Progetto Lauree Scientifiche L.Ariosto” , Ferrara · esperimento aleatorio, nel senso di prova che si assume possa essere ripetuta indefinitamente sotto le medesime condizioni

Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico “L.Ariosto” , Ferrara Dipartimento di Matematica – Università di Ferrara 24 Gennaio 2012

Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani

funzione

vettore

matrice

cenni di calcolo combinatorio

variabili aleatorie

spazio campionario

valore atteso

densità di probabilità

campione statistico

medie

varianza

Concetti importanti da (ri)vedere

probabilità: storia e assiomi

probabilità condizionata

indipendenza di due eventi

teorema di Bayes

Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani 2

Diversi approcci alla probabilità

Ci sono quattro modi di porre la definizione di probabilità: a) definizione classica b) definizione frequentista c) definizione assiomatica d) definizione soggettivista


3

Se F=0, cioè se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto impossibile e la sua probabilità è nulla:

P(E) =0;

se F=N, cioè se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1.

Definizione classica di probabilità

(P. S. Laplace, 1749-1827)

La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero F dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero N dei casi possibili, giudicati egualmente possibili.

1P(E)0 N

F)E(P


Uno dei punti deboli della concezione classica è la condizione, pressoché impossibile da verificare, che tutti i casi in cui può manifestarsi il fenomeno siano egualmente possibili.

La definizione si può applicare quando l’insieme dei casi è un insieme finito.

Note alla concezione classica


6

Premessa alla definizione frequentista di probabilità:

frequenza relativa di un evento

La concezione frequentista è basata sulla definizione di frequenza relativa di un evento.

Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero v delle prove nelle quali l’evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:

f= v/n

se f=0 l’evento non si è mai verificato in quelle n prove; se f=1 (v=n) l’evento si è sempre verificato in quelle n prove.


7

Note alla concezione frequentista

La frequenza dipende dal numero n delle prove fatte, ma, per uno stesso n, la frequenza può variare al variare del gruppo delle prove:

Se si lancia 100 volte una moneta e si presenta testa 54 volte,

effettuando altri 100 lanci si può presentare 48 volte. Se il numero di prove è sufficientemente alto, il rapporto v/n

”tende” a stabilizzarsi.


Legge empirica del caso

In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza “tende” ad assumere valori prossimi alla probabilità dell’evento e l’approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le prove eseguite.


Legge empirica del caso: un po’ di storia

Gli esperimenti storici sul lancio di una moneta hanno confermato che, al crescere del numero delle prove, la frequenza si avvicina ordinariamente al valore 0,5 della probabilità dell’evento “testa” calcolato con l’impostazione classica, confermando la legge empirica del caso. G. L. Buffon (1707-1788) lanciò 4.040 volte una moneta ottenendo “testa” 2.048 volte con frequenza 0,5069. E. S. Pearson (1857-1936) lanciò in un primo esperimento 12.000 volte una moneta ottenendo “testa” 6.019 volte, con frequenza 0,50158; in un secondo esperimento ottenne, su 24.000 lanci, 12.012 volte “testa”, con frequenza 0,5005.


Definizione frequentista di probabilità

La legge empirica del caso permette di formulare la seguente definizione frequentista di probabilità per eventi ripetibili:

La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero “elevato” di prove.

Generalmente non si può dire quante prove siano necessarie; il numero delle prove dipende dal fenomeno in esame.


Approccio soggettivista alla probabilità

Definizione soggettivista di probabilità (De Finetti et alii, 1931): Somma p che un soggetto “coerente” ritiene equo di pagare per ricevere una somma unitaria (ad es. 1 centesimo) nel caso che l’evento si verifichi (“coerente” significa che lo stesso soggetto deve essere disposto nel contempo a pagare la somma 1-p per ricevere 1 centesimo nel caso che l’evento non si verifichi).

In altre parole:

la probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce in base alle proprie opinioni e alle informazioni di cui dispone, al verificarsi di quell’evento. Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani

11

Esso costituisce la struttura portante delle diverse definizioni precedenti, che vengono per così dire “amalgamate” in una teoria assiomatica della probabilità (Kolmogorov, 1933).

In quest’ottica ci si preoccupa non tanto di stabilire “cos’è” la probabilità, ma di definirla implicitamente tramite un insieme di assiomi che possano essere “condivisi” dai diversi approcci presentati.

Approccio assiomatico alla probabilità


Base dell’approccio assiomatico è la definizione di spazio campionario. Per spazio campionario si intende una terna (,F,P) che formalizza tutto quello che sappiamo sull'esperimento aleatorio. : è lo spazio campionario, contiene tutti i possibili esiti dell'evento. F: è una collezione di sottoinsiemi di , che contiene tutti gli eventi a cui possiamo assegnare una probabilità. P: è una funzione che assegna un numero da 0 a 1 ad ogni elemento di A.

Approccio assiomatico alla probabilità


14

Esperimento ed eventi aleatori

La teoria della probabilità si fonda sul concetto di esperimento aleatorio, nel senso di prova che si assume possa essere ripetuta indefinitamente sotto le medesime condizioni. Si dice evento l’insieme costituito da uno o più dei possibili risultati di un esperimento aleatorio. NB: Il termine “aleatorio” ha semplicemente il significato di “non conosciuto”, ma di per sé ben determinato. Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani

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Esperimento composto

Supponiamo di definire n esperimenti, X1, X2, …, Xn , ad esempio: • n lanci di una moneta • n estrazioni di una carta da un mazzo ben mescolato Si definisce ESPERIMENTO COMPOSTO l’esperimento che consiste semplicemente nell’eseguire gli n esperimenti in sequenza, l’uno in maniera indipendente dall’altro, ovvero l’esperimento costituito da un numero finito (oppure infinito) di repliche dell’esperimento Xi. Intuitivamente, la nozione di indipendenza significa che il risultato di un esperimento non influenza il risultato di nessuno degli altri esperimenti.


16

Lo spazio campionario o spazio degli eventi per un esperimento è l'insieme di tutti i suoi possibili esiti. Un evento è dunque un sottoinsieme dello spazio campionario. ESEMPIO

Nel caso dell'esperimento costituito dal lancio di un dado, lo spazio campionario è l’insieme dei punti campione corrispondenti ai sei eventi elementari Ei, con i = 1, 2, …, 6:

= {E1, E2, E3, E4, E5, E6}

Ei= “nel lancio esce il numero i”, con i=1,2,…,6

Spazio campionario


Spazio campionario

Nel caso dell’esperimento che consiste nell’estrarre una carta da un mazzo, lo spazio campionario o degli eventi è costituito da tutte le 52 carte del mazzo, da cui

= {1, 2, …, 13} x {Cuori, Quadri, Fiori, Picche} Nel caso dell'esperimento consistente nel misurare il Ph di uno

yogurt all’uscita da una linea di produzione, lo spazio campionario è = [0;14].

In questo caso, lo spazio contiene un insieme infinito non numerabile di punti campione.


Tipologie di eventi

Gli eventi si possono distinguere in

Eventi elementari

Eventi composti

Gli eventi elementari sono costituiti da uno solo dei possibili

risultati di un esperimento aleatorio.

Essi sono detti anche, come già detto, punti campione.


Nello spazio campionario di un esperimento aleatorio, un evento composto corrisponde dunque ad un insieme che contiene più di un punto campione.

Evento composto

Per l’esperimento costituito dal lancio di un dado viene definito l'evento A: “si osserva un numero dispari”. Quindi A={1,3,5} A è un evento composto. B:“si osserva un numero maggiore di 5” B={6 } B é invece un evento elementare.


20

Compatibilità di eventi DEFINIZIONE Sia uno spazio campionario di eventi. Due eventi A e B in si dicono compatibili se possono avvenire contemporaneamente . Quindi: due eventi sono incompatibili (o mutuamente esclusivi) se essi non possono accadere contemporaneamente. ESEMPIO Gli eventi "estrai una figura" e "estrai picche“ non sono incompatibili, dal momento che possiamo estrarre il re di picche, ma gli eventi "estrai una carta rossa“ e "estrai picche" sono mutuamente esclusivi, cioè il verificarsi del primo evento non ha nulla a che fare con il verificarsi del secondo.


21

Assiomi della probabilità

La teoria della probabilità è basata, come precedentemente ricordato, sugli assiomi di Kolmogorov. Nel caso di uno spazio campionario finito , un numero P(E), chiamato probabilità di E, può essere assegnato a ciascun evento E (E è un sottoinsieme di ) se vengono rispettati i seguenti assiomi: 1) P(E) 0, in particolare P()=0 evento impossibile. 2) Se E1, E2, …, Em sono eventi incompatibili in , allora

P(E1u E2u …u Em)=

3) Se lo spazio campione è costituito da N eventi elementari, Allora P()=P(E1u E2u …u EN) = 1 evento certo

m

1i

i)A(P


L’assioma 1 può essere riformulato in termini di frequenza relativa ("probabilità"): essa deve essere maggiore o uguale a zero, dato che frequenze relative negative, non hanno senso.

L’assioma 2 dice sostanzialmente che la frequenza relativa dell’unione di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle rispettive frequenze relative e fornisce quindi una regola di addizione.

Interpretazione degli assiomi della probabilità


L’assioma 3 asserisce che la somma delle frequenze relative di tutti gli eventi elementari dello spazio campionario deve essere uguale a 1.

Gli assiomi 1 e 3 sottintendono la scelta di una convenzione: decidiamo di misurare la probabilità di un evento con un numero compreso tra 0 e 1.

Interpretazione degli assiomi della probabilità


In base all’impostazione frequentista e alla luce delle

definizioni appena date, per probabilità P di un evento

A si intende il limite a cui tende la frequenza relativa

delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero

di prove tende all’infinito:

Interpretazione rigorosa della definizione frequentista di probabilità

)(l im APA

n


25

Evento congiunto o intersezione

La definizione di probabilità condizionata fa uso della nozione di evento congiunto o evento intersezione:

A B.

Un evento congiunto A B è un

evento composto che ha la

proprietà di essere costituito da

un insieme di eventi elementari,

ciascuno dei quali appartiene sia

all’insieme A che all’insieme B.


26

Probabilità di Eventi congiunti

La probabilità di A B si calcola nello stesso modo in cui

si calcola la probabilità di qualsiasi evento composto o

complesso: facendo la somma delle probabilità di tutti gli

eventi elementari che lo compongono.

Nel caso di uno spazio campione finito costituito da eventi

elementari equiprobabili, la probabilità P(A B) è uguale a:

elementari eventi di totale numero

in elementari eventi di numero)(

BABAP


27

Probabilità dell’evento contrario

Si dice evento contrario o complementare di un evento A dato, e si indica con AC, l’evento la cui unione con A dà origine all’evento certo. Esempio: Lancio di un dado A :”esce un numero minore di 3” AC :“esce un numero maggiore o uguale a 3”

In simboli, l’evento contrario è tale che: AUAC =

Dato che P( )=1, la sua probabilità è P(AC) = 1-P(A)


28

Esempi di Eventi congiunti

P(A B) + P(A Bc) = P(A)

A B A B

P(A B) + P(Ac B) = P(B)

A B A B


29


P(Ac B) + P(Ac Bc) = P(Ac)

A BA B

P(A Bc) + P(Ac Bc) = P(Bc)

A BA B


30


P(Ac B) + P(Ac Bc) = P(Ac)

P(A Bc) + P(Ac Bc) = P(Bc)


31


P(A B) + P(A Bc) = P(A)

P(A B) + P(Ac B) = P(B)


32

Probabilità condizionata

Calcolare la probabilità condizionata di un dato evento significa calcolarne la probabilità, sapendo che un altro evento ha avuto luogo e quindi ne “condiziona” l’esito.


33


Supponiamo di eseguire un esperimento aleatorio avente

spazio campionario uguale a .

Se un evento B di ha avuto luogo, in generale ciò

altera le probabilità che vengono assegnate ad altri

eventi.

Se A è un secondo evento, allora A si verifica se e solo se

A e B possono verificarsi assieme. In altre parole, lo

spazio campionario si è ridotto a B.


34


Siano A e B due eventi definiti per un esperimento aleatorio

con P(B) > 0. La probabilità condizionata di A dato B

è data da:

La probabilità che A si verifichi, dunque, dovrebbe essere

proporzionale a P(A B).

Questo conduce alla seguente definizione.

BP

BAPBAP


35


P(A | B) rappresenta la probabilità di BA rispetto

allo spazio ridotto di B.

A

B

S

A B

BP

BAPBAP


36


Dati due eventi A e B, si possono definire due probabilità

condizionate:

BP

BAPBAP

AP

BAPABP


37


P(B | A) rappresenta la probabilità di BA

rispetto allo spazio ridotto di A.

A

B

S

A B

W

BP

BAPBAP


38

Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo

che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui

A B = ?

A B P(A | B) = P(A B ) / P(B) = 0

Probabilità condizionata: casi particolari


39

B A

A B = B

P(A | B) = P(A B ) / P(B) =

P(B) / P(B) = 1

Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo

che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui

B A?



40

A B P(A | B) = P(A B ) / P(B) =

=P(A) / P(B)

Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo che

ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui A B?

A B = A



41

Sintesi sulla probabilità condizionata

Nel caso di uno spazio campionario finito, costituito da eventi elementari equiprobabili, la probabilità P(A|B) è uguale a:

B di elementi di numero

BA di elementi di numero)B|A(P


42

Probabilità condizionata: esempio 1

acciughe

salame

funghi


43


”Una fetta di pizza viene scelta a caso. Sulla fetta di pizza

c’è del salame piccante. Qual è la probabilità che ci siano

anche dei funghi?”

P(funghi | salame) = 3/5

5

3

85

83

)S(P

)SF(P)S|F(P


44


” Una fetta di pizza viene scelta a caso. Sulla fetta di

pizza ci sono delle acciughe. Qual è la probabilità che vi

siano anche dei funghi?”

P(funghi | acciughe) = 2/3

3

2

83

82

)A(P

)AF(P)A|F(P


45


Supponiamo che un quesito con risposte possibili “sì ” e

“no” sia stato rivolto a 34 studenti, 18 maschi e 16

femmine. I risultati sono i seguenti:

Maschi

Femmine

SI 10 4 14

NO 8 12 20

18 16 34


46

Supponiamo di estrarre a caso uno studente da questo gruppo e definiamo le seguenti probabilità:

Maschi

Femmine

SI 10 4 14

NO 8 12 20

18 16 34


34

18)M(P

34

14)S(P

34

10)SM(P


47

Leggi della probabilità nel caso di probabilità condizionata

• Legge del prodotto

• Legge della somma

• Legge della probabilità totale

• Teorema di Bayes


48

Legge del prodotto e probabilità condizionata

La probabilità dell’evento congiunto A B è

La legge del prodotto, detta anche “teorema delle

probabilità composte”, segue direttamente dalla

definizione di probabilità condizionata:

)B|A(P)B(P)A|B(P)A(P)BA(P

)B(P

)BA(P)B|A(P

)A(P

)BA(P)A|B(P


49

Legge del prodotto ed eventi indipendenti

A e B si dicono (stocasticamente) indipendenti, se il fatto

che si verifichi l’uno non altera la probabilità dell’altro

evento, ovvero se:

P(A | B ) = P(A) e P(B | A) = P(B)

In tal caso:

)B(P)A(P)BA(P


50

Legge della somma

La probabilità dell’unione di due eventi A e B compatibili è:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P


51

Se A e B sono incompatibili (o mutuamente esclusivi), allora si ha:

Legge della somma ed eventi indipendenti

)B(P)A(P)BA(P

0)BA(P


52

acciughe

salame

funghi

Esempio 1


53

Esempio 1

”Una fetta di pizza viene scelta a caso. Qual è la

probabilità che la fetta di pizza abbia del salame

piccante oppure dei funghi?”

P(funghi salame) =

= P(funghi) + P(salame) - P(funghi salame) =

= 4/8 + 5/8 - 3/8 = 3/4


54

Esempio 2

Sia A l’evento “donna” e B l’evento “mancino”.

Siano assegnate le probabilità di A , di B e di A B : P(A) = 0, 51 P(B) = 0, 35 P(A B) = 0, 10


55

Esempio 2

P(A B) =

= P(A) + P(B) - P(A B)

= 0, 51 + 0, 35 - 0, 10 = 0, 76

Qual è la probabilità di osservare una donna oppure un

mancino?

A B


56

Esempio 2

Qual è la probabilità di osservare una donna non mancina?

P(A Bc) = P(A) - P(A B) = 0, 51 - 0, 10 = 0, 41

P (A B c)

A B


57

Esempio 2

Qual è la probabilità di osservare un uomo mancino?

P(Ac B) = P(B) - P(A B) = 0, 35 - 0, 10 = 0, 25

P(Ac B)

A B


58

Esempio 2

Qual è la probabilità di osservare un uomo non mancino?

P(Ac Bc) = P(Ac) - P(Ac B) = 0, 49 - 0, 25 = 0, 24

P(Ac Bc)

A B

P(Ac Bc) = 1 - P(A B) = 1 - 0, 76 = 0, 24


Probabilità totale e teorema di Bayes

Premesse Dati gli eventi H1, H2, …, Hn mutuamente incompatibili, sia E un evento, non impossibile, che si verifichi insieme ad uno ed uno solo di questi n eventi. Innanzitutto, si potrà affermare che:

A = (AH1) (AH2) … (AHn)

58

A corollario delle proprietà di addizione e moltiplicazione illustrate, si può infine introdurre il concetto di probabilità totale.



Trattandosi di eventi incompatibili, la probabilità che A ha di verificarsi risulta:

P(A) = P(AH1)+P(A H2) + … +P(AHn)

Per il teorema delle probabilità composte, l’espressione sopra può essere scritta come:

P(A) = P(H1)P(A|H1)+ P(H2)P(A|H2)+ + … + P(Hn)P(A|Hn)

Tale espressione prende il nome di formula della probabilità totale.

59 Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani

60


60

Supposto che l’evento E si verifichi a diverse condizioni, sulle quali si facciano n ipotesi H1, H2, …, Hn , in genere prima di effettuare la prova sono note le probabilità di ciascuna ipotesi Hi. Si sa anche che ciascuna di esse dà all’evento E una probabilità condizionata P(A| Hi). Supponiamo che si verifichi A: questo potrebbe causare una rivalutazione delle probabilità delle ipotesi H1, H2, …, Hn . Il teorema di Bayes risolve quantitativamente la questione, permettendo di calcolare in che modo si devono cambiare le probabilità di queste ipotesi, essendosi già verificato E.


Teorema di Bayes

n

1iii

iii

)H|E(p)H(p

)H|E(p)H(p)E|H(p

61

Il teorema di probabilità delle cause o delle ipotesi, attribuito al matematico inglese Thomas Bayes (1701? – 7 Aprile 1761) , esprime la probabilità che si realizzi l’ipotesi Hi, dato che si sia già verificato E:


Teorema di Bayes

n

1iii

iii

n

1iii

iii

iiii

)H|E(p)H(p

)H|E(p)H(p)E|H(p

)H|E(p)H(p)E(p

)E(p

)H|E(p)H(p)E|H(p

)H|E(p)H(p)E|H(p)E(p)HE(p

62

In sintesi, una dimostrazione del teorema.. Poiché si ha che: P(A) = P(AH1)+P(A H2) + … +P(AHn), Da cui segue in particolare che: In forma concisa si può scrivere che:

E dunque:


Teorema di Bayes: un esempio

63

Suppongo di possedere 5 confezioni contenenti cioccolatini, distribuiti come segue: 2 confezioni (ipotesi H1) contengono 2 cioccolatini fondenti e 3

al latte; 2 confezioni (ipotesi H2) contengono 1 cioccolatino fondente e

4 al latte; 1 confezione (ipotesi H3) contiene 4 cioccolatini fondenti e 1 al

latte. Scelgo un cioccolatino da una confezione a caso e scopro che è fondente (evento E). Qual è la probabilità che il cioccolatino sia stato estratto dalla quinta confezione (ultima ipotesi)?


Teorema di Bayes: un esempio

64

P(H1)=p(H2)=2/5 p(H3)=1/5 P(E|H1)= 2/5 p(E|H2)=1/5 p(E|H3)=4/5 Dalla formula dimostrata si ha che la probabilità cercata è:

5

2

10

4

5

4

5

1

5

1

5

2

5

2

5

25

4

5

1

)|()(

)|()()|( 3

1

333

i

ii HEpHp

HEpHpEHp


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