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Progetto Lauree Scientifiche
DINAMICA DI POPOLAZIONI Liceo Statale “A. Meucci”
Aprilia (LT)
Anno Scolastico 2007/2008
Indice
• Modello a due età• Modello a tre età• Domande• Parallelismo• Esempi a due fasce• Esempi a tre fasce• Gli elefanti di mare di Año Nuevo
Popolazione ripartita in due età
Consideriamo una popolazione ripartita in due soli classi di età:
{n1(t), n2(t)}
giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2.
La popolazione totale al tempo t è
n(t)=n1(t)+n2(t)
p1 è la probabilità che un individuo della prima classe di età sopravviva e
raggiunga la seconda.
Il vettore profilo costituito dalle percentuali del numero di individui per
fascia è
(g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t))
Modello a due età
L’evoluzione della popolazione può essere modellizzata:
Usando la scrittura matriciale
=
dove è detta matrice di Leslie del modello a due fasce di età.
n1(t) p1 1) n2(t
n2(t) f2 n1(t) f1 1) n1(t
)1(2
)1(1
tn
tn
01
21
p
ff
)(2
)(1
tn
tn
01
21
p
ff
Popolazione ripartita in tre fasce di età
Se la popolazione è ripartita in tre classi di età:
{n1(t), n2(t), n3(t)}
bambini, giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2 e f3.
La popolazione totale al tempo t sarà
n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)
p1 è la probabilità di passare dalla prima alla seconda fascia,
p2 è la probabilità di passare dalla seconda alla terza fascia.
Il vettore profilo, costituito dalle percentuali del numero di individui per
fascia, è
(b(t), g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t), n3(t)/n(t))
Modello a tre età
L'evoluzione di una popolazione a tre fasce d'età è:
Usando la scrittura matriciale
=
dove è detta matrice di Leslie del modello a tre fasce di età.
n1 t1= f1n1t f2n2t f3n3t n2 t1= p1 n1 t n3 t1= p2n2 t {
[ f1p10
f20p2
f300 ] [n1t n2t
n3t ]
[ f1p10
f20p2
f300 ]
[n1 t1n2 t1n3 t1]
Domande
Se è il vettore colonna della popolazione
e A = la matrice di Leslie ,
si può scrivere
• I vettori e sono paralleli tra loro?
• Cambiano direzione in relazione al tempo t e alle condizioni iniziali?
• Come si evolve la popolazione totale?
• Come si evolve il vettore profilo?
N t =[n1 t n2 t n3 t ]
[ f1p10
f20p2
f300 ]
N t1 = A N t
N t1 N t
Il parallelismo Essendo
// ↔
e quindi
ovvero
Un sistema lineare omogeneo ha soluzione non banale se
det (A – λI) = 0
detta equazione caratteristica della matrice A
Ogni soluzione λ di questa equazione si chiama autovalore della matrice A
I vettori tali che
si dicono autovettori relativi all'autovalore λ.
Gli unici numeri λ per i quali // sono gli autovalori della
matrice di Leslie A
N t1 = A N t
N t1 N t N t1 = λ N t
A N t = N t
A− I N t =0
v A v= v
N t1 N t
Esempi a due fasce di etàEsempio 1
A = → con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)
La popolazione totale oscilla
Il vettore profilo oscilla
det (A – λI) = λ² – 1 = 0 ↔ λ = ± 1
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1 è = (2y, y)
Se modifichiamo con (n1(0), n2(0)) = (20, 10)
La popolazione diventa stabile
Il profilo converge a (67, 33)
[0 20,5 0] { n1 t1=0 n1 t 2 n2 t
n2 t1=0,5 n1 t
v
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 20 10 30 67% 33%1 20 10 30 67% 33%2 20 10 30 67% 33%3 20 10 30 67% 33%4 20 10 30 67% 33%5 20 10 30 67% 33%
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 80 3,5 83,5 96% 4%2 7 40 47 15% 85%3 80 3,5 83,5 96% 4%4 7 40 47 15% 85%5 80 3,5 83,5 96% 4%
Esempio 2
A = → con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)
La popolazione cresce
Il profilo oscilla
det (A – λI) = λ² – 2 = 0 ↔ λ = ± 2
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 2 è = (4y, y)
Se modifichiamo il vettore delle condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (40, 10)
La popolazione continua a crescere
Il profilo converge a (80,20)
[0 80,5 0] { n1 t1=0 n1 t 8 n2 t
n2 t1=0,5 n1 t
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 320 3,5 323,5 99% 1%2 28 160 188 15% 85%3 1280 14 1294 99% 1%4 112 640 752 15% 85%5 5120 56 5176 99% 1%6 448 2560 3008 15% 85%
v
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 40 10 50 80% 20%1 80 20 100 80% 20%2 160 40 200 80% 20%3 320 80 400 80% 20%4 640 160 800 80% 20%5 1280 320 1600 80% 20%6 2560 640 3200 80% 20%
Esempio 3
A = → con (n1(0), n2(0)) = (7,40)
La popolazione decresce
Il profilo oscilla
det (A – λI) = λ² – 1/4 = 0 ↔ λ = ± 1/2
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1/2 è = (y, y)
Se modifichiamo le condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (10, 10)
La popolazione continua a decrescere
Il profilo converge a (50,50)
[0 0,50,5 0 ] {n1 t1=0 n1 t 0,5 n2 t
n2 t1=0,5 n1 t
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 20 3,5 23,5 85% 15%2 1,75 10 11,75 15% 85%3 5 0,875 5,875 85% 15%4 0,4375 2,5 2,9375 15% 85%5 1,25 0,21875 1,46875 85% 15%
v
Pop. totale Vettore profilo
tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 10 10 20 50% 50%1 5 5 10 50% 50%2 2,5 2,5 5 50% 50%3 1,25 1,25 2,5 50% 50%4 0,625 0,625 1,25 50% 50%5 0,3125 0,3125 0,625 50% 50%
Esempi a tre fasce di etàEsempio 4
A = →
con (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 2, 1) .
la popolazione cresce e il profilo converge a (66, 27, 7).
Sostituendo al vettore iniziale (n1(0), n2(0), n3(0)) = (66,27, 7) otteniamo la
crescenza della popolazione e la convergenza immediata del vettore profilo
10,80
200,5
100[ ] {
n1t1=n1t 2n2 t n3t n2t1=0,8n1t n3t1=0,5n2 t
Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 2 2 1 5 40% 40% 20%1 7 1,6 1 9,6 73% 17% 10%2 11,2 5,6 0,8 17,6 64% 32% 5%3 23,2 9,0 2,8 35,0 66% 26% 8%4 43,9 18,6 4,5 67,0 66% 28% 7%5 85,5 35,1 9,3 129,9 66% 27% 7%6 165,1 68,4 17,6 251,1 66% 27% 7%7 319,5 132,1 34,2 485,7 66% 27% 7%
Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 66 27 7 100 66% 27% 7%1 127 52,8 13,5 193,3 66% 27% 7%2 246,1 101,6 26,4 374,1 66% 27% 7%3 475,7 196,9 50,8 723,4 66% 27% 7%4 920,3 380,6 98,4 1399,3 66% 27% 7%5 1779,8 736,2 190,3 2706,3 66% 27% 7%6 3442,5 1423,9 368,1 5234,5 66% 27% 7%7 6658,3 2754,0 711,9 10124,3 66% 27% 7%
Esempio 4
è detta di Bernardelli
A = e genera il modello →
Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 1, 1), la popolazione oscilla, così come il profilo, con periodo 3.
det (A- λI) = λ³ - 1 = 0 → λ=1 è l'unico autovalore reale (gli altri due sono complessi
coniugati e di modulo 1)
L'autovettore relativo a λ=1 è = (8z, 4z, z) → Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (8, 4, 1)
La popolazione diventa stabile e il profilo converge all'autovettore (62, 31, 8)
00,50
000,25
800[ ] {
n1t1=8n3t n2t1=0,5n1t n3t1=0,25n2 t
Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 2 1 1 4,0 50% 25% 25%1 8 1 0,25 9,3 86% 11% 3%2 2 4 0,25 6,3 32% 64% 4%3 2,0 1,0 1,0 4,0 50% 25% 25%4 8,0 1,0 0,3 9,3 86% 11% 3%5 2,0 4,0 0,3 6,3 32% 64% 4%6 2,0 1,0 1,0 4,0 50% 25% 25%7 8,0 1,0 0,3 9,3 86% 11% 3%
Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 8 4 1 13 62% 31% 8%1 8 4 1 13 62% 31% 8%2 8 4 1 13 62% 31% 8%3 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%4 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%5 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%6 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%7 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%
v
Conclusioni
• La popolazione cresce quando la matrice di Leslie ha un autovalore dominante di
modulo maggiore di 1
• La popolazione decresce quando la matrice di Leslie ha gli autovalori di modulo
minore di 1
• In entrambi i casi precedenti il vettore profilo converge ad un autovettore.
• Se le condizioni iniziali sono un autovettore, il profilo converge immediatamente.
• La popolazione oscilla,anche con delle periodicità, se gli autovalori sono tutti di
modulo 1.
• Il profilo oscilla se gli autovalori sono di segno opposto, ma converge se si parte con
un autovettore.
• Nel caso di profilo oscillante e popolazione oscillante, se il dato iniziale è un
autovettore, allora la popolazione si stabilizza e il profilo converge all'autovettore.
GLI ELEFANTI DI MARE
MIROUNGA ANGUSTIROSTRISElefanti di mare
Età x Sopravvissuti all'età x Figlie generate da ogni madre di età xx l(x) v(x)
0 1000 01 490 02 396 03 324 04 283 05 264 0,0166 202 0,0387 139 0,1348 104 0,6429 69 2,413
10 41 2,34511 14 2,88612 11 5,91413 8 4,51314 2 0
Gli elefanti di mare in tre fasce d'età
Siamo partiti per ogni fascia dalla popolazione relativa agli anni 0, 5, 10.
f1 = 0 f2 = 0,99921 f3 = 5,79773
p1 = 264/1000 = 0,264
p2 = 41/264 = 0,1553
(n1(0), n2(0), n3(0))= (1000, 264, 41)
La popolazione decresce e il profilo converge a (70, 25, 5)
Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(70, 25, 5) la convergenza del profilo è immediata
Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x
x l(x) v(x)
0 1000 0
1 490 02 396 0
3 324 0
4 283 0
5 264 0,016
6 202 0,038
7 139 0,134
8 104 0,642
9 69 2,413
10 41 2,345
11 14 2,88612 11 5,914
13 8 4,513
14 2 0
Pop totale Vettore Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 1000 264 41 1305 77% 20% 3%1 501,5 264 41,0 806,5 62% 33% 5%2 501,5 132,4 41,0 674,9 74% 20% 6%3 370,0 132,4 20,6 522,9 71% 25% 4%4 251,5 97,7 20,6 369,7 68% 26% 6%5 216,8 66,4 15,2 298,4 73% 22% 5%6 154,3 57,2 10,3 221,8 70% 26% 5%7 117,0 40,7 8,9 166,6 70% 24% 5%8 92,2 30,9 6,3 129,4 71% 24% 5%9 67,5 24,4 4,8 96,7 70% 25% 5%
10 52,1 17,8 3,8 73,7 71% 24% 5%11 39,7 13,8 2,8 56,3 71% 24% 5%12 29,8 10,5 2,1 42,4 70% 25% 5%
Gli elefanti di mare in tre fasce d'età
Abbiamo sviluppato il modello a tre fasce d'età anche partendo dalla popolazione relativa agli anni 2, 7, 12.
f1 = 0 f2 = 1,89778 f3 = 21,06972
p1 = 139/396 = 0,35101
p2 = 11/139 = 0,07913
(n1(0), n2(0), n3(0))= (396, 139, 11)
La popolazione cresce e il profilo converge a (74, 24, 2)
Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(74, 24, 2) la convergenza del profilo è immediata
Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x
x l(x) v(x)
0 1000 0
1 490 02 396 0
3 324 0
4 283 0
5 264 0,016
6 202 0,038
7 139 0,134
8 104 0,642
9 69 2,413
10 41 2,345
11 14 2,88612 11 5,914
13 8 4,513
14 2 0
Pop totale Vettore Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)
0 396 139 11 546 73% 25% 2%1 495,6 139,0 11,0 645,6 77% 22% 2%2 495,5 173,9 11,0 680,5 73% 26% 2%3 561,9 173,9 13,8 749,6 75% 23% 2%4 620,1 197,2 13,8 831,1 75% 24% 2%5 664,3 217,7 15,6 897,5 74% 24% 2%6 741,9 233,2 17,2 992,3 75% 23% 2%7 805,4 260,4 18,5 1084,3 74% 24% 2%8 883,0 282,7 20,6 1186,3 74% 24% 2%9 970,7 309,9 22,4 1303,0 74% 24% 2%
10 1059,5 340,7 24,5 1424,7 74% 24% 2%11 1163,3 371,9 27,0 1562,2 74% 24% 2%12 1273,8 408,3 29,4 1711,6 74% 24% 2%
Considerazioni sul modello a tre fasce
Abbiamo implementato anche i modelli a tre fasce scegliendo come anni di riferimento per
ciascuna fascia rispettivamente
Anni 1, 6, 11
Anni 3, 8, 13
Anni 4, 9, 14
In tutti e tre i casi la popolazione cresce negli anni e il profilo converge ad un autovettore.
Probabilmente la scelta degli anni iniziali 0, 5 e 10 come rappresentativi di ogni fascia
rendeva instabile la popolazione.
Modello a 14 fasce per gli elefanti marini
Abbiamo implementato anche il modello a 14 fasce:
Siamo partiti dal vettore (1000, 490, 396, 324, 283, 264, 202, 139, 104, 69, 41, 14, 11, 8).
Relativamente ad ogni anno abbiamo preso come
fattore di fertilità e come probabilità di
sopravvivenza i dati indicati in tabella:
Il modello ci ha dato una popolazione
decrescente e un profilo che dopo parecchie
iterazioni converge al vettore
(25, 13, 11, 10, 9, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0);
Inserendolo come vettore di partenza abbiamo ottenuto una convergenza immediata del
profilo.
f1=0f2=0f3=0 P3=324/396=0,82f4=0 P4=283/324=0,87f5=0 P5=264/283=0,93f6=0,016 P6= 202/264=0,77f7=0,038 P7=139/202=0,69
f8=0,134 P8=104/139=0,78f9=0,642 P9=69/104=0,66f10=2,413 P10=41/69=0,59f11=2,345 P11=14/41=0,34f12=2,886 P12=11/14=0,79f13=5,914 P13=8/11=0,73f14=4,513 P14=2/8 =0,25
P1=490/1000=0,49P2=396/490=0,81
Modello a quattordici fasce
Pop totale Profilo
n(t) Tempo a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
3278 0 31% 15% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 3% 1% 0% 0% 0% 0%
2631,7 1 12% 19% 15% 12% 11% 10% 8% 5% 4% 3% 1% 0% 0% 0%
2407,8 2 17% 6% 16% 13% 12% 11% 8% 6% 4% 3% 2% 0% 0% 0%
2211,3 3 20% 9% 6% 15% 13% 12% 9% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%
2061,9 4 22% 10% 8% 5% 14% 13% 10% 7% 5% 3% 2% 1% 1% 0%
1955,3 5 25% 11% 9% 7% 5% 14% 10% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%
1847,9 6 27% 13% 10% 8% 6% 5% 11% 8% 6% 4% 2% 1% 1% 0%
1765,2 7 28% 14% 11% 8% 7% 6% 4% 8% 6% 4% 2% 1% 1% 0%
1711,2 8 29% 14% 12% 9% 7% 7% 5% 3% 6% 4% 2% 1% 1% 0%
1661,7 9 29% 15% 12% 10% 8% 7% 5% 3% 2% 4% 2% 1% 1% 0%
1592,3 10 28% 15% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 3% 1% 3% 1% 1% 1%
1451,4 11 23% 15% 13% 11% 10% 9% 7% 4% 3% 2% 1% 1% 1% 1%
1333,7 12 21% 12% 13% 12% 10% 10% 8% 5% 4% 2% 1% 0% 1% 1%
1237,6 13 22% 11% 11% 11% 11% 11% 8% 6% 4% 3% 1% 0% 0% 1%
1128,5 14 21% 12% 10% 10% 11% 11% 9% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%
1041,2 15 22% 11% 10% 9% 9% 11% 9% 7% 5% 3% 2% 1% 0% 0%
979,0 16 24% 11% 10% 9% 8% 9% 9% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%
928,1 17 26% 13% 10% 8% 8% 8% 7% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%
888,3 18 27% 13% 11% 8% 8% 8% 6% 5% 5% 4% 2% 1% 1% 0%
852,1 19 28% 14% 11% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 4% 2% 1% 1% 0%
811,6 20 27% 14% 12% 10% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%
762,1 21 25% 14% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 4% 3% 2% 1% 1% 1%
711,6 22 24% 13% 12% 11% 10% 9% 7% 4% 3% 3% 2% 1% 1% 1%
662,7 23 23% 13% 12% 11% 10% 10% 7% 5% 4% 2% 2% 1% 1% 1%
611,3 24 22% 12% 11% 10% 10% 10% 8% 6% 4% 3% 2% 1% 1% 0%
564,1 25 22% 12% 11% 10% 10% 10% 8% 6% 4% 3% 2% 1% 1% 0%
525,8 26 23% 12% 10% 10% 9% 10% 8% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%
493,4 27 25% 12% 10% 9% 9% 9% 8% 6% 5% 3% 2% 1% 1% 0%
466,0 28 26% 13% 10% 9% 8% 9% 7% 6% 5% 4% 2% 1% 1% 0%
442,7 29 26% 13% 11% 9% 8% 8% 7% 5% 5% 3% 2% 1% 1% 0%
420,5 30 27% 14% 11% 9% 8% 8% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%
397,6 31 26% 14% 12% 10% 9% 8% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%
374,2 32 25% 14% 12% 10% 9% 9% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 1%
