Programa de Doctorado “Información, Documentación y

Programa de Doctorado

“Información, Documentación y Conocimiento”

Escuela Politécnica Superior

Departamento de Ciencias de la Computación

TESIS DOCTORAL

MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR

EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE

COMBATE AÉREO.

AUTOR: D. Antonio Navidad Pineda

DIRECTORES: Dr. Luis Usero Aragonés

Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez

Alcalá de Henares, junio de 2015.

Una vez concluido el trabajo de tesis doctoral titulado “MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE COMBATE AÉREO”, realizado por D. Antonio Navidad Pineda y del que soy director, estimo que dicho trabajo tiene suficientes méritos teóricos, que se han contrastado adecuadamente mediante validaciones experimentales, y son altamente novedosos. Por ello considero que procede su defensa pública.

Y para que así conste, firmo la presente en Alcalá de Henares, a de junio de 2015.

Atentamente

Los directores de tesis:

Dr. Luis Usero Aragonés. Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez.

Dra. Teresa Inmaculada Díez Folledo, Profesora Titular de Universidad del Área de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial, en calidad de Directora del Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Alcalá,

CERTIFICA

Que la Tesis Doctoral titulada “MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE COMBATE AÉREO”, realizada por D. Antonio Navidad Pineda y dirigida por los doctores Luis Usero Aragonés y José Raúl Fernández del Castillo Díez, reúne los requisitos para su presentación y defensa pública.

Y para que conste, firmo la presente en Alcalá de Henares, a de junio de 2015.

La Directora del Departamento

Escuela Politécnica Superior

Departamento de Ciencias de la Computación

TESIS DOCTORAL

MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR

EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE

COMBATE AÉREO.

AUTOR: D. Antonio Navidad Pineda

DIRECTORES: Dr. Luis Usero Aragonés

Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez

Alcalá de Henares, junio de 2015.

Antonio Navidad Pineda.

[email protected]

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

A mis padres, Diego y Antonia

A mi pequeña familia, Rosa, Carmen y Diego.

Agradecimientos

“Cuando bebas agua, recuerda la fuente.”

Proverbio chino.

Sirvan estas primeras líneas como gratitud a todas aquellas personas que han contribuido a lo largo de mi vida a que pudiera llegar a este punto, final de una etapa.

Por encima de todo se lo debo agradecer… a mis padres, Diego y Antonia, quienes, con su propio ejemplo diario, me enseñaron una forma de vida y los valores a perseguir durante la misma, ello me permitió alcanzar este punto… a Rosita, mente ágil y despierta, por tu apoyo, siempre incondicional, gracias por estar ahí, gracias por todo y por tanto… y a los pequeños Carmen y Diego, siempre traté de robar a los brazos de Morfeo el tiempo que no merecíais que os robara a vosotros.

A José Raúl y Luis, Luis y José Raúl, además de cómo grandes amigos, a Luis, como gran motivador y catalizador de esta tesis, a José Raúl como incansable y metódico contribuidor a la misma. Gracias por vuestros consejos, paciencia y dedicación como directores de esta tesis.

Al Ejército del Aire, en concreto a los componentes de su Sistema de Mando y Control, y en especial a “mi Escuadrilla” de Informática Operativa, esa pequeña familia, mi segunda familia. Mucho os debo por todo lo que aprendí de vosotros sobre este mundo que descubrí hace ahora 18 años. Sentid esta tesis como vuestra, gran parte de vuestro conocimiento está volcado en ella. Será imposible encontrar a gente más entregada.

A la Universidad de Alcalá, al Departamento de Ciencias de la Computación, por permitirme pertenecer y abrirme las puertas de esta casa, cuna del conocimiento.

A todos aquellos maestros que a lo largo de toda mi vida han contribuido a mi formación intelectual y personal, ved reflejado en esta tesis el resultado de vuestra dedicación.

A todas aquellas personas que de una forma u otra me habéis “soportado” durante mi vida, con especial alusión a Francisco y María José, inmensa paciencia la vuestra con vuestro hermano mayor.

No puedo olvidar citar a José Luis Cuadrado y Pedro Padilla, amigos, mentores y consejeros. Espero que veáis reflejados en esta tesis vuestros consejos, nuestras discusiones y aquellas disquisiciones “variadas”. Muchas gracias por vuestro apoyo.

Gracias a TODOS.

xi

Tabla de contenido

Agradecimientos ................................................................................................................................ xi

Resumen .......................................................................................................................................... xxxv

Abstract ......................................................................................................................................... xxxvii

1. Introducción. .................................................................................................................... 1-1

1.1. Motivación. .......................................................................................................... 1-1

1.2. Declaración del problema y objetivos de la investigación. ........................... 1-3

1.3. Hipótesis de la investigación. ............................................................................ 1-4

1.4. Ámbito de la investigación. ............................................................................... 1-5

1.5. Organización de la tesis. .................................................................................... 1-5

2. Estado del arte. ................................................................................................................ 2-1

2.1. Control de la Navegación Aérea....................................................................... 2-1

2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo. ................................... 2-5

2.3. Desarrollos de sistemas automáticos de control aéreo. .............................. 2-12

2.4. Estimación, decisión y seguimiento. .............................................................. 2-14

2.5. Sistemas de vigilancia. ...................................................................................... 2-18

2.6. Seguimiento y asociación de datos. ................................................................ 2-19

2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un sistema de

vigilancia radar. .................................................................................................. 2-21

2.8. Filtros g-h. .......................................................................................................... 2-23

2.9. Filtros Kalman. .................................................................................................. 2-28

2.10. Filtros con múltiples modelos. ....................................................................... 2-30

2.10.1. Algoritmo AMM (Autonomous MM).. ............................................... 2-32

2.10.2. Algoritmo MM cooperante (CMM) ................................................. 2-33

2.10.3. Algoritmo MM de estructura variable (VSMM) ............................ 2-34

2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento. ..................................................... 2-35

3. Seguimiento de blancos en maniobra....................................................................... 3-1

3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra. ................................. 3-1

3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo. ......................................................... 3-5

3.2.1. Curvas de persecución (pursuit curves). ................................................ 3-5

3.2.2. Otras maniobras básicas de combate. ............................................. 3-10

3.3. Detección de maniobras. ................................................................................. 3-14

3.4. Modelos múltiples ............................................................................................. 3-15

xiv Tabla de contenido

3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en maniobra. ........ 3-17

4. Sistema de seguimiento neuronal en tiempo real basado en

información contextual. ................................................................................................. 4-1

4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal. ...................................... 4-1

4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en

información contextual. ...................................................................................... 4-3

4.2.1. Esquema de trabajo. ............................................................................. 4-3

4.2.2. Seguimiento neuronal en maniobras .................................................. 4-6

4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento ....................................................... 4-8

4.3. Resultados de simulaciones. ............................................................................ 4-13

5. Optimización del sistema. ............................................................................................ 5-1

5.1. Elección de plataforma. ...................................................................................... 5-1

5.2. Introducción a la implementación del sistema ............................................... 5-3

5.3. Determinación de parámetros en la red neuronal .......................................... 5-5

5.4. Determinaciones de repeticiones Epochs .......................................................... 5-9

5.5. Determinación del número de neuronas en la capa oculta ........................ 5-15

5.5.1. Pruebas trayectoria Line. ...................................................................5-17

5.5.2. Pruebas trayectoria Astroid. .......................................................... 5-21

5.5.3. Pruebas trayectoria Freeth. ............................................................ 5-23

5.5.4. Pruebas trayectoria Hypocicloyd. ................................................. 5-25

5.5.5. Pruebas trayectoria Nephroid. ........................................................ 5-27

5.6. Determinación de funciones de transferencia ............................................. 5-30

5.6.1. Pruebas trayectoria Line. ...................................................................5-34

5.6.2. Pruebas trayectoria Astroid. .......................................................... 5-37

5.6.3. Pruebas trayectoria Freeth. ............................................................. 5-41

5.6.4. Pruebas trayectoria Hypocicloyd. ................................................. 5-44

5.6.5. Pruebas trayectoria Nephroid. ........................................................ 5-46

5.6.6. Resumen de resultados obtenidos ................................................... 5-49

6. Conclusiones y trabajo futuro. ..................................................................................... 6-1

6.1. Conclusiones. ....................................................................................................... 6-1

6.2. Líneas y trabajos futuros. .................................................................................... 6-5

A. Resultados de los casos de prueba para la determinación del

número de neuronas en la capa oculta..................................................................... A-1

A.1 Casos de prueba. ................................................................................................... A-1

Apéndice 1. Resultados trayectoria Line. ................................................................ A-4

Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid. ...................................................... A-23

Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth. ........................................................ A-43

Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid .............................................. A-63

Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid. .................................................... A-83

B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las

funciones de transferencia. .......................................................................................... B-1

B.1 Casos de prueba. ................................................................................................... B-1

B.2 Resultados trayectoria Line ............................................................................... . B-4

xv Tabla de contenido

B.3 Resultados trayectoria Astroid ..................................................................... . B-10

B.4 Resultados trayectoria Freeth ........................................................................ . B-16

B.5 Resultados trayectoria Hypocicloyd ............................................................ . B-22

B.6 Resultados trayectoria Nephroid ................................................................... . B-28

Bibliografía

xvi Tabla de contenido

Índice de figuras

2.1. Perpendicularidad de la sustentación ...................................................................................... 2-2

2.2. Ejemplo de campo visual del piloto de un avión .................................................................. 2-3

2.3. Niveles de vuelo ......................................................................................................................... 2-4

2.4. Tránsito en niveles de vuelo ..................................................................................................... 2-4

2.5. Servicios postales. 1920. ............................................................................................................ 2-6

2.6. Aeropuerto de Cleveland. Primera sala equipada con radio. 1930.. ................................... 2-7

2.7. Estación radar británica “Chain Home”.. ................................................................................. 2-8

2.8. Presentación de datos radar.. .................................................................................................... 2-9

2.9. Radar primario –PSR- y secundario -SSR- ........................................................................... 2-10

2.10. Señal radar primario analógica ............................................................................................. 2-10

2.11. Radar RAT-31DL. Primario y secundario .......................................................................... 2-11

2.12. Error en la medición radar de posición .............................................................................. 2-12

2.13. Sistema de control de tráfico aéreo automático, servidores y estación de

trabajo, 1975. ........................................................................................................................... 2-13

2.14. Típica presentación de datos multiradar con estimación de estado (posición y

velocidad). ................................................................................................................................ 2-14

2.15. Problema de seguimiento ...................................................................................................... 2-15

2.16. Estimación de estado ............................................................................................................. 2-17

2.17. Representación del problema del seguimiento .................................................................. 2-20

2.18. Componentes de un sistema de seguimiento ..................................................................... 2-20

2.19. Ejemplo de un radar de vigilancia. ...................................................................................... 2-21

2.20. Problema de seguimiento. ..................................................................................................... 2-22

2.21. Posiciones predichas (xn) y medidas (yn) para un objetivo en un instante n. ................. 2-24

xviii Índice de figuras

2.22. Objetivo predicho, filtrado, y posición medida usando la nueva notación. ..................2-25

2.23. Estructura general de un algoritmo de estimación MM basado en dos

modelos .....................................................................................................................................2-32

2.24. Estructura general del algoritmo de estimación MMSE-AMM basado en dos

modelos. ....................................................................................................................................2-33

2.25. Estructura general del algoritmo de estimación IMM basado en dos modelos ............2-34

2.26. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada

por un filtro Kalman (TKF). ..................................................................................................2-37

3.1. Maniobra, con detección ideal (a) y con ruido blanco (b) .................................................... 3-2

3.2. Seguimiento KF en función de σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2) ........... 3-3

3.3. Dependencia de las ventanas de asignación respecto a σa (i. σa=0.1 m/s2. ii.

σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2) ...................................................................................................... 3-3

3.4. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria rectilínea (en verde, x=0) ....................... 3-6

3.5. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k=1.

Distancia entre zorro y conejo en el tiempo .............................................................................. 3-6

3.6. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k<1 .......................... 3-7

3.7. Efecto de giro y lead-pursuit ........................................................................................................ 3-8

3.8. Defensa contra una lead-pursuit .................................................................................................. 3-8

3.9. Trayectoria lag-pursuit. Atacante con velocidad superior al perseguido (bogey). .................. 3-9

3.10. Trayectoria lag-pursuit roll[Shaw85]: trayectoria lag-pursuit acompañada de

maniobra en altura ..................................................................................................................3-10

3.11. Maniobra High Yo-Yo ..............................................................................................................3-11

3.12. Maniobra Low Yo-Yo ...............................................................................................................3-11

3.13. Maniobra Lead Turn. Giro “temprano” en punto 1. .........................................................3-12

3.14. Maniobra Flat Scissors ..............................................................................................................3-12

3.15. Maniobra rolling scissors ............................................................................................................3-13

3.16. Maniobra espiral defensiva. Defensor con velocidad muy baja ......................................3-13

3.17. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada

por un filtro Kalman (TKF) ...................................................................................................3-18

3.18. Algoritmo AIMM....................................................................................................................3-19

3.19. Método IMM basado en algoritmos genéticos (GA) usando lógica borrosa ................3-19

4.1. Ejemplo de curva de persecución ............................................................................................ 4-4

xix Índice de figuras

4.2. Curvas de persecución (en azul el objeto perseguido, en rojo el perseguidor) ................. 4-5

4.3. Red Perceptrón Multicapa . i,j,k: capas. Wxy: pesos de cada enlace ................................... 4-8

4.4. Esquema de la red neuronal de predicción .......................................................................... 4-10

4.5. Arquitectura redes neuronales seguimiento neuronal (para la coordenada X).

Etapa de predicción y etapa de suavizamiento ................................................................... 4-12

4.6. Ejemplos de curvas estimadas con el algoritmo neuronal propuesto .............................. 4-15

4.7. MSE para seguimiento neuronal (X, Y) ................................................................................ 4-18

4.8. MSE para seguimiento clásico (X, Y) ................................................................................... 4-18

4.9. Comparación en el error MSE en la estimación obtenido con el sistema

neuronal (NT) y el enfoque clásico (CT) ............................................................................ 4-19

4.10. CV para el algoritmo de seguimiento neuronal (X, Y) ..................................................... 4-20

5.1. Representación general de una Red Neuronal en MATLAB .............................................. 5-3

5.2. Curva Line. (x=5) ...................................................................................................................... 5-6

5.3. Curva Astroid ........................................................................................................................... 5-6

5.4. Curva Freeth ............................................................................................................................. 5-6

5.5. Curva Hypocycloid .................................................................................................................. 5-6

5.6. Curva Nephroid ......................................................................................................................... 5-6

5.7. Ejemplo de “Entrada X” y “Entrada X con ERROR” (gaussiano aleatorio en

el Tiempo) .................................................................................................................................. 5-7

5.8. Red Neuronal Implementada para definición de epochs ...................................................... 5-10

5.9. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 1831 .......................................... 5-11

5.10. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 2000 ........................................ 5-11

5.11. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 164 .......................................... 5-12

5.12. Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 400 .................................... 5-12

5.13. Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 34 ...................................... 5-12

5.14. Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 205 ...................................... 5-13

5.15. Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 1831 .................................... 5-13

5.16. Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 310 .......................... 5-13

5.17. Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 126 .......................... 5-14

5.18. Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 1141 ............................... 5-14

xx Índice de figuras

5.19. Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 290 ..................................5-14

5.20. Line. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).

Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9) .....................................................5-19

5.21. Line. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. .....................5-19

5.22. Line. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo

(datos tabla AP1.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según

número de neuronas de la capa intermedia. ........................................................................5-20

5.23. Astroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba

(CP). Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9) ...................................5-22

5.24. Astroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ..............5-22

5.25. Astroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo



5.26. Freeth. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba

(CP). Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9) ......................................5-24

5.27. Freeth. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ................5-24

5.28. Freeth. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo



5.29. Hypocycloid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de

prueba (CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9) .............5-26

5.30. Hypocycloid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ....5-26

5.31. Hypocycloid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba

completo (datos tabla AP4.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias

según número de neuronas de la capa intermedia. .............................................................5-27

5.32. Nephroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba

(CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9) .................................5-27

5.33. Nephroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ...........5-28

5.34. Nephroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo



5.35. Funciones de transferencia en una red con tres capas, similar a las utilizadas

en el sistema bajo estudio en este documento ....................................................................5-30

5.36. Modelo computacional de una neurona. La salida total ‘a’ de la neurona está

dada por el resultado de la función de transferencia aplicada a la variable ‘n’, la

cual es la suma ponderada de sus entradas ..........................................................................5-31

xxi Índice de figuras

5.37. Ejemplos de funciones de transferencia en MATLAB .................................................... 5-32

5.38. Trayectoria Line. Error en la estimación (MSET, tabla B.5) dependiendo de

las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta,

en eje horizontal FT para la capa de salida] ........................................................................ 5-34

5.39. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,

tansig) para la capa de salida (en eje horizontal, FT para la capa oculta).................... 5-36

5.40. Trayectoria Astroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.10)

dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT

para capa oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ..................................... 5-37

5.41. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,

satlins, tansig) para la capa de salida (en el eje horizontal FT para la capa

oculta) ....................................................................................................................................... 5-38

5.42. Trayectoria Astroid. Selección de funciones de transferencia más favorables

en capa oculta (FT en eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda) ......................... 5-39

5.43. Trayectoria Astroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación

de 20 trayectorias considerando distintas funciones de transferencia ............................ 5-40

5.44. Trayectoria Freeth. Error en la estimación (MSET, tabla B.15) dependiendo

de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa

oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ....................................................... 5-40

5.45. Trayectoria Freeth. Selección de funciones de transferencia más favorables

en capa oculta (FT en el eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda) ..................... 5-42

5.46. Trayectoria Hypocycloid. Error en la estimación (MSET, tabla B.20)


para capa oculta, en eje horizontal FT para la capa de salida] ......................................... 5-43

5.47. Trayectoria Hypocyloid. Tiempo de computación TCOMP para la

estimación de 20 trayectorias considerando distintas funciones de

transferencia ............................................................................................................................. 5-45

5.48. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.25)



5.49. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación para las funciones de

transferencia óptimas en la capa de salida (MSET, tabla 5.16). [En leyenda FT


5.50. Trayectoria Nephroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación

de 20 trayectorias considerando las funciones de trasferencia reflejadas en la

tabla 5.16 .................................................................................................................................. 5-48

AP1.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Line (con 5 -i- y 9 neuronas –ii-) .................... A-4

xxii Índice de figuras

AP1.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1

(datos tabla AP1.3) ................................................................................................................... A-7

AP1.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso

de prueba 1 ................................................................................................................................ A-8

AP1.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line -

caso de prueba 1 ....................................................................................................................... A-9

AP1.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número

de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 1 ............................................................. A-9


(datos tabla AP1.6) ................................................................................................................. A-12


de prueba 2 .............................................................................................................................. A-13


caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-14


de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 2 ........................................................... A-14


(datos tabla AP1.9) ................................................................................................................. A-17


de prueba 3 .............................................................................................................................. A-18


caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-19


de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 3 ........................................................... A-19

AP1.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).

Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9) .................................................... A-20

AP1.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-20

AP1.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones

(datos tabla AP1.10) ............................................................................................................... A-21

AP2.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Astroid (con 8 -i- y 14 neuronas –ii-).......... A-23

AP2.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba

1 (datos tabla AP2.3) .............................................................................................................. A-26

AP2.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid -

caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-27

AP2.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria

Astroid - caso de prueba 1.................................................................................................. A-28

xxiii Índice de figuras


de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 .................................................... A-28


2 (datos tabla AP2.6) ............................................................................................................. A-31


caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-32


Astroid - caso de prueba 2 ................................................................................................. A-33




3 (datos tabla AP2.9) ............................................................................................................. A-36


caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-37


Astroid - caso de prueba 3 ................................................................................................. A-38




Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9) ............................................ A-39



(datos tabla AP2.10) .............................................................................................................. A-40

AP3.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Freeth (con 17 -i- y 24 neuronas –ii-) ......... A-43

AP3.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1

(datos tabla AP3.3) ................................................................................................................. A-46

AP3.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth -

caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-47

AP3.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth

- caso de prueba 1 .................................................................................................................. A-48


de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 ...................................................... A-48

AP3.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 2

(datos tabla AP3.6) ................................................................................................................. A-51


caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-52

xxiv Índice de figuras

AP3.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth

- caso de prueba 2 ................................................................................................................... A-53


de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 2 ....................................................... A-53

AP3.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba

3 (datos tabla AP3.9) .............................................................................................................. A-56


caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-57


Freeth - caso de prueba 3 .................................................................................................... A-58


de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 3 ....................................................... A-58


Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9) ............................................... A-59



(datos tabla AP3.10) ............................................................................................................... A-60

AP4.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Hypocycloid (con 13 -i- y 10

neuronas –ii-)........................................................................................................................... A-63

AP4.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de

prueba 1 (datos tabla AP4.3)................................................................................................. A-66

AP4.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria

Hypocycloid - caso de prueba 1 ........................................................................................ A-67




de neuronas. Trayectoria Hypocyloid - caso de prueba 1 .............................................. A-68


prueba 2 (datos tabla AP4.6)................................................................................................. A-71






de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2 ........................................... A-73

xxv Índice de figuras


prueba 3 (datos tabla AP4.9) ................................................................................................ A-76






de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3 ........................................... A-78


Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9) ................................... A-79



(datos tabla AP4.10) .............................................................................................................. A-80

AP5.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Nephroid (con 20 -i- y 17 neuronas –

ii-) .............................................................................................................................................. A-83

AP5.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba

1 (datos tabla AP5.3) ............................................................................................................. A-86

AP5.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid -

caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-87


Nephroid - caso de prueba 1 ............................................................................................... A-88


de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1 .................................................. A-88

AP5.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba

2 (datos tabla AP5.6) ............................................................................................................. A-91


caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-92





AP5.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de

prueba 3 (datos tabla AP5.9) ................................................................................................ A-96


caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-97

xxvi Índice de figuras






Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9) .......................................... A-99



(datos tabla AP5.10) ............................................................................................................ A-100

B.1. Trayectoria Line. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las

funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) ................................................ B-8

B.2. Trayectoria Astroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las

funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) .............................................. B-14

B.3. Trayectoria Freeth. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las


B.4. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda,

las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) ........................................ B-26

B.5. Trayectoria Nephroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las


Índice de tablas

2.1. Características de sensores radar ............................................................................................ 2-11

2.2. Filtros g-h ................................................................................................................................. 2-28

3.1. Comparativa de resultados obtenidos para 30 trayectorias estimando con

algoritmos MM ........................................................................................................................ 3-16

4.1. Resultados numéricos para los distintos casos de entrenamiento (considerando

un conjunto de 20 trayectorias para validación) ................................................................. 4-17

4.2. Resultados promedio para los distintos casos de entrenamiento (considerando

un conjunto de 20 trayectorias para validación) ................................................................. 4-17

5.1. Optimización del Número de Neuronas de la Red Neuronal Backpropagation

en la Capa Oculta por tipo de trayectoria ........................................................................... 5-29

5.2. Funciones de Transferencia definidas en MATLAB .......................................................... 5-31

5.3. Principales funciones de transferencia en MATLAB ......................................................... 5-32

5.4. Configuración de parámetros de las redes neuronales. Número de neuronas en

la capa oculta el tomado como óptimo en el punto anterior ........................................... 5-33

5.5. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,

tansig) para la capa de salida .............................................................................................. 5-35

5.6. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas...................................................... 5-36

5.7. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,


5.8. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas ............................................... 5-39

5.9. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,


5.10. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas ............................................... 5-41

5.11. Trayectoria Freeth. Tiempos de computación TCOMP para la estimación de

20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa

oculta en eje vertical, capa de salida en el horizontal) ....................................................... 5-43

xxviii Índice de tablas

5.12. Trayectoria Hypocylcoid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,

satlins, tansig) para la capa de salida .............................................................................5-44

5.13. Trayectoria Hypocycloid. Funciones de transferencia óptimas ....................................5-44

5.14. Trayectoria Hypocylcoid. Tiempos de computación TCOMP para la

estimación de 20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia

utilizadas; capa oculta en eje vertical, capa de salida en el horizontal) ............................5-45

5.15. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,

satlins, tansig) para la capa de salida .............................................................................5-46

5.16. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas ...........................................5-47

5.17. Resumen de resultados para funciones de transferencia en la capa oculta ....................5-49

AP1.1. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 1 ................................ A-5

AP1.2. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 1 ............................... A-6

AP1.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1 ................ A-7

AP1.4. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 2 .............................. A-10

AP1.5. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 2 ............................. A-11

AP1.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 2 .............. A-12

AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 3 .............................. A-15

AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 3 ............................. A-16

AP1.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3 .............. A-17

AP1.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones ........... A-21

AP2.1. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 1 ....................... A-24

AP2.2. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 1 ...................... A-25

AP2.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 ........ A-26







AP2.10. Astroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres

simulaciones ............................................................................................................................ A-40

xxix Índice de tablas

AP3.1. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 1 ......................... A-44

AP3.2. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 1 ........................ A-45

AP3.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 ......... A-46







AP3.10. Freeth. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres

simulaciones ............................................................................................................................ A-60

AP4.1. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 1 ................ A-64

AP4.2. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente Y – caso de prueba 1 ............... A-65

AP4.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocyloid - caso de

prueba 1 ................................................................................................................................... A-66




prueba 2 ................................................................................................................................... A-71




prueba 3 ................................................................................................................................... A-76

AP4.10. Hypocyloid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres

simulaciones ............................................................................................................................ A-80

AP5.1. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 1 ................... A-84

AP5.2. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 1 .................. A-85


prueba 1 ................................................................................................................................... A-86

AP5.4. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 2 ................... A-89

AP5.5. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 2 .................. A-90

xxx Índice de tablas


prueba 2 .................................................................................................................................... A-91

AP5.7. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 3 .................... A-94

AP5.8. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 3 ................... A-95


prueba 3 .................................................................................................................................... A-96

AP5.10. Nephroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres

simulaciones ......................................................................................................................... A-100

B.1. Configuración de parámetros de las redes neuronales ........................................................ B-2

B.2. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias .............................. B-4



B.5. Trayectoria Line. MSET MIN para 20 trayectorias. ........................................................... B-7

B.6. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación)

para 20 trayectorias ................................................................................................................... B-9

B.7. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ..................... B-10



B.10. Trayectoria Astroid. MSET MIN para 20 trayectorias. ................................................ B-13

B.11. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de

computación) para 20 trayectorias ....................................................................................... B-15

B.12. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ..................... B-16



B.15. Trayectoria Freeth. MSET MIN para 20 trayectorias. .................................................. B-19

B.16. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de

computación) para 20 trayectorias ....................................................................................... B-21

B.17. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias .......... B-22



B.20. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN para 20 trayectorias. ....................................... B-25

xxxi Índice de tablas

B.21. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de

computación) para 20 trayectorias ...................................................................................... B-27

B.22. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ................ B-28



B.25. Trayectoria Nephroid. MSET MIN para 20 trayectorias. ............................................. B-31

B.26. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de

computación) para 20 trayectorias ...................................................................................... B-33

xxxii Índice de tablas

Índice de ecuaciones

2.1. Predicción de posición v constante. ....................................................................................... 2-23

2.2. Predicción de posición con parámetro h. ............................................................................. 2-25

2.3. Predicción de posición con parámetro g. .............................................................................. 2-26

2.4. Ecuaciones de filtrado. ................................................................................................................... 2-26

2.5. Ecuaciones de transición o predicción.............................................................................................. 2-26

2.6. Ecuaciones de filtrado g-h. Ecuaciones de predicción... .................................................................... 2-27

2.7. Modelo dinámico Kalman. ..................................................................................................... 2-28

2.8. Ecuaciones filtros Kalman ...................................................................................................... 2-29

2.9. Filtro Benedict-Bordner ................................................................................................................. 2-29

2.10. Estimación filtro Kalman. ........................................................................................................... 2-30

2.11. Estimación filtro Kalman (en notación filtro g-h) ......................................................................... 2-30

2.12. Peso gn en filtro Kalman. ............................................................................................................. 2-30

2.13. Peso hn en filtro Kalman.............................................................................................................. 2-30

2.14. Elección MM. ......................................................................................................................... 2-31

2.15. Cambio entre modelos. ......................................................................................................... 2-31

2.16. Probabilidad AMM. ............................................................................................................... 2-32

2.17. Fusión de estimaciones AMM. ............................................................................................. 2-32

2.18. Modelos en algoritmo MM cooperante. ............................................................................. 2-33

xxxiv Índice de ecuaciones

xxxv

Resumen

Los sistemas de vigilancia y control de tráfico aéreo presentan en la actualidad un conjunto de problemas conocidos relacionados con la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar, utilizadas como entradas en estos sistemas. En este trabajo se detallan aspectos teóricos de los algoritmos de seguimiento, centrándose en una propuesta basada en la utilización del paradigma de las redes neuronales, donde, a partir de las medidas discretas proporcionadas por sistemas radar, el objetivo será estimar el estado de un objetivo con la intención de alcanzar un seguimiento lo más preciso posible. La ausencia de una solución estadística óptima hace este enfoque atractivo en contraposición a los ya descritos en abundante literaria algoritmo clásicos de filtrado. Las redes neuronales presentan entre sus capacidades características que permiten utilizarlas como una herramienta para capturar información difícilmente accesible a partir de modelos aprendidos de un conjunto de entrenamiento. Se utilizarán estas capacidades para hacer a la red neuronal aprender, no solo de la información contenida en los datos radar recibidos, sino también del contexto en el que se desarrolla la maniobra del avión sobre el que se ejecuta el algoritmo de seguimiento. Esta información, información contextual, sobre la que el algoritmo de seguimiento trabaja, en este caso concreto se obtendrá de maniobras a priori predefinidas, al menos en sus parámetros generales. La solución descrita se aplica de forma concreta a distintos casos típicos de maniobras en combate aéreo, las curvas de persecución, curvas del perro, trayectorias modelo en maniobras de combate aéreo. Se demostrarán las ventajas de incorporar esta información contextual en la propuesta de algoritmo de seguimiento basado en redes neuronales. La solución aquí descrita debe tomarse como una propuesta que puede ser fácilmente generalizable para ser aplicado a distintos entornos donde diferente información contextual pueda ayudar en el problema de seguimiento a resolver.

xxxvii

Abstract

Air surveillance and traffic control radar tracking systems present a variety of known problems related to uncertainty and lack of accurately in radar measurements, used as source in these systems. In this work, we feature the theoretical aspects of a tracking algorithm based on neural network paradigm where, from discrete measurements provided by surveillance radar, the objective will be to estimate the target state for tracking purposes as accuracy as possible. The absence of an optimal statistical solution makes the featured neural network attractive despite the availability of complex and well-known filtering algorithms. Neural networks exhibit universal mapping capabilities that allow them to be used as a control tool for capturing hidden information about models learned from a dataset. We use these capabilities to let the network learn, not only from the received radar measurement information, but also from the aircraft maneuvering context, contextual information, where tracking application is working, taking into account this new contextual information which could be obtained from predefined, commonly used, and well-known aircraft trajectories. In this case study, the described solution is applied to a typical air combat maneuvering, a dogfight, a form of aerial combat between fighter aircraft. Advantages of integrating contextual information in a neural network tracking approach are demonstrated. The scheme described as a solution to the tracking problem in maneuvering trajectories should be considered as a proposal that could be used in several environments where contextual information could help in the tracking problem to be solved.

Capítulo 1

Introducción

"Háblame, oh Musa, de aquél varón de multiforme ingenio

que, después de destruir la sacra ciudad de Troya, anduvo

peregrinando larguísimo tiempo, vio las poblaciones y

conoció las costumbres de muchos hombres y padeció en su

ánimo gran número de trabajos en su navegación por el

ponto, en cuanto procuraba salvar su vida y la vuelta de sus

compañeros a la patria.”

Homero, La Odisea.

RESUMEN: Este capítulo comienza presentando la motivación e interés que ha dado

lugar a la realización de esta tesis doctoral. A continuación se enuncian los objetivos

planteados y finalmente se muestra la estructura del documento.

1.1 Motivación.

1.2 Declaración del problema y objetivos de la investigación.

1.3 Hipótesis de la investigación.

1.4 Ámbito de la investigación.

1.5 Organización de la tesis.

1.1 Motivación.

Los problemas de control que se presentan en una amplia variedad de campos de las ingenierías se

caracterizan esencialmente por su desarrollo en entornos de incertidumbre y soluciones no

lineales.

Resultados recientes ([Haykin94], [Narendra90], [Narendra98], [Poznyak98] y [Selmic98])

muestran que técnicas basadas en redes neuronales parecen ser herramientas muy efectivas para

controlar una amplia clase de complejos sistemas no lineales en aquellos casos en los que no

tenemos información completa sobre el modelo o, incluso, se considera el mismo como una

“caja negra”.

1-2 CAPÍTULO 1. Introducción.

Unos de las funciones claves desarrolladas por un sistema de vigilancia es realizar un seguimiento

de todos los objetivos de interés dentro de la región de cobertura de sus sensores, los cuales

proporcionarán información ambigua, incorrecta e imprecisa. El diseño de estos algoritmos que

permitan realizar o estimar este seguimiento de la forma más precisa posible representa un

problema de control complejo y emocionante.

De forma tradicional los algoritmos de seguimiento se han implementado basados en

estimadores de estado más o menos complejos (filtro α-β [Kalata84][Farina85][Brookner93], α-β-

δ[Farina85][Brookner98] y filtros Kalman [Kalman60][Kalman61][Brown92][Brookner98][Li05]) buscándose en todo

momento optimizar el error medio cuadrático (MSE) en la estimación de estado realizada.

Debido al incremento en la capacidad de computación actual en los ordenadores, los filtros

Kalman se han convertido en un estándar en la solución a este tipo de problemas.

En sistemas reales, existe una gran cantidad de factores originados por los objetivos y el

sistema que originan la pérdida de exactitud en este seguimiento.

La aplicación de redes neuronales a estos problemas de seguimiento radar en sistemas de

vigilancia, con medidas discretas las cuales incorporan incertidumbre, puede ayudar a

proporcionar soluciones en este complejo problema de control, no lineal, donde gran cantidad

de factores que quedan fuera de consideración en algoritmos clásicos, pueden ser tenidos en

cuenta en la resolución de este problema aplicando este paradigma.

La aplicación de redes neuronales en problemas donde se pretende estimar un

comportamiento futuro ha venido siendo una constante. En este caso, las redes neuronales

actúan como un reconocedor de patrones. En concreto, se puede considerar frecuente su

aplicación en el reconocimiento de series temporales[Olmedo04], y de forma más concreta en la

predicción de series temporales económicas. En concreto, se pueden citar ejemplos en lo

relativo a mercados financieros[Azoff94][Gately96], predicción de mercados bursátiles[Chen03][Grudnitski93],

predicción de bancarrotas y fallos de mercados[Wilson94][Fletcher93], predicción de tipos de

cambio[Frances98][Giles01], aplicaciones macroeconómicas[Qi01] o de comportamiento de magnitudes

macroeconómicas[Tkacz01].

Este es el caso de la información contextual, entendiendo la misma como información externa

a la correspondiente al propio estado (posición y velocidad) de un objetivo, entendiendo este

como cualquier aeronave detectada por un radar sobre la cual se quiere ejecutar un

seguimiento, y a la determinada por las medidas radar consideradas asociadas a este objetivo.

Esta información contextual, por la propia complejidad computacional que incorpora en su

tratamiento, de forma habitual no ha sido tratada por los algoritmos clásicos de seguimiento.

Las redes neuronales, por su capacidad para aprender a partir de unos datos de entrenamiento,

sin necesidad de tener que definir de forma exhaustiva un modelo del movimiento a tratar, por

su facilidad en la adaptación para incluir nuevos datos de entrada (en nuestro caso información

contextual), y por su extraordinaria adaptación a una computación paralela que permita

optimizar y acotar sus tiempos de cómputo, constituyen una herramienta muy interesante a

tener en cuenta y que debe ser considerada en la resolución de estos problemas. Estos tres

aspectos anteriores difícilmente se pueden encontrar en los algoritmos clásicos de

seguimientos (por su propia definición).

La motivación de esta tesis doctoral surge de una gran cantidad de años observando en mi

trabajo diario en el Grupo Central de Mando y Control del Ejército del Aire, cómo se

comporta un controlador en su estimación de trayectorias, en oposición al algoritmo de


seguimiento implantado en su sistema automático de proceso de datos, al cual en múltiples

ocasiones personalmente pregunté en que se basaba para considerar que una aeronave tenía un

estado u otro, qué miraba, confrontando las respuestas dadas con la información considerada

por los algoritmos de seguimiento clásicos, concretamente los filtros α-β y Kalman.

En múltiples ocasiones la solución adoptada por el controlador estaba fundamentada en

información más allá de la información considerada por los algoritmos de seguimiento. Estaba

considerando información contextual del objetivo bajo seguimiento.

Esta es una de las motivaciones principales que incita al autor de esta tesis a considerar la

aplicación de uno de los paradigmas de la inteligencia artificial, en este caso redes neuronales,

con el objetivo de tratar de reproducir aptitudes en el software próximas a las humanas.

Por analogía con la literatura en lengua inglesa existente sobre este tema, en la que se emplea

de forma habitual el término “neural tracking” [Sengupta89][Kim91][Juszkiewicz00][Wang14], tanto en el título

como durante la propia tesis se empleará la denominación “seguimiento neuronal”, entendiendo el

mismo como simplificación lingüística de “seguimiento basado en redes neuronales”, aún sabiendo

que su corrección semántica no sea la adecuada.

1.2 Declaración del problema y objetivos de la investigación.

La clave para un seguimiento de objetivos exitoso en un sistema de vigilancia aérea basada en

información radar subyace en la extracción de información útil para la estimación del estado

del objetivo a partir de observaciones radar[Rong03].

El objetivo fundamental de un algoritmo de seguimiento es estimar el estado o trayectorias de

un objetivo, considerando el mismo como un objeto en movimiento. Aunque este objetivo

normalmente no es realmente un punto en el espacio, de forma general es tratado así, como un

objeto puntual en este tipo de algoritmos.

Casi todos los métodos de seguimiento están basados en modelos. Asumen que el movimiento

del objetivo y las correspondientes observaciones del mismo pueden ser representados por algún

modelo matemático suficientemente preciso.

Los modelos más comúnmente usados son aquellos conocidos como modelos espacio-estado

siempre con ruido aditivo.

Uno de los mayores retos en este problema de seguimiento consiste en tratar con la

incertidumbre incorporada en las observaciones. Esta incertidumbre se refiere al hecho de que no

se dispondrá de un modelo dinámico preciso para el objeto bajo seguimiento. Aunque un

modelo general sea aplicable,

El objetivo de esta tesis doctoral es analizar la problemática relacionada con la estimación de

trayectorias a partir de datos radar discretos en el tiempo, considerando la configuración

clásica en un sistema de vigilancia aérea.

La tesis describirá este problema de seguimiento, exponiendo las soluciones adoptadas hasta la

actualidad en este tipo de sistemas aquí considerados.


Se estudiará en detalle la posibilidad de utilizar algoritmos basados en redes neuronales para la

resolución de este tipo de problemas de seguimiento radar en sistemas de vigilancia aérea,

considerando en las soluciones propuestas la posibilidad de incorporar nueva información, no

considerada en algoritmos clásicos por el alto coste computacional implicado, información que

podría cubrir ciertas carencias observadas en estos algoritmos. De forma concreta se considera

la incorporación de datos contextuales al objetivo bajo seguimiento como información a tener

en cuenta y considerar para la estimación de su nuevo estado, o lo que es lo mismo, en el

proceso iterativo de estimar la trayectoria del mismo.

1.3 Hipótesis de la investigación.

Para alcanzar los objetivos de la investigación se parte de un estudio inicial de los métodos

clásicos de estimación utilizados con datos radar en navegación aérea, los cuales son descritos

en el estado de la cuestión, implementándose en base a estos algoritmos basados en el

paradigma de inteligencia artificial de las redes neuronales donde la integración de nueva

información se puede realizar de forma más directa.

A continuación, considerando un ámbito de control y vigilancia aérea, se hace un estudio

sobre la posibilidad de considerar como información útil y valiosa en esta función de

seguimiento y estimación cierta información contextual existente en el entorno del avión sobre

el cual estamos ejecutando el seguimiento.

Hipótesis 1.

Considerando un entorno de navegación aérea, y más concretamente un ámbito de control y

vigilancia aérea, basado en información radar, es posible proponer un modelo de sistema de

seguimiento basado en redes neuronales alcanzando resultados en la estimación de

trayectorias a partir de los datos radar con una calidad de la misma similar a los algoritmos

de seguimiento ya definidos en la actualidad, llegando muchas ocasionas a mejorar los

resultados obtenidos.

Hipótesis 2.

Explotando las ventajas proporcionadas por el paradigma de inteligencia artificial de las

redes neuronales es, desde un punto de vista algorítmico y computacional, factible incorporar

al algoritmo de seguimiento nueva información que pudiera ser útil en la estimación de

estado del avión considerado. De forma más concreta, la integración de información basada

en el contexto en el cual se está desarrollando el movimiento del avión considerado aportará

información muy útil y valiosa que mejorará de forma notable la calidad de los resultados

obtenidos en el seguimiento.

Hipótesis 3.

Respecto a la validez de las estimaciones, el comportamiento relativo de las estimaciones del

modelo propuesto varía en función de la cantidad y tipo de información disponible, lo cual

determinará la red neuronal implementada.

Los resultados de este estudio y consecuentes desarrollos deben considerarse como un nuevo

enfoque o propuesta en lo relativo al futuro desarrollo de algoritmos de seguimiento radar


presentando un nuevo método de integrar distintos tipos de información en este tipo de

algoritmos.

1.4 Ámbito de la investigación.

Esta tesis se centra en el diseño y posterior exposición de una solución para la integración de

información contextual en algoritmos de seguimiento radar partiendo del estudio de los

algoritmos desarrollados hasta la actualidad. Para ello se considera la aplicación de paradigmas

de inteligencia artificial, tratando de emular de alguna forma el comportamiento que permite a

un controlador de navegación aérea desarrollar su función de estimación y seguimiento a partir

de la información de entrada que dispone.

Durante la revisión bibliográfica, se ha puesto de manifiesto que, a pesar de la extensa

literatura sobre los algoritmos de estimación y seguimiento en distintos ámbitos, existe muy

poca investigación que hubiese abordado la cuestión de la integración de información

contextual en un ámbito de aplicación de navegación aérea, donde las observaciones radar se

convierten en fuente de información principal. La literatura en este ámbito es muy limitada.

Por lo tanto, los objetivos de la investigación y otras cuestiones abordadas requerirán un

tratamiento específico, en términos de recogida de datos, aplicación de métodos, evaluación

del desarrollo y diseño de pruebas de hipótesis.

1.5 Organización de la tesis.

El Capítulo 1 comienza presentando la motivación e interés que ha dado lugar a la realización

de esta tesis doctoral. A continuación se enuncian los objetivos planteados y finalmente se

muestra la estructura del documento.

En el Capítulo 2 se detallan los algoritmos actualmente definidos y usados para el seguimiento

radar en un ámbito de aplicación a la vigilancia aérea en los sistemas automáticos diseñados

para esta función, justificando la necesidad de los mismos desde lo más básico de la

navegación aérea.

En el Capítulo 3 se presentan los algoritmos actualmente definidos y usados para el

seguimiento radar en un ámbito de blancos en maniobra, justificando la complejidad que

aparece en este tipo de problemas. Se describen ejemplos de maniobras definidas y utilizadas

habitualmente en combate aéreo.

El Capítulo 4 presenta una propuesta de solución en relación a la problemática presentada por

la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar utilizadas como fuente de información en

un sistema seguimiento de vigilancia aérea radar. Como propuesta de solución se presenta un

caso de aplicación de redes neuronales incorporándose información contextual a este

problema de seguimiento que pudiera ser implementada considerando los requerimientos de

proceso que acompaña a estos sistemas de tiempo real.

Se intenta explotar la capacidad de las redes neuronales para aproximar funciones de mapeo

pseudo-arbitrarias de entradas-salidas en un proceso, para incorporar la información


contextual que pudiera existir en trayectorias predeterminadas, en el proceso de estimación y

seguimiento propio de los sistemas de vigilancia aérea radar.

Una vez presentada en el Capítulo 4 la arquitectura y viabilidad del sistema neuronal a

implementar como solución como sistema de seguimiento radar, en el Capítulo 5 se somete

esta solución a un estudio de optimización de los parámetros propios de las redes neuronales

implementadas para alcanzar un comportamiento óptimo en la estimación obtenida.

Se detalla el estudio y pruebas realizadas por un lado en cuanto a la optimización del número

de neuronas a considerar en la capa oculta, por otro en cuanto a la selección de funciones de

transferencia que, aplicadas en la capa oculta y capa de salida, proporcionen los mejores

resultados.

Para finalizar, en el Capítulo 6 servirá de reflexión sobre lo expuesto en los capítulos

anteriores, con la finalidad de extraer conclusiones y descubrir los vacíos por los que

adentrarse en este campo, abriendo nuevas líneas de investigación. Se resumirán las que se

consideran principales aportaciones en esta tesis.

Se incluye en este trabajo un apartado final con las referencias bibliográficas citadas a lo largo

de la tesis y los anexos que la componen.

RELACIÓN DE ANEXOS

Anexo A.

Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba

realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo

relativo a la determinación del número de neuronas a implementar en la capa oculta.

Componen este anexo los siguientes apéndices:

Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.

Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.

Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.

Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.

Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.

Anexo B.

Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba

realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo

relativo a la determinación de las funciones de transferencia a utilizar en la capa oculta y capa

de salida.

Capítulo 2

Estado del Arte

"¡Oh dioses! ¡De qué modo culpan los mortales a los

númenes! Dicen que las cosas malas les vienen de nosotros, y

son ellos quienes se atraen con sus locuras infortunios no

decretados por el destino."

Homero, La Odisea.

RESUMEN: En este capítulo se presentan los algoritmos actualmente definidos y

usados para el seguimiento radar en un ámbito de aplicación a la vigilancia aérea en los

sistemas automáticos diseñados para esta función, justificando la necesidad de los

mismos desde lo más básico de la navegación aérea.

2.1. Control de la Navegación Aérea.

2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo.

2.3. Desarrollos de sistemas automáticos de control aéreo.

2.4. Estimación, decisión y seguimiento.

2.5. Sistemas de vigilancia.

2.6. Seguimiento y asociación de datos.

2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un sistema de vigilancia radar.

2.8. Filtros g-h.

2.9. Filtros Kalman.

2.10. Filtros con múltiples modelos.

2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento.

2.1. Control de la Navegación Aérea.

El avión obtiene su sustentación única y exclusivamente de su velocidad relativa, es decir, de la

velocidad con respecto al aire que le rodea. Cuanto más grande y pesado sea un avión, y

cuanto mayor sea la capacidad de carga que posee, tanto mayor deberá ser la sustentación que

soporte el peso del avión y de su carga. Ello implica que deberá ser mayor su velocidad (viento

relativo), pues la sustentación crece con el cuadrado de la velocidad (ver fuerzas actuantes en

figura 2.1).

2-2 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.

Figura 2.1. Fuerzas actuantes sobre un plano aerodinámico.

Pero, ¿cómo influye la velocidad con la necesidad del control del tráfico aéreo?

Evidentemente, si hubiese muy pocos aviones no habría necesidad alguna de establecer un

Servicio de Control de Tráfico Aéreo. Bastaría con esperar el aterrizaje de un avión para

autorizar el despegue de otro. De esta manera, nunca habría posibilidad de colisión, ya que

todo el espacio aéreo estaría disponible para un solo avión, en todo momento. Esto sería un

modo de utilización secuencial, a todas luces utópico e inaceptable. En este caso no habría que

ocuparse de niveles ni rutas.

La realidad es muy distinta. Existen muchos aviones, cada día más, que desean operar a lo

largo de las mismas rutas, a las mismas horas, y a niveles similares.

El vuelo no es un estado natural del hombre. Los sentidos proporcionan informaciones poco

exactas. El sentido más fiel es el de la vista. No obstante, los pilotos no pueden confiar

excesivamente en ella.

La velocidad de crucero de un avión reactor moderno puede estar comprendida entre 300 y

500 nudos. Recordemos que un nudo es la velocidad de una milla marina por hora, y que una

milla marina equivale a 1.852 metros. Eso significa que la velocidad de un avión es de unos

900 kilometros por hora. Ninguna persona, por muy hábil que sea, es capaz de volar fiándose

únicamente de sus sentidos. Incluso contando con una excelente visión, y un tiempo

atmosférico ideal, con visibilidad ilimitada, no dispone de unos reflejos suficientes como para

poder gobernar una aeronave por medios visuales.

¿Qué ocurre si otro avión procede por la misma ruta en sentido contrario?

Si ambos aviones son similares, sus velocidades de crucero serán parecidas. Según conoce

cualquier alumno de física elemental, es lo mismo imaginar dos aviones volando en sentidos

opuestos, que imaginar uno de ellos inmóvil y el otro al doble de su velocidad.

¿Se imagina conduciendo un tubo de aluminio lleno de personas a una velocidad de 1.800

kilómetros por hora, intentando evitar cualquier colisión, confiando únicamente en su agudeza

visual y en la divina providencia, para poder llevar a todos los pasajeros sanos y salvos a su

destino?

La configuración de un avión, por motivos aerodinámicos, es muy estilizada, con objeto de

presentar una mínima resistencia al avance. Los pilotos ocupan la parte frontal del fuselaje, por

lo que su visión queda limitada a un ángulo pequeño alrededor del eje longitudinal del avión;

dicha visión frontal es la que resulta más cómoda de adoptar, ya que es compatible con la


observación de los instrumentos del panel, que es esencial en el vuelo instrumental. Lo que

resulta absolutamente imposible es observar por detrás. La visibilidad de un avión es nula por

detrás (ver campo visual en figura 2.2).

Figura 2.2. Ejemplo de campo visual del piloto de un avión.[Bea14]

Tan solo se puede obtener una visión lateral a costa de esfuerzos e incomodidades por parte

de los pilotos.

Si varios aviones utilizan una misma ruta en el mismo tiempo, existe peligro de que puedan

colisionar unos con otros. Dicho peligro no es una cosa remota ni improbable, sino algo muy

real y muy concreto. Pensemos que el espacio aéreo con toda su infinitud aparente ante

nuestros ojos, no es utilizable por los aviones en su totalidad.

La primera limitación que los aviones imponen es la altura máxima a la que pueden operar, es

decir su techo. Otra limitación es la altitud mínima sobre el terreno, que se impone como

medida obligatoria para eliminar riesgos de colisión con los obstáculos terrenos. Así pues, tan

solo se pueden emplear unos determinados niveles, comprendidos entre una cota mínima y

otra máxima. La primera limitación que existe en el espacio aéreo es, pues, vertical.

Por otro lado, los aviones que se dirigen hacia un mismo punto lo hacen, evidentemente, por

el camino más corto. Esto hace que solamente unas zonas del espacio aéreo resulten

transitadas, mientras que otras quedan desiertas. La segunda limitación al espacio aéreo es

horizontal.

Existen unas rutas, determinadas por unos rumbos, que son muy utilizadas, mientras que otras

lo son menos, o no lo son en absoluto. Si en este caso, suponemos que existe un tráfico aéreo

intenso, simultáneamente habrá aviones desplazándose de un punto A a B y de B a A, dándose

la circunstancia de que haya varios aviones en cada sentido. En este caso, la solución obvia es

dividir el espacio aéreo en niveles verticales, como estratos superpuestos, y asignar una de estas

capas a los aviones que se dirijan de A a B y otro distintos a los que lleven sentido opuesto.

Dos aviones que se crucen de frente se aproximan a 1.800 km./h. Esta velocidad es,

aproximadamente, la misma que la que lleva una bala de fusil cuando abandona el cañón de un

arma. Imaginemos la rapidez de reflejos que deberían poseer los pilotos para ser capaces de

evitar un choque frontal.


La capacidad humana de evitar una colisión, en estas circunstancias, es totalmente insuficiente.

Ningún piloto aceptaría la responsabilidad de realizar un vuelo, separándose él solo por

medios visuales de los demás aviones. Eso solamente podía hacerse en los primeros tiempos

de la aviación, cuando había muy pocos aviones, y éstos desarrollaban velocidades muy

pequeñas.

La separación vertical descrita en los párrafos anteriores es suficiente para evitar la posibilidad

de colisión una vez que los aviones han alcanzado sus niveles de crucero asignados (figura 2.3),

es decir, se han nivelado. Pero, ¿cómo se llega a dichos niveles? ¿cómo abandonan sus niveles

para aproximarse a un aeropuerto?

Figura 2.3. Niveles de vuelo[AENA15]

Al cruzar los niveles, tal y como se aprecia en la figura 2.4, se ve que aparecen momentos

extremadamente conflictivos, en los que, a menos que se tomase alguna precaución especial,

existe un gran riesgo de choque frontal.

Figura 2.4. Tránsito en niveles de vuelo[Notjur15].

Por consiguiente, se debe establecer alguna limitación en el régimen de ascenso de los aviones, es

decir, en su mayor o menor velocidad de subida, o de bajada – régimen de descenso -. También se

puede establecer una limitación temporal con objeto de evitar que dos aviones coincidan en el

mismo sitio y en el mismo momento. Para ello se establecen dos tipos de separación; por

espacios y por tiempos.


Resumiendo, con las consideraciones teóricas analizadas hasta ahora, vemos que existen tres

tipos de separación utilizables:

I. Vertical.

II. Por espacios.

III. Por tiempos.

Las complicaciones de una ruta rectilínea, como la de nuestro ejemplo, no quedan agotadas

con lo expuesto. Los aviones no son todos iguales. Unos son más rápidos que otros. Unos

pueden subir o bajar más deprisa que otros. Incluso tratándose de aviones idénticos, su

maniobrabilidad depende de la carga que transporten. Algunos aviones son capaces de volar en

niveles muy altos, mientras que otros no. Aun volando en el mismo sentido, puede ser que

unos aviones alcancen y adelanten a otros. También existe, pues, peligro de colisión en el

mismo sentido. Cualquier restricción que se aplique a los aviones se deberá establecer teniendo

en cuenta sus características aerodinámicas.

¿Y qué ocurre si existen otros aeropuertos intermedios entre o cercanos a los puntos A y B

anteriores? Existirán, evidentemente, riesgos de colisión en los puntos próximos a cada uno de

ellos. Bajo ningún concepto, y en ninguna circunstancia, los aviones pueden volar a su

albedrío.

Es necesario que exista una dependencia donde se disponga de los datos relativos a todos los

vuelos, así como de los tipos de aeronave involucrados. El servicio proporcionado es el

Tráfico de Control Aéreo, conocido internacionalmente por las siglas ATC (Air Traffic Control).

Las cosas en realidad pueden ser, y de hecho son, mucho más complicadas. Pensemos en una

disposición de aeropuertos tal que las rutas aéreas que los enlazan se crucen entre sí. Tal

configuración es real, y ocurre en multitud de ocasiones. Basta con contemplar un mapa

geográfico y asociarlo con su correspondiente mapa aéreo.

2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo.

A consecuencia del primer vuelo tripulado, la ascensión en globo de los hermanos Montgolfier

por los cielos franceses, la Prefectura de Policía de París establece que antes de realizar una

ascensión similar, los aeronautas deben solicitar un permiso. Surgen montones de preguntas

inéditas que requieren respuestas correctas. Ello sucede en 1784. A finales del siglo XVIII se

establecieron leyes que regulaban la utilización de los globos.

Ya en el siglo XIX, desde Europa aparecieron noticias de que algunos chiflados estaban

construyendo aviones. ¿Qué son los aviones? Grandes máquinas de madera y tela, unidas por

cables y movidas por motores, que son capaces casi de volar. Estas noticias constituyeron un

verdadero desafío para los americanos, gente imaginativa y emprendedora. Los hermanos

Wright realizaron el primer vuelo totalmente exitoso en el año 1903, en Kitty Hawk, Carolina

del Norte. Los Estados Unidos se apropiaron del triunfo de los hermanos Wright y la Aviación

se convirtió en asunto de máxima importancia nacional.

Se establece un servicio de comunicaciones postales lo más rápido posible. Es obvio que el

único vehículo que podía proporcionar rapidez en el reparto de las cartas y documentos era el

avión. Se empieza a crear la infraestructura necesaria para la navegación aérea.


Figura 2.5. Servicios postales. 1920[NATCA15].

Primero fueron los servicios postales, después los de mercancías. Más adelante, los propios

viajeros perdieron el miedo ancestral al elemento aéreo, y cada vez se utilizó más el avión.

Surgen de esta forma las primeras líneas comerciales. Se establecieron las primeras Leyes del

Aire (estado de Connecticut, en 1911).

Inicialmente, los pilotos establecen sus rutas siguiendo los cursos de los ríos, las líneas férreas

o las carreteras. Si alguna vez dudan del camino a seguir, vuelan muy bajo, acercándose para

leer los carteles que señalan los cruces e intersecciones.

Pero, algunas veces, el tiempo atmosférico cambia bruscamente, y juega malas pasadas a los

pilotos. Se forman nubes espesas, y se producen nieblas bajas que impiden la visibilidad del

terreno. Se pierden las referencias visuales, y surge la angustia del aviador perdido, incapaz de

distinguir el suelo, sin medio alguno de saber dónde está, y con un combustible que se le agota

rápidamente.

Su único vínculo con la tierra es la radio. El piloto, acercándose al sitio donde cree que está el

aeropuerto, llama desesperadamente. El controlador le contesta que oye el ruido de los

motores por encima de las nubes, dándole su posición relativa respecto a la pista. De esta

forma reiterativa, el avión se acerca. Algunas veces encuentra la pista, y el vuelo concluye

felizmente. Otras veces no.


Figura 2.6. Aeropuerto de Cleveland. Primera sala equipada con radio. 1930[NATCA15].

Durante estos primeros años, el porcentaje de accidentes aéreos era importante. Las

autoridades se preocuparon de buscar maneras de incrementar la seguridad en vuelo. Se

comienza a investigar sobre los medios técnicos que podrían ayudar a la navegación aérea.

La Aviación ha progresado mucho en pocos años. De los primeros aviones de madera y tela

hemos pasado a los actuales reactores de gran capacidad y velocidad. Y todo ello se ha

conseguido en poco más de 100 años. Bien es verdad que, en estos años, se han desarrollado

dos Guerras Mundiales y, con todas las consecuencias desastrosas que ello ha desencadenado,

la Aviación debe gran parte de su progreso precisamente a ellas.

Desde sus primeras aplicaciones prácticas, el avión demostró poseer unas extraordinarias

cualidades militares. No es extraño que todos los países prestasen una atención excepcional al

perfeccionamiento de los aviones, destinando a su desarrollo y fabricación importantes

presupuestos económicos, y los esfuerzos de los mejores cerebros científicos y técnicos. El

avión evolucionó rápidamente.

Pero de nada servía este desarrollo si el avión no podía utilizar el espacio aéreo libremente, y

con un elevado margen de confianza y seguridad. Para poder aprovechar totalmente las

cualidades, cada vez mejores, que los fabricantes proporcionaban a sus aviones, hubo que

disponer de sistemas que hiciesen que la Navegación Aérea fuese posible. Y estos sistemas

eran producto de unas técnicas muy recientes, casi tan recientes como la propia Aviación. Se

trataba de equipos electrónicos, radioayudas, basados en la utilización de la radio, sistema ideal

para transmitir y recibir información de los aviones en vuelo.

El radar (radio detection and ranging) se puede considerar para el ATC, como la radioayuda por

excelencia, algo así como la reina de las radioayudas, resultando tan esencial como la propia

radio. Tal es su importancia, que sin el radar no se podría manejar la densidad de tráfico aéreo

que conocemos en esta época. Ningún otro sistema, a excepción de la propia radio, ha

contribuido tanto al desarrollo de la Aviación, tanto civil como militar.

El radar cobró una importancia absoluta en la guerra gracias a la información que era capaz de

suministrar. Gracias al radar, que en aquellos días aún era conocido como “radiolocalizador”,

se pudo ganar la Batalla de Inglaterra en 1940. Los alemanes disponían de una poderosísima


arma, la Luftwaffe (el arma aérea). Por primera vez, habían concebido y desarrollado la idea de

construir una Armada Volante, un ejército numeroso de modernos aviones de gran capacidad

de carga, y con un considerable radio de acción. La Luftwaffe disponía de más de 2000 aviones

de bombardeo, una fuerza destructora arrolladora, frente a la cual Inglaterra solo podía

oponer, como máximo 700 aviones de caza [Brown99].

Pero, gracias al radar, los británicos (figura 2.7) podían conocer de antemano las intenciones

del enemigo, ya que sabían sus movimientos y, por lo tanto, podían dirigir sus propios aviones

al lugar más oportuno, y en el momento más conveniente [Gwen03]. Solo así se explica como 700

aviones fueron capaces de derrotar a la poderosa Luftwaffe. La Batalla de Inglaterra fue ganada

gracias al radar [Bendiner45].

Figura 2.7. Estación radar británica “Chain Home”[AESS15].

El fundamento técnico del radar es muy sencillo. Se basa en el mismo principio que el eco. Un

transmisor emite una señal muy corta y de gran potencia (un impulso) y, a continuación, un

receptor sintonizado a la misma frecuencia recibe cualquier señal procedente del rebote del

impulso transmitido contra cualquier obstáculo (y muy especialmente, de los obstáculos

metálicos). Un dispositivo de observación permite presentar en una pantalla en forma visual

(ver figura 2.8, presentación de datos en 1945), la situación relativa de cada eco con respecto a

la estación emisora-receptora. Esto revolucionaría el control de tráfico aéreo.


Figura 2.8. Presentación de datos radar en 1945.[Radar15]

Cuanto más lejos esté el obstáculo, más tiempo tardará su eco en llegar al receptor. En la

pantalla, dicho eco aparecerá más alejado del origen. Es fácil calibrar esa distancia en millas

náuticas, ya que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (sean de radio,

radar, TV o la propia luz visible), es siempre la misma, y su valor es perfectamente conocido.

Por otra parte, el empleo de frecuencias muy altas (o, lo que es lo mismo, de longitudes de

onda muy cortas, comprendidas en la región de las microondas), permite que los haces de

energía transmitidos sean muy estrechos. En esas condiciones, las antenas utilizadas permiten

una definición muy precisa de la situación espacial de los blancos.

Pero un sistema de radar de impulsos como el descrito no permite distinguir un avión de otro.

El eco únicamente informa sobre el tamaño del avión, además de su posición y distancia. Para

distinguir un avión de otro hacía falta pensar en otro sistema (Radar Secundario, cuando es el

propio avión quien envía una señal hacia la señal de tierra, frente al Radar Primario, descrito

anteriormente, donde el eco es la única señal utilizable, figura 2.9).

Los sistemas radar que se utilizan en el ATC son ambos, primario (PSR, Primary Surveillance

Radar) y secundario (SSR, Secondary Surveillance Radar). Naturalmente, el secundario proporciona

mucha más fiabilidad al sistema. Es más fácil detectar una señal potente que un eco pasivo.

Como primera consecuencia, el empleo del radar secundario permite incrementar la

sensibilidad del equipo radar. Además, permite que el alcance del sistema sea mucho más

grande. Se pueden detectar más aviones, y más alejados con el radar secundario que con el

primario. Además de lo anterior, el equipo transmisor del avión responderá con una señal

compuesta de varios impulsos, dispuestos de diferentes maneras, codificándose de esta forma

datos relativos al avión. Es como si en la codificación de los impulsos transmitidos fuese la

“firma” del avión.


Figura 2.9. Radar primario –PSR- y secundario -SSR- [Surcando15].

No obstante, este radar secundario implica la necesaria “colaboración” del avión al cual se

quiere detectar. Es más que probable, que en aplicaciones militares, en muchas ocasiones,

ciertos blancos no ofrezcan esta información, motivo por el cual, el radar primario se convierte

en transcendental y única fuente de información para su detección, convirtiéndose en fuente

fundamental de información en este tipo de sistemas.

La utilización del radar primario y/o secundario (ver figuras 2.9 y 2.11) permite al controlador

ver los aviones y sus posiciones relativas (ver figura 2.10), con referencia a un mapa de

navegación superpuesto en la misma pantalla. Además de ver su situación física, podrá deducir

los rumbos y velocidades correspondientes a cada avión.

Figura 2.10. Señal radar primario analógica[Alcione11].

Una utilización combinada de radares primario y secundario (figura 2.11) tiene las ventajas de

los dos tipos de radares en una única instalación. Generalmente, la antena del radar primario y

el secundario son montadas en el mismo eje, con el mismo mecanismo de rotación, tratándose

los datos de forma integrada [Skolnik02]. El radar primario da información sobre detecciones de

intrusiones y el radar secundario sobre aviones cooperativos (junto a su identidad y altura).


Figura 2.11. Radar Lanza. Primario (antena inferior de mayor tamaño) y secundario (antena

superior de menor tamaño).[Gaceta14]

Los radares actualmente utilizados para control de tráfico aéreo presentan las características

técnicas mostradas en la tabla 2.1.

CARACTARÍSTICAS RADAR

PSR

SSR

PSR+SSR

Distancia Superior a 250 NM.

Superior a 250 NM.

Superior a 250 NM.

Periodo de rotación de antena 4-12 sg. 4-12 sg. 4-12 sg.

Probabilidad de detección >90% >97% >95%

Densidad de clutter1 (número de plots por scan)

40

Precisión nominal en medida:

- Distancia (m.)

- Rumbo (grados)

40 0.07

30 <0.06

30 <0.06

Precisión en cuantificación (estándar ASTERIX):

- Distancia (m.)

- Rumbo (grados)

1/256 0.0055

1/256 0.0055

1/256 0.0055

SSR falsos plots:

- Reflexión

- Lóbulos laterales

- Splits

<0.2 <0.1 <0.1

<0.2 <0.1 <0.1

Error en referencia temporal <=100 ms. <=100 ms. <=100 ms.

Error nominal en referencia temporal 50 ms. 50 ms. 50 ms.

Tabla 2.1. Características de sensores radar [Arif10][Olivier10].

En referencia a las medidas proporcionadas por radares, en un sistema de control de tráfico

aéreo, se puede considerar el error en la posición mostrado en la figura 2.12.

1 ruido provocado por los ecos o reflexiones en elementos ajenos al sistema (montañas,

superficie del mar, etc.), que evitan que la SNR sea la óptima. Ver figura 2.10.


Figura 2.12. Error en la medición radar de posición[Olivier10].

2.3. Desarrollo de sistemas automáticos de control de tráfico

aéreo.

A pesar de la importancia de los radares dentro de los sistemas de control de tráfico aéreo,

estos no son más que una parte de los mismos. Un sistema completo incluye:

Sensores de posición y altura (estaciones de tierra o embarcadas en aviones). Se

utilizan enlaces de datos para transmitir esta información desde los aviones a centros

en tierra.

Sistemas para la transmisión de información desde el punto de detección al centro de

proceso de datos.

Sistema de presentación o sistema automático ATC.

A partir de los años 50, los ordenadores comienzan a transformar el control de tráfico aéreo,

entrándose en los tiempos de la automatización. Los ordenadores se usan de forma

experimental en 1956. En pocos años, la FAA (Federal Aviation Administration) desarrollará

complejos sistemas.

Desde 1965 a 1975, la FAA instala un sistema informatizado que, por primera vez, integra

datos, desde el plan de vuelo a datos radar, produciendo presentaciones en pantallas gráficas

mostrando la posición, velocidad y altura de cada avión (ver figura 2.13). Los controladores

pueden, por fin, “ver” los aviones en “tres dimensiones”, y hacerlo de forma continua. Con

esta automatización, los controladores pueden detectar y corregir cualquier variación.

En referencia al proceso automático de datos radar, se proporciona seguimiento automático,

considerando radar primerio, y presentación digital alfanumérica, todo ello a partir de datos

radar digitalizados [Gle73]. Esta presentación incluirá información de posicionamiento, altura e

identificación de la aeronave considerada. Se presenta siempre como objetivo presentar

información de vigilancia precisa, entre otros motivos para prevención de colisiones.


Figura 2.13. Sistema de control de tráfico aéreo automático, servidores (IBM9020, Jacksonville

ARTCC) y estación de trabajo, 1975. [ATC14]

En un sistema de presentación o sistema automático ATC [ICAO07][Bisplinghoff82]:

Los datos procedentes de los sensores pueden ser presentados en una presentación

“standalone” para un único sensor o junto a otros sensores, combinando estos datos en

una “imagen” plana de la situación aérea.

Esta imagen plana de la situación aérea proporciona a los controladores una visión de

la posición relativa entre aviones y/o referencias geográficas. Esto ayudará al

controlador en su servicio de control de tráfico aéreo.

Se deben/pueden implementar funciones de vigilancia tales como detección de

intrusiones, alertas, warnings, establecimientos de zonas restringidas,… Estas funciones

incrementarán la seguridad en general.

Todo lo anterior, funciones de vigilancia, seguridad, alertas, decisiones del controlador,… está

supeditado a una “imagen” de la situación aérea precisa, en tiempo real, tan exacta y

correspondiente con la realidad como sea posible, si bien estará condicionado por las

imprecisiones e incertidumbres que existen en los datos proporcionados por los sensores. A

modo de ejemplo, en la figura 2.14, se puede observar una imagen estándar de datos radar

(puntos) y trazas (vectores), existiendo incertidumbre provocada por la dispersión en medidas

radar.


Figura 2.14. Típica presentación de datos multiradar con estimación de estado (posición y

velocidad).

Estas funciones de ATC son aplicables tanto en un entorno civil como en un entorno militar,

cada uno con sus objetivos y funciones, uno más basado en la seguridad del espacio aéreo y

otro en la vigilancia del mismo, ejerciéndose las típicas funciones de mando y control con lo

que ello conlleva [JCS80][Alberts06].

2.4. Estimación, decisión y seguimiento.

En nuestro problema se consideran señales (medidas, observaciones) que son función del

tiempo y aleatorias en el sentido que antes de haber obtenido una medida no es posible

describir exactamente la misma (o función que determina esta). En este caso, cada elemento

del espacio muestral es una función del tiempo xj(t). El conjunto de funciones del tiempo

(espacio muestral) se denomina proceso aleatorio o estocástico.

A su vez, se denomina proceso estocástico discreto, aquel en el que la aleatoriedad

interviene en instantes de tiempo determinados y concretos.

Se denomina estimación al proceso de inferir el valor de una cantidad de interés a partir de

observaciones (medidas) con incertidumbre, imprecisas e indirectas. De forma más rigurosa la

estimación se puede definir como el proceso de selección de un punto en un espacio continuo – “la mejor

estimada”-.

La decisión se puede definir como la selección de una de un conjunto de alternativas discretas –“la mejor

elección” en un espacio discreto-. Sin embargo, se puede hablar de estimación en un caso de valores

discretos con la posibilidad de no hacer una elección sino obteniendo las probabilidades de

varias alternativas.


Se denomina seguimiento a la estimación del estado de un objeto en movimiento. Esto se

puede hacer usando uno o más sensores en asentamientos fijos o en plataformas móviles.

El seguimiento tiene un ámbito más extenso que la estimación: no solo usa todas las herramientas de la

estimación, sino que requiere el uso de la teoría estadística de la decisión, especialmente en

problemas prácticos.

Un problema de seguimiento se basa en como deducir, inferir, aproximar el valor de variables

desconocidas en relación al estado de un objeto a partir de datos (medidas) disponibles (ver

figura 2.15). Esto es:

Dado X = (x1, x2, …, xn) vector de variables desconocidas,

y Z = (z1, z2, …, zk) vector de datos,

Z reduce la incertidumbre existente a-priori en los valores de X.

X puede ser estimado a partir de Z además de otra información existente a priori (figura 2.15).

No obstante, el valor de X estimado (a partir de ahora lo notaremos como X^) puede contener

(y normalmente será así), errores respecto al valor de X real.

Figura 2.15. Problema de seguimiento

Preguntas importantes a tener en cuenta serían:

¿Cómo está relacionado X con X^?

¿Como de próximo está X a X^?

¿Cómo procesar los valores de Z para obtener un X^ lo más próximo a X?

En el caso en el cual pretendemos centrarnos, se puede considerar:

Procesado de datos

Información

A-PRIORI

Z X^

X: parámetros

del modelo


X: como los parámetros que describen el estado de un objeto en un determinado momento. Generalmente, los valores contenidos en este vector serán desconocidos.

Z=g(X): como el conjunto de medidas proporcionadas por el sensor, en las cuales se incluye cierta incertidumbre como:

o Errores en las propias medidas obtenidas: no proporcionan los valores de medida correctos, incorporando cierto error.

o Medidas falsas: no todas las medidas corresponden a un objeto real, siempre existirán medidas falsas, no correspondientes a objetos de nuestro interés.

o Medidas ambiguas: las cuales no vamos a saber a qué objeto en concreto corresponden.

o Medidas perdidas: que por determinados motivos no se habrán podido obtener en un determinado momento.

X^=f(Z): parámetros estimados para describir el estado de un objeto en un determinado momento a partir de medidas recibidas.

A partir de este vector de medidas Z, únicos datos proporcionados por el sensor, e

información de la que se disponga a-priori, como por ejemplo el historial de posiciones

anteriores sobre las cuales se puede estimar cierto tipo de trayectoria, el objetivo en un problema

de seguimiento será obtener una estimación X^ lo más cercana posible a X.

Se denomina filtro a un procedimiento que toma como entrada una colección o

conjunto de datos tomados de un sistema o proceso. El sistema quedará descrito por una

ecuación de estado. El filtro estimará los parámetros o variables de estado del sistema. El

conjunto de variables de estado del sistema será cualquier conjunto de estas que describa

completamente su estado. El objetivo será controlar o descubrir el estado del sistema, y se

pretenderá estimar estas variables de estado a partir de los datos proporcionados. Así, por

ejemplo:

Se puede estar interesado en la posición y velocidad de un objeto, las cuales serían sus variables de estado.

La ecuación de estado podría ser un punto moviéndose con aceleración constante.

Los datos que se tendrían disponibles serían una colección de medidas de posición con cierto ruido.

Teniendo en cuanta el dominio del tiempo, a partir de una colección de datos Z(k),

k=1,2,…,T, obtenidos a lo largo de un intervalo temporal (suponiendo estos datos discretos),

los cuales alimentan nuestro filtro, se pueden establecer tres problemas de estimación a

resolver:

Filtrado: Estimar el valor actual X(T) conocidos todos los datos hasta este momento.

Suavizamiento: Estimar algún valor pasado X(k), con k<T conocidos los datos hasta el instante T.


Predicción: Estimar algún valor futuro X(k), con k>T conocidos los datos hasta el instante T.

La razón de existir de la estimación es la generación de información con las siguientes

características:

Calidad (por ejemplo exactitud, fiabilidad) mayor que en las medidas originales.

Contener cierta información no directamente disponible en las medidas.

Figura 2.16. Estimación de estado

La variable de interés en un problema de estimación puede ser:

Un parámetro, cantidad invariante en el tiempo (un escalar, un vector o una

matriz).

El estado del sistema dinámico (generalmente un vector).

La figura 2.16 muestra un diagrama de bloques que ilustra el proceso de estimación de estado.

Los dos primeros bloques se pueden considerar “cajas negras”, a cuyas variables internas no

tenemos acceso. Las únicas variables disponibles para el estimador son las medidas, las cuales se

ven afectadas por las fuentes de error en forma de “ruido”.

El estimador usa conocimiento sobre:

La evolución de la variable (dinámica del sistema).

El sensor (sistema de medida).

Caracterización probabilística de varios factores aleatorios (incertidumbres) y

de la información a priori.

Un estimador óptimo es un algoritmo que procesa las observaciones (medidas) para concluir

una estimación de la variable de interés, la cual minimiza un cierto criterio de error.

La ventaja de un estimador óptimo es que hace el mejor uso de los datos, conocimiento del

sistema y distorsiones. El inconveniente es que sería muy sensible a errores en el modelo y

podría ser caro en cuanto a las necesidades requeridas en cuanto a la definición de modelos

estadísticos de movimiento (en muchas ocasiones imposibles de alcanzar) o en lo referente a

Sistema

dinámico

Sistema de

medida Estimador

de estado

Medidas

Estado del

sistema

Fuentes de error en

el sistema Fuentes de error

de medida Información a priori

Estimación de

estado

Estimación de

incertidumbres


requerimientos en cuando a capacidad de cómputo (por el alto coste computacional que

podría llegar a requerir, igualmente, en la actualidad imposible de proporcionar).

2.5. Sistemas de vigilancia.

Un sistema procesador de datos radar (RDP) ejecuta una serie de algoritmos que aplicados a los

datos radar permite:

Reconocimiento de las detecciones sucesivas como pertenecientes a un mismo blanco.

Estimación de los parámetros cinemáticas (posición/velocidad) del blanco, estableciéndose en este caso una traza.

Extrapolación de los parámetros de la traza.

Detección y establecimiento de cada uno de los blancos detectados.

Diferenciación entre blanco y falsas detecciones causadas bien por interferencias intencionadas o naturales.

Procesar la traza de forma que contemple las maniobras en constante precisión e interpolar las fases del seguimiento de forma óptima, con otras funciones radar.

Dentro de los algoritmos necesarios en un RDP se pueden indicar los utilizados para:

Filtrado de ruido.

Iniciación/terminación de traza.

Actualización de la traza.

Discriminación entre datos de diferentes blancos y datos falsos.

Fusión de datos/trazas.

El amplio uso e incremento en la complejidad de los sistemas de vigilancia, tanto militares

como civiles, ha generado un gran interés en algoritmos capaces de realizar el seguimiento de

una gran número de trazas usando datos de medida procedentes de muchos y diversos sensores.

Un algoritmo de seguimiento incorpora funciones relativas a los puntos primero, tercero y cuarto,

si bien, esta funcionalidad no es exclusiva de él, pudiendo existir otros algoritmos para tales

fines.

El seguimiento de blancos móviles es una de las tareas más importantes a las que un sistema

de vigilancia radar está destinado. Así, en el campo de las aplicaciones civiles, un sistema de

seguimiento de aeronaves tiene una gran utilidad para controlar operaciones aéreas en una

zona reducida, como puede ser un aeropuerto o en un combate, a fin de evitar posibles

accidentes ocasionados por la colisión de dos o más aviones, además de servir para controlar el

flujo de tráfico. También sirve de gran ayuda para instantes críticos del vuelo, como pueden

ser los aterrizajes, a fin de facilitar dicha maniobra.

La alta sensibilidad de los sistemas actuales y la necesidad de trabajar en entornos de de baja

SNR puede llevar a grandes cantidades de datos, lo cual, junto con la presencia de

contramedidas puede incrementar aún más la dificultad del seguimiento.

Es más, el esfuerzo requerido para el seguimiento de n objetivos puede ser sustancialmente más caro

que n veces el seguimiento de un único objetivo. Esto es debido a que establecer la correspondencia

entre objetivos y medidas no es un problema trivial, siendo un problema de combinatoria

complejo.


Los avances en hardware y algoritmos ha incrementado la capacidad en el procesado de la

señal en varios órdenes de magnitud en los últimos años. Esto ha provocado que los datos de

medidas disponibles para seguimiento sean más numerosos y complejos, generándose una

demanda por los correspondientes avances en técnicas de procesado de la información para

gestionar este problema.

Es conocido desde 1964[Sitler64] que en seguimiento de objetivos puede existir una

incertidumbre adicional asociada con las medidas además de su imprecisión, la cual puede ser

normalmente modelada por algún ruido aditivo. Esta incertidumbre adicional está relacionada

con el origen de las medidas: una medida que va a ser utilizada en el algoritmo de seguimiento

puede no haber sido originada por el objetivo de interés.

Esta situación puede darse en un sistema de vigilancia cuando un radar, sonar o sensor óptico

está operando en presencia de:

Clutter2

Contramedidas

Falsas alarmas.

Esta incertidumbre en las medidas también puede darse cuando distintos objetivos están

próximos y, incluso aunque se puedan separar las observaciones detectadas, no se puede asociar

con certeza estas detecciones a los objetivos. Una situación similar en el proceso de formación de

trazas, donde pueden existir distintos objetivos pero su número es desconocido y algunas de las

medidas pueden ser falsas.

La aplicación de algoritmos de estimación estándar, que podrían usar la medida más próxima en algún

sentido a la posición predicha puede llevar a resultados muy pobres en un entorno donde

medidas falsas ocurren frecuentemente. Esto es así debido a que este enfoque no tiene en

cuenta que las medidas usadas en el algoritmo podrían haber sido originadas a partir de un

objetivo distinto al objetivo de interés.

2.6. Seguimiento y asociación de datos.

Según lo anteriormente expuesto entenderemos por seguimiento (figura 2.17) el procesado de

medidas obtenidas a partir de un objetivo para mantener la estimación de su estado actual, el cual

normalmente consiste en componentes cinemáticos –posición, velocidad, aceleración, giros,…

Las medidas son observaciones afectadas por ruido relacionadas con el estado de un objetivo,

tales como estimación directa de una posición (normalmente distancia, azimut y elevación).

2 ruido provocado por los ecos o reflexiones en elementos ajenos al sistema (montañas,

superficie del mar, etc.), que evitan que la SNR sea la óptima.


Figura 2.17. Representación del problema del seguimiento.

Las medidas de interés no son detecciones originales sino que normalmente son la salida de un

complejo sistema de procesado de señal y detecciones tal y como se muestra en la figura 2.18.

Figura 2.18. Componentes de un sistema de seguimiento.

Una traza es un estado de la trayectoria estimado a partir de un conjunto de medidas – datos

– las cuales han sido asociadas con el mismo objetivo.

La clave del problema multiobjetivo es ejecutar el proceso de asociación, también llamado

(como abuso del lenguaje) “proceso de correlación de datos”, sobre medidas cuyo origen es

incierto debido a:

Falsas alarmas aleatorias en el proceso de detección.

Clutter debido a reflexiones falsas o emisiones próximas al objetivo de interés.

Objetivos que interfieren en el proceso.

Contramedidas.

Datos del

sensor

Trayectoria

real

Trayectoria

estimada

x

Traza

Estimación de

incertidumbre

Estimación

de estado Energía EM

Señal Medidas Entorno Sensor Proceso

de señal

Proceso de

información

Ruido


Es más, la probabilidad de obtener una medida de un objetivo – la probabilidad de

detección del objetivo – es menor que la unidad.

El modelado del comportamiento en el movimiento de los objetivos añadirá dificultades

significativas al proceso. Esto dificultará el ya complejo problema de asociar las medidas bajo

incertidumbre.

2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un

sistema de vigilancia radar.

Supongamos un radar de vigilancia tal y como se muestra en la figura 2.19. Se considera un

radar de vigilancia con una rotación continua de 360º, típicamente con un periodo de 10 sg.

Por simplificación del problema se considerará un radar bidimensional el cual proporciona

información de azimut y distancia de los objetivos detectados. La distancia (R1 y R2) se estima

a partir del tiempo que tarde un pulso transmitido en llegar desde el transmisor al objetivo y

volver. El azimut (θAz) es determinado a partir del ángulo al cual el emisor está apuntando

cuando el objetivo es detectado.

Figura 2.19. Representación esquemática de un radar de vigilancia. [Brookner98]

Supóngase que en un tiempo t=t1 el radar está apuntando a un ángulo θ y dos objetivos son

detectados a una distancia R1 y R2 (véase figura 2.20). Supóngase que la siguiente vuelta en

tiempo t=t1+T (por ej. t1+10 sg.), de nuevo se detectan los dos objetivos.


Figura 2.20. Esquema del problema de seguimiento. [Brookner98]

El problema planteado es si estos dos objetivos detectados en la segunda vuelta son los

mismos objetivos detectados anteriormente o son nuevos. La respuesta a esta pregunta es

importante para sistemas de control aéreo civiles y militares. El correcto conocimiento del

número de objetivos será importante para prevenir colisiones. Igualmente, en un entorno

militar será importante para determinar el tratamiento e interceptación de estos.

Asumamos que se detectan dos ecos en la segunda vuelta. Supóngase que, de alguna forma, se

determina que estos dos ecos corresponden a los mismos objetivos detectados en la primera

vuelta. El problema que se plantea es como alcanzar una correcta asociación del eco del

objetivo 1 en la segunda vuelta con el eco del objetivo 1 de la primera vuelta, así como, del eco

de objetivo 2 en la segunda vuelta con el eco del objetivo 2 en la primera vuelta.

Si se realizara una asociación incorrecta, entonces se estimaría una velocidad incorrecta para

el objetivo considerado. Por ejemplo, si el eco del objetivo 1 en la segunda vuelta es asociado

con el eco del objetivo 2 en la primera vuelta, entonces se podría llegar a la conclusión de que

el objetivo 2 tiene una velocidad mucho mayor de la que realmente tiene. En un sistema de

control aéreo este error en la velocidad de un objetivo podría llevar a una colisión.

Las posibilidades de una asociación incorrecta se reducirían si se llevara a cabo una predicción

precisa de donde se espera que los objetivos 1 y 2 se encuentren en el momento de su

detección en la segunda vuelta. Esta predicción se puede realizar fácilmente si se dispone de

una estimación de la velocidad y posición para los objetivos 1 y 2 en la primera vuelta. De

esta forma se podría predecir la distancia recorrida por el objetivo 1 en el periodo transcurrido

entre vuelta y vuelta y como resultado disponer de una posición estimada futura. Supóngase


que esta estimación se ha realizado para el objetivo 1 y la posición en la cual se espera que se

encuentre este en la segunda vuelta se indica en la figura 2.20 por una línea discontinua.

Debido a que la velocidad y posición exactas del objetivo no son conocidas en la primera

vuelta, esta predicción no será exacta. Si la incertidumbre de esta predicción es conocida se

puede establecer una ventana de ±3σ sobre el valor esperado, donde σ es el error medio

cuadrático (rms), o equivalente. Si en la segunda vuelta se detecta un eco en esta ventana para

el objetivo 1, entonces con una probabilidad alta este será el eco para el objetivo 1. De forma

similar, una ventana ±3σ puede ser establecida para el objetivo 2 en el instante de la segunda

vuelta (véase figura 2.20).

Considerando un objetivo moviéndose de forma radial (hacia o desde el radar), supóngase xn

como la distancia al objetivo en la vuelta n. Suponiendo velocidad constante, la predicción de

la posición de un objetivo y su velocidad para la siguiente vuelta se puede hacer a partir de las

siguientes ecuaciones:

xn+1=xn+Tx’n

x’n+1=x’n

Ecuación 2.1. Predicción de posición v constante.

donde xn es la distancia del objetivo en la vuelta n, x’n es la velocidad del objetivo en la vuelta n,

y T es el periodo de rotación considerado para una vuelta. Estas ecuaciones de movimiento se

denominan modelo dinámico del sistema. Este planteamiento se puede extender fácilmente a un

mundo real, multidimensional, donde se tiene velocidades de los objetivos cambiantes.

Los algoritmos de seguimiento α-β, α-β-γ y Kalman se utilizan para obtener estimaciones de xn

y x’n, lo cual permitirá realizar la asociación descrita anteriormente. Las capacidades de

predicción de estos filtros serán utilizadas para evitar colisiones así como ayuda en

interceptaciones de objetivos en situaciones de defensa militar.

2.8. Filtros g-h.

La ecuación 1 nos permite predecir desde un instante n a un instante n+1. Se hace necesario

mejorar este estimador de la posición y velocidad del objetivo. Supóngase que se dispone de una

estimación de posición y velocidad para el objetive en el instante n-1.

Supóngase que para el objetivo considerado se estima una velocidad en el instante n-1 de 200

ft/sg. Supóngase igualmente un tiempo de periodo de vuelta de 10 sg. Usando la ecuación 1 se

estima que en un instante n el objetivo se encontrará 2000 ft. más allá de lo que estaba en el

instante n-1. Esta es la posición xn presentada en la figura 2.21. En este caso se considera que el

objetivo se aleja del radar.


Figura 2.21. Posiciones predichas (xn) y medidas (yn) para un objetivo en un instante n. [Brookner98]

Supóngase, sin embargo, que en el instante n, el radar observa el objetivo en la posición yn, en

lugar de la xn predicha, 60 ft. más alejada. ¿Dónde se podría decir que se encuentra el objetivo

realmente? ¿está en xn? ¿en yn? ¿en algún punto intermedio?

Supóngase que las medidas n-1 y n son muy precisas (realizadas por ejemplo con un radar laser

en lugar de un radar de microondas), con una precisión de 0.1 ft. En este caso, la observación

del objetivo a una distancia 60 ft. más allá de la predicha, implica que el objetivo está

moviéndose más rápido que lo estimado en n-1, moviéndose 60 ft. más allá en 10 sg. o lo que

es lo mismo 6 ft./sg. más rápido de lo pensado. Por lo tanto la actualización de la velocidad

del objetivo debería ser a 206 ft./sg.

Esto es correcto para un radar laser muy preciso. Sin embargo, generalmente se dispondrá de

un radar de microondas. ¿Cómo se actuará entonces? Supóngase que su precisión es solo de 50

ft., 1σ. Entonces la desviación de 60 ft. de la posición esperada en el tiempo n, podría ser

debida a un error de medida del radar y no a un aumento de la velocidad del objetivo. Sin

embargo, el objetivo podría realmente estar moviéndose más rápido de lo esperado y por lo

tanto, se debería contemplar esta posibilidad. Para esto no se le dará al objetivo el beneficio

completo de 6 ft./sg. como el aparente incremento de velocidad, sino en su lugar, una fracción

de este incremento. Usaremos una décima parte del incremento aparente de velocidad. En este

caso, el la velocidad actualizada será 200.6 ft./sg.

En este último caso no se incremente la velocidad del objetivo en su totalidad. Si el objetivo se

está moviendo más rápido, entonces en sucesivas observaciones (medidas radar) de la posición

del objetivo se tendría un distanciamiento de la posición predicha, incrementándose la

velocidad en 0.6 ft./sg. de media lo cual implica que en 10 vueltas la velocidad del objetivo

será incrementada en 6 ft./sg., teniéndose en este instante la velocidad correcta. Por otro lado,

si la velocidad del objetivo fuera realmente 200 ft./sg. en observaciones posteriores del

objetivo, la posición medida sería cercana a la posición predicha de forma que, en promedio la

velocidad estimada no variaría mucho de la inicialmente estimada de 200 ft./sg.


Lo anteriormente expuesto se puede considerar como:

Ecuación 2.2. Predicción de posición con parámetro h.

La fracción 1/10 considerada en el ejemplo anterior se representa en esta ecuación como hn. El

segundo subíndice, n-1, en la estimación de la velocidad indica una estimación de la

velocidad del objetivo en el instante n, considerando las medidas hechas hasta el instante n-1.

El segundo subíndice n en la velocidad estimada indica que esta velocidad estimada usa la

medida radar informada en el instante n, es decir, la medida yn. El asterisco en el superíndice se

utiliza para indicar que este parámetro es una estimación. Sin el asterisco el parámetro

representa el valor real de la velocidad y posición del objetivo. Esta nueva notación se

representa en la figura 2.22.

Figura 2.22. Objetivo predicho, filtrado, y posición medida usando la nueva notación. [Brookner98]

En la ecuación 2 se actualiza la estimación de la velocidad. A continuación, se desea actualizar

la posición estimada. De forma similar a lo expuesto anteriormente, supóngase que en un

instante n-1 el objetivo está a una distancia de 10 millas náuticas (nmi) y que en el instante n,

T=10 sg. después, el objetivo con una velocidad radial de 200 ft/sg. está a una distancia de

2000 ft. más alejado. Como antes, supóngase que en el instante n el objetivo está siendo

observado 60 ft. más alejado de la posición predicha (véase figura 2.22).

De nuevo la pregunta es: ¿Dónde está el objetivo realmente? ¿en ? ¿en yn? o ¿en algún

lugar intermedio? Siguiendo el mismo razonamiento anterior, supongamos un radar laser muy

preciso para las medidas n-1 y n. Se puede concluir que el objetivo se encuentra a la distancia a

la que está siendo observado en el instante n por el radar, esto es, 60 ft. más allá de la posición

predicha (10 nmi.+2000 ft.+60 ft.).


Si, por el contrario, suponemos que tenemos un radar de microondas convencional, con σ de

50 ft., entonces el objetivo podría parecer que estuviera 60 ft. más allá de lo esperado

simplemente debido al error en la medida del radar. En este caso no podemos suponer que el

objetivo estuviera realmente en la posición yn medida. Sin embargo, asumir que el objetivo está

realmente en la posición predicha tampoco sería razonable. Para contemplar la posibilidad de

que el objetivo pudiera encontrarse un poco más allá de la posición predicha, consideraremos un

desplazamiento respecto a la posición predicha de una fracción de los 60 ft. medidos. Por

ejemplo podemos considerar 1/6 de los 60 ft., es decir 10 ft. En este caso la posición

actualizada sería 10 nmi. + 2000ft. + 1/6(60 ft.).

Lo anteriormente expuesto se puede considerar como:

Ecuación 2.3. Predicción de posición con parámetro g.

Estas ecuaciones (ecuación 2 y 3) proporcionarían una estimación de la posición y velocidad

actual del objetivo basada tanto en la medida actual de distancia del objetivo yn, como en las

medidas anteriores. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de filtrado.

Ecuación 2.4. Ecuaciones de filtrado.

La estimación se denomina estimación filtrada, una estimación de xn en el instante actual

basada en el uso de la medida actual yn, así como medidas anteriores. Esta estimada se obtiene

en contraste a la predicción estimada xn,n-1, la cual es una estimada de xn basada solo en medidas

anteriores. El término estimación suavizada se usa en algunas ocasiones en lugar de estimación

filtrada[Blackman86]. El término suavizado también es usado en [Gelb79] para indicar una estimación

de posición o velocidad de un objetivo en algún instante entre la primera medida y la última,

por ejemplo , la estimación , donde n0<h<n, siendo n0 el tiempo de la primera medida y n

el tiempo de la última medida.

Ahora es posible el uso de la Ecuación 1, para predecir qué posición y velocidad tendrá el

objetivo en el instante n+1, y repetir este proceso de actualización en el instante n+1 después

de que la medida yn+1 en el instante n+1 se haya realizado. Con este objetivo, la ecuación 1 puede

ser escrita usando la notación paramétrica g-h como las ecuaciones de transición o ecuaciones de

predicción siguientes:

Ecuación 2.5. Ecuaciones de transición o predicción.


Estas ecuaciones nos permiten la transición de la velocidad y posición en un instante n, a la

velocidad y posición en n+1. es igual a

en el instante n, debido a que se ha

asumido un modelo con velocidad constante.

Las ecuaciones 4 y 5 nos permiten realizar el seguimiento de un objetivo. En seguimiento

radar, generalmente no se está interesado en la posición actual de un objetivo xn, sino más bien

en la posición predicha para este objetivo xn+1, donde localizar la ventana de predicción en

distancia. En este caso, las ecuaciones 4 y 5 se pueden combinar para obtener las siguientes

ecuaciones de actualización de traza:

Ecuación 2.6. Ecuaciones de filtrado g-h. Ecuaciones de predicción.

Las ecuaciones 6 constituyen las ecuaciones de filtrado g-h. Estas ecuaciones se usan muy

habitualmente en sistemas radar[Morrison69][Farina85][Blackman86][BarShalom88][Benedict62]. En contraste a las

ecuaciones anteriormente expuestas, las ecuaciones 6 se denominan ecuaciones de predicción

debido a que predicen la posición y velocidad del objetivo en la siguiente vuelta.

Una clase importante de filtros g-h son aquellos en los que g y h son fijos. En este caso los

requerimientos computacionales para este tipo de algoritmos son escasos: para cada

actualización del objetivo se requieren únicamente cuatro sumas y tres multiplicaciones. Los

requisitos de memoria también son pequeños: para cada traza, únicamente se requieren dos

datos almacenados.

El filtro anteriormente descrito, considerando g como α y h como β, también es comúnmente

denominado filtro α-β.

En la tabla expuesta a continuación (tabla 2.2) se presenta un listado de otros filtros. Sus

ecuaciones de filtrado son similares a la ecuación 6. La única diferencia estriba en el valor

asignado a los coeficientes g-h. En algunos casos estos valores g-h, dependerán de n. Este es el

caso de lo filtro Kalman, el cual se basa también en la ecuación 6.


1. Filtro Wiener

2. Filtro fading memory polynomial

3. Filtro Expanding memory polynomial

4. Filtro Kalman

5. Filtro Bayes

6. Filtro mínimos cuadrados

7. Filtro Benedict-Bourdner

8. Filtro Lumped

9. Filtro mínimos cuadrado descontados

10. Filtro critically dumped

11. Filtro Growing memory

Tabla 2.2. Filtros g-h

2.9. Filtros Kalman.

En el punto anterior se utilizó una descripción determinística del movimiento del objetivo,

concretamente se consideró un movimiento con velocidad constante descrito en la Ecuación 1

como

xn+1=xn+Tx’n

x’n+1=x’n

Ecuación 2.1. (anterior) Predicción de posición v constante.

En el mundo real, los aviones no tienen una velocidad constante durante todo el tiempo.

Existe incertidumbre en la trayectoria del avión, la aceleración tangencial o normal (giro) del

avión en un momento dado. Kalman trató esta incertidumbre en el movimiento del avión

añadiendo un componente aleatorio a la dinámica del objetivo [Kalman60][Kalman61]. De esta forma,

se puede añadir a la velocidad una componente aleatoria un, tal y como se expresa en la

ecuación

xn+1=xn+Tx’n

x’n+1=x’n+un

Ecuación 2.7. Modelo dinámico Kalman.


donde un es un cambio aleatorio en la velocidad desde un instante n a otro n+1. Se asume que

un es independiente de n, con una varianza σ2n.

En este momento se dispone un modelo de dinámica del objetivo con cierta aleatoriedad.

Considerando que xn+1 representa la localización real del objetivo en el instante n+1 y que

representa la estimación predicha para este objetivo en el instante n+1 basada en las

medidas disponibles hasta el instante n, Kalman, considerando la minimización del error medio

cuadrático entre ambas posiciones, encuentra que el filtro óptimo viene dado por las

ecuaciones (ecuación 8):

Ecuación 2.8. Ecuaciones filtros Kalman.

Idénticas a las anteriormente presentadas como Ecuación 6 para el filtro g-h. La diferencia

estriba en que en los filtros Kalman los pesos gn y hn dependen de n. Es más, como se

describirá a continuación gn y hn se definen en función de la varianza de las medidas

proporcionadas por el radar, esto es, la varianza γn. Estos pesos serán también función de la

precisión con la que se conoce la posición y velocidad antes de realizar ninguna medida radar,

esto es, del conocimiento a priori de la trayectoria del objetivo, varianza a priori de la posición

y velocidad. En los filtros g-h, en concreto en el filtro Benedict-Bordner[Benedict62], con el

objetivo de minimizar los errores en la transición a velocidades distintas entre n y n+1, las

constantes gn y hn se definen de acuerdo a la ecuación 9.

Ecuación 2.9. Filtro Benedict-Bordner.

Kalman define sus constantes gn y hn de forma idéntica al filtro g-h Benedict-Bordner,

habiendo definido esta ecuación en el 1960, anterior a Benedict en 1962.

Como ventajas fundamentales de los filtros Kalman se pueden describir:

1. El cálculo de la precisión en la estimación se hace de forma paralela al cálculo de gn y

hn. Esto permite tener en todo momento conocimiento de la precisión con la que se

está realizando la estimación.

2. Hace un uso óptimo de las medidas ajustando los pesos gn y hn tomando en cuenta la

precisión de cada medida. Si en un instante n-1 no se detecta una medida para el

objetivo los pesos gn y hn se ajustan considerando esta situación.

3. Los pesos gn y hn se ajustan para considerar medidas no equidistantes en el tiempo.

Volviendo a los filtros g-h, en un instante n se tenían dos estimaciones. La primera yn basada

en la medida hecha en el instante n. La segunda es la predicción basada en medidas del

pasado. El filtro Kalman combina estas dos estimaciones para proporcionar la estimación en el

instante n. Esta estimación tendrá mínima varianza. Esta estimación viene dada por:


Ecuación 2.10. Estimación filtro Kalman.

De acuerdo a la ecuación 10, se puede observar fácilmente que si ambas estimaciones tienen la

misma varianza, la estimación final será la media de ambas. En otro caso, si es mucho

más preciso que yn, se aproximará más a

. Si por el contrario yn es más preciso que

,

se aproximará más a yn.

La ecuación 10 se puede escribir de forma similar a los filtros g-h (ecuación 11):

Ecuación 2.11. Estimación filtro Kalman (en notación filtro g-h)

O lo que es lo mismo:

Ecuación 2.12. Peso gn en filtro Kalman.

El peso hn se define por:

Ecuación 2.13. Peso hn en filtro Kalman.

2.10. Filtros con modelos múltiples.

En puntos anteriores, se asume el seguimiento de un objetivo basado en la elección de un

único (el mejor) modelo que describa su movimiento. No se tiene en cuenta un posible cambio

en el modelo del movimiento del objetivo, frente al elegido para el filtro. Por otro lado, la

elección del modelo se hace offline, no teniéndose en cuenta posibles errores en la estimación.

Puede ser beneficioso más de un modelo de movimiento en un algoritmo de seguimiento

cuando la dinámica de un objetivo no es conocida. Con el objetivo de tratar esta

incertidumbre, un algoritmo de seguimiento con modelos múltiples ejecuta un conjunto de

filtros que modela tanto un movimiento sin maniobra como un conjunto de posibles

maniobras (Ecuación 14). El algoritmo fusiona la salida de todos estos modelos para obtener

una estimación global. Se han definido una gran cantidad de algoritmos MM, cada uno de los

cuales fusiona la información de una forma diferente.


M={m(1),m(2),…,m(M)}

xk+1=Fk(i)xk+Gk

(i)wk(i)

zk=Hk(i)xk+vk

(i)

Ecuación 2.14. Elección MM.

donde el superíndice i indica la salida correspondiente a cada modelo en el conjunto M,

definiéndose los cambios de un modelo a otro en base a una probabilidad (ecuación 15).

P{mk+1(j)|mk

(i)}=πi,j ∀m(i), m(j), k

Ecuación 2.15. Cambio entre modelos.

En general, en los algoritmos MM se pueden considerar cuatro componentes clave[Li05] (figura

2.23):

i. Determinación del conjunto de modelos. Se incluye tanto modelos definidos offline

como posibles adaptaciones online. El rendimiento del algoritmo MM dependerá del

conjunto de modelos elegidos. Esta será el factor clave a la hora de definir un

algoritmo MM.

ii. Estrategia de cooperación. Se refiere al conjunto de variables evaluadas para tratar las

incertidumbres en cuando al conjunto de modelos, especialmente en lo referente a la

secuencia de modelos aplicar. Incluye la poda en ciertas secuencias no deseadas, unión

de secuencias similares y selección de las secuencias más deseadas.

iii. Filtrado condicional. Este es el proceso de estimación recursivo clásico, aplicado

sobre una secuencia de modelos determinada.

iv. Salida del proceso. Se genera la salida, estimación, global utilizando los resultados

obtenidos en todos los filtros a partir de las medidas de entrada, seleccionando los

mejores.


Figura 2.23. Estructura general de un algoritmo de estimación MM basado en dos modelos.

Se pueden establecer tres generaciones de algoritmos MM[Barbos08] :

i. MM autónomo.

ii. MM cooperante.

iii. MM de estructura variable.

2.10.1 Algoritmo AMM (Autonomous MM[Magill65]).

La primera generación de algoritmos MM se caracteriza porque cada uno de sus filtros elementales opera de forma individual e independiente.

El algoritmo AMM utiliza la estimada MMSE (Minimum Mean Square Error) xk|k=E[xk|zk] (véase figura 2.24), asumiendo que el modo del sistema es invariante e igual a algún modelo

m(i), ∀k. Esto significa que:

Ecuación 2.16. Probabilidad AMM.

El filtro AMM ejecuta un filtro Kalman condicional para cada modelo en el conjunto de

modelos y posteriormente evalúa la probabilidad de cada modelo.

La estimada final del algoritmo, fusionando los resultado de los distintos modelos, se obtiene

sumando las estimaciones condicionadas ponderadas por la correspondiente probabilidad de

cada modelo, μk(i).

Ecuación 2.17. Fusión de estimaciones AMM.

Determinación

de modelos

Filtro 1

Estrategia de

cooperación Salida

Filtro 2

Datos de

sensores


Finalmente, la probabilidad μk+1(i) de cada modelo m(i) es actualizada en función de μk

(i). [Pitre11]

Los filtros condiciones operan independientemente, de forma autónoma, sin intercambiar

información entre ellos.

Figura 2.24. Estructura general del algoritmo de estimación MMSE-AMM basado en dos

modelos.

2.10.2 Algoritmo MM cooperante (CMM).

La segunda generación de algoritmos IMM hereda de la primera el proceso de salida e

introduce la cooperación interna entre filtros elementales. En lugar de mantener los filtros

trabajando de forma independiente, esta generación introduce la reinicialización de filtros,

donde las salidas de los filtros correspondientes al ciclo previo se usan en el ciclo actual para

alcanzar un mejor rendimiento.

Se introduce una nueva variable para considerar la historia del modelo o secuencia del modelo:

donde ik,l es el índice de modelos en el instante k del histórico l.

Ecuación 2.18. Modelos en algoritmo MM cooperante.

Puesto que el tamaño de la secuencia de modelos se incrementa de forma exponencial con el

tiempo, un número de filtros también con incremento exponencial será necesario para estimar

de forma óptima el estado, lo cual hace esta solución no viable.

Normalmente se utilizan aproximaciones subóptimas, generalmente consistentes en mantener

únicamente un número limitado de modelos en la secuencia, asociados con las probabilidades

más altas, descartando el resto.

Determinación

de modelos

Filtro 1

Actualización de

probabilidad de modelos Salida

Filtro 2

Datos de

sensores

μk(1), μk

(2)

xk|k(2), Pk|k

(2)

xk|k(2), Pk|k

(2)

m(1)

m(2)


Uno de los ejemplos más representativos de este tipo de algoritmos es el algoritmo IMM

(Interacting Multiple Model)[Blom88] (figura 2.25).

Figura 2.25. Estructura general del algoritmo de estimación IMM basado en dos modelos.

Los parámetros básicos de diseño para el algoritmo, los cuales serán claves en su rendimiento,

IMM son

i. La estructura del conjunto de modelos M.

ii. La covarianza en el sistema y medidas (Q y R respectivamente).

iii. El estado inicial x0|0 y covarianza P0|0.

iv. Las transiciones y probabilidades de transición πij entre los modelos del conjunto

seleccionado.

El algoritmo IMM degenera en el AMM cuando la matriz de probabilidades de transición πij es

la matriz identidad.

Otros algoritmos estudiados dentro de esta familia CMM son los algoritmos GPB1(generalized

psuedo bayesian de primer orden)[Ackerson70] y GPB2 (generalized psuedo bayesian de segundo

orden)[Chang78].

2.10.3 Algoritmo MM de estructura variable (VSMM).

Los algoritmos MM vistos hasta el momento, y la mayoría de ellos, tienen una estructura fija

(FSMM), por ejemplo, tienen un conjunto de modelos fijo en todo momento. Existe otro

conjunto de algoritmos MM donde la estructura de los mismos puede ser variable (VSMM),

por ejemplo, y de forma concreta, mediante un conjunto de modelos variable.

Estos algoritmos resultan de interés cuando el conjunto de todos los posibles modelos de un

sistema es demasiado grande o cuando existe incertidumbre en el conjunto de modelos a

incluir en el conjunto. Añadir más modelos a un FSMM puede resultar en una carga

Determinación

de modelos

Filtro 1

Act. Prob.

modelos Salida

Filtro 2

μk(1), μk

(2)

xk|k(2), Pk|k

(2)

xk|k(2), Pk|k

(2)

m(1)

m(2)

Datos de

sensores

Reinic. de

modelos

μk(1), μk

(2)


computacional a considerar, incluso la excesiva competición entre modelos innecesarios puede

degradar la estimación global[BarShalom96]. En este caso, la solución es mejorar el conjunto de

modelos y usar FSMM o, por otro lado, aceptar el hecho de que es difícil definir un conjunto

de modelos perfecto y usar un algoritmo VSMM apropiado.

La característica más importante de estos algoritmos VSMM es su capacidad para adaptarse a

las maniobras de los objetivos creando nuevos filtros elementales si los existentes no son

suficientemente buenos y eliminando filtros con rendimiento pobre.

El concepto clave en estos algoritmos es la dependencia del conjunto de modelos del estado:

dado un modelo actual, el conjunto posible de modelos en la siguiente iteración es un

subconjunto de un espacio de modelos determinado por una ley de transición de modelos. La

dependencia del estado del conjunto de modelos es la base de los algoritmos VSMM.

Debido al crecimiento exponencial de las posibles transiciones, el estimador óptimo VSMM es

computacionalmente imposible[BarShalom92][BarShalom96].

Es por lo anterior, por lo que la mayoría de los algoritmos VSMM el conjunto de posibles

secuencias de modelos en el instante k por una secuencia de modelos concreta Mk, la cual

debería ser la mejor.

Como consecuencia de lo anterior, las tareas principales en un algoritmo VSMM son:

i. Adaptación del conjunto de modelos.

ii. Estimación MM dado un conjunto de modelos.

Dentro de estos algoritmos se incluyen los algoritmos LMS (Likely Model-Set)[BarShalom00], RAMS

(Recursive Adaptative Model Set)[BarShalom00] y MGS (Model-Group Changing)[BarShalom99].

2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento.

En los últimos años, las redes neuronales vienen siendo utilizadas de forma constante en

apoyo de los algoritmos de seguimiento con ámbitos de aplicación muy distintos.

En [Chin91] se presenta un estudio en cuanto a la posible utilización de redes neuronales en

algoritmos relativos a seguimiento multi-objetivo, exponiéndose las posibles ventajas que

podría tener su aplicación en cuanto a la utilización de una matriz de neuronas suficientemente

grande como para gestionar los objetivos bajo proceso. Se establece este paradigma como una

solución de futuro en aquel momento que podrá ser implementada aprovechando los desarrollos

esperados en cuanto a tecnología de circuitos integrados, donde la alta paralelización de este

tipo de soluciones supondría una gran ventaja.

Su utilización como una herramienta para solucionar problemas concretos dentro de

algoritmos ya implementados se ha convertido en una constante en los últimos años. En estos

casos la filosofía del algoritmo implementado se mantiene intacta, utilizando diversas

soluciones basadas en redes neuronales para tratar de mejorar las prestaciones de estos

algoritmos.

Así, en [Sengupta89], [Iltis93], [Leung94] y [Chin96] se implementa un algoritmo JPDA (Joint

Probabilistic Data Association) para asociación de datos con posibles objetivos en un ambiente de


clutter con múltiples trazas. La complejidad de este algoritmo se incrementa rápidamente con el

número de objetivos. En este caso se implementa una red neuronal, en apoyo de este

algoritmo, para calcular rápidamente las probabilidades en cuanto a la asociación de un dato

radar con un objetivo determinado dotando de la capacidad de procesar un mayor número de

objetivos. En ambos casos se propone la utilización de una red neuronal de Hopfield. Se

utiliza en los algoritmos las componentes x e y de la velocidad de la traza. Se debe indicar que

estas componentes no son valores que puedan ser proporcionados por un radar, el cual solo

mide velocidad radial.

En [Yu94] se utiliza una red neuronal de Hopfield en el mismo problema de asociación

dato/traza. Mejora los anteriores considerando la velocidad radial, única medida por el radar.

Los estudios anteriores y otros en la misma línea se centran en blancos donde prácticamente

no existe maniobra.

En [Kim09] también se expone el uso de redes neuronales en un problema de asociación de

datos en este caso en un campo visual. El autor revisa el problema del seguimiento radar,

exponiendo las técnicas actuales de asociación de datos, presentando una adaptación del

algoritmo JPDA con redes neuronales. Se centra especialmente en la predicción de direcciones

en el movimiento estimado.

Ya en aplicación concreta al seguimiento, en [Amoozegar94] se detalla la aplicación de redes

neuronales al seguimiento de blancos en maniobra. Se implementa un filtro Kalman en el que

la ganancia es actualizada por una red neuronal. La solución propuesta se evalúa en distintos

escenarios. De nuevo, como en casos anteriores se utiliza la capacidad de paralelizar los

cálculos de una red neuronal para alcanzar un mayor rendimiento en el número de blancos

tratados. Para ello se implementa una red de tres capa backpropagation. Se resalta la posibilidad

de aplicar este enfoque a una gran cantidad de escenarios.

En [Amoozegar95] se propone de nuevo un modelo híbrido donde se utilizan las redes

neuronales en conjunción con un filtro Kalman. Ya se propone la utilización de redes

neuronales para otros objetivos en un problema de seguimiento, como puedan ser la

interacción entre los distintos modelos que puedan componer un filtro IMM, clasificación de

las maniobras de un objetivo, cuantificación de ruido, … En este caso, la red neuronal se

utiliza para tratar de generar de forma artificial (y compensar) el error que un filtro Kalman

pueda tener en la estimación de un objetivo en maniobra, actuando la red neuronal de nuevo,

en cooperación con el filtro Kalman.

En el mismo sentido que en [Amoozegar95] se implementa una red neuronal en [Takaba96]

(figura 2.26).


Figura 2.26. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada por

un filtro Kalman (TKF).[Takaba96]

En el mismo sentido que en los casos anteriores se implementa en [Chin96] una red neuronal

para compensar los posibles errores producidos por un algoritmo JPDA.

En [Vaidehi99], con un uso similar de redes neuronales al especificado en casos anteriores, red

neuronal compensando errores en un filtro Kalman, se declara esta arquitectura con menor

coste computacional que un filtro IMM. Se utiliza para ello una red neuronal multicapa

backpropagation.

En [Perlovsky07] se detalla la utilización de una red neuronal Adaline junto con filtros con

múltiples modelos y asociación probabilística. Se detalla la mejora en el seguimiento en

ambientes de clutter elevado.

Es habitual encontrar otros paradigmas de inteligencia artificial en apoyo a la estimación

realizada por algoritmos de seguimiento clásicos. En [Duh02] y [Duh04] se utiliza de forma

integrada las redes neuronales junto con la lógica borrosa con el objetivo de mejorar la

estimación de un filtro Kalman, tanto en el error cometido en la misma como en el tiempo de

computación invertido. Se exponen los beneficios de utilizar estos paradigmas en sistemas de

vigilancia militares o de control de tráfico aéreo civiles.

Por primera vez, en [Kong98] se describe la implementación de un sistema íntegramente

basado en una red neuronal, sin la cooperación de un algoritmo clásico. Se demuestra la

posibilidad de implementar un algoritmo de seguimiento puramente neuronal. En este caso se

utiliza para ello una red neuronal multicapa backpropagation. Para entrenamiento de la red se

propone la utilización off-line de datos simulados, puesto que los datos reales incorporan error

en su propia medida. No se presenta un estudio detallado de prestaciones.

Ya en otros campos del seguimiento, en concreto en el campo visual, en [Fernández00] o

[Jänen10] se propone la utilización de algoritmos basados en redes neuronales para la

localización y seguimiento de objetos en imágenes.


Capítulo 3

Seguimiento de Blancos en Maniobra

"Yo os digo que nada peor que la mar se conoce, donde un

hombre, por fuerte que sea, a la larga se agota."

Homero, La Odisea.

RESUMEN: En este capítulo se presentan los algoritmos actualmente definidos y

usados para el seguimiento radar en un ámbito de blancos en maniobra, justificando la

complejidad que aparece en este tipo de problemas. Se describen ejemplos de

maniobras definidas y utilizadas habitualmente en combate aéreo.

3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra.

3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo.

3.2.1. Curvas de persecución (pursuit curves).

3.2.2. Otras maniobras básicas de combate.

3.3. Detección de maniobras.

3.4. Modelos múltiples

3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en maniobra.

3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra.

El movimiento de objetivos se clasifica generalmente en dos clases: “en maniobra” y “no

maniobra”. Un movimiento “no maniobra”, también denominado uniforme, se describe como

un movimiento rectilíneo a velocidad constante en un sistema de referencia inercial. El resto

de movimientos pertenecen a los considerados como maniobras.

El primer objetivo del seguimiento de objetivos es estimar la trayectoria en el estado de un

blanco. Aunque la detección de un objetivo casi nunca es un “punto” en el espacio, y la

información sobre la orientación sería muy valiosa para su seguimiento, un objetivo,

generalmente, es tratado como un punto sin forma, especialmente en los modelos dinámicos o

cinemáticos del mismo. Un modelo dinámico/cinemático de un objetivo describe la evolución

del estado del objetivo en el tiempo.

3-2 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra

Uno de los mayores retos en el seguimiento de objetivos se presenta a partir de la

incertidumbre en el movimiento del objetivo. Esta incertidumbre se refiere al hecho de que no

se dispone de un modelo dinámico preciso del objetivo bajo seguimiento.

En los casos de seguimiento considerados en el capítulo anterior, las únicas incertidumbres

consideradas son tratadas como “ruido blanco aditivo” con propiedades estadísticas

conocidas. En otras palabras, el modelo del sistema, consistente en una matriz de transición de

estados, ganancias, matriz de medidas y covarianzas de ruido, se asume como conocido.

En muchas situaciones reales, los “parámetros del problema” anteriormente reseñados, son

desconocidos o variantes en el tiempo. Un ejemplo de esto se produce cuando se trata con

objetivos en maniobra.

Si consideramos un ejemplo sencillo (con probabilidad de detección PD=1 y probabilidad de falsa

alarma PFA=0) esta maniobra se puede ver afectada por diferentes niveles de ruido (figura 3.1).

(a) (b)

Figura 3.1. Maniobra, con detección ideal (a) y con ruido blanco (b).

El problema de mantener el seguimiento de un objetivo en maniobra se ha estudiado en la

estimación de estados durante décadas. Los filtros Kalman se han utilizado ampliamente para

estimar el estado de un objetivo, no obstante, en presencia de maniobra, su rendimiento y

eficacia puede verse seriamente degradado.

La utilización de un modelo Filtro Kalman (KF) con alto orden cinemático (desviación típica

para la aceleración σa -m/s2-), si bien permite un seguimiento versátil (figura 3.2), no se puede

considerar la solución cuando existe incertidumbre en el origen de los datos. Esto provocaría

ventanas de asignación innecesariamente grandes, directamente proporcionales a σa, haciendo

el sistema muy sensible al clutter (figura 3.3).


(i) (ii) (iii)

Figura 3.2. Seguimiento KF en función de σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2).

En la figura 3.2 se puede observar como para conseguir un seguimiento correcto es necesario

definir la desviación típica en la aceleración (σa) con un valor suficientemente elevado. Para

valores pequeños de σa el algoritmo no es capaz de adaptarse a este tipo de trayectorias.

(i) (ii) (iii)

Figura 3.3. Dependencia de las ventanas de asignación respecto a σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1

m/s2. iii. σa=10 m/s2).

La ventana de asignación (figura 3.3) define el espacio en el cual se buscarán los datos a

considerar en el seguimiento. Los datos que cayeran fuera de esta ventana de asignación no

serán tomados en cuenta en el seguimiento.

La ventana de asignación de datos considerados para el seguimiento se define en función de la

desviación típica σa. Valores demasiado elevados en σa (caso iii en figura 3.3) implica ventanas

de asignación muy grandes y por lo tanto la posibilidad muy elevada de que en estas ventanas

“entren” datos no correspondientes al objetivo bajo seguimiento. Por otro lado, ventanas de

correlación pequeñas (caso i de la figura 3.3) puede provocar que el dato correspondiente al

objeto bajo seguimiento “caiga” fuera de esta ventana de asignación y por lo tanto, el

seguimiento no sea correcto.

Una maniobra se debe detectar para permitir pasar a un filtro con modelo de mayor orden

cinemático o a un modelo con menor orden al usado en un instante dado.

Para solucionar este problema, desde 1970 se han investigado y aplicado diversas técnicas.

Inicialmente, en 1970, Singer propuso un modelo de seguimiento en el que la maniobra se

consideraba como un proceso de Markov de primer orden con correlación en el tiempo[Singer70].


Desde la definición del método de Singer, las investigaciones siguientes se dividieron en dos

enfoques fundamentales:

1. Tratar de conseguir una detección de maniobra que permita describir ciertas

propiedades del sistema de seguimiento.

2. Describir modelos de movimiento para trayectorias, con parámetros adecuados, para

su aplicación.

El primero de estos enfoques consiste en detectar una maniobra para tratar de considerarla

con efectividad, ajustando el orden cinemático del modelo a considerar. Dentro de esta técnica

se incluyen la técnica de estimación de entradas[Bogler87] y el enfoque basado en dimensión de

estado variable[BarShalom82] [BarShalom88] (VSD, Variable State Dimension).

El segundo enfoque consiste en describir el movimiento del objetivo con múltiples

modelos. Los algoritmos pseudo-bayesiano generalizado (GPB, Generalized Pseudo-

Bayesian)[Tugnait82], de primer (GPB1) y segundo orden (GPB2), modelo múltiple interactivo

(IMM, Interacting Multiple Model)[Blom88] e IMM adaptativo (AIMM)[Munir95].

La estabilidad de los algoritmos basados en el segundo enfoque reside en la idoneidad de cada

modelo de movimiento para el objetivo usado en las diferentes maniobras.

Estos algoritmos asumen que el sistema se comporta de acuerdo a un conjunto finito de

modelos, los cuales pueden diferir en sus niveles de ruido o en su estructura (entradas,

dimensiones, …).

En el algoritmo IMM[Blom88], la estimación se obtiene a partir de una suma ponderada de

estimaciones obtenidas a partir de diferentes modelos, de acuerdo con la probabilidad de cada

modelo para ser efectiva. No obstante, para construir estos modelos se requieren submodelos

con diferentes dimensiones o niveles de proceso de ruido, considerando las distintas posibles

maniobras de los objetivos.

Por otra parte, el algoritmo AIMM[Munir95] no necesita submodelos predefinidos, puesto que

realiza las estimaciones de forma adaptativa, construyendo de forma dinámica los submodelos

con estas estimaciones. Sin embargo, en este algoritmo se necesitan definir los intervalos en

base a los cuales construir estos submodelos. Estos intervalos se deben obtener de las

propiedades de las maniobras.

La mayoría de los sistemas de armas requieren un seguimiento preciso de distintos vehículos

tales como aviones, barcos o submarinos. En la literatura existente se ha prestado mucha

atención al seguimiento de trayectorias muy determinadas, como órbitas, reentradas, …, sin

embargo el problema de estimar la trayectoria de amenazas tripuladas aún no está resuelto a

día de hoy de forma óptima. Este seguimiento de blancos en maniobra, en muchas ocasiones,

consume más tiempo del disponible y los resultados están limitados a objetivos, sensores y

entornos muy concretos.

El algoritmo a implementar debe ser suficientemente simple para permitir su implementación

en sistemas de armas, donde el tiempo de computación limitado es un requisito imprescindible

para tener un seguimiento preciso satisfactorio.


3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo.

Para ser un experto en combate aéreo, un piloto debe conocer cómo y cuándo enfrentarse a

un enemigo. Este instinto, parte importante en un conocimiento general de situación, puede ser

entrenado. También necesita conocer cómo evitar ser “iluminado” por el radar enemigo, de tal

forma que pueda permanecer sin ser detectado mientras cumple su misión.

La naturaleza del combate aéreo se ha mantenido desde que que produjo el primer

enfrentamiento en la primera guerra mundial entre el Fokker y el Spad. El mismo Barón Rojo

lo resumía cuando dijo “recorre tu área asignada, encuentra al enemigo y derríbalo… cualquier otra cosa es

basura”. Estas palabras describen el objetivo último de un piloto de caza, teniendo tanta validez

actualmente como hace 100 años. Mientras la filosofía del combate aéreo se ha mantenido, en

los medios se han producido un cambio radical. En su mayor parte, este se ha producido en

los últimos 30 años, en los que un elevado número de cazas de alta fiabilidad han entrado en

servicio ampliando las capacidades de maniobra en combate[Bonnani89].

El objetivo de las maniobras ofensivas es permanecer detrás del adversario y alcanzar una

posición para disparar las armas. En el caso de maniobras defensivas, mover/girar la

trayectoria a seguir para salir fuera del alcance de disparo sobre nuestra aeronave. El caza en si

mismo puede ser considerado como una plataforma de armas para llevar las armas a posición

de disparo. Estas armas han variado de forma significativa durante años, y cada una tiene sus

requisitos para un empleo efectivo. Estos requisitos incluyen distancia eficiente, alcance,

posición relativa caza-objetivo y otros diversos factores. Alcanzar estos requisitos de las armas,

a la vez que tratar de evitar que el enemigo los alcance, será el objetivo de las tácticas y

maniobras de un caza.

Las maniobras básicas de combate son un conjunto de maniobras sobre las que se construyen

el resto. Pueden ser clasificadas como maniobras primarias, que serán realizadas,

independientemente de quien sea el adversario, o maniobras relativas, que deben ser definidas

en función de otra aeronave[Shaw85].

Un ataque debe ser ejecutado de tal forma que la posición de disparo, preferiblemente en el

cuadrante trasero del objetivo, sea alcanzada justo a la vez que la distancia de disparo.

Generalmente se requerirá mantener el objetivo de forma estable en el punto de mira (ángulo

de visión) cierto tiempo, hasta que el proceso en el sistema de armas alcance la solución para

un disparo preciso.

3.2.1 Curvas de persecución (Pursuit curves).

La idea de una curva pursuit[Boole59] es un punto, que podríamos denominar conejo o perseguido,

el cual sigue una determinada curva mientras es perseguido por otro punto, que a su vez

podríamos denominar zorro o perseguidor:

El zorro se dirige siempre de forma directa al conejo.

La velocidad del zorro es directamente proporcional a la del conejo.

Estas curvas fueron definidas en forma general por el científico francés Pierre Bouguer en

1732. Sin embargo, el término curva pursuit fue usado por primera vez por George Boole en su

“tratado sobre ecuaciones diferenciales”[Boole59], 1859. La curva descrita por un caza en un


ataque sobre un blanco en movimiento, mientras lo mantiene en el objetivo, es una curva

pursuit.

En las figuras mostradas a continuación (figuras 3.4, 3.5 y 3.6) se muestran algunos ejemplos

de estas curvas. En verde se presenta la trayectoria seguida por el elemento perseguido (conejo),

en rojo por el perseguidor (zorro).

Figura 3.4. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria rectilínea (en verde, x=0).

Un aspecto que determinará la curva pursuit generada por el elemento perseguidor es la

relación entre las velocidades (k=vzorro/vconejo).

Tomando como caso de estudio la curva generada cuando el conejo tiene una trayectoria circular

(en verde en la figura 3.5), cuando k=1 (figura 3.5) la distancia entre el zorro y el conejo tenderá

a cero en el infinito. Si k>1, el zorro alcanzará al conejo en un tiempo finito. Si k<1, el zorro

quedará atrapado en un círculo de menor diámetro que el descrito por el conejo, sin llegar a

alcanzarle nunca (figura 3.6).

Figura 3.5. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k=1. Distancia

entre zorro y conejo en el tiempo.


Figura 3.6. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k<1.

Estas curvas tendrán una gran relevancia en las maniobras de cazas. En este caso, se definirán

tres tipos de curvas: lead, pure y lag. El tipo de curva dependerá de la orientación de vector

velocidad del perseguidor:

Por delante del perseguido, lead.

Hacía el propio perseguido, pure (ejemplos mostrados en las figura 3.4, 3.5 y 3.6).

Por detrás del perseguido, lag.

3.2.1.1 Curvas lead pursuit.

Como se ha comentado anteriormente, vienen determinadas por dirigir el vector velocidad del

perseguidor por delante del perseguido. El máximo en el lead sobre el elemento perseguido

cuando el atacante esta maniobrando cerca del objetivo, vendrá limitado a menudo por la

visibilidad del atacante y el requisito de mantener al objetivo a la vista. Esto se produce por el

riesgo de colisión o de permitir ganar al objetivo una posición ventajosa o incluso escapar.

El objetivo de este tipo de curvas suele ser acercar el perseguidor al perseguido. El ángulo de

ataque ideal dependerá de la posición de los aviones, velocidades relativas y maniobras del

objetivo. Estas curvas permitirán al atacante acercarse incluso en el caso de objetivos mucho

más rápidos que él, especialmente si el objetivo gira hacia el atacante (figura 3.7).

En la figura 3.7 se puede observar un avión perseguido (target) girando hacia el perseguidor

(attacker), el cual aplica una trayectoria lead pursuit. La distancia entre ambos disminuye

rápidamente.


Figura 3.7. Efecto de giro y lead-pursuit.[Shaw85]

En este tipo de curvas, el atacante debe girar con menor radio y mayor ángulo conforme se

acerca al objetivo, siendo posible que tenga que girar de forma mucho más severa y rápida que

el objetivo para mantener la curva.

Como posible respuesta del objetivo, en la figura 3.8 se muestran dos posibles respuestas a una

maniobra lead pursuit realizada por un atacante, todavía sin distancia de disparo. Una de ellas

para un defensor con ventaja en la velocidad (línea continua); la otra para un defensor con

desventaja en la velocidad (línea discontinua). En este segundo caso, la menor velocidad

habilita al defensor para hacer un giro más cerrado obligando al atacante a girar un ángulo

imposible para sus capacidades.

Figura 3.8. Defensa contra una lead-pursuit[Shaw85].

i. Línea continua: defensor con mayor velocidad.

ii. Línea discontinua: defensor con menor velocidad.


3.2.1.2 Curvas pure pursuit.

Mantener la dirección del vector velocidad directamente dirigido hacia el objetivo también

proporciona una forma de interceptación del mismo, a menos que este tenga una ventaja en la

velocidad importante y el ángulo AOT1 (angle off the tail, ver figura 3.7) sea muy pequeño.

Aunque la velocidad de interceptación será menor que en el caso anterior (lead pursuit), la

trayectoria se verá menos afectada por una imposibilidad de giro, puesto que el AOT ante una

posible maniobra no aumentará tan rápidamente (uno de los factores que impide alcanzar al

objetivo).

Además de lo anterior, las trayectorias pure pursuit son las que presentan una mínima silueta

(silueta frontal) del atacante al objetivo, lo cual incrementará los problemas de este último.

3.2.1.3 Curvas lag pursuit.

En las curvas lag pursuit el atacante dirige su vector velocidad por detrás del objetivo. Esta

trayectoria es útil de cara a ralentizar al perseguidor o en una interceptación para mantener una

distancia de separación con el objetivo, a la vez que simultáneamente se mantiene o disminuye

el ángulo entre ambas trayectorias (AOT). Usando este tipo de trayectorias, incluso un avión

más rápido que el objetivo perseguido en maniobra puede mantener su posición en el

hemisferio trasero del mismo.

En la figura 3.9 se ilustra la utilización de este tipo de trayectorias para alcanzar una posición

estable en el hemisferio trasero de un oponente más lento. En este ejemplo, el atacante

(attacker) se encuentra en la parte interna del giro del oponente (bogey) lo cual provocará un

aumento rápido en el AOT y muy posiblemente una imposibilidad de disparo. Su capacidad de

giro no le permitirá alcanzar la posición relativa requerida, dentro de los parámetros de

disparo. Una posibilidad es relajar el ángulo de giro para ejecutar una maniobra lag pursuit. Esto

le permitirá posteriormente alcanzar la parte trasera del oponente de forma mucho más

estable. Además, esta maniobra permitirá al atacante alcanzar una mayor ventaja por

aceleración.

Figura 3.9. Trayectoria lag-pursuit[Shaw85]. Atacante con velocidad superior al perseguido (bogey).

1 AOT (angle off the tail): angulo formado entre el vector velocidad del perseguidor y la trayectoria del perseguido.


Este tipo de trayectorias también dificultará mucho la visión que el objetivo (bogey) pueda tener

del atacante, especialmente cuando este último se encuentre por detrás del primero.

Para conseguir con este tipo de maniobras el efecto deseado, pueden verse acompañadas de

una maniobra en altura (figura 3.10) que la haga más efectiva, trayectoria lag-pursuit roll,

permitiendo al atacante mantener su ventaja por una mayor velocidad a la vez que la posición y

ángulo en referencia al oponente.

Figura 3.10. Trayectoria lag-pursuit roll[Shaw85]: trayectoria lag-pursuit acompañada de maniobra en

altura.

3.2.2. Otras maniobras básicas de combate.

Además de las maniobras presentadas en el apartado anterior, otras muchas maniobras

conforman lo que se ha denominado maniobras básicas de combate, maniobras sobre las que

se definirán otras más complejas. Para conocimiento del lector, se enumeran a continuación

algunas de las más utilizadas:

3.2.2.1 Maniobras High y Low Yo-Yo.

Maniobras que toma el nombre del conocido piloto japonés de la Segunda Guerra Mundial

Yo-Yo Norikate. De forma similar a las lag pursuit, estas maniobras se utilizan para cuando el

atacante tiene mayor velocidad que el defensor, para mantener la situación en la parte trasera

del oponente sin perder velocidad y disminuyendo el AOT.

En el caso de la maniobra High Yo-Yo (figura 3.11), es preferible en situaciones donde el AOT

es moderado 30º-60º y la velocidad del atacante es similar a la del oponente. Se trata de una

maniobra tridimensional que permite al atacante mantener más energía.


Figura 3.11. Maniobra High Yo-Yo. [Shaw85]

Se puede considerar una composición de las curvas pursuit presentadas en el apartado anterior.

En el punto 1 de la figura 3.11 el atacante aplica una trayectoria pure pursuit. En el punto 2,

pueden ser aplicadas lead, pure o lag pursuit. La elección depende de la separación entre ambos

aviones y la distancia deseada, una vez que el atacante esté apuntando a la cola del oponente.

En el caso de la maniobra low Yo-Yo (figura 3.12), el objetivo es, como en casos anteriores,

mejorar el acercamiento y ángulo del atacante respecto al oponente. Se aplica cuando el

atacante no tiene capacidad de giro para perseguir al oponente incluso con una trayectoria lag

pursuit. En este caso el atacante aprovecha la gravedad en su beneficio

Figura 3.12. Maniobra Low Yo-Yo. [Shaw85]


3.2.2.2. Maniobra Lead Turn.

Se define como un giro “temprano”, el cual es iniciado por el atacante antes de cruzarse

frontalmente con el oponente en una situación de enfrentamiento frontal (figura 3.13). Puede

ejecutarse basándose en una trayectoria lead o lag pursuit.

Figura 3.13. Maniobra Lead Turn[Shaw85]. Giro “temprano” en punto 1.

En esta maniobra cuanto antes se inicie el giro mayor es la probabilidad de éxito, pero si se

inicia demasiado pronto (línea continua en figura 3.13) el atacante pasará por delante del

oponente, situación no deseable si este va equipado con armamento de corto alcance.

3.2.2.3 Maniobra Flat Scissors.

Maniobra compuesta por una serie de giros frontales (nose to nose), sobrepasándose ambos

oponentes ejecutados en el mismo plano, donde cada piloto intenta colocarse detrás del otro

(figura 3.14).

Figura 3.14. Maniobra Flat Scissors. [Shaw85]

En este escenario ambos oponentes tienen la misma capacidad de giro y, en el caso de la figura

3.14, el avión que en el instante 1 está en la posición inferior de la figura tiene menor velocidad

y por lo tanto un giro más cerrado.


Esta maniobra puede aparecer definida en tres dimensiones: rolling scissors. (figura 3.15)

Figura 3.15. Maniobra rolling scissors. [Shaw85]

3.2.2.4. Espiral defensiva.

La maniobra espiral defensiva es básicamente una maniobra scissors (apartado 3.2.2.3)

directamente hacia el suelo (figura 3.16). Se ejecuta principalmente cuando un avión casi ha

alcanzado, de forma muy cercana, el hemisferio trasero del oponente de muy baja velocidad.

Figura 3.16. Maniobra espiral defensiva[Shaw85]. Defensor con velocidad muy baja.


Con el objetivo por parte del oponente de evitar un bloqueo con las armas de seguimiento,

como un intento de escapar aumentando el ángulo AOT aprovechándose de la gravedad, el

defensor gira de forma brusca hacia el suelo, entrándose en una maniobra similar a la

presentada en el apartado 3.2.2.3 (flat scissors).

3.3. Detección de maniobras.

El seguimiento de blancos en maniobra es especialmente complicado por el hecho de que la

aceleración no es directamente medible. Además, la aceleración puede ser introducida por una

variedad de fuentes, desde la acción humana a distorsiones atmosféricas en las medidas.

Si consideramos una maniobra como un elemento no aleatorio, se viene utilizando un proceso

de detección de maniobra para corregir la estimación del estado o aumentar el estado con una

componente extra cuando dicha maniobra es detectada (VSD, Variable State Dimension

Filter[BarShalom82] [BarShalom88]). En este algoritmo, la maniobra, modelada como una aceleración, es

estimada de forma recursiva. Se considera la maniobra como una parte inherente a la dinámica

del objetivo, o lo que es lo mismo, se considera que la maniobra no se modelará como ruido.

En este algoritmo, el filtro de seguimiento opera en modo normal en ausencia de cualquier

maniobra. Se desarrolla un proceso de detección para determinar si una maniobra está

ocurriendo. Una vez que la maniobra es detectada, el filtro utilizará un modelo de estado

diferente: se añaden nuevas componentes al estado. El seguimiento se realizara con el nuevo

modelo de estado hasta que, por otra decisión, vuelva al modo normal.

La motivación para utilizar un modelo inactivo de bajo orden y un modelo maniobra de alto

orden, en lugar de un seguimiento único de compromiso a aplicar a ambas, es que permitirá un

mejor seguimiento global en ambas situaciones. Por ejemplo, si el objetivo no tiene

aceleración, la utilización de un modelo con esta componente incrementaría los errores de

estimación tanto para la posición como la velocidad.

En concreto, en [BarShalom82], se presenta la aplicación de dos modelos: uno para velocidad

uniforme y otro para aceleración constante.

El cambio del modelo inactivo al modelo maniobra se realiza en base a la superación de un

umbral por parte de una medición estándar de innovación. En este caso, puesto que se considera

que la maniobra es detectada con cierto retraso, se recalculan las últimas estimadas

considerando la maniobra detectada, motivo por el cual estas últimas estimadas y las

correspondientes medidas que dieron lugar a ellas deben ser mantenidas.

La vuelta al modelo inactivo se realiza en base a la consideración de la desviación típica obtenida

para las aceleraciones estimadas. Si esta no es estadísticamente significativa se rechaza la

hipótesis de maniobra, volviendo al modelo inactivo.

En este algoritmo, se presenta un esquema para diferenciar entre un modo inactivo y un modo

maniobra. Incluso, el modo maniobra puede ser modelizado con diferentes parámetros

dependiendo de la maniobra esperada. No obstante, es difícilmente aplicable a un entorno en

el que se puedan presentar maniobras de diferentes características, obligando en estos casos a

definir un modelo maniobra de compromiso, con el que intentar tratar con el menor error

posible las medidas de un objetivo, el cual no presenta un modelo homogéneo en todas sus

maniobras.


Presenta los siguientes inconvenientes:

Posibles errores en la decisión del modelo a aplicar no son considerados en la

estimación.

La decisión del modelo a utilizar se lleva a cabo de forma irrevocable antes de la

estimación, aunque los resultados de esta estimación son a menudo beneficiosos para

esta decisión.

3.4. Modelos Múltiples

En este enfoque el inicio de una maniobra se considera como un proceso puramente aleatorio

asumiendo que se rige a modo de “ruido blanco” o “ruido autocorrelado”.

En el primer caso, inicio de una maniobra como “ruido blanco” con media cero, se viene

utilizando un enfoque basado en modelos múltiples. En el caso de “ruido autocorrelado”, se

considera un enfoque de aceleración exponencialmente correlada.

En [Li05] se presenta un exhaustivo análisis en profundidad del estado del arte en relación a la

metodología de modelos múltiples (MM) para seguimiento de objetivos en maniobra.

Actualmente se han definido una gran cantidad de algoritmos basados en múltiples modelos.

No obstante, existen pocos estudios comparativos de estos[Blom88][Averbuch91][Gustafsson01].

Los métodos MM han sido considerados de forma general como el enfoque convencional para

el seguimiento de objetivos en maniobra con incertidumbre en su modo de movimiento.

En el enfoque de solución presentado en el punto anterior[BarShalom82], la estrategia utilizada es

caracterizada como “estimación después de una decisión”, “decisión seguida de una

estimación” o simplemente “decisión-estimación”. En algún momento, primero se decide el

(mejor) modelo y a continuación se ejecuta un único filtro de seguimiento basado en este

modelo, como si fuera el verdadero. En el punto anterior ya se vieron los inconvenientes de este

enfoque.

Puede ser beneficioso más de un modelo de movimiento en un algoritmo de seguimiento

cuando la dinámica de un objetivo no es conocida. Con el objetivo de tratar esta

incertidumbre, un algoritmo de seguimiento con modelos múltiples ejecuta un conjunto de

filtros que modela tanto un movimiento sin maniobra como un conjunto de posibles

maniobras. El algoritmo fusiona la salida de todos estos modelos para obtener una estimación

global (ver en capítulo 2 , figura 2.23). Se han definido una gran cantidad de algoritmos MM,

cada uno de los cuales fusiona la información de una forma diferente (ver apartado 2.10 del

capítulo anterior).

Los algoritmos MM se han presentado como eficaces en el seguimiento de blancos en

maniobra, con incertidumbre en la maniobra. La primera generación de algoritmos MM

(AMM[Magill65]), los más limitados, asumen que el objetivo se encuentra en una maniobra

constante. Las otras dos generaciones (CMM y VSMM) manejan conceptos más complejos, y

computacionalmente también lo son. Su capacidad de seguimiento es mucho mejor, pudiendo

asumir incluso que un objetivo tenga múltiples movimientos de maniobras. La generación

CMM tiene poca posibilidad de mejora[Bastos08], llevando al pensamiento general en la

comunidad del seguimiento que, los algoritmos VSMM se presentan como opción de futuro

puesto que permiten menos complejidad computacional con mayores conjuntos de modelos.


Los algoritmos VSMM son relativamente nuevos y necesitan más desarrollo e investigación

para ser establecidos como una solución alternativa[Bastos08].

En [Bastos08] se presenta un estudio comparativo en la aplicación de algoritmos MM a

objetivos en maniobra. El estudio se hace sobre 30 trayectorias con distintas aceleraciones

normales.

Como conclusión final, para estas 30 trayectorias se obtienen los siguientes resultados (tabla

3.1):

Tabla 3.1. Comparativa de resultados obtenidos para 30 trayectorias estimando con algoritmos

MM[Bastos08].

Estos resultados representan únicamente un ejemplo puesto que los algoritmos pueden tener

distintas respuestas para distintas maniobras.

Según [Bastos08], a pesar de los resultados obtenidos, en algunos casos de notable valor,

todavía es necesaria una mejora importante, obteniéndose unos resultados muy dependientes

de los parámetros iniciales definidos (conjunto de modelos) y de los parámetros de las

trayectorias a estimar. El algoritmo LMS es especialmente dependiente de esta situación.

En [Pitre11], considerando los mismos algoritmos detallados anteriormente, se establece que

no hay un algoritmo MM que puede definirse como preponderante para su aplicación en el

seguimiento de blancos en maniobra. Establece el algoritmo IMM como aquel que tiene mejor

complejidad computacional entre todos aquellos que ofrecen una solución “aceptable” en

cuanto a errores en el seguimiento. Igualmente, lo presenta como el más robusto a la pérdida de

modelo (aplicación de modelo erróneo), mostrándolo como la mejor elección si el coste

computacional es un requisito. Se resalta la aplicación de este tipo de algoritmos en aquellos

casos en los que las maniobras sean desconocidas a priori.

En [McIntyre98] se hace un estudio de diferentes modelos a aplicar en la estimación de

objetivos en maniobra. Se estudia la posibilidad de emplear estos modelos bajo coordenadas

cartesianas o polares. Como conclusión se establece que los modelos, tanto en coordenadas

cartesianas como en polares, así como en polares convertidas a cartesianas, presentan

resultados similares, sin que este factor sea determinante, estableciéndose como único factor a

tener en cuenta el coste computacional en el último caso (conversión de coordenadas polares a

cartesianas).


3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en

maniobra.

El problema del seguimiento de objetivos en maniobra ha sido estudiado en la estimación de

estados durante décadas. De forma general, se han utilizado los filtros Kalman para estimar el

estado de un objetivo, pero en presencia de maniobras su rendimiento se ve seriamente

degradado.

Para solucionar este problema, como se ha visto en puntos anteriores, se han aplicado diversas

técnicas.

En [Singer70] se propone un modelo donde la maniobra se trata dentro de un proceso de

Markov de primer orden con correlación en el tiempo.

A partir de este modelo se han generado dos enfoques para tratar este problema.

En el primero de ellos, se trata de detectar la maniobra para posteriormente procesarla de la

mejor forma posible. Dentro de este enfoque se incluye en el enfoque VSD[BarShalom82] (Variable

State Dimension Filter, ver apartado 2.10.3 y 3.4).

En el segundo enfoque, se describe el movimiento de un objetivo con múltiples modelos,

tratando de ajustarse en la medida de lo posible al movimiento real. En este enfoque entrarían

algoritmos como GPB[Tugnait82] (Pseudo Bayesian), IMM[Blom88] (Interacting Multiple Model) y

AIMM[Munir95] (Adaptative IMM).

En este segundo enfoque, la precisión en el seguimiento de objetivos en maniobra utilizando

múltiples modelos subyace en la idoneidad del modelo determinado para cada movimiento en

una maniobra. Esto implica que construir este tipo de algoritmos implica un conocimiento

detallado a priori de las características de las maniobras a estimar.

Para solucionar este problema se han planteado diversas propuestas basadas en utilizar

distintos paradigmas de inteligencia artificial, fundamentalmente en lo relativo a lógica borrosa,

redes neuronales y algoritmos genéticos.

De forma generalizada esta utilización de diferentes paradigmas de inteligencia artificial en el

problema de seguimiento de objetivos en maniobra se ha hecho siempre integrando alguna

capacidad adicional (basada en IA) en algoritmos clásicos de seguimiento, los anteriormente

reseñados.

Así, en [Amoozegar95] se propone de nuevo un modelo híbrido donde se utilizan las redes

neuronales en conjunción con un filtro Kalman. En concreto, se propone la utilización de

redes neuronales para otros objetivos en un problema de seguimiento, como puedan ser la

interacción entre los distintos modelos que puedan componer un filtro IMM, clasificación de

las maniobras de un objetivo, cuantificación de ruido, … En este caso, la red neuronal se

utiliza para tratar de generar de forma artificial (y compensar) el error que un filtro Kalman

pueda tener en la estimación de un objetivo en maniobra, actuando la red neuronal de nuevo,

en cooperación con el filtro Kalman.

En el mismo sentido que en [Amoozegar95] se implementa una red neuronal en [Takaba96]

(figura 3.17).


Figura 3.17. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada por

un filtro Kalman (TKF).[Takaba96]

En el mismo sentido que en los casos anteriores, se implementa en [Chin96] una red neuronal

para compensar los posibles errores producidos por un algoritmo JPDA.

En [Vaidehi99], con un uso similar de redes neuronales al especificado en casos anteriores, red

neuronal compensando errores en un filtro Kalman, se declara esta arquitectura con menor

coste computacional que un filtro IMM. Se utiliza para ello una red neuronal multicapa

backpropagation.

Cambiando de paradigma, en [Lee03] se propone una solución IMM basada en lógica borrosa,

optimizada mediante algoritmos genéticos (ver figura 3.19). Se obtiene mejora en el

seguimiento frente al algoritmo AIMM (ver figura 3.18). Los algoritmos genéticos se utilizan

para el entrenamiento offline de los modelos borrosos a utilizar en un algoritmo tipo AIMM.


Figura 3.18. Algoritmo AIMM. [Lee03]

Figura 3.19. Método IMM basado en algoritmos genéticos (GA) usando lógica borrosa. [Lee03]

En este último caso, figura 3.19, partiendo en un algoritmo AIMM (figura 3.18), cada modelo

(filter X en la figura) se ve parametrizado por un conjunto de reglas borrosas (fuzzy rules X) las

cuales han sido entrenadas off-line mediante algoritmos genéticos (GA).


Recientemente se ha comenzado a utilizar filtros de partículas en la búsqueda de una mejor

solución a este tipo de problemas[Liu98][Doucet00].

Básicamente, el filtro de partículas se compone de un conjunto de muestras (las partículas) y

unos valores, o pesos, asociados a cada una de esas muestras. Las partículas son estados

posibles del proceso, que se pueden representar como puntos en el espacio de estados de

dicho proceso[Gordon93].

El motivo de utilización de este tipo de enfoque es su facilidad y precisión para resolver

problemas no lineales de dificultad, donde los modelos subyacentes se representan por

ecuaciones de estado dinámicas no lineales.

Se ha venido utilizando sobre todo en sistemas para seguimiento en imágenes. Para realizar el

seguimiento de un objeto sobre una secuencia de imágenes, el filtro de partículas "lanza" al

azar un conjunto de puntos sobre la imagen (etapa de inicialización, se crea un conjunto de

partículas con un estado aleatorio), realizando cálculos se le asignará un valor, o valores, a cada

uno de esos puntos (etapa de actualización). A partir de estos valores, se creará un nuevo

conjunto de puntos que reemplazará al anterior. Esta elección también será al azar, pero los

valores que se han adjudicado a cada uno de los puntos provocarán que sea más probable de

elegir aquellos puntos que hayan capturado al objeto sobre el que quiere realizar el seguimiento

(etapa de estimación). Una vez que se crea el nuevo conjunto de puntos, se realiza una leve

modificación al estado (posición) de cada uno de ellos, con el fin de estimar el estado del

objeto en el instante siguiente (etapa de predicción).

Al terminar la etapa de predicción, se obtiene un nuevo conjunto de puntos al que se le vuelve

a aplicar la etapa de actualización, repitiéndose este bucle hasta que termine la secuencia o

desaparezca el objeto, caso en el cual se volvería a la etapa de inicialización.

En [Ikoma01] y [Yu06] se implementa un filtro para seguimiento radar basado en filtros de

partículas para estimar el estado del objetivo ante cambios bruscos en el mismo (aceleraciones,

frenadas y giros). Considera el uso de filtros de partículas como computacionalmente

interesante, debido a que su coste computacional será proporcional al número de partículas

utilizadas. En ambos casos se utilizan filtros de partículas para la estimación de la aceleración.

Se declaran problemas en la utilización de este enfoque en entornos con alto nivel de ruido en

las medidas.

En [Bugallo07] se implementa un filtro basado en filtros de partículas CRPF[Míguez04] (Cost-

Reference Particle Filtering). En este caso las referencias proporcionadas por distintas

distribuciones de probabilidad son sustituidas por una función de coste definida por el usuario

que mide la calidad del estado estimado conforme a las medidas detectadas. En la solución

propuesta cada posibilidad de movimiento (estimación) es explorada en cada etapa del

algoritmo.

Este tipo de enfoque, basado en filtros de partículas presenta el problema principal de su alta

demanda en cuanto a coste computacional[Bugallo07]. Presenta la ventaja que es relativamente

sencilla su implementación en una arquitectura paralela permitiendo un ahorro en el tiempo de

computación requerido. Este problema puede verse agravado considerando su posible

implementación en un sistema de tiempo real, con requisitos temporales exigentes.

Capítulo 4

Sistema de seguimiento neuronal en tiempo

real basado en información contextual.

“Al que está necesitado, no le conviene ser vergonzoso”

Homero, La Odisea.

RESUMEN: Se presenta una propuesta de solución en relación a la problemática presentada

por la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar utilizadas como fuente de información

en un sistema seguimiento de vigilancia aérea radar. Como propuesta de solución se presenta

un caso de aplicación de las redes neuronales incorporándose información contextual a esta

solución al problema de seguimiento, la cual pudiera ser implementada considerando los

requerimientos de proceso que acompaña a estos sistemas de tiempo real.

Se intenta aprovechar las características de las redes neuronales en cuanto a la facilidad de las

mismas para reconocer patrones no especificados, fácil adaptabilidad para tratar de explotar

información de entrada adicional y adaptación para una computación paralela que permita

optimizar y acotar su tiempo de cálculo.

Igualmente, se intenta explotar la capacidad de las redes neuronales para aproximar funciones

de mapeo pseudo-arbitrarias de entradas-salidas en un proceso, para incorporar la información

contextual que pudiera existir en trayectorias predeterminadas, en el proceso de estimación y

seguimiento propio de los sistemas de vigilancia aérea radar.

4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal.

4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.

4.2.1. Esquema de trabajo.

4.2.2. Seguimiento neuronal en maniobras.

4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento.

4.3. Resultados de simulaciones.

4-2 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.

4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal.

Tal y como se aclaró en el Capítulo 1, Introducción, por analogía con la literatura en lengua

inglesa existente sobre este tema, en la que se emplea de forma habitual el término “neural

tracking” [Sengupta89][Kim91][Juszkiewicz00][Wang14], tanto en el título como durante la propia tesis se

empleará la denominación “seguimiento neuronal”, entendiendo el mismo como simplificación

lingüística de “seguimiento basado en redes neuronales”, aún sabiendo que su corrección semántica

no sea la adecuada.

Conforme se ha expuesto en capítulos anteriores, un gran número de algoritmos[Farina85]

[Blackman86] [BarShalom88] [Bogler87] [Li05] se han descrito en la literatura durante los últimos años, los

cuales se diferencian fundamentalmente en el modo por el que se define el modelo dinámico

del sistema aplicado al seguimiento del objeto considerado.

Los algoritmos clásicos, basados en un tratamiento puramente estadístico de la información,

derivados de un filtrado estocástico, como los filtros α-β-γ[Farina85][Brookner98] o los filtros de

modelo de estado como los filtros Kalman[Li05][Brookner98][Brown92], pueden no dar los resultados

deseados cuando el modelo sea propenso a errores, existan medidas falsas o falsas detecciones,

exista un ruido elevado en el proceso de medida o incluso cuando el modelado del

movimiento de un blanco no haya sido tenido en cuenta, en beneficio de otros casos más

típicos. Así, aún asumiendo que el enfoque clásicamente estadístico para resolver estos

problemas de seguimiento pueda tener sus puntos fuertes y proporcionar un buen seguimiento en

escenarios específicos, también presenta ciertas deficiencias.

Entre estas deficiencias se pueden considerar su complejidad computacional, la dificultad

existente en el modelado de típicas trayectorias con giros rápidos o coordinados, así como la

dificultad en incorporar nuevas variables al proceso de estimación.

Esta complejidad computacional se considera un factor crítico en los casos típicos de centros

de control aéreos, donde el sistema de seguimiento debe estimar cientos de blancos (aviones),

con miles de medidas en un corto periodo de tiempo, de 3 a 10 segundos, en cercana

coordinación con otras múltiples funciones[Audsley90] relacionadas con este seguimiento. Una vez

que este intervalo límite es sobrepasado, los resultados que se pudieran obtener se consideran

obsoletos.

Teniendo en consideración lo anterior, tienen un interés particular enfoques alternativos que

puedan mejorar este seguimiento.

La capacidad de las redes neuronales artificiales (RNA) para aproximar “mapeos” de valores de

entrada y salida aparentemente arbitrarios, proporciona un medio para identificar funciones

dinámicas desconocidas de cara a predecir el valor de salida un paso por adelantado. Esta capacidad es

de especial utilidad en sistemas donde las reglas para definir el comportamiento del modelo no

sean fácilmente formulables, debido fundamentalmente a que se incorpore cierta

incertidumbre, esto es, datos incompletos e imprecisos en el conocimiento empleado.

De forma más específica, en el caso de un sistema de seguimiento radar, la información para el

entrenamiento de una red neuronal puede ser extraída directamente de las medidas

proporcionadas por el propio radar (información habitualmente utilizada), pero también, esta

información puede ser aumentada por información contextual, derivada del conocimiento que


pudiera ser extraído por un experto de la información propia del contexto en el que el

algoritmo de seguimiento se esté ejecutando.

En este trabajo, esta información contextual se deriva no solo de los datos de múltiples

sensores, sino también de patrones conocidos y esperados en maniobras aéreas, información

conocida a priori, los cuales probablemente condicionarán el comportamiento del blanco bajo

seguimiento.

La capacidad para fusionar eficientemente información de diferentes fuentes o con diferentes

formatos, para facilitar de esta forma una toma de decisiones eficiente, es una de las

principales características de una red neuronal multicapa correctamente

entrenada[Malur95][Juszkiewicz00][Sarkar05].

Este enfoque dará como resultado un filtro de seguimiento no lineal, el cual presentará

importantes ventajas sobre los clásicos intentos en diseñar algoritmos de seguimiento no

lineales para aplicaciones de seguimiento. La ventaja importante será la reducción de la

complejidad matemática y computacional.

Como un posible caso de aplicación se propone considerar la aplicación de este enfoque

propuesto a típicos ejemplos de curvas de persecución (pursuit curves), también comúnmente

conocidas como curvas del perro, maniobras de combate aéreo utilizadas desde la Primera

Guerra Mundial, facilitando a la red neuronal la estimación de valores para posiciones futuras

en trayectorias complejas, especialmente aquellas en las que pudieran intervenir dos o más

aviones de caza en combate aéreo cercano.

En un sistema de seguimiento clásico, estas curvas del perro son difícilmente incorporables a los

típicos procesos estadísticos contenidos en el mismo. Esto es debido a que estos algoritmos no

incorporan información contextual, más allá de la contenida en las variables estadísticas

consideradas.

A continuación se propondrá y describirá un algoritmo de seguimiento basado en redes

neuronales, aplicable en el ámbito de la vigilancia y control aéreo, algoritmo al que, más allá de

la información contenida en las medidas radar, se incorporará la información contextual

anteriormente reseñada.

4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en

información contextual.

4.2.1. Esquema de trabajo.

Se plantea como esquema de trabajo para solucionar el problema planteado, el empleado por

un experto, de forma concreta por un controlador aéreo, o de forma general por cualquiera de

nosotros, a la hora de estimar la posición actual de un móvil aéreo detectado por un radar de

vigilancia realizándose para ello una función de seguimiento:

A partir de los últimos datos detectados, últimas medidas radar, estimándose la

velocidad (módulo y dirección), se trata de predecir en qué posición se debería

localizar de forma aproximada el objetivo bajo seguimiento (estimación predicha)

considerándose un determinado instante en el tiempo.


A partir de esta estimación predicha, considerando información contextual (por ejemplo,

trayectoria seguida hasta ese momento por el avión bajo seguimiento, existencia de

enfrentamiento con un enemigo, situación de un posible enemigo,…) e información

conocida a priori, considerando como tal la posible modelización de la trayectoria a

seguir, tácticas de combate[Shaw85], RoEs1 se realiza un ajuste en la posición predicha que

de cómo resultado la posición estimada para ese objetivo (estimación filtrada)[BarShalom88].

Como un ejemplo de un modelo básico de maniobras, como un caso concreto de aplicación,

se considerarán las curvas de persecución[Lloyd07] o “carrera de perro”2 (figura 4.1).

Figura 4.1. Ejemplo de curva de persecución.

La idea en una curva de persecución (figura 4.1) es que un punto, comúnmente denominado

como “conejo” (A) describe una curva predefinida. Este “conejo” es perseguido por otro punto,

comúnmente denominado “zorro” (P). Para esta curva se determinan dos condiciones:

1. El zorro mira directamente hacia el conejo.

2. La velocidad del zorro es directamente proporcional a la del conejo.

Esta trayectoria, en un ámbito de maniobras aéreas, es comúnmente conocida como persecución

pura y es utilizada cuando el avión perseguidor quiere mantener sus armas dirigidas en todo

momento al elemento o avión perseguido[Shaw85]. Ambas aeronaves se moverán en una

trayectoria similar, basada en la premisa de evitar ser disparada por una y acertar el disparo por

otra.

Dependiendo de la trayectoria seguida por el avión amenazado, así será la trayectoria seguida

por el amenazante, considerando el atacante en todo momento las características

anteriormente reflejadas. En la figura 4.2 se pueden observar diversos ejemplos estando la

trayectoria de avión perseguidor (en rojo) condicionada en todo momento a la trayectoria

definida por el avión perseguido (en azul).

1 Rules of Engagement, reglas o directrices a las fuerzas armadas que definen las circunstancias,

condiciones, grado y forma en las que la fuerza o acciones pueden ser aplicadas. 2 Conocidas con este nombre por la semejanza de estas curvas con la trayectoria que seguiría un perro

en su persecución ante un móvil.


Figura 4.2. Curvas de persecución (en azul el objeto perseguido, en rojo el perseguidor).

La información contenida en estas curvas, entendida como información sobre la probable

respuesta de dos elementos móviles, puede ser utilizada como información a priori en un

algoritmo de seguimiento aplicado a las medidas radar generadas por dos aviones, perseguido y

perseguidor, cuyas trayectorias se quieran estimar.

Una característica común a muchos sistemas de seguimiento, en el contexto de la vigilancia

aérea, es considerar a estos como sistemas en tiempo real. El buen funcionamiento de un

sistema de tiempo real depende, no solo de la corrección lógica de sus resultados, sino también

del momento en el que están disponibles. Dicho de otra forma, los requerimientos del sistema

incluyen requisitos temporales en forma de instantes límite. Un sistema de tiempo real seguro

se puede definir como aquel en el que el daño ocasionado por un límite perdido es mayor

cuanto más se haya sobrepasado este límite[Audsley90][Audsley90B].

En un sistema de tiempo real, el instante de la disponibilidad de los resultados[Vivancos98] es tan

importante como la precisión en los mismos. Esto es debido a la necesidad de garantizar que el

sistema decidirá qué acción llevar a cabo y podrá aplicarla antes de que se produzca un cambio

en el entorno que haga que ya no sea válida la decisión tomada, motivo por el cual los


requisitos temporales pueden ser más importantes que posibles mejoras en la precisión de los


Esto condicionará la solución propuesta en un intento de intentar optimizar la relación tiempo

de respuesta-calidad de la respuesta.

La propiedad más importante que debe cumplir el sistema propuesto, como sistema de tiempo

real, será la “predecibilidad”: su comportamiento funcional y temporal (capacidad de predecir a

priori que una tarea acabará antes de un plazo máximo de ejecución) debe estar lo

suficientemente determinado como para poder asegurar que cumplirá las especificaciones del

sistema[Stankovic90].

4.2.2 Seguimiento neuronal en maniobras.

Frente a los numerosos estudios y referencias existentes al seguimiento de blancos con

trayectorias estándar, quizás por su uso eminentemente militar hasta hace unos años, no existe

demasiada documentación o estudios disponibles sobre estimación de trayectorias de blancos

en maniobra a partir de medidas radar influenciadas por ruido. Dos estudios detallados de las

referencias existentes en relación a este problema fueron realizados por

Ananthasayam[Ananthasayanam03] y por Amoozegar F.[Amoozegar98]

Como ya ha sido referenciado anteriormente en diversas ocasiones, diferentes algoritmos de

seguimiento han sido desarrollados, pudiéndose destacar los filtros α-β, filtros α-β-

γ[Farina85][Brookner98] y los filtros Kalman[Li05][Brookner98][Brown92]. Debido al incremento en la capacidad

computacional de los procesadores y ordenadores, en los últimos 15-20 años se ha establecido

como un estándar la aplicación de filtros Kalman como algoritmo de seguimiento en los

sistemas de vigilancia y control aéreo. En estos sistemas existe una gran cantidad de factores,

originados tanto por los propios objetivos a detectar como por el propio sistema, que originan

pérdidas en el seguimiento, provocándose, como consecuencia, la estimación de trayectorias

erróneas. Una causa frecuente de esto, son los cambios bruscos en la trayectoria de un objetivo

originando diferencias importantes entre las medidas radar obtenidas y la posible predicción de

estado, todo ello acentuado por la presencia de falsas detecciones, provocándose lo que

comúnmente se denomina pérdidas en el seguimiento, o estimaciones erróneas de trayectorias.

Aunque actualmente el filtrado Kalman se considera un estándar en los algoritmos de

seguimiento implantados en los sistemas de control aéreo (independientemente de su objetivo

final, tanto en sistemas de control aéreo civiles como militares), técnicas basadas en redes

neuronales también han sido en determinadas ocasiones utilizadas para mejorar la precisión de

estas estimaciones.

En algunos casos, la red neuronal se ha utilizado como una ayuda o mejora, utilizada dentro de

un filtro Kalman, en un intento de mejorar la precisión de la posición y velocidad estimada

por un filtro Extended Kalman[Chin94][Duh04]. Queda demostrado que la estimación mejora de

forma notable, incrementándose la precisión en la estimación tanto en posición como

velocidad de forma considerable.

Igualmente, técnicas basadas en la utilización de redes neuronales, en muchas ocasiones

integradas con lógica borrosa, han sido utilizadas para la detección de maniobras o ajustes de


los filtros a la varianza del sistema[Jing94], lo cual también ayuda de forma notable a mejorar la

estimación obtenida por un filtro Kalman.

Chin empleó una red neuronal backpropagation para ayudar al filtro Kalman a reducir el error en

la estimación. La salida de una red neuronal, previamente entrenada, era usada para compensar

la estimación de estado. Este algoritmo no cambia la estructura y parámetros de un filtro

Kalman estándar. La red neuronal se utiliza para determinar qué modelo utilizar dependiendo

del tipo de trayectoria detectado por la misma.

El problema de estos enfoques es que, aún mejorando la precisión en las estimaciones de un

filtro Kalman, no compensan suficientemente los errores generados en las estimaciones por

este filtro cuando estos errores son grandes, generados, por ejemplo, por bruscas maniobras.

Sundareshan[Malur95] demuestra la capacidad de una solución al problema del seguimiento

centrada en una red neuronal para mejorar las propuestas anteriores bajo condiciones de

maniobra, eso si, utilizando información adicional obtenida de una red de diversos sensores.

En esta propuesta, el seguimiento es mejorado utilizando información que es posible extraer

de medidas obtenidas a partir de radar laser, infrarrojo o en el rango de frecuencias visible.

Kong, Hadzer y Mashor[Kong98] prueban si una red neuronal puede ser utilizada para reemplazar

totalmente la función de un filtro Kalman. Después de diversas modificaciones en los vectores

de entrada/salida de la red neuronal, el problema de implementar un sistema de seguimiento

radar utilizando únicamente una red neuronal es resuelto. No se utiliza ninguna información

adicional a la proporcionada por las propias medidas radar.

Por otra parte, las redes neuronales han sido utilizadas para el aprendizaje de maniobras de

combate, no con el objetivo de solucionar problemas de seguimiento sino para la mejora de

estrategias en las maniobras en combates aéreos[Teng12].

Schvaneveldt, Benson, Glodsmith y Waag estudian la aplicación de modelos de redes

neuronales en el dominio del combate aéreo, incorporando a estos modelos tanto

conocimiento sobre maniobras de combate como planificación de maniobras y

seguridad[Schvaneveldt92]. Los autores realizan una revisión de la simulación de combate aéreo,

presentando la implementación y pruebas de modelos de redes neuronales, así como una

descripción del software desarrollado.

En lo referente a la utilización de información contextual, es muy habitual su aplicación al

desarrollo de sistemas de seguimiento, pero siempre dentro del ámbito del espectro visual,

empleándose esta información contextual como entradas a redes neuronales para tratar

problemas específicos y mejorar su rendimiento[Sánchez07][Benavoli06].

La principal aportación de esta tesis es integrar en un algoritmo de seguimiento, a partir de

información radar, basado en un paradigma de redes neuronales, conocimiento disponible

sobre estrategias en maniobras de combate aéreo. De esta forma, datos obtenidos del entorno

en el que se está ejecutando este algoritmo, del propio contexto de ejecución, tomados como

información contextual, los cuales podrán ser determinantes en la decisión sobre la trayectoria a

estimar para un avión implicado en un posible combate aéreo, son fusionados en una

arquitectura de redes neuronales para obtener nuevas estimaciones de estado. Los datos

considerados son derivados, no solo de las medidas radar propias de los aviones bajo

seguimiento, sino también de la situación global en la que el combate aéreo está

desarrollándose.


4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento.

Para alcanzar los objetivos planteados en este estudio, se propone la separación de la

estimación y mejora con información contextual en dos etapas distintas, usando en ambas

redes neuronales como paradigma de mapeo y fusión de información:

- Red neuronal de predicción (prediction NN). Red neuronal cuyo objetivo será

tratar de predecir a partir de las medidas proporcionadas una “posición predicha”

inicial, donde, de forma aproximada debería encontrarse el avión bajo seguimiento.

- Red neuronal de suavizamiento[Gelb79][Morrison69](smoothing NN). Red neuronal que,

a partir de la posición predicha proporcionada por la red anterior, tratará de

incorporar información contextual y conocida a priori, en referencia a una posible

modelización de la trayectoria que esté siguiendo el avión.

Considerando las restricciones como sistema de tiempo real que pudieran existir, en ambos

casos se utilizará una red Multicapa Perceptrón (figura 4.3), con únicamente tres capas (una

única capa oculta), utilizando el algoritmo Backpropagation como algoritmo de

aprendizaje[Freeman91].

Figura 4.3. Red Perceptrón Multicapa . i,j,k: capas. Wxy: pesos de cada enlace.

En nuestro caso de estudio, como una simplificación del problema, se considerará un espacio

de entrada 2D. De esta forma, las medidas radar, generalmente referenciadas a su propia

posición, contendrán la distancia y azimut al blanco detectado. Es habitual transformar estas

componentes a coordenadas cartesianas (x,y), siempre considerando como origen de

coordenadas la posición del radar. En este caso se utilizarán este tipo de coordenadas,

coordenadas cartesianas (x,y).


En la solución propuesta, se aplicarán dos redes neuronales. Ambas tendrán la misma

arquitectura pero distinto entrenamiento. Cada una de ellas aplicadas respectivamente a la

coordenada X e Y.

En una situación de “uso del espacio aéreo” ideal, donde no existiera ninguna condición ni

suposición previa de uso de este espacio aéreo por parte de los aviones, las redes neuronales

empleadas para las coordenadas X e Y serían similares, puesto que su comportamiento sería

completamente análogo, sin que el hecho de tratarse de la coordenada X e Y aporte ninguna

información adicional, motivo por el que no tendría sentido la utilización de dos redes

independientes, pudiéndose considerar una única red.

No obstante, en el mundo real, considerando siempre que cualquier avión tiene una trayectoria

condicionada por elementos externos, por ejemplo un punto de despegue determinado, se

puede observar que para un mejor comportamiento de las redes neuronales es recomendable

utilizar redes neuronales distintas para cada una de las componentes, puesto que su

comportamiento no será el mismo.

Si se considera la medida de posición proporcionada el radar en tiempo t como:

y(t) = x(t) + v(t)

donde y(t) es la medida compuesta por la medición óptima x(t) más una componente de ruido

v(t) (generalmente con media y varianza conocida).

Como entrada a la red neuronal de predicción se utilizan las últimas medidas proporcionadas

por el radar utilizándose coordenadas cartesianas: y(t), y(t-1), y(t-2), y(t-3),…. Donde la

componente X e Y para la medida i vendrán identificadas como [yx(i), yy(i)], utilizándose cada

componente como entrada en su respectiva red neuronal.

El problema de utilizar las componentes X,Y absolutas es que trayectorias similares,

dependiendo del lugar donde se produzcan, producirían medidas muy distintas. Esto provoca

que la red neuronal de predicción converja a resultados aceptables de forma muy lenta,

ampliándose considerablemente el posible espacio de datos de entrada.

Es por lo anterior por lo que se utilizan como entradas a la red neuronal de predicción (figura

4.4) los incrementos en las coordenadas X o Y entre cada medida radar[Kong98]: Δy(t)=y(t)-y(t-1).

La salida de la red neuronal de predicción será también el incremento predicho en la

coordenada X o Y desde la última posición estimada: Δxp(t+1). De esta forma se consigue

que el tiempo de convergencia de la red neuronal disminuya de forma muy importante,

haciendo la predicción independiente de la zona del espacio en la que se desarrolla la

maniobra.


yx(t) Δyxp(t)

yx(t-1) Δyxp(t-1)

yx(t-2) Δyxp(t-2) Δyxpe(t+1)

…

yx(t-m) Δyxp(t-m)

Donde:

· yx(t): medida radar en el instante t (componente x o y).

· Δyxp(i)= yx(i)- yx(i-1) : incremento en la medida desde el instante i-1 a i (componente x o y).

· Δyxpe(t+1): incremento predicho para el instante t+1.

Figure 4.4. Esquema de la red neuronal de predicción.

Los datos de entrenamiento de estas redes neuronales de predicción, utilizándose, como se

ha indicado anteriormente, las componentes X,Y en redes distintas, se pueden obtener de

medidas simuladas, donde se ha integrado el error aditivo gaussiano v(t), o a partir de medidas

reales, donde la trayectoria del avión pueda ser conocida a priori.

Un problema fundamental es definir los datos contra los que validar la convergencia de la red.

Lo ideal sería conocer la posición exacta del avión bajo seguimiento (x(t)), la cual a priori es

imposible conocer. No obstante, puesto que el entrenamiento de estas redes neuronales se

efectúa off-line se puede optar por dos soluciones:

1. Considerar datos simulados de entrada, donde se conoce la componente de ruido

incorporada (v(t)) a la medida óptima, pudiéndose determinar fácilmente (x(t)).

2. Tomar como x(t) el resultado de realizar un filtrado óptimo off-line, sin requisitos

propios de un sistema de tiempo real, de un conjunto de medidas y(t) previamente

grabadas y analizadas, de forma preferente para las trayectorias consideradas.

Este dato x(t), como es lógico, únicamente es utilizado en el proceso de entrenamiento y

validación de la red neuronal.

En este caso, por tratarse de un estudio experimental, considerando su alcance, se tomará la

opción 1.

En el caso de la red neuronal de suavizamiento, el objetivo de la misma es tratar de ajustar

la posición predicha, a partir de la red neuronal de predicción, con la información de

contexto que se pudiera extraer de la situación en la que se está produciendo el seguimiento.

Como información contextual, se considerará fundamentalmente la situación espacial relativa

de los aviones que se están considerando bajo seguimiento. Esto significa que el estado

estimado, posición y velocidad para cada avión, estará condicionado por esta información

contextual. Esta es la gran ventaja de utilizar esta red neuronal en el seguimiento en maniobras

Pre

pro

ceso

RN

Pre

dic

ció

n


previamente aprendidas, considerando información contextual que en otro caso (algoritmo

clásico) sería imposible, o al menos muy costoso en cuanto a su coste computacional, para ser

tenido en cuenta.

Así, tomando en consideración las curvas Pursuit, un aspecto clave para el perseguidor será el

ángulo que su trayectoria mantiene con la correspondiente al perseguido. En escenarios de

combate aéreo cercano, la utilización de determinado armamento está restringida a una cierta

distancia máxima. También, en cortas distancias, este armamento únicamente puede ser

utilizado disparando “hacia adelante”. Es por esto por lo que se utilizan habitualmente curvas

de persecución “lead pursuit”, “pure pursuit” y “lag pursuit”, diseñadas para colocar al atacante en

la posición de disparo óptima, tratando de evitar el riesgo de estar expuesto al disparo del

oponente.

Este ángulo entre la trayectoria del perseguidor y el perseguido, junto con otros datos como la

distancia entre ambos aviones, velocidad relativa, etc. pueden ser incorporados como entradas

a la red neuronal de suavizamiento, considerándose esta información como información

contextual que será utilizada en el proceso de seguimiento.

De forma análoga a lo expuesto para las entradas de la primera red, en esta red neuronal de

suavizamiento se proporcionan como entradas los últimos incrementos predichos en la etapa

anterior (Δyxpe(t) , Δyype(t)), transmitiéndose de esta forma a esta red neuronal la “forma” de

la trayectoria que se viene ejecutando.

Sobre esta “forma de trayectoria” se añade como información de contexto de entrada las

componentes X,Y (δxp(t), δyyp(t)) de la distancia desde el perseguidor (elemento bajo

seguimiento) al perseguido. Esta distancia parametriza el ángulo con el que el perseguidor

“mira” al perseguido, parámetro básico a la hora de estimar la curva pursuit que sigue el avión

perseguidor.

δxp(t) y δyp(t) se calcularán como la diferencia en la posición (componentes X e Y) en la

posición estimada para el perseguidor y el perseguido (es evidente que el algoritmo de

seguimiento no conocerá la posición real de ambos).

La posición absoluta final (componentes X e Y) se calculará sumando los sucesivos incrementos,

Δyxs(t), Δyys(t), a la posición absoluta previa del objeto bajo seguimiento, donde Δyxs(t), se

obtiene como la salida de la red neuronal de suavizamiento (figura 4.5).

Esta información contextual es de aplicación a este tipo de trayectorias, por la propia

definición de las mismas. No obstante, en otras trayectorias debe considerarse que

información contextual es conveniente considerar, considerando la parametrización de la

misma para su inclusión como entradas en esta red de suavizamiento. La gran ventaja es la

facilidad de incorporar nueva información contextual a este tipo algoritmos de seguimiento,

basado en redes neuronales.

La composición de este algoritmo de seguimiento neuronal en dos redes neuronales (figura

4.5) que se ejecutan en serie, primero la red neuronal de predicción y a continuación la red

neuronal de suavizamiento, hace que su funcionamiento sea mucho más robusto, con

menos errores, que una única red neuronal con la que se intentase hacer una estimación final a

partir de los datos de entrada iniciales.


yx(t) Δyxp(t)

yx(t-1) Δyxp(t-1)

yx(t-2) Δyxp(t-2) Δyxpe(t)

…

yx(t-m) Δyxp(t-m)

Δyxpe(t-1) Δyxs(t)

Δyxpe(t-2)

…

Δyxpe(t-m)

δxp(t)

δyp(t)

Figure 4.5. Arquitectura redes neuronales seguimiento neuronal (para la coordenada X). Etapa

de predicción y etapa de suavizamiento.

Hasta este punto se ha definido un algoritmo de seguimiento neuronal a partir de medidas

radar, las cuales incorporan el típico ruido gaussiano aditivo, incorporándose a este algoritmo

información contextual que resulta de utilidad en el caso de curvas de persecución pursuit.

En los resultados para las simulaciones realizadas (punto de este documento), su puede

observar que, considerando las cuatro últimas medidas recibidas de un radar, considerándose

una única capa oculta con cinco neuronas, las estimaciones obtenidas por este sistema de

seguimiento mejoran considerablemente las estimaciones obtenidas por filtros

clásicos[Farina85][Brookner98].

Puesto que la arquitectura de ambas redes neuronales queda claramente definida (párrafos

anteriores), el coste computacional para este enfoque puede ser perfectamente evaluado y

medido de acuerdo a los requerimientos típicos de un sistema de tiempo real. El tiempo de

ejecución límite para cada iteración de este proceso queda totalmente limitado, pudiendo ser

perfectamente planificado en un sistema de tiempo real, permitiendo evaluar si el tiempo de

respuesta a los datos recibidos entra dentro de los límites dictados por el sistema en el que se

aplique[Randell95]. Teniendo en cuenta que el entrenamiento se ejecuta off-line, este tiempo no

debe ser considerado bajo los requisitos de este sistema de tiempo real.

Pre

pro

ceso

RN

Pre

dic

tio

n

RN

su

aviz

amie

nto


4.3. Resultados de simulaciones.

Para entrenar las redes neuronales utilizadas en este estudio, se han utilizado un conjunto de

curvas de persecución (figura 4.2), todas ellas aplicadas en navegación aeronáutica, a partir de

las cuales se han generado un conjunto de medidas radar, a las que se les ha sumado un error

gaussiano aleatorio. Este conjunto incluye diferentes curvas a partir de las cuales se han

definido otras distintas cambiando sus parámetros de definición. El ruido es generado de

forma independiente para cada supuesta medida radar generada, de tal forma que, en ningún

caso, el conjunto de medidas serán iguales, aun habiendo sido generadas tomando como

referencia la misma curva.

Para la validación de las redes neuronales se han generado nuevas curvas de persecución, a

partir de curvas distintas o cambiando parámetros a las ya definidas anteriormente. Como se

ha indicado en el párrafo anterior, para cada medida se genera un nuevo valor de ruido

aleatorio, de tal forma que nunca se dará el caso de dos casos en los que se generen las mismas

medidas.

En cualquier caso, tanto para entrenar como para validar las redes neuronales se utilizará datos

con ruido aleatorio, utilizándose datos sin ruido únicamente para comparar la trayectoria

estimada con lo que se podría considerar una estimación óptima (basada en estos datos sin

ruido).

En la figura 4.6 se presentan ejemplos gráficos de los resultados obtenidos por el algoritmo de

seguimiento basado en redes neuronales propuesto en este documento. Previamente las redes

neuronales han sido entrenadas con un conjunto de curvas (figura 4.2) definidas a partir de

diferentes parámetros. En cualquier caso, las medidas radar, obtenidas a partir de las curvas

definidas y usadas para entrenamiento y validación, siempre se verán afectadas por ruido

aleatorio.

Junto con la trayectoria estimada, se presentan otras curvas de interés. El significado de cada

curva, dependiendo de su color es el explicado a continuación:

Azul. Trayectoria correspondiente al avión perseguido (pursued). En esta trayectoria no

se ha introducido ningún tipo de ruido. Esta curva se presenta como trayectoria

óptima. Estos datos no se utilizan en el proceso de seguimiento, o estimación de

trayectoria.

Negra. Trayectoria sin errores correspondiente al avión perseguidor (pursuer). Esta

trayectoria está condicionada en base a una curva pursuit sobre el avión perseguido

(trayectoria azul). Es usada como trayectoria de referencia para calcular el error en las

posiciones estimadas. No se usa en el proceso de seguimiento.

Roja. Trayectoria del avión perseguidor (pursuer) incorporando ruido blanco sobre la

trayectoria anterior. Simula lo que sería la detección real de un radar. Información

proporcionada como entrada en la red neuronal de predicción. Esta trayectoria, al

igual que la anterior, está condicionada en base a una curva Pursuit sobre el avión

perseguido. Los datos obtenidos de esta trayectoria, junto con los datos

correspondientes al avión perseguido (ya con ruido aleatorio incorporado) son

utilizados para calcular la información contextual considerada en el proceso de

seguimiento.

Magenta. Trayectoria estimada en base únicamente a los incrementos predichos por la

red neuronal de predicción.


Verde: Trayectoria estimada por la red neuronal de suavizamiento, estimada por el

proceso de seguimiento a partir de la trayectoria roja incorporando información de

contexto considerada para la estimación. Este es el resultado o estimación final del

algoritmo de seguimiento neuronal propuesto.

Amarillo. Trayectoria estimada por el filtro α-β (filtro g-h, α=0.5)[Farina85][Brookner98] ,

filtro clásico, usado como dato comparativo.

Las simulaciones mostradas en la figura 4.6 a partir de un única instancia de red neuronal

previamente entrenada (red neuronal de predicción y red neuronal de suavizamiento para las

componentes X e Y).

En los ejes se incorpora una escala para permitir la comparación de los diferentes resultados

obtenidos en el proceso de seguimiento. La unidad de medida no es relevante, no obstante,

considerando un típico caso de combate caza contra caza, cada unidad se puede considerar

como 10 millas náuticas. No obstante, las mismas curvas, con diferente escala, y por lo tanto

distintas unidades, se podrían considerar para helicópteros de combate.


Figura 4.6. Ejemplos de curvas estimadas con el algoritmo neuronal propuesto.

Como información adicional, trayectoria magenta, en los gráficos se puede observar la salida

de la primera etapa en la arquitectura de redes neuronales anteriormente descrita, red neuronal

de predicción, donde no se considera ninguna información contextual. Estos valores

incrementales son la entrada de la segunda etapa, red neuronal de suavizamiento, la cual

proporcionará el resultado final (trayectoria verde).

Una vez que las redes neuronales implicadas en el proceso de seguimiento, red neuronal de

predicción y red neuronal de suavizamiento, han sido entrenadas, sometiendo las mismas a un

conjunto de datos de validación se observan los resultados detallados a continuación.


Como datos de entrenamiento para ambas redes neuronales se ha utilizado un conjunto de

medidas radar siempre afectadas por ruido aleatorio generado para cada una de ellas. Cada

trayectoria está compuesta por un conjunto de 100 datos. Se han considerado tres conjuntos

de datos distintos:

a. Un conjunto de 10 trayectorias (100 datos por trayectoria).

b. Un conjunto de 20 trayectorias.

c. Un conjunto de 50 trayectorias.

Una vez que ambas redes neuronales se consideran entrenadas (mediante a, b o c), se ha

considerado para su validación un conjunto de 20 trayectorias, de nuevo con 100 datos por

trayectoria. El resultado obtenido por el algoritmo neuronal de seguimiento propuesto se

compara con el clásico filtro α-β (filtro g-h, α=0.5) [Farina85][Brookner98].

Para comparar los resultados entre el filtro neuronal propuesto y el filtro clásico se calcularán

las siguientes métricas para cada trayectoria de seguimiento:

Error medio cuadrático (MSE) para cada componente cartesiano (X,Y), para cuantificar

los distintos valores de diferencia entre las estimaciones de un filtro (neuronal o

clásico) y los valores “reales” (estimación óptima ideal). Para cada terna [conjunto de

entrenamiento (a|b|c) – conjunto de validación (20 trayectorias) – filtro

(neuronal|clásico)] se calculará el valor mínimo, máximo y promedio.

Coeficiente de variación (CV), de nuevo para cada componente cartesiano (X,Y). Tomado

como una medida normalizada de dispersión, independientemente de la unidad

considerada en las medidas y aplicado a la diferencia en el error de estimación entre el

algoritmo neuronal y el filtro clásico (para cada componente cartesiana).

Distribuciones con CV<1 serán consideradas como de varianza baja. Para cada par

[conjunto de entrenamiento (a|b|c) – conjunto de validación (20 trayectorias)] se

calcularán los valores mínimo, máximo y promedio.

Los resultados numéricos para estas métricas se presentan en la tabla 4.1 para cada uno de los

casos de entrenamiento considerados (como conjunto de validación se utilizará siempre 20

trayectorias).

En cada tabla se calcula el MSE promedio, máximo y mínimo a partir del MSE de cada una de

las 20 curvas utilizadas en la validación, comparando cada trayectoria estimada con la solución

óptima ideal, esto es, la trayectoria “real”, sin error.

Los valores presentados en la tabla 4.2 se obtienen a partir de los resultados promedio para las

20 trayectorias de validación consideradas para cada conjunto de entrenamiento.


TS=50 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y

Average 0,00434596 0,011301885 0,004514052 0,01151710 0,854828377 0,83420158 Minimum 0,003265019 0,009954887 0,003731276 0,00888355 0,746030615 0,64807045 Maximum 0,005497492 0,012996760 0,005526362 0,01324728 0,998696361 1,04844810









Tabla 4.1. Resultados numéricos para los distintos casos de entrenamiento (considerando un

conjunto de 20 trayectorias para validación).

TS NT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-X CT MSE-Y CV X CV Y

10 0,005817 0,005719515 0,01196749 0,0112769 0,89183096 0,8069522 15 0,00549193 0,00544172 0,01214101 0,01199342 0,87569316 0,83879903 20 0,00479757 0,004705733 0,01202544 0,01126898 0,87205893 0,83188561 35 0,00489405 0,004750675 0,01234154 0,01115477 0,85303732 0,85359688 50 0,00434596 0,004514052 0,01130189 0,0115171 0,85482838 0,83420158

Tabla 4.2. Resultados promedio para los distintos casos de entrenamiento (considerando un

conjunto de 20 trayectorias para validación).

Donde,

TS: Training Set Size (número de trayectorias consideradas para el entrenamiento).

NT MSE-X: MSE para la componente X en el seguimiento neuronal.

NT MSE-Y: MSE para la componente Y en el seguimiento neuronal.

CT MSE-X: MSE para la componente X en el seguimiento clásico.

CT MSE-Y: MSE para la componente Y en el seguimiento clásico.

CV X: CV para la componente X en el seguimiento neuronal.

CV Y: CV para la componente Y en el seguimiento neuronal.


En la figura 4.7 se puede observar que el MSE para el seguimiento neuronal propuesto en este

documento, disminuye lentamente conforme se incrementa el número de trayectorias en el

conjunto de entrenamiento.

Figura 4.7. MSE para seguimiento neuronal (X, Y).[Navidad13]

En los resultados mostrados en la figura 4.7 se puede observar que la trayectoria estimada por

la arquitectura de redes neuronales propuesta, donde se considera información contextual

tomada como relevante, mostrada en la figura 4.6 como trayectoria verde, mejora

notablemente el rendimiento en el seguimiento obtenido con un algoritmo clásico (α-β,

α=0,5), mostrado en la figura 4.8 y trayectoria amarilla en la figura 4.6. Esto queda claramente

reflejado en los valores MSE obtenidos.

Figura 4.8. MSE para seguimiento clásico (X, Y). [Navidad13]

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0 10 20 30 40 50 60

MSE

Número de trayectorias de entrenamiento

NT MSE-X

NT MSE-Y

0,0100

0,0105

0,0110

0,0115

0,0120

0,0125

0 10 20 30 40 50 60

MSE


CT MSE-X

CT MSE-Y


Figura 4.9. Comparación en el error MSE en la estimación obtenido con el sistema neuronal

(NT) y el enfoque clásico (CT).

Debe aclararse que en el caso de las figuras 4.8 y 4.9, error MSE obtenido para el algoritmo

clásico, el número de trayectorias de entrenamiento (eje X) no tiene repercusión sobre este

algoritmo, puesto que este algoritmo no tiene ningún entrenamiento. Únicamente se refleja en

la figura para establecer una relación entre los datos representados en esta figura y la anterior

(figura 4.7) para las mismas trayectorias de validación. Es decir, las trayectorias consideradas en

las figuras 4.7, 4.8 y 4.9 para validación de los algoritmos son las mismas en ambos casos.

En la figura 4.9 se puede observar la mejoría alcanzada en el error obtenido por el sistema

neuronal, en torno a 0,005, frente al algoritmo clásico, en torno al 0,011.

Considerando el CV para el seguimiento neuronal (figura 4.10), se puede decir que el algoritmo

neuronal propuesto proporciona información que se puede calificar como de baja varianza

(CV<1) en ambas componentes X e Y, o lo que es lo mismo, el error proporcionado en la

estimación se puede considerar estable. Este dato se puede comprobar chequeando los valores

MSE máximo y mínimo mostrados en la tabla 4.1, y comparando estos valores con los obtenidos

para el algoritmo clásico. Por lo tanto, la dispersión para este algoritmo neuronal mejora

claramente la obtenida para el algoritmo de seguimiento clásico.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0 10 20 30 40 50 60

MSE


NT MSE-X

NT MSE-Y

CT MSE-X

CT MSE-Y


Figura 4.10. CV para el algoritmo de seguimiento neuronal (X, Y). [Navidad13]

En la figura 4.10, se puede observar que conforme se incrementa el tamaño del conjunto de

entrenamiento el CV, para ambas componentes, disminuye la diferencia en la varianza entre

los valores estimados para cada componente.

La trayectoria estimada se ajusta con bastante precisión a la trayectoria inicial libre de errores

(trayectoria negra en la figura 4.6) eliminando gran parte del ruido que pudieran contener las

medidas proporcionadas como entrada (trayectoria roja en la figura 4.6).

Los resultados aquí expuestos deben ser tomados como resultados puramente experimentales

que permitan estudiar la viabilidad de la propuesta aquí planteada, considerándose el caso

concreto expuesto. Para cada caso a considerar se debe platear un esquema de verificación y

validación de la red neuronal planteada[Pullum07].

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0 10 20 30 40 50 60

CV


CV X

CV Y

Capítulo 5

Optimización del Sistema

"Tal a Ulises le ladró el corazón indignado de tales vilezas,

pero él le increpó golpeándose el pecho y le dijo: "Calla ya,

corazón, que otras cosas más duras sufriste..."

Homero, La Odisea.

RESUMEN: Una vez presentada en el Capítulo 4 la arquitectura y viabilidad del

sistema neuronal a implementar como solución como sistema de seguimiento radar se

somete esta solución a un estudio de optimización de los parámetros propios de las

redes neuronales implementadas para alcanzar un comportamiento óptimo en la

estimación obtenida.

5.1 Elección de plataforma.

5.2 Introducción a la implementación del sistema.

5.3 Determinación de parámetros en la red neuronal.

5.4 Determinaciones de repeticiones Epochs.

5.5 Determinación del número de neuronas en la capa oculta.

5.6 Determinación de funciones de transferencia.

5.1. Elección de plataforma.

Para la implementación del algoritmo se ha considerado su desarrollo software en una

plataforma flexible y con garantías, la cual proporcione capacidad para modelar Redes

Neuronales de forma rápida y dinámica. Se ha escogido MATLAB (abreviatura de MATrix

LABoratory, "laboratorio de matrices") herramienta software para cálculo matemático que

ofrece un lenguaje de alto nivel (lenguaje M) con un entorno de desarrollo integrado (IDE).

Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux .

Entre las ventajas consideradas para la elección de MATLAT frente a otros paquetes software

se pueden destacar:

Amplio soporte matemático.

Alta precisión.

http://es.wikipedia.org/wiki/Unix

http://es.wikipedia.org/wiki/Windows

http://es.wikipedia.org/wiki/Mac_OS_X

http://es.wikipedia.org/wiki/GNU/Linux

5-2 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema

Amplio soporte de funciones ya desarrolladas en cálculo numérico y matricial.

Rápido prototipado.

Comunidad de uso muy extendida. Se ha convertido en un estándar por su uso en

prácticamente la totalidad de universidades del mundo.

Magnífica ayuda.

En esta herramienta se implementa una librería dedicada exclusivamente a Redes Neuronales.

Esta librería denominada Neural Network Toolbox™ facilitará la implementación y posterior

estudio del problema tratado en este trabajo. Al igual que en otras plataformas, está en

constante evolución y mejora, por lo cual hay que considerar los posibles cambios en la librería

y sobre todo sus posibles mejoras.

Una visión general sobre las librerías de MATLAB y sus posibilidades:

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de

datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI)

y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El

paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a

saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de

usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de

herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).

Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y desarrollo. En los

últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente

procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

La librería Neural Network Toolbox™ (“Caja de herramientas de Redes Neuronales)

proporciona instrumentos para el diseño, la realización, la visualización y simulación de redes

neuronales. Las redes neuronales son usadas para usos donde el análisis formal es difícil o

imposible, como el reconocimiento de modelo, la identificación de sistema no lineal y el

control. Esta caja de herramientas apoya redes anticipativas, redes de base radiales, redes

dinámicas, auto-organización de mapas, y otros paradigmas de red probados.

En concreto, las redes neuronales están compuestas de elementos simples que funcionan en

paralelo. Estos elementos están inspirados en sistemas biológicos nerviosos. Como en la

naturaleza, las conexiones entre estos elementos determinan la función de red. Se puede

entrenar una red neuronal para realizar una función particular ajustando los valores de las

conexiones (pesos) entre elementos. Típicamente las redes neuronales son ajustadas, o

entrenadas, de modo que una entrada particular conduzca a una salida específica objetivo.

La siguiente figura 5.1 ilustra tal situación. Aquí, la red es ajustada, basada en una comparación

de la salida con el objetivo, hasta que la salida de la red iguale al objetivo. En el caso tratado en

este documento serán necesarios una gran cantidad de pares de entrada/objetivo para entrenar

una red[Beale11].

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/GUI

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Hardware

http://es.wikipedia.org/wiki/Software

http://es.wikipedia.org/wiki/Procesador_digital_de_se%C3%B1al

http://es.wikipedia.org/wiki/VHDL


Figura 5.1 Representación general de una Red Neuronal en MATLAB[Beale11].

Las redes neuronales han sido entrenadas para realizar funciones complejas en varios

campos[Usero10], incluyendo el reconocimiento de modelo, la identificación, la clasificación, el

discurso, la visión, sistemas de control y, en el caso tratado en este trabajo, seguimiento o

“Tracking”. Igualmente, también pueden ser entrenadas para solucionar los problemas difíciles

de resolver con algoritmos y ordenadores convencionales.

En general, es de destacar su aplicación en lo relativo a:

Clasificación de patrones.

Identificación de características.

Reconocimiento de patrones.

Aproximación de funciones.

En sistemas que contengan información imprecisa.

La librería incorporada en MATLAB acentúa el empleo de los paradigmas de la Red Neuronal

que son usados en para la ingeniería, financiera, y otros usos prácticos [Beale11].

5.2. Introducción a la implementación del sistema.

Se implementa en esta herramienta la solución propuesta en el Capítulo 4 de este documento.

Cuando se construye una red de tipo backpropagation se deben tener en cuenta los siguientes

elementos:

El formato de los datos de entrada de la red, de forma que la red puede ajustarse a los

posibles parámetros de entrada.

El número de neuronas y capas que se desea implementar en dicha red. Es habitual

utilizar tres capas (capa de entrada/capa oculta/capa de salida). Normalmente un

número mayor de capas introduce una mayor dificultad en alcanzar la convergencia

de la red en el entrenamiento. Esta capa de entrada tendrá tantas neuronas como

parámetros de entrada tenga nuestra red. La capa de salida que debe de tener tantas

neuronas como parámetros de salida tenga nuestra red. Por último las capas ocultas

dependen de la estructura del problema que se desea estimar o resolver.

Las funciones de activación a implementar en cada capa. Estas funciones

determinarán el entrenamiento y funcionamiento de la red implementada.


La función de entrenamiento, con la que se debe ser especialmente cuidadoso, ya que

algunas pueden tardar mucho tiempo en alcanzar un entrenamiento adecuado,

teniendo facilidad para caer en mínimos locales.

La función de aprendizaje.

La función de cálculo del error.

Como ejemplo, para implementar una red neuronal con tres capas y las tres con funciones de

activación lineales, se utilizaría el siguiente comando:

Net = newff (I,[10,10,2],{'purelin','purelin','purelin'},'trainbr','learngd', 'mse')

10 neuronas de entrada en la capa de entrada.

10 neuronas en la capa oculta.

2 neuronas de salida en la capa de salida.

purelin como función de activación a utilizar en las tres capas.

trainbr como algoritmo de entrenamiento.

learngd como función de apredizaje.

mse como función de cálculo de error.

Se deben determinar los siguientes parámetros[Beale11]:

Formato de datos de Entrada

Numero de Capas ocultas.

Número de neuronas por Capa oculta.

Funciones de activación.

Función de Entrenamiento

Función de Aprendizaje

Función del cálculo de Error

Una vez definida la red neuronal a utilizar, es necesario entrenar esta red. Para ello se utilizarán

funciones de entrenamiento estándar, ya proporcionadas por la propia herramienta de

implementación, que nos permiten entrenar, dados unos datos de entrada y sus salidas

asociadas, la red implementada. Un ejemplo podría ser el siguiente:

Net = train(net,x,z)

net: red a entrenar.

x: datos de entrada.

z: salida esperada para los datos de entrada anteriores.

Resaltar que el entrenamiento, como se puede observar, es dirigido.

Vistas las posibles parametrizaciones que existen para una red neuronal de tipo Feedforward-

Backpropagation. Es necesario, determinar que valores para los parámetros anteriores permiten

obtener un mejor comportamiento de la red implementada, en este caso para el desarrollo de

un sistema neuronal[Navidad13] para el seguimiento de trayectorias[Brookner98] o “Tracking”.

Las pruebas detalladas a continuación se realizan sobre un ordenador con las siguientes

características:

Modelo HP ProBook 4520s

Procesador Intel® CoreTM i3 CPU M380 @ 2.53GHz.

Memoria 2GB

Sistema Operativo Windows7 64bits.


5.3. Determinación de parámetros en la red neuronal.

Una vez determinada la conveniencia de utilizar el desarrollo de una red neuronal Feedforward-

Backpropagation, se debe tener en cuenta varios parámetros configurables para que la solución

sea lo más precisa posible en la estimación realizada. Esto supone la realización y estudio de

diversas pruebas con variación y evaluación de uno o varios de los parámetros que definen red

neuronal, para obtener el mejor resultado. Este proceso llevará una cantidad de tiempo

importante a la hora de evaluar la solución implementada en cada momento.

Para resolver este problema de la implementación y alcanzar la mejor solución posible, se

decide realizar dentro del desarrollo software inicial una implementación complementaria que

permita la variación y evaluación de cada variable en unos rangos determinados, para, de esta

forma, poder evaluar la configuración más precisa en la estimación. Esta evaluación se realiza

en base los resultados obtenidos para un conjunto de funciones previamente especificadas con

cada uno de los valores/parámetros a considerar. Todo lo anteriormente expuesto, debe ser

tomado en consideración dentro de un rango de valores considerados para el parámetro de la

red neuronal bajo evaluación, el cual puede ser un rango numérico o simplemente una elección

dentro de una enumeración de posibles valores.

Las pruebas a realizar se realizarán sobre las siguientes trayectorias preestablecidas (figura 4.2):

Line

Astroid

Freeth

Hypocycloid

Nephroid

Se muestra a continuación las curvas, correspondientes al objetivo (perseguido), y trayectorias

definidas por el perseguidor (en azul el perseguido y en rojo el perseguidor).


Figura 5.2 Curva Line. (x=5). Figura 5.3 Curva Astroid.

Figura 5.4 Curva Freeth. Figura 5.5 Curva Hypocycloid

.

Figura 5.6 Curva Nephroid.


Como consideraciones previas para cada una de las pruebas se tienen:

a. La red neuronal a probar se entrenará con un conjunto de datos de entrenamiento

previo conformado por 10 trayectorias de 100 datos simulados en cada una de ellas

sobre los cuales se ha introducido un error gaussiano (figura 5.7). Este error se

introduce con el objetivo de adecuar los datos simulados a lo que serían datos reales.

b. Como función target a alcanzar en el entrenamiento de la red neuronal se utilizará la

trayectoria simulada sin error (trayectoria real simulada para el avión perseguidor, en

rojo en la figura 5.7).

c. Una vez entrenada, como trayectorias de validación para la red neuronal ya entrenada,

se utilizarán 20 trayectorias también con 100 datos simulados para cada una de ellas,

distintas de las utilizadas como conjunto de entrenamiento. Sobre cada dato de estas

trayectorias se introducirá un error gaussiano (figura 5.7), independiente del utilizado

para el entrenamiento. De nuevo, este error se introduce con el objetivo de adecuar

los datos simulados a lo que serían datos reales.

d. Dada la dependencia en los resultados obtenidos de los errores aleatorios introducidos

y de la posibilidad de que la red neuronal caiga en su entrenamiento mínimos locales,

que pudieran distorsionar los resultados obtenidos, las pruebas anteriores se repetirán

tres veces, reentrenado la red en cada una de estas iteraciones.

e. Considerando lo expuesto en los puntos anteriores se puede resumir que para cada

configuración se repetirá tres veces la siguiente secuencia:

i. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento con error aleatorio.

Función target a considerar en el entrenamiento sin error aleatorio.

ii. Entrenamiento de la red neuronal.

iii. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal con error

aleatorio.

iv. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar.

v. Valoración de resultados obtenidos.

Figura 5.7. Ejemplo de “Entrada X” y “Entrada X con ERROR” (gaussiano aleatorio en el

Tiempo).


Para punto v. anterior, valoración de resultados obtenidos, se utilizan las siguientes funciones

[Norvig95] como elementos a valorar:

MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X

y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las

veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.

MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.

MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y

la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las


DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X

y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una

de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada

X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de

las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

MSET: Error medio en la estimación calculado como la media de la distancia euclídea

entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por

trayectoria) de la validación.

Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de

computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada

caso de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido

en cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo

de cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.

Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de

computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como

sistema de tiempo real.

La representación algorítmica o planteamiento genérico a nivel software para la recopilación de

valores en las funciones a evaluar sería la siguiente para cada parámetro en la red neuronal (i) a

determinar:

Rango de la variable = Rango

Margen inferior del rango = Marg_inf

Margen superior del rango = Marg_sup

Error Optimo = Maximo

Bucle(net)

{

For i=Marg_inf to Marg_sup

{

Error = Calculo_Error(net(x))

If Error < Error_optimo

{

Error_optimo = Error

}

}

}

Algoritmo general para evaluación de parámetros.


Como algoritmo de entrenamiento su utilizará Levenberg-Marquardt backpropagation para todas las

pruebas que se van a realizar. La función correspondiente que lo implementa en MATLAB es

“trainlm”.

El entrenamiento “trainlm” se aplica en una red que entrena la función que actualiza el peso

y valores de tendencia según la optimización Levenberg-Marquardt. El “trainlm” es a menudo

el algoritmo más rápido en backpropagation, recomendándose como una primera opción para

un algoritmo supervisado, aunque este algoritmo requiera más memoria que otros[MathWorks14].

El estudio se centrará en redes neuronales con una única capa oculta, las cuales en teoría, y de

acuerdo a los resultados iniciales mostrados en el capítulo 4, resuelven el problema planteado

en este estudio.

Las pruebas descritas se centrarán en determinar:

i. Número de epochs (repeticiones en el entrenamiento) suficientes para alcanzar un

entrenamiento correcto (con la posibilidad, siempre existente, de caer en un mínimo

local). Se detalla en apartado 5.4 de este capítulo.

ii. Determinación del número de neuronas en la capa oculta que permita estimar con

mayor precisión las trayectorias a determinar. Se detalla en apartado 5.5 de este

capítulo.

iii. Determinación de las funciones de activación a utilizar entre capa de entrada-capa

oculta y capa oculta-capa de salida. Estas funciones de activación determinarán en

gran medida los resultados obtenidos. Se detalla en apartado 5.6 de este capítulo.

5.4. Determinación de repeticiones Epochs.

El propósito del entrenamiento en una red neuronal es ajustar los pesos de la misma para, a partir de las entradas proporcionadas a la red, tratar de minimizar el error medio cuadrático entre los valores obtenidos por la red neuronal y la función que se define como objetivo.

Para esto se debe disponer de un conjunto de entrenamiento suficientemente grande, el cual será probado de forma reiterada con la red neuronal. Si este entrenamiento es suficientemente largo, el error deberá decrecer de forma asintótica a la línea horizontal y=0.

En este caso, como se indicó en puntos anteriores, se definen los siguientes parámetros:

Función target: trayectoria del avión perseguidor sin error. Este sería el valor estimado considerado como óptimo para cada entrada en la ejecución de la red neuronal. Esta trayectoria sin error se utiliza única y exclusivamente para este entrenamiento.

Conjunto de entradas para el entrenamiento: datos simulados generados para la trayectoria que se quiere entrenar.

Epochs: número de veces que como máximo se presentarán las entradas anteriores a la red neuronal para tratar de ajustar sus pesos de cara a alcanzar la función target.

Debe tenerse en cuenta que, en la solución propuesta en este documento, el entrenamiento de la red se plantea como un trabajo a realizar off-line, con lo cual, no afectará a la estimación en tiempo real de la solución propuesta. Eso si, para un buen comportamiento del sistema será crucial que este entrenamiento sea correcto.

Así mismo, es importante dejar claro en todo momento, que, como debe hacerse, los datos para validación y prueba de la red ya entrenada.


El número de repeticiones en el entrenamiento, epochs, deberá ser suficientemente grande para alcanzar un mínimo en el error en la estimación.

Para evitar un sobreentrenamiento, la propia función implementada por MATLAB detiene el entrenamiento cuando detecta que el error no decrece. Siempre existirá la posibilidad de haber caído en un mínimo local, lo cual sería detectado en la fase posterior de validación.

En este punto se estudiarán el número de epochs máximo para conseguir un correcto entrenamiento de la red neuronal, considerándose diferentes curvas.

Se toma como modelo la configuración de red con la arquitectura (número de capas ocultas, número de neuronas en las capas ocultas y funciones de transferencia) expuesta en la figura 5.8.

Figura 5.8. Red Neuronal Implementada para definición de epochs.

En las figuras siguientes, se muestran diferentes ejemplos de cómo el error medio cuadrático disminuye de forma asintótica cuanto mayor sea el número de epochs.

El objetivo es estimar un número máximo de iteraciones a ejecutar para conseguir un entrenamiento adecuado de la red neuronal, es decir, donde se rebaje el error máximo admitido.

Para ello se analizarán y mostrarán diversos ejemplos representativos del entrenamiento realizado con las curvas tratadas.

Como se puede comprobar en la figura 5.9 el error cuadrático disminuye asintóticamente con el número de epochs. Se establece el requisito de establecer el número de epochs aproximado para permitir alcanzar un error cuadrático por debajo de cierto umbral. Una vez alcanzado este número de epochs la mejora en el error no será significativa, quedando el mismo estabilizado sin que más iteraciones en el entrenamiento mejoren de forma significativa el comportamiento de la red.

Debido a que la red neuronal se inicializa con pesos aleatorios, y las trayectorias de entrenamiento se generan también con errores aleatorios, el número de iteraciones necesarias para alcanzar la estabilización del error medio cuadrático puede variar de forma significativa de un caso de entrenamiento a otro.

Lo anteriormente expuesto se puede observar en las figuras 5.9 a 5.19, expuestas a modo de ejemplo de las diferentes simulaciones realizadas. El error en la estimación de la red neuronal


respecto a la función objetivo se estabiliza en el peor de los casos en torno a 5·10-3, siendo muy frecuente alcanzar esta estabilización en un error en torno a 2·10-2.

Figura 5.9 Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 1831




Figura 5.12 Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 400.

Figura 5.13 Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 34


Figura 5.14 Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 205

Figura 5.15 Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 1831

Figura 5.16 Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 310


Figura 5.17 Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 126

Figura 5.18 Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 1141

Figura 5.19 Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 290


Como límite superior en los casos de entrenamiento realizados, de forma empírica, se estable un umbral de 2000 en el número de iteraciones máximo a ejecutar en el entrenamiento. Es importante destacar que, una vez alcanzada esta estabilización en el error, el propio MATLAB para el entrenamiento de la red neuronal, dándolo por bueno para la posterior validación.

En la gran cantidad de entrenamientos y validaciones realizadas en puntos posteriores (más de 1000 entrenamientos, con sus correspondientes validaciones), en prácticamente el 100% de los casos se ha alcanzado un mínimo en el error de la estimación de la red neuronal frente a los valores considerados en la función objetivo. De esta forma se puede considerar que este número máximo de iteraciones, epochs, es apropiado.

No se considera conveniente disminuir el mismo, puesto que se podría dar el caso de detener el entrenamiento antes de haber alcanzado la estabilización requerida en el error.

Tal y como se expuso al principio de este punto, es necesario dejar claro que en el sistema de seguimiento propuesto en este documento, este entrenamiento siempre se ejecutaría de forma off-line para las trayectorias consideradas, sin que afectase en ningún momento a los requisitos temporales que, como sistema de tiempo real, este sistema pudiera tener.

Este es el motivo de que se adopte una postura conservadora, no siendo necesario ajustar en exceso este número de epochs, a un límite insuficiente, demasiado bajo como para que pudiera provocar no alcanzar el umbral error que la propia red neuronal pudiera conseguir.

Todas las pruebas realizadas a continuación se realizan con una configuración de número de epochs igual a 2000.

5.5. Determinación del número de neuronas en la capa oculta.

Lamentablemente, no existe una regla para determinar el número de neuronas en las capas internas de una red neuronal[Usero10].

En este punto se plantea como objetivo determinar la mejor elección en cuanto al número de neuronas en la capa oculta en la red neuronal. Para ello se delimita para esta prueba una serie de variables para el programa.

Se designa el número de Neuronas en la Capa Oculta como una variable que determinará la capacidad de adaptación de la red neuronal ante el problema a resolver.

En este caso concreto, este número de neuronas a considerar en la capa oculta de las redes utilizadas determinará en gran medida la capacidad de adaptación y aprendizaje de la solución propuesta, determinando por consiguiente el comportamiento y exactitud en la estimación realizada para el problema tratado.

El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de red neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.

Las pruebas se ejecutan para un intervalo predeterminado de valores posibles en la variable considerada, en este caso el número de neuronas de la capa oculta.

Este intervalo de valores se define como [1-30]. Un número de neuronas superior a 30 no aporta ningún beneficio al considerar la complejidad computacional y coste de tiempo de ejecución, inasumible en un algoritmo de seguimiento con las restricciones temporales


predefinidas para el problema aquí tratado. Es más, se comprueba que un número superior de neuronas no introduce un error significativamente menor.

Con el objetivo para conseguir la máxima exactitud en la estimación obtenida de la solución

propuesta, se trata de escoger un límite superior al intervalo con el mínimo valor posible;

cuantas menos neuronas se utilicen, el cálculo será más rápido y eficiente, factor determinante

en sistemas con requerimientos de tiempo real. Se define el margen entre 0 y 30 como margen

de variable introducida en el programa.

Se realizan las pruebas detalladas a continuación:

i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line,

astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figuras 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 y 5.6).

ii. Para cada prueba se variará el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo

[1.30].

iii. Cada prueba, para un tipo de trayectoria previamente definido (i.), constará de tres

casos de prueba definidos cada uno de ellos por:

a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los

datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el

entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).

b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores.

c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,

incorporando error aleatorio en todos sus datos.

d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como

datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior.

e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones

obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba, variando

el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30].

iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X

como la Y.

Como criterios estadísticos a considerar en la valoración, tal y como se describe en el punto

5.1 de este capítulo se consideran las siguientes funciones:

MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X

y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las


MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.

MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.

MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y

la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las


DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X

y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una

de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada

X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de

las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

MSET: Error medio en la estimación calculado como la distancia euclídea obtenida con

el MSE anteriormente calculado para la componente X y la componente Y para


veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) de la validación. Es una

medida del error final obtenido en la estimación, como la diferencia entre la posición

real y la estimada.

Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de

computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada caso

de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido en

cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo de

cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.

Como resultado de todo lo anterior, las conclusiones finales se derivarán de las estimaciones

obtenidas en tres casos de prueba, a ejecutar sobre cinco trayectorias distintas, variando en

número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30], con veinte trayectorias para cada

número de neuronas considerado, con 100 datos por trayectoria. Esto quiere decir que,

después de estas pruebas se habrán realizado un total de 900.000 estimaciones, valor más que

suficiente para enjuiciar el comportamiento global del sistema propuesto.

Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de

computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como

sistema de tiempo real.

5.5.1 Pruebas trayectoria Line.

En el Anexo A Apéndice 1 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba

anteriormente detallados y descritos aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una

trayectoria de persecución Line.

La curva se define como:

x = '5'; y = 't';

Se exponen en este Anexo A Apéndice 1 para esta trayectoria las siguientes figuras y tablas:

i. Figura AP1.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Line.

ii. Tablas AP1.1, AP1.4 y AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– para los

tres casos de prueba. Se presentan datos relativos a MSE, MIN, MAX, MAE,

DESVTIP, CV y TCOMP.

iii. Tablas AP1.2, AP1.5 y AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y– para los

tres casos de prueba. Se presentan datos relativos a MSE, MIN, MAX, MAE,

DESVTIP, CV y TCOMP.

iv. Tabla AP1.3, AP1.6 y AP1.9. Resultados relativos al Error medio (MSET) en

estimación Trayectoria Line para los tres casos de pruebas.

v. Figuras AP1.2, AP1.6 y AP1.10. Figuras relativas a las tablas MSET del punto iv.

anterior.

vi. Figuras AP1.3, AP1.7 y AP1.11. Figuras relativas al tiempo de computación (TCOMP)

detallado en las tablas del punto i. y ii. anteriores.

vii. Figuras AP1.4, AP1.8 y AP1.12. Figuras relativas a la desviación típica (DESVTIP)

detallada en las tablas del punto i. y ii. anteriores.


viii. Figuras AP1.5, AP1.9 y AP1.13. Figuras relativas a los errores medio máximo (MAX)

y mínimo (MIN) para la componente X detallados en la tabla del punto i. anterior.

ix. Figura AP1.14. Figura relativa al error medio (MSET) obtenido en todos los casos de

prueba detallados en las tablas del punto iv. anterior.

x. Figura AP1.15. Figura relativa al error medio mínimo (MSETMIN) considerado como

el resultado final obtenido para un entrenamiento correcto.

xi. Tabla AP1.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en los tres casos de

prueba (tablas relacionadas en punto vi. anterior).

xii. Figura AP1.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres

simulaciones (datos tabla AP1.10, punto xi. anterior).

En los resultados anteriores se puede observar que el error obtenido para las estimaciones

realizadas para la componente X (ver tablas reseñadas en el punto ii anterior) y componente Y

(ver tablas reseñadas en el punto iii anterior), considerando los tres casos de pruebas y sesenta

trayectorias estimadas (con 100 datos por trayectoria), 20 trayectorias en cada caso de prueba,

se mueven en un rango de valores similar, resultado esperado considerando que no existe

correlación entre ambas componentes y, como se detalló en el Capítulo 4, se utiliza un sistema

neuronal independiente para cada componente, teniendo ambos sistemas la misma

arquitectura y un entrenamiento independiente.

Este comportamiento es común a todas las funciones de evaluación consideradas, sin que sea

necesario diferenciar un comportamiento distinto en ningún momento entre una componente

u otra.

Considerando como parámetro fundamental a optimizar el error medio (distancia euclídea

entre la estimación y la función objetivo) (ver figuras reseñadas en los puntos v., ix., y x

anteriores) en la estimación final se puede observar que conforme se aumenta el número de

neuronas en la capa intermedia, inicialmente se produce un decremento rápido en este error,

alcanzando rápidamente el mínimo. En este caso los resultados óptimos (MSET en el rango

[0.0071, 0.0079]) se obtienen para un número de neuronas en la capa oculta en el rango [5-8],

obteniéndose el valor óptimo (0,00714782) en este caso para cinco neuronas en la capa

intermedia.

Este bajo número de neuronas es fácilmente explicable considerando la mejora en

adaptabilidad a la solución buscada que va adquiriendo el sistema conforme se aumentan las

neuronas en la capa oculta.

No obstante, teóricamente se llega a un punto en el que aumentar el número de neuronas en

esta capa oculta no provoca ninguna ganancia sobre la estimación final obtenida. Esto ocurre

en este caso de prueba a partir de la sexta neurona, donde no existe mejora en la estimación.

Es más, en las figuras AP1.2, AP1.6 y AP1.10 (error MSET en cada caso de prueba),

resumidas en la figura AP1.14 (ver figura 5.20 presentada a continuación), se puede observar

que un aumento en el número de neuronas implica un lento pero paulatino incremento en el

error en la estimación. Este comportamiento es una constante en las tres simulaciones.

Esto es debido a que con este aumento de neuronas en la capa oculta se incrementa también el

número de pesos a ajustar en el entrenamiento previo, lo cual provoca que este sea más

costoso desde el punto de vista del esfuerzo en cuanto a número de muestras a presentar. A

igualdad de muestras presentadas, como se da en este caso, lo normal es que con un número

de neuronas excesivamente alto no se consiga un entrenamiento óptimo.


Figura 5.20. Line. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).

Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9).

Considerándose que siempre existe cierta incertidumbre y aleatoriedad en el entrenamiento de

un sistema neuronal, provocado por la propia definición del propio entrenamiento (valga la

redundancia), debe tomarse como forma habitual de trabajar el someter al sistema a diferentes

entrenamientos, como se ha realizado en los tres casos de prueba para este punto

considerados, sometiendo los sistemas ya entrenados a unos casos de validación, quedando

como resultado final aquel sistema que proporcione mejores resultados, o estimaciones en

nuestro caso.

Expuesto lo anterior, en este caso de estudio se consideraría siempre aquel sistema cuyas redes

proporcionasen el mínimo error medio (MSET) ante las estimaciones en los casos de

validación.

En la figura 5.21 (detallada en figura AP1.14 del Anexo A Apéndice 1) se presenta el error

medio mínimo (MSETMIN) para los casos de prueba anteriormente expuestos, pudiéndose

comprobar todas las aseveraciones anteriormente expuestas.

Figura 5.21. Line. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y

Nº de neuronas en la capa oculta

CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Con el mismo razonamiento anteriormente expuesto puede aplicarse a la desviación típica

mostrada en los resultados obtenidos (ver figuras detalladas en el punto vii. anterior, figuras

AP1.4, AP1.8 y AP1.12). Conforme se produce un incremento en el error en la estimación, la

dispersión de las estimaciones aumenta, incrementándose de forma paulatina la dispersión

típica en las estimaciones realizadas.

Los valores máximo (MAX) y mínimo (MIN) obtenidos en los errores en las estimaciones no

hacen más que refrendar lo anteriormente expuesto, aumentando su separación conforme

aumenta el error en la estimación y la desviación típica (ver figuras detalladas en el punto viii.

anterior, figuras AP1.5, AP1.9 y AP1.13).

Un factor fundamental a evaluar, tratándose de un sistema en el que requerimientos de tiempo

real deben ser satisfechos, es la limitación en el tiempo de cálculo. Un aspecto determinante en

relación a esto es tratar de limitar el tiempo necesario por el sistema en realizar las

estimaciones requeridas.

Debido al modus operandi de las redes neuronales, donde a partir de unos datos de entrada se

obtienen los correspondientes de salida en base a un conjunto constante de multiplicaciones,

sumas y funciones de activación a evaluar, se puede observar como este sistema se adapta

perfectamente a este tipo de requisitos, presentando un tiempo de cómputo prácticamente

constante (véase figuras detalladas en el punto vi., figuras AP1.3, AP1.7 y AP1.11, y punto xi.,

figura AP1.16).

En las diversas pruebas realizadas, el tiempo de computación propio de este software se

considera muy estable (ver figura 5.22) y constante. Las variaciones que se puedan presentar

son debidas a alteraciones en el ordenador (cambio de condiciones por presencia de otros

paquetes software instalados o comportamiento del propio sistema operativo) donde se

ejecutan las pruebas.

En la figura 5.22 se puede observar el tiempo de computación medido para un caso de prueba

completo (estimación de 20 trayectorias, con 100 datos/trayectoria, con el número de

neuronas en la capa oculta considerado).

Figura 5.22. Line. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos

tabla AP1.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas de la

capa intermedia.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Se puede comprobar la existencia de una tendencia ligeramente creciente en el tiempo de

computación requerido conforme se aumentan el número de neuronas manteniéndose los

valores en el intervalo [0.48, 0.55], perfectamente limitado y acotado.

5.5.2 Pruebas trayectoria Astroid.

En el Anexo A Apéndice 2 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba ya

detallados y descritos, aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una trayectoria de

persecución Astroid.

La curva se define como:

x = 'cos(t).^3'; y = 'sin(t).^3';

Se exponen en este Anexo A Apéndice 2 para esta trayectoria las mismas figuras y tablas

expuestas para la trayectoria anterior, referenciadas al Apéndice 2 (AP2.X).

En este caso, como en ejemplos sucesivos, se refrenda el comportamiento independiente en la

estimación de la coordenada X y la coordenada Y. Esto será de aplicación a todos los casos

presentados.

En la figura 5.23 se presentan los errores (MSET) obtenidos para cada uno de los tres casos de

prueba (figuras AP2.2, AP2.6 y AP2.10).

Figura 5.23. Astroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).

Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9).

De nuevo se observa un comportamiento similar al descrito en el punto anterior. Inicialmente,

conforme se aumenta el número de neuronas, se produce un descenso en el error (MSET)

obtenido en la estimación hasta alcanzar unos valores mínimos, a partir de los cuales el

incremento en el número de neuronas implica que el entrenamiento a realizar suponga un

mayor esfuerzo y por lo tanto hace más difícil alcanzar valores mínimos.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y


CP1

CP2

CP3


Lo anterior queda claramente refrendado observando en la figura 5.24 el error mínimo

(MSETMIN) obtenido en los tres casos de pruebas, donde claramente se observa un margen

óptimo en el número de neuronas de [8, 12] neuronas.

Figura 5.24. Astroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

El incremento en el número de neuronas necesarias para alcanzar una estimación óptima viene

motivado por la mayor complejidad de la curva a estimar, lo cual hace necesario un mayor

número de neuronas para, de esta forma poder ajustar la estimación.

El valor óptimo de error en la estimación se obtiene para 12 neuronas (0,00628184),

ligeramente mejor al obtenido en el caso anterior.

El margen de error para el intervalo óptimo de neuronas viene delimitado por [0.0062, 0.0069]

(para el intervalo de [8, 12] neuronas.

Al igual que en caso anterior, se puede comprobar con los datos proporcionados en el

Apéndice 2 que los datos correspondientes a desviación típica y valores máximo/mínimo en

los errores y desviaciones típicas en ambas componentes X/Y se corresponden con los valores

esperados de acuerdo a los errores MSET anteriormente expuestos.

Por último es importante destacar que el tiempo de computación (TCOMP) se mueve en

valores muy similares a los presentados en el caso anterior (véase figura 5.25).

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Figura 5.25. Astroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos


capa intermedia.

De nuevo, se puede comprobar la existencia de una tendencia ligeramente creciente en el

tiempo de computación requerido conforme se aumentan el número de neuronas

manteniéndose los valores en el intervalo [0.48, 0.57], muy similares a los obtenidos para el

caso anterior.

5.5.3 Pruebas trayectoria Freeth.



persecución Freeth.

Esta curva se define como:

x = 'cos(t)+cos(2*t)+cos(3*t)'; y = 'sin(t)+sin(2*t)+sin(3*t)';


expuestas para las trayectorias anteriores, referenciadas al Apéndice 3 (AP3.X).

Observándose un comportamiento análogo a los casos de pruebas para las anteriores

trayectorias, como aspectos a resaltar se puede detallar lo expuesto a continuación.

En la figura 5.27 se puede observar que se mantiene el comportamiento detallado en los casos

anteriores.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Figura 5.26. Freeth. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).

Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9).

Observando en detalle los errores (MSET) obtenidos en los mejores casos, en la figura 5.27 se

puede observar que el resultado óptimo se obtiene para un número de neuronas mayor a los

casos anteriores. En este caso, el valor óptimo se alcanza para 15 neuronas, con un error de

0,00759254.

Figura 5.27. Freeth. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

Sin duda alguna, este incremento en el número de neuronas viene motivado de nuevo por el

incremento en la complejidad de la curva a estimar, frente a los casos anteriores,

consiguiéndose una mejor estimación con un mayor número de neuronas.

No obstante, en este caso se puede observar en la figura 5.27 que, motivado por la dificultad

en la aproximación a esta curva, hasta alcanzar 25 neuronas no queda claramente definida la

tendencia del error obtenido en la aproximación, manteniéndose oscilando en torno al valor

0,008. A partir de este numero de neuronas si se empieza a detectar un incremento en el error

obtenido, motivado por la dificultad de entrenar correctamente la red (conforme se detalló en

la primera prueba realizada).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y


CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Se puede determinar que en el intervalo comprendido en [7,25] neuronas, el error MSET oscila

en el intervalo [0.0075, 0.0084].

En lo relativo al tiempo de computación empleado (TCOMP), refrendar en base a los

resultados representados en la figura 5.28, los obtenidos para las pruebas anteriores. De nuevo

se obtienen valores similares, quedando el tiempo de computación para cada conjunto de 20

trayectorias incluido en el intervalo [0.48,0.56], presentándose una tendencia ligeramente

creciente conforme se aumenta el número de neuronas.

Figura 5.28. Freeth. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos


capa intermedia.

5.5.4 Pruebas trayectoria Hypocycloid.



persecución Hypocycloid.


x = '(3-2)*cos(t)+cos((3-2)*t/3)';

y = '(3-2)*sin(t)-sin((3-2)*t/3)';



En este caso de prueba se puede observar en las figuras 5.29 y 5.30 que, de forma similar a

casos anteriores, salvo alteraciones provocadas por la caída de la configuración de la red

neuronal en mínimos locales durante el entrenamiento, el error en la estimación se mantiene

muy estable, con un ligero incremento lineal a partir de cierto número de neuronas.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

tiem

po

sg



Figura 5.29. Hypocycloid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba

(CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9).

Igualmente en esta figura 5.29 se puede ver claramente como la posibilidad de alcanzar un

mínimo local se incrementa conforme se aumenta el número de neuronas, alcanzándose los

mejores resultados con un numero de neuronas bajo.

Los mejores resultados se obtienen considerando un número de neuronas en el intervalo [8,16]

alcanzándose errores MSE en la estimación en el intervalo [0.006882, 0.007228] (véase figura

5.30).

Figura 5.30. Hypocycloid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

Los resultados obtenidos en relación al tiempo de computación, figura 5.31, corroboran lo

expuesto en casos anteriores manteniéndose un comportamiento extraordinariamente lineal,

con un ligero incremento conforme se incrementa el número de neuronas, motivado por el

aumento en el número de operaciones a realizar (siempre constante una vez fijada la

configuración de la red neuronal).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y


CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y



Figura 5.31. Hypocycloid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo

(datos tabla AP4.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas

de la capa intermedia.

5.5.5 Pruebas trayectoria Nephroid.



persecución Nephroid.


x = '3*cos(t)-cos(3*t)';

y = '3*sin(t)-sin(3*t)';



Para este caso de prueba, según se puedo observar en las figuras 5.43 y 5.33, los mejores

resultados se obtienen para un número de neuronas en el intervalo [7-11].

Figura 5.32. Nephroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba

(CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TC

OM

P (

sg)


0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y


CP1

CP2

CP3


En este intervalo los errores obtenidos oscilan en el intervalo [0.0072,0.0075].

No obstante, a diferencia de casos anteriores, en la figura 5.32, se puede observar un

comportamiento excelente para el caso concreto con 20 neuronas, obteniéndose un error en

los tres casos de pruebas comprendido en el intervalo [0.0069, 0.0075].

Observando los resultados obtenidos en los tres casos de pruebas se pueden considerar como

casos más favorables, el caso anterior de 20 neuronas con error [0,0690464] o el caso con 11

neuronas, con error obtenido de [0,0726438].

Figura 5.33. Nephroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

Considerándose como en ejemplos anteriores el tiempo de computación empleado para la

estimación de cada conjunto de 20 trayectorias, en la figura 5.34 se puede verificar el mismo

comportamiento detectado en los casos anteriores, se encuentra en el intervalo

[0.0047,0.5247], con una tendencia ligeramente creciente conforme se aumentan el número de

neuronas.

Figura 5.34. Nephroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo

(datos tabla AP5.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas

de la capa intermedia.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MS

EX

Y


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TC

OM

P (

sg)



5.5.6 Resumen de resultados obtenidos.

Como resumen de este apartado para la estimación del número de neuronas a implementar en

la capa oculta del sistema neuronal de seguimiento implementado se presenta la tabla 5.1 con

los datos obtenidos en los puntos anteriores.

TR NOP/MSET IOP/IMSET ITCOMP

Li 5/0,00714782 [5,8]/ [0.0071, 0.0079] [0.48, 0.55] As 12/0,00628184 [8,12]/ [0.0062, 0.0069] [0.48, 0.57] Fr 15/0,00759254 [7,25]/ [0.0075, 0.0084] [0.48,0.56] Hy 8/0,00688232 [8,16]/ [0.0068, 0.0072] [0.47, 0.57]

Ne 20/0,0690464 [8,11]/ [0.0069,0.0075] [20,20]/ [0.0069,0.0075]

[0.47,0.53]

Tabla 5.1. Optimización del Número de Neuronas de la Red Neuronal Backpropagation en la Capa Oculta por tipo de trayectoria.

· TR: Trayectoria (Li –Line-, As –Astroid-, Fr –Freeth-, Hy –Hypocycloid-, Ne –Nephroid-).

· NOP/MSET: Número óptimo de neuronas capa oculta/Error Medio Cuadrático óptimo en

la estimación.

· IOP/IMSET: Intervalo en el número de neuronas óptimo/Intervalo del Error Medio

Cuadrático para este intervalo.

· ITCOMP: Intervalo en el tiempo de computación requerido para cada caso de prueba (20

trayectorias).

Se pueden obtener las siguientes conclusiones:

i. Al haber implementado el sistema como dos redes neuronales (red neuronal de

predicción y red neuronal de suavizamiento, figura 4.5) se alcanzan los mejores

resultados con un número de neuronas relativamente bajo. El intervalo para este

número de neuronas se define como [5-25]. Una única red neuronal, integrando todas

las entradas consideradas hubiera implicado un mayor número de neuronas en la capa

oculta, dificultando también el entrenamiento de la misma.

ii. El número de neuronas a implementar en la capa oculta viene determinado por la

complejidad de la trayectoria a estimar. Para trayectorias muy simples (line, ver figura

5.2) con 5 neuronas se obtiene el resultado óptimo. Para trayectorias de mayor

complejidad (freeth o nephroid, ver figuras 5.4 y 5.6) el número de neuronas

estimadas se eleva a [15,20] neuronas.

iii. Un número superior a 20 neuronas en la capa oculta, generalmente no aporta

beneficios en la estimación. Es más, dificulta un entrenamiento correcto, no

alcanzándose una convergencia en la configuración de la red neuronal que mejore los

resultados obtenidos con un menor número de neuronas.

iv. Con la configuración actual del sistema, se obtienen unos resultados muy homogéneos

en cuanto al error en la estimación, manteniéndose siempre en el intervalo [0.006,

0.008].


v. Como era de esperar, debido a la propia configuración y forma de trabajo de cualquier

red neuronal, el tiempo de cómputo necesario para la estimación se mantiene

extraordinariamente estable. Esto da un gran valor a la solución en lo referente a su

implementación a implantación en un sistema de tiempo real, donde los requisitos

temporales deben estar perfectamente especificados y delimitados.

Es importante resaltar que las conclusiones anteriores se han obtenido en cada caso en base a

la validación del sistema con 20 trayectorias distintas, cada una de ellas con sus propios errores

aleatorios introducidos de forma independiente en cada una de ellas. Este hecho confiere una

confianza importante en lo referente a la fiabilidad y correspondencia con la realidad de los


5.6. Determinación de las funciones de transferencia.

En el caso de estudio a afrontar en este punto se plantea como objetivo determinar la mejor

elección en cuanto a las funciones de transferencia a utilizar tanto en la Capa Oculta y como

en la Capa de Salida de las redes utilizadas (ver figura 5.35) dependiendo del tipo de

trayectorias a estimar.

Figura 5.35. Funciones de transferencia en una red con tres capas, similar a las utilizadas en el

sistema bajo estudio en este documento.

En este caso concreto, este las funciones de transferencia a implementar determinará en gran

medida la capacidad de adaptación y aprendizaje de la solución propuesta, determinando por

consiguiente el comportamiento y exactitud en la estimación realizada para el problema

tratado.

La función de transferencia o de activación se encarga de calcular el nivel de activación de la

neurona en función de la entrada total, también denota la salida de la neurona (figura 5.36). Se

pueden identificar tres tipos básicos de funciones de transferencia: las funciones de umbral, en

las cuales la salida es un valor discreto que supera o no un determinado umbral, existen

también las funciones lineales o al menos en una parte (picewise linear), y finalmente están las

funciones no lineales en donde las “funciones sigmoidales” son las más habituales.


Figura 5.36. Modelo computacional de una neurona. La salida total ‘a’ de la neurona está dada

por el resultado de la función de transferencia aplicada a la variable ‘n’, la cual es la suma

ponderada de sus entradas.

En las tablas 5.2 y 5.3 se puede observar las funciones de transferencia definidas en MATLAB

para definir las neuronas de la red neuronal, tanto en la capa oculta como en la de salida:

compet Competitive transfer function

hardlim Hard-limit transfer function

hardlims Symmetric hard-limit transfer function

logsig Log-sigmoid transfer function

netinv Inverse transfer function

poslin Positive linear transfer function

purelin Linear transfer function

radbas Radial basis transfer function

radbasn Normalized radial basis transfer function

satlin Saturating linear transfer function

satlins Symmetric saturating linear transfer function

softmax Soft max transfer function

tansig Hyperbolic tangent sigmoid transfer function

tribas Triangular basis transfer function

Tabla 5.2. Funciones de Transferencia definidas en MATLAB[Hudson11]

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/compet.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/hardlim.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/hardlims.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/logsig.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/netinv.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/poslin.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/purelin.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/radbas.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/radbasn.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/satlin.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/satlins.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/softmax.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/tansig.html

jar:file:///C:/Archivos%20de%20programa/MATLAB/R2011b/help/toolbox/nnet/help.jar%21/ref/tribas.html


Tabla 5.3. Principales funciones de transferencia en MATLAB[Hudson11].

Figura 5.37. Ejemplos de funciones de transferencia en MATLAB[Hudson11].




astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).

ii. Para cada prueba se considerará la utilización de una función de transferencia en la

capa oculta y otra en la capa de salida. Se toma como conjunto de funciones de

transferencia el especificado en la tabla 5.2, probándose todas las combinaciones

posibles.

iii. Cada prueba (configuración concreta con una función de transferencia para la capa

oculta y otra para la capa de salida), para un tipo de trayectoria previamente definido

(i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:










obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba,

considerándose las funciones de transferencia utilizadas (ii).


como la Y.

El resto de parámetros de las redes neuronales se configura de acuerdo a la tabla 5.4.

TRAYECTORIA (CURVA)

NEURONAS EN LA CAPA OCULTA

“Epochs”

Line 5 2000

Astroid 12 2000

Freeth 15 2000

Hypocycloid 8 2000

Nephroid 20 2000

Tabla 5.4. Configuración de parámetros de las redes neuronales. Número de neuronas en la

capa oculta el tomado como óptimo en el punto anterior.

Si bien se obtienen en las distintos casos de prueba los mismas variables estadísticas

consideradas para los casos de prueba del punto anterior, en este caso se valorará únicamente

el error medio en la estimación (MSET), calculado como la media de la distancia euclídea



Para cada tipo de trayectoria, la prueba se repetiré en tres simulaciones (cada una de ellas con

sus veinte trayectorias, generadas de forma independiente, y entrenamiento independiente del

sistema en cada simulación), tomando como resultado final el mínimo valor de error MSET

obtenido en las tres simulaciones para cada configuración de funciones de transferencia. Con

esta elección del mínimo de las tres simulaciones, como en el caso anterior, se pretende


eliminar aquellos casos en los que el entrenamiento del sistema provoque la caída en mínimos

locales.

Los resultados se reflejan en tablas con la siguiente estructura:

El eje Vertical corresponde a la Función de Transferencia de la Capa Oculta.

El eje Horizontal corresponde a la Función de Transferencia de la Capa de Salida.

En cada casilla se muestra el error MSET obtenido para la configuración de funciones

de transferencia determinada por los ejes (MSET mínimo para la tabla “global” o

MSET calculado para las tablas correspondientes a cada simulación).

Los resultados obtenidos se presentan en tablas expuestas a continuación donde cada dato

correspondiente al error MSET para una cierta configuración de la red neuronal se clasifica en

base al siguiente código de colores:

Rojo: error alto.

Naranja/amarillo: error intermedio.

Verde: error bajo. La mejor estimación se resalta enmarcando la casilla

correspondiente.

5.6.1 Pruebas trayectoria Line.

En el Anexo B, apartado B.3, en las tablas B.2, B.3, B.4 y B5 se pueden ver de forma detallada

los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la variable

estadística MSET.

De los resultados obtenidos, rápidamente se puede concluir que la elección en cuanto a las

funciones de transferencia a utilizar condiciona de forma determinante el comportamiento del

sistema, llegando a incrementar su error en un 700%.

Figura 5.38. Trayectoria Line. Error en la estimación (MSET, tabla B.5) dependiendo de las

funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en eje horizontal FT

para la capa de salida].

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

Err

or

MS

ET

Función de transferencia Capa de Salida

compet

hardlim

hardlims

logsig

netinv

poslin

purelin

radbasn

satlin

satlins

softmax

tansig


Como corroboración de los resultados obtenidos, en la figura 5.38 se puede observar que la

elección de la función de transferencia en la capa de salida (FT dentro del gráfico) condiciona

de forma determinante los resultados a obtener en la estimación, independientemente de la

función elegida para la capa oculta.

Se pueden extraer las conclusiones expuestas a continuación:

i. Funciones de transferencia capa de salida:

Se puede observar que hay funciones de transferencia que no se deben escoger

como función de salida, debido a que el error es siempre muy elevado. Estas

funciones de transferencia de salida son compet, hardlim, hardlims, radbasn y

softmax.

Igualmente se pueden establecer funciones con un error medio: logsig, netinv,

satlin y tribas.

Finalmente, se puede observar que hay funciones que tiene un menor error e

incluso el error óptimo en todas las simulaciones. Estas funciones de transferencia

de salida son purelin, satlins y tansig.

FTRANS purelin satlins tansig

compet 0,01400029 0,01438136 0,01416002

hardlim 0,01469743 0,01446293 0,01466751

hardlims 0,01433126 0,01450431 0,01451654

logsig 0,00725504 0,00854326 0,00756496

netinv 0,01292442 0,01443038 0,01421228

poslin 0,00798058 0,01002494 0,01096645

purelin 0,0136581 0,01326124 0,01406066

radbasn 0,00811356 0,00744776 0,00874744

satlin 0,00833686 0,00761233 0,00913326

satlins 0,00783361 0,00956385 0,00874787

softmax 0,00817045 0,00865811 0,0081801

tansig 0,007472 0,00827471 0,00860396

tribas 0,00831968 0,00882534 0,00828336

Tabla 5.5. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins, tansig)

para la capa de salida.


Figura 5.39. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,

tansig) para la capa de salida (en eje horizontal, FT para la capa oculta).

ii. Funciones de transferencia de la capa oculta:

Tomando en consideración únicamente las funciones consideradas como óptimas

para la capa oculta (figura 5.5 y figura 5.39), se puede volver a descartar ciertas

funciones, en este caso para esta capa oculta. Así las funciones descartadas por su

mayor error en la estimación son compet, hardlim, hardlims, netinv y

purelim (en la figura 5.39 se observa claramente el incremento en el error para

estas funciones).

Como conclusión de todo lo expuesto anteriormente, el resultado óptimo se obtiene para la

combinación de funciones [logsig, purelin], con un valor en la estimación de 0,00725504.

Otra configuración, en cuanto a las funciones de transferencia elegidas, pueden ser

consideradas como cercanas en su error en la estimación, las cuales se podrían considerar

como alternativas para su posible utilización (tabla 5.6).

FTRANS Purelin satlins Tansig

logsig 0,00725504

0,00756496

poslin 0,00798058 radbasn 0,00811356 0,00744776

satlin 0,00833686 0,00761233 satlins 0,00783361

softmax 0,00817045

0,0081801

tansig 0,007472 0,00827471 tribas 0,00831968

0,00828336

Tabla 5.6. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020 E

rro

r M

SE

T


purelin

satlins

tansig


Como refrendo a los resultados obtenidos en el punto anterior, relativo al número de neuronas

a considerar en la capa oculta, donde se utilizó la combinación [tansig, purelin], indicar que

el error obtenido en estos casos de prueba para esa configuración es 0,007472 (ver tabla 5.6),

muy próximo al expuesto en ese punto (la pequeña variación existente es debida a la

aleatoriedad en los datos de prueba), frente al error 0.00725504 para la elección óptima

5.6.2 Pruebas trayectoria Astroid.

En el Anexo B, apartado B.3, en las tablas B.7, B.8, B.9 y B10 se pueden ver de forma

detallada los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la

variable estadística MSET. Se pueden ver los errores obtenidos en esta trayectoria para cada

combinación de funciones de transferencia en la figura 5.40.

Figura 5.40. Trayectoria Astroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.10) dependiendo de

las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en el eje

horizontal FT para la capa de salida].

En este caso de prueba, se puede concluir, de forma análoga al caso de prueba anterior que la

elección de la función de transferencia a implementar en la capa de salida condiciona de forma

determinante el comportamiento del sistema.

Funciones en la capa de salida tales como compet, hardlim, hardlims, radbasn y softmax

(las mismas que para el punto anterior) determinarán directamente un mal funcionamiento del

sistema, independientemente de la función elegida para la capa oculta.

Observando los resultados obtenidos (ver tablas B.7, B.8, B.9 y B.10, y figura 5.40) se puede

concluir que las funciones óptimas para la capa de salida se establecerán entre purelin,

satlins y tansig (tabla 5.7 y figura 5.41). Se debe destacar que estas funciones de

transferencia coinciden con las dadas en el punto anterior.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

Err

or

MS

ET


compet

hardlim

hardlims

logsig

netinv

poslin

purelin

radbasn

satlin

satlins

softmax



compet 0,01424526 0,01397711 0,01435691

hardlim 0,0143572 0,01466621 0,01446314

hardlims 0,01446635 0,01453243 0,01432543

logsig 0,0068624 0,00635894 0,00654775

netinv 0,0227956 0,01269327 0,01211846

poslin 0,00617718 0,00648005 0,00760113

purelin 0,00778241 0,00794519 0,00814106

radbasn 0,00671555 0,0068375 0,00670086

satlin 0,00647686 0,00669454 0,00643658

satlins 0,0066877 0,00658636 0,00627713

softmax 0,00626344 0,00625849 0,00610345

tansig 0,0061766 0,00604771 0,00639415

tribas 0,00644538 0,00691298 0,00654995

Tabla 5.7. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,

tansig) para la capa de salida.

En este caso, el error mínimo se obtiene para la combinación [tansig, satlins] con un valor

0.00604771, mejorando levemente el obtenido en el punto anterior (ver tabla 5.1, error en

trayectoria Astroid, 0,00628184 para 12 neuronas)

Figura 5.41. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,

tansig) para la capa de salida (en el eje horizontal FT para la capa oculta).

Considerando únicamente las funciones seleccionadas para la capa de salida, considerando los

errores dados en cada estimación (ver tabla 5.7 y figura 5.41), se puede restringir las funciones

de transferencia a utilizar en la capa oculta.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig


En este caso, determinadas funciones como compet, hardlim, hardlims, netinv y purelin

pueden ser descartadas por el error obtenido, notablemente superior al resto.


logsig

0,00635894 0,00654775

poslin 0,00617718 0,00648005 radbasn 0,00671555

0,00670086

satlin 0,00647686 0,00669454 0,00643658

satlins 0,0066877 0,00658636 0,00627713

softmax 0,00626344 0,00625849 0,00610345

tansig 0,0061766 0,00604771 0,00639415

tribas 0,00644538

0,00654995

Tabla 5.8. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas.

Figura 5.42. Trayectoria Astroid. Selección de funciones de transferencia más favorables en

capa oculta (FT en eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda).

En la tabla 5.8 y figura 5.42 se puede observar los errores obtenidos para estos casos

seleccionados como más favorables para la estimación.

Considerando los tiempos de computación para las funciones seleccionadas en la tabla 5.8, en

la figura 5.43 se puede observar que estos permanecen de forma estable en el intervalo [0.5,

0.6] sg., aspecto que, como ya se ha resaltado en puntos anteriores supone una condición

relevante para la utilización de este sistema en un ámbito de tiempo real.

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig


Figura 5.43. Trayectoria Astroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de 20

trayectorias considerando distintas funciones de transferencia.

5.6.3 Pruebas trayectoria Freeth.

En el Anexo B, apartado B.4, en las tablas B.12, B.13, B.14 y B15 se pueden ver de forma




Figura 5.44. Trayectoria Freeth. Error en la estimación (MSET, tabla B.15) dependiendo de



0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

TC

OM

P (

sg.)


purelin

satlins

tansig

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

Err

or

MS

ET


compet

hardlim

hardlims

logsig

netinv

poslin

purelin

radbasn

satlin

satlins

softmax

tansig


En los resultados obtenidos para esta trayectoria Freeth, se obtienen resultados similares a los

anteriores casos de prueba. La única diferencia significativa se puede encontrar en el uso de la

función de transferencia netinv en la capa oculta, donde se obtiene resultados que se podría

calificar como heterogéneos, con una mayor varianza en los resultados obtenidos. Esto puede ser

debido a la caída del sistema en un mínimo local en su entrenamiento.

En las tablas 5.9 y 5.10, de forma análoga a los anteriores casos de prueba se seleccionan las

funciones de transferencia que ofrecen mejores resultados, tanto para su utilización en la capa

de salida (tabla 5.9, purelin, satlins, tansig), como en la capa oculta (tabla 5.10, funciones

logsig, poslin, radbasn satlin, satlins, softmax y tansig).

El resultado óptimo se obtiene para la configuración [logsig, tansig], con un error MSET

de 0.00767236. En la figura 5.45, donde se representan los errores obtenidos para las

funciones seleccionadas como ópticas se puede destacar el comportamiento “estable” del

sistema en cuando a los errores en la estimación, siempre en el intervalo [0.0076, 0.0083], con

errores similares en las simulaciones para una configuración determinada.


compet 0,01425083 0,01460444 0,01451738

hardlim 0,01423652 0,01431342 0,01466815

hardlims 0,01455203 0,01464512 0,01444824

logsig 0,00849156 0,00808279 0,00767236

netinv 0,04433672 0,0127457 0,01385964

poslin 0,00800773 0,00826246 0,00842222

purelin 0,00963877 0,00984704 0,01011821

radbasn 0,00845839 0,00820226 0,00802443

satlin 0,00828303 0,00826932 0,00821266

satlins 0,00804988 0,00769865 0,00780562

softmax 0,00819933 0,00788897 0,00788049

tansig 0,00815264 0,00807347 0,00786287

tribas 0,00837793 0,00851994 0,00842256

Tabla 5.9. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,



logsig

0,00808279 0,00767236

poslin 0,00800773 0,00826246 radbasn

0,00820226 0,00802443

satlin 0,00828303 0,00826932 0,00821266

satlins 0,00804988 0,00769865 0,00780562

softmax 0,00819933 0,00788897 0,00788049

tansig 0,00815264 0,00807347 0,00786287

Tabla 5.10. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas.


Observando los resultados para cada una de las simulaciones (tablas B12, B13 y B14) se puede

observar que si bien el valor óptimo se obtiene en el global de las simulaciones para la

configuración [logsig, tansig], este valor óptimo, de forma concreta para cada simulación

varía entre distintas funciones de transferencia, si bien el error cometido en la estimación se

mantiene muy cercano.

Esto implica que las funciones de transferencia a seleccionar, dentro de aquellas para las que se

obtienen los mejores resultados (tabla 5.10), pueden ser sometidas a otros criterios que hagan

necesario seleccionar otra configuración que, en un momento dado hubiera podido tener un

error muy ligeramente mayor en la estimación.

Así, en este caso de prueba, el mejor resultado en cuanto al error en la estimación se obtiene

para la configuración [logsig, tansig] (tabla 5.10), no obstante, en la tabla 5.11 se puede

observar que esta configuración es por otro lado la que genera un mayor tiempo de

computación entre las consideradas. Si este tiempo de computación fuera un requisito a

optimizar, una configuración [poslin, purelin] podría ser la adecuada, sacrificando un

posible mínimo de error en la estimación en función de una mejora en el tiempo de

computación (0,482142 sg. frente a 0,529632 sg.). Este tipo de factores se deben considerar en

función de los requisitos establecidos para el sistema.

Figura 5.45. Trayectoria Freeth. Selección de funciones de transferencia más favorables en

capa oculta (FT en el eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda).

De forma análoga a los casos anteriores, en la tabla 5.11 (obtenida como una selección de la

general presentada en la tabla B.16) se puede observar que el tiempo de computación para las

configuraciones seleccionadas se mantiene en todo momento en el intervalo [0.48, 0.53],

manteniendo una estabilidad excelente y acorde a todas las pruebas anteriores.

0,006

0,007

0,008

0,009

logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig



logsig

0,51176305 0,52963232

poslin 0,48214208 0,50788755 radbasn

0,49168778 0,52280563

satlin 0,4880931 0,50014588 0,50482857

satlins 0,50853833 0,50803343 0,50596277

softmax 0,51380616 0,51991359 0,51634403

tansig 0,50797184 0,52119772 0,50375191

Tabla 5.11. Trayectoria Freeth. Tiempos de computación TCOMP para la estimación de 20

trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa oculta en eje vertical,

capa de salida en el horizontal).

5.6.4 Pruebas trayectoria Hypocycloid.

En el Anexo B, apartado B.5, en las tablas B.17, B.18, B.19 y B.20 se pueden ver de forma




Figura 5.46. Trayectoria Hypocycloid. Error en la estimación (MSET, tabla B.20)

dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta,

en eje horizontal FT para la capa de salida].

De nuevo, como en todos los casos anteriores la función de transferencia en la capa de salida

determina de forma principal los errores obtenidos en la estimación. En esta capa, se obtienen

los mejores resultados para las funciones purelin, satlins y tansig (tabla 5.12).

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

Err

or

MS

ET


compet

hardlim

hardlims

logsig

netinv

poslin

purelin

radbasn

satlin

satlins

softmax

tansig


El comportamiento óptimo del sistema, en este caso se obtiene para la configuración con las

funciones de transferencia [logsig, satlins], con un error en la estimación de 0.00697253

(ver tabla 5.12).

Para el caso de la función de transferencia a considerar en la capa oculta, se obtienen los

resultados óptimos para las funciones logsig, poslin, radbasn satlin, satlins, y tansig

(ver tabla 5.13).


compet 0,01429771 0,01436188 0,02978095

hardlim 0,01439829 0,01437206 0,01460834

hardlims 0,01441751 0,01449647 0,01456936

logsig 0,00711672 0,00697253 0,00708113

netinv 0,01494571 0,01458463 0,01430569

poslin 0,00751864 0,00754077 0,00745862

purelin 0,00931787 0,0093794 0,00977193

radbasn 0,00749946 0,00755028 0,0072976

satlin 0,00762292 0,0072191 0,00755285

satlins 0,00751669 0,00762525 0,00726322

softmax 0,00790739 0,00774728 0,00762879

tansig 0,00720248 0,00734433 0,00736602

tribas 0,0081598 0,00768026 0,00761679

Tabla 5.12. Trayectoria Hypocylcoid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,

satlins, tansig) para la capa de salida.

FTRANS purelin satlins Tansig

logsig 0,00711672 0,00697253 0,00708113

poslin 0,00751864 0,00754077 0,00745862

radbasn 0,00749946 0,00755028 0,0072976

satlin

0,0072191 0,00755285

satlins 0,00751669

0,00726322

tansig 0,00720248 0,00734433 0,00736602

Tabla 5.13. Trayectoria Hypocycloid. Funciones de transferencia óptimas.

El tiempo de computación TCOMP para un conjunto de 20 trayectorias aparece acotado en el

intervalo [0.48, 0.63] (tabla 5.14), obteniéndose resultados similares a todos los que se han

dado anteriormente. En la figura 5.47 se puede observar la extraordinaria estabilidad del

sistema en cuanto a este tiempo de computación para las configuraciones de funciones de

transferencia consideradas en la tabla 5.14.



logsig 0,50598222 0,51447152 0,52788624

poslin 0,50437432 0,49908542 0,50996672

radbasn 0,6308171 0,50669135 0,50483748

satlin

0,50077072 0,503029

satlins 0,48058037

0,50204513

tansig 0,51521793 0,49769229 0,49277538

Tabla 5.14. Trayectoria Hypocylcoid. Tiempos de computación TCOMP para la estimación

de 20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa oculta en eje

vertical, capa de salida en el horizontal).

Figura 5.47. Trayectoria Hypocyloid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de

20 trayectorias considerando distintas funciones de transferencia.

5.6.5 Pruebas trayectoria Nephroid.

En el Anexo B, apartado B.6, en las tablas B.22, B.23, B.24 y B.25 se pueden ver de forma




0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

logsig poslin radbasn satlin satlins tansig

TC

OM

P (

sg.)


purelin

satlins

tansig


Figura 5.48. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.25) dependiendo de



Se obtiene un comportamiento análogo a los casos anteriores:

i. Las funciones de transferencia purelin, satlins y tansig en la capa de salida

ofrecen el mejor comportamiento en los resultados obtenidos por el sistema (tabla

5.15).

ii. Para la capa oculta se presentan diferentes opciones con ligeras variaciones en el error

obtenido. En este caso las funciones más favorables son logsig, poslin, purelin,

radbasn, satlin, satlins, softmax, tansig y tribas (tabla 5.16).


compet 0,01455578 0,0143557 0,01573194

hardlim 0,01456452 0,01448999 0,01434443

hardlims 0,01456745 0,01443 0,01448466

logsig 0,00737791 0,00736829 0,00747706

netinv 0,01591653 0,0148812 0,01035312

poslin 0,00695813 0,00745139 0,00771835

purelin 0,01122528 0,0109948 0,01167178

radbasn 0,00741897 0,00766124 0,0078312

satlin 0,00773722 0,00767586 0,00767658

satlins 0,00770444 0,00750927 0,0074854

softmax 0,00721647 0,00705065 0,00732767

tansig 0,00809384 0,00742076 0,00781401

tribas 0,00785603 0,00740269 0,00755068

Tabla 5.15. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,


0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06 E

rro

r M

SE

T


compet

hardlim

hardlims

logsig

netinv

poslin

purelin

radbasn

satlin

satlins

softmax

tansig


En este caso, el mejor resultado se obtiene para la combinación [poslin, purelin] con un

error de 0.00695813. En la tabla 5.16, se puede observar una diferencia significativa entre este

caso y el resto de opciones.


logsig 0,00737791 0,00736829 0,00747706

poslin 0,00695813 0,00745139 purelin 0,01122528 0,0109948 0,01167178

radbasn 0,00741897 satlin 0,00773722 satlins 0,00770444 0,00750927 0,0074854

softmax 0,00721647 0,00705065 0,00732767

tansig

0,00742076 tribas

0,00740269 0,00755068

Tabla 5.16. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas.

Como hecho a destacar, en este caso la función de transferencia a elegir en la capa oculta es

menos determinante que en casos anteriores, presentándose, por un lado una mayor variedad

entre posibles funciones (tabla 5.16, eje vertical), por otro, un comportamiento mucho más

heterogéneo en estas funciones, de tal forma que en ciertas combinaciones se comportan

mucho mejor que en otras. Por ejemplo, la función satlin en la capa oculta, únicamente

tendrá un comportamiento adecuado con la función purelin en la capa de salida, no dando

buenos resultados con satlins o tansig.

Figura 5.49. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación para las funciones de transferencia

óptimas en la capa de salida (MSET, tabla 5.16). [En leyenda FT para capa oculta, en el eje


0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig


Incluso, en la figura 5.49, se puede observar un peor comportamiento para la función purelin

en la capa oculta.

Considerando el tiempo de computación TCOMP para las funciones expuestas en la tabla

5.16, en la figura 5.50, se puede observar un comportamiento mucho más irregular para el caso

de la función satlins en la capa de salida, manteniéndose mucho más estable el tiempo

empleado por purelin y tansig, independiente de la función elegida en la capa oculta.

Figura 5.50. Trayectoria Nephroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de 20

trayectorias considerando las funciones de trasferencia reflejadas en la tabla 5.16.

5.6.6 Resumen de resultados obtenidos.

Con los casos de prueba y resultados anteriormente expuestos se pueden extraer las siguientes

conclusiones:

i. La función de transferencia a implementar en la capa de salida determina en gran

medida los resultados a obtener en la estimación del sistema. Se puede decir que esta

función de transferencia en la capa de salida debe elegirse entre las funciones

purelin, satlins y tansig, funciones para las que se ha obtenido siempre los

mejores resultados. Con los resultados obtenidos, no se puede determinar la

preferencia en el uso de una de las tres, pudiéndose considerar indistinta.

ii. En el caso de la función de transferencia a implementar en la capa oculta, los

resultados son bien distintos a los anteriores. Existe un conjunto mucho más amplio

de funciones a considerar. A lo largo de los ejemplos anteriores, en casos concretos, se

ha podido comprobar el interés en utilizar las siguientes funciones: logsig, poslin,

purelin, radbasn, satlin, satlins, softmax, tansig y tribas. En la tabla 5.17

se presenta un resumen de los resultados obtenidos.

0,4

0,5

0,6

0,7

logsig poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

TC

OM

P (

sg.)


purelin

satlins

tansig


FTRANS Núm. Trayec. Óptimo

logsig 12 5 3

poslin 10 5 1

purelin 3 1 0

radbasn 10 5 0

Satlin 11 5 0

satlins 12 5 0

softmax 11 4 0

tansig 12 5 1

tribas 6 3 0

Tabla 5.17. Resumen de resultados para funciones de transferencia en la capa oculta.

(Datos obtenidos de las tablas 5.6, 5.8, 5.10, 5.13 y 5.16)

· FTRANS. Funciones de transferencia a considerar para su implementación en la capa oculta.

· Núm. Número de veces que la función se determina entre aquellas que proporcionan los

mejores resultados (valor máximo 15).

· Trayec. Número de trayectorias en las que esta función se determina entre aquellas que

proporcionan los mejores resultados (valor máximo 5).

· Óptimo. Número de veces que la función se determina como la óptima por los resultados

obtenidos (valor máximo 5).

iii. Entre las funciones consideradas en el punto ii. anterior para su implementación en la

capa oculta, se puede determinar que la función logsig es la que ofrece un mejor

comportamiento, apareciendo en todos los casos de prueba entre las que ofrecen

mejores resultados, y en tres de las cinco trayectorias como la que ofrece el resultado

óptimo. Igualmente, a un nivel inferior, se puede considerar la utilización de las

funciones poslin, tansig y satlin.

iv. Funciones como purelin y tribas, aunque hayan aparecido puntualmente entre las

que ofrecen mejores resultados para su implementación en la capa oculta, pueden ser

desestimadas, considerando esta situación como puntual, incluso anecdótica en alguna

de ellas (purelin).

v. Un aspecto importante a tener en cuenta es el tiempo de computación TCOMP

empleado en cada uno de los casos. Este, independientemente de las funciones

elegidas se mantiene muy estable, siempre en torno al valor 0.5 sg (para la estimación

de 20 trayectorias con 100 detecciones cada una de ellas).

vi. Excepcionalmente y ante requisitos muy precisos, el tiempo de computación puede

considerarse para la exclusión de alguna función (por ejemplo, la función satlins en

la capa de salida en el último caso de prueba, trayectoria Nephroid, donde se presenta

cierta dispersión en los valores para esta variable TCOMP).

Es importante resaltar que las conclusiones anteriores se han obtenido en cada caso en base a

la validación del sistema con 20 trayectorias distintas, cada una de ellas con sus propios errores

aleatorios introducidos de forma independiente en cada una de ellas. Este hecho confiere una

confianza importante en lo referente a la fiabilidad y correspondencia con la realidad de los



Capítulo 6

Conclusiones y trabajo futuro.

"En verdad no reparten los dioses solo en un hombre sus

amables presentes: belleza, elocuencia e ingenio. La

apariencia de uno dijérase acaso mezquina, mas un dios de

belleza corona sus frases, y todos se complacen mirándolo, y

habla seguro y modesto, dulcemente, y destaca entre toda la

gente reunida, y en la calle es un dios que lleva tras él las

miradas. Otro, en cambio, aparenta la misma belleza que un

numen, mas la Gracia jamás le corona las frases que dice."

Homero, La Odisea.

RESUMEN: En el presente capítulo se detallan las conclusiones sobre lo expuesto en

los capítulos anteriores, además de tratar de descubrir los vacíos por los que

adentrarse en este campo, abriendo nuevas líneas de investigación. Se resumirán las

que se consideran principales aportaciones en esta tesis.

6.1 Conclusiones.

6.2 Líneas y trabajos futuros.

6.1 Conclusiones.

En el trabajo de esta tesis doctoral se expone, describe y detalla un sistema de seguimiento

para sistemas de vigilancia y control aéreo basados en información radar mejorándose el

comportamiento que en la actualidad presentan los algoritmos clásicos en su aplicación a

maniobras muy exigentes en cuanto a sus características cinemáticas.

Lo expuesto en este documento debe tratarse y entenderse en todo momento como la

exposición, demostración y validación de un nuevo enfoque a este problema de seguimiento a

considerar, por los buenos resultados obtenidos, como posible aplicación en un futuro

cercano.

Igualmente, la solución propuesta no debe ser entendida como una solución cerrada, sino

como una demostración de capacidad de la misma, fácilmente adaptable y generalizable a las

6-2 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.

necesidades y características tanto del sistema de vigilancia y control aéreo, como de los

objetivos a considerar. La información a tratar deberá ser evaluada e integrada de forma acorde

a las necesidades y exigencias del propio sistema considerado, condicionada por la

disponibilidad de esta información en cada caso.

El seguimiento de objetivos aéreos con maniobras en sus movimientos, a partir de datos radar

discretos tomados como entrada, es un problema que, como cualquier problema de control, se

caracteriza esencialmente por su desarrollo en entornos de incertidumbre (medidas imprecisas,

ambiguas –asignación a un avión u otro-, incompletas –pérdidas de detección- y falsas

detecciones) y soluciones no lineales, soluciones imposibles de implementar.

Como factor de incertidumbre, en este trabajo se ha tratado la existencia de maniobras de

combate, muy exigentes por sus características cinemáticas para cualquier algoritmo de

seguimiento, las cuales dificultan de forma considerable la estimación por el sistema de la

trayectoria seguida por el objetivo a partir de los datos radar recibidos en instantes discretos de

tiempo. Estas medidas radar, entrada en cualquier sistema de estas características, igualmente

se verán afectadas por la presencia del típico error gaussiano.

En estos casos, la solución propuesta en este trabajo de tesis doctoral, tal y como se ha

reseñado al inicio de este punto, debe considerarse como un enfoque que permite gestionar

esta incertidumbre, alcanzándose un mejor resultado en esta estimación.

Los algoritmos de seguimiento clásicos, basados en técnicas estadísticas, funcionan de forma

eficiente cuando el movimiento del objetivo se realiza sin maniobras. Es un caso fácilmente

modelizable. Las maniobras de los objetivos provocando grandes aceleraciones, positivas o

negativas, tangenciales o normales, y/o giros bruscos en su trayectoria, provocan en una gran

cantidad de ocasiones la pérdida de exactitud o, en el peor de los casos, estimaciones

incorrectas de la trayectoria.

Por otro lado, estos algoritmos de seguimiento clásicos, aparecen definidos con variables de

entrada perfectamente definidas, sobre las que se deben definir modelos que implican un

exhaustivo conocimiento de la relación que pueda haber entre estas variables de entrada y las

que componen el estado del sistema, variables a estimar por el algoritmo. Es por este motivo

por lo que resulta extremadamente complejo incorporar nuevas variables a estos algoritmos de

seguimiento, variables que no hayan sido habitualmente utilizadas en los mismos, sobre las que

se tenga un conocimiento muy detallado.

Este problema en la incorporación de nuevas variables se verá magnificado si consideramos

que estas variables pudieran ser distintas dependiendo del entorno considerado.

Un aspecto que condiciona y agrava aún más el problema anterior es el elevado coste

computacional lo que significa incorporar nuevas variables a considerar en el proceso que este

tipo de algoritmos realiza.

Estos aspectos quedan corregidos en gran medida con la integración de información radar

y contextual en la solución propuesta en esta tesis, la cual basándose en la utilización de

redes neuronales, y por lo tanto en las ventajas inherentes a estas, permite obtener mejores

resultados en la estimación en entornos de alta incertidumbre, frente a los resultados

actualmente disponibles con algoritmos clásicos.


Como un intento de dar respuesta a la problemática planteada en los párrafos anteriores, en

esta tesis se detalla un sistema de seguimiento, cuya implementación está basada en redes

neuronales, tratando de explotar las ventajas intrínsecas a este paradigma de la inteligencia

artificial, consiguiéndose un sistema de seguimiento que permite su fácil adaptación al

seguimiento en maniobras aéreas, en este caso concreto de estudio, y a la incorporación de

información contextual, en un caso general, lo cual facilita y permite ejecutar con mayor

precisión este seguimiento.

Se presenta en el presente trabajo una solución basada en dos etapas de redes neuronales, una

primera etapa denominada de estimación y otra de suavizamiento. Se demuestra que este

diseño de las redes neuronales en dos etapas permite facilitar de forma significativa su

entrenamiento consiguiéndose con una arquitectura sencilla los resultados esperados.

Se detalla un estudio sobre la aplicación de este sistema a ejemplos de maniobras que

habitualmente se desarrollan en una situación de combate aéreo.

Es importante destacar que este caso concreto debe tomarse como un ejemplo de las

capacidades del sistema. La solución propuesta es aplicable de forma similar a cualquier

situación de vigilancia y/o control de tráfico aéreo donde se produzcan, de forma más o

menos repetitiva, maniobras que puedan ser especificadas de una forma genérica para su

muestra en el entrenamiento del sistema.

Otros ejemplos de aplicación del sistema, distintos a los aquí propuestos, serían maniobras de

aproximación a aeropuertos, maniobras en la salida de aeropuertos y seguimiento de misiles.

Todos los casos se caracterizan por ejecutar maniobras perfectamente especificadas.

Por otro lado, en el sistema descrito, haciendo uso esta red de la facilidad tanto para

incorporar nueva información a una red neuronal, como de adaptabilidad a la nueva

información a considerar, se añade al sistema lo que durante la tesis se denomina información

contextual.

Se define como información contextual toda aquella información que, extraída del contexto

en el que se está moviendo un avión, sin estar incluida en la propia medida radar generada por

este móvil, condiciona y determina de forma directa este movimiento. Así, por ejemplo, se

puede considerar como información contextual, entre otros casos:

La distancia y ángulo entre dos cazas en combate aérea.

La propia topografía del terreno en un vuelo a baja cota.

La distancia y ángulo de la trayectoria de un avión respecto a la pista de aterrizaje.

Información de inteligencia sobre vuelos “ilegales”, con rutas y/o puntos de aterrizaje

ilegales.

De forma más concreta, en este sentido, el problema solucionado consiste en explotar esta

información contextual mejorándose de forma notoria el resultado del seguimiento ejecutado.

Así, en el ejemplo concreto tratado en esta tesis, relativo al seguimiento que se produce en un

caso de combate aéreo, es evidente que el movimiento del avión perseguidor estará claramente

condicionado por la posición relativa del avión perseguido (ángulo de visión, distancia, altura

relativa,…). Esta información se trata en este sistema como información contextual,

“aprovechándose” la misma de cara a mejorar el seguimiento de avión en observación.


Explotando las características de las redes neuronales en cuanto a su facilidad para

incorporar nueva información de entrada, para tratar de obtener una solución al problema

planteado (en este caso una estimación de estado, posición y velocidad del avión bajo

seguimiento), se incorporan estos datos contextuales como información de entrada al sistema.

Al igual que se reseñó anteriormente, el ejemplo estudiado y descrito en esta tesis, relativo al

seguimiento de aviones en combate aéreo, y también en lo relativo a la incorporación de

información contextual, es un ejemplo de aplicación de la solución propuesta, siendo la misma

fácilmente generalizable y extensible a otros casos.

Esta solución puede ser aplicada a otros ejemplos donde la información contextual pudiera

determinar de forma evidente el movimiento del objetivo bajo seguimiento.

Así, en relación con la información contextual anteriormente reseñada, se pueden considerar

como casos de aplicación:

Aviones a muy baja cota, donde la trayectoria a seguir viene claramente determinada

por la topografía del terreno.

Sistemas de vigilancia aérea, donde el objetivo bajo vigilancia/seguimiento tratará de

explotar en su propio beneficio la topografía del terreno y elementos presentes en el

mismo (carreteras, poblaciones, líneas eléctricas, …).

Aviones en aproximación a aeropuertos, donde la situación de radioayudas, otros

aviones,… determinará el movimiento seguido por un avión.

En los casos de prueba descritos durante la tesis se detalla que el sistema propuesto, haciendo

uso y explotando las características anteriormente descritas, correctamente entrenado, alcanza

unos resultados en la estimación que mejora los obtenidos por algoritmos clásicos, y,

permite, lo que es más importante, obtener solución a situaciones que no podrían ser

tratadas por algoritmos clásicos.

Se detalla el proceso de entrenamiento y validación del sistema, describiéndose posibles

conjuntos trayectorias a utilizar en el proceso anterior. En base a este proceso, se alcanza la

optimización del sistema en determinados parámetros (número de neuronas en la capa

oculta y funciones de transferencia) para llegar a un resultado lo más preciso posible.

En base a lo anteriormente expuesto y descrito, se han alcanzado los objetivos marcados

en las hipótesis 1 y 2 contempladas como punto de partida en la introducción a esta tesis,

sobre propuesta de un modelo de sistema de seguimiento basado en redes neuronales alcanzando resultados

en la estimación de trayectorias a partir de los datos radar con una calidad de la misma similar a los algoritmos

de seguimiento ya definidos en la actualidad e incorporación al algoritmo de seguimiento de nueva información

basada en el contexto en el cual se está desarrollando el movimiento del avión considerado que pudiera ser útil

en la estimación de estado del avión considerado, mejorando de forma notable la calidad de los resultados

obtenidos en el seguimiento.

Los resultados aquí presentados demuestran la adaptación del sistema a distintas curvas a

estimar, alcanzándose en todo momento los objetivos planteados.

Por último, destacar que la arquitectura del sistema, en lo relativo a la definición de las redes

neuronales a utilizar, queda en determinados aspectos condicionada por el movimiento a

estimar. Se deben ajustar ciertos parámetros en el sistema neuronal en función de la aplicación


que se pretenda hacer del mismo, como es normal y habitual en el uso de herramientas

diseñadas para entornos de incertidumbre.

El estudio detallado presentado cumplimenta lo requerido en la hipótesis 3, según la cual era

esperado que la información disponible determinará la red neuronal implementada.

Por último, se debe destacar dentro de estas conclusiones el excelente comportamiento del

sistema en lo relativo a su coste computacional. En las pruebas realizadas queda

demostrado un comportamiento excepcionalmente estable en relación al tiempo de

computación empleado en la estimación de trayectorias, con independencia de la

arquitectura definida. Igualmente y relacionado con este aspecto, debido a la perfecta

adaptación de las redes neuronales a una computación paralela, la explotación de este tipo de

sistemas en ordenadores actuales, donde es común disponer de varios núcleos, mejora de

forma notable las necesidades del mismo en cuanto al tiempo de computación necesario.

Las conclusiones obtenidas convierten la solución presentada en esta tesis como una

alternativa a considerar seriamente para su aplicación en este tipo de sistemas, diseñados como

sistemas en tiempo real, donde los requisitos en cuanto a las necesidades de tiempo de

computación están perfectamente acotados.

6.2 Líneas y trabajos futuros.

La solución presentada en esta tesis, como ya se ha comentado anteriormente, debe

considerarse como una propuesta inicial, aplicada a un caso concreto, con un amplio campo de

aplicación sobre el cual sería posible su implementación.

Se proponen como líneas de trabajo futuras estudiar la posible aplicación de este sistema a

otros casos, como los expuestos en el punto anterior:

Aviones a muy baja cota, donde la trayectoria a seguir viene claramente determinada

por la topografía del terreno.

Sistemas de vigilancia aérea, donde el objetivo bajo vigilancia/seguimiento tratará de

explotar en su propio beneficio la topografía del terreno y elementos presentes en el

mismo (carreteras, poblaciones, líneas eléctricas, …).

Aviones en aproximación a aeropuertos, donde la situación de radioayudas, otros

aviones,… determinará el movimiento seguido por un avión.

Un campo de investigación y futuro desarrollo que queda abierto es el estudio y

parametrización de la información contextual a incorporar al sistema, para tratar de obtener el

mejor comportamiento posible del sistema. Parece evidente que la forma en la que se presente

esta información a la red neuronal, condicionará en gran forma la capacidad de adaptación de

la misma para tratar de obtener la mejor estimación posible.

Por otro lado, sería interesante considerar un posible funcionamiento integrado de la solución

aquí propuesta, basada íntegramente en un enfoque basado en redes neuronales, con

algoritmos clásicos. En lugar de que la red neuronal actúe en apoyo, como en trabajos previos

que marcan un enfoque clásico[Amoozegar95][Takaba96][Vaidehi99], en el caso de la línea que aquí se

propone se trataría de enfocar el problema en sentido contrario: un algoritmo clásico, cuya


solución se podría considerar como otras entradas a considerar en el propio sistema propuesto

en este estudio.

Para ello, y como una medida facilitadora de lo anterior, se tratará de utilizar técnicas que la

inteligencia artificial pone actualmente a nuestra disposición, apoyadas por el actual desarrollo

en el hardware que permitan la paralelización en las necesidades de computación.

Como conclusión de las líneas anteriormente propuesta, se trata de conseguir sistemas lo más

adaptativos posibles que permitan incorporar y explotar toda la información posible en

beneficio de una mejora en el seguimiento.

Anexo A

Resultados de los casos de prueba para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.

"Observando la paja sabrás como ha sido la espiga."

Homero, La Odisea.

RESUMEN: Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo relativo a la determinación del número de neuronas a implementar en la capa oculta.

A.1 Casos de prueba. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.

A.1 Casos de prueba.

La variable de Epochs, relativa al número de iteaciones a considerar en el aprendizaje, se especifica como 2000 (determinada empíricamente en el anterior apartado).

El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de Red Neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.


• Line • Astroid • Freeth • Hypocycloid

A‐2 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.

• Nephroid


i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line, astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).

ii. Para cada prueba se variará el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1.30].

iii. Dada la dependencia en los resultados obtenidos de los errores aleatorios introducidos, de la configuración de pesos inicial, también aleatoria, y de la posibilidad de que la red neuronal caiga en su entrenamiento mínimos locales, que pudieran distorsionar los resultados obtenidos, las pruebas anteriores se repetirán tres veces, reentrenado la red en cada una de estas iteraciones. Por lo tanto, cada prueba, para un tipo de trayectoria previamente definido (i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:

a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).

b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores. c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,

incorporando error aleatorio en todos sus datos. d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como

datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior. e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones

obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba, variando el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30].

iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X como la Y.

Como criterios estadísticos a considerar en la valoración, tal y como se describe en el punto 5.1 de este capítulo se consideran las siguientes funciones:

• MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

• MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación. • MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación. • MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y

la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

• DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

• CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.

• MSET: Error medio en la estimación calculado como la media de la distancia euclídea entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) de la validación.


Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada caso de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido en cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo de cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.

Como resultado de todo lo anterior, las conclusiones finales se obtendrán sobre estimaciones obtenidas en tres casos de prueba, a ejecutar sobre cinco trayectorias distintas, variando en número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30], con veinte trayectorias para cada número de neuronas considerado, con 100 datos por trayectoria. Esto quiere decir que, después de estas pruebas se habrán realizado un total de 900.000 estimaciones, valor más que suficiente para enjuiciar el comportamiento global del sistema propuesto.

Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como sistema de tiempo real.


Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.

( i )

( ii ) Figura AP1.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Line

(con 5 ‐i‐ y 9 neuronas –ii‐).

A‐5 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.

AP1.1 Line Caso de prueba 1.

NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,006502363 0,01009052 0,00661495 0,00557656 0,00465376 0,00552561 0,00560987 0,00512104 0,00679876 0,00558756 MIN 0,005763572 0,00880397 0,00548565 0,00443624 0,00383608 0,00455572 0,00434308 0,00443996 0,00402776 0,00456357 MAX 0,007391482 0,01211889 0,00796501 0,00676182 0,00588083 0,0070184 0,00700346 0,00600415 0,03013423 0,00677871 MAE 0,050992485 0,07892476 0,04908329 0,03974066 0,0338402 0,03863706 0,03994132 0,03643888 0,04028808 0,03934227 DESVTÍP 0,001448019 0,00352187 0,00178535 0,00141118 0,00093815 0,00144046 0,00143046 0,00118278 0,00551094 0,00145957 CV 0,745986554 0,75038814 0,85973042 0,93737735 0,89752461 0,97400756 0,94044458 0,94361168 1,13861321 0,95899961 TCOMP 1,040175427 0,48691305 0,49252574 0,53599965 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,52637934 0,49806994



LineTabla AP1.1. Resultados trayectoria - componente X– caso de prueba 1.





Tabla lt r m c a

AP1.2. Resu ados trayecto ia Line - co ponente Y – aso de prueb 1.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,012120217 0,01364836 0,00957436 0,00786914 0,00714782 0,00790007 0,00787594 0,00776248 0,00890043 0,00815421

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00816548 0,00811447 0,00828377 0,00837298 0,00874074 0,00850017 0,00848367 0,0083988 0,00893848 0,0113066

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00975472 0,00834343 0,00874655 0,0133783 0,00866064 0,00884521 0,00909998 0,01007389 0,009421 0,00953538

Tabla AP1.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1.

Figura AP1.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1 (datos tabla AP1.3).

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP1.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1.

0,0

1,2

0,2

0,4

Tie

mp

o sg

.

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4 5 6 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta

Tiempo de computación

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27


Figura AP1.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line - caso de prueba 1.

Figura AP1.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 1.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica


Desviación tipica X

Desviación típica Y

0,000,010,020,030,040,050,060,070,08

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP1.2 Line Caso de prueba 2.


NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0055 0787625 0,00546208 9839 0,00556901 0,00562923 0,00585462 0,00590747 0,00627127 0,00672858 0,00570957 0,0MIN 0,00493318 0,00477395 0,00450711 0,00463526 0,00480016 0,00495303 0,00522863 0,00473232 0,00523888 0,00428847 MAX 0,00633524 0,00684525 0,00681451 0,00765918 0,00764408 0,01154395 0,01378211 0,00646706 0,01559916 0,00647759 MAE 0,03975002 0,0396412 0,03813972 0,0414009 0,04167911 0,04266619 0,04439231 0,04023361 0,04579611 0,03843978 DESVTÍP 0,00142204 0,00139962 0,00159908 0,00158507 0,001633 0,00209795 0,00261877 0,00150373 0,0042416 0,00138934 CV 0,94606439 0,94373929 1,03398011 0,95167926 0,95305259 1,00884981 1,06561148 0,96126372 1,31621398 0,96205845 TCOMP 0,52526459 0,56303139 0,56716503 0,5912792 0,56392531 0,55197054 0,57467009 0,52828063 0,53937066 0,5367728

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00604662 0,0064935 0,00621383 0,00666306 0,00662705 0,00709241 0,00681943 0,00692708 0,00756655 0,00768121 MIN 0,00498481 0,00486662 0,00487143 0,00493783 0,00528488 0,00505752 0,00479589 0,00491682 0,0058513 0,00555201 MAX 0,00710853 0,00868926 0,00917287 0,00882652 0,00851299 0,00910864 0,01089011 0,01090443 0,01292731 0,01179471 MAE 0,04144529 0,04233009 0,04232644 0,04291902 0,04421529 0,04567526 0,04527204 0,04492671 0,04723576 0,04806809 DESVTÍP 0,00179999 0,00229549 0,00196231 0,00247691 0,00230639 0,00280392 0,00252587 0,00275133 0,00342812 0,0034676 CV 769367 1,01501508 1,10817597 1,01824144 1,13194664 1,06430557 1,13022172 1,0689664 1,1061577 1,18657458 1,18TCOM 0,57489418 0,55347025 0,54223313 0,61291019 1,02230041 0,76129203 0,5295202 0,60685217 0,53450723 0,68840328 P

Tabla AP1.4. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 2.





Tabla AP1.5. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 2.


Nº 3 4 Neuronas 1 2 5 6 7 8 9 10 MSET 0,013082718 0,01279652 0,00858302 0,00816766 0,0077145 0,0079303 0,00828922 0,00768105 0,00834521 0,0079102

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00810363 0,00804305 0,00811467 0,00861243 0,00834585 0,00882102 0,00939967 0,00839499 0,00979594 0,00790898

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00845196 0,0087995 0,00876044 0,00889887 0,01739778 0,00902994 0,00940173 0,00952784 0,00977821 0,01003261


a r T ió a d a 1.

0,000

Figur AP1.6. Erro medio (MSE ) en estimac n Trayectori Line - caso e prueba 2 (d tos tabla AP 6).

0,002

0,004

0,006

0,010

014

016

0,018

0,020

1 1 4 2 7ro o

0,008MSE

XY 0,012

0,

0,

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 1 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 25 26 2 28 29 30Nº de neu nas en la capa culta

MSE


Figura AP1.7. Tie p O a o s .

mpo de com utación (TC MP) en estim ción Trayect ria Line - ca o de prueba 2

0,0

0,2

1,4

1 2 9 1 9 2 9

de l

0,4

0,6emp

0,8

.

1,0

1,2

Ti

osg

T utación

3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 6 17 18 1 20 21 22 23 24 25 6 27 28 2 30Nº neuronas en a capa oculta

iempo de comp


Figura AP1.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line - caso de prueba 2.

Figura AP1.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 2.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP1.3 Line Caso de pr

onas

ueba 3.

NºNeur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,005307312 0,00921184 0,00575964 0,00557014 0,00539901 0,00550984 0,00548316 0,00545869 0,00505156 0,00540806 MIN 0,003982757 0,00794173 0,0046662 0,00461384 0,00420536 0,00453368 0,00439525 0,00459243 0,0039326 0,00446814 MAX 0,006684938 0,01146143 0,00634613 0,00776059 0,00637907 0,00651479 0,00651488 0,00725083 0,00592994 0,00650597 MAE 0,040698802 0,0686004 0,04367116 0,03974143 0,0384114 0,03942167 0,03869156 0,03887349 0,03561348 0,03890382 DESVTÍP 0,001056262 0,00343692 0,00127084 0,0014289 0,00132621 0,00136263 0,00138882 0,00135222 0,00118182 0,0012887 CV 0,788674758 0,84930601 0,8140023 0,92797338 0,93995213 0,92870836 0,95713853 0,9389324 0,95932376 0,92154547 TCOMP 1,048171612 0,48600414 0,5024455 0,55333045 0,52726515 0,5102723 0,5125549 0,53318621 0,50815908 0,50628089


NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00605502 0,0059503 0,00762435 0,00634773 0,00550934 0,006169 0,0068775 0,00812217 0,00777453 0,01032059 MIN 0,00461687 0,00463953 0,00589386 0,00514957 0,00445601 0,00474178 0,0050201 0,00518594 0,00538939 0,00575628 MAX 0,01025 0,01321851 0,01114106 0,00895489 0,00679797 0,00736995 0,01286839 0,03021148 0,01126301 0,06318402 MAE 0,0412651 0,04033365 0,04634673 0,04342172 0,03884379 0,04240816 0,04390691 0,0477722 0,0475795 0,05266993 DESVTÍP 0,00190154 0,00202185 0,00353545 0,00201685 0,00140521 0,00186045 0,0028018 0,00636835 0,00378926 0,02202 CV 1,20946241 1,24463685 1,01411482 1,00214378 1,24461998 1,01356451 0,95976545 1,0079659 1,13392205 1,20856931TCOMP 0,52202729 0,54411821 0,55569572 0,53219221 0,54153413 0,5613704 0,60677356 0,54113539 0,52532294 1,17193397

Tabla AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 3.



NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00615305 0,00614566 0,00619417 0,00645914 0,0058815 0,0060983 0,00590619 0,00590711 0,00629907 0,00725894 MIN 0,0051126 0,0046926 0,00494326 0,00533008 0,00502663 0,00476432 0,00470181 0,00459582 0,00491076 0,00485642 MAX 0,00706817 0,0072118 0,0071996 0,00787904 0,00678889 0,0076661 0,00911549 0,00740148 0,0086587 0,01716832 MAE 0,04336494 0,04271651 0,04317616 0,0441539 0,04073136 0,04296248 0,04048568 0,04071178 0,04342203 0,04491386 DESVTÍP 0,00175261 0,00180417 0,00182283 0,00206588 0,00165559 0,0017295 0,00175351 0,00170291 0,00197297 0,00379409 CV 0,959106 0,99657852 1,14293362 54 0,98576253 0,97895941 1,01813292 0,99511027 0,96067187 1,00620175 1,0021134TCOMP 0,49565322 0,51855943 0,50877907 0,5127494 0,58186394 0,51873773 0,53033752 0,51769915 0,52527269 0,54957083


Tabla AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 3.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010671336 0,01163619 0,00918243 0,00845836 0,00792262 0,00766031 0,00789769 0,00778221 0,00734525 0,00777979

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00823298 0,00814737 0,01118957 0,0085222 0,0081284 0,00859037 0,00843447 0,00816119 0,00839221 0,00967406

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00872526 0,00867964 0,00969819 0,00917014 0,00836996 0,00901193 0,00918942 0,01045101 0,01081615 0,01225943


0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE

Figura AP1.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3 (datos tabla AP1.9).


Figura AP1.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

mp

o sg

.




a sv ( n n e c a

gura A o ín p de ay e

0,000

Figur AP1.12. De iación típica DESVTIP) e la estimació (X e Y) Tray ctoria Line - aso de prueb 3.

Fi P1.13. Error medio máxim (MAX) y m imo (MIN) ara cada caso número de neuronas. Tr ectoria Line - caso de pru ba 3.

0,005

0,010svia

0,015típ

i

0,020

0,

2 4 5 6 8 9 11 12 1 4 15 16 18 19 21 22 2 4 25 26 28 29

N e a

025D

eci

ónca



1 3 7 10 3 1 17 20 3 2 27 30º de neuronas n la capa ocult

0,05

0,06

0,07

0,00

0,01

0,02

Er 0,03ro

rM 0,04

1 2 12 5 25 28

SE

as ul

3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 29 30Nº de neuron en la capa oc ta

Error MIN X

Error MAX X


AP1.4 Line Resumen.

Figura AP1.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9)

Figura AP1.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.

0,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSETMIN


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 1,040175427 0,48600414 0,49252574 0,52449467 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,50815908 0,49806994



T AP1.10. po de co tación mín (TCOMPMIN) en las tres simulacion

Figura AP1.16. Tiempo de computación

TCOMPMIN

abla Tiem mpu imo es.

mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP1.10).

0,0

0,2

0,6

0,8

2

1 1 5 2 2N e a

0,4

Tie

mp

o sg

.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 2 23 24 25 26 27 28 9 30º de neuronas n la capa ocult

1,0

1,



Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.

( i )

( ii ) Figura AP2.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Astroid

(con 8 ‐i‐ y 14 neuronas –ii‐).

A‐24 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.

AP2.1 Astroid Caso de prueba 1.




Tabla AP2.1. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 1.





Tabla A d a o – eb

P2.2. Resulta os trayectori Astroid - c mponente Y caso de pru a 1.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,008503184 0,00886886 0,00857877 0,00777109 0,0082307 0,00767998 0,00695609 0,00630893 0,00684684 0,01023504

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00811397 0,00667007 0,00715501 0,00782756 0,00744563 0,00804715 0,00646061 0,00814081 0,0087248 0,00789664

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,0082974 0,00756507 0,01603956 0,00749666 0,00755147 0,00804351 0,00823128 0,01434925 0,00854494 0,0181445

Tabla AP2.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.

Figura AP2.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 (datos tabla AP2.3).

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP2.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.

0,0

0,1

0,8

0,9

0,2

0,3

0,4

0,7

1 2 3 4 5 6 9 30

Tie

mp

o sg

.


0,5

0,6


7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2


Figura AP2.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.

Figura AP2.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP2.2 Astroid Caso de prueba 2.


NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,004 566899 0,00628766 53546 0,0075401 0,00573606 0,00507343 0,00489635 0,00515173 0,00472333 0,01933246 0,00MIN 0,00345643 0,00376072 0,00423282 0,0034591 0,00403463 0,00409511 0,00353076 0,00448623 0,00391177 0,00429559 MAX 0,00696905 0,01577446 0,02199411 0,00963597 0,00908316 0,00850914 0,00795192 0,08966576 0,01016315 0,0149839 MAE 0,03157941 0,03980494 0,03479556 0,03229052 0,03316553 0,03440018 0,03145551 0,06447499 0,03540071 0,0362641 DESVTÍP 0,00101554 0,00548592 0,00323881 0,00161525 0,00128141 0,00145545 0,00122922 0,09243294 0,0020516 0,00320392 CV 0,96995451 1,35746512 1,13468003 1,11614695 1,01961733 1,05042535 1,04980919 1,88448598 1,15325297 1,27114618 TCOMP 0,51537198 0,53920452 0,51917212 0,75935752 0,50970378 0,89973871 0,50182308 0,52110056 0,52339693 0,53267199







Tabla AP2.5. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 2.


Nº 3 4 5 6 7 Neuronas 1 2 8 9 10 MSET 0,008495662 0,00847777 0,00834307 0,00752948 0,00738815 0,00714159 0,00757966 0,00646146 0,00649454 0,00661825

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00662357 0,00877786 0,00741391 0,00682395 0,00684519 0,0067767 0,00690493 0,02004227 0,00760866 0,00801132

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00684174 0,00847206 0,00728833 0,00789027 0,00716697 0,00839306 0,00802728 0,00957859 0,0090317 0,00866866


A m ) e n A o ( P

0,015

0,020

0,025

Figura P2.6. Error edio (MSET n estimació Trayectoria stroid - cas de prueba 2 datos tabla A 2.6).

0,000

0,005

0,010

1 5 8 11 4 7

MSE

ro o

XY

MSE

2 3 4 6 7 9 10 12 13 1 15 16 1 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neu nas en la capa culta


r m ut M ci i ca a

Figu a AP2.7. Tie po de comp ación (TCO P) en estima ón Trayector a Astroid - so de prueb 2.

0,0

0,2

1,4

1 2 6 16 2 6

d la

0,4

0,6

mp

o

0,8sg.

1,0

1,2

TiTie

3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 3 24 25 2 27 28 29 30Nº e neuronas en capa oculta

e ciónmpo de computa


Figura AP2.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Astroid - caso de prueba 2.


0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP2.3 Astroi Caso de pr ba 3.

onas

d ue



NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,0064479 0,00547996 0,00754852 0,00892453 0,01149344 0,00679199 0,00566537 0,00630063 0,00628242 0,00678849 MIN 0,00424914 0,00420454 0,00410912 0,00440232 0,0043548 0,00395923 0,00458904 0,00368442 0,00386513 0,00382434 MAX 0,01247948 0,00847567 0,01773364 0,03101398 0,06091158 0,03099679 0,00788344 0,01138636 0,01812984 0,01654554 MAE 0,0379622 0,03597758 0,04224394 0,0455909 0,04774095 0,03852881 0,03823334 0,03969725 0,03903874 0,04229169 DESVTÍP 0,00300118 0,00165042 0,0052287 0,00958417 0,0305674 0,00583638 0,00164407 0,00248757 0,00305069 0,00325023 CV 1,25133758 1,08905971 1,27319043 1,40056922 1,52678002 1,20970869 1,03861954 1,14192363 1,12614049 1,1392335 TCOMP 0,532 0,5582952 853389 0,57743004 99535 0,54150698 0,53341273 0,94321222 0,52504617 0,56995132 0,51443552 0,53






Tabla AP2.8. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 3.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,00874061 0,00867731 0,00781627 0,00766626 0,00791173 0,00669442 0,00986633 0,00681934 0,00655163 0,00643674

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00659399 0,00628184 0,02120573 0,0068221 0,00654622 0,00732292 0,00749262 0,00683708 0,00726617 0,00709366

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00827769 0,00745876 0,00907354 0,01030693 0,0126863 0,00855804 0,00762646 0,00821709 0,00847397 0,00881724


Figura AP2.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3 (datos tabla AP2.9).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP2.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

mp

o sg

.




A ia D la (X t e


0,00

Figura P2.12. Desv ción típica ( ESVTIP) en estimación e Y) Trayec oria Astroid - caso de pru ba 3.

0,02

0,04

esvi 0,06ac

ió

0,08ntí

p

0,10

0,12

0,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Nº en la

14D

ica

D Xesviación tipica


de neuronas capa oculta

0,08

0,10

0,12

0,00

0,02

0,04

Err

0,06

orM

1 2 9 1 5 2 8

SE

e ta

3 4 5 6 7 8 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 26 27 2 29 30Nº de neuronas n la capa ocul

Error MIN X

Error MAX X


AP2.4 Astroid Resumen.

Figura AP2.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9)


0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


CP1

CP2

CP3

0,0000,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSETMIN





Astr Tiempo d mputaci nimo (TC PMIN) en tres simul nes.

TCOMPMIN

Tabla AP2.10. oid. e co ón mí OM las acio

Figura AP2.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP2.10).

0,0

0,1

0,2

0,3Tie

mp

o sg

.

0,4

1 2 1 5 2N e ta

3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8 29 30º de neuronas n la capa ocul

0,5

0,6

0,7

0,8

5‐41 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta



Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.

( i )

( ii ) Figura AP3.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Freeth

(con 17 -i- y 24 neuronas –ii-).

A‐44 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.

AP3.1 Freeth Caso de prueba 1.




Tabla AP3.1. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 1.





Tabla A a i – b

P3.2. Result dos trayector a Freeth - componente Y caso de prue a 1.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009934912 0,00941462 0,00934009 0,00870654 0,00897075 0,0092025 0,00815896 0,00865432 0,00806218 0,00826909

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00832313 0,01842825 0,00818215 0,00821115 0,00759254 0,00865078 0,00928648 0,01213319 0,00949835 0,00854589

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00821557 0,01198478 0,00846592 0,00837138 0,00898066 0,00938368 0,00894378 0,0090513 0,01084583 0,03646453

Tabla AP3.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.

Figura AP3.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 (datos tabla AP3.3).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP3.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.

0,0

0,1

0,2

0,9

1,0

0,3

Tie

mp

o sg

.

0,4

0,5

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta

0,6

0,7



Figura AP3.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.

Figura AP3.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,0000,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,0400,0450,050

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP3.2 Freeth Caso de prueba 2.


NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00678813 0,00747865 0,00702419 0,00683408 0,00580338 0,00606095 0,00600914 0,00613572 0,00614758 0,00675312 MIN 0,00571946 0,00516975 0,00522995 0,0043771 0,00420484 0,00493876 0,00453162 0,00494683 0,00457874 0,00520263 MAX 0,009 949094 0,01507629 68102 0,02251422 0,0108469 0,01639537 0,00692833 0,00772301 0,00953986 0,00747762 0,00MAE 0,0503369 0,04942925 0,05058942 0,04470773 0,04343344 0,04524802 0,04241477 0,04506424 0,0447059 0,04738261 DESVTÍP 0,00195669 0,0040559 0,00230869 0,00329724 0,00135292 0,00149952 0,0017702 0,00159369 0,00173248 0,00249692 CV 0,84473943 0,99942251 0,8966707 1,01935635 0,83912928 0,83908774 0,93313669 0,87432832 0,87810503 0,92329171 TCOMP 0,533527 0,52151186 0,52004658 0,51819473 0,59818575 0,54383172 0,54523621 0,50560215 0,51892534 0,50890428







Tabla AP3.5. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 2.


Nº 3 4 5 Neuronas 1 2 6 7 8 9 10 MSET 0,010102267 0,00967062 0,00920991 0,00909898 0,00892061 0,00838744 0,00858432 0,00831756 0,00826352 0,00851294

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,0087997 0,00970266 0,00893446 0,00866757 0,00835016 0,00931402 0,00803918 0,00812309 0,00846374 0,01004851

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00892125 0,01034823 0,01129325 0,00838442 0,01005583 0,00985006 0,00924943 0,01001234 0,00887154 0,01055593


m T) n F d P3

Figura AP3.6. Error edio (MSE en estimació Trayectoria reeth - caso de prueba 2 ( atos tabla A .6).

0,000

0,002

0,004

1 14 2 2 2 29

MSE

u pa

0,006

XY

0,008

0,010

0,012

MSE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 0 21 22 3 24 25 6 27 28 30Nº de ne ronas en la ca oculta


m u M c ri a 2

Figura AP3.7. Tie po de comp tación (TCO P) en estima ión Trayecto a Freeth - c so de prueba .

0,0

0,1

0,2

1,0

1 2 9 1 9 2 9

de l

0,3

0,4

emp 0,5

osg 0,6.

0,7

0,8

0,9

T utaciónTi

3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 6 17 18 1 20 21 22 23 24 25 6 27 28 2 30Nº neuronas en a capa oculta

iempo de comp




0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP3.3 Freeth aso de pru a 3.

onas

C eb







NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00529064 0,00585404 0,00528054 0,0119072 0,00579487 0,00575942 0,00532434 0,00572092 0,00575064 0,00576273 MIN 0,00413923 0,00396883 0,00452392 0,0044884 0,00498364 0,00466228 0,00419427 0,0042977 0,00465903 0,00489453 MAX 0,00628112 0,00676645 0,00627973 0,05068521 0,00695915 0,00738543 0,00608806 0,00731426 0,00756522 0,00742423 MAE 0,04044312 0,0447505 0,04091881 0,05513335 0,04488241 0,04417424 0,04032391 0,04244392 0,04261562 0,04385298 DESVTÍP 0,0010451 0,00129198 0,0009975 0,02857304 0,00120286 0,00124363 0,00108797 0,00135777 0,00137739 0,00127234 CV 0,79855 ,85584688 0,80430819 198 0,79664822 0,7708317 1,26883472 0,77034323 0,78666435 0,81732596 0,85339618 0TCOMP 0,5789257 0,50485412 0,56852373 0,52345893 0,51488896 0,55626896 0,51584122 0,58989741 0,56960972 0,58207506


Tabla AP3.8. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 3.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,00991593 0,0095009 0,0096824 0,00912099 0,00885056 0,00859991 0,00854814 0,00826248 0,00865471 0,00854586

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00790326 0,00845671 0,00816803 0,01333566 0,00853768 0,00830417 0,00791979 0,00903609 0,00847223 0,00837471

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00801444 0,00812937 0,00846528 0,0083219 0,00803184 0,00906517 0,00954166 0,00884262 0,00902088 0,00870276


Figura AP3.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 3 (datos tabla AP3.9).

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


0,0

Figur e p a or ca

a AP3.11. Ti mpo de com utación (TCOMP) en estim ción Trayect ia Freeth - so de prueba 3.

0,2

0,4

Tie

m

0,6po

0,8

1,0

1,

2 3 5 6 7 9 10 12 13 1 5 16 17 19 20 2 2 23 24 26 27 29 30

e c

2sg

.

Tiem

1 4 8 11 4 1 18 1 2 25 28Nº d neuronas en la apa oculta

p no de computació




0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP3.4 Freeth esumen.

AP e e ó ca a ct ( A


R

Figura 3.14. Error m dio (MSET) n la estimaci n en los tres sos de prueb (CP). Traye oria Freeth datos tablas P3.3, AP3.6 y AP3.9)

0,000

0,005

0,010

0

1 11e p

0,015MSE

0,02

XY

0,025

0,030

0,035

0,040

CP1

CP2

CP3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de n uronas en la ca a oculta

0,012

0,000

0,002

0,004

M

0,006

SEX

0,008

0,010

1 2 5 8 1 2 3Nº de neuronas capa oculta

3 4 6 7 9 10 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 28 29 0

Y

MSE

en la

TMIN





Tabla AP3.10. Freeth. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones.

Figura AP3.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP3.10).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

tiem

po

sg


TCOMPMIN




Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.

( i )

( ii ) Figura AP4.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Hypocycloid


A‐64 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.

AP4.1 Hypocycloid Caso de prueba 1.




Tabla AP4.1. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 1.


NºNeuronas 1 9 10 2 3 4 5 6 7 8MSE 0,006719794 0,00675282 0,00656239 0,00567497 0,00656714 0,00502347 0,00485928 0,00528786 0,00504548 0,00547458 MIN 0,00544631 0,00590288 0,00584147 0,00465984 0,00562322 0,00419179 0,00416189 0,00422084 0,0041672 0,00442217 MAX 0,008047597 0,00765001 0,00726878 0,00679713 0,00751314 0,0061168 0,0057425 0,00634904 0,0058063 0,00701483 MAE 0,052471314 0,05239211 0,05166758 0,04271606 0,04982094 0,03846577 0,03587249 0,0402309 0,0380791 0,04093062 DESVTÍP 0,001577679 0,0016245 0,00145417 0,00126965 0,00165474 0,0009429 0,00097999 0,00107081 0,00099109 0,00120147 CV 0,754315385 0,76721188 0,73643034 0,82639983 0,81095784 0,79272575 0,86752325 0,80732339 0,82279878 0,8405106 TCOMP 1,001865223 0,6414064 0,49805819 0,5242641 0,48172463 0,47896347 0,50611435 0,49889294 0,51127157 0,51320163



Tabla AP4 s y - Y r

.2. Resultado trayectoria H pocycloid componente – caso de p ueba 1.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009712487 0,00977937 0,00929698 0,0081643 0,0089402 0,00753622 0,00756946 0,00741567 0,00738617 0,00750097

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00752399 0,00762267 0,00722793 0,00717028 0,00718902 0,00716872 0,01088772 0,00746282 0,00759025 0,00778759

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00796626 0,00792521 0,00829846 0,00797696 0,00814387 0,00809126 0,00846717 0,00819631 0,00972144 0,00860643

Tabla AP4.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.

Figura AP4.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1 (datos tabla AP4.3).

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY



Figura AP4.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.

0,0

1,0

1,2

0,2

0,4

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

m s

g.

0,6po



) en la estimación (X e Y) Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.

Figura AP4.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Hypocyloid - caso de prueba 1.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




Figura AP4.4. Desviación típica (DESVTIP

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP4.2 Hypocycloid Caso de prueba 2.


NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,004784 0,00477832 0,00532366 0,00495556 0,00557464 0,00529697 0,00532125 0,0056742 0,00486564 0,02439393 MIN 0,00333232 0,00396947 0,0044163 0,00423605 0,00446158 0,00450717 0,00469029 0,00426791 0,004014 0,00507092 MAX 0,0 0,00643243 6264 0,07780694 0597708 0,00557366 0,00669304 0,00567265 0,00662967 0,0062851 0,00706139 0,0062MAE 0,06898832 0,0354765 0,03608246 0,03906938 0,03684149 0,0408759 0,03965397 0,03973578 0,04214245 0,0361245DESVTÍP 0,00094961 0,00088845 0,0011982 0,00099795 0,00132817 0,00112321 0,00113817 0,00133263 0,00097249 0,10299448 CV 0,85457044 0,82281079 0,87910786 0,85250242 0,87430189 0,83861784 0,84401861 0,85059531 0,85486713 2,50078755 TCOMP 0,91963537 0,56084929 0,52868545 0,50592754 0,88255136 0,51950359 0,56278988 0,52296821 0,55212655 0,60435967


Tabla AP4.4. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente X– caso de prueba 2.





Tabla AP4.5. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente Y – caso de prueba 2.


Nº 4 Neuronas 1 2 3 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009757892 0,00969878 0,00890732 0,00857116 0,00789549 0,00764148 0,00775039 0,00741695 0,00700992 0,00709693

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00740514 0,00710408 0,00730891 0,00720465 0,00775932 0,00754743 0,00778396 0,00817614 0,007106 0,02496799

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,01208614 0,00763997 0,0082881 0,00815373 0,00865781 0,00871464 0,00792001 0,01535919 0,00844898 0,00858776


d n Tr p a Figura AP4.6. Error me io (MSET) e estimación ayectoria Hy ocycloid - c so de prueba 2 (datos tabla AP4.6).

0,000

0,010

0,015

0

1 1 4 7 2

MS

ro o

0,005

0,020

0,025

0,03

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 1Nº de neu

15 16 1nas en la capa

18 19 20culta

21 22 23 24 25 26 7 28 29 30

E X

Y

MSE


0,2

0,

Tie

mp

o sg

.

Figura A o ci ) n Hy - e

P4.7. Tiemp de computa ón (TCOMP en estimació Trayectoria pocycloid caso de pru ba 2.

0,01

4

1,2

2 3 5 10 12 13 1 5 16 17 19 20 2 2 23 24 26 27 2 30e c

0,6

0,8

1,0

Tiemp

4 6 7 8 9 11 4 1 18 1 2 25 8 29Nº d neuronas en la apa oculta

o de computación


Figura AP4.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2.

Figura AP4.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X


AP4.3 Hypo ba 3

onas

cycloid Caso de prue .



NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00545884 0,00513168 0,00570851 0,005367 0,00604091 0,00561812 0,00619431 0,01000127 0,00584714 0,0307081 MIN 0,00410631 0,00392325 0,00456275 0,00463081 0,00462321 0,00434722 0,00469549 0,0046279 0,00444625 0,00580028 MAX 0,00671134 0,0068645 0,00730218 0,00673471 0,00775193 0,00647767 0,00999092 0,04425013 0,00708719 0,08494675 MAE 0,03948679 0,03685416 0,04062641 0,03899696 0,04268855 0,04126601 0,04451657 0,04907973 0,04261435 0,08475466 DESVTÍP 0,00131138 0,00119634 0,0014975 0,00125092 0,00170618 0,00132821 0,00176811 0,01643767 0,00147336 0,14610372 CV 0, 455 2,64425835 90404938 0,91485067 0,93935209 0,89622082 0,94767778 0,87714062 0,9090844 1,33951274 0,89304TCOMP 0,51505145 0,52979899 0,52657466 0,60349493 0,58753701 0,59698428 0,60424013 0,63835753 0,56981962 0,57362503

Tabla AP4.7. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente X– caso de prueba 3.



NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00494363 0,00505357 0,00564286 0,00504811 0,00561601 0,00575424 0,00691626 0,00608877 0,00531696 0,00540194 MIN 0,0041485 0,00409149 0,00466173 0,00425633 0,00437726 0,00442674 0,00438142 0,00400948 0,00395301 0,00451258 MAX 0,00607947 0,00624627 0,00693882 0,00604694 0,00681207 0,01305595 0,03644959 0,01442305 0,00650032 0,0070114 MAE 0,03702629 0,0370554 0,04190618 0,03850945 0,04199132 0,04123856 0,04245443 0,04171575 0,03962385 0,04106204 DESVTÍP 0,00097883 0,0010902 0,00130333 0,00096453 0,00127093 0,00172964 0,00700072 0,00236512 0,00115281 0,00112079 CV 0,84648996 0,80692648 0,83581907 0,87608736 0,85274759 0,80047774 0,83952197 0,88584134 0,99412463 0,93750713TCOMP 0,52072776 0,51419887 0,60287535 0,49907448 0,50755206 0,50670151 0,49974512 0,58667389 0,52761931 0,5074617


Tabla AP4.8. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente Y – caso de prueba 3.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010045381 0,01002084 0,00884945 0,0079584 0,00808678 0,00760162 0,00719607 0,00688232 0,00741474 0,00798294

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00703562 0,00731983 0,00758559 0,00734927 0,00779645 0,00764242 0,00866335 0,00804478 0,00778488 0,00741151

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00788168 0,00757095 0,00802968 0,00835405 0,01118032 0,00892074 0,02179488 0,01157116 0,01127675 0,03127903


Figura AP4.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3 (datos tabla AP4.9).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP4.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

mp

o sg

.




Figura AP4 ió S es e ri i r

AP4.1 i o c ú ro o l

.12. Desviac n típica (DE VTIP) en la timación (X Y) Trayecto a Hypocyclo d - caso de p ueba 3.

Figura 3. Error med o máximo (MAX) y mínim (MIN) para ada caso de n mero de neu nas. Trayect ria Hypocyc oid - caso de prueba 3.

0,00

0,02

0,04De

0,06svia

0,08ción

0,10

ica 0,12

0,14

0

1 2 9 9 2 2 2 9

Nº de neuronas en la

,16

3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 20 21 2 3 24 25 6 27 28 2 30

típ



capa oculta

0,00

0,01

0,02

0,03

Err

or M

0,04

6

1 2 1 5 25 8N e ta

0,05SE

0,0

0,07

0,08

0,09

Error MIN X

Error MAX X

3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 2 29 30º de neuronas n la capa ocul


AP4.4 Hypocycloid Res

Figura AP4.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9).


umen.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSETMIN





Tabla AP4.10. Hypocy d. Tiem omputaci mínimo (T MPMIN) s tres sim ones.

p ta ( N im a 4.

loi po de c ón CO en la ulaci

Figura AP4.16. Tiem o de compu ción mínimo TCOMPMI ) en las tres s ulaciones (d tos tabla AP 10).

0,0

0,2

0,4

1 2 1 18 1

M

s lt

0,6

XY

0,8

1,0

1,2

SE

TCOMP

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Nº de neurona

5 16 17en la capa ocu

19 20 2a

22 23 24 25 26 27 28 29 30

MIN




Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.

( i )

( ii ) Figura AP5.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Nephroid


A‐84 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.

AP5.1 Nephroid Caso de prueba 1.




Tabla AP5.1. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 1.





Tabla A d a o e

P5.2. Resulta os trayectori Nephroid - c mponente Y – caso de pru ba 1.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010866461 0,01046962 0,01045506 0,00861846 0,00886157 0,00833466 0,00773635 0,0074321 0,00777511 0,00763457

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00920423 0,00753969 0,0075181 0,00793477 0,00740138 0,00746629 0,00862252 0,0077328 0,00886065 0,00690464

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00758345 0,00928377 0,00798766 0,00848818 0,00788132 0,01072081 0,00969149 0,0085748 0,00872477 0,00892922

Tabla AP5.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.

Figura AP5.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1 (datos tabla AP5.3).

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSE


Figura AP5.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.

0,0

0,2

1,4

0,4

0,6

Tie

mp

o sg

.

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta

Tiempo de putacióncom


Figura AP5.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.

Figura AP5.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Des

viac

ión

típ

ica




0,0000,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,0400,045

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X




NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00589659 0,0063444 0,00595808 0,00678636 0,00572656 0,00557344 0,00666196 0,00618136 0,00582649 0,00583117 MIN 0,00 86574 0,00470382 474557 0,00509765 0,0047364 0,00462507 0,00451876 0,00459565 0,00496269 0,00469251 0,004MAX 0,01538096 0,0069394 0,00733468 0,00687403 0,00725187 0,00712542 0,01344532 0,00681902 0,00649004 0,009725MAE 0,04475835 0,04861575 0,04533428 0,04724251 0,04272003 0,04234057 0,0464261 0,04606419 0,04426094 0,0436515 DESVTÍP 0,00134131 0,00149695 0,00134915 0,00256206 0,00132578 0,00119124 0,00246906 0,00159231 0,00130074 0,00136658 CV 0,81041292 0,79240835 0,80592067 0,93280138 0,84563863 0,8081436 0,94078298 0,84082636 0,80843981 0,83741383 TCOMP 0,50242807 0,50556082 0,49172259 0,49830902 0,49905787 0,50219223 0,51937473 0,50200867 0,54600491 0,51810437

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00781737 0,00617448 0,00661294 0,00619055 0,00647085 0,00638913 0,00702579 0,00957893 0,00664841 0,00666452 MIN 0,00484469 0,00515004 0,00487827 0,00483332 0,00529126 0,00534652 0,00539882 0,00519401 0,00549939 0,00520343 MAX 0,02754949 0,00709992 0,00859439 0,00731788 0,00857054 0,00782676 0,01567417 0,02654746 0,00798569 0,0099237 MAE 0,04917197 0,0459317 0,04913893 0,04590002 0,04779988 0,0476432 0,04981325 0,05272163 0,0492672 0,04606119 DESVTÍP 0,00563454 0,00154532 0,00182243 0,00157522 0,00173894 0,00164631 0,00262677 0,01010169 0,00182566 0,00226164 CV 2551 1,03460603 0,85185059 0,84606275 0,85786587 0,86659875 0,84769569 0,90698878 1,25256797 0,85634655 0,979TCOM 0,50629427 0,53995782 0,51748236 0,5198618 0,5204826 0,53076543 0,52064874 0,83269363 0,58339932 0,54975521 P



Nº 3 4 5 6 7 8 9 10 Neuronas 1 2 MSE 0,008090424 0,00806558 0,00678953 0,00749218 0,0045878 0,00508906 0,00478798 0,00474374 0,00488304 0,00498575 MIN 0,006683397 0,00696872 0,00578392 0,00658712 0,00363628 0,0036255 0,00392757 0,00355969 0,00363715 0,00375904 MAX 0,009120851 0,00945135 0,00806269 0,00857052 0,00576103 0,00661695 0,00667859 0,00631909 0,00581531 0,00665485 MAE 0,063188429 0,06197793 0,05065718 0,05827092 0,03453354 0,03729997 0,0346188 0,03536528 0,03615771 0,03646582 DESVTÍP 0,002281152 0,00238763 0,00185737 0,00198084 0,00082782 0,0011034 0,00101292 0,00094054 0,0009847 0,0010669 CV 0,753407985 0,78774281 0,84472844 0,76263209 0,82907582 0,88233591 0,90579764 0,83647656 0,85925384 0,88326362 TCOMP 1,144818344 0,47705367 0,47525531 0,51474348 0,48422564 0,49333699 0,49748156 0,48177082 0,48898858 0,51081894

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00424282 0,00471583 0,00509011 0,0047257 0,00482164 0,00527354 0,0045232 0,00455594 0,00498069 0,00452287 MIN 0,0032973 0,00396133 0,00439502 0,00395414 0,00409493 0,00366706 0,00332195 0,00351113 0,00397194 0,00337164 MAX 0,00531697 0,00583774 0,00623901 0,0057336 0,00634425 0,01459844 0,00644402 0,00594899 0,00619874 0,00526157 MAE 0,03168328 0,03463355 0,03721095 0,03488556 0,0346822 0,03473661 0,03263409 0,03318503 0,03618986 0,03234905 DESVTÍP 0,0,0007309 0,00093994 0,00110785 0,00092952 0,00103622 0,00188408 0,00091661 00089924 0,0010835 0,00092052 CV 0,84131631 0,874123 0,8853963 0,86677713 0,91640131 1,02960716 0,90735013 0,89248554 0,89496099 0,93011946 TCOMP 0,50242807 0,50556082 0,49172259 0,49830902 0,49905787 0,50219223 0,51937473 0,50200867 0,54600491 0,51810437


Tabla A do a N o e

P5.5. Resulta s trayectori ephroid - c mponente Y – caso de pru ba 2.


NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010755482 0,01077957 0,00963257 0,0101979 0,00768883 0,00865639 0,00744988 0,00741224 0,0081262 0,00821112

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00726438 0,00790509 0,00783632 0,00826964 0,0074861 0,0076729 0,00805239 0,00767892 0,0076652 0,00737963

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00916891 0,00761173 0,00851718 0,00794702 0,00808104 0,00808498 0,00911074 0,01063862 0,00824795 0,00880013


m e so ( P

Figura AP5.6. Error edio (MSET) en estimación Trayectoria N phroid - ca de prueba 2 datos tabla A 5.6).

0,000

0,002

0,004

1 1 1 1 20 23 6 9

MS

ur a

0,006EX

0,008

0,010

0,012

Y

MSE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 4 15 16 7 18 19 21 22 24 25 2 27 28 2 30Nº de ne onas en la cap oculta



0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

mp

o sg

.




Figura AP5.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Nephroid - caso de prueba 2.

Figura AP5.9. - caso de prueba 2.

0,000

0,010

0,012

Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Nephroid

0,002

0,004

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

svia

ci

0,006ónt

0,008

ípic

a



De


0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Err

or M

SE


Error MIN X

Error MAX X




NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00607669 0,00583551 0,00591356 0,00706577 0,00624131 0,0062042 0,00590518 0,00631254 0,00600543 0,00579842 MIN 0,00554082 0,00502283 0,00483227 0,00578604 0,00505869 0,00504751 0,00439398 0,00525234 0,00492743 0,00459482 MAX 0,0073 0736261 0,00706267 1199 0,00695937 0,00835689 0,00818636 0,00909697 0,00720913 0,00695644 0,00836499 0,0MAE 378386 0,04710353 0,04611412 0,04446194 0,04741364 0,04490445 0,04365294 0,04664976 0,0449023 0,04497282 0,05DESVTÍP 0,00136457 0,00126194 0,00136064 0,00190047 0,00154756 0,00157164 0,00137287 0,00159137 0,00145123 0,00132745 CV 0,787045 0,77936018 0,80157457 0,80377285 0,81763736 0,85159684 0,82789554 0,82934841 0,83946681 0,82602318 TCOMP 0,48280899 0,51601952 0,49368872 0,50674203 0,48800349 0,51889495 0,51049355 0,50616054 0,50677526 0,64707501





NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0043196 0,00490387 0,00504572 0,00489085 0,00507889 0,00527445 0,00470158 0,00425108 0,00453654 0,00474864 MIN 0,00369043 0,00385109 0,00422557 0,00415612 0,00418907 0,0038526 0,00375457 0,00339885 0,00391603 0,00371619 MAX 0,00539284 0,00663194 0,00649246 0,00624421 0,00636114 0,00852543 0,0059811 0,00519325 0,00527906 0,00631198 MAE 0,03 47204 0,03330393 171698 0,03610616 0,03648891 0,03573599 0,03678255 0,03636068 0,03372525 0,03099196 0,033DESVTÍP 0,00078373 0,00101444 0,00112263 0,00102857 0,0011281 0,00143094 0,00099082 0,0007792 0,00085311 0,00107044 CV 0,87954068 0,86987744 0,90519831 0,88398016 0,90536092 0,98208377 0,92389402 0,88930406 0,86849882 0,96538161 TCOMP 0,48280899 0,51601952 0,49368872 0,50674203 0,48800349 0,51889495 0,51049355 0,50616054 0,50677526 0,64707501


Tabla AP5.8. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 3.


Nº 3 4 5 6 Neuronas 1 2 7 8 9 10 MSET 0,010857418 0,01064101 0,01070197 0,00943922 0,00829665 0,00879156 0,00795478 0,00745367 0,00783394 0,00760956

NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00745554 0,0076224 0,00777364 0,00859334 0,00804669 0,00814322 0,00754825 0,00761051 0,00752632 0,00749475

NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00804541 0,00760529 0,00823401 0,00858904 0,00821988 0,00922734 0,00803501 0,01091976 0,00841713 0,0090931


m ) n N s 3 A

Figura AP5.10. Error edio (MSET en estimació Trayectoria ephroid - ca o de prueba (datos tabla P5.9).

0,000

0,002

0,004

1 1 1 17 20 23 6 9

MS

ur a

0,006EX

0,008

0,010

0,012

Y

MSE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 4 15 16 18 19 21 22 24 25 2 27 28 2 30Nº de ne onas en la cap oculta



0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tie

mp

o sg

.




ac E a X to d ue

Figura AP5.13. Error medio m Nephroid - caso de prueba 3.

Figura AP5.12. Desvi ión típica (D SVTIP) en l estimación ( e Y) Trayec ria Nephroi - caso de pr ba 3.

áximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria

0,000

0,005

De

0,01svia 0

1 2 3 4 5 6 8 9 1 1 12 13 15 16 18 19 2 1 22 23 25 26 28 29 30

c

º n

0,015típ

i

0,020

0,025ió

nca

D Xesviación tipica

D Yesviación típica

7 0 1 14 17 0 2 24 27N de neuronas e la capa oculta

0,0160,0180,020

0,0000,0020,0040,006

Err 0,008

0,010

orM

0,012SE

0,014

1 2 9 12 22 25

s lt

3 4 5 6 7 8 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 26 27 28 29 30Nº de neurona en la capa ocu a

Error MIN X

Error MAX X


AP5.4 Nephroid Resumen.

Figura AP5.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9)


0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


CP1

CP2

CP3

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


MSETMIN





Tabla AP5.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones.

Figura AP5.16. Nephroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP5.10).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MSE

XY


TCOMPMIN



Anexo B

Resultados de los casos de prueba para la determinación

de las funciones de transferencia.

“Después de lo sucedido, hasta el necio es sabio.”

Homero.

RESUMEN: Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos

casos de prueba realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal

a implementar en lo relativo a la determinación de las funciones de transferencia a

utilizar en la capa oculta y capa de salida.

B.1 Casos de prueba.

B.2 Resultados trayectoria Line.

B.3 Resultados trayectoria Astroid.

B.4 Resultados trayectoria Freeth.

B.5 Resultados trayectoria Hypocycloid.

B.6 Resultados trayectoria Nephroid.

B.1 Casos de prueba.

La variable de Epochs, relativa al número de iteaciones a considerar en el aprendizaje, se especifica como 2000 (determinada empíricamente en el anterior apartado).

El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de Red

Neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de

salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por

estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.


Line

Astroid

Freeth

Hypocycloid

B-2 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia.

Nephroid



astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).

ii. Para cada prueba se considerará la utilización de una función de transferencia en la

capa oculta y otra en la capa de salida. Se toma como conjunto de funciones de

transferencia el especificado en la tabla 5.2, probándose todas las combinaciones

posibles.

iii. Cada prueba (configuración concreta con una función de transferencia para la capa

oculta y otra para la capa de salida), para un tipo de trayectoria previamente definido

(i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:










obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba,

considerándose las funciones de transferencia utilizadas (ii).


como la Y.

El resto de parámetros de las redes neuronales se configura de acuerdo a la tabla B.1.

TRAYECTORIA (CURVA)

NEURONAS EN LA CAPA OCULTA

“Epochs”

Line 5 2000

Astroid 12 2000

Freeth 15 2000

Hypocycloid 8 2000

Nephroid 20 2000

Tabla B.1. Configuración de parámetros de las redes neuronales.

Si bien se obtienen en las distintos casos de prueba los mismas variables estadísticas

consideradas para los casos de prueba del punto anterior, en este caso se valorará únicamente

el error medio en la estimación (MSET), calculado como la media de la distancia euclídea



Para cada tipo de trayectoria, la prueba se repetiré en tres simulaciones (cada una de ellas con

sus veinte trayectorias, generadas de forma independiente, y entrenamiento independiente del

B-3 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia.

sistema en cada simulación), tomando como resultado final el mínimo valor de error MSET

obtenido en las tres simulaciones para cada configuración de funciones de transferencia. Con

esta elección del mínimo de las tres simulaciones, como en el caso anterior, se pretende

eliminar aquellos casos en los que el entrenamiento del sistema provoque la caída en mínimos

locales.

Los resultados se reflejan en tablas con la siguiente estructura:

El eje Vertical corresponde a la Función de Transferencia de la Capa Oculta.

El eje Horizontal corresponde a la Función de Transferencia de la Capa de Salida.

En cada casilla se muestra el error MSET obtenido para la configuración de funciones

de transferencia determinada por los ejes (MSET mínimo para la tabla “global” o

MSET calculado para las tablas correspondientes a cada simulación).

Los resultados obtenidos se presentan en tablas expuestas a continuación donde cada dato

correspondiente al error MSET para una cierta configuración de la red neuronal se clasifica en

base al siguiente código de colores:

Rojo: error alto.

Naranja/amarillo: error intermedio.

Verde: error bajo. La mejor estimación se resalta enmarcando la casilla

correspondiente.

B-4 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia

B.2 Resultados trayectoria Line.

FTRANS compet hardlim Hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

compet 0,05202193 0,05178722 0,05175436 0,01439847 0,0151715 0,01466683 0,01400029 0,05184388 0,01429993 0,01438136 0,05219662 0,02229605 0,01414421

hardlim 0,05155227 0,05168341 0,0517621 0,01452692 0,01524519 0,01547697 0,01474664 0,05186697 0,01540487 0,03699277 0,05210392 0,01490321 0,01449503

hardlims 0,05185726 0,05179383 0,05165683 0,01500982 0,0149932 0,01465559 0,01433126 0,05198952 0,01473067 0,014571 0,05170738 0,03736302 0,01475259

logsig 0,05190274 0,05211887 0,05199594 0,01298954 0,01530743 0,01268511 0,00737407 0,0519644 0,0117041 0,00854326 0,05175532 0,035729 0,01277191

netinv 0,05160161 0,0519477 0,05194985 0,01587233 0,01590724 0,01547211 0,01292442 0,04861528 0,02135982 0,01443038 0,04922209 0,01421228 0,01498778

poslin 0,05202872 0,05186769 0,05190979 0,01183388 0,07369568 0,01322817 0,00911651 0,05187471 0,0133255 0,01210539 0,05177582 0,01096645 0,01319793

purelin 0,05204747 0,05139449 0,05134767 0,01374245 0,01544832 0,01423781 0,0136581 0,05179611 0,01413163 0,01326124 0,05153406 0,01427174 0,01424261

radbasn 0,05203545 0,05167667 0,05189563 0,012262 0,01441815 0,01539057 0,00833902 0,05186609 0,01475182 0,01001567 0,05186264 0,00982148 0,01405228

satlin 0,05137778 0,0519161 0,05177365 0,01338611 0,01424557 0,01502495 0,00954543 0,05208594 0,01305566 0,00872428 0,05200063 0,01141581 0,01505736

satlins 0,05191886 0,05195745 0,05200444 0,01334588 0,01532303 0,01225613 0,0090533 0,05160344 0,01253733 0,00997605 0,05185788 0,00939146 0,01538424

softmax 0,05156003 0,05220567 0,05210301 0,01511187 0,01553852 0,01234389 0,01069528 0,05191411 0,01246332 0,00865811 0,05160739 0,0081801 0,01373554

tansig 0,05242825 0,05220165 0,05172717 0,01404728 0,03161456 0,01242065 0,00756132 0,05159017 0,0124466 0,00838366 0,05227219 0,00976907 0,01492634

tribas 0,05173517 0,0516632 0,05206006 0,01348202 0,01381476 0,01120716 0,00831968 0,05211185 0,01310721 0,00882534 0,05184906 0,00828336 0,01472958

Tabla B.2. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.


FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin Satlins softmax tansig tribas

compet 0,05907181 0,05924061 0,05893267 0,01469818 0,01439182 0,01495671 0,01448152 0,05919995 0,01509232 0,01472261 0,05879922 0,01971806 0,01481239

hardlim 0,05911135 0,05928782 0,05871461 0,01469919 0,01424476 0,01477221 0,01477146 0,05889228 0,01471751 0,01446293 0,05902193 0,01466751 0,01510847

hardlims 0,05915459 0,05884077 0,05924663 0,01465315 0,01526503 0,01448313 0,01468171 0,05928811 0,01516145 0,01450431 0,0585617 0,0369534 0,01480234

logsig 0,0589316 0,05843751 0,05935321 0,01499284 0,01481364 0,01399189 0,00779745 0,05927691 0,01386034 0,00966098 0,0592619 0,0360323 0,01420575

netinv 0,05884611 0,05906987 0,05901582 0,02369006 0,0204191 0,01691198 0,01381648 0,05634264 0,01485574 0,01476122 0,05883049 0,03687745 0,01490414

poslin 0,05888919 0,05893726 0,05913228 0,01466161 0,02001398 0,01478315 0,00798058 0,05900102 0,01440679 0,01002494 0,0592698 0,05416991 0,01504415

purelin 0,05888905 0,05892336 0,05890819 0,04230646 0,01475092 0,01449381 0,01380266 0,0585705 0,0145416 0,0142532 0,0587747 0,01406066 0,01453352

radbasn 0,05862818 0,05918175 0,05868372 0,01453656 0,0139656 0,01492168 0,00876031 0,05892176 0,01511015 0,00744776 0,05859549 0,00979354 0,01511367

satlin 0,05913206 0,05922011 0,05917919 0,01497588 0,01634733 0,01460108 0,00833686 0,05919452 0,01759672 0,00761233 0,05873983 0,01111229 0,01501089

satlins 0,05889309 0,05890356 0,05897949 0,01423406 0,01342162 0,01469633 0,01046276 0,05915359 0,01464126 0,00956385 0,05843491 0,00874787 0,01504179

softmax 0,05915392 0,05897756 0,05906474 0,0138811 0,01449624 0,01326468 0,00976521 0,05906231 0,01476898 0,01208337 0,0589797 0,01241595 0,01482664

tansig 0,05895707 0,05890019 0,0587666 0,01431145 0,01343584 0,0148203 0,00783872 0,05881819 0,01468046 0,008325 0,05913659 0,01021018 0,01472845

tribas 0,05914101 0,05922873 0,05896511 0,01409166 0,04884176 0,01499497 0,00953679 0,05906356 0,01485255 0,01014277 0,05904677 0,00890184 0,01539608




compet 0,05243815 0,05210294 0,05272663 0,01484729 0,01467721 0,0145544 0,01479967 0,05215924 0,01469252 0,02768507 0,05210935 0,01416002 0,01479544

hardlim 0,05256379 0,05218721 0,05222747 0,01483786 0,01473925 0,01481117 0,01469743 0,05217349 0,03762846 0,04038548 0,05241429 0,03979323 0,01490266

hardlims 0,05221382 0,05206397 0,05222862 0,01465266 0,01485213 0,01458933 0,01459586 0,05272004 0,01474926 0,03690741 0,05270205 0,01451654 0,01461008

logsig 0,05222344 0,05204654 0,05243965 0,01487105 0,01285285 0,01420134 0,00725504 0,05242183 0,01248536 0,00936874 0,05230958 0,00756496 0,01293854

netinv 0,05209041 0,05238217 0,05257767 0,01872073 0,01699055 0,014767 0,01448064 0,04928329 0,01809058 0,01458752 0,05197468 0,01422059 0,01490667

poslin 0,05222521 0,05283915 0,05232409 0,01356995 0,01909519 0,01461633 0,00941024 0,05284947 0,01414227 0,01009203 0,052159 0,01164452 0,01424575

purelin 0,05277456 0,05257698 0,05267122 0,01441794 0,01499165 0,01447958 0,01372646 0,05249588 0,01445341 0,0142055 0,05243553 0,0143704 0,01398493

radbasn 0,05249353 0,05229388 0,0522849 0,0132389 0,01369279 0,01390944 0,00811356 0,05234279 0,01343866 0,0095238 0,05255694 0,00874744 0,01475642

satlin 0,05269041 0,05241207 0,05199814 0,01383495 0,01421928 0,01502915 0,0101752 0,05215254 0,01250876 0,00868135 0,05229141 0,00913326 0,01444081

satlins 0,05213613 0,05245637 0,05238354 0,01370155 1,53247416 0,01301495 0,00783361 0,05218173 0,01372179 0,01078325 0,05263901 0,01050068 0,01459441

softmax 0,05244 0,05253445 0,05236846 0,01383941 0,01485509 0,01294106 0,00817045 0,05246824 0,01989167 0,00975274 0,05203605 0,00945628 0,01476044

tansig 0,0525206 0,05235395 0,05240508 0,01410204 0,01396694 0,0143034 0,007472 0,05187935 0,01501342 0,00827471 0,05240859 0,00860396 0,01475631

tribas 0,05236491 0,05256972 0,05224551 0,01336191 0,07920944 0,01474258 0,00949929 0,05241518 0,01322382 0,01054281 0,0520069 0,0113729 0,01481477




compet 0,05202193 0,05178722 0,05175436 0,01439847 0,01439182 0,0145544 0,01400029 0,05184388 0,01429993 0,01438136 0,05210935 0,01416002 0,01414421

hardlim 0,05155227 0,05168341 0,0517621 0,01452692 0,01424476 0,01477221 0,01469743 0,05186697 0,01471751 0,01446293 0,05210392 0,01466751 0,01449503

hardlims 0,05185726 0,05179383 0,05165683 0,01465266 0,01485213 0,01448313 0,01433126 0,05198952 0,01473067 0,01450431 0,05170738 0,01451654 0,01461008

logsig 0,05190274 0,05204654 0,05199594 0,01298954 0,01285285 0,01268511 0,00725504 0,0519644 0,0117041 0,00854326 0,05175532 0,00756496 0,01277191

netinv 0,05160161 0,0519477 0,05194985 0,01587233 0,01590724 0,014767 0,01292442 0,04861528 0,01485574 0,01443038 0,04922209 0,01421228 0,01490414

poslin 0,05202872 0,05186769 0,05190979 0,01183388 0,01909519 0,01322817 0,00798058 0,05187471 0,0133255 0,01002494 0,05177582 0,01096645 0,01319793

purelin 0,05204747 0,05139449 0,05134767 0,01374245 0,01475092 0,01423781 0,0136581 0,05179611 0,01413163 0,01326124 0,05153406 0,01406066 0,01398493

radbasn 0,05203545 0,05167667 0,05189563 0,012262 0,01369279 0,01390944 0,00811356 0,05186609 0,01343866 0,00744776 0,05186264 0,00874744 0,01405228

satlin 0,05137778 0,0519161 0,05177365 0,01338611 0,01421928 0,01460108 0,00833686 0,05208594 0,01250876 0,00761233 0,05200063 0,00913326 0,01444081

satlins 0,05191886 0,05195745 0,05200444 0,01334588 0,01342162 0,01225613 0,00783361 0,05160344 0,01253733 0,00956385 0,05185788 0,00874787 0,01459441

softmax 0,05156003 0,05220567 0,05210301 0,01383941 0,01449624 0,01234389 0,00817045 0,05191411 0,01246332 0,00865811 0,05160739 0,0081801 0,01373554

tansig 0,05242825 0,05220165 0,05172717 0,01404728 0,01343584 0,01242065 0,007472 0,05159017 0,0124466 0,00827471 0,05227219 0,00860396 0,01472845

tribas 0,05173517 0,0516632 0,05206006 0,01336191 0,01381476 0,01120716 0,00831968 0,05211185 0,01310721 0,00882534 0,05184906 0,00828336 0,01472958

Tabla B.5. Trayectoria Line. MSET MIN para 20 trayectorias.


Figura B.1. Trayectoria Line. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig


FTRANS compet Hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

compet 0,86709131 0,708659 0,54822327 0,93580699 0,98403958 0,80509054 0,67001433 0,50717402 0,50440799 0,51034933 0,90256391 0,98113942 0,91993166

hardlim 0,70693154 0,60144777 0,54747442 0,50412474 1,07587511 0,83419146 0,91931006 0,67728804 0,60291548 0,52490323 0,51467344 0,50408827 0,5019483

hardlims 0,52087696 0,52048633 0,54593499 0,4769778 0,51133767 0,49699124 0,50473176 0,5017384 0,52537896 0,48673997 0,48491648 0,49284299 0,5220517

logsig 0,52062735 0,52220244 1,0107817 0,83248264 0,48284904 0,4914073 0,51042632 0,48660341 0,48373566 0,50110909 0,523705 0,49151509 0,48310595

netinv 0,49017462 0,91601197 0,72524184 0,51410856 0,49809263 0,49877785 0,52857453 0,50905222 0,53659304 0,58085487 0,56913022 0,52383224 0,5244583

poslin 0,51940804 1,09470166 0,81275894 0,57731932 0,51357975 0,50048951 0,61014826 0,53204727 0,48342364 0,48131366 0,51526628 1,12282599 0,52632677

purelin 0,50470421 0,48950844 1,06080213 0,63628053 0,48388559 0,50139072 0,49984885 0,50624688 0,49407243 0,50792449 0,97494157 0,63840794 0,48661435

radbasn 0,5313823 0,50830824 0,49592267 0,53079838 0,4980521 0,5038581 0,4852054 0,50954659 0,49818461 0,50841197 0,54352393 0,51144181 0,51241474

satlin 0,4917331 0,51142925 0,48234414 0,51618127 0,50670924 0,50335401 0,4964685 0,49712942 0,50201516 0,49260756 1,09474745 0,50484846 0,5360938

satlins 0,53474523 0,53681064 0,4881161 0,49939501 0,4868437 0,50271052 0,50140976 0,53000739 0,59745554 0,48231618 0,49407162 0,50385486 0,48977223

softmax 0,83332266 0,70331616 0,86955546 0,60600367 0,52788241 0,55673047 0,62995423 0,52914346 0,58245509 0,49565725 0,59507771 0,59647328 0,51167076

tansig 0,51037243 0,4831643 0,50357283 0,49513209 0,50473824 0,50973664 0,47875793 0,50018397 0,53254812 0,49577274 0,5030659 0,49847272 0,51082952

tribas 1,04253641 0,84555303 0,63182148 0,49652483 0,50141989 0,48026211 0,52379414 0,51094784 0,49117308 0,55804501 0,52893194 0,49932693 0,70686144

Tabla B.6. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.


B.3 Resultados trayectoria Astroid.

FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas

compet 0,05824886 0,0578247 0,05823235 0,0153511 0,01492616 0,01536369 0,01439047 0,05794158 0,01536851 0,01402525 0,0582602 0,01435691 0,01510308

hardlim 0,05850848 0,05843262 0,05844949 0,01546167 0,01436835 0,01509344 0,0143572 0,05797792 0,01542109 0,01466621 0,05808806 0,01459667 0,01534545

hardlims 0,05785966 0,05832761 0,05812102 0,01539607 0,01439855 0,01533726 0,01446635 0,05827874 0,0153924 0,01453243 0,0581648 0,01448281 0,01552404

logsig 0,05786076 0,05816258 0,05798813 0,0148612 0,01590594 0,01502286 0,00792687 0,05821261 0,01410358 0,00714644 0,05824034 0,00692216 0,01465904

netinv 0,05812284 0,05814942 0,0581002 0,02276716 0,02183498 0,05860925 0,0227956 0,05603476 0,01576281 0,01269327 0,04875993 0,01477899 0,01560459

poslin 0,05812009 0,0578204 0,05845233 0,01485931 0,02255026 0,01505004 0,00700306 0,05756881 0,01454118 0,00675081 0,0583762 0,00760113 0,01572045

purelin 0,05752956 0,05775787 0,05792859 0,0147043 0,01509296 0,01483751 0,00801618 0,05813426 0,014479 0,00796657 0,05827818 0,00814106 0,01551195

radbasn 0,05800711 0,05813559 0,05790315 0,01476181 0,02897695 0,01511351 0,00671555 0,0581335 0,01456981 0,03668644 0,05789722 0,00766171 0,01549647

satlin 0,05795464 0,05823222 0,0578689 0,01510955 0,0139881 0,01472726 0,00647686 0,05814947 0,01389532 0,00713326 0,05808252 0,00662604 0,01577433

satlins 0,05800254 0,0577612 0,05831256 0,01444193 0,01489703 0,01504802 0,0066877 0,0578265 0,01498827 0,00658975 0,05829983 0,00627713 0,01543048

softmax 0,05777851 0,05784816 0,05827348 0,01555153 0,01095607 0,01497257 0,00626344 0,05820794 0,01534434 0,0067346 0,05812818 0,03637487 0,01503979

tansig 0,05818736 0,05808548 0,05754 0,01422698 0,02401489 0,0144031 0,0061766 0,05823599 0,01428988 0,00604771 0,05837267 0,00710144 0,01505239

tribas 0,05770296 0,05775246 0,0576943 0,01494651 1,11639956 0,01423549 0,00736306 0,05796564 0,01394582 0,00702072 0,05793257 0,00674915 0,01586499

Tabla B.7. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.



compet 0,05878417 0,05869361 0,05821224 0,01603222 0,01448573 0,01578596 0,01424526 0,05820212 0,01616386 0,01397711 0,05842724 0,02980182 0,0159882

hardlim 0,05846932 0,05879052 0,05876731 0,01552809 0,01610961 0,0157444 0,01470655 0,05870266 0,01563807 0,03702383 0,05899358 0,01446314 0,01562859

hardlims 0,05869176 0,05904385 0,05846856 0,01581942 0,01452681 0,01590639 0,01463838 0,05916993 0,01555958 0,01482955 0,05872681 0,01432543 0,0158513

logsig 0,05844523 0,05869967 0,05842709 0,01493076 0,02957939 0,0154735 0,00812201 0,05878252 0,01448794 0,00641902 0,0585832 0,00661084 0,01586759

netinv 0,05870128 0,05867238 0,05879339 0,02012842 0,01858437 0,01844975 0,02293141 0,05589871 0,01614618 0,01430686 0,04835631 0,01464123 0,01629234

poslin 0,05875472 0,05829057 0,05852042 0,01518623 0,01675546 0,01512484 0,0076389 0,05870585 0,01531388 0,00697172 0,05884025 0,00969235 0,01637242

purelin 0,05869275 0,0585686 0,05858383 0,01514168 0,0143748 0,01549099 0,00778241 0,05887367 0,01533472 0,00800006 0,0590788 0,00814263 0,01613279

radbasn 0,05889331 0,05865085 0,05856149 0,01570655 0,14401548 0,01607927 0,00701993 0,05842187 0,0155324 0,0068375 0,05849756 0,00670086 0,01534206

satlin 0,05823314 0,05874017 0,05856342 0,01539524 24,0631419 0,01520624 0,00656755 0,05870456 0,01498573 0,00703927 0,05856364 0,00643658 0,01704833

satlins 0,05847941 0,05877306 0,05876786 0,01536836 0,0196164 0,01554343 0,00696259 0,05866103 0,01501303 0,00658636 0,05867676 0,00667264 0,01553325

softmax 0,0587996 0,05863146 0,05830756 0,01572887 0,01523014 0,01551262 0,00668353 0,05835188 0,01593681 0,00625849 0,05928913 0,00647096 0,01571597

tansig 0,05832626 0,05859302 0,05832663 0,01560552 0,0668454 0,01538872 0,00664799 0,05878928 0,01525138 0,00646294 0,05851909 0,00639415 0,0149503

tribas 0,05850636 0,058831 0,05834189 0,01548291 0,17752578 0,01563973 0,00666403 0,05887929 0,01533106 0,00727872 0,05860314 0,00654995 0,01726753




compet 0,05106917 0,05100313 0,05092944 0,01457118 0,01455391 0,01434726 0,0143569 0,05112111 0,01410189 0,0143685 0,05071403 0,01471979 0,01448163

hardlim 0,05068991 0,05116308 0,05080775 0,01465196 0,01455964 0,01424436 0,01440217 0,05079691 0,01453179 0,01475188 0,05131205 0,03533003 0,0146611

hardlims 0,05084274 0,05060384 0,050818 0,01465848 0,01464369 0,01437908 0,01464841 0,05087319 0,01466887 0,03654449 0,05090284 0,03839944 0,01454561

logsig 0,05038518 0,05097618 0,05077596 0,01268856 0,01739418 0,01424763 0,0068624 0,0512288 0,01333248 0,00635894 0,05058913 0,00654775 0,01389336

netinv 0,05100769 0,05101114 0,05113495 0,02309443 0,01669935 0,02772556 0,0275092 0,04922986 0,01595628 0,01526225 ERROR 0,01211846 0,01483627

poslin 0,05089225 0,05085932 0,05084948 0,01304038 0,01348429 0,01282374 0,00617718 0,05119585 0,01338945 0,00648005 0,0509391 0,0098792 0,01486609

purelin 0,05083573 0,0508506 0,05080494 0,01402685 0,01454723 0,01359028 0,00789732 0,05115507 0,01302896 0,00794519 0,05079607 0,00818456 0,01474341

radbasn 0,05130445 0,05049077 0,0509233 0,01285046 0,05733123 0,01424603 0,00740093 0,05079965 0,01345826 0,00734813 0,05068594 0,00675265 0,01356775

satlin 0,05079678 0,05107468 0,05068356 0,01245897 0,20732552 0,01327825 0,00662647 0,05077593 0,01359776 0,00669454 0,05084662 0,00651482 0,01546626

satlins 0,05104503 0,05067602 0,05099762 0,01338894 0,01960616 0,0138456 0,00669187 0,05084193 0,01299185 0,00684442 0,05059516 0,00696158 0,0149967

softmax 0,05045243 0,05056126 0,0505682 0,01289263 0,00852686 0,01404641 0,00812639 0,05074058 0,012721 0,00661879 0,05087968 0,00610345 0,01435554

tansig 0,05071919 0,05116801 0,05098375 0,01344397 0,02067559 0,01301661 0,00709314 0,05065765 0,01296276 0,00647631 0,05072768 0,00667203 0,01476117

tribas 0,05092534 0,05098772 0,0506626 0,01271084 0,01504926 0,01303434 0,00644538 0,05069033 0,01349935 0,00691298 0,05073467 0,00724278 0,01454918




compet 0,05106917 0,05100313 0,05092944 0,01457118 0,01448573 0,01434726 0,01424526 0,05112111 0,01410189 0,01397711 0,05071403 0,01435691 0,01448163

hardlim 0,05068991 0,05116308 0,05080775 0,01465196 0,01436835 0,01424436 0,0143572 0,05079691 0,01453179 0,01466621 0,05131205 0,01446314 0,0146611

hardlims 0,05084274 0,05060384 0,050818 0,01465848 0,01439855 0,01437908 0,01446635 0,05087319 0,01466887 0,01453243 0,05090284 0,01432543 0,01454561

logsig 0,05038518 0,05097618 0,05077596 0,01268856 0,01590594 0,01424763 0,0068624 0,0512288 0,01333248 0,00635894 0,05058913 0,00654775 0,01389336

netinv 0,05100769 0,05101114 0,05113495 0,02012842 0,01669935 0,01844975 0,0227956 0,04922986 0,01576281 0,01269327 0,04835631 0,01211846 0,01483627

poslin 0,05089225 0,05085932 0,05084948 0,01304038 0,01348429 0,01282374 0,00617718 0,05119585 0,01338945 0,00648005 0,0509391 0,00760113 0,01486609

purelin 0,05083573 0,0508506 0,05080494 0,01402685 0,0143748 0,01359028 0,00778241 0,05115507 0,01302896 0,00794519 0,05079607 0,00814106 0,01474341

radbasn 0,05130445 0,05049077 0,0509233 0,01285046 0,02897695 0,01424603 0,00671555 0,05079965 0,01345826 0,0068375 0,05068594 0,00670086 0,01356775

satlin 0,05079678 0,05107468 0,05068356 0,01245897 0,0139881 0,01327825 0,00647686 0,05077593 0,01359776 0,00669454 0,05084662 0,00643658 0,01546626

satlins 0,05104503 0,05067602 0,05099762 0,01338894 0,01489703 0,0138456 0,0066877 0,05084193 0,01299185 0,00658636 0,05059516 0,00627713 0,0149967

softmax 0,05045243 0,05056126 0,0505682 0,01289263 0,00852686 0,01404641 0,00626344 0,05074058 0,012721 0,00625849 0,05087968 0,00610345 0,01435554

tansig 0,05071919 0,05116801 0,05098375 0,01344397 0,02067559 0,01301661 0,0061766 0,05065765 0,01296276 0,00604771 0,05072768 0,00639415 0,01476117

tribas 0,05092534 0,05098772 0,0506626 0,01271084 0,01504926 0,01303434 0,00644538 0,05069033 0,01349935 0,00691298 0,05073467 0,00654995 0,01454918

Tabla B.10. Trayectoria Astroid. MSET MIN para 20 trayectorias.


Figura B.2. Trayectoria Astroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig



compet 1,23501669 0,873462 1,148254 0,88980684 0,54983362 0,4955033 0,50017789 0,51527142 0,53315974 0,55158091 0,52450876 0,49499921 0,48448139

hardlim 0,50097617 0,49594337 0,50154915 0,5400306 0,51107459 0,51980459 0,50614552 0,5007614 0,50426491 0,83544816 0,91084613 0,58983545 0,56636891

hardlims 0,61186225 1,0522714 0,85635899 1,12634309 0,71001397 0,58638219 0,52427332 0,49826405 0,49505108 0,5290322 0,52817313 0,56838446 0,87977245

logsig 1,11113043 0,7262952 0,99729153 0,87986038 0,49325678 0,59201673 0,53324524 0,54737679 0,52413596 0,52359134 0,51986172 0,50153699 0,50946831

netinv 0,51067221 0,50378878 0,49486225 0,50230001 0,50276763 0,49406965 0,50131128 0,51558992 0,6858845 0,50770196 0,7687806 0,50885683 0,53232783

poslin 0,52196278 0,50465595 0,49448702 0,51735262 0,49869601 0,49970986 0,51242437 0,51125572 0,50420818 0,49914499 0,50113907 0,5081242 0,50913927

purelin 0,4974062 0,51855409 0,49335201 0,80595605 0,51605025 0,48191232 0,49170966 0,5049939 0,50789606 0,49714889 0,4946098 0,8587514 0,49421917

radbasn 0,93902655 1,05894574 0,92383334 0,51268087 0,51457445 0,50144338 0,64677536 0,54443167 0,56828397 0,52720629 0,50016128 0,52481996 0,51176427

satlin 0,50027555 0,50369274 0,49198967 0,52126945 0,50023786 0,48640577 0,51883693 0,91175543 0,49809426 0,51708315 0,81851413 0,48922163 0,50318582

satlins 0,50633841 0,50524756 0,49563216 0,50533914 0,49028573 0,49229885 0,50364817 0,50227043 0,48599853 0,5013125 0,5042252 0,49408464 0,48996439

softmax 0,99133686 0,65061317 0,53750934 0,58086434 0,55165466 0,519619 0,5220422 0,84432607 0,98671738 0,60542213 0,55219644 0,51282148 0,49983751

tansig 0,99578615 0,94937013 0,75172136 0,48367339 0,50176675 0,50172542 0,49550655 0,50581203 0,49578493 0,51337825 0,50705524 0,61902771 0,51208763

tribas 0,50294674 0,49910488 0,51213747 0,49187013 1,01148669 0,52334295 0,49200587 0,49921469 0,4958684 0,4874484 0,49842776 0,51740408 0,57423945

Tabla B.11. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.


B.4 Resultados trayectoria Freeth.


compet 0,05242057 0,0522364 0,05195309 0,01466026 0,01491604 0,01459721 0,01450531 0,05237277 0,01446338 0,01460444 0,05251941 0,02152169 0,01448667

hardlim 0,05279448 0,05241301 0,05240517 0,01465496 0,01445192 0,01460119 0,0143366 0,05216731 0,01460727 0,01450638 0,0523474 0,01466815 0,01429496

hardlims 0,05275747 0,05227654 0,05241399 0,01467043 0,01440108 0,01432443 0,01455203 0,05277131 0,0147764 0,01467304 0,05271991 0,01444824 0,01476915

logsig 0,05203866 0,05281013 0,05222511 0,01426906 0,01467125 0,014551 0,0092041 0,05203435 0,01413454 0,00820773 0,05222358 0,00836595 0,01484323

netinv 0,05209932 0,05217003 0,05232645 0,02134914 0,05818605 0,02938791 0,04433672 0,04987471 0,01505894 0,01459647 0,0425577 0,01475026 0,01500116

poslin 0,05260095 0,05236401 0,05253638 0,01396904 0,0147544 0,01389022 0,00829917 0,05234051 0,01353538 0,00826246 0,05280134 0,00842222 0,01515028

purelin 0,05262629 0,05226954 0,05240553 0,01325159 0,01466122 0,01357897 0,00971108 0,05245476 0,01373359 0,00991039 0,0524231 0,01011821 0,01473955

radbasn 0,05222062 0,05238439 0,05238701 0,01469064 0,01558155 0,01386879 0,00911666 0,05270517 0,01385169 0,00867403 0,05280811 0,00830103 0,01527683

satlin 0,05256629 0,05212929 0,05249708 0,01454133 0,01773897 0,01482655 0,00835035 0,05207629 0,01421504 0,0089222 0,05223276 0,00879991 0,01501715

satlins 0,05238878 0,05233463 0,05256035 0,01375762 0,04105742 0,01419901 0,008605 0,05285801 0,01420307 0,00846167 0,0524692 0,00780562 0,01495363

softmax 0,05263783 0,05218535 0,05245135 0,01401439 0,01174586 0,01405319 0,00819933 0,05239812 0,01421137 0,00788897 0,05220844 0,01133169 0,01396647

tansig 0,05216508 0,05223832 0,05216843 0,01402992 0,01760031 0,01454266 0,01048575 0,05229262 0,01385217 0,00849658 0,05256729 0,0082156 0,01452198

tribas 0,05233956 0,05263842 0,05253582 0,01377481 0,01921832 0,01377878 0,00892702 0,05249591 0,01396382 0,00851994 0,05255024 0,00842256 0,01545074

Tabla B.12. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.



compet 0,0597193 0,05985494 0,05987519 0,01532465 0,01499708 0,01502271 0,01472001 0,05966335 0,01522872 0,01462597 0,0596003 0,01451738 0,01530161

hardlim 0,05916112 0,05969988 0,05969745 0,01500721 0,01492355 0,01505683 0,01423652 0,05917544 0,01538617 0,01466322 0,05878555 0,03757395 0,01550096

hardlims 0,05959841 0,0595494 0,05923837 0,01511175 0,01492552 0,01512563 0,01473261 0,05995096 0,04535604 0,01464512 0,05961471 0,01448239 0,01529652

logsig 0,05950906 0,0595797 0,05960508 0,01529634 0,01625764 0,01489452 0,00849156 0,05939295 0,01548664 0,00808279 0,05962905 0,00827971 0,01553759

netinv 0,05941013 0,05957734 0,05947158 0,0212454 0,01855317 0,01556506 49,3145944 0,05728008 0,01578653 0,0127457 0,04825819 0,01385964 0,01557296

poslin 0,05961733 0,05925149 0,05924414 0,01497504 0,0154055 0,01498734 0,00800773 0,05936055 0,01510847 0,00829403 0,05957705 0,00851929 0,0151656

purelin 0,05948212 0,05914148 0,05943447 0,01478915 0,01519694 0,0146874 0,00975702 0,05952954 0,01483492 0,0098724 0,05913558 0,01041655 0,01548729

radbasn 0,05968154 0,05959237 0,05993182 0,01568871 0,0152056 0,01539308 0,00845839 0,05940239 0,01521544 0,00839251 0,05976365 0,00802443 0,01562964

satlin 0,05925172 0,05925989 0,05917997 0,01496799 0,01672661 0,01475816 0,00839322 0,05953851 0,01469911 0,00856038 0,05932484 0,00821266 0,01559282

satlins 0,05924287 0,05959604 0,05967689 0,01481723 0,02790688 0,01528274 0,00804988 0,05951661 0,01485829 0,00769865 0,05950221 0,00807784 0,01537424

softmax 0,05972159 0,05925162 0,05962808 0,01467545 0,01216344 0,01517989 0,01048877 0,05953801 0,01505788 0,00874811 0,05961052 0,00821105 0,0153901

tansig 0,05992118 0,05914145 0,05960558 0,01547754 0,03467428 0,01507162 0,00898884 0,05946435 0,01535791 0,00807347 0,05965985 0,00827837 0,0149311

tribas 0,05954184 0,05939656 0,05920634 0,01497316 0,59547615 0,01527173 0,00894663 0,05935256 0,01500279 0,0086087 0,059934 0,00854169 0,0163719




compet 0,05593328 0,05566715 0,05634385 0,0149152 0,01481947 0,01458229 0,01425083 0,05608922 0,01490181 0,01472531 0,05604963 0,01893599 0,0149319

hardlim 0,05558951 0,05579779 0,05593824 0,01485904 0,01503696 0,01489805 0,01428626 0,05585829 0,01489671 0,01431342 0,05575238 0,01468166 0,01493828

hardlims 0,05633147 0,05629142 0,05587296 0,01448654 0,01449034 0,01476932 0,01459218 0,056388 0,01499082 0,01466098 0,05635377 0,01466476 0,01490649

logsig 0,05610313 0,05606069 0,05642499 0,0144826 0,01615543 0,01435623 0,00858634 0,05573907 0,01440478 0,00840501 0,05626345 0,00767236 0,01532483

netinv 0,05613458 0,05593146 0,05627747 0,01980504 0,01784926 0,02338012 0,06147645 0,05446757 0,01637526 0,01478609 0,04507712 0,01483734 0,01538006

poslin 0,05608443 0,05617711 0,05652121 0,01418359 0,01534856 0,01433968 0,00841391 0,05607472 0,01493347 0,00844955 0,05619113 0,00951815 0,01528491

purelin 0,05655102 0,05632434 0,05653345 0,01411083 0,01472426 0,01435399 0,00963877 0,05600474 0,01420261 0,00984704 0,05616941 0,01020929 0,01531687

radbasn 0,05622199 0,05574172 0,05571376 0,01447847 0,01648309 0,01446543 0,00879316 0,05597604 0,01494407 0,00820226 0,05660497 0,00810945 0,01474653

satlin 0,05598198 0,05639388 0,05583509 0,01481773 0,03765461 0,01425114 0,00828303 0,05581813 0,01447481 0,00826932 0,05596379 0,00830805 0,01505771

satlins 0,05624771 0,05584078 0,05608439 0,01451387 0,02748848 0,01471696 0,00837139 0,05599845 0,01431881 0,00886959 0,05614506 0,00809802 0,0149031

softmax 0,05613085 0,0561422 0,05623261 0,01383593 0,01507465 0,01500389 0,00821621 0,05608365 0,04297478 0,00842892 0,05596726 0,00788049 0,0147202

tansig 0,05562245 0,05596626 0,05618307 0,0147264 0,01777186 0,01497321 0,00815264 0,05574448 0,0145275 0,00835776 0,05610587 0,00786287 0,01492319

tribas 0,05588947 0,05598997 0,05610663 0,0145672 0,13116166 0,01492641 0,00837793 0,05621327 0,01490541 0,0088543 0,0565126 0,00855448 0,01625669




compet 0,05242057 0,0522364 0,05195309 0,01466026 0,01481947 0,01458229 0,01425083 0,05237277 0,01446338 0,01460444 0,05251941 0,01451738 0,01448667

hardlim 0,05279448 0,05241301 0,05240517 0,01465496 0,01445192 0,01460119 0,01423652 0,05216731 0,01460727 0,01431342 0,0523474 0,01466815 0,01429496

hardlims 0,05275747 0,05227654 0,05241399 0,01448654 0,01440108 0,01432443 0,01455203 0,05277131 0,0147764 0,01464512 0,05271991 0,01444824 0,01476915

logsig 0,05203866 0,05281013 0,05222511 0,01426906 0,01467125 0,01435623 0,00849156 0,05203435 0,01413454 0,00808279 0,05222358 0,00767236 0,01484323

netinv 0,05209932 0,05217003 0,05232645 0,01980504 0,01784926 0,01556506 0,04433672 0,04987471 0,01505894 0,0127457 0,0425577 0,01385964 0,01500116

poslin 0,05260095 0,05236401 0,05253638 0,01396904 0,0147544 0,01389022 0,00800773 0,05234051 0,01353538 0,00826246 0,05280134 0,00842222 0,01515028

purelin 0,05262629 0,05226954 0,05240553 0,01325159 0,01466122 0,01357897 0,00963877 0,05245476 0,01373359 0,00984704 0,0524231 0,01011821 0,01473955

radbasn 0,05222062 0,05238439 0,05238701 0,01447847 0,0152056 0,01386879 0,00845839 0,05270517 0,01385169 0,00820226 0,05280811 0,00802443 0,01474653

satlin 0,05256629 0,05212929 0,05249708 0,01454133 0,01672661 0,01425114 0,00828303 0,05207629 0,01421504 0,00826932 0,05223276 0,00821266 0,01501715

satlins 0,05238878 0,05233463 0,05256035 0,01375762 0,02748848 0,01419901 0,00804988 0,05285801 0,01420307 0,00769865 0,0524692 0,00780562 0,0149031

softmax 0,05263783 0,05218535 0,05245135 0,01383593 0,01174586 0,01405319 0,00819933 0,05239812 0,01421137 0,00788897 0,05220844 0,00788049 0,01396647

tansig 0,05216508 0,05223832 0,05216843 0,01402992 0,01760031 0,01454266 0,00815264 0,05229262 0,01385217 0,00807347 0,05256729 0,00786287 0,01452198

tribas 0,05233956 0,05263842 0,05253582 0,01377481 0,01921832 0,01377878 0,00837793 0,05249591 0,01396382 0,00851994 0,05255024 0,00842256 0,01545074

Tabla B.15. Trayectoria Freeth. MSET MIN para 20 trayectorias.


Figura B.3. Trayectoria Freeth. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig



compet 0,92421465 0,68571107 1,03970157 0,67732712 0,52101781 0,49706825 0,49232721 1,10378951 0,90083564 0,74471961 0,60922509 0,51351035 0,50074074

hardlim 0,51454811 0,50009604 0,51157341 0,51569771 0,85165037 0,67175903 0,58187334 0,54998152 0,50860479 0,85023576 0,67154467 0,55660196 0,51834824

hardlims 1,01126828 0,99641707 0,88216282 0,97942185 0,97705984 0,78015748 1,00981234 0,68293371 0,56284028 0,50910361 0,51254715 0,50286651 0,5054757

logsig 1,05857537 0,87033818 1,00302535 0,50703619 0,50235796 0,49152893 0,51695551 0,52555705 0,49706744 0,51176305 1,06122103 0,52963232 0,5175528

netinv 0,50507251 0,52066486 0,51245273 0,49576751 0,50815581 0,50663584 0,50167882 0,49460089 0,50866679 0,50091417 1,02063164 0,50042305 0,51243936

poslin 0,49805415 0,48965845 0,49487927 0,49599402 0,51755928 0,49311009 0,48214208 0,49011067 0,50394965 0,50788755 0,50201231 0,53620373 0,62507436

purelin 0,54859568 0,53600963 0,51937425 0,4865399 0,49948051 0,48827747 0,49008109 0,50119296 0,49265908 0,50289123 0,50628654 0,87227066 0,48889543

radbasn 0,89473834 0,64691273 0,56900283 0,76405172 0,49453524 0,51608834 0,52742753 0,50763146 0,50305129 0,49168778 1,03754257 0,52280563 0,52607695

satlin 0,49231384 0,49278713 0,50670432 0,50207471 0,55479145 0,6201457 0,4880931 0,50220843 0,50027433 0,50014588 0,50385969 0,50482857 0,48880344

satlins 0,50806018 0,49277457 0,4964114 0,50338356 0,50126995 0,51091291 0,50853833 0,48991819 0,50337465 0,50803343 0,50564954 0,50596277 0,49999027

softmax 0,5083029 0,53482032 0,97425614 0,51398932 0,52127998 0,52670949 0,51380616 0,54554723 0,49359514 0,51991359 0,5045202 0,51634403 0,50642877

tansig 0,50155522 0,49888241 0,50297835 0,49376938 0,50836612 0,49903437 0,50797184 0,50809259 0,52245633 0,52119772 0,52180555 0,50375191 0,50551663

tribas 0,95872538 0,72570236 0,65744757 0,50789971 0,53862855 0,5021128 0,49593486 0,95609268 0,5008003 0,50099481 0,50440309 0,50438567 0,5050952

Tabla B.16. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.


B.5 Resultados trayectoria Hypocycloid.


compet 0,05584273 0,05582348 0,05577733 0,01478297 0,01441378 0,01483746 0,01470261 0,05640083 0,01497235 0,01453205 0,05548964 0,02978095 0,01507383

hardlim 0,05576986 0,05586833 0,05543251 0,01502324 0,01513316 0,01506182 0,01439829 0,05547845 0,01527809 0,01488543 0,05599228 0,01460834 0,01492597

hardlims 0,05572063 0,05593487 0,05590684 0,01494631 0,01521684 0,01499487 0,01469989 0,05581687 0,0151876 0,01462547 0,05554759 0,01456936 0,01504495

logsig 0,05577046 0,05588582 0,05581149 0,01500258 0,02253858 0,01439749 0,00711672 0,05559269 0,01432611 0,00708254 0,05564372 0,00714719 0,01521916

netinv 0,05576012 0,05573751 0,05573134 0,020525 0,01751452 0,16827518 0,01745729 0,05289275 0,01499877 0,01458463 0,04991742 0,01430569 0,01504881

poslin 0,05603244 0,05622116 0,0561257 0,0147541 0,01496118 0,01412007 0,00751864 0,05584564 0,01381068 0,00754077 0,05563629 0,00838319 0,01527498

purelin 0,05577574 0,05587626 0,05555441 0,01413332 1,59907528 0,01472756 0,00953413 0,05579777 0,01442259 0,0093794 0,05603373 0,00990693 0,01484856

radbasn 0,05553956 0,05585759 0,05577344 0,0150163 0,01700964 0,01456242 0,00751318 0,05577248 0,0146633 0,00755028 0,05624918 0,0072976 0,01419451

satlin 0,05573711 0,05582437 0,05541586 0,01400773 0,02984195 0,01494006 0,00816804 0,05570286 0,01428492 0,00760539 0,05562805 0,00758363 0,01482894

satlins 0,05593346 0,05561111 0,05592908 0,01458926 0,01763458 0,01366517 0,00751669 0,05595113 0,01432797 0,00766409 0,05568621 0,00752811 0,01517983

softmax 0,05617676 0,05577206 0,05590282 0,01447338 0,01391599 0,0146571 0,0086832 0,0556565 0,01503648 0,00791801 0,05574442 0,00762879 0,01505058

tansig 0,05553475 0,05588021 0,05571918 0,01388676 0,01517689 0,01433482 0,00729736 0,05599261 0,01447045 0,00734433 0,05598421 0,00736602 0,015108

tribas 0,05601723 0,05602168 0,05593807 0,01431697 0,01541381 0,01455982 0,00877944 0,05532311 0,01410181 0,007955 0,05577932 0,00793762 0,015157

Tabla B.17. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.



compet 0,04779094 0,04783357 0,04756554 0,01445824 0,01495419 0,0150416 0,01447766 0,04812417 0,0141133 0,01442997 0,04813087 0,03685203 0,0146416

hardlim 0,04755013 0,04773446 0,04810777 0,01513744 0,01511057 0,01454707 0,01452477 0,04779694 0,01453513 0,052401 0,04828742 0,01475372 0,01442161

hardlims 0,04790215 0,04808307 0,04799835 0,01446547 0,01484744 0,01457908 0,01441751 0,04814491 0,0144026 0,0523615 0,04804095 0,03756078 0,01487876

logsig 0,04801624 0,04788278 0,04815007 0,01212027 0,01774298 0,0141001 0,00726303 0,04842337 0,01209205 0,00697253 0,04785885 0,00718584 0,0145534

netinv 0,04801974 0,04811086 0,04794664 0,0199019 0,02233432 0,04959794 0,01585909 0,04636088 0,0150996 0,01469276 ERROR 0,01457731 0,01571451

poslin 0,04802235 0,04755524 0,04772434 0,01338619 0,01667152 0,01228994 0,00843005 0,04823202 0,01185863 0,00843207 0,04767995 0,00745862 0,01432764

purelin 0,04804484 0,04763715 0,04826704 0,01320932 0,01497578 0,01290237 0,00931787 0,04787986 0,01274392 0,01008072 0,04769981 0,01000907 0,01438709

radbasn 0,04792669 0,04793479 0,04769184 0,0125524 0,01726622 0,01497263 0,00776909 0,04794871 0,01210411 0,00783347 0,04827354 0,0081606 0,01405717

satlin 0,04804372 0,04812213 0,04765253 0,0134918 0,02691021 0,01303065 0,00933095 0,04806492 0,01238037 0,00787091 0,04727552 0,00755285 0,01553262

satlins 0,04815669 0,04805695 0,04780503 0,01363618 0,01615383 0,0142765 0,00803689 0,04780383 0,01192315 0,00818025 0,04805145 0,00726322 0,01397685

softmax 0,04801338 0,04782412 0,04786886 0,01352198 0,01414375 0,01333608 0,00790739 0,04810566 0,01364118 0,00796992 0,04803187 0,03603409 0,00841369

tansig 0,04778848 0,04816449 0,0479696 0,01304891 0,01559588 0,01527272 0,00720248 0,04769522 0,01202273 0,00738219 0,04780348 0,00740091 0,01511199

tribas 0,04775189 0,04766787 0,04758162 0,01257126 0,03010186 0,01185461 0,00852745 0,048253 0,01203185 0,00882292 0,04737334 0,00782591 0,01521823




compet 0,05142839 0,05156061 0,05131337 0,01473142 0,01448157 0,01446264 0,01429771 0,05167212 0,01460888 0,01436188 0,05174598 0,03600901 0,01481555

hardlim 0,05160641 0,05173929 0,05159732 0,0144171 0,0145422 0,0148092 0,01442473 0,05140252 0,01461319 0,01437206 0,05142107 0,01481067 0,01453729

hardlims 0,05156986 0,05122315 0,05150956 0,01438055 0,01488225 0,01491913 0,01446809 0,05147332 0,01482056 0,01449647 0,05152262 0,01457657 0,01474971

logsig 0,05135655 0,05142361 0,05103828 0,01311855 0,01418054 0,013603 0,00741646 0,05178138 0,01242075 0,00722625 0,0516925 0,00708113 0,01402563

netinv 0,05157254 0,05153695 0,0516068 0,0162465 0,01567448 0,01921698 0,01494571 0,04958842 0,01443247 0,01458546 0,04463235 0,01453452 0,01538453

poslin 0,05202402 0,05157178 0,05154306 0,01392274 0,52792089 0,01231081 0,00769694 0,05169127 0,01242547 0,00770335 0,05136016 0,00814811 0,01481648

purelin 0,05138184 0,05182049 0,05158931 0,01328469 0,01479629 0,01298115 0,00952837 0,05147824 0,01295529 0,00968729 0,0516174 0,00977193 0,01371491

radbasn 0,05153736 0,05135981 0,05159197 0,01212432 0,01865809 0,01406004 0,00749946 0,05159698 0,01248263 0,00814419 0,05165324 0,00750356 0,01575108

satlin 0,05156518 0,05119752 0,05163216 0,01312805 0,15902856 0,01349313 0,00762292 0,05156668 0,01260815 0,0072191 0,05112588 0,00813129 0,01451421

satlins 0,05161473 0,05157973 0,05136309 0,01219146 0,14800383 0,0144673 0,00825944 0,05160849 0,01241326 0,00762525 0,05189592 0,0080559 0,01395043

softmax 0,05178788 0,05146579 0,05163025 0,01200431 0,01088993 0,01472958 0,00797163 0,0517164 0,01299347 0,00774728 0,0516044 0,03469597 0,01429973

tansig 0,05149807 0,05145555 0,05143815 0,01249445 0,01493475 0,01403451 0,00748578 0,0513414 0,01204099 0,00769227 0,05141024 0,00738954 0,01416443

tribas 0,05131578 0,05183743 0,05130022 0,01266552 0,02274549 0,01236172 0,0081598 0,05158342 0,01216287 0,00768026 0,05162791 0,00761679 0,01577748




compet 0,04779094 0,04783357 0,04756554 0,01445824 0,01441378 0,01446264 0,01429771 0,04812417 0,0141133 0,01436188 0,04813087 0,02978095 0,0146416

hardlim 0,04755013 0,04773446 0,04810777 0,0144171 0,0145422 0,01454707 0,01439829 0,04779694 0,01453513 0,01437206 0,04828742 0,01460834 0,01442161

hardlims 0,04790215 0,04808307 0,04799835 0,01438055 0,01484744 0,01457908 0,01441751 0,04814491 0,0144026 0,01449647 0,04804095 0,01456936 0,01474971

logsig 0,04801624 0,04788278 0,04815007 0,01212027 0,01418054 0,013603 0,00711672 0,04842337 0,01209205 0,00697253 0,04785885 0,00708113 0,01402563

netinv 0,04801974 0,04811086 0,04794664 0,0162465 0,01567448 0,01921698 0,01494571 0,04636088 0,01443247 0,01458463 0,04463235 0,01430569 0,01504881

poslin 0,04802235 0,04755524 0,04772434 0,01338619 0,01496118 0,01228994 0,00751864 0,04823202 0,01185863 0,00754077 0,04767995 0,00745862 0,01432764

purelin 0,04804484 0,04763715 0,04826704 0,01320932 0,01479629 0,01290237 0,00931787 0,04787986 0,01274392 0,0093794 0,04769981 0,00977193 0,01371491

radbasn 0,04792669 0,04793479 0,04769184 0,01212432 0,01700964 0,01406004 0,00749946 0,04794871 0,01210411 0,00755028 0,04827354 0,0072976 0,01405717

satlin 0,04804372 0,04812213 0,04765253 0,01312805 0,02691021 0,01303065 0,00762292 0,04806492 0,01238037 0,0072191 0,04727552 0,00755285 0,01451421

satlins 0,04815669 0,04805695 0,04780503 0,01219146 0,01615383 0,01366517 0,00751669 0,04780383 0,01192315 0,00762525 0,04805145 0,00726322 0,01395043

softmax 0,04801338 0,04782412 0,04786886 0,01200431 0,01088993 0,01333608 0,00790739 0,04810566 0,01299347 0,00774728 0,04803187 0,00762879 0,00841369

tansig 0,04778848 0,04816449 0,0479696 0,01249445 0,01493475 0,01403451 0,00720248 0,04769522 0,01202273 0,00734433 0,04780348 0,00736602 0,01416443

tribas 0,04775189 0,04766787 0,04758162 0,01257126 0,01541381 0,01185461 0,0081598 0,048253 0,01203185 0,00768026 0,04737334 0,00761679 0,015157

Tabla B.20. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN para 20 trayectorias.


Figura B.4. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig



compet 0,98452394 1,01815576 0,74891685 0,89507183 0,55957666 0,50395776 0,56923704 0,82495628 0,83996917 0,96452161 0,71398389 0,53131154 0,50640851

hardlim 0,49168413 0,49060382 0,90425203 0,62618303 0,51624232 0,49718536 0,49294557 0,49959843 0,49651392 0,52270311 0,4968774 0,49689644 0,50614796

hardlims 0,91555799 0,65775594 0,55598482 0,50213995 0,50809503 0,49433993 0,50157022 1,01024065 1,0110989 0,91866155 0,91317613 0,9100827 0,71166847

logsig 0,60290127 0,53370192 0,52506714 0,49636034 0,50534117 0,51293737 0,50598222 0,98404741 0,51736396 0,51447152 0,50851361 0,52788624 0,51100286

netinv 0,51266061 0,49470746 0,97529228 0,51728252 0,49193618 0,48942788 0,49347479 0,49300311 0,49341968 0,54329949 0,99697303 0,50481074 0,48931604

poslin 0,49173397 0,49198359 0,49297232 0,53436364 0,48683125 0,49542145 0,50437432 0,49988168 0,49844478 0,49908542 0,50681819 0,50996672 0,86637313

purelin 0,64994619 0,54226943 0,49758409 0,48860124 0,49343062 0,49178219 0,48416573 0,48549322 0,48562775 0,49073349 1,00776639 1,00743533 0,49347519

radbasn 0,50004863 0,52664101 0,4963344 0,50111435 0,4936004 0,50180605 0,6308171 1,08714359 0,49500732 0,50669135 1,0566518 0,50483748 0,48807608

satlin 0,98130247 1,01215854 0,66689278 0,48951865 0,49945134 0,48901578 0,51006276 0,91266028 0,49189282 0,50077072 0,50678172 0,503029 0,50120309

satlins 0,51234211 0,4985866 1,04466588 0,49231384 0,50883414 0,52203166 0,48058037 0,49168778 0,48729887 0,48626881 0,49152853 0,50204513 0,50521717

softmax 0,50309383 0,51028522 0,48750675 0,66923007 0,49235477 0,50494527 0,55636491 0,49686848 0,50135505 0,78192261 0,96701288 0,49772308 0,7789394

tansig 0,66647135 0,99264976 0,99967421 0,49299217 0,49531812 0,51136391 0,51521793 0,97467635 0,52836116 0,49769229 0,49624566 0,49277538 0,51155234

tribas 0,5016934 0,51011179 0,47945792 0,48756064 0,49659901 0,48727577 0,48295089 0,48995547 0,51817197 0,47829211 0,50730607 0,50829844 0,49191227

Tabla B.21. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.


B.6 Resultados trayectoria Nephroid.


compet 0,05272916 0,05269444 0,05260052 0,01438913 0,01445082 0,0144996 0,01455578 0,05268117 0,01478944 0,01443844 0,05256725 0,03550177 0,01463572

hardlim 0,05308191 0,05258629 0,05275473 0,0144782 0,01465208 0,01420167 0,01460898 0,05271765 0,01442473 0,01458724 0,05311238 0,01434443 0,01461425

hardlims 0,05304993 0,05263038 0,05294235 0,01480731 0,01461447 0,01469416 0,01456745 0,05257648 0,01471319 0,01474142 0,05274291 0,03966785 0,01453961

logsig 0,05309197 0,0526154 0,05254626 0,01479426 0,01999795 0,01433683 0,00765486 0,0529891 0,01348037 0,00780173 0,05316895 0,00785089 0,01412754

netinv 0,05270102 0,05310233 0,05238574 0,01646731 0,07135702 0,01964504 0,01654852 0,0494703 0,0154216 0,0148812 ERROR 0,0134652 0,01533374

poslin 0,05283822 0,05350865 0,05316601 0,01384667 0,02057979 0,01470395 0,0081437 0,05296861 0,01412042 0,00799386 0,05323895 0,00771835 0,01483563

purelin 0,05295728 0,0527207 0,05286995 0,01421002 0,01487307 0,01466825 0,01122569 0,05297237 0,01385516 0,01155151 0,05243825 0,01167178 0,01479587

radbasn 0,05323912 0,05291175 0,05298136 0,01323456 0,01456282 0,0145856 0,00741897 0,05272596 0,01362529 0,04019311 0,05274852 0,01031957 0,01357743

satlin 0,0531922 0,05292156 0,05283886 0,01348659 0,02383462 0,01397455 0,00811128 0,05310882 0,01440647 0,00778247 0,0533379 0,00804776 0,01503138

satlins 0,0529404 0,05276839 0,05293211 0,01319145 0,01448955 0,0135699 0,00824191 0,05300778 0,01331801 0,00750927 0,05303036 0,0078573 0,01531456

softmax 0,05272893 0,05276472 0,05299337 0,0140707 0,01366598 0,01463223 0,00721647 0,05302117 0,03938984 0,00773288 0,05296516 0,0076613 0,01411204

tansig 0,05286417 0,05323739 0,05284548 0,01377967 0,02112602 0,01331651 0,01147348 0,05282406 0,01373007 0,00742076 0,05323583 0,00781401 0,01508089

tribas 0,05282113 0,05278722 0,05280664 0,01348297 0,03172451 0,01303621 0,0085512 0,05297289 0,01377955 0,00740269 0,05303335 0,00755068 0,0160838

Tabla B.22. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.



compet 0,04927086 0,04924162 0,04953692 0,01478804 0,01498654 0,01479594 0,0146955 0,0494476 0,03562783 0,0143557 0,04917509 0,01573194 0,01447582

hardlim 0,0495177 0,04901265 0,04888001 0,01473445 0,01474494 0,01460797 0,01460622 0,04929093 0,01463715 0,01448999 0,04935336 0,01440659 0,01463018

hardlims 0,04939245 0,0491636 0,04954279 0,01443175 0,01449954 0,01459768 0,01460901 0,04901691 0,01462742 0,03641226 0,04931271 0,03537903 0,01468973

logsig 0,04906956 0,04930145 0,04966953 0,01203969 0,02016156 0,01258002 0,00737791 0,04948394 0,01235929 0,00736829 0,04912827 0,01017042 0,0125889

netinv 0,04946656 0,04917206 0,04926789 0,02194731 0,01490385 0,02837284 0,01829261 0,04736406 0,01499849 0,01492104 0,03577993 0,01350197 0,01564307

poslin 0,04892857 0,04929093 0,04884861 0,01441846 0,01682408 0,01451906 0,00793011 0,04942522 0,01227465 0,00745139 0,04887734 0,01183972 0,01490972

purelin 0,04892588 0,04977161 0,04886678 0,01321828 0,01461444 0,01333557 0,01122528 0,04918177 0,01338239 0,0109948 0,0494198 0,01174271 0,01481477

radbasn 0,04874887 0,04917906 0,04931437 0,01293655 0,02400965 0,01412438 0,00766284 0,04942833 0,0126126 0,00766124 0,04906683 0,0078312 0,01302619

satlin 0,04942564 0,0494321 0,04882434 0,01214987 0,01965382 0,01325853 0,00774506 0,04918636 0,01242701 0,00804484 0,04915203 0,00787141 0,01474467

satlins 0,04962013 0,04914584 0,04942024 0,0121553 0,13700828 0,0141702 0,00798198 0,04931958 0,01206515 0,00764762 0,04903354 0,0074854 0,01531672

softmax 0,04919309 0,0487668 0,04856789 0,01289999 0,01740938 0,01422437 0,0077693 0,04948869 0,01248302 0,00705065 0,04909555 0,04905036 0,0145996

tansig 0,04900695 0,04932355 0,04928589 0,01268082 0,02724903 0,01450371 0,00809384 0,04942591 0,01271991 0,00771821 0,04915759 0,01003453 0,01511584

tribas 0,04983263 0,04882104 0,04949469 0,01285543 0,46134373 0,01248185 0,00791942 0,0490412 0,01229375 0,00793514 0,04931547 0,00783877 0,01557303




compet 0,05176498 0,05183217 0,05157364 0,01471486 0,01468445 0,01435173 0,01478182 0,05191755 0,01455182 0,01452849 0,05210012 0,02948376 0,01472301

hardlim 0,05164214 0,05168607 0,05205358 0,01434188 0,01450525 0,01466573 0,01456452 0,05183947 0,01431825 0,01468181 0,05169542 0,03784807 0,01463358

hardlims 0,05169517 0,05176105 0,05186225 0,01460528 0,01455774 0,01452582 0,01461717 0,05194251 0,01465866 0,01443 0,05163597 0,01448466 0,01450361

logsig 0,0520658 0,0514513 0,05164864 0,01287874 0,01500768 0,01510501 0,00751166 0,05182206 0,01242497 0,00757474 0,05173193 0,00747706 0,01465614

netinv 0,05227152 0,05211139 0,05197115 0,01687492 0,01554727 0,02433007 0,01591653 0,04828147 0,01911626 0,01498439 0,04188726 0,01035312 0,01547961

poslin 0,05193682 0,0518044 0,05195819 0,01254355 0,01477226 0,01414079 0,00695813 0,05127173 0,01258396 0,0078959 0,05208433 0,01105641 0,01487568

purelin 0,05153439 0,05176961 0,05185012 0,01355328 0,01462904 0,01368666 0,01136883 0,0516521 0,01335101 0,01156745 0,05170795 0,01175978 0,0149145

radbasn 0,05189206 0,05156018 0,05159512 0,01321038 0,01373174 0,01430907 0,00784973 0,05183274 0,0126385 0,00768773 0,05180868 0,03696631 0,01631514

satlin 0,05212055 0,05158836 0,05181282 0,0127541 0,02008055 0,01453128 0,00773722 0,05154582 0,01243366 0,00767586 0,05176645 0,00767658 0,01472605

satlins 0,05200027 0,05220302 0,05164823 0,01305624 0,02222621 0,0125499 0,00770444 0,05206525 0,01432426 0,00796694 0,05173254 0,00800832 0,01500464

softmax 0,05175332 0,05169928 0,05160744 0,01272402 0,01582509 0,01283198 0,02739756 0,0521798 0,03723554 0,03712832 0,05121705 0,00732767 0,01460036

tansig 0,05174292 0,0518031 0,05237575 0,01270029 0,02008648 0,01234932 0,00839896 0,0517747 0,012428 0,00788684 0,05166196 0,00796854 0,01490042

tribas 0,0515815 0,05136873 0,05217262 0,01271194 0,01454162 0,01247157 0,00785603 0,05175924 0,01255609 0,0077233 0,05196669 0,00809077 0,01577329




compet 0,04927086 0,04924162 0,04953692 0,01438913 0,01445082 0,01435173 0,01455578 0,0494476 0,01455182 0,0143557 0,04917509 0,01573194 0,01447582

hardlim 0,0495177 0,04901265 0,04888001 0,01434188 0,01450525 0,01420167 0,01456452 0,04929093 0,01431825 0,01448999 0,04935336 0,01434443 0,01461425

hardlims 0,04939245 0,0491636 0,04954279 0,01443175 0,01449954 0,01452582 0,01456745 0,04901691 0,01462742 0,01443 0,04931271 0,01448466 0,01450361

logsig 0,04906956 0,04930145 0,04966953 0,01203969 0,01500768 0,01258002 0,00737791 0,04948394 0,01235929 0,00736829 0,04912827 0,00747706 0,0125889

netinv 0,04946656 0,04917206 0,04926789 0,01646731 0,01490385 0,01964504 0,01591653 0,04736406 0,01499849 0,0148812 0,03577993 0,01035312 0,01533374

poslin 0,04892857 0,04929093 0,04884861 0,01254355 0,01477226 0,01414079 0,00695813 0,04942522 0,01227465 0,00745139 0,04887734 0,00771835 0,01483563

purelin 0,04892588 0,04977161 0,04886678 0,01321828 0,01461444 0,01333557 0,01122528 0,04918177 0,01335101 0,0109948 0,0494198 0,01167178 0,01479587

radbasn 0,04874887 0,04917906 0,04931437 0,01293655 0,01373174 0,01412438 0,00741897 0,04942833 0,0126126 0,00766124 0,04906683 0,0078312 0,01302619

satlin 0,04942564 0,0494321 0,04882434 0,01214987 0,01965382 0,01325853 0,00773722 0,04918636 0,01242701 0,00767586 0,04915203 0,00767658 0,01472605

satlins 0,04962013 0,04914584 0,04942024 0,0121553 0,01448955 0,0125499 0,00770444 0,04931958 0,01206515 0,00750927 0,04903354 0,0074854 0,01500464

softmax 0,04919309 0,0487668 0,04856789 0,01272402 0,01366598 0,01283198 0,00721647 0,04948869 0,01248302 0,00705065 0,04909555 0,00732767 0,01411204

tansig 0,04900695 0,04932355 0,04928589 0,01268082 0,02008648 0,01234932 0,00809384 0,04942591 0,012428 0,00742076 0,04915759 0,00781401 0,01490042

tribas 0,04983263 0,04882104 0,04949469 0,01271194 0,01454162 0,01247157 0,00785603 0,0490412 0,01229375 0,00740269 0,04931547 0,00755068 0,01557303

Tabla B.25. Trayectoria Nephroid. MSET MIN para 20 trayectorias.


Figura B.5. Trayectoria Nephroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Err

or

MS

ET


purelin

satlins

tansig



compet 1,037545 0,67608554 0,59707871 0,57834592 0,51766788 0,53356739 0,52215931 1,08467663 0,91053776 0,65983025 0,59804231 1,05721951 0,76189475

hardlim 0,62689946 0,55151567 0,54268072 0,50133398 0,52272945 0,51217718 0,52044443 0,52636222 0,53122361 0,50052678 0,9900661 0,82743904 1,05090663

hardlims 0,98993521 0,77578681 1,2400276 0,9573756 0,89473388 0,73473952 0,60930735 0,92479249 1,01207588 0,78112919 0,61338262 0,58332685 0,70205388

logsig 0,89513504 0,65212342 0,61292392 0,67626748 0,55732284 0,6250699 0,56210522 0,94473809 0,52605993 0,52651336 0,5216228 0,51749931 0,51854801

netinv 0,52450673 0,50036834 0,50818579 0,50460854 0,50300388 0,51334745 0,51403186 0,48976786 0,50982166 0,50279762 0,52232423 0,51926281 0,52467935

poslin 0,53042209 1,16560581 1,07966166 0,50929487 0,51160664 0,50942941 0,50582824 1,05891818 0,51386734 0,50302008 0,51249771 0,53535399 0,51447396

purelin 1,02408449 1,03401596 0,74017389 0,67416562 0,53778894 0,60367767 0,50175054 1,10602996 0,51736761 0,92942412 0,6716865 0,51929361 0,4989436

radbasn 0,52282386 0,5178482 0,51668725 0,60075686 0,5120386 0,5198366 0,50626385 0,51530506 1,08010173 0,53683911 0,53327563 0,51095059 0,53208956

satlin 0,99556247 1,02015956 0,73200025 0,51704384 0,53686221 0,52736878 0,51641414 0,99521438 0,89547745 0,50833167 0,9854373 0,53354996 0,55665383

satlins 0,52098863 0,57027399 0,51569204 0,50169097 0,61280924 0,51669171 0,51311405 0,52697207 0,52459182 0,50816918 0,52206489 0,51669292 0,50584769

softmax 0,52251063 0,54204453 0,52238744 1,08449833 0,51155923 0,53653844 0,51603364 0,56000336 0,53222652 0,92309301 1,09236117 0,53690921 0,54874358

tansig 0,52849812 0,51611711 0,54675356 0,51864324 0,55768106 0,52538808 0,51002143 0,52745225 0,52316343 0,50436905 1,17701875 0,52592377 0,50616011

tribas 0,5025942 0,50396019 0,50059932 0,49766109 0,51606281 0,63000585 0,50618807 0,50617632 0,5189354 0,50112286 0,50355457 0,53085081 0,51332719

Tabla B.26. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.


Bibliografía

"...Nada existe en el mundo mejor que la patria y los padres."

Homero, La Odisea.

[Ackerson70] Ackerson, G.A. y Fu, K.S. On State Estimation in Switching Environments.

IEEE Trans. Automatic Control, vol AC-15, núm 1, pp. 10–17, Enero, 1970.

[AENA15] AENA. El control del tráfico aéreo. Objetivos.

http://www.aena.es/csee/Flash/html/controlAereo04_02.jsp. Pagina visitada el 15 abril

2015.

[AESS15] IEEE Aerospace and Electronic Systems Society (AESS). Radar Systems

Engineering. http://aess.cs.unh.edu/radar%20se%20Lecture%201%20B.html. Página

visitada el 10 de enero de 2015.

[Alberts06] Alberts, D.S. y Hayes, R.E. Undestanding command and control. CCRP

Publication Series. Library of Congress, 2006.

[Alcione11] www.alciones.org. Página visitada el 23 de marzo de 2014.

[Amoozegar94] Amoozegar, F. y Sundareshan, M.K. Target tracking by neural network

maneuver modeling. IEEE World Congress on Computational Intelligence, vol. 6, Julio 1994.

[Amoozegar95] Amoozegar, F. y Sadati, S. H. Target tracking by neural network maneuver

detection and input estimation. Radar Conference, Record of the IEEE International, pp. 143-148,

May. 1995.

[Amoozegar98] Amoozegar, F. Neural-network-based target tracking state-of-the-art survey.

Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers, pp. 836-846, 1998.

[Ananthasayanam03] Ananthasayanam, M.R.., Sarkar, A.K., Vathsal, S. Estimation of rapid

target acceleration in real time from position alone measurements of tracking radar.

Proceedings of National Systems Conference (NSC), IIT Kharagpur, pp. 64-69, 2003.

[Arif10] Arif, T.T. Aerospace Technologies Advancements. Intech. Cap. 19, Enero 2010.

[ATC14] ATC – 25 Best years – (1958-1983). http://www.rwf2000.com/atc/ATC-Hist-

4A.htm. Página visitada el 10 de abril de 2014.

http://www.aena.es/csee/Flash/html/controlAereo04_02.jsp

http://aess.cs.unh.edu/radar%20se%20Lecture%201%20B.html

http://www.alciones.org/

http://www.rwf2000.com/atc/ATC-Hist-4A.htm

http://www.rwf2000.com/atc/ATC-Hist-4A.htm

B-2 BIBLIOGRAFÍA

[Audsley90] Audsley, N., Burns, A. Real Time system scheduling. ESPRIT BRA project

(3092), Predicatably dependable computer systems, vol. 2, cap. 2, Department of Computer Science,

University of York, 1990.

[Audsley90B] Audsley, N. Survey: Scheduling hard Real Time systems. Department of

Computer Science, University of York, 1990.

[Averbuch91] Averbuch, A., Itzikowitz, S. y Kapon, T. Radar Target Tracking—Viterbi

versus IMM. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-27, núm. 3, 550–563,

Mayo 1991.

[Azoff94] Azoff, E.M. Neural network time series forecasting of financial markets.

Chichester, John Wiley and Sons, 1994.

[BarShalom82] Bar Shalom, Y. y Birmiwal, K. Variable dimension filter for maneuvering

target tracking. IEEE Trans. on Aerospace Electron. Syst., vol. AES-18, núm. 5, pp. 621-629,

Sep. 1982.

[BarShalom88] Bar-Shalom, Y. y Fortmann, T. E. Tracking and Data Association. Academic,

New York, 1988.

[BarShalom92] Bar-Shalom, Y., y Li, X. R. Mode-set adaptation in multiple-model estimators

for hybrid systems. Proceedings of the 1992 American Control Conference, Chicago IL, pp. 1794-

1799, Junio 1992.

[BarShalom96] Bar-Shalom, Y. y Li, X. R.. Multiple-model estimation with variable structure.

IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 41, núm. 4, pp. 478-493, Abril 1996.

[BarShalom99] Y. Bar-Shalom, Y. y Li, X. R. Multiple-model estimation with variable

structure-part III: model-group switching algorithm. IEEE Transactions on Aerospace and

Electronic Systems, vol. 35, núm. 1, pp. 225-241, Enero 1999.

[BarShalom00] Bar-Shalom, Y., y Li, X. R.. Multiple-model estimation with variable

structure-part V: likely-model set algorithm. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic

Systems, vol. 36, núm. 2, pp. 448-466, Abril 2000.

[Bastos08] Bastos Gomes, J. B.. An overview on target tracking using Multiple Model

Methods. Instituto Superior Técnico, Universidad Técnica de Lisboa, Sep. 2008.

[Bea14] Bureau d’Enquetes et Analyses pour la securité de l’aviation civile.

http://www.bea.aero/docspa/2000/f-ed000525a/htm/f-ed000525a.htm. Página visitada el 1

de septiembre de 2014.

[Beale11] Beale, M.H., Hagan, M. T. y Demuth, H. B. Neural Network Toolbox User´s

Guide, Matlab, 1998-2011.

[Benavoli06] Benavoli, A., Chisci, L., Farina, A., Immediata, S., Timmoneri, L. y Zappa, G.

Knowledge-based system for multi-target tracking in a littoral environment. IEEE

Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 42, núm. 3, pp. 1100–1119. 2006.

[Benedict62] Benedict, R.T. y Bordner, G.W. Synthesis of an optimal set of radar track-

while-scan smoothing equations. IRE Transactions on Automatic Control, pp. 27-32, Jul. 1962.

http://www.bea.aero/docspa/2000/f-ed000525a/htm/f-ed000525a.htm

B-3 BIBLIOGRAFÍA

[Benedict62] Benedict, R. T. y Bordner, G. W. Synthesis of an Optimal Set of Radar Track-

While-Scan Smoothing Squations. IRE Transactions on Automatic Control, pp. 27-32, 1962.

[Bendiner45] Bendiner, R. WWII Radar and the vital roll it played in the allied victory. Yank

Magazine, 1945.

[Bisplinghoff82] Bisplinghoff, R.L. Airport and air traffic control system. Library of Congress,

USA, Ene. 1982.

[Blackman86] Blackman, S.S. Multiple Target Tracking with Radar Applications. Artech

House, Norwood, MA, 1986.

[Blom88] Blom, H. A. P. y Bar-Shalom, Y. The Interacting Multiple Model Algorithm for

Systems with Markovian Switching Coefficients. IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-33,

núm. 8, pp. 780–783, Agosto 1988.

[Blom84] Blom, H. A. P. An efficient filter for abruptly changing systems, Proceedings of the

23rd IEEE Conference on Decision and Control Las Vegas, NV, pp. 656-658, Dic. 1984.

[Blom88] Blom, H. A. P. y Bar-Shalom, Y. The interacting multiple model algorithm for

systems with a jump-linear smoothing application. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. AC-

33, núm. 8, pp. 780-783, Agosto 1988.

[Bogler87] Bogles, P.L. Tracking a maneuvering target using input estimation. IEEE Trans.

on Aerospace Electron. Syst., vol. AES-23, núm. 3, pp. 298-310, Mayo 1987.

[Bonnani89] Bonnani, P. Falcon Air Combat. Osborne/McGraw-Hill, Agosto 1989.

[Boole59] Boole, G. Treatise on differential equations. Cambridge and London: Macmillan

and co. 1859.

[Brookner98] Brookner, E. Tracking and Kalman Filtering Made Easy. Wiley-Interscience

Publication, 1998.

[Brown92] Brown, R.G. y Hwang, Y.C. Introduction To Random Signals And Applied

Kalman Filtering, J. Wiley, 1992.

[Brown99] Brown, L. A radar history of world war II: Technical and military imperatives.

Taylor & Francis, 1999.

[Bugallo07] Bugallo, M. F., Xu, S. y Djuric, P. M. Performance comparison of EKF and

particle filtering methods for maneuvering targets. Digital Signal Processing, vol. 17, núm. 4,

pp. 774-786, Julio 2007.

[Chang78] Chang, C. B. y Athans, M. State Estimation for Discrete Systems with Switching

Parameters. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-14, núm. 5, pp. 418–425,

Mayo 1978.

[Chen03] Chen, A.-S, Leung, M.T. y Daouk, H. Application of neural networks to an

emerging financial market. Forecasting and trading the Taiwan Stock Index. Computers and

Operations Research, vol. 30, núm. 6, pp. 901-923, 2003.

[Chin91] Chin, L. Neural Network Approach In Multiple Target Tracking. IEEE International

Conference on Neural Networks, vol. 2, pp. 1220-1223, Nov. 1991.

B-4 BIBLIOGRAFÍA

[Chin94] Chin, L. Application of neural network in target tracking data fusion. IEEE

Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-30, núm. 1, pp. 281-87, 1994.

[Chin96] Chin, L. Application of neural networks aided target tracking. IEEE Neural

Networks, 1996.

[Doucet00] Doucet, A., Godsill, S.J. y Andrieu, C. On sequential Monte Carlo sampling

methods for Bayesian filtering. Statist. Comput., vol. 10, núm. 3, pp. 197–208, Julio 2000.

[Duh02] Duh, F. y Lin, C. Radar tracking for a maneuvering target using neural fuzzy based

kalman filter. IEEE International Conference on Fuzzy Systems, vol. 2, pp. 1405-1409, Mayo 2002.

[Duh04] Duh, F. y Lin, C. Tracking a Maneuvering Target Using Neural Fuzzy Network.

IEEE Trans. on Systems, Man., and Cybernetics-Part B: Cybernetics, vol. 34, núm. 1, 2004.

[Farina85] Farina, A. y Studer, F. A. Radar Data Processing, Vol. 1. Introduction and

Tracking y Vol. 2 Advanced Topics and Applications. Wiley and Research Studies Press Ltd.

Letchworth, Hertfordshire, England, 1985, 1986.

[Fernández00] Fernández-Caballero, A., Montoya, M., Fernández, M.A. y Gómez, F.J. Un

enfoque neuronal al seguimiento de un objeto a través de su tamaño y su localización. Journal

Computación y Sistemas, vol. 4, núm.1, Sept. 2000.

[Fletcher93] Fletcher, D. y Goss, E. Forecasting wih neural networks. An application using

bankruptcy data. Information and Management, núm. 24, pp. 159-167, 1993.

[Frances98] Frances, P.H. y Griensven K. Forecasting exchange rates using neural networks

for technical trading rules. Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, núm. 4 pp. 109-114,

1998.

[Fre91] Freeman, J.A. y Skapura, D. M. Neural Networks Algorithms. Applications and

Programming Techniques, Addison-Wesley, pp 89-103, 1991.

[Gaceta14] Gaceta Aeronaútica. http://www.gacetaeronautica.com/gaceta/wp-

101/?p=3881. Pagina visita el 16 de febrero de 2014.

[Gately96] Gately, E. Neural networks for financial forecasting. Nueva York, John Wiley,

1996.

[Giles01] Giles, C.L., Lawrence, S. y Tsoi, A.C. Noisy prediction using a recurrent neural

network and grammatical inference. Machine Learning, núm. 44, pp. 161-183, 2001.

[Gle73] Glen, A.G. Historical Development of the Air Traffic Control System. IEEE

Transactions on Communications, vol. 21, núm. 5, May 1973.

[Gelb79] Gelb, A (ed.) escrito por el Technical Staff of the Analytical Sciences Corporation.

Applied Optimal Estimation. MIT Press, Cambridge, MA, 1979.

[Grudnitski93] Grudnitski, G. y Osburn, L. Forecasting S and P and gold futures prices. an

application of neural networks. The Journal of Future Markets, vol. 13, núm.6, pp. 631-643,

1993.

http://www.gacetaeronautica.com/gaceta/wp-101/?p=3881

http://www.gacetaeronautica.com/gaceta/wp-101/?p=3881

B-5 BIBLIOGRAFÍA

[Gordon93] Gordon, N.J., Salmond, D.J. y Smith, A.F.M. Novel approach to

nonlinear/non-gaussian Bayesian state estimation. IEE Proceedings-F (Radar and Signal

Processing), vol. 140, núm. 2, Abril 1993.

[Gustafsson01] Gustafsson, F. Adaptive Filtering and Change Detection. John Wiley, 2001.

[Gwen03] Gwen, R. BBC. "Radar Operator in WW2, Gwen Reading." WW2 People's War: An

archive of World War II memories (BBC).

http://www.bbc.co.uk/history/ww2peopleswar/stories/98/a1993098.shtml. British

Broadcasting Corp., London, United Kingdom, Nov. 2003.

[Haykin94] Haykin, S. Neural Networks—A Comprehensive Foundation. New York:

Macmillan, 1994.

[Hudson11] Hudson, M., Hagan, M.T. y Demuth H.B. Neural Network ToolboxTM. User’s

Guide. MathWorks Inc., Sep. 2011.

[ICAO07] ICAO, International Civil Aviation Organization. Guidance material on

comparison of surveillance technologies (GMST), Sep. 2007.

[Ikoma01] Ikoma, N., Ichimura, N., Higuchi, T. y Maeda, H. Maneuvering target tracking by

using particle filter. IFSA World Congress and 20 NAFIPS International Conference, vol. 4, pp

2223-2228, Jul. 2001.

[Iltis93] Ilti,s R. y Ting, P. Y. Computing association probabilities using parallel Boltzmann

machines. IEEE Trans. on Neural Networks, vol. 4, pp 221- 223, 1993.

[Jänen10] Jänen, U., Paul, C., Wittke, M. y Hähner, J. Multi-Object traking using feed-

forward neural networks. International Conference on Soft Computing and Pattern Recognition

(SoCPaR), pp. 176-181, Dic. 2010.

[JCS80] Joint Chiefs of Staff. The worldwide military command and control system. A

historical perspective. Historical Division. Joint Secretariat. Sep. 1980.

[Jing94] Jing, Z., Xu, H. y Zhou X. Information fusion and tracking of maneuvering targets

with artificial neural network. Proc. IEEE Int. Conf. Neural Networks (ICNN’94), pp. 3403-

3408, 1994.

[Juszkiewicz00] Juszkiewicz, W. y Stateczny A. GRNN Cascade Neural Filter for Tracked

Target Maneuver Estimation. Neural Networks and Soft Computing, Zakopane, 2000.

[Kalata84] Kalata, P. R. ‘‘The Tracking Index: A Generalised Parameter for α–β and α–β–δ

Target Trackers’’. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-20, núm. 2,

pp. 174–182, Marzo 1984.

[Kalman60] Kalman, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal

of Basic Engineering, Trans. of ASME, vol. 82, núm. 1, pp. 35-45, Mar. 1960.

[Kalman61] Kalman, R.E. y R.S. Bucy. New results in linear filtering and prediction theory.

Journal of Basic Engineering, Transactions of the ASME, vol. 83, núm. 3, pp. 95-107, Dic. 1961.

[Kim91] Kim, K. Neural Target Tracking. Systems, Man. and Cybernetics, Oct. 1991.

http://www.bbc.co.uk/history/ww2peopleswar/stories/98/a1993098.shtml

B-6 BIBLIOGRAFÍA

[Kong98] Kong, C.Y., Hadzer, C.M. y Mashor, M.Y. Radar Tracking System using Neural

Networks. International Journal of the Computer, the Internet and Management, vol. 6, no. 2, 1998.

[Lee03] Lee, B., Joo, Y. y Park, J. B. An intelligent tracking method for a maneuvering target.

International Journal of Control, Automation and Systems, vol. 1, núm. 1, Marzo 2003.

[Leung94] Leung, H. y Blanchette, M. Data association for multiple target tracking using

Hopfield neural network. International Symposium on Speech, Image Processing and Neural Networks,

Abril 1994.

[Li01] Li, X.R., Pitre, R. R. y Jilkov, V.P. A comparative study of multiple-model algorithms

for maneuvering target tracking. Proceedings of the SPIE, vol. 5809, pp. 549-560, May 2005.

[Li05] Li, X.R. y Jilkov, V.P. A survey of Maneuvering Target Tracking – Part V: Multiple

Model Methods. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. 41, núm. 2, 2005.

[Liu98] Liu, J.S. y Chen, R. Sequential Monte Carlo methods for dynamic systems, J. Amer.

Statist. Assoc., vol. 93, núm. 443, pp. 1032–1044, Sept. 1998.

[Lloyd07] Lloyd, M. Pursuit Curves. Academic Forum 24. 2007.

[Magill65] Magill, D. T. Optimal Adaptive Estimation of Sampled Stochastic Processes.

IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-10, pp. 434–439, 1965.

[Malur95] Malur, K. y Sundareshan. Neural Network schemes for data fusion and tracking of

maneuvering targets. Performance report 1 (ONR grant # N00014-95-1-1224), 1995.

[MathWorks14] MathWorks documentation. State Estimation Using Time-Varying Kalman

Filter. http://es.mathworks.com/help/control/examples/state-estimation-using-time-

varying-kalman-filter.html. Página visitada el 13 de diciembre de 2014.

[McIntyre98] McIntyre, G. A. y Hintz, K. J. A comparison of several maneuvering target

tracking models. SPIE, Conference on Signal Processing, Sensor Fusion and Target Recognition,

Orlando, FL, 1998.

[Míguez04] Míguez, J., Bugallo, M. F. y Djuric, P.M. A new class of particle filters for

random dynamical systems with unknown statistics. EURASIP J. Appl. Signal Process., vol. 15,

pp. 2278–2294, 2004.

[Morrison69] Morrison, N. Introduction to Sequential Smoothing and Prediction. McGraw-

Hill, New York. 1969.

[Munir95] Munir, A. y Atherton, D. P. Adaptative interacting multiple model algorithm for

tracking a maneuvering target. IEEE Proc. Of Radar, Sonar and Navigation, vol. 142, núm. 1,

pp. 11-17, 1995.

[Narendra90] Narendra, K.S. y Parthasarathy, K. Identification and control for dynamic

systems using neural networks. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 1, pp. 4–27, 1990.

[Narendra98] Narendra, K.S. y Li, S. M. Control of nonlinear time-varying systems using

neural networks. 10th Yale Wkshp. Adaptive Learning Syst., pp. 9–18, 1998.

B-7 BIBLIOGRAFÍA

[NATCA15] NATCA (National Air Traffic Controllers Association). A history of air traffic

control. www.natca.org Página visitada el 10 de mayo de 2014.

[Navidad13] Navidad, A., Usero, L., Fernández del Castillo, J. R. y Patricio, M. A. Radar

Tracking System Using Contextual Information on a Neural Network Architecture in Air

Combat Maneuvering, International Journal of Distributed Sensor Networks

Vol 2013, http://www.hindawi.com/journals/ijdsn/2013/160718/, Jul. 2013.

[Norvig95] Norvig, P. y Russel, S. Artificial Intelligence – A Modern Approach. Upper

Saddle River, NJ, Prentice. 1995.

[Notjur15] Noticias jurídicas. Reglamento de Circulación Aérea Operativa.

http://noticias.juridicas.com/base_datos/Admin/rd57-2002.l4.html. Página visitada el 12 de

marzo de 2015.

[Olivier10] Olivier B., et al. Aerospace Technologies Advancements, cap. 19, Air Traffic

Control tracking systems performance impacts with new surveillance technology sensors.

Intech, Ene. 2010.

[Olmedo04] Olmedo, E., Valderas, J.M., Mateos, R.., y Gimeno, R.. "Utilización de redes

neuronales en la caracterización, modelización y predicción de series temporales económicas

en un entorno complejo", Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, vol. 4, núm. 23, 2004.

[Perlovsky07] Perlovsky, L. I. y Deming, R.W. Neural networks for improved tracking.

IEEE Transactions on Neural Networks, vol.18, núm. 6, 2007.

[Pitre11] Pitre, R. R., Jilkov, V. P. y Li, X. R.. A comparative study of multiple-model

algoriths for maneuvering target tracking, Proc. SPIE5809, Signal Processing, Sensor Fusion and

Target Recognition, vol. 24, 2011.

[Poznyak98] Poznyak, A. S. Learning for Dynamic Neural Networks. 10th Yale Wkshp.

Adaptive Learning Syst., pp. 38–47, 1998.

[Pullum07] Pullum, L.L., Taylor, B. J. y Darrah, M. A.. Guidance for the verification and

validation of neural networks, IEEE Computer Society, 2007.

[Qi01] Qi, M. Predicting US recessions with leading indicators via neural network models.

International Journal of Forecasting, núm. 17, pp. 383-401, 2001.

[Radar15] Radar: the silent weapon of World War 2.

http://www.rfcafe.com/references/radio-news/radar-silent-weapon-wwii-october-1945-

radio-news.htm. Pagina visitada el 6 de febrero de 2015.

[Randell95] Randell, B., Laprie, J., Kopetz, H. y Littlewood B. (eds). Predictably dependable

computing systems, Springer Verlag, 1995.

[Rez93] Rzevski, G. On Behaviour and Architectures of Autonomous Intelligent Agents: An

Engineering Perspective. First International Round-Table on Abstract Intelligent Agents, ENEA,

Rome, 25-27, 1993.

[Rez95] Rzevski, G. Artificial intelligence in Engineering: Past, Present and Future. The open

University, Milton Keynes, UK, 1995.

http://www.natca.org/

http://www.hindawi.com/journals/ijdsn/2013/160718/

http://noticias.juridicas.com/base_datos/Admin/rd57-2002.l4.html

http://www.rfcafe.com/references/radio-news/radar-silent-weapon-wwii-october-1945-radio-news.htm

http://www.rfcafe.com/references/radio-news/radar-silent-weapon-wwii-october-1945-radio-news.htm

B-8 BIBLIOGRAFÍA

[Rong03] Rong Li, X. y Jilkov, V.P. Survey of Maneuvering Target Tracking. IEEE

Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 39, núm. 4. Oct. 2003.

[Sánchez07] Sánchez, A.M., Patricio, M.A., García, J. y Molina, J.M. Video tracking

improvement using context based information. 10th international conference on information fusion,

Quebec, 2007.

[Sarkar05] Sarkar, A.K. y Vathsal, S. Target acceleration estimation from radar position data

using neural network. Defence Science Journal, vol. 55, no 3, pp 313-328, 2005.

[Schvaneveldt92] Schvaneveldt, R., Benson, A., Goldsmith, T. y Waag W. Neural Network

Models of Air Combat Maneuvering- Technical Report AD-A254 653, Human Resources

Directorate, Aircrew Training Research Division, 1992.

[Selmic98] Selmic, R. R. y Lewis, F. L. Neurocontrol for compensation of actuator

nonlinearities. 10th Yale Wkshp. Adaptive Learning Syst., pp. 83–92, 1998.

[Sengupta89] Sengupta, D. y Iltis, R. A.. Neural solution to the multitarget tracking data

association problem. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol AES-25, núm.

1, Enero 1989.

[Shaw85] Shaw, R.L. Fighter Combat. Tactics and Maneuvering. Naval Institute Press, USA.

1985.

[Singer70] Singer, R. A. Estimating optimal tracking filter performance for manned

maneuvering targets. IEEE Trans. on Aerosp. Electron. Syst., vol AES-6, núm. 4, pp 473-483,

Jul. 1970.

[Sitler64] Sitler, R. W. An Optimal Data Association Problem in Surveillance Theory. IEEE

Trans. Mil. Electron., vol. MIL-8, pp. 125-139, Abr. 1964.

[Skolnik02] Skolnik, M.I. Introduction to radar systems. McGraw Hill College, Dic. 2002.

[Stankovic90] Stankovic, J. A. y Ramamritham, K. What is Predictability for Real-Time

Systems? Journal of Real-Time Systems. vol. 2, núm. 4, pp. 247-254, 1990.

[Surcando15] Surcando los cielos. Frequently Asked Questions (IX). El Radar.

http://surcandoloscielos.es/blog/frequently-asked-questions-ix-el-radar-3parte/. Página

visitada el 5 de septiembre de 2014.

[Takaba96] Takaba, K.., Iiguni, Y. y Tokumaru, H. An improved tracking kalman filter using

a multilayered neural network. Mathmatical and Computer Modelling. Elsevier. vol. 23, pp.

119.128, Enero 1996.

[Teng12] Teng, T., Tan, A., Tan, Y. y Yeo A. Self-organizing neural networks for learning air

combat maneuvers. 2012 International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN), pp. 1-8,

Junio 2012.

[Tkacz01] Tkacz, G. Neural network forecasting of Canadian GDP growth. International

Journal of Forecasting, núm. 17, pp. 57-69, 2001.

[Tugnait82] Tugnait, J. K. Detection and estimation for abruptly changing systems.

Automatica, vol. 18, núm. 5, pp. 607-615, 1982.

http://surcandoloscielos.es/blog/frequently-asked-questions-ix-el-radar-3parte/

B-9 BIBLIOGRAFÍA

[Usero10] Usero, L. Inteligencia computacional en teledetección. Control de contenido de

humedad en combustible en superficie terrestre mediante imagen satélite para prevención de

incendios. Tesis doctoral, Universidad de Álcala, 2010.

[Vaidehi99] Vaidehi, V., Chitra, N., Chokkalingam, M. y Krishman, C. N. Neural Network

aided kalman filtering for multitarget tracking applications. Computer and Electrical Engineering,

Pergamon, pp. 217-228, May. 1999.

[Vivancos98] Vivancos, E., Hernández L., Botti V. Distributed artificial intelligence in real

time environments. Iberoamerican journal of artificial intelligence, vol.2, núm. 6, 1998.

[Wang14] Wang, H., Cheng, B., Liu, X., Liu, K. y Lin, C. Adaptative neural tracking control

for stochastic non linear strict-feedback systems with unknown input saturation. Information

Sciences, Elsevier, vol. 14, pp. 300-315, Junio 2014.

[Wilson94] Wilson, R. y Sharda, R. Bankruptcy prediction using neural networks. Decision

Support Systems, núm. 11, pp. 545-557, 1994.

[Yu94] Yu, W., Shiyi, M., Lin, P. y Shaohong Li. Neural solution to multitarget tracking

inclutter with velocity measurements. Aerospace and Electronics Conference, Proceedings of IEEE,

vol. 1, pp. 204-211, Mayo 1994.

[Yu06] Yu, Y. y Cheng, Q. Particle filters for maneuvering target tracking problem. Signal

Processing, Elsevier, vol. 86, núm. 1, pp. 195-203, Enero 2006.

[Zad65]Zadeh, L.A. Fuzzy Sets. Information and Control, pp. 338-353, 1965.

Documents

Programa de Doctorado “Información, Documentación y