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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE incontro borsisti Perugia, 27-31 Agosto, 2007 La Modellizzazione Matematica Nella Dinamica Di Popolazione Mimmo Iannelli University of Trento, Italy BioMaSCoT group Biological Modelling and Scientific Computing Trento Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 1/108

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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

incontro borsistiPerugia, 27-31 Agosto, 2007

La Modellizzazione Matematica

Nella Dinamica Di Popolazione

Mimmo Iannelli

University of Trento, Italy

BioMaSCoT groupBio logical Modelling and Scientific Computing Trento

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 1/108

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Due ”parole chiave”

Modellizzazione Matematica

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Due ”parole chiave”

Modellizzazione Matematica

Dinamica Di Popolazione

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Due ”parole chiave”

Modellizzazione Matematica

'

&

$

%la mediazione del modello matematico

tra teoria astratta e realt a fenomenica

@@

@@@R

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Modellizzazione Matematica

La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.

Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.

Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.

Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...

George E. Brown Jr.

Deputato al Congresso degli U.S.A.

Discorso tenuto il 10 gennaio 1997

alla Conferenza dell’A.M.S.

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 5/108

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Modellizzazione Matematica

La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.

Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.

Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.

Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...

George E. Brown Jr.

Deputato al Congresso degli U.S.A.

Discorso tenuto il 10 gennaio 1997

alla Conferenza dell’A.M.S.

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 6/108

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Modellizzazione Matematica

La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.

Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.

Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.

Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...

George E. Brown Jr.

Deputato al Congresso degli U.S.A.

Discorso tenuto il 10 gennaio 1997

alla Conferenza dell’A.M.S.

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Modellizzazione Matematica

La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.

Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.

Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.

Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...

George E. Brown Jr.

Deputato al Congresso degli U.S.A.

Discorso tenuto il 10 gennaio 1997

alla Conferenza dell’A.M.S.

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Modellizzazione Matematica

'&

$%REALTÀ FENOMENICA

'

&

$

%oggetti

matematici+ teoria + algoritmi

di calcolo

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Modellizzazione Matematica

'&

$%REALTÀ FENOMENICA

6

'

&

$

%oggetti

matematici+ teoria + algoritmi

di calcolo

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Modellizzazione Matematica

'&

$%REALTÀ FENOMENICA

6

'

&

$

%oggetti

matematici+ teoria + algoritmi

di calcolo

?

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

variabile di stato (posizione):x(t)

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

variabile di stato (posizione):x(t)

legge fisica:a = −g

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

variabile di stato (posizione):x(t)

legge fisica:a = −g

equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

variabile di stato (posizione):x(t)

legge fisica:a = −g

equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h

soluzione analitica:x(t) = − 1

2gt2 + h

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Modellizzazione Matematica

Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

?

variabile di stato (posizione):x(t)

legge fisica:a = −g

equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h

soluzione analitica:x(t) = − 1

2gt2 + h

confronto con i dati sperimentali . . .

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Modellizzazione Matematica

Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

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Modellizzazione Matematica

Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 19/108

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Modellizzazione Matematica

Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

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Modellizzazione Matematica

Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

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Modellizzazione Matematica

Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

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Dinamica di Popolazione

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Dinamica di Popolazione

Demografia

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

Epidemiologia

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

Biologia Molecolare

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Dinamica di Popolazione

Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

Biologia Molecolare

6

progressionedi scala

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Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati

anno milioni tasso

1790 3,929

1800 5,308 3,5

1810 7,240 3,6

1820 9,638 3,3

1830 12,861 3,3

1840 17,064 3,3

1850 23,192 3,6

1860 31,443 3,6

1870 38,558 2,3

1880 50,189 3,0

1890 62,980 2,5

1900 76,212 2,1

popolazione americana

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Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati

anno milioni tasso

1790 3,929

1800 5,308 3,5

1810 7,240 3,6

1820 9,638 3,3

1830 12,861 3,3

1840 17,064 3,3

1850 23,192 3,6

1860 31,443 3,6

1870 38,558 2,3

1880 50,189 3,0

1890 62,980 2,5

1900 76,212 2,1

popolazione americana

(tasso = variazione percentuale)AA

AA

AA

AA

AAK

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

Gause 1935

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 41/108

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Modelli di base

Malthus, 1798 (crescita esponenziale)

d

dtN(t) = (β − µ)N(t)

L’equazione differenziale piu semplice (y′(x) = αy(x))

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Modelli di base

Malthus, 1798 (crescita esponenziale)

d

dtN(t) = (β − µ)N(t)

L’equazione differenziale piu semplice

Soluzione: N(t) = N(0)e(β−µ)t

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Modelli di base

dati@@@I

N(t) = N(0)e(β−µ)t

@@

@@

@R

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Modelli di base

Malthus, 1798 (crescita esponenziale)

Modello per una popolazione

- omogenea

- isolata

- in un habitat invariante

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Modelli di base

la popolazione e omogenea (gli individui che lacompongono si possono considerare identici);

la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);

l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 46/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);

l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 48/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 49/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 50/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t)

HHHYvariazione istantanea al tempo t

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 51/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t) = βN(t)

6input: nuovi nati

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 52/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t) = βN(t)

6input: nuovi nati�

����

fertilit a: numero di nuovi nati per individuo nell’unit a di tempo

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 53/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t) = βN(t) − µN(t)

6output: morti

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 54/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t) = βN(t) − µN(t)

6output: morti���������1

mortalit a: frazione di individui che muore nell’unit a di tempo

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 55/108

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

fertilit a e mortalit a sono costanti.

formulazione del modello

d

dtN(t) = βN(t) − µN(t) = (β − µ)N(t)

N(0) = N0

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 56/108

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 57/108

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t = N0e

εt

@@R

potenziale malthusiano

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 58/108

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t = N0e

εt

@@R

potenziale malthusiano

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 59/108

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Modelli di base

Il modello di Malthus non funziona sempre

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 60/108

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Modelli di base

Il modello di Malthus non funziona sempre

Popolazione

- omogenea- isolata- in un habitat invariante

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 61/108

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Modelli di base

Il modello di Malthus non funziona sempre

Popolazione

- omogenea- isolata- in un habitat invariante

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 62/108

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Modelli di base

Verhulst, 1838 (crescita logistica)

d

dtN(t) = ε

(

1 −N(t)

K

)

N(t)

potenziale malthusiano ”intrinseco”(a bassa densit a di popolazione)

��

��

���

capacit a portante�

��

��

��

��

���

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 63/108

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Modelli di base

Verhulst, 1838 (crescita logistica)

d

dtN(t) = ε

(

1 −N(t)

K

)

N(t)

soluzione: N(t) =KN0

N0 + (K − N0)e−εt

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 64/108

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Modelli di base

Verhulst, 1838 (crescita logistica)

d

dtN(t) = ε

(

1 −N(t)

K

)

N(t)

soluzionestazionaria

��

���

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 65/108

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Modelli di base

comportamento non logistico

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 66/108

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Modelli di base

comportamento non logistico

Popolazione

- omogenea- isolata- in un habitat invariante

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 67/108

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Modelli di base

comportamento non logistico

Popolazione

- omogenea- isolata si manifesta una ”struttura”- in un habitat invariante

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 68/108

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I prototipi dell’ecologia

Equazioni di Volterra-Lotka

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 69/108

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I prototipi dell’ecologia

Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)

Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse

ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe

la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 70/108

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I prototipi dell’ecologia

Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)

Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse

ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe

la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe

Preda-predatoreuna specie (predatore) si ciba dell’altra (preda)

la crescita della preda favorisce il predatore

la crescita del predatore sfavorisce la preda

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 71/108

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I prototipi dell’ecologia

Competizione

d

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

d

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 72/108

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I prototipi dell’ecologia

Competizione

d

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

d

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 73/108

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I prototipi dell’ecologia

Competizione

d

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

d

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

se fosse N2(t) ≡ 0 allora

d

dtN1(t) = [ε1 − γ1h1N1(t)]N1(t) = ε1

[

1 −N1(t)

K1

]

N1(t)

��

��

��

���

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 74/108

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I prototipi dell’ecologia

Competizione (caso h1K1 < h2K2)

equilibri(soluzioni stazionarie)di esclusione

��

��

XXXXXXXXXXXXXXXXXXy

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 75/108

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I prototipi dell’ecologia

I dati di Gause

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 76/108

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I prototipi dell’ecologia

Il Principio di Esclusione

Due specie distinte non possono occupare a lungascadenza la stessa nicchia ecologica, ma necessariamenteuna delle due specie si estingue mentre l’altra tende asaturare la nicchia.

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 77/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 78/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda -

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 79/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda

eq. predatore

-

-

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 80/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda

eq. predatore

-

-

preda senza predatore - d

dtH(t) = ε1H(t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 81/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda

eq. predatore

-

-

predatore senza preda - d

dtP (t) = −ε2P (t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 82/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda

eq. predatore

-

-

incontri efficaci nell’unit a di tempo - aH(t)P (t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 83/108

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I prototipi dell’ecologia

Preda-Predatore

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

eq. preda

eq. predatore

-

-

vantaggio nell’unit a di tempo - γaH(t)P (t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 84/108

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I prototipi dell’ecologia

soluzioni periodiche

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 85/108

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I prototipi dell’ecologia

soluzioni periodiche

equilibrio�

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 86/108

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I prototipi dell’ecologia

perturbazione delle medie

d

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t) − λH(t)

d

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t) − λP (t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 87/108

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I prototipi dell’ecologia

perturbazione delle medie

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 88/108

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I prototipi dell’ecologia

perturbazione delle medie

la pesca, la caccia, l’uso di insetticidi

producono un aumento della preda

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 89/108

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I prototipi dell’ecologia

l’ultimo lavoro di Volterra

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 90/108

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La descrizione delle Epidemie

eW. O. Kermack A. G. McKendrick

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 91/108

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La descrizione delle Epidemie

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 92/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 93/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

λ(t) =cχ

NI(t) = λ0I(t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 94/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 95/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 96/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 97/108

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La descrizione delle Epidemie

S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ]I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 98/108

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La descrizione delle Epidemie

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 99/108

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La descrizione delle Epidemie

R0 =cχ

γ= numero riproduttivo di base

Paradigma di base

R0S0 ≤ 1 → estinzione dell’infezione

R0S0 > 1 → outbreak = invasione

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La descrizione delle Epidemie

Lo studio di una pandemia

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Concludendo

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano

gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano

gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”

L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a

degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano

gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”

L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a

degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico

Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 106/108

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano

gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”

L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a

degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico

Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e

Equazioni differenziali ordinarie (ODE)

Equazioni alle derivate parziali (PDE)

Equazioni Integro-Differenziali

Equazioni discrete (alle differenze)

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Concludendo

e ancora:

Equazioni stocastiche

Analisi funzionale

Equazioni nel campo complesso

Analisi numerica

...

...

...

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Concludendo

e ancora:

Equazioni stocastiche

Analisi funzionale

Equazioni nel campo complesso

Analisi numerica

...

...

...

. . . La matematica e una meravigliosa area di studio, unica in quanto e

contemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una d elle poche aree di

”ingresso” alla conoscenza.. . .

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". . . e la sua carne, cucinata come pesce erapesce buonissimo, cucinata come coniglio eraconiglio saporito, come lepre o altra cacciagioneera lepre e altra cacciagione . . . "

Italo Calvino, Fiabe Italiane

Sperso per il mondo (fiaba siciliana)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 110/108