Program prijemnog ispita iz matematike za upis studijskog ... · Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i programom za srednje obrazovanje

Program prijemnog ispita iz matematike

za upis studijskog programa Građevinsko inženjerstvo

Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i

programom za srednje obrazovanje.

1. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, iracionalni, realni, kompleksni)

2. Stepenovanje i korenovanje

3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi

4. Pojam funkcije. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih

jednačina i nejednačina

5. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina

6. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine

7. Pojam logaritma. Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Eksponencijalne i logaritamske

jednačine i nejednačine

8. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije

9. Aritmetički i geometrijski nizovi

10. Binomna formula

11. Analitička geometrija u ravni

12. Planimetrija

13. Stereometrija

UNIVERZITET U KRAGUJEVCU

MA[INSKI FAKULTET KRALJEVO

ZBIRKA TESTOVA ZA POLAGANJE PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE

dr MILOJE RAJOVI], redovni profesor mr LJUBICA LALOVI], asistent

Građevinsko inženjerstvo

Kraljevo, 2012.

SADR@AJ TESTOVI IZ MATEMATIKE

Test broj 1 ..................................................................................................................... 3 Re{enja zadataka iz testa broj 1 ................................................................................. 6 Test broj 2 ................................................................................................................... 16 Re{enja zadataka iz testa broj 2 ............................................................................... 19 Test broj 3 ................................................................................................................... 32 Re{enja zadataka iz testa broj 3 ............................................................................... 35 Test broj 4 ................................................................................................................... 46 Re{enja zadataka iz testa broj 4 ............................................................................... 49 Test broj 5 ................................................................................................................... 61 Test broj 6 ................................................................................................................... 64

TEST BROJ 1

1. Vrednost izraza

202 3 12

11 495 7 5

je:

A) 1; B) 0,49; C) 10

17; D)

2175

348; E) – 5,51.

2. Ostatak deljenja polinoma 5 3

5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom

1P (x) x 1 je:

A) 80; B) 60; C) 1,25; D) 124; E) 0.

3. Koliko re{enja ima jedna~ina x2 0 ? A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.

4. Skup re{enja nejedna~ine (x 5)(4 x) 0 je:

A) , 4 5, ; B) 4, 5 ; C) , 5 ; D) 4, ;

E) , 4 5, .

5. Ako je povr{ina lopte 324 , njena zapremina je:

A) 318 ; B) 3 218 ; C) 972 ; D) 2916 ; E) 108 . 6. Proizvod svih re{enja jedna~ine 2x 2 x 3 0 je:

A) 13; B) – 7; C) 12,5; D) – 9; E) 9.

7. Koliko re{enja u intervalu 0, 2 ima jedna~ina 2sin x cos x 1 0 ?

A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.

8. Jedna~ina 2x 14 x 7 x 5 A) ima dva realna pozitivna re{enja; B) ima dva realna re{enja od kojih je samo jedno pozitivno; C) ima samo jedno realno re{enje;

4 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike

D) ima ~etiri realna pozitivna re{enja; E) nema realnih re{enja.

9. Ako je 5log 8 a i 5log 9 b tada je 5log 6 jednak:

A)

6

3a 2b; B)

6

2a 3b; C)

2a 3b

6; D)

3a 2b

6; E)

5

2a 3b.

10. Ako je 1z 9 7i , 2z 3 i tada je 312

2

z2z

z jednako:

A) 5 3i ; B) 2 6i ; C) 10; D) 5i; E) 38 49i .

11. U aritmeti~kom nizu, sa razli~itim ~lanovima, prvi, peti i jedanaesti ~lan obrazuju geometrijski niz. Ako je prvi ~lan 24, deseti ~lan aritmeti~kog niza je:

A) 48; B) 50; C) 51; D) 54; E) 72.

12. Ako je 0 0x , y re{enje sistema jedna~ina

x y

2

3 2 16

log x y 4

tada je 0 0x y :

A) – 4; B) – 1; C) 1

2; D) 7; E) 2 .

13. Jedna~ina prave (t1) kojoj pripada tetiva parabole 2y 20x , ~ije je sredi{te

ta~ka S(2,5) je: A) y=x; B) y 2x 1 ; C) y 10x 7 ; D) y 5 ;

E) 1

y x 63

.

14. Ako je

,2

tada je izraz

3 3

2

sin cos cos2tg ctg

sin cos 1 ctg jednak:

Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 5

A) 2; B) 3; C) 1; D) -1; E) -2.

15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave pararelne stranicama trougla. Na taj na~in formirana su tri manja trougla ~ije su povr{ine 1,4 i 9. Povr{ina trougla ABC je:

A) 36; B) 64; C) 48; D) 10; E) 27.


RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 1

1. Vrednost datog izraza je:

2 2

0

2 2 2 2

2 3 12 2 3 1211 49 1 7

5 7 5 5 7 5

2 36 50 35 76 6 6 6

5 35 35 50 10

496 0, 49 6 5, 51

100

Ta~an odgovor je E).

2. Izvr{imo deljenje datih polinoma: 5 3 4 3 24x 9x 19x 92 : x 1 4x 4x 13x 13x 32 5 44x 4x

4 3

4 3

4x 9x 19x 92

4x 4x

3

3 2

13x 19x 92

13x 13x

2

2

13x 19x 92

13x 13x

32x 92

32x 32

60 Ostatak je 60.Ostatak moèmo da odredimo i primenom Bezuove teoreme: Ostatak pri deljenju polinoma 5 3

5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom

1P (x) x 1 je 5 3

5P ( 1) 4 1 9 1 19 1 92 60 .

Dakle, ta~an odgovor je B).


3. x2 0 za x R , pa jedna~ina nema re{enje ( videti grafik funkcije

xf(x) 2 , sl.1 ) y

x0

1

Sl.1 Ta~an odgovor je A). 4. O znaku proizvoda x 5 4 x zaklju~ujemo na osnovu znaka ~inilaca

( sl. 2 ).

znak 4-x

znak (x-5)(4-x)

znak x-5

-1

-1

0 1

0 1

-1 0 1

2 3

2 3

4 5

4 5

6 x

6 x

2 3 4 5 6 x

Sl. 2

(x 5)(4 x) 0 ako je x 5 0 ili 4 x 0 , tj. x 5 ili x 4 .

Dakle, (x 5)(4 x) 0 za x , 4 5, .

Nejedna~inu (x 5)(4 x) 0 smo mogli da napi{emo i u obliku

2x 9x 20 0 . Na osnovu grafika kvadratne funkcije 2f(x) x 9x 20 ( sl. 3 ),

zaklju~ujemo da je skup re{enja nejedna~ine , 4 5, .


x

-20

0 4 5

Sl. 3

Ta~an odgovor je E). 5. Ako je r polupre~nik lopte povr{ina lopte je 2

LP 4 r , a zapremina lopte

3L

4V r

3.

Kako je 2 24 r 324 to je 4r 324 , odnosno 2r 81 . Pozitivno re{enje dobijene jedna~ine je r 9 . Dakle, zapremina lopte je:

3L

L

4V 9

3V 972

Ta~an odgovor je C).

6. Kako je

x, x 0x

x, x 0 , data jedna~ina se transformi{e u dve jedna~ine:

1) Za x 0 jedna~ina glasi


2

1, 2

x 2x 3 0 , odakle je

2 4 12x

2

1

2

x 3

x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )

2) Za x 0 jedna~ina glasi

2

1, 2

1

2

x 2x 3 0 , odakle je

2 4 12x

2x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )

x 3

Dakle, data jedna~ina ima re{enja 1x 3 i 2x 3 . Proizvod re{enja je:

1 2x x 9

Ta~an odgovor je D).

7. Kako je 2 2sin x 1 cos x , data jedna~ina moè da se napi{e u obliku:

2cos x cos x 2 0 Posle uvo|enja smene cos x t , dobijamo:

2t t 2 0 odakle je

1t 1 , 2t 2 .

Ako je t 1 , onda je: cos x 1 odakle je x 2k , k Z

Ako je t 2 , onda je: cos x 2 ( ova jedna~ina nema re{enje, jer je 1 cos x 1 )

Ako je k 0 , re{enje jedna~ine je x 0, 2 .

Ta~an odgovor je B).


8. Jedna~ina je definisana ako je: 2x 14 0 ; x 7 0 ; x 5 0

odnosno x 7 ; x 7 ; x 5 . Dakle, data iracionalna jedna~ina je definisana za x 7 .

Datu jedna~inu napi{imo u obliku 2x 14 x 7 x 5 . Posle kvadriranja dobijamo:

2x 14 x 7 2 x 7 x 5 x 5 , odakle je

2 x 7 x 5 16 , tj. x 7 x 5 8

odakle posle kvadriranja dobijamo jedna~inu 2x 2x 99 0 . Re{enja ove kvadratne jedna~ine su: 1x 11

2x 9 ( ovo re{enje ne pripada oblasti definisanosti jedna~ine,

pa ne moè biti re{enje jedna~ine ). Dakle, data jedna~ina ima samo jedno realno re{enje ( x 11 ). Ta~an odgovor je C).

9. Jednakost 5log 8 a moèmo napisati u obliku

35 5log 2 a , odakle je 3log 2 a , pa je 5

alog 2

3.

Jednakost 5log 9 b moèmo napisati u obliku

25 5log 3 b , odakle je 2log 3 b , pa je 5

blog 3

2 .

Dakle,

5 5 5 5

a b 2a 3blog 6 log 2 3 log 2 log 3

3 2 6 .

Ta~an odgovor je C). 10. Kako je 1z 9 7i , onda je 1z 9 7i , pa je:


3312

2

3 2 2 3

2

z 9 7i 9 7i 3 i2z 2 3 i

z 3 i 3 i 3 i

2 3 3 3 i 3 3i i

9 7i 3 i2 27 27i 9 i

9 i

27 9i 21i 7 20 30i36 52i 36 52i

10 102 3i 36 52i 38 49i


11. Prvi, peti i jedanaesti ~lan aritmeti~kog niza su:

1

5

11

a 24

a 24 4d

a 24 10d

Kako 1 5 11a , a , a obrazuju geometrijski niz, to je:

5 1 11a a a

odnosno

24 4d 24 24 10d

odakle, posle kvadriranja jedna~ine dobijamo

2

24 4d 24 24 10d ,

odnosno

216d 48d 0, tj.

16d d 3 0 , odakle je d 0 ili d 3

Re{enje d 0 se odbacuje jer je niz sa razli~itim ~lanovima. Zna~i:

10 1

10

a a 9d, tj.

a 51



12. Iz druge jedna~ine sistema x y3 2 16

2log x y 4

dobijamo da je:

4

x y 2

odnosno x y 4 Dati sistem se transformi{e u sistem x y3 2 16 x y 4 . Iz druge jedna~ine je y 4 x , pa je posle zamene u prvoj jedna~ini:

x 4 x

x x

xx

x

3 2 16 , odnosno

3 2 1 , odakle je

3 31 , tj. 1

22

Re{enje dobijene jedna~ine je x 0 . Kako je y x 4 to je y 4 . Re{enje sistema je: x 0 , y 4 , pa je 0 ( 4) 4 . Ta~an odgovor je A).

13. Jedna~ina prave ( t1 ) koja sadrì traènu tetivu ( sl. 4 ) glasi:

y 5 k(x 2)

x

M2(x2,y2)(t1)

0

S(2,5)

M1(x1,y1)

Sl. 4


Prava ( t1 ) prolazi kroz ta~ke M1 ( x1, y1 ) i M2 ( x2, y2 ), pa je koeficijent pravca k prave (t1):

2 1

2 1

y yk

x x

Kako M1 ( x1, y1 ) pripada paraboli, to je: 2

1 1y 20x (1)

Kako M2 ( x2, y2 ) pripada paraboli, to je: 2

2 2y 20x (2)

Kada od jedna~ine (2) oduzmemo jedna~inu (1) dobijamo: 2 2

2 1 2 1y y 20 x x , odakle je

2 1 2 1 2 1y y y y 20 x x (3)

Ta~ka S ( 2, 5 ) je sredi{te duì M1M2, pa je:

1 21 2

1 21 2

x x2 , tj. x x 4

2y y

5 , tj. y y 102

Jedna~ina (3) ( koriste}i jednakost 1 2 y y 10 ) glasi:

2 1 2 1y y 10 20 x x

odakle je

2 1

2 1

y y2

x x.

Jedna~ina prave ( t1 ) glasi:

y 5 2(x 2) , odnosno

y 2x 1


14. Ako je

,2

dati izraz je jednak:

3 3

2

2 2

sin cos cos2tg ctg

sin cos 1 ctg

(sin cos )(sin sin cos cos )

sin cos


2

2

2

cos 12tg 1 sin cos

tgcos1

sincos cos

2 1 sin cos 211

sinsin1 sin cos sin cos 1

Ta~an odgovor je D). 15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave paralelne stranicama trougla.

Neka su povr{ine trouglova EDR, RHK, GRF i ABC redom 1, 4, 9, S. Ako osnovice ovih trouglova obeleìmo sa : x = DR, y = HK, z =RF, a = BC ( sl. 5 ), tada je: 4 x y z a

E

B H

D

KR

F

C

GA

Sl. 5

Trouglovi EDR, RHK, GRF i ABC su sli~ni, pa je:

2 2

2 2

2 2

S : 1 a : x

S : 4 a : y

S : 9 a : z

odakle je

a 2a 3a

5 x ; y ; z S S S

Iz jedna~ina (4) i (5) se dobija:


a 2a 3a 6aa , odakle je a , pa je S 6 ,

S S S Sodnosno S 36

.

Ta~an odgovor je A).

TEST BROJ 2

1. Ako je x 0 i y 0 vrednost izraza 3 23 1 6

2 3

3x 9x x y:

155y 5y

je:

A) 2x y 5 ; B) xy ; C) xy ; D) xy 4 ; E) 2xy .

2. Dat je polinom 3 2f(z) z 3z z 2 . Ako je z 3 2i , tada je f(z) jednako:

A) 1 i ; B) 29 8i ; C) 5 7i ; D) 10 14i ; E) 20 27i .

3. Jednakostrani~ni trougao ABC stranice a = 2 rotira oko prave koja sadrì teme A i normalna je na stranicu AB tog trougla. Zapremina nastalog obrtnog tela je jednaka:

A) ; B) 2 3 ; C) 2 2 ; D) 3 2 ; E) 3 3 .

4. Jedno re{enje jedna~ine 3 22x 5x 13x 30 0 je 1x 2 . Zbir ostala dva

re{enja te jedna~ine je jednak:

A) 2

3; B)

1

6; C)

3

4; D)

1

2; E)

13

12.

5. Izraz

3 2 3arcsin arccos arctg

2 2 3 ima vrednost:

A)

3; B)

2; C)

12; D)

13

6; E)

4.

6. Duìna osnovica trapeza su 10 cm i 5 cm, a duìna krakova 7 cm i 8 cm.

Povr{ina trapeza je:

A) 25 3 cm2; B) 18 5 cm2; C) 20 3 cm2; D) 40 cm2; E) 30 3 cm2.


7. Ako je cos 2 0 i sin 0 R , tada je izraz

2

2

cos sin ctg 1

sin cos sin cos ctg 1 jednak:

A) 1; B) –1; C) 0; D) 2 ; E) 3 .

8. Uglovi trougla su 45 , 30 , a njegov obim 6 3 2 3 .

Povr{ina trougla je jednaka:

A) 6 1 2 ; B) 18 1 3 ; C) 18; D) 18 1 2 ;

E) 4 2 3 .

9. Ta~ka simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu 2x y 1 0 je:

A) (2,3); B) (1,6); C) (1,4); D) (-1,4); E) (-1,5).

10. Ako je 3 3log 7 a , log 2 b tada je izraz 2 7log 7 log 2 jednak:

A) 2 2a b

ab; B)

2 2

a b

a b; C)

ab

a b; D)

2 2a b

a b; E)

2 22a 3b

ab.

11. Celih brojeva koji zadovoljavaju nejedna~inu

2

2

x 1

3x x ima:

A) jedan; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) pet.

12. Zbir re{enja jedna~ine sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x u intervalu

0, 2 , iznosi:

A) 2 ; B) 4 ; C) ; D) 5 ; E) 12 .

13. Broj re{enja jedna~ine x x

2 3 2 3 4 u skupu realnih

brojeva je: A) jedno; B) ~etiri; C) tri; D) nijedno; E) dva.


14. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 21 x 1 3x je: A) 2, 1 ; B) 3, 6 ; C) 0, 1 ; D) 1, 2 ; E) 2, 3 .

15. Re{enja jedna~ine

3 log x log x1

5 log x 1 log x predstavljaju prva dva ~lana

rastu}eg geometrijskog niza. Koliko ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110?

A) osam; B) sedam; C) pet; D) tri; E) {est.



1. Ako je x 0 i y 0 vrednost datog izraza je:

3 23 2 3 3 2 13 1 6 6

2 3 3 23 2 2 3

3 9 2 2 6 3 9 2 6 6 3 9 2 6 6

3 6 2 6 3 6 2 2 3 6 2 2

3

3 x 9 x3x 9x x y x y: :

15 155y 5y 5 y 5 y

3 x 9 x x y 3 x 5 y x y 3 x 5 y x y:

15 155 y 5 y 5 y 9 x 5 y 9 x 15

x y

7 3 7

2 3 2 3 4 6 2 0 03 2 3 6 2 2

x y xy xyxy

1 13 5 5 3 3 5 y x 3 53 5 5 y 3 x 15

Ta~an odgovor je C). 2. Kako je 3 2f(z) z 3z z 2 , z 3 2i a z 3 2i , to je:

3 2

f(z) 3 2i 3 3 2i 3 2i 2

odakle je

3 2 2 3 2

2 3

f(z ) 3 3 3 2i 3 3 (2i) (2i) 3 9 12i 4i

3 2i 2 27 54i 36i 8i 27 36i 12 3 2i

2 9 46i 20 38i 29 8i

Ta~an odgovor je B). 3. Zapremina V nastalog obrtnog tela ( sl.1 ) je:

VK MKV V 2V

gde je VKV - zapremina velike kupe;

MKV - zapremina male kupe.


a BA

C

Sl. 1

Kako je

VK

4 2 3 8 3V

3 3 i

MK

3V

3

to je

8 3 3 6 3

V 2 2 33 3 3

Zapreminu obrtnog tela moèmo da odredimo i primenom Guldinove teoreme: Zapremina obrtnog tela jednaka je proizvodu povr{ine figure koja rotira i obima kru`nice koju opisuje teì{te te figure. Kako je teì{te jednakostrani~nog trougla udaljeno za jedan od ose

obrtanja, to je V 3 2 1 2 3 . Ta~an odgovor je B). 4. Kako je 1x 2 re{enje date jedna~ine, to je polinom 3 22x 5x 13x 30

deljiv sa x 2 : 3 2 22x 5x 13x 30 : x 2 2x x 15 3 22x 4x

2

2

x 13x 30

x 2x

15x 30

15x 30


Dakle,

3 2 22x 5x 13x 30 x 2 2x x 15

Re{enja jedna~ine 22x x 15 0 su x 3 i 5

x2.

Njihov zbir je: 5 1

32 2

.

Ta~an odgovor je D). 5. Vrednost datog izraza je:

3 2 3arcsin arccos arctg

2 2 3 3 4 6

4 3 2

12 12

Ta~an odgovor je C). 6. Kroz teme C trapeza povucimo du` CE paralelnu kraku AD (sl.2). Dobijamo

trougao EBC, ~ije su stranice: EB 5cm , BC 8cm i CE 7cm , a poluobim s 10cm . Primenom Heronovog obrasca dobijamo:

2EBCP 10 5 2 3 10 3 cm

d

D

h

A

c

b C

a E

h

B Sl. 2

Povr{inu trougla EBC moèmo izra~unati i na slede}i na~in:

EBC

5 hP

2


pa je

5 h

10 32

odakle je h 4 3 cm .

Povr{ina datog trapeza je:

a b

P h2

odnosno

210 5P 4 3 30 3 cm

2

Ta~an odgovor je E). 7. Ako je cos 2 0 i sin 0 dati izraz je jednak:

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

cos sin ctg 1

sin cos sin cos ctg 1

cos1cos sin cos sin sin cos sin

sin cos cos1

sin

cos sincos sin 1sin

sin cos cos sin sin cos

sin1 1

cos sin sin

2 2 2

10

cos sin cos

Ta~an odgovor je C). 8. Primenom sinusne teoreme dobijamo (sl.3):

a b c

sin 45 sin 30 sin 105

Kako je

sin 105 sin(60 45 ) sin 60 cos 45 cos 60 sin 45

2( 3 1)

4


dobijamo

a b c12 2

3 122 4

odakle je

a 2 a

b , c 1 32 2

a kako je

a b c 6 3 2 3

to je

a 2 a

a (1 3) 6 3 2 32 2

odakle dobijamo da je

a 12 , onda je b 6 2 , c 6 1 3 .

C

A

b

Bc

a

Sl. 3

Povr{ina trougla ABC je:

ABC

1 1P b c sin 6 2 6 1 3 sin 45 18 1 3

2 2

Ta~an odgovor je B). 9. Ta~ka A’(x’, y’) simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu (p) nalazi se na

pravoj (p’), koja prolazi kroz ta~ku A, a normalna je na pravu (p). Rastojanje ta~ke A’ od prave (p) jednako je rastojanju ta~ke A od prave (p) ( sl. 4 ).


x

y

A'(x',y')

3

2

321012

1

P

(p')

(p)

A(3,2)

4

4 5 6 7

Sl. 4

Jedna~ina prave (p) u eksplicitnom obliku je y 2x 1 . Jedna~ina prave (p’) glasi:

1

y 2 x 32

odnosno

1 7

y x2 2

Odredimo prese~nu ta~ku P pravih (p) i (p’). Njene koordinate x 1 , y 3 su re{enja sistema jedna~ina:

y 2x 1

1 7

y x2 2

Dakle, P(1,3) je sredi{te duì AA’, pa je

3 x '

12

, odakle je x ' 1 i

2 y '3

2, odakle je y ' 4 .

Traèna ta~ka je A’(-1,4). Dakle, ta~an odgovor je D).


10. Iz jednakosti 23

2

log 7log 7

log 3 dobijamo 2 2log 7 a log 3 .

Iz jednakosti 23

1log 3

log 2 dobijamo 2

1log 3

b .

Dakle, 2

1 alog 7 a

b b .

Kako je 72

1log 2

log 7, to je 7

blog 2

a .

Izraz 2 7log 7 log 2 je jednak:

2 2

2 7

a b a blog 7 log 2

b a ab .

Ta~an odgovor je A). 11. Data nejedna~ina je ekvivalentna nejedna~ini:

2

x 1

3x x , koju mo`mo re{iti ako je 2x x 0 , odnosno x 0 i

x 1. 1) Ako je x 0 , jedna~ina glasi:

x 1

x x 1 3 ,

odakle je

1 10

x 1 3 .

Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:

3 x 10

3 x 1

odnosno

4 x0

3 x 1 .


Kako je 3 0 , znak koli~nika

4 x

x 1 odre|ujemo na osnovu znaka

brojioca i imenioca ( sl. 5 ):

-1

-1

0 1

0 1

-1 0 1

znak x-1

znak 4-xx-12 3

2 3

4 5

4 5

6 x

6 x

znak 4-x2 3 4 5 6 x

Sl. 5

Re{enje nejedna~ine je x 1, 4 .

2) Ako je x 0 re{avamo nejedna~inu:

x 1

x x 1 3

odakle je

1 1

1 x 3 .

Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:

1 10

1 x 3

3 1 x0

3 1 x

odnosno

2 x0

3 1 x .

Re{enje ove nejedna~ine je x 2, 1 ( sl. 6 ). Kako je x 0 to je

re{enje x 2, 0 .


znak 1-x

znak 2+x1-x

znak 2+x-1 0 1

x

x

2 3 4 x-2-3

-2-3 -1 0 1 2 3 4

-2-3 -1 0 1 2 3 4 Sl. 6

Skup re{enja date nejedna~ine je 2, 0 1, 4 .

Celi brojevi u ovom intervalu su: -1, 2, 3. Ta~an odgovor je C). 12. Jedna~inu sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x koriste}i trigonometrijske formule sin x sin 3x 2 sin 2x cos x i 21 cos 2x 2 cos x moèmo transformisati u oblik 22 sin 2x cos x sin 2x 2 cos x cos x odnosno 2 cos x 1 sin 2x cos x 0

odakle je (1) 2 cos x 1 0 (2) sin 2x cos x 0 Re{enja jedna~ine (1) su:

k

2x 2k , k Z

3

m

4x 2m , m Z

3

Jedna~ina (2) se moè napisati u obliku cos x 2 sin x 1 0

odakle je cos x 0 2 sin x 1 0 .

Re{enja jedna~ine cos x 0 su:

ix i , i Z2

.


Re{enja jedna~ine 1

sin x2 su:

jx 2j , j Z6

l

5x 2l , l Z

6

Dakle, re{enja date jedna~ine su:

k

2x 2k , k Z

3 ;

m

4x 2m , m Z

3 ;

ix i , i Z2

;

jx 2j , j Z6

;

l

5x 2l , l Z

6 .

Re{enja koja pripadaju intervalu (0, 2 ) su:

1 2 3

4 5 6

2 4x , x , x ,

3 3 23 5

x , x , x . 2 6 6

Zbir re{enja je:

2 4 3 5

53 3 2 2 6 6

Ta~an odgovor je D). 13. Kako je:

2 3 12 3

2 3 2 3

to je data jedna~ina ekvivalentna jedna~ini


xx 1

2 3 42 3

.

Posle uvo|enja smene x

2 3 t , dobijamo

1

t 4t

.

Posle mnoènja jedna~ine sa t (t 0) , dobijamo:

2t 4t 1 0 . Koriste}i formule za re{avanje kvadratne jedna~ine nalazimo:

1

2

t 2 3

t 2 3

1) Ako je t 2 3 onda je:

x

2 3 2 3 ,

odakle je

x

22 3 2 3 .

onda je

x

12

, odnosno, x 2 .

2) Ako je t 2 3 , napi{imo t u obliku:

12 3 1t 2 3 2 3

2 3 2 3

Sada je:

x 1

2 3 2 3 , odnosno,

x1

22 3 2 3

odakle je x 2 . Ta~an odgovor je E).


14. Data nejedna~ina je definisana ako je 21 x 0 odakle je 2x 1 . Skup re{enja ove nejedna~ine je 1, 1 .

1) Ako je 1 3x 0 , tj. 1

x3 , moèmo da kvadriramo datu

nejedna~inu, pa }emo dobiti:

221 x 1 3x , odnosno, 25x 3x 0 .

Re{enja poslednje nejedna~ine su svi brojevi x za koje je 3

0 x5.

Re{enja date nejedna~ine su svi brojevi x za koje je: 1 x 1 , 1

x3

i 3

0 x5.

2) Ako je 1 3x 0 , tj. , 1

x3 , re{enje date nejedna~ine su svi

brojevi x koji pripadaju oblasti definisanosti nejedna~ine, tj.

1 x 1 i zadovoljavaju postavljeni uslov ( 1

x3 ).

Dobijene rezultate predstavimo na slici 7. Zaklju~ujemo da je skup realnih re{enja date nejedna~ine 0, 1 .

x-1 0 135

13

Sl. 7 Ta~an odgovor je C).

15. Jedna~ina

3 log x log x1

5 log x 1 log x je definisana ako je

x 0, 5 log x 0, 1 log x 0 .

Dakle, jedna~ina je definisana za 5 51 1x (0, ) ( , 10 ) (10 , )

10 10.


Transformi{imo datu jedna~inu u oblik: 3 log x 1 log x log x 5 log x 5 log x 1 log x

odakle, posle sre|ivanja dobijamo 2log x 3 log x 2 0 . Posle uvo|enja smene log x t , dobijamo jedna~inu

2t 3t 2 0 ~ija su re{enja 1t 1 i 2t 2 .

Vratimo se na uvedenu smenu. Ako je t 1 onda je log x 1 . Re{enje ove jedna~ine je x 10 . Ako je t 2 onda je log x 2 . Re{enje ove jedna~ine je x 100 .

Dakle, ~lanovi geometrijskog niza su 10, 100 a koli~nik je q 10 . Koriste}i formulu za izra~unavanje zbira n ~lanova geometrijskog niza

n

n 1

1 qS b

1 q dobijamo:

n1 10111110 10

1 10

odnosno

n1 1011111

9

odakle je n1 10 99999 tj. n10 100000 . Re{enje ove jedna~ine je n 5 . Dakle, pet ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110. Ta~an odgovor je C).

TEST BROJ 3 1. Ako je a 1 i a 1 vrednost izraza

2 4 2

2 3

3 a a 1 a a a a3 :

a 1 3a 1 a 1 je:

A)

2

a 1 ; B)

1

a 1 ; C)

12

a 1 ; D)

2

2

a 1 ; E)

3 a

a 1.

2. Broj re{enja jedna~ine

3 4

x7

1 110 10

2 21055 10

u skupu realnih brojeva je:

A) dva ; B) jedno ; C) nijedno ; D) ~etiri ; E) tri.

3. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina

2

x 140

x 3 je:

A) 14, ; B) 14, ; C) 1, 14 ; D) , 14 ;

E) 3, 4

4. Ako je

1 1

a 2 3 , b 2 3 vrednost izraza

1 1

a 1 b 1 je:

A) 3 ; B) –1 ; C) 1 ; D) 2 ; E) 10.

5. Skup re{enja nejedna~ine x 2 4 je: A) 2, 18 B) 1, 3 ; C) 2, 10 ; D) , 18 ; E) 18, 18 .

6. Zapremina pravilnog tetraedra je 27 3 cm3. Visina tetraedra je: A) 5 cm ; B) 4,5 cm ; C) 5,5 cm ; D) 6 cm ; E) 7 cm.

7. Vrednost izraza

7 51 log 2 log 449 5 je:


A) 27

2 ; B)

14

5 ; C)

25

2 ; D)

20

7 ; E)

11

4.

8. Ako je sin x cos x p, p 2 vrednost izraza 4 4sin x cos x je:

A) 2p 2p

4 ; B)

2p 2p

2 ; C)

2p 3p

3 ; D)

4 2p p 1

2 ; E)

4 21 p 2p

2

9. Re{enje jedna~ine z z 3 i je komleksan broj z. Realan deo broja z je:

A) 2

3 ; B)

4

3 ; C)

1

2 ; D)

2

7; E)

1

5.

10. Zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju stepena binoma

n

3

1x x

x,

n N, x 0

za neko n jednak je 256. Srednji ~lan u tom razvoju jednak je:

A) 3 256 x ; B) 345x x ; C) 2 384x x ; D) 356x x ; E) 34 270x x .

11. Skup re{enja nejedna~ine 1 x3

5log x log 3

2 u skupu realnih brojeva je:

A) ( 0,1) ; B) 3, 9 ; C) (1,9) ; D) 0, 1 3, 9 ; E) 3, .

12. Skup realnih re~enja jedna~ine sin 2x tgx 2 0 je:

A)

x x k , k Z4

; B)

x x k , k Z4

;

C)

x x k , k Z6

; D)

x x k , k Z3

;

E)

x x 2k , k Z4

.


13. Zbir svih realnih re{enja jedna~ine

2 x 15x 3 x

x 2 x 2 je:

A) -12 ; B) 2 ; C) -2 ; D) 5 ; E) 1. 14. U krugu sa centrom u ta~ki O tetiva AB jednaka je tetivi AC. Tetiva AD se~e

BC u ta~ki E. Ako je AC = 12 i AE = 8, tada je AD jednako : A) 27 ; B) 24 ; C) 21 ; D) 20 ; E) 18.

15. Od svih ta~aka elipse (E) 2 2x y

19 16

ta~ka najudaljenija od prave (p)

x y 6 0 je:

A) 1, 3 ; B) 2, 3 ; C)

9 16,

5 5 ; D)

9 16,

5 5 ;

E)

9, 2

4.



1. Ako je a 1 i a 1 vrednost datog izraza je:

2 4 2

2 3

2 3 2

2 4

3 a a 1 a a a a3 :

a 1 3a 1 a 1

3 a a 13 a 1 a a

a 1 3a 1 a a

2 2

3

2 2

2

3 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a3

a 1 3a 1 a 1 a a 1

3 a a 1 a 1 a3 a a 1

a 1 a 1 3a a 1 a a 1

2

2

2

2

3 a a 1 a 1 a3

a 1 3a a 1

3a a 1 3a 3a 3 a 1 a

3a a 1

2 2

a 1 a 3a a 13 1

3 a 1a a 1 3a a 1.

Dakle ta~an odgovor je B).

2. Datu jedna~inu moèmo napisati u obliku:

3 4x

7

1 12 10 2 1010

155

10

odakle je:

4

x

7

10 12 1010

5510

.


Posle sre|ivanja dobijamo:

7x

4

11 1010

55 2 10, odakle je

7x

4

11 1010

110 10 pa je x 210 10 . Re{enje

ove jedna~ine je x = 2. Ta~an odgovor je B). 3. Kako je 2x 0 za x R , to je 2x 3 0 za x R .

Ako posmatramo grafik funkcije 2f x x 3 (sl. 1) tako|e

zaklju~ujemo da je 2x 3 0 za x R .

y

03 x

Sl. 1

Dakle, znak koli~nika

2

x 14

x 3 odre|ujemo na osnovu znaka brojioca.

2

x 140

x 3 ako je x 14 0 , odnosno x 14 . Skup realnih vrednosti

x za koje je ta~na data nejedna~ina je 14, .


4. Izra~unajmo a b :


1 1

22

1 1 1a b 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3

11

4 3

Dakle, dobili smo da je a b 1, pa je 1

ba.

Vrednost izraza

1 1 1 1 1 1a 1 b 1

1a 1 b 1 a 1 1a

1 1 1 a 1 a1

1 aa 1 a 1 1 a 1 aa

Ta~an odgovor je C). 5. Nejedna~ina je definisana za x 2 0 tj. x 2 . Moèmo izvr{iti

kvadriranje, pa }emo dobiti: x 2 16 , tj. x 18 .

Dakle, re{enje nejedna~ine je 2 x 18 .


6.

a a

HR H

R

a

a

Sl. 2


Neka je a stranica, a H visina pravilnog tetraedra (sl. 2). Zapremina

tetraedra je 1

V B H3

.

Dakle, 21 a 3

V H3 4

.

Iz pravouglog trougla (sl. 2) po Pitagorinoj teoremi dobijamo: 2 2 2H a R

gde je R – polupre~nik opisane kru`nice jednakostrani~nog trougla,

dakle a 3

R3

pa je 2

2 2 aH a

3 odakle je

22aH

3 tj

a 2H

3.

Dakle, 2 31 a 3 a 2 a 2

V3 4 123

. Iz jedna~ine 3a 2

27 312

dobijamo

3 2 3 3 33 327 3 12 3 2 3 3

a 3 2 3 3 2 32 2

odakle je:

a 3 2 3 cm Visina tetraedra je:

a 2 3 2 3 2

H 63 3

cm.


7. Vrednost datog izraza je:

7 5

7 5 7

1 log 2 log 4log 2 log 4 log 22

49 1 49 149 5

449 5 7

2

7 772 log 2 log 4log 2

49 1 49 1 49 1 49 1 50 25

4 4 4 4 4 4 27 77.

U radu zadatka smo koristili jednkost alog xx a a 0, a 1, x 0

koja sledi iz definicije logaritma.


Ta~an odgovor je C). 8. Vrednost izraza 4 4sin x cos x je:

24 4 2 2 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x

2 21 1

1 2 sin x cos x 1 sin 2x2 2

.

Kako je 2 2 2sin x cos x sin x 2 sin x cos x cos x , odnosno

2p 1 sin 2x ,dobijamo

2 2sin 2x p 1, p 1 1, odakle je p 2 .

Dakle,

4 224 4 21 1 p 2p

sin x cos x 1 p 12 2

.


9. Neka je traèni kompleksni broj z x yi .

Onda je 2 2z x y pa je

2 2x y x yi 3 i , odakle dobijamo

2 2x y x 3

y 1 . Re{imo dobijeni sistem jedna~ina. Kako je y = 1 , to je

2x 1 x 3 , odnosno

2x 1 3 x . Da bi jedna~ina imala re{enja mora 3 x 0 , tj. x 3.

Posle kvadriranja jedna~ine dobijamo: 2 2x 1 9 6x x , odakle je 6x 8 ,

tj. 4

x3

(prihvata se jer je 4

33

).

Re{enje sistema jedna~ina je 4

x3

, y 1 .


Dakle, traèni kompleksni broj je 4

z i3

.

Ta~an odgovor je B). 10. Po binomnoj formuli je:

n k n k kn nn kn k 2 3

3 3k 0 k 0

9n 11kn6

k 0

n n1 1x x x x x x x

k kx x

nx

k

Kada se n

1 1 razvije po binomnoj formuli dobijamo:

n n n n n n1 1 ........ ........

0 1 2 k n odnosno

n

n

k 0

n2

k

Zbir binomnih koeficijenata je n2 . Kako je n2 256 , odnosno n 82 2 , dobijamo n = 8. U razvoju osmog stepena binoma imamo devet ~lanova. Srednji ~lan u razvoju binoma je:

143 3 314 4 2 4 23

8 8 7 6 5 8 7 6 5x x x x 70x x

4! 4 3 2 14.


11. Kako je x argument logaritma na levoj starni i osnova logaritma na desnoj

strani nejedna~ine, to je nejedna~ina definisana za x > 0 i x 1. Ako uvedemo smenu 3log x t , onda je

x

1log 3

t, a 1

3

log x t .

Data nejedna~ina se transformi{e u nejedna~inu:

1 5

tt 2

, odnosno

22t 5t 2

02t

. Re{enja ove nejedna~ine su

1

t 0 t 22

(sl. 3)


0 12

znak t

znak t

t

znak 2t-5t+22 t

0

0 2

2

2t 2t-5t+22

12

Sl. 3

Kada se vratimo na uvedenu smenu dobijamo:

3 3

1log x 0 log x 2

2 odakle je x 1 3 x 9

Dakle, skup re{enja date nejedna~ine je 0, 1 3, 9


12. Kako je 2 2

2 sin x cos xsin 2x

cos x sin x, posle deljenja razlomka sa 2cos x

cos x 0, tj. x k , k Z2

dobijamo

2

2tgxsin 2x

1 tg x

Datu jedna~inu moèmo napisati u obliku:

2

2tgxtgx 2 0

1 tg x odakle posle mnoènja sa 21 tg x

21 tg x 0 za x R dobijamo

3 2tg x 2tg x 3tgx 2 0 Uvedimo smenu tgx t , dobijamo jedna~inu:

3 2t 2t 3t 2 0 Rastavimo na ~inioce levu stranu jedna~ine. Jedna~inu napi{emo u obliku 3 2 2t t t t 2t 2 0 odakle posle izvla~enja zajedni~kog ~inioca

dobijamo:

2t t 1 t t 1 2 t 1 0 i dalje 2t 1 t t 2 0

odakle je


2t 1 t t 2 0 .

Jedna~ina 2t t 2 0 nema realnih re{enja jer je njena diskriminanta D = -7 < 0. Posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:

tgx 1 odakle je x k , k Z4

.


13. Jedna~ina je definisana ako je x + 2 > 0, odnosno x > -2.

Postoje dve mogu}nosti: 1) Ako je x + 2 = 1 , odnosno x = -1 jedna~ina glasi

2x 3 x x 151 1 , ~ije je re{enje x R .

Dakle re{enje jedna~ine je x = -1. 2) Ako je x + 2 1 , odnosno x -1, tada mora da bude

2x 3x x 15 odnosno 2x 2x 15 0

Re{enja ove jedna~ine su x = 3 i x = -5. Poslednje re{enje ne dolazi u obzir zbog uslova x > -2. Data jedna~ina ima dva re{enja x1 = -1 i x2 = 3.

Zbir re{enja je: -1 + 3 = 2 Ta~an odgovor je B).


14.

A

B

D

C

E

O

Sl. 4

Kako je AB = AC, to je trougao BAC jednakokraki ( sl. 4) pa je: ACB ABC ADB jer je periferijski ugao nad lukom AB (nad kojim je i

periferijski ugao ACB). Trouglovi ADB i AEB su sli~ni ( DAB EAB , ABE ADB ) Pa vaì: AD : AB = AB : AE odakle je:

2AB

ADAE

odnosno

212

AD 188



15.

-4

-6

P2

-3

P1

03

4

(E)

y(t2)

(t1)

6(p) x

Sl. 5

Odredimo tangentu (t) elipse koja je paralelna pravoj (p) y x 6 (sl. 5). Kako je prava (t) (p) jedna~ina prave (t) glasi y x n . Uslov da

prava (t) y x n dodiruje elipsu (E) 2 2x y

19 16

je

2 29 1 16 n , tj. 225 n , odakle je 1n 5 i 2n 5 .

Dakle, prave (t1) y x 5 i (t2) y x 5 su tangente elipse (E)

2 2x y

19 16

.

Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5

2 2x y

19 16

Dobijamo dodirnu ta~ku

1

9 16P ,

5 5 prave (t1) i elipse (E).


Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5

2 2x y

19 16

Dobijamo dodirnu ta~ku

2

9 16P ,

5 5 prave (t2) i elipse (E).

Rastojanje d1 ta~ke P1 od prave (p) je:

1

9 166

25 5d

22

Rastojanje d2 ta~ke P2 od prave (p) je:

2

9 166

11 25 5d

22

Kako je d2 > d1 ta~ka

2

9 16P ,

5 5 je ta~ka na elipsi (E) koja je

najudaljenija od prave (p), {to se i na slici 5 moè videti. Ta~an odgovor je D).

TEST BROJ 4 1. Ako je x y i x y vrednost izraza

3 32 2

2 2

x y 2y xy: x y

x y x y x y je:

A) -2 ; B) 3 ; C) 1 ; D) -1 ; E) 5.

2. Vrednost izraza:

3 103 36 34 4 5

3

565 : 5 7 64x

7 je:

A) 2 25 2x ; B) 20 5x ; C) 50 4 2x ; D) 20 2x ;

E) 2 25 2 x .

3. Neka je S1 skup re{enja nejedna~ine

x2 8

3 27, a S2 skup re{enja

nejedna~ine 1

4

log x 2 . Skup 1 2S S S je:

A) ( 2 , 16 ) ; B) ; C) 1 , 4 ) ; D) ( 16 , +) ; E)

1, 3

16.

4. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina

24x 4x 10

x 2 je:

A)

1, 2

2 ; B) 2, 3 ; C)

12,

2 ; D)

1,2

;

E)

1 1, , 22 2

.


5. Rastojanje 1 2d S , S izme|u centra S1 kru`nice

2 21K x y 2x 2y 1 0 i centra S2 kru`nice

2 22K x y 4x 4y 1 0 je:

A) 1 ; B) 4 ; C) 2 ; D) 2 2 ; E) 3 .

6. Imaginarni deo broja

96

92 90

1 iz

2 1 i 1 i je:

A) 8

i17

; B) 2

i3

; C) 5 ; D) 6i ; E) 8

17 .

7. Jedna~ina log x sin x ima:

A) ta~no dva re{enja; B) ta~no tri re{enja; C) ta~no jedno re{enje; D) ta~no sedam re{enja; E) ta~no pet re{enja.

8. Duìne starnica pravouglog trougla ~ine aritmeti~ki niz sa razlikom 2. Duìna

polupre~nika upisane kru`nice trougla je: A) 2 ; B) 3/2 ; C) 1 ; D) 3 ; E) 4.

9. Prava x – y – 2 = 0 dodiruje hiperbolu 2 2

2 2

x yH 1

a b u ta~ki A( 4 , 2).

Jedna~ina hiperbole (H) je:

A) 2 2x y

18 2

; B) 2 2x y 1 ; C) 2 2x y

18 4

; D) 2 2x y

12 4

;

E) 2 2x y

13 2

;

10. U skupu realnih brojeva jedna~ina x x 14 16log 4 1 log 4 4 3 ima:

A) ta~no jedno re{enje; B) beskona~no mnogo re{enja; C) ta~no dva re{enja; D) ~etiri re{enja; E) ta~no tri re{enja.

11. Realno re{enje jedna~ine 3 3 3x 1 3x 1 x 1 pripada intervalu: A) (1,2) ; B) (-3,0) ; C) (-4,-3) ; D) (-1,0) ; E) (3,7).


12. Zbir kubova re{enja jedna~ine 2 26x 6 a 1 x 5a 2a 0 je najve}i

ako realni parametar a ima vrednost:

A) 5 ; B) 1

2 ; C) 3 ; D) 2 ; E) -1.

13. Skup re{enja nejedna~ine

2

3 sin x 21

4 sin x 1 je:

A) 5 7 11

2m , 2m 2k , 2k m Z, k Z.6 6 6 6

B)

52m , 2m m Z.

6 6

C)

7 112k , 2k k Z.

6 6

D)

52k , 2k 2m , 2m k Z, m Z

3 6 3 3

14. Vrednost izraza 4 5

cos cos cos7 7 7

je:

A) 1

8 ; B)

2

9 ; C)

1

6 ; D)

1

8 ; E) 1 .

15. Romb ABCD stranice a, rotira prvo oko stranice AB, a zatim oko dijagonale

AC. Neka su V i V1 zapremine tako nastalih tela. Ako je V : V1 = 9 : 3 o{tar ugao romba je:

A)

4 ; B)

6 ; C)

3 ; D)

12 ; E)

5.



1. Ako je x y i x y vrednost datog izraza je:

2 23 32 2

2 2

x y x xy yx y 2y xy: x y :

x y x y x yx y

2y xy: x y x y

x y x y x y

2 2

2 2 2 2 2

2y x y xy1x xy y

x y x y x y x y

x xy y xy 2y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x y1 .

x y x y


2. Vrednost datog izraza

3 103 36 34 4 5

3

565 : 5 7 64x

7je:

253 3 224 24 5 33

565 : 5 7 64x 8 1 7 4x

7

2 1 49 4x 50 4x 2 25 2x


3. Nejedna~inu

x2 8

3 27 moèmo napisati u obliku

x 32 2

3 3 odakle se

dobija x < 3 ( funkcija

x2

f x3

je monotono opadaju}a:

x 32 2

x 33 3

).


Dakle, S1 = ( - , 3 ). Nejedna~inu 1

4

log x 2 moèmo napisati u obliku 1 1

4 4

log x log 16

odakle se dobija x > 16 ( funkcija 14

f x log x je monotono opadaju}a:

1 1

4 4

log x log 16 x 16 ).

Dakle, S2 = ( 16 , + ).

1 2S S S , 3 16, .


4. Datu nejedna~inu moèmo napisati u obliku

22x 1

0x 2

. Izraz

2 1

2x 1 0 za x2.

O znaku koli~nika

22x 1

x 2 zaklju~ujemo na osnovu znaka imenioca

x 2 . Izraz

22x 1

0x 2

ako je x 2 0 , tj. x 2 .

Dakle, skup realnih re{enja nejedna~ine

24x 4x 10

x 2je

1 1, , 22 2

.


5. Jedna~inu kru`nice 2 2

1K x y 2x 2y 1 0 napi{imo u obliku:

2 2

x 1 y 1 1 .

Dakle, 1S 1, 1 je centar kru`nice 1K , a polupre~nik 1r 1 .

Jedna~inu kru`nice 2 22K x y 4x 4y 1 0 napi{imo u obliku:

2 2

x 2 y 2 9 .


2S 2, 2 je centar kru`nice 2K , a polupre~nik 2r 3 .

Rastojanje 2 2

1 2d S , S 2 1 2 1 ,

odakle dobijamo 1 2d S , S 2 .


6. Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo

21 i 2i .

Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo

21 i 2i .

48296

92 90 46 452 2

48

46 45

2

2 2

1 i1 iz

2 1 i 1 i 2 1 i 1 i

2i 8i 8i

4i 1 1 4i2 2i 2i

8i 1 4i 8i 32i 32 8i 32 8i

1 4i 1 4i 171 16i1 4i

32 8i

17 17

m

8I z

17.



7.

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

SIN(X)

LOG(X)

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Sl. 1

Na sl. 1 su grafi~ki predstavljene funkcije 1f x log x i 2f x sin x .

Grafici fukncija se seku u tri ta~ke. Apscise prese~nih ta~aka su re{enja date jedna~ine. Dakle, jedna~ina ima tri re{enja. Ta~an odgovor je B).

8. U pravouglom trouglu ABC sl. 2 duìne stranica su:

AB x , BC x 2 , CA x 4 .

CB

A

Sl. 2

Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:


2 22x 4 x x 2 odakle je:

2x 4x 12 0 Re{enja ove kvadratne jedna~ine su 1x 6 i 2x 2 . Kako je x > 0, to

se re{enje 2x 2 ne prihvata. Duìne stranica trougla su: 6, 8, 10.

Povr{ina trougla ABC je

6 8

P 242

.

Povr{inu trougla ABC moèmo izra~unati i na slede}i na~in: P r s Gde je r – duìna polipre~nika upisane kru`nice trougla, a s – poluobim trougla.

Kako je

6 8 10

s 122

to je P 24

r 2s 12

Dakle, ta~an odgovor je A).

9. Jedna~ina prave x – y – 2 = 0 u eksplicitnom obliku je y = x - 2.

Uslov da prava y = x – 2 dodiruje hiperbolu 2 2

2 2

x y1

a b je

2 2 2a 1 b 4 . Kako je ta~ka A(4,2) na hiperboli 2 2

2 2

x y1

a b

to je 2 2

16 41

a b.

Re{imo sistem jedna~ina: 2 2a b 4 , 2 2

16 41

a b.

Uvedimo smenu: 2 2a A, b B

Dobijamo sistem jedna~ina: 16 4

A B 4, 1A B

.

Iz prve jedna~ine sistema je B A 4 . Posle zamene u drugoj jedna~ini dobijamo:

16 41

A A 4 odnosno

12A 641

A A 4, odakle je:

212A 64 A 4A , posle sre|ivanja dobijamo:


2A 16A 64 0 , odnosno 2

A 8 0 , odakle je A = 8 (dvostruko

re{enje). Kako je A = 8, B = A – 4 tj. B = 4. Vratimo se na uvedenu smenu:

2a 8 2b 4

Jedna~ina hiperbole (H) je:

2 2x y

18 4


10. Jedna~ina je definisana ako je x4 1 0 i x 14 4 0 . Re{enje ovog

sistema jedna~ina je x > 0. Dakle, oblast definisanosti jedna~ine je 0, .

Datu jedna~inu napi{imo u obliku:

2

x x4 4

log 4 1 log 44 4 3

odnosno

x x4 4

1log 4 1 log 4 4 1 3

2

odakle dobijamo:

x x4 4 4log 4 1 log 4 log 4 1 6

posle sre|ivanja dobijamo:

2 x x4 4log 4 1 log 4 1 6 0

posle uvo|enja smene x4log 4 1 t dobijamo jedna~inu

2t t 6 0 , ~ija su re{enja t1 = 2 i t2 = -3. Ako je t = 2 posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:

x4log 4 1 2 odakle je x 24 1 4 ,pa je x4 17 tj. 4x log 17 .

Ako je t = -3 onda je:

x4log 4 1 3 pa je x 34 1 4 tj. x 65

464

, 4

65x log

64.

Oba re{enja se prihvataju jer pripadaju oblasti definisanosti jedna~ine.


Ta~an odgovor je C). 11. Oblast definisanosti jedna~ine je skup realnih brojeva. Posle stepenovanja sa tri

dobijamo ekvivalentnu jedna~inu:

2 2

3 3x 1 3 x 1 3x 1 3 x 1 3x 1 3x 1 x 1 .

Odakle, posle sre|ivanja dobijamo:

3 3 3 33 x 1 3x 1 x 1 3x 1 3x 3 .

Kako je izraz 3 3x 1 3x 1 , leva strana jedna~ine koju re{avamo, zameni}emo ga desnom stranom jedna~ine. Tako dobijamo:

3 3 3x 1 3x 1 x 1 x 1, odakle stepenovanjem sa tri dobijamo:

3

x 1 3x 1 x 1 x 1 ,

odnosno,

2x 1 3x 1 x 1 x 1 0 , posle sre|ivanja jedna~ine

dobijamo 2x 1 4x 0 , odakle je x 1 0 ili 2x 0 .

Dakle, re{enja poslednje jedna~ine su x 1 i x 0 . Re{enje x 0 nije re{enje date jedna~ine (pojavilo se kao rezultat zamene leve strane date jedna~ine desnom stranom koja joj nije identi~ki jednaka). Prema tome, data jedna~ina ima jedno re{enje x 1 . Ta~an odgovor je B).

12. Neka su 1x i 2x re{enja date kvadratne jedna~ine. Zbir kubova re{enja je:

3 33 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x 3x x x x 3x x x x .

Odakle, primenom Vietovih formula 1 2x x 1 a ,

2

1 2

2a 5ax x

6,

dobijamo:


233 3

1 2

22

2 2

2 2

2 2

2a 5ax x 1 a 3 1 a

6

2a 5a1 a 1 a

2

2 1 2a a 2a 5a1 a

2a 2 1 1

1 a a a 2 a a 22 2 2

1 1 9 9 1 1a a

2 2 4 8 2 2

Dakle, dobili smo da je:

23 31 2

9 1 1x x a

8 2 2.

Zbir kubova re{enja date kvadratne jedna~ine je najve}i ako je

21 1

a 02 2

, a to je ako je

21

a 02

, odnosno 1

a 02

,

odakle je 1

a2.


13. Datu nejedna~inu napi{imo u obliku:

2

3 sin x 21 0

4 sin x 1 odakle je:

2

2

4 sin x 3 sin x 10

4 sin x 1

Posle uvo|enja smene sin x t , dobijamo:

2

2

4t 3t 10

4t 1

Nejedna~ina je definisana za 1

t2 i

1t

2


24t 3t 1 0 za t R (Diskriminanta jedna~ine 24t 3t 1 0 je D 7 0 a koeficijent uz 2t je 4 0 )

Dakle, o znaku

2

2

4t 3t 1

4t 1 zaklju~ujemo na osnovu znaka 24t 1 ,

videti sl. 3.

znak 4t-120 1

2t1

2

Sl. 3

2

2

4t 3t 10

4t 1 za

1 1t , ,

2 2.

Vratimo se na uvedenu smenu i odredimo re{enja nejedna~ine

2

2

4 sin x 3 sin x 10

4 sin x 1

1 1sin x , ,

2 2

Kako su vrednosti trigonometrijske funkcije sin x : 1 sin x 1 Onda }e:

1 1sin x 1, , 1

2 2

ili napisano u obliku:

1 1

1 sin x sin x 12 2

Prva dvostruka nejednakost vaì za:

7 11x 2k , 2k , k Z

6 6

Druga dvostruka nejednakost vaì za:

5x 2m , 2m , m Z

6 6


Skup re{enja date nejedna~ine je:

5 7 112m , 2m 2k , 2k , m Z, k Z

6 6 6 6


14. Vrednost izraza 4 5

cos cos cos7 7 7

je jednaka:

2 sin4 5 4 5 7cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7 2 sin

74 5 2 4 5

cos cos sin cos cos7 7 7 7 72 sin cos

7 7 2 sin 2 sin7 7

1 3 42 5 4 sin sin cossin cos cos 2 7 77 7 7

2 sin 2 sin7 7

3 4 1sin cos sin sin sin7 7 2 7 1 17

8 84 sin 4 sin sin7 7 7

U radu zadatka su kori{}ene trigonometrijske formule

sin 2 2 sin cos ; 1

sin cos sin sin2

i vrednost trigonometrijske funkcije f x sin x , za x i x ,

sin 0 i sin 0 .



15. Neka je o{tar ugao romba ABCD i neka je DE = h visina romba (sl. 4). Iz pravouglog trougla AED imamo da je:

h

sina , odnosno h a sin

C

h

A

aE B

Dh

A

E F

B

D C

Sl. 4 Sl. 5

Zapremina V tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko stranice AB (sl. 5) je jednaka zapremini osen~enog valjka:

2 3 2V h a a sin Zapremina V1 tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko dijagonale AC (sl. 6) je jednaka dvostrukoj zapremini osen~ene kupe.

Kako je

BD AC

a sin , a cos2 2 2 2

onda je:

2

32

1

BD AC

2 2 2aV 2 cos sin

3 3 2 2.

A

D

B

C

Sl. 6


Dakle:

3

3 2 21

2aV : V a sin : cos sin

3 2 2

Odnosno:

3

3 2 2 21

aV : V 4a sin cos : 2 cos sin

2 2 3 2 2

tj.

1V : V 6 cos2

, a kako je po uslovu zadatka

1V : V 9 : 3 dobijamo:

3cos

2 2 3, odakle je:

3cos

2 2, pa je

3.


TEST BROJ 5

1. Ako su a i b realni brojevi i 22 ba , onda je izraz

44

2

22 ba

bab

ba

a

jednak:

A) ba

1

; B) ba

a

; C) ba

1

; D) ba

b

; E) baba

.

2. Koji pravilan mnogougao ima 44 dijagonale?

A) desetougao; B) jedanaestougao; C) dvanaestougao; D) trinaestougao; E) ~etrnaestougao.

3. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 15x je:

A) 5,1 ; B) 6,1 ; C) 4,1 ; D) 6,4 ; E) 5,2 .

4. Ako je 3tgx , tada x2cos pripada intervalu:

A) 9

1,10

; B) 2,1 ; C)

207

,209

; D)

107

,108

;

E)

1,

53

.

5. Realni deo kompleksnog broja 10i3z je: A) 512; B) 212; C) -326; D) 502; E) -104.

6. Izraz 5724057240 je jednak:

A) 10; B) -10; C) 15; D) -11; E) 12.

7. Ako je x9log3xlogxf 39 i ( x > 0 ) onda je

x9

fxf jednako:

A) xlog5 3 ; B) xlog3 9 ; C) 1xlog7 3 ; D) 3xlog9 ;

E) 5xlog2 3 .


8. U ta~ki T kru`nice polupre~nika 3 povu~ena je tangenta koja u ta~kama A i B se~e dve me|usobno paralelne tangente iste kru`nice. Proizvod odse~aka AT i TB je:

A) 10; B) 16; C) 25; D) 18; E) 9.

9. Re{enja kvadratne jedna~ine 0px6x2 )Rp( su pozitivni brojevi ako i samo ako je:

A) 1p ; B) 9p0 ; C) 8p4 ; D) 6p ; E) 16p5 .

10. Od prave trostrane prizme visine 10 cm, ~ije su osnove jednakostrani~ni truoglovi stranice 5 cm, odse~en je jedan deo sa ravni koja prolazi kroz jedno teme donje osnove, tako da od jedne od preostalih dveju bo~nih ivica odseca 1 cm, a od druge 2 cm ( mereno od donje osnove). Zapremina onog dela te prizme koji sadrì gornju osnovu je:

A) 3cm 3200 ; B) 3cm 35

241; C) 3cm 3

3352

; D) 3cm 2210 ;

E) 3cm 34

225.

11. Zbir realnih re{enja jedna~ine 2

x2

x2

x2

je:

A) 1934

; B) 934

; C) 512

; D) 5 ; E) 12 .

12. Izraz x2sin2

xsinxcos 33

je identi~ki jednak:

A)

4xcos

2

1; B) xsinxcos ; C)

4xcos

22

; D)

xsin2

1; E) 1.

13. Od svih ta~aka na hiperboli (H) 72y4x3 22 ta~ka najblià pravoj (p)

01y2x3 je:

A) 3,6 ; B) 2,1 ; C) 2,3 ; D) 3,6 ; E) 23,0 .


14. Zbir binomnih koeficijenata tre}eg od po~etka i tre}eg od kraja ~lana razvoja

stepena binoma n34 43 ( n je prirodan broj ) jednak je 2450. Broj racionalnih ~lanova u tom razvoju jednak je:

A) deset; B) sedam; C) {est; D) ~etiri; E) osam.

15. Skup relnih re{enja nejedna~ine 12xlogx je:

A) 3,1 ; B) 4,2 ; C) 3,1 ; D) 5,3 ; E) 2,1 .

Ta~ni rezultati: 1. C); 2. B); 3. D); 4. D); 5. A); 6. B); 7. C); 8. E); 9. B); 10. E); 11. B); 12. C); 13. A); 14. D); 15. E).

TEST BROJ 6

1. Ako je ba0 vrednost izraza

2

12

2

1

2

1

ba

21

ab

21

1

jednaka

je:

A) 1; B) ab

ab ; C)

2

baba

; D)

baba

; E)

abba

.

2. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadrì jedno njegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici. Povr{ina dobijenog obrtnog tela je:

A) 3a2 2 ; B) 3a4 2 ; C) 2a2 ; D) 3a3 2 ; E) 2a2 2 .

3. Ako je 52

tg

onda je cossin jednako:

A) 135

; B) 127

; C) 137

; D) 1524

; E) 137

.

4. Neka je 3x52x1x3

f

, 2x . Tada je 2f jednako:

A) 10; B) -5; C) 415

; D) -4; E) 0.

5. Zbir 9932 i...iii je jednak:

A) 1; B) -1; C) 2i; D) -i; E) 0.

6. Zbir kvadrata re{enja jedna~ine 01mmxx2 je najmanji ako realni

parametar m ima vrednost: A) 2; B) 3; C) 4; D) 1; E) -1.

7. Prava (p) koja prolazi kroz ta~ku M(2,3) i sa koordinatnim osama gradi

trougao povr{ine 12 ima jedna~inu:


A) 05y4x3 ; B) 012y2x3 ; C) 03yx ; D) 05yx2 ; E) 01yx8 .

8. U jednakokraki trapez je upisana kru`nica. Ta~ka dodira deli krak trapeza na duì ~ije su duìne p i q. Povr{ina trapeza je:

A) qp ; B) pq2 ; C) pqqp2 ; D) qpp3 ;

E) qqp2 .

9. Broj realnih re{enja jedna~ine: 1xlog4

7xlog

10x

je: A) jedno; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) nijedno.

10. U aritmeti~kom nizu je zbir drugog i petog ~lana 32,5 a zbir prvih petnaest ~lanova je 412,5. Deseti ~lan aritmeti~kog niza je:

A) 32,5; B) 40; C) 32; D) 42; E) 53.

11. Ako je ablog a 3 a 0, b 0, ab 1 , onda je 3

aba

logb

jednak:

A) 32 ; B) 13 ; C) 2; D) 32 ; E) 3

1.

12. Skup relnih re{enja nejedna~ine 0315515925 x2x2xx je: A) 2,1 ; B) 2,1 ; C) 4,3 ; D) 0, ; E) 3,0 .

13. Koliko ima {estocifrenih brojeva koji imaju tri parne i tri neparne cifre? A) 28125; B) 281250; C) 312225; D) 15400; E) 291250.

14. Zbir realnih re{enja jedna~ine 11xx 33 je: A) 2; B) 1; C) 3; D) 4; E) 5.

15. Koliko re{enja u intervalu 2,0 ima jedna~ina

1x2sin3xsin3xcos 22 ? A) jedno; B) dva; C) ~etiri; D) pet; E) tri.


Ta~ni rezultati: 1. E); 2. A); 3. E); 4. A); 5. B); 6. D); 7. B); 8. C); 9. B); 10. A); 11. C); 12. D); 13. B); 14. B); 15. E).

Documents

Program prijemnog ispita iz matematike za upis studijskog ... · Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i programom za srednje obrazovanje