Upload
duongkiet
View
242
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 1
PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX
Latar Belakang
• Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak ataukombinasi lebih dari dua variabel.
• Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untukmenyelesaikan masalah program linear yang melibatkanlebih dari dua variable.
• Dalam keadaan ini (variabel lebih dari dua) dibutuhkanmetode lain yang sering disebut sebagai metodealgoritma simplex.
• Metode ini diperkenalkan oleh George B Dantzig padatahun 1947.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 26623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 2
Metode Simplex
• Metode simpleks merupakan proseduriterasi yang bergerak bertahap danberulang.
• Jumlah variabel tidak terbatas
• Penyelesaian masalah LP dengan metodesimplex harus menggunakan bentukstandar.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 36623 - Taufiqurrahman
Bentuk Standar
Bentuk standar LP memiliki sifat sbb. :
1. Seluruh fungsi kendala harus berbentukpersamaan ( bertanda = ).
2. Ruas kanan non negatif.
3. Seluruh variabel merupakan variabel nonnegatif.
4. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atauminimasi.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 46623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 3
Merubah Ke Bentuk Standar
1. Fungsi Kendala (constraint)
• Kendala bertanda “≤” diubah menjadi persamaan denganmenambah “Variabel Slack” pada ruas kiri fungsi kendala.
Contoh:
S1 ≥ 0, merupakan variabel slack, menyatakan sumber yang
tidak terpakai.
X1 + 6X2 ≤ 10
X1 + 6X2 + S1 = 10
Berubah Menjadi
Materi #8 Ganjil 2014/2015 56623 - Taufiqurrahman
Merubah Ke Bentuk Standar
• Kendala bertanda “≥” diubah menjadi persamaan denganmengurangi suatu “Variable Surplus” pada ruas kiri fungsikendala.
Contoh:
S2 ≥ 0, merupakan variabel surplus.
X1 + 6X2 ≥ 10
X1 + 6X2 − S2 = 10
Berubah Menjadi
• Ruas kanan bertanda negatif diubah menjadi positif denganmengalikan kedua ruas dengan (–1)
• Arah ketidaksamaan dapat berubah jika kedua ruas dikalikan (–1)
Materi #8 Ganjil 2014/2015 66623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 4
Merubah Ke Bentuk Standar
2. Variabel
• Jika variable Xj tidak terbatas dalam tanda, dapat dinyatakansebagai dua variable non negatif dengan menggunakan subsitusi.
Xj = Xj‘ − Xj” ; dimana : Xj‘ dan Xj” ≥ 0
• Subsitusi dilakukan pada seluruh fungsi kendala dan fungsi tujuan.
3. Fungsi Tujuan
• Bentuk maksimasi = nilai negatif dari bentuk minimasi.
• Berlaku juga untuk sebaliknya.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 76623 - Taufiqurrahman
Penyelesaian Simpleks
• Metode simpleks: merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yangbergerak dengan mengikuti algoritma tertentu
• Tahapan prosedur:
1. Inisialisasi: mulai dari suatu titik ekstrem (0,0)
Identifikasi ruang solusi dengan cara merubah sebanyak:
(n – m = kolom – baris) variable, sehingga memiliki nilai nol.
Variabel bernilai nol variable non basis,
Variabel bukan bernilai nol variable basis.
2. Iteratif: bergerak menuju titik ekstrem terdekat yang lebih baik, danulangi untuk titik ekstrim lain.
3. Berhenti: jika telah sampai pada titik ekstrim terbaik (titik optimum).
Materi #8 Ganjil 2014/2015 86623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 5
Tabel Simplex
Basic Z X1 X2 X3 … Xn S1 S2 … Sn RHS
Z 1 -C1 -C2 -C3 … -Cn 0 0 … 0
S1 0 a11 a12 a13 … a1n 1 0 … 0 b1
S2 0 a21 a22 a23 … a2n 0 1 … 0 b2
… … … … … … … … … … … …
Sm 0 am1 am2 am3 … amn 0 0 … 1 bn
Main Body Identity
Materi #8 Ganjil 2014/2015 96623 - Taufiqurrahman
Tabel Simplex
Main Body
• Bidang yang berisi koefisien teknologi & kendala yang ada
Identity
• Bidang yang berisi koefisien-koefisien dari variabel slack atau variabelartificial
Basic
• Kolom yang berisi variabel basis yang diambil dari variabelslack/artificial pada saat iterasi pertama. Variabel-variabel ini secarabertahap akan diganti oleh variabel bukan basis pada iterasiberikutnya
Materi #8 Ganjil 2014/2015 106623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 6
Algoritma Simpleks
1. Ubah fungsi tujuan ke dalam bentuk implisit.
2. Masukkan semua nilai ke dalam tabel simplex.
3. Tentukan kolom kunci (variable keputusan) yang masuk sebagaivariable basis (entering variable).
⤷ Kolom kunci adalah nilai Zj dengan nilai negatif terbesar(untuk maksimasi).
4. Tentukan baris kunci: untuk menentukan variable yang akankeluar dari baris kunci (leaving variable).
⤷ Kriteria: Nilai positif terkecil dari: nilai kanan/nilai padakolomkunci.
⤷ Angka kunci : nilai pada perpotongan baris kunci dankolomkunci
Materi #8 Ganjil 2014/2015 116623 - Taufiqurrahman
Algoritma Simplex
5. Susun tabel simpleks baru, untuk menentukan solusi yang baru gunakanmetode (Elementary Row Operation, Gauss Jordan Elimination), dengancara:
Ubah nilai pada baris kunci sehingga EV memiliki nilai 0 dan 1 pada barislainnya.
Nilai baris kunci baru = nilai baris kunci yang lama dibagi angka kunci
6. Ubah nilai pada baris selain baris kunci
Nilai baris baru = nilai baris lama dikurangi dengan hasil perkalian angkapada kolom kunci dengan baris kunci yang baru
7. Ulangi langkah diatas sampai tidak terdapat nilai negatif pada baris Z.
⤷ Iterasi berhenti jika tabel sudah optimal, jika:
• semua nilai pada baris Z bernilai positif atau nol (untuk maksimasi)
• bernilai negatif atau nol (untuk minimasi)
Materi #8 Ganjil 2014/2015 126623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 7
Ketentuan Metode Simplex
1. Nilai kanan (NK/RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (NK/RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif,nilai tersebut harus dikalikan (–1).
3. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” denganmenambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplusdisebut juga variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan caramengalikan dengan (–1), lalu diubah ke bentuk persamaan denganditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif,dikalikan lagi dengan (–1) dan ditambahartificial variable (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variable(M).
Materi #8 Ganjil 2014/2015 136623 - Taufiqurrahman
Contoh #5 – 1
• Fungsi tujuan:
Maksimalkan Z = 3x1 + 5x2
• Fungsi Kendala:
1) 2x1 ≤ 8
2) 3x2 ≤ 15
3) 6x1 + 5x2 ≤ 30
Materi #8 Ganjil 2014/2015 146623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 8
Penyelesaian Simplex (Langkah 1)
1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihatketentuan metode simplex).
• Fungsi tujuan:
Z = 3x1 + 5x2 ⇨ Z − 3x1 − 5x2 = 0
• Fungsi kendala:
1) 2x1 ≤ 8 ⇨ 2x1 + s1 = 8
2) 3x2 ≤ 15 ⇨ 3x2 + s2 = 15
3) 6x1 + 5x2 ≤ 30 ⇨ 6x1 + 5x2 + s3 = 30
Catatan: s1, s2, dan s3 adalah variabel slack.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 156623 - Taufiqurrahman
Penyelesaian Simplex (Langkah 2)
2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simplex.
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 −5 0 0 0 0
s1 0 2 0 1 0 0 8
s2 0 0 3 0 1 0 15
s3 0 6 5 0 0 1 30
Materi #8 Ganjil 2014/2015 166623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 9
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 −5 0 0 0 0
s1 0 2 0 1 0 0 8
s2 0 0 3 0 1 0 15
s3 0 6 5 0 0 1 30
Penyelesaian Simplex (Langkah 3)
3. Memilih kolom kunci (yaitu kolom yang mempunyai nilaipada baris Z (fungsi tujuan) yang bernilai negatif (−)dengan angka terbesar).
Nilai negatif terbesar
Materi #8 Ganjil 2014/2015 176623 - Taufiqurrahman
Index terkecil
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 −5 0 0 0 0
s1 0 2 0 1 0 0 8
s2 0 0 3 0 1 0 15
s3 0 6 5 0 0 1 30
Penyelesaian Simplex (Langkah 4)
4. Memilih baris kunci (yaitu baris yang mempunyai nilaiindex terkecil). Perhitungan index adalah sbb. :
∼
5
6
Angka kunciPada langkah 5, S2 akan berubah menjadi X2
Koefisien angka kolom kunci (KAAK)
Materi #8 Ganjil 2014/2015 186623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 10
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 −5 0 0 0 0
s1 0 2 0 1 0 0 8 ∼
x2 0 0 1 0 1/3 0 5 5
s3 0 6 5 0 0 1 30 6
Penyelesaian Simplex (Langkah 5)
5. Mengubah nilai-nilai baris kunci (dengan caramembaginya dengan angka kunci).
Angka kunci merupakan nilai yang posisinya berada padaperpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci
Materi #8 Ganjil 2014/2015 196623 - Taufiqurrahman
Penyelesaian Simplex (Langkah 6)
6. Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris(selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb. :
NBBK = Nilai baris baru kunci
• Baris Z
Baris lama [ −3 −5 0 0 0 0 ]
NBBK −5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru −3 0 0 5/3 0 25
Materi #8 Ganjil 2014/2015 206623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 11
Penyelesaian Simplex (Langkah 6)
• Baris s1
Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]
NBBK 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 2 0 1 0 0 8
• Baris s3
Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]
NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 6 0 0 −5/3 1 5
Materi #8 Ganjil 2014/2015 216623 - Taufiqurrahman
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 0 0 5/3 0 25
s1 0 2 0 1 0 0 8
x2 0 0 1 0 1/3 0 5
s3 0 6 0 0 −5/3 1 5
Penyelesaian Simplex (Langkah 6)
Masukkan nilai baris baru Z, s1, dan s3 ke dalam tabel,sehingga tabel menjadi seperti berikut:
Materi #8 Ganjil 2014/2015 226623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 12
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 −3 0 0 5/3 0 25
s1 0 2 0 1 0 0 8 4
x2 0 0 1 0 1/3 0 5 ∼
s3 0 6 0 0 −5/3 1 5 5/6
Penyelesaian Simplex (Langkah 7)
7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampaibaris Z tidak ada nilai negatif.
Hasil dari langkah 3 dan langkah 4 :
Materi #8 Ganjil 2014/2015 236623 - Taufiqurrahman
Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ Zmax
s1 0 0 0 1 5/9 −1/3 6⅓
x2 0 0 1 0 1/3 0 5
x1 0 1 0 0 −5/18 1/6 5/6
Penyelesaian Simplex (Langkah 7)
Hasil dari langkah 5 dan langkah 6 :
Karena nilai Z sudah tidak ada yang (−), maka sudah dapatdiperoleh hasil solusi optimum, yaitu:
x1 = 5/6 ; x2 = 5 ; Zmax = 27½
Materi #8 Ganjil 2014/2015 246623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 13
Penyimpangan Bentuk Standar (Kendala =)
• Fungsi kendala dengan tanda (=)
Ditambahkan variabel buatan (M) pada fungsi tujuan
• Contoh :
Fungsi Kendala:
1) 2x1 ≤ 8 2x1 + s1 = 8
2) 3x2 ≤ 15 3x2 + s2 = 15
3) 6x1 + 5x2 = 30 6x1 + 5x2 + s3 = 30
Fungsi Tujuan:
Z = 3x1 + 5x2 Z − 3x1 + 5x2 + Ms3 = 30
Materi #8 Ganjil 2014/2015 256623 - Taufiqurrahman
Langkah Solusi Kendala (=) .... 1
• Nilai setiap variabel dasar (s3) harus sebesar 0, sehinggafungsi tujuan harus dikurangi dengan M dan dikalikandengan baris batasan yang bersangkutan (kendala 3). Nilaibaris Z sebagai berikut :
Baris Z
[ 1 −3 −5 0 0 M 0 ]
M [ 0 6 5 0 0 1 30 ]
1 (−6M−3) (−5M−5) 0 0 0 (−30M)
Materi #8 Ganjil 2014/2015 266623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 14
Langkah Solusi Kendala (=) .... 2• Iterasi 0:
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 (−6M−3) (−5M−5) 0 0 0 (−30M)
s1 0 2 0 1 0 0 8 4
s2 0 0 3 0 1 0 15 ∼
s3 0 6 5 0 0 1 30 5
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 0 (−5M−5) (3M+3/2) 0 0 (−6M+12)
x1 0 1 0 1/2 0 0 4 ∼
s2 0 0 3 0 1 0 15 5
s3 0 0 5 0 0 1 6 6/5
Materi #8 Ganjil 2014/2015 276623 - Taufiqurrahman
Langkah Solusi Kendala (=) .... 3• Iterasi 1:
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 0 0 −3/2 0 M+1 18
x1 0 1 0 1/2 0 0 4 8
s2 0 0 0 9/5 1 −3/5 19/3 5/27
x2 0 0 1 −3/5 0 1/5 6/5 −2
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index
Z 1 0 0 0 5/6 M+12 27 1/2 Zmax
x1 0 1 0 0 −5/18 1/6 5/6 x1
s1 0 0 0 1 5/9 −1/3 6 1/3
x2 0 0 1 0 1/3 0 5 x2
Materi #8 Ganjil 2014/2015 286623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 15
Langkah Solusi Kendala (=) .... 4
• Jadi solusi optimum dari permasalah adalah:
x1 = 5/6
x2 = 5
Zmax = 27 1/2
Materi #8 Ganjil 2014/2015 296623 - Taufiqurrahman
Penyimpangan Bentuk Standar(Fungsi Tujuan Meminimalkan)
• Fungsi tujuan : Minimasi
– Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengancara mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan.
• Contoh :
Fungsi Tujuan:
Minimumkan Z = 3x1 + 5x2
Fungsi Kendala:
1) 2x1 = 8
2) 3x2 ≤ 15
3) 6x1 + 5x2 ≥ 30
Materi #8 Ganjil 2014/2015 306623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 16
Langkah Solusi Fungsi Tujuan Meminimalkan .. 1
• Fungsi tujuan menjadi:
Maksimumkan (−Z) = −3x1 − 5x2 − Ms1 − Ms4menjadi
fungsi implisit −Z + 3x1 + 5x2 + Ms1 + Ms4 = 0
• Fungsi kendala:
1) 2x1 = 8 ⇨ 2x1 + s1 = 8
2) 3x2 ≤ 15 ⇨ 3x2 + s2 = 15
3) 6x1 + 5x2 ≥ 30 ⇨ 6x1 + 5x2 − s3+ s4 = 30
Catatan: s1, s2, dan s4 adalah variabel slack, sedangkan s3
adalah variabel surplus.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 316623 - Taufiqurrahman
Langkah Solusi Fungsi Tujuan Meminimalkan .. 2
• Nilai setiap variabel dasar (s1 dan s4) harus = 0, maka:
Baris Z
[ −1 3 5 M 0 0 M 0 ]
−M [ 0 2 0 1 0 0 0 8 ]
−M [ 0 6 5 0 0 −1 1 30 ]
1 (−8M+3) (−5M+5) 0 0 M 0 (−38M)
Materi #8 Ganjil 2014/2015 326623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 17
Langkah Solusi Fungsi Tujuan Meminimalkan .. 3
• Iterasi 0:
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 NK Index
Z −1 (−8M+3) (−5M+5) 0 0 M 0 (−38M)
s1 0 2 0 1 0 0 0 8 4
s2 0 0 3 0 1 0 0 15 ∼
s3 0 6 5 0 0 −1 1 30 5
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 NK Index
Z −1 3 (−5M+5) (4M−3/2) 0 M 0 (−6M−12)
x1 0 1 0 ½ 0 0 0 4 ∼
s2 0 0 3 0 1 0 0 15 5
s3 0 0 5 −3 0 −1 1 6 6/5
Materi #8 Ganjil 2014/2015 336623 - Taufiqurrahman
Langkah Solusi Fungsi Tujuan Meminimalkan .. 5
• Iterasi 0:
VD Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 NK Index
Z −1 0 0 (M+3/2) 0 1 M+1 (−18) Zmin
x1 0 1 0 1/2 0 0 0 4 x1
s2 0 0 1 9/5 1 3/5 −3/5 5 2/5
x2 0 0 1 −3/5 0 −1/5 1/5 6/5 x2
• Karena (–Z) = (−18), maka Z = 18• Penyelesaian telah mencapai solusi optimum: x1 = 4 ; x2 = 6/5 ; Zmin = 18
Materi #8 Ganjil 2014/2015 346623 - Taufiqurrahman
TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015
6623 - Taufiqurrahman 18
Tugas
• Buat menjadi 3 kelompok. (Di absen ada 39 org, jadimaksimal tiap kelompok berjumlah 13 org).
• Soal lihat di hybrid learning atau di blog:http://taufiqurrahman.blog.esaunggul.ac.id
• Jawaban dibuat dalam power point dan dikirm ke email:
dan di cc. ke:
• Waktu pengiriman, maksimal 1 hari sebelum pertemuanke-7 (tgl. 26 Maret 2012), pkl. 16.00 wib.
Materi #8 Ganjil 2014/2015 356623 - Taufiqurrahman
Materi #8 Ganjil 2014/2015 6623 - Taufiqurrahman 36