:

gli angoli interni di un poligono regolare di n lati hanno unampiezza pari a:

= 180 (n2)/n .

Volendo ricoprire lintero angolo giro,occorrono k (numero intero!) poligoni, in modo che:k = 360cio:k 180 (n2)/n = 360.

Risolvendo rispetto a k , otteniamo:

k = 2n/(n2).

Se:

n=3 (triangolo equilatero)allorak = 6 (6x60 = 360)n=4 (quadrato)k = 4(4x90 = 360)n=5 (pentagono regolare)k = 10/3 (*)n=6(esagono regolare)k = 3(3x120=360)n>6(polig.regolare con pi di 6 lati)2 < k < 3(*)

(*)Per n=5 o per n>6 si nota che k non intero: deduciamo che risulta impossibile tassellare il piano con pentagoni regolari o poligoni regolari con pi di sei lati.

M.C. Escher conosciuto principalmente per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dellinfinito, tassellature del piano e dello spazio e motivi a geometrie interconnesse che cambiano gradualmente in forme via via differenti

M.C. ESCHERSi ringraziano

Gli alunni:Rossano Tommaso, Lasco Martina, Rossano Maria Immacolata, Iodice Michela, Sparaco Michela, Rossetti Daniele, Di Lillo Giovanni, Golino Antonella

La professoressa:

Marino Concetta

IL DIRIGENTE SCOLASTICO:

DIAMANTE MAROTTA

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