Upload
ronalson-sirait
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program linier
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan
dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau
meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan
linier. Metode analisis yang paling bagus untuk menyelesaikan persoalan alokasi sumber
ialah metode program linier. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program
linier ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi
yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya ialah
menerjemahkan masalah yang ada ke dalam model matematika.
Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan problema-problema alokasi
sumber daya, seperti dalam bidang manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia,
administrasi dan lain sebagainya.
Bentuk standar dari permasalahan program linier adalah:
a. Penulisan dalam bentuk skalar untuk kasus maksimasi
Maksimumkan :
𝑓 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 (2.1)
Dengan kendala :
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Universitas Sumatera Utara
𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 ≥ 0
Atau dapat juga ditulis dengan menggunakan lambang penjumlahan yaitu:
Maksimumkan :
𝑓 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 = 𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.2)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖𝑛𝑗=1 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Di mana 𝑐𝑗 , 𝑏𝑖 dan 𝑎𝑖𝑗 diketahui konstan.
Keterangan:
𝒄𝒋 = parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan
keputusan dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi 𝑐𝑗 menunjukkan
keuntungan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimasi 𝑐𝑗
menunjukkan biaya per unit.
𝒙𝒋 = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak
diketahui). Karena 𝑗 = 1, 2,⋯ , 𝑛 berarti dalam hal ini terdapat 𝑛 variabel
keputusan.
𝒂𝒊𝒋 = koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke-𝑖 .
𝒃𝒊 = sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang
bersangkutan; disebut juga konstanta sebelah kanan dari kendala ke-𝑖. Karena
𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚 berarti dalam hal ini terdapat 𝑚 jenis sumber daya.
𝒁 = Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan nilai fungsi tujuan.
b. Penulisan dalam bentuk matriks untuk kasus maksimasi
Maksimumkan :
𝒁 = 𝒄𝑻𝑿 (2.3)
Dengan kendala :
𝑨𝑿 = 𝑩 dan 𝑿 ≥ 𝟎
Universitas Sumatera Utara
Dimana 𝑿 =
𝒙𝟏𝒙𝟐⋮𝒙𝒏
, 𝑩 =
𝒃𝟏𝒃𝟐⋮𝒃𝒏
, 𝒄 =
𝒄𝟏𝒄𝟐⋮𝒄𝒏
, 𝑨 =
𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟏⋮
𝒂𝒎𝟏
𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐⋮
𝒂𝒎𝟐
……⋮…
𝒂𝟏𝒏𝒂𝟐𝒏⋮
𝒂𝒎𝒏
Dan 𝑻 menyatakan transpose.
2.2 Asumsi-asumsi yang Harus Dipenuhi dalam Program Linier
Ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan
ke dalam model matematik persamaan linier sehingga problema itu dapat dikatakan absah
menjadi suatu permasalahan program linier, yaitu:
a. Asumsi Linierity (Linieritas)
Asumsi ini menyatakan bahwa fungsi tujuan dan semua kendala harus berbentuk linier.
Dengan kata lain, apabila suatu kendala melibatkan dua variabel keputusan maka dalam
diagram dimensi dua kendala tersebut akan berupa suatu garis lurus. Demikian juga
apabila suatu kendala melibatkan tiga variabel akan menghasilkan suatu bidang datar dan
kendala yang melibatkan 𝑛 variabel akan menghasilkan hyperplane (bentuk geometris
yang rata) dalam ruang berdimensi 𝑛.
b. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Penambahan)
Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien variabel
keputusan dan fungsi tujuan) merupakan jumlah dari individu-individu 𝑐𝑗 dalam program
linier. Misalnya, keuntungan total 𝑍 yang merupakan variabel keputusan, sama dengan
jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan (𝑐𝑗𝑥𝑗 ). Dan juga, seluruh
sumber daya yang digunakan untuk semua kegiatan harus sama dengan jumlah sumber
daya yang digunakan untuk masing-masing kegiatan.
c. Asumsi Proportionality (Proporsionalitas/ Kesebandingan)
Asumsi ini menyatakan bahwa jika variabel keputusan (𝑥𝑗 ) mengalami perubahan, maka
dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan
Universitas Sumatera Utara
(𝑐𝑗𝑥𝑗 ) dan juga pada kendalanya (𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ). Misalnya, apabila variabel keputusan dinaikkan
dua kali. Maka secara proporsional (seimbang dan serasi) nilai-nilai fungsi tujuan dan
kendalanya juga akan menjadi dua kali lipat.
d. Asumsi Divisibility (Divisibilitas/ Pembagian)
Asumsi ini menyatakan bahwa nilai variabel keputusan (𝑥𝑗 ) yang diperoleh tidak harus
berupa bilangan bulat, artinya nilai variabel keputusan bisa diperoleh pada nilai pecahan.
e. Asumsi Certainty (Deterministik/ Kepastian)
Asumsi ini menghendaki bahwa semua parameter dalam program linier (𝑐𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑖)
harus bernilai tetap dan diketahui atau ditentukan secara pasti.
2.3 Metode Simpleks
Pada umumnya permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode grafik dan metode simpleks. Kedua metode ini tentunya memiliki kebaikan dan
kelemahannya. Aplikasi kedua metode ini tergantung atas problema yang dihadapi.
Metode grafik digunakan apabila jumlah variabel keputusan hanya dua dan jumlah
kendala dalam model sedikit (pada umumnya tidak lebih dari 4 kendala). Apabila jumlah
kendalanya banyak (> 4 kendala), maka akan sukar untuk melukiskan garis kendalanya
dalam grafik.
Sehingga meskipun permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode grafik, akan tetapi untuk permasalahan program linier dengan lebih
dari 3 variabel maka metode grafik ini tidak dapat digunakan. Oleh karena itu, pada tahun
1947 George Dantzig mengajukan satu metode yang paling berhasil untuk menyelesaikan
suatu permasalahan program linier, dan metode itu dinamakan metode simpleks dan telah
diperbaiki oleh beberapa ahli lain.
Universitas Sumatera Utara
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu
pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar fisibel (feasible) lainnya dan ini
dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya
tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step/ iterasi menghasilkan
suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya
(Supranto, 1983).
2.3.1 Langkah-langkah Metode Simpleks
Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan
proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks
adalah:
a. Berdasarkan bentuk baku, tentukan solusi awal (initial basic feasible solution)
dengan menetapkan n-m variabel nonbasis sama dengan nol. Di mana n jumlah variabel
dan m banyaknya kendala.
b. Kemudian dipilih sebuah entering variable (variabel yang masuk) di antara yang
sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan di atas nol, dapat memperbaiki
nilai fungsi tujuan. Apabila tidak ada maka berhenti, berarti solusi sudah optimal. Jika
tidak, maka lanjutkan ke langkah c.
c. Selanjutnya pilih sebuah leaving variable (variabel yang keluar) di antara yang
sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika
entering variable menjadi variabel basis.
d. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variable dan leaving
variable menjadi nonbasis. Selanjutnya kembali ke langkah b.
Selanjutnya akan dijelaskan langkah-langhkah penyelesaian persoalan yang
formulasinya mempunyai bentuk sebagai berikut:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.4)
Dengan kendala:
Universitas Sumatera Utara
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 ,
𝑥𝑗 ≥ 0,
𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚 , 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Perhitungan simpleks yang lebih rinci akan diterangkan dengan langkah berikut:
Langkah 1 : Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Fungsi tujuan diubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua 𝑐𝑗𝑥𝑗 ke kiri.
Fungsi kendala selain kendala nonnegatif diubah menjadi bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack, yaitu suatu variabel yang mewakili tingkat pengangguran
kapasitas yang merupakan batasan.
Langkah 2 : Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1.
Tabel 2.1 Bentuk Umum Tabel Simplek Awal
Basis 𝑪 𝐶1 𝐶2 . . 𝐶𝑛 0 0 . . 0 Solusi
𝒙𝟏 𝒙𝟐 . . 𝒙𝒏 𝑺𝟏 𝑺𝟐 . . 𝑺𝒎
𝑺𝟏 0 𝑎11 𝑎12 . . 𝑎1𝑛 1 0 . . 0 𝑏1
𝑺𝟐 0 𝑎21 𝑎22 . . 𝑎2𝑛 0 1 . . 0 𝑏2
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
𝑺𝒎 0 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . 𝑎𝑚𝑛 0 0 . . 1 𝑏𝑚
𝒁𝒋 − 𝑪𝒋 −𝐶1 −𝐶2 . . −𝐶𝑚 0 0 . . 0 0
Kolom baris menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis yaitu 𝑆1,𝑆2,⋯ , 𝑆𝑚 yang
nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi. Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa
variabel nonbasis 𝑥1, 𝑥2 ,⋯ , 𝑥𝑛 (yang tidak ditunjukkan pada kolom basis) sama dengan
nol.
Universitas Sumatera Utara
Langkah 3 : Menentukan entering variable (variabel yang masuk).
Tabel di atas memperlihatkan bahwa pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 kolom 𝑥1, 𝑥2 ,⋯ , 𝑥𝑛 nilainya
negatif. Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 dapat diperbaiki dengan
meningkatkan nilai 𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 pada baris 𝑍𝑗 − 𝑐𝑗 menjadi tidak negatif. Untuk itu
pilihlah kolom pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 (termasuk kolom slack) yang mempunyai nilai negatif
terbesar, selanjutnya kolom ini digunakan sebagai entering variable. Jika ditemukan lebih
dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan
nilai negatif berarti solusi sudah optimal.
Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 yang nilainya positif
terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi sudah optimal.
Dan pada persoalan di atas kolom 𝑥2 merupakan entering variable.
Langkah 4 : Menentukan leaving variable (variabel yang keluar).
Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan
cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada kolom entering nya.
𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 =𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖
𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔𝑛𝑦𝑎 (2.5)
Baris yang memiliki rasio yang nilainya positif terkecil selanjutnya akan digunakan
sebagai leaving variable. Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci
(kolom entering variable) ini, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.
Kolom pada entering variable dinamakan entering column, dan baris yang berhubungan
dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering
column dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot.
Langkah 5 : Menentukan persamaan pivot baru.
𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑢 =𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑙𝑎𝑚𝑎
𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 (2.6)
Universitas Sumatera Utara
Langkah 6 : Menentukan persamaan-persamaan baru selain persamaan pivot baru.
Persamaan baru = (Persamaan lama) – (Koefisien kolom entering x persamaan pivot
baru) (2.7)
Langkah 7 : Lanjutkan perbaikan-perbaikan.
Lakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 6 hingga
diperoleh hasil optimal.
2.3.2 Program QM
Program QM adalah paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. Program QM juga adalah salah
satu software yang dapat digunakan untuk membantu perhitungan masalah program
linier.
Gambar 2.1 Tampilan Sementara (Splash) dari Program QM
Universitas Sumatera Utara
2.4 Teori Himpunan Crisp Dan Teori Himpunan Fuzzy
Himpunan Crisp A didefinisikan oleh item-item yang ada pada himpunan itu. Pada teori
himpunan Crisp, keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan A, hanya akan memiliki
dua kemungkinan keanggotaan, yaitu menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A
(Chak, 1998). Suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan suatu
elemen 𝑥 dalam suatu himpunan A, sering disebut dengan nama nilai keanggotaan atau
derajat keanggotaan, dinotasikan dengan 𝜇𝐴 𝑥 . Pada himpunan Crisp, hanya ada 2 nilai
keanggotaan, yaitu 𝜇𝐴 𝑥 = 1 untuk 𝑥 menjadi anggota A, dan 𝜇𝐴 𝑥 = 0 untuk 𝑥 bukan
anggota A.
Teori himpunan fuzzy yang ditemukan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965
merupakan kerangka matematis yang digunakan untuk mempresentasikan ketidakpastian,
ketidakjelasan, ketidaktepatan, kekurangan informasi, dan kebenaran parsial (Tettamanzi,
2001). Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi
karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada
interval 0, 1 . Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta
pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak
diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau
salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai
yang terletak antara benar dan salah.
Menurut (Kusumadewi, 2002)
Misalkan dimiliki variabel umur yang dibagi menjadi 3 kategori, yaitu:
MUDA umur < 35 tahun
SETENGAH BAYA 35 tahun ≤ umur ≤ 55 tahun
TUA umur > 55 tahun
Dengan menggunakan pendekatan himpunan Crisp, amatlah tidak adil untuk
menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal
yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 tahun dan 56 tahun
Universitas Sumatera Utara
sangatlah jauh berbeda, di mana umur 55 tahun termasuk dalam setengah baya,
sedangkan umur 56 tahun termasuk sudah tua. Demikian juga halnya untuk klasifikasi
muda dan tua. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan muda, sedangkan orang yang
berumur 35 tahun sudah tidak muda lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk stengah
baya menurut pengklasifikasian, tetapi orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah
tidak setengah baya lagi tetapi sudah termasuk tua.
2.5 Fungsi Keanggotaan Trapezoidal (Trapesium)
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan
pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan
derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Atau dapat dinotasikan
sebagai berikut :
𝜇𝐴: 𝕽 → 0, 1
Untuk x ∈ 𝕽 maka µA(x) adalah derajat keanggotaan x dalam A.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan trapezoidal
jika mempunyai empat buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℝ dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑, dan
dinyatakan dengan 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥,𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 dengan aturan:
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (2.8)
1 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥;𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 =
𝑑−𝑥
𝑑−𝑐 untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑
0 untuk lainnya
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai
berikut:
Universitas Sumatera Utara
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥;𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑥−𝑎
𝑏−𝑎, 1,
𝑑−𝑥
𝑑−𝑐 , 0 (2.9)
2.6 Fuzzy Linear Programming (FLP)
Dalam fuzzy linear programming akan dicari suatu nilai 𝑍 yang merupakan fungsi
objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang
dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy.
Bentuk umum dari fuzzy linear programming (FLP) untuk kasus maksimasi
adalah:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝑐 𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.10)
Dengan kendala:
𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0 , 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Di mana 𝑐 𝑗 , 𝑎 𝑖𝑗 , dan 𝑏 𝑖 semuanya adalah bilangan fuzzy.
Keterangan:
𝑍 = Fungsi tujuan
𝑐 𝑗 = Nilai kontribusi
𝑥𝑗 = Variabel keputusan
𝑎 𝑖𝑗 = Koefisien teknologi
𝑏 𝑖 = Konstanta sebelah kanan (sumber daya)
2.6.1 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Berbentuk Bilangan Fuzzy
Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy
untuk kasus maksimasi adalah:
Universitas Sumatera Utara
Maksimumkan:
𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.11)
Dengan kendala:
𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy,
terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
Asumsi 1: Koefisien teknologi 𝑎 𝑖𝑗 dikatakan berbentuk bilangan fuzzy apabila
memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:
1 jika 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 (2.12)
𝜇𝑎𝑖𝑗 𝑥 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑑𝑖𝑗−𝑥
𝑑𝑖𝑗 jika 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗
0 jika 𝑥 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗
di mana 𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑑𝑖𝑗 > 0 untuk semua 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛.
Defuzzyfikasi adalah perubahan dari suatu besaran fuzzy ke suatu besaran
numerik, sedangkan fuzzyfikasi adalah perubahan dari besaran numerik ke suatu besaran
fuzzy.
Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama fungsi objektif (tujuan)
harus diubah ke dalam kondisi fuzzy, yaitu dengan menghitung batas bawah (𝑍𝑙) dan batas
atas (𝑍𝑢 ) dari nilai optimal awal. Batas-batas dari nilai optimal ini akan diperoleh dengan
menyelesaikan permasalahan program linier standar berikut:
Maksimumkan:
𝑍1 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.13)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
Universitas Sumatera Utara
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Dan juga
Maksimumkan:
𝑍2 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.14)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Dari persamaan di atas, nilai dari fungsi objektif (tujuan) berada di antara 𝑍1 dan 𝑍2 di
mana nilai koefisien teknologi mengalami perubahan di antara 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 . Dengan
nilai batas bawah 𝑍𝑙 = 𝑚𝑖𝑛 𝑍1,𝑍2 dan nilai batas atas 𝑍𝑢 = 𝑚𝑎𝑥 𝑍1,𝑍2 .
Asumsi 2: Permasalahan linier crisp yaitu persamaan 𝑍1 dan 𝑍2 di atas memiliki nilai
optimal yang terbatas. Pada kasus ini nilai optimal dari himpunan fuzzy 𝐺, di mana
merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑛 , dalam buku Klir dan Yuan didefinisikan sebagai:
0 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑙 (2.15)
𝜇𝐺 𝑥 = 𝐶𝑗𝑥𝑗−𝑍𝑙
𝑛𝑗=1
𝑍𝑢−𝑍𝑙 jika 𝑍𝑙 ≤ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑢
1 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≥ 𝑍𝑢
Himpunan fuzzy dari kendala ke-𝑖, yaitu 𝐶𝑖 yang merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑚 ,
didefinisikan ke dalam persamaan:
0 , 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.16)
𝜇𝐶𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖− 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛𝑗=1
𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1
, 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛𝑗=1
1 , 𝑏𝑖 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan definisi keputusan fuzzy yang diperkenalkan oleh Bellman dan
Zadeh, maka terdapat:
𝜇𝐷 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 𝜇𝐺 𝑥 , min𝑖 𝜇𝐶𝑖 𝑥 (2.17)
Untuk kasus ini keputusan fuzzy yang optimal adalah solusi dari permasalahan:
max𝑥≥0 𝜇𝐷 𝑥 = max𝑥≥0 𝑚𝑖𝑛 𝜇𝐺 𝑥 , min𝑖 𝜇𝐶𝑖 𝑥 (2.18)
Dengan demikian bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi
berbentuk bilangan fuzzy menjadi permasalahan optimisasi:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝜆 (2.19)
Dengan kendala:
𝜇𝐺 𝑥 ≥ 𝜆
𝜇𝐶𝑖 𝑥 ≥ 𝜆, 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1
Dengan menggunakan persamaan (2.15) dan (2.16), permasalahan di atas dapat ditulis ke
dalam bentuk:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝜆 (2.20)
Dengan kendala:
𝜆 𝑍𝑢 − 𝑍𝑙 − 𝑐𝑗𝑥𝑗 + 𝑍𝑙 ≤ 0𝑛𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 + 𝜆𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑏𝑖 ≤ 0𝑛𝑗=1 ,
𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
𝑥𝑗 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1
Dengan catatan kendala dalam permasalahan ini mengandung aturan cross product yaitu
𝜆𝑥𝑗 adalah nonkonveks. Oleh Karena itu solusi dari permasalahan ini memerlukan
Universitas Sumatera Utara
penyelesaian khusus yang diadopsi dari penyelesaian permasalahan optimisasi
nonkonveks.
2.6.2 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Dan Konstanta Sebelah Kanan
Berbentuk Bilangan Fuzzy
Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah
kanan berbentuk bilangan fuzzy untuk kasus maksimasi adalah:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.21)
Dengan kendala:
𝑎 𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan
berbentuk bilangan fuzzy, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
Asumsi 1: Koefisien teknologi 𝑎 𝑖𝑗 dan konstanta sebelah kanan 𝑏 𝑖 dikatakan
berbentuk bilangan fuzzy apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:
1 jika 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 (2.22)
𝜇𝑎𝑖𝑗 𝑥 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑑𝑖𝑗−𝑥
𝑑𝑖𝑗 jika 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗
0 jika 𝑥 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗
Dan juga
Universitas Sumatera Utara
1 jika 𝑥 < 𝑏𝑖 (2.23)
𝜇𝑏𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖+𝑝𝑖−𝑥
𝑑𝑖𝑗 jika 𝑏𝑖 ≤ 𝑥 < 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖
0 jika 𝑥 ≥ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖
Di mana 𝑥 ∈ 𝑅. Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama akan dicari
nilai optimal dari batas atas 𝑍𝑢 dan batas bawah 𝑍𝑙 permasalahan tersebut. Nilai
batas-batas tersebut akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier
standar, dengan mengasumsikan bahwa batas-batas tersebut memiliki nilai optimal yang
terbatas.
Untuk 𝑍1 , persamaannya adalah:
Maksimumkan:
𝑍1 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.24)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Untuk 𝑍2 , persamaannya adalah:
Maksimumkan:
𝑍2 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.25)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Untuk 𝑍3 , persamaannya adalah:
Maksimumkan:
𝑍3 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.26)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖𝑛𝑗=1 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
Universitas Sumatera Utara
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Dan untuk 𝑍4 , persamaannya adalah:
Maksimumkan:
𝑍4 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.27)
Dengan kendala:
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
Maka batas bawah 𝑍𝑙 = 𝑚𝑖𝑛 𝑍1,𝑍2,𝑍3 ,𝑍4 dan batas atas 𝑍𝑢 = 𝑚𝑎𝑥 𝑍1,𝑍2,𝑍3 ,𝑍4 .
Nilai dari fungsi objektif berada di antara batas bawah dan batas atas sementara nilai
koefisien teknologi berada di antara 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 , dan nilai konstanta sebelah kanan
berada di antara 𝑏𝑖 dan 𝑏𝑖 + 𝑝𝑖 .
Asumsi 2: Nilai optimal himpunan fuzzy 𝐺, didefinisikan sebagai:
0 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 < 𝑍𝑙 (2.28)
𝜇𝐺 𝑥 = 𝐶𝑗𝑥𝑗−𝑍𝑙
𝑛𝑗=1
𝑍𝑢−𝑍𝑙 jika 𝑍𝑙 ≤ 𝑐𝑗𝑥𝑗 < 𝑍𝑢
𝑛𝑗=1
1 jika 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≥ 𝑍𝑢
Himpunan fuzzy dengan kendala ke-𝑖 yaitu 𝐶𝑖 yang merupakan himpunan bagian dari 𝑅𝑛
didefinisikan ke dalam:
0 , 𝑏𝑖 < 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (2.29)
𝜇𝐶𝑖 𝑥 = 𝑏𝑖− 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛𝑗=1
𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1
, 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 ≤ 𝑏𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑝𝑖
𝑛𝑗=1
1 , 𝑏𝑖 ≥ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑝𝑖
Dengan menggunakan metode defuzzyfikasi, permasalahan direduksi menjadi:
Maksimumkan:
𝑍 = 𝜆 (2.30)
Universitas Sumatera Utara
Dengan kendala:
𝜆 𝑍𝑢 − 𝑍𝑙 − 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑍𝑙 ≤ 0
𝑎𝑖𝑗 + 𝜆𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝜆𝑝𝑖 − 𝑏𝑖 ≤ 0𝑛𝑗=1 ,
𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1, 2,⋯ ,𝑛
𝑥𝑗 ≥ 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 1
Dengan catatan seperti pada kasus program linier dengan koefisien teknologi berupa
bilangan fuzzy.
Universitas Sumatera Utara