Universidad Nacional Autnoma de Mxico Colegio de Ciencias y Humanidades

Programa de Estudios de Matemticas

Semestres I al IV

rea Matemticas

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INDICE

PRESENTACIN 3 ENFOQUE DE LA MATERIA 5 MAPA DE CONOCIMIENTOS POR EJES TEMTICOS 10 MATEMTICAS I 16

UNIDAD I. NMEROS Y OPERACIONES BSICAS 16 UNIDAD II. VARIACIN DIRECTAMENTE PROPORCINAL Y FUNCIONES LINEALES 19 UNIDAD III. ECUACIONES LINEALES 23 UNIDAD IV. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 26 UNIDAD V. ECUACIONES CUADRTICAS 29

PROGRAMA DEL SEGUNDO SEMESTRE DE MATEMTICAS 32 LGEBRA Y GEOMETRA 32

UNIDAD I. FUNCIONES CUADRTICAS 36 UNIDAD II. CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMTRICOS BSICOS 39 UNIDAD III. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA 42 UNIDAD IV. PERMETROS, REAS Y VOLMENES 45 UNIDAD V. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA 48

PROGRAMA DEL TERCER SEMESTRE DE MATEMTICAS 51 LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA 51

UNIDAD I. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 55 UNIDAD II. SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMTRICOS 58 UNIDAD III. LA RECTA Y SU ECUACIN CARTESIANA 61 UNIDAD V. LA PARBOLA Y SU ECUACIN CARTESIANA 67

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMTICAS 70 LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA 70 MATEMTICAS IV 73

UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES UNIDAD II. FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES 76 UNIDAD III. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 79 UNIDAD IV. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS 82

COMISIN DE REVISIN Y AJUSTE DE LOS PROGRAMAS DE MATEMTICAS. 86

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PROGRAMAS DE MATEMTICAS SEMESTRES I A IV

PRESENTACIN

ORIENTACIONES GENERALES DE LOS CURSOS

En los cuatro primeros semestres del Plan de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, se incluyen los cursos

obligatorios del rea de Matemticas que los estudiantes debern acreditar y que abarcan los conocimientos bsicos de cinco

importantes ejes de desarrollo temtico: lgebra, Geometra Euclidiana, Trigonometra, Geometra Analtica y Funciones. A

travs de estos cuatro cursos, se brinda al alumno un panorama de los principales aspectos del conocimiento y del quehacer

matemtico que le permitirn acceder posteriormente a conocimientos ms especializados, tanto en el mbito de estos mismos

ejes temticos como en el de otros, entre los que estn incluidos el Clculo Diferencial e Integral y la Probabilidad y Estadstica.

Estos cuatro cursos constituyen un todo en su conjunto, de modo que de un semestre a otro se recuperan conocimientos

adquiridos previamente, ya sea trabajndolos desde otro nivel de profundidad y extensin, o remitindose a su aplicacin en otro

contexto o temtica, o incluso abordndolos desde una nueva perspectiva (por ejemplo, el estudio analtico de los objetos

geomtricos).

En la estructuracin de los programas, subyace el hecho de que conforme el estudiante va adentrndose en los conocimientos

relativos a todas y cada una de las unidades que los integran, tambin deber ir avanzando paulatinamente en las siguientes

lneas de desarrollo metodolgico: Aproximaciones a la Resolucin de Problemas; Dominio del Pensamiento Algebraico; Anlisis

Lgico de Argumentos; Construccin de Razonamientos; Planteamiento de Conjeturas a partir de descubrir Patrones de

Comportamiento; Manejo de Transformaciones Geomtricas en el Plano Cartesiano (desplazamientos, contracciones,

estiramientos, cambios de escala); e Identificacin de Algoritmos y de Relaciones entre Algoritmos.

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Adems, en concordancia con los principios educativos del Colegio, ms que privilegiar la memorizacin de un cmulo de

contenidos matemticos (subdivididos en muchas ocasiones en mltiples casos y frmulas especiales) y la repeticin de

definiciones o la prctica irreflexiva de algoritmos, interesa poner nfasis en el significado de conceptos y procedimientos, en el

manejo de estrategias, en la integracin de conocimientos, en el trnsito de un registro a otro y en el desarrollo de habilidades

matemticas; entre estas ltimas estn: generalizacin (percibir relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante de lo

irrelevante y lo comn de lo diferente); formalizar Material Matemtico (operar con estructuras ms que con el contexto de una

situacin, operar con numerales y smbolos, combinando reglas y estrategias); reversibilidad de pensamiento (invertir una

secuencia de operaciones o un proceso de pensamiento); flexibilidad de pensamiento (disponibilidad para abandonar estereotipos

o procedimientos en los que se ha tenido xito para utilizar otros nuevos); visualizacin espacial (percibir esquemas geomtricos

contenidos en otros ms complejos, o bien adelantar mentalmente el tipo de figura resultante al aplicar algn movimiento o

transformacin a una figura dada).

En consecuencia, resulta importante que los alumnos interacten de forma activa (organizando, sistematizando, comparando,

clasificando, analizando, explorando, argumentando, aplicando, etctera) con la temtica que van a conocer, de modo que

adems de favorecer una mejor comprensin de la misma, se les dote de herramientas intelectuales. Para ello, es de gran utilidad

el uso de calculadoras graficadoras y de diversas versiones de software, entre las que destacan Excel, Derive, Cabri, Geometer

Sketcterah Pad, etctera mediante los cuales pueden disearse estrategias de aprendizaje que contribuyen a la bsqueda de

significados, a la sistematizacin, a la exploracin, a la formulacin de conjeturas y al desarrollo de la imaginacin espacial, entre

otros. Cobra relevancia describir qu es de mayor inters que aprenda el alumno respecto a la temtica; es decir, cules son los

aprendizajes considerados como relevantes.

Precisamente para resaltar la trascendencia de la actividad intelectual del alumno en el proceso de su aprendizaje, en el formato

de presentacin de cada una de las unidades que conforman un curso, bajo el ttulo de aprendizajes se pone nfasis en lo que el

alumno debe de ser capaz de hacer o de saber al trmino de la misma. En la columna de estrategias se incluyen algunas

sugerencias de cmo favorecer la adquisicin de los aprendizajes descritos, o bien, indicaciones para precisar el nivel de

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profundidad o la orientacin que tiene la temtica en el contexto del o de los ejes que se trabajan a lo largo de los cuatro

semestres. La ltima columna enuncia la temtica que se trabajar en esa unidad.

Para completar la visin general de los cuatro cursos, se presentan a continuacin los enfoques disciplinario y didctico de las

matemticas que se adoptan en los programas, la contribucin de la materia al perfil del egresado y, finalmente, dos cuadros que

sintetizan, por un lado, el conjunto de unidades que se incluyen en dichos cursos y, por otro, los aspectos relevantes que se

trabajan, curso a curso, en los cinco ejes temticos. En este ltimo, el llamado Mapa de Conocimientos por Ejes Temticos, estn

ubicados con maysculas los nombres de las unidades correspondientes al eje en cuestin que se incluyen en el semestre

respectivo, mientras que se describen utilizando minsculas, aquellos elementos que sirven de base, se retoman o se utilizan en

unidades relativas a otros ejes.

ENFOQUE DE LA MATERIA

Enfoque Disciplinario

Muchos de los contenidos temticos de los Programas de Matemticas del Colegio de Ciencias y Humanidades, por su

naturaleza, forman parte del currculo de cualquier institucin educativa del nivel medio superior del pas. Sin embargo, la forma

de enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la diferencia y atiende a los principios educativos que

pretende cada institucin.

De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepcin de la matemtica conlleva una intencin del para qu

queremos ensearla y cmo contribuye a la formacin de un sujeto capaz de buscar y adquirir por s mismo nuevos

conocimientos, adems de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de manera reflexiva, analtica, sistemtica y constructiva.

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Por ello, en el CCH se concibe a la matemtica como una disciplina que:

? Posee un carcter dual: Es una ciencia y una herramienta. Como ciencia tiene un desarrollo que admite titubeos,

conjeturas y aproximaciones, al igual que rigor, exactitud y formalidad, por ser el producto de una actividad humana que

evoluciona, construye, organiza y sistematiza conocimientos, a partir de la necesidad de resolver problemas tericos o

prcticos. Como herramienta, constituye un poderoso instrumento que contribuye con tcnicas, procedimientos, mtodos

y teoras a la obtencin de conocimientos y sus aplicaciones en diversos campos del saber, tanto humanstico como

cientfico y tecnolgico.

? Manifiesta una gran unidad. No obstante la diversidad de ramas y especialidades en las que actualmente se divide,

stas presentan mtodos, principios y estrategias comunes. Muchos de los conceptos y procedimientos de cualesquiera

de sus ramas, se vinculan, complementan o trabajan desde otro punto de vista a travs de las otras partes que la

integran.

? Contiene un conjunto de simbologas propias bien estructuradas, sujetas a reglas especficas (simbologa numrica,

geomtrica, grfica, algebraica, por ejemplo) que permiten establecer representaciones de distinto nivel de generalidad

sobre caractersticas, propiedades, relaciones, comportamientos, leyes, etctera. Aspecto que contribuye a avanzar en

su construccin como ciencia y a extender el potencial de sus aplicaciones.

Enfoque Didctico

Como en el CCH un aspecto fundamental es la bsqueda del desarrollo de habilidades de pensamiento (en contraposicin al

estudio de un cmulo de contenidos) que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos, se plantea que en

la puesta en prctica de estos programas la enseanza considere:

? Introducir el estudio de contenidos mediante el planteamiento de situaciones o problemas que no contemplen de inicio

fuertes dificultades operatorias, de modo que la atencin pueda centrarse en el concepto, el procedimiento o las

caractersticas y propiedades que se van a estudiar.

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? Analizar los enunciados de los diferentes problemas planteados, de manera conjunta estudiante-profesor, con la

finalidad de que el alumno adquiera paulatinamente esta habilidad y con el tiempo sea capaz de realizarla de manera

independiente.

? Proporcionar diversos ejemplos, con la intencin de presentar numerosas oportunidades para que el alumno atienda el

desarrollo conceptual, practique los procedimientos bsicos y entienda la mecnica de los mismos a partir de ideas o

estrategias unificadoras.

? Promover la formacin de significados de los conceptos y procedimientos, cuidando que stos surjan como necesidades

del anlisis de situaciones o de la resolucin de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente con una

actividad prctica de aplicacin en diversos contextos. Las precisiones tericas se establecern cuando los alumnos

dispongan de la experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensin.

? Propiciar sistemticamente el trnsito tanto entre distintas formas de representacin matemtica, como entre stas y la

expresin verbal.

? Enfatizar las conexiones entre diversos conceptos, procedimientos, mtodos y ramas de la matemtica.

? Fomentar el trabajo en equipos para la exploracin de caractersticas, relaciones y propiedades tanto de conceptos

como de procedimientos; la discusin razonada, y la comunicacin oral y escrita de las observaciones o resultados

encontrados.

CONTRIBUCIN DEL REA DE MATEMTICAS AL PERFIL DEL EGRESADO

Por lo anterior, se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su aprendizaje, adquiera un desempeo

satisfactorio en la comprensin y manejo de los contenidos de los cinco ejes temticos (lgebra, Geometra, Trigonometra,

Geometra Analtica y Funciones), y desarrolle:

? El empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo (sistemtico, especulativo y riguroso), particularmente de tipo

analgico, inductivo y deductivo.

? La adquisicin de aprendizajes de manera independiente.

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? La comprensin del significado de los conceptos, smbolos y procedimientos matemticos correspondientes al nivel

bachillerato.

? La capacidad para realizar anlisis y establecer relaciones mediante la identificacin de semejanzas y el uso de

analogas.

? La capacidad para formular conjeturas, construir argumentos vlidos y aceptar o refutar los de otros.

? La capacidad de aprender tanto de los aciertos como de los errores.

? La capacidad para efectuar generalizaciones a partir del establecimiento y anlisis de similitudes y el uso de

razonamientos inductivos o deductivos.

? La habilidad en el manejo de estrategias de resolucin de problemas.

? La incorporacin a su lenguaje y modos de argumentacin habituales, de diversas formas de expresin matemtica

(numricas, tabulares, grficas, geomtricas y algebraicas).

? La aplicacin de conocimientos en distintos mbitos de su actividad, con actitudes de seguridad en s mismo y de

autoestima.

? El inters por la lectura y comprensin de textos cientficos, tanto escolares como de divulgacin.

? La valoracin del conocimiento cientfico en todos los campos del saber.

Los diversos cursos del rea de matemticas contribuyen de este modo, a la formacin del bachiller del Colegio de Ciencias y

Humanidades.

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SECUENCIA DE UNIDADES POR SEMESTRE

1er SEMESTRE 2 SEMESTRE 3er SEMESTRE 4 SEMESTRE

MATEMTICAS I

MATEMTICAS II

MATEMTICAS III

MATEMTICAS IV

Nmeros y Operaciones Bsicas.

15 horas

Funciones Cuadrticas y Aplicaciones.

15 horas

Solucin de Sistemas de Ecuaciones.

15 horas

Funciones Polinomiales.

20 horas

Variacin Directamente Proporcional y Funciones Lineales.

20 horas

Construcciones y Elementos Geomtricos Bsicos.

15 horas

Sistemas de Coordenadas y Lugares Geomtricos.

15 horas

Funciones Racionales y con Radicales.

20 horas

Ecuaciones Lineales.

15 horas

Congruencia y Semejanza.

15 horas

La Recta y su Ecuacin Cartesiana

15 horas

Funciones Trigonomtricas.

20 horas

Sistemas de Ecuaciones Lineales.

15 horas

Permetros, reas y Volmenes.

15 horas

La Elipse, la Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas.

20 horas

Funciones Exponenciales y Logartmicas.

20 horas

Ecuaciones Cuadrticas.

15 horas

Elementos de Trigonometra.

20 horas

La Parbola y su Ecuacin Cartesiana.

15 horas

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MAPA DE CONOCIMIENTOS POR EJES TEMTICOS

LNEAS TEMTICAS 1er SEMESTRE. 2 SEMESTRE. 3er. SEMESTRE 4 SEMESTRE

Eje 1: lgebra. Ecuaciones con una o ms incgnitas, procedimientos algebraicos diversos, formas de estudio a travs de la representaciones algebraicas.

? NMEROS Y

OPERACIONES BSICAS.

? ECUACIONES

LINEALES. ? SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES.

? ECUACIONES

CUADRTICAS Y FACTORIZACIN.

.

? Uso de procedimientos

algebraicos en la unidad de funciones cuadrticas.

? Uso de procedimientos algebraicos en la parte de aplicacin de geometra y trigonometra

? SOLUCIN DE SISTEMAS

DE ECUACIONES. ? Manejo del lgebra

para pasar de una forma a otra; solucin de ecuaciones y sistemas en las intersecciones con los ejes o bien entre cnicas.

? Se ampla la visin de lo que es una ecuacin, un sistema y el sentido del lgebra misma.

? Amplio manejo algebraico

para manipular funciones. ? Variacin inversamente

proporcional. ? Solucin de

ecuaciones de grado mayor a dos se incorpora en funciones. polinomiales.

? Acercamiento a intervalos y desigualdades.

? Repaso y extensin de la nocin de exponente

Eje 2: Geometra Euclidiana. Reflexin sobre caractersticas de figuras, trazos con regla y comps, razonamiento reflexivo, congruencia, semejanza, teorema de Pitgoras. Aplicaciones.

? En problemas de variacin

proporcional, ecuaciones y sistemas se pueden incluir ejemplos de longitudes de segmentos, y permetros de figuras.

? La proporcionalidad directa est fuertemente ligada a semejanza.

? CONSTRUCCIONES Y

ELEMENTOS GEOMTRICOS BSICAS.

? CONGRUENCIA Y

SEMEJANZAS. ? PERMETROS, REAS

Y VOLMENES.

? Se retoman muchos

conceptos geomtricos (ngulo, segmento, rea, mediatriz, mediana, paralelas, etctera) para resolver problemas de corte euclidiano. Se incluye una construccin de cada cnica y la forma de obtener las secciones cnicas .

? En funciones

trigonomtricas se retoman y utilizan el teorema de Pitgoras, el concepto de semejanza, y la nocin de ngulo y su medida.

? En funciones polinomiales y racionales, se sugiere presentar problemas de distancias, reas y volmenes.

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Eje 3: Trigonometra Razones trigonmetricas, resolucin de tringulos, estudio de la variacin peridica.

? Como antecedentes se

tienen los conceptos de razn y proporcionalidad

? ELEMENTOS DE

TRIGONOMETRA

? Se utiliza el concepto

de tangente, para la pendiente y para el ngulo entre dos rectas.

? FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS.

MAPA DE CONOCIMIENTOS POR EJES (CONTINUACIN)

LNEAS TEMTICAS 1er SEMESTRE. 2 SEMESTRE. 3er. SEMESTRE 4 SEMESTRE

Eje 4: Geometra Analtica. Sistema de coordenadas. Plano Cartesiano. Estudio analtico de problemas de corte euclidiano y de lugares geomtricos.

? Inicia manejo del Plano

Cartesiano. ? Primer acercamiento al

estudio de la relacin entre grfica y expresin algebraica a travs de sus parmetros

? Bases para el concepto de pendiente y relacin de paralelismo.

? Interseccin de rectas. Satisfaccin de la expresin algebraica asociada.

? Se trabaja la parbola

vertical en dos formas: y = a x2 + bx + c y = a(x ? h)2 + k

? Se refuerza el estudio

grfica- parmetro. ? Nocin de simetra.

? SISTEMAS DE

COORDENADAS Y LUGARES GEOMTRICOS.

? LA RECTA Y SU

ECUACIN CARTESIANA.

? ELIPSE,

CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS.

? LA PARBOLA Y SU

ECUACIN CARTESIANA.

? Se sigue trabajando el

plano cartesiano, la relacin grfica-parmetro, simetras, elongaciones traslaciones, reflexiones

? En las funciones

racionales se grafican y analizan algunas hiprbolas, aunque no con la definicin de stas como cnicas.

Eje 5: Funciones y Plano Cartesiano. Concepto de funcin y sus elementos. Diversos tipos de variacin, estudio de sus comportamientos. Relacin parmetro- grfica- variacin. Vinculacin ecuacin y

? VARIACIN

PROPORCIONAL Y FUNCIONES LINEALES.

? FUNCIONES

CUADRTICAS Y APLICACIONES. (incluye mencin de los nmeros. complejos)

? Manejo amplio del plano

cartesiano a travs de Geometra Analtica.

? La circunferencia, la elipse y la parbola horizontal se pueden comparar con la recta y la parbola vertical para

? FUNCIONES

POLINOMIALES. ? FUNCIONES

RACIONALES Y CON RADICALES.

? FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS.

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funcin. Gama amplia de aplicaciones.

reafirmar, el concepto de funcin por contras-tacin.

? FUNCIONES

EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS.

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PROGRAMA DEL PRIMER SEMESTRE DE MATEMTICAS

UBICACIN DEL CURSO

Este primer curso est enfocado prioritariamente a la revisin y al estudio de algunos conocimientos bsicos del lgebra, pero sin

descuidar la perspectiva de que stos sirven de sustento y estn relacionados con conceptos y procedimientos de los otros ejes

temticos. Es decir, no se trata de incluir contenidos del lgebra por s mismos, sino en funcin de una metodologa propia y de la

relacin que stos guardan con otras ramas de la Matemtica.

Para favorecer el trnsito de la aritmtica al lgebra, se revisan de manera reflexiva tanto los nmeros enteros y racionales como

los algoritmos de las operaciones aritmticas bsicas, su jerarqua y los signos de agrupacin. Esta revisin se trabaja a travs de

problemas de diversa ndole, incorporando desde el inicio algunas estrategias de resolucin de problemas.

Tambin en este curso se comienza a trabajar el concepto de funcin y el manejo del plano Cartesiano, entretejindolos con la

bsqueda de representaciones (algebraica, tabular y grfica) para estudiar diversas situaciones que involucran cambio.

En cuanto al tratamiento general de los contenidos, ms que la memorizacin de una frmula o algoritmo, interesa que el alumno

perciba la necesidad de contar con un camino ms eficiente para resolver o representar cierto tipo de problemas o ejercicios que

l ya ha percibido como anlogos. Adems de la traduccin de un problema que se resuelve con una ecuacin, es importante que

comprenda la riqueza de la estrategia algebraica que le permite establecer relaciones entre cantidades conocidas y

desconocidas. Ms que la repeticin interminable de ejercicios que aparentan responder a un desglose exhaustivo de casos, se

pretende que analice la estructura bsica de ellos y vea cmo pasar de una situacin nueva a otra que ya conoce.

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PROPSITOS DEL CURSO

Al finalizar el primer curso de Matemticas, a travs de las diversas actividades encaminadas al desarrollo de habilidades y a la

comprensin de conceptos y procedimientos, el alumno:

? Conoce y maneja algunas estrategias para la resolucin de problemas.

? Reconoce que la resolucin algebraica de ecuaciones involucra un proceso que permite reducir una ecuacin dada a

otra ms simple, hasta alcanzar una forma estndar.

? Desarrolla su capacidad de transitar por distintos registros de representacin: verbal, tabular, algebraico y grfico.

? Resuelve problemas que dan lugar a una ecuacin de primer grado, una cuadrtica, o un sistema de ecuaciones.

? Utiliza las representaciones algebraica, grfica y tabular para estudiar fenmenos que involucran variacin proporcional

directa y de tipo lineal.

? Utiliza las representaciones algebraica y grfica para modelar situaciones con ecuaciones lineales y sistemas de

ecuaciones.

? Adquiere la capacidad para resolver ecuaciones lineales y cuadrticas, y sistemas de ecuaciones lineales.

CONTENIDOS TEMTICOS

No. Nombre de la unidad Horas

I Nmeros y Operaciones Bsicas 15

II Variacin Directamente Proporcional y Funciones Lineales. 20

III Ecuaciones Lineales. 15

IV Sistemas de Ecuaciones Lineales. 15

V Ecuaciones Cuadrticas. 15

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BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Barnett, Raymond. lgebra, Mc Graw-Hill, Mxico, 2000.

Briton, Jack y Bello, Ignacio. Matemticas contemporneas. Harla, Mxico, 1986.

Fernndez, Josefa y Rodrguez, Ma. Ins. Juegos y pasatiempos para la enseanza de la matemtica Elemental. Sntesis,

Madrid, 1991.

Gobran, Alfonse. lgebra elemental. Grupo Editorial Iberoamericana, Mxico, 1990.

Larson, Ronald y Hostetler, Robert. lgebra. Publicaciones Cultural, Mxico, 1996.

Miller, Charles, et al. Matemticas: Razonamiento y Aplicaciones. Addison Wesley Longman, Mxico, 1999.

Smith, Stanley et al. lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica. Addison Wesley Longman, Mxico, 1998.

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MATEMTICAS I UNIDAD I. NMEROS Y OPERACIONES BSICAS

Propsitos:

? Revisar y dar significado a los diversos algoritmos de las operaciones bsicas a travs del planteamiento de problemas, reforzar el manejo de la prioridad de las operaciones y enriquecer el pensamiento aritmtico del alumno.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

En relacin a la resolucin de problemas, el alumno: - Se inicia en el manejo de algunas

estrategias de resolucin de problemas, como son: utilizar diagra-mas, ejemplificar con casos especiales, explorar valores extremos, trabajar hacia atrs, reducir el problema a otro ms simple.

- Utiliza algunas estrategias personales

para resolver problemas de clculo mental.

- Distingue en problemas numricos, la

informacin relevante de la irrelevante; as como tambin, los elementos conocidos de los que se desean conocer.

- Se propone la utilizacin de problemas

clsicos sobre nmeros como: cuadrados mgicos, pirmides, nmeros de Fibonacci, Torre de Hanoi, Tringulo de Pascal, etctera.

- Se sugiere plantear problemas de series

numricas o geomtricas (por ejemplo: nmeros triangulares, cuadrangulares, etctera) que conduzcan a encontrar patrones numricos.

- Es conveniente plantear problemas de

prdida y ganancia, medicin de temperaturas, volmenes, permetros, excavaciones, reas, profundidades marinas, etctera que requieren del manejo de las leyes de los signos.

Nmeros enteros.

- Uso, orden, representacin en la recta numrica.

- Operaciones bsicas, leyes de los signos.

- Prioridad de las operaciones.

Nmeros Racionales.

- Distintos significados y representaciones: ? Divisin. ? Parte de un todo. ? Razn. ? Porcentajes. ? Fracciones

equivalentes. ? Notacin decimal.

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- Expresa en forma verbal la solucin de

problemas con nmeros enteros y racionales, los trminos en los que sta se plantea y explica el proceso de clculo utilizado para resolverlos.

- Decide sobre las operaciones

adecuadas y su secuencia de ejecucin en la resolucin de problemas numricos.

- Formula conjeturas sobre situaciones

y problemas numricos, mismos que comprueba mediante el uso de ejemplos y contraejemplos, mtodo de ensayo y error, etctera.

En cuanto al manejo de los nmeros, el alumno: - Utiliza la recta numrica y las

propiedades de los nmeros para calcular expresiones aritmticas.

- Establece el significado de las

operaciones aritmticas fundamen-tales, utilizando distintas repre-sentaciones: material concreto, diagramas, grficos y explicaciones verbales.

- Utiliza los algoritmos tradicionales de

suma, resta, multiplicacin y divisin con nmeros enteros y racionales.

- El clculo mental se puede abordar a

travs de problemas que involucren una cadena de operaciones aritmticas.

- En el peridico u otros medios de

comunicacin pueden ser recursos para que los alumnos interpreten grficas y den significado a los signos de los nmeros.

- Proponer problemas que involucren la

aplicacin de porcentajes, as como su representacin grfica (barras, circular), insistir en que la cantidad base del clculo del porcentaje representa el 100% o la unidad.

- Se recomienda el uso de la recta

numrica para dar sentido y significado geomtrico a las operaciones de nmeros con signos.

- Se puede utilizar la recta numrica y las

propiedades de los nmeros para calcular expresiones aritmticas.

- El uso de la calculadora permite explorar

los nmeros, por ejemplo: determinar el nmero ms grande que le cabe a la pantalla, generar aproximaciones de nmeros irracionales con la funcin radical, conversin a nmeros decimales, etctera.

- Orden, representacin

grfica en la recta numrica.

- Operaciones bsicas. Mnimo comn mltiplo.

Mximo comn divisor. - Prioridad de las

operaciones. Uso de signos de agrupacin y prioridad del clculo.

Potencias y Radicales. Problemas diversos de corte aritmtico.

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- Representa a los nmeros racionales

de diversas formas: fraccin comn, porcentajes, decimales y viceversa.

- Reconoce que las fracciones

equivalentes tienen la misma expre-sin decimal.

- Compara nmeros enteros y

racionales mediante la ordenacin y la representacin grfica.

- Utiliza las formas de representacin de

un porcentaje decimal y racional para realizar clculos.

- Encuentra un nmero racional entre

otros dos nmeros racionales dados. - Utiliza diversas estrategias para

contar, estimar o calcular cantidades, teniendo en cuenta la precisin requerida y el error mximo permitido.

- Utiliza fracciones o decimales segn

convenga, para simplificar clculos. Elige el corte o redondeo adecuado en el caso de manejar decimales.

- Utiliza la jerarqua y propiedades de

las operaciones, las reglas de uso de los parntesis y leyes de los signos para el clculo de expresiones aritmticas con ms de una operacin.

- La representacin geomtrica de la

suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros enteros y racionales es un recurso para dar significado a los procedimientos de las operaciones bsicas.

- Para visualizar la propiedad de densidad

de los nmeros racionales en la recta numrica se puede recurrir al uso de una escala conveniente y poner a los alumnos a obtener y localizar entre dos racionales dados otro racional.

- Con la representacin de los distintos

conjuntos numricos, construir la recta real, haciendo mencin de la de densidad de los racionales y de la existencia de los irracionales para rellenar la recta real.

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UNIDAD II VARIACIN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Y FUNCIONES LINEALES

Propsitos:

? A partir de la revisin de aspectos de la aritmtica y de la nocin de proporcionalidad, iniciar el manejo de la representacin algebraica en el estudio de la variacin, la idea de relacin funcional, la graficacin de funciones lineales, su registro tabular y su relacin con los parmetros de y= ax + b.

TIEMPO: 20 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

En la presentacin de diversas situaciones que involucran cambio, el alumno: - Describe verbalmente en qu consiste

el cambio y cules son los aspectos involucrados en l.

- Identifica cul es la variable cuyos

valores dependen de los que tome la otra.

Ante una serie de datos, una tabla o situacin verbal, en donde exista variacin proporcional directa, el alumno: - Obtiene los valores que se indiquen de

y o de x, auxilindose del reconocimiento de patrones o de la regla de tres.

- Obtiene o identifica, segn el caso, la

constante de proporcionalidad.

- Es importante rescatar algunos

elementos aritmticos como mltiplo, fracciones equivalentes, razones, regla de tres, etctera para iniciar el manejo de la proporcionalidad directa.

- Cuando la constante de proporcionalidad

es negativa (K < 0), es frecuente que el alumno diga que no existe proporcio-nalidad directa porque al aumentar una, la otra disminuye. Es necesario aclararles que el hecho no radica en eso, hacindoles ver por ejemplo cmo al duplicarse, triplicarse, etctera la variable independiente, la otra a su vez se duplica, triplica, etctera. O bien cmo al disminuir a la mitad, tercera parte, cuarta parte, etctera a una de ellas, con la otra sucede lo mismo.

Variacin

Proporcional Directa Situaciones que involucran cambio. Introduccin a la nocin de variacin. Identificacin de las variables dependiente e independiente en situaciones concretas. Variacin proporcional entre dos cantidades. Uso de tablas y grficas. Anlisis del cociente y/x para varias parejas de valores. Constante de Proporcionalidad. Problemas de variacin proporcional directa.

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- Compara diversos valores de y con los

correspondientes de x (y/x ) y observa la liga con la constante de proporcionalidad,

- Localiza en el plano cartesiano los

puntos asociados a los datos que posee y traza la grfica.

- Identifica en una grfica los datos de

la tabla correspondiente y construye la grfica relacionada a los valores de una tabla dada.

- A partir del anlisis de la grfica,

obtiene informacin de la situacin a la que representa y lo expresa verbalmente.

Obtiene el modelo algebraico correspondiente. Redacta el contexto de una situacin que corresponda a un modelo de variacin proporcional que se le proporcione. O bien, modifica la redaccin, cuando se introduzcan cambios en el modelo de una situacin dada. Ante una serie de datos, una tabla o una situacin verbal que d lugar a una Funcin Lineal, el alumno:

- Para favorecer la formacin de

significados, es conveniente mantener una etapa inicial en la que el concepto de variacin y el anlisis de las situaciones se manejen bsicamente en lenguaje comn o en las representaciones que el alumno incorpore, antes de introducir las simbolizaciones convencionales.

- Tambin para propiciar significados, a la

vez que se trabaja en favorecer la reversibilidad de pensamiento, resulta conveniente pasar (estableciendo las modificaciones pertinentes) del lenguaje comn al modelo algebraico, al grfico, al tabular y viceversa.

- Los contenidos se prestan a la

exploracin y a la identificacin de patrones de comportamiento, por lo que es conveniente aprovechar esto para desarrollar dicha habilidad de pensamiento.

- Cuando al graficar los alumnos elijan

escalas diferentes para el eje x y el eje y, la inclinacin visual de la recta se modifica, por lo que hay que analizar con ellos cmo incorporar este hecho al establecer relaciones entre grfica y parmetro, o al comparar dos grficas con diversas escalas.

Funciones Lineales

Formas de representacin de una funcin lineal: tablas, grficas y modelo algebraico. Variacin Lineal. Comparacin entre los cambios de y respecto a los de x (? y/? x). Anlisis de los parmetros a y b en el comportamiento de la grfica de y = ax + b Vinculacin entre a y el cociente (? y/? x). Situaciones de diversos contextos que se modelan con una funcin lineal.

21

- Transita entre las distintas formas de

representacin (tabular, grfica, algebraica) asociadas a una funcin lineal de la forma y= ax + b, con b distinto de 0.

Distingue, por el contexto de la

situacin, si se trata de una variable discreta o continua, y lo toma en cuenta para construir la grfica.

- Reconoce a b como el parmetro que

desplaza verticalmente b unidades a la grfica de la recta y = ax.

- Reconoce a a como el parmetro que

determina una mayor o menor inclinacin, respecto del eje x, de la recta y = ax + b.

- Grafica funciones de la forma y= ax +

b, a partir de la informacin que proporcionan los parmetros a y b.

- Percibe que la inclinacin de la recta

est relacionada con la razn que compara los cambios de y con los de x (es decir, con ? y/? x).

- Identifica que en una Funcin Lineal,

la variacin de la variable dependiente es proporcional a la variacin que sufre la variable independiente.

- En esta unidad se inicia el estudio de las

funciones, pero no se pretende agotar todos los aspectos relacionados con el concepto, pues se irn incorporando con creciente grado de abstraccin y formalidad a lo largo de los cuatro semestres, tanto en las unidades expresamente destinadas a trabajar con funciones, como en aquellas en las cuales desde otra ptica se puede reforzar alguna faceta de las mismas (en Geometra Analtica, por ejemplo).

El concepto de variacin permea al eje

de funciones. Aqu se inicia con la variacin ms sencilla: la variacin proporcional directa; misma que posteriormente podr retomarse desde otro punto de vista o para contrastar con otras formas de variacin.

- Es importante resaltar el potencial de

aplicaciones que tienen la Variacin Proporcional y las Funciones Lineales, por lo que se requiere presentar problemas de diversos contextos.

Es conveniente seleccionar un nmero

suficiente de problemas para trabajar tanto en clase como en casa.

22

- Analiza las relaciones existentes entre

ambas variables, para plantear tanto el modelo algebraico como el grfico. Utiliza esos modelos para obtener informacin adicional de la situacin dada.

- Percibe que las funciones lineales son

una herramienta til para representar y analizar diversas situaciones.

23

UNIDAD III. ECUACIONES LINEALES

Propsitos:

? Incrementar la capacidad del alumno para plantear problemas que conducen a ecuaciones lineales y su resolucin por mtodos algebraicos. Estudiar la nocin de ecuacin desde diversas perspectivas. Manejar su relacin con las funciones lineales. Avanzar en el manejo del lenguaje algebraico.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

En cuanto a la resolucin de problemas que dan lugar a una ecuacin lineal en una incgnita, el alumno. - Interpreta la expresin verbal o escrita

de un problema y expresa la relacin entre datos e incgnita por medio de la ecuacin lineal correspondiente.

- Interpreta en el contexto del problema,

el significado de la solucin encontrada, en particular cuando se trata de nmeros negativos o fracciones.

- Redacta el contexto de una situacin

que corresponda a un modelo expresado por medio de una ecuacin lineal con una incgnita, o bien, incorpora los cambios pertinentes en la redaccin de una situacin dada, al introducir modificaciones en el modelo que la representaba.

- En el planteamiento inicial de

problemas, adems de reforzar la traduccin entre los lenguajes verbal y algebraico, se pretende hacer ver al alumno la necesidad de trascender el uso de procedimientos netamente aritmticos, ya que aunque en algunos problemas resultan prcticos, en otros conducen a caminos complicados o largos.

- Es recomendable que en la etapa de

ejercitacin de la resolucin de ecuaciones, la secuencia se presente aumentando el grado de dificultad, desde ecuaciones con la incgnita en un solo trmino, en dos, pero en el mismo miembro de la igualdad, hasta ecuaciones con expresiones racionales. Si adems, se invita al alumno a que analice en cada ocasin cul es la diferencia del caso nuevo respecto al anterior y de qu manera puede

Problemas que dan lugar a ecuaciones lineales en una incgnita. Su resolucin por mtodos informales. Ecuaciones lineales en una incgnita, como:

- Un caso especial de una igualdad entre expresiones algebraicas.

- Una condicin que debe satisfacer un nmero buscado.

- Un caso particular de una funcin lineal.

Resolucin de ecuaciones lineales en una incgnita, por mtodos algebraicos:

- Operar con ambos miembros de la igualdad.

Transponer trminos.

24

Relaciona o reduce un problema dado

con otro que ya ha resuelto o que resulta ms sencillo de trabajar.

Con relacin a los conocimientos y destrezas propios de la temtica de la unidad, el alumno: Comprende que las ecuaciones

lineales en una incgnita, son un caso especial de igualdad entre expresiones algebraicas.

- Maneja con soltura la prioridad de las

operaciones y el significado del uso de parntesis para modificar dicha prioridad.

- Resuelve ecuaciones lineales en una

incgnita a travs de los procedi-mientos siguientes:

a) Operaciones con ambos miembros de la igualdad.

b) Transposicin de trminos. Reduce por medio de operaciones y

propiedades vlidas, una ecuacin lineal a otra ms simple de resolver.

transformarlo al que ya conoce, se le estar reforzando una estrategia general de resolucin de problemas, a la vez que se contribuye a que conforme una idea general del procedimiento de resolucin de las ecuaciones lineales, en contraposicin a una visin de diversos casos que a veces se fomenta en los libros.

- Se recomienda utilizar problemas de

muy diversos contextos que adems de brindar un panorama de la vastedad de aplicaciones, ayude tambin a reforzar las vinculaciones entre diversas ramas de la matemtica. (Problemas sobre figuras geomtricas, de finanzas, de compra de artculos, de tarifas, de mezclas, de llenado de piletas con diferentes llaves, etctera)

- Es conveniente seleccionar un nmero

suficiente de problemas y ejercicios de ecuaciones para trabajar tanto en clase como en casa.

Resolucin de ecuaciones de los siguientes tipos: a) ax = b b) ax + b = c c) ax + bx + c = d d) a( x + b ) = c( x + d) e) ax/ b = c/d f) ax/b + c = dx / e g) (x + b)2 = (x + c) (x + d ) h) (x + a) / (x + b) = (x + c ) / (x

+ d) Interpretacin grfica de la solucin de una ecuacin lineal en una incgnita. Planteamiento y resolucin de problemas de diversos contextos que dan lugar a ecuaciones lineales en una incgnita.

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- Observa que cualquier forma que

adopte una ecuacin lineal, desde la ms simple hasta las que involucran expresiones racionales, siempre puede reducirse, al simplificar trminos semejantes o realizar las operaciones indicadas, a una ecuacin de la forma ax + b = 0 y con ello, resolverse fcilmente.

- Relaciona a las formas ax + b = 0 y

ax + b = c de la ecuacin lineal como casos particulares de la Funcin Lineal y = ax + b, correspondientes respectivamente, a los valores especficos de y=0 y y=c. Es decir, identificar a la ecuacin lineal como un caso particular de una Funcin Lineal.

- A partir de la relacin establecida en el

punto anterior, asocia de manera adecuada, la solucin de una ecuacin de la forma ax + b = 0, con la abscisa del punto en donde la grfica de la funcin y = ax + b, corta al eje x.

- Interpreta el hecho de que las

ecuaciones lineales expresan una condicin que debe satisfacer un valor buscado, como lo que permite modelar diversas situaciones.

26

UNIDAD IV. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Propsitos:

? Profundizar en la nocin de sistema de ecuaciones lineales, y al mismo tiempo en la ecuacin lineal con dos incgnitas. Trabajar el mtodo grfico y los diferentes mtodos algebraicos de solucin. Analizar los diversos casos de sistemas dependiendo del nmero de soluciones.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

A partir de una situacin dada o problema que da lugar a un sistema de ecuaciones lineales, el alumno: - Utiliza tablas de valores para explorar

aquellos que satisfacen las condiciones dadas.

- Traduce las condiciones o

restricciones del problema a un sistema de ecuaciones.

- Recuerda que una ecuacin lineal en dos variables tiene por grfica una lnea recta y viceversa.

- Verifica que una pareja ordenada de

nmeros es solucin de una ecuacin lineal en dos variables.

- Identifica el punto de interseccin de

dos lneas rectas como la solucin del sistema de ecuaciones lineales asociado a dichas rectas.

A travs de los contenidos de la unidad

se profundiza en los conceptos de Ecuacin-incgnita y Funcin-variable, para comprender sus vinculaciones y diferencias.

- Esta unidad no est destinada a obtener

la ecuacin de la recta, ni a estudiarla desde el punto de vista de la Geometra Analtica.

- Se retoma lo que el alumno aprendi

sobre la graficacin de funciones lineales y se da un paso ms al manejar las intersecciones con ambos ejes (abscisa y ordenada al origen).

- Se inicia el manejo del paralelismo por

exploracin de los parmetros, para analizar la consistencia o inconsistencia de los sistemas de ecuaciones.

Problemas que llevan a plantear sistemas de ecuaciones lineales y no lineales (casos sencillos), su solucin por medio de una tabla de valores y grficamente. Grfica de la ecuacin lineal en dos variables. Pendiente, ordenada y abscisa al origen. Grfica de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, en un mismo plano. Interpretacin geomtrica de la solucin. Sistemas Compatibles (consistentes) e Incompatibles (inconsistentes).

27

- Distingue, por el contexto del

problema, si se trata de una variable discreta o una continua, y lo tomar en cuenta al graficar el sistema y obtener su solucin.

- Obtiene de manera grfica la solucin

de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

- Aprecia limitaciones del mtodo

grfico para obtener la solucin de un sistema de ecuaciones.

A partir de un sistema de ecuaciones que obtenga o se le proporcione, el alumno: - Identifica a partir de los parmetros de

una expresin lineal dada, la ordenada y la abscisa al origen.

- Identifica a partir de la grfica de un

sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 , si es compatible o incompatible.

- Infiere la compatibilidad (con solucin)

e incompatibilidad (sin solucin) de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, a partir de los parmetros de las ecuaciones.

- Identifica Sistemas Equivalentes. - Transforma sistemas de ecuaciones

en otros equivalentes ms sencillos.

- Al inicio de la unidad se propone la

solucin de problemas que involucren un sistema de ecuaciones lineales de manera informal (por ensayo-error, grficamente), para introducir los conceptos de simultaneidad, sistema de ecuaciones y su solucin.

- En los problemas que se utilicen para

introducir el mtodo grfico de solucin, es importante que se distinga cundo se trata de una variable discreta y cundo de una continua. Es conveniente tratar ejemplos con variables de ambos tipos.

Es importante hacer nfasis en la

inexactitud de los mtodos anteriores y la necesidad de utilizar un mtodo que no dependa de la precisin en los trazos o de la percepcin visual para obtener el resultado.

- Se debe trabajar la algoritmia, sin

descuidar el significado de los mtodos de solucin, esto es, el alumno debe comprender qu significa la bsqueda de la solucin.

Antes de estudiar los mtodos

algebraicos de solucin, es importante introducir el concepto de sistemas equivalentes y la forma de obtenerlos, con el fin de que el alumno, en los diversos mtodos, avance en la

Nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. Condicin de paralelismo. Sistemas equivalentes. Mtodos algebraicos de solucin de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2: Suma y Resta, Sustitucin e Igualacin.

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- Resuelve sistemas de ecuaciones

lineales 2 x 2 por medio del mtodo que considere conveniente:

a) Suma y resta b) Sustitucin c) Igualacin

Adems, se espera que al trmino de la unidad, el alumno: Plantea problemas en diferentes

contextos que lleven a sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 y los resolver por cualquier mtodo algebraico.

Percibe que los sistemas de

ecuaciones lineales, permiten repre-sentar, analizar y resolver diversos problemas de su entorno.

comprensin del por qu se hace y no solamente se quede con el cmo se hace.

El paso del enunciado de un problema en

su expresin verbal a su expresin algebraica implica dificultad, por lo que el alumno debe tener una gran cantidad de oportunidades para realizarlo. Conviene que el maestro maneje un repertorio diversificado de problemas (geomtricos, numricos, velocidades, mezclas, tiempos de trabajo, econ-micos, etctera)

Analizar los casos de rectas

coincidentes, paralelas y secantes (rectas que se cortan). Su relacin con las pendientes, las caractersticas algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 correspondientes y su nmero de soluciones.

- Es importante que durante toda la unidad

el estudiante pueda pasar de un registro a otro (verbal, tabular, grfico y algebraico).

29

UNIDAD V. ECUACIONES CUADRTICAS

Propsitos:

? Profundizar, a travs del planteamiento y resolucin de ecuaciones cuadrticas, en el concepto mismo de ecuacin, en lo que significa que un nmero sea su solucin, en la relacin que existe entre grado de la ecuacin y el nmero de soluciones. Mostrar el poder del lgebra para encontrar tanto mtodos alternos como generales de resolucin.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

En relacin con la actividad de resolucin de problemas, el alumno: - Analiza las condiciones y relaciones

que se establecen en el enunciado verbal de un problema y expresar las relaciones entre lo conocido y lo desconocido a travs de una ecuacin algebraica de segundo grado.

- Reafirma la estrategia general en la

resolucin de problemas de reducir un problema nuevo a otro que ya se sabe cmo resolver.

- A partir del anlisis del modelo

algebraico de un problema, valora el mtodo algebraico de resolucin que resulta ms conveniente.

Con el propsito de que el alumno parta de lo que conoce, analice limitaciones de ello y explore nuevos caminos que lo lleven a que al final obtenga la frmula general y aprecie sus ventajas, se recomienda una secuencia como la siguiente: - Enfrentar al estudiante a la solucin de

problemas que por su contexto o redaccin lo lleven, con una alta probabilidad, a plantear ecuaciones de las siguientes formas:

- ax2 + c = d; ( x m) 2 = n y a( x m) 2 = n de modo que con la orientacin del profesor puedan resolverlas por inversin de operaciones.

- En alguno de los ejercicios con

ecuaciones de la forma a( x m)2 = n efectuar el binomio al cuadrado y solicitar al estudiante que resuelva ahora la ecuacin as escrita. Ello con la finalidad de que el alumno perciba en este caso la

Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadrticas con una incgnita. Resolucin de ecuaciones cuadrticas de las formas:

a) ax2 + c = 0 b) ax2 + c = d c) ax2 + bx = 0 d) a(x + m)2 = n e) (ax + b) ( cx + d) = 0

Resolucin de la ecuacin cuadrtica completa ax2 + bx + c = 0.

- Factorizacin. - Mtodo de completar

cuadrados. Frmula General.

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- A partir del anlisis del modelo

algebraico de un problema, anticipa el tipo de soluciones que ste arroja.

- Interpreta en el contexto del problema

lo que significan las soluciones encontradas y elegir, si es el caso, aquella que tiene sentido en ese contexto.

Con relacin a los conocimientos y destrezas propios del tema, el alumno: - Utiliza los mtodos siguientes para

resolver una ecuacin cuadrtica: factorizacin, completar a un trinomio cuadrado perfecto, y uso de la frmula general.

- Transforma una ecuacin cuadrtica a

la forma adecuada para su resolucin por un mtodo especfico.

- Identifica cules son los parmetros a,

b y c, an en ecuaciones "desor-denadas" o incompletas y los sustituir correctamente en la Frmula General.

insuficiencia de los mtodos de despeje de la incgnita utilizados previamente y crear as las condiciones para conjeturar la posibilidad de transformar una ecuacin cuadrtica completa a otra de la forma a( x m)2 = n.

- Con el objetivo de explorar esta

posibilidad, plantear la revisin del mtodo corto para elevar un binomio al cuadrado, as como la factorizacin del factor comn y de un trinomio cuadrado perfecto, a travs de inversin de operaciones, y terminar con actividades de transformacin de ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 a la forma a( x m)2 + c = 0.

Despus de lo anterior, enfrentar al

alumno a la resolucin de problemas que por el contexto o redaccin, lleven con una alta probabilidad, a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = d. Se requiere la orientacin del profesor para resolverlas por el mtodo de completar cuadrados

- Una vez trabajado este mtodo, apoyar al

estudiante para que con actividades de generalizacin, llegue a la frmula general de solucin de una ecuacin cuadrtica.

Anlisis del discriminante b24ac.

El nmero i - Races dobles - Nmero y naturaleza de

las soluciones de la ecuacin ax2 + bx + c = 0

31

- Efectua las operaciones indicadas al

aplicar la frmula general, de modo que llegue a obtener las dos solucio-nes correctas.

- Comprende que cuando en el radical

se obtiene un nmero negativo, no existe ningn nmero real que satisfaga esta condicin, por lo que se requiere entrar al terreno de otro tipo de nmeros llamados complejos que se forman a partir del nmero

1??i y son de la forma a + bi. - Calcula el valor del Discriminante b 2

4ac para conocer la naturaleza y el nmero de soluciones distintas.

- Dadas las dos races de una ecuacin,

construir la ecuacin de la que provienen.

En relacin con actividades de generalizacin, el alumno: - Comprender cmo se obtiene la

frmula general para resolver ecua-ciones cuadrticas.

En cuanto a la solucin de ecuaciones

cuadrticas por el mtodo de factorizacin, pueden ponerse los ejercicios en los que se tenga un producto de dos binomios igualado a cero y analizar cundo esto es posible, haciendo notar que en cada caso la dificultad se reduce a resolver dos ecuaciones lineales sencillas. Si luego se efecta el producto y se pide que la resuelvan la ecuacin cuadrtica resultante, el alumno podr valorar, en su caso, de qu manera result ms sencilla su resolucin.

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PROGRAMA DEL SEGUNDO SEMESTRE DE MATEMTICAS LGEBRA Y GEOMETRA

UBICACIN DEL CURSO

Las unidades que se trabajan en este curso, corresponden a los ejes de Funciones, Geometra Euclidiana y Trigonometra;

sin embargo, el lgebra se sigue manejando a travs de los contenidos de estas cinco unidades, y por otra parte se sientan los

cimientos para abordar la temtica correspondiente a la Geometra Analtica que se estudiar en el semestre siguiente.

El segundo semestre de matemticas se inicia con el estudio de la funcin cuadrtica, lo que permite, por un lado, avanzar en el

concepto de funcin al introducir ahora un nuevo tipo de variacin que conlleva conceptos como concavidad y simetra, y, por

otro, vincular estas funciones con las ecuaciones cuadrticas que recin ha trabajado el alumno, aspecto que enriquece ambas

temticas y contribuye a la formacin de significados sobre la resolucin de ecuaciones.

El ncleo central del curso lo constituye el estudio de la geometra euclidiana que ayuda al alumno a describir los objetos y sus

partes de acuerdo a sus formas, dimensiones y propiedades; contribuye de manera significativa a favorecer un pensamiento

reflexivo cuando el estudiante en un primer momento, identifica propiedades y relaciones que puede enunciar en proposiciones

generales, construye y proporciona argumentos que validen dichas proposiciones, y finalmente, establece relaciones lgicas entre

ellas, aun sin llegar necesariamente a un rigor axiomtico propio de estudios ms especializados.

As, las unidades correspondientes al eje de geometra euclidiana, contemplan las etapas de exploracin, deduccin y aplicacin,

mismas que permiten establecer un equilibrio entre dos tendencias1 de la enseanza de la geometra a nivel bachillerato. En

consecuencia, en la unidad sobre Construcciones y Elementos Geomtricos Bsicos, se pretende que el alumno explore,

observe patrones de comportamiento, conjeture y comience a argumentar; mientras que en la unidad de Congruencia y

Semejanza, a partir del conocimiento bsico de estos conceptos, se introduce al alumno al aspecto deductivo y a la comprensin

1 Una tendencia propone un formalismo axiomtico, mientras que la otra no trasciende la presentacin mecanicista de hechos geomtricos.

33

del por qu de las demostraciones; finalmente, en la unidad cuatro, Permetros, reas y Volmenes, se da paso a combinar

diversos conceptos y resultados geomtricos en aplicaciones tericas y prcticas de la geometra.

Por ltimo, la unidad cinco, est destinada a estudiar los Elementos de la Trigonometra, y representa un primer momento de

sntesis de los conocimientos que el alumno ha adquirido sobre Aritmtica, lgebra y Geometra Euclidiana. A travs de las

razones trigonomtricas, la resolucin de tringulos y sus aplicaciones, el estudiante adquirir nuevas herramientas que

potencian, al combinarse, algunas propiedades y conceptos geomtricos, como el de semejanza.

PROPSITOS DEL CURSO

Al finalizar el segundo curso de matemticas, a travs de las diversas actividades encaminadas al desarrollo de habilidades y a la

comprensin de conceptos y procedimientos, el alumno:

? Incrementa su capacidad de resolver problemas, al incorporar estrategias y procedimientos para realizar construcciones

geomtricas y para comprender o proporcionar argumentos que justifican un enunciado.

? Percibe que existe una estructura en los conocimientos de la Geometra Euclidiana y que sta estudia figuras y cuerpos

presentes en su entorno.

? Identifica relaciones y patrones de comportamiento en diversas situaciones o problemas geomtricos, y a partir de esto

establece conjeturas o infiere algunas conexiones entre resultados.

? Valora la importancia de proporcionar una argumentacin como la va que otorga validez al conocimiento geomtrico.

? Percibe a la Trigonometra como una herramienta de gran utilidad que combina aspectos del lgebra, la Aritmtica y la

Geometra.

? Aplica conceptos, procedimientos y resultados de la Geometra Euclidiana y de la Trigonometra, para resolver

problemas.

? Avanza en la comprensin del concepto de funcin, distingue las diferencias y similitudes entre las funciones lineales y

cuadrticas. Modela con estas ltimas algunas situaciones de variacin cuadrtica y de optimizacin.

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CONTENIDOS TEMTICOS

No Nombre de la Unidad Horas

I Funciones Cuadrticas. 15

II Construcciones y Elementos Geomtricos Bsicos. 15

III Congruencia y Semejanza. 15

IV Permetros, reas y Volmenes 15

V Elementos de Trigonometra. 20

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

FUNCIONES CUADRTICAS

Fleming, Walter y Varberg, Dale. lgebra y trigonometra con Geometra Analtica. Prentice Hall, Mxico, 1991.

Gobran, Alfonse. lgebra elemental. Iberoamrica, Mxico, 1990.

Larson, Ronald y Hostetler, Robert . lgebra. Cultural, Mxico, 1996.

Miller, Charles et al. Matemtica: Razonamiento y Aplicaciones. Addison Wesley Longman, Mxico, 1999.

Smith, Stanley A., et. al., lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica. Addison-Wesley Longman, Mxico, 1998.

35

GEOMETRA

Clemens, Stanley et al, Geometra con Aplicaciones y Solucin de Problemas, Addison Wesley, Mxico, 1989.

Filloy, Eugenio y Zubieta, Gonzalo, Geometra, Grupo Editorial beroamrica, Mxico, 2001.

Fleming, Walter y Varberg, Dale. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica, Prentice Hall, Mxico, 1991.

Garcia, Jess y Bertrn, Celeste, Geometra y Experiencias, Recursos Didcticos, Alhambra, Addison-Wesley Longman,

Mxico, 1998.

Miller, Charles et al. Matemtica: Razonamiento y Aplicaciones, Addison Wesley Longman, Mxico, 1999.

TRIGONOMETRA

Fleming, Walter y Varberg, Dale. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica, Prentice Hall, Mxico, 1991.

Flores, Homero y Victoria, Susana, Introduccin a la Geometra con el Geomtra, Iberoamricana, Mxico, 2001

Miller, Charles et al. Matemtica: Razonamiento y Aplicaciones, Addison Wesley Longman, Mxico, 1999.

Rivaud, Juan Jos. Trigonometra, Limusa. Mxico, 1992.

Smith, Stanley A., et. al., lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica, Addison-Wesley Longman, Mxico, 1998.

36

MATEMTICAS II UNIDAD I. FUNCIONES CUADRTICAS

Propsitos:

? Continuar con el estudio de funciones a partir del estudio de situaciones que varan en forma cuadrtica; contrastar este tipo de variacin con la lineal. Analizar el comportamiento de las grficas de funciones cuadrticas en trminos de sus parmetros e iniciar la resolucin de problemas de optimizacin con mtodos algebraicos .

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

El alumno: - Explora, en una situacin o problema

que d lugar a una funcin cuadrtica, valores, condiciones, relaciones y comportamientos, a travs de tablas, diagramas, etctera que le permitan obtener informacin del problema, como un paso previo a establecer la representacin algebraica.

- Diferencia dos tipos de variacin

fundamentales (lineal y cuadrtica). Reconoce en una tabla si existe

variacin cuadrtica por medio de diferencias finitas.

- Obtiene el modelo de la funcin

cuadrtica de una situacin dada.

- Se sugiere iniciar con problemas de

movimiento o geomtricos. - Se pueden modelar funciones cuadrticas

a partir de tablas sobre este tipo de comportamiento, como arreglos de nmeros triangulares, rectangulares, pentagonales o el patrn de compor-tamiento del nmero de diagonales en un polgono.

- Tambin ayuda la elaboracin de grficas

en clase, localizando puntos con ayuda de la calculadora. Despus de una prctica formativa, se sugiere el trazado de grficas con el apoyo de la computadora; se recomienda tambin el uso de Excel para tareas fuera del aula.

Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadrticas. Comparacin de la funcin cuadrtica con la funcin lineal. Intersecciones de la grfica de una funcin cuadrtica con el eje x. Estudio grfico y analtico de la funcin: y = ax2 + bx + c, casos particulares:

y = ax2, y = ax2 + c, y = a(x - h)2 , y = a(x - h)2 + k.

37

Diferencia entre una ecuacin cuadr-

tica y una funcin cuadrtica. Relaciona el nmero de intersecciones

de la curva de una funcin cuadrtica con el eje x, con la naturaleza de las races. En particular identificar su ausencia con la existencia de races complejas.

Transita por los diferentes tipos de

registro de la funcin cuadrtica (tabular, algebraico y grfico).

- Encuentra el significado del papel que

juegan los parmetros en el comportamiento de una grfica. - En el modelo y = ax2 , analiza el impacto de la constante a, y deducir la orientacin de la parbola, segn la constante a sea mayor o menor que cero. - En el modelo y = ax2 + c comprende el papel del parmetro c, en la traslacin de la grfica y = ax2 hacia arriba o hacia abajo del eje x, segn se le asignan valores positivos o negativos a c. - En el modelo y = a(x - h)2, interpreta el papel del parmetro h, como la forma para desplazar la parbola y = ax2 a la derecha o la izquierda, segn el valor de h sea positivo o negativo.

- Se puede sugerir a los alumnos despus

de algunos ejemplos, cmo aprovechar la propiedad de simetra de las funciones cuadrticas para graficar de manera ms rpida.

- Mediante el anlisis de distintos ejemplos

tanto del comportamiento del registro tabular como de las grficas correspondientes, se pueden revisar los conceptos de mximo y mnimo.

- En la expresin y = ax2 , se analizarn las

posibilidades del parmetro a: a ? 0, a ? 0, ? a? ? 1 , ? a? ? 1 y su relacin con la orientacin y abertura de la grfica correspondiente.

- Es conveniente resaltar la importancia de

los mtodos algebraicos en la resolucin de problemas de optimizacin, de diversos contextos, por ejemplo, numricos, de reas, costos, y ganancias.

Concavidad, mximo o mnimo. Problemas de mximos y mnimos. Resolucin algebraica.

38

- En el modelo y = a(x - h)2 + k, deduce que el impacto de los parmetros h y k es el de trasladar y desplazar la parbola y = ax2.

- Integra a su lenguaje trminos como

concavidad, vrtice, mximo, mnimo, traslacin y simetra.

- Expresa una funcin cuadrtica escrita

en la forma general y = ax2 + bx + c, a la forma estndar y = a(x - h)2 + k; y puede describirla a partir del anlisis de sus parmetros.

- Otorga significado a las coordenadas

del vrtice en trminos del valor mximo o mnimo de la funcin.

Resuelve problemas sencillos de

mximos y mnimos aprovechando las propiedades de la funcin cuadrtica.

- Interpreta el comportamiento de la

grfica dentro del contexto de una situacin dada.

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UNIDAD II. CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMTRICOS BSICOS

Propsitos

? A travs de construcciones con regla y comps, explorar las propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos bsicos de la Geometra Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geomtrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validacin emprica.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

El alumno: Reconoce los elementos de una

figura (punto, punto de Inter.-seccin, lneas rectas, segmentos, semirrectas, etctera).

- Obtiene de las construcciones, las

nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ngulo, bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresa en forma oral y escrita.

- Identifica los elementos mnimos

que se requieren para trazar un segmento de recta.

- Establece los elementos mnimos

que se requieren para trazar una circunferencia.

- Es importante iniciar con una revisin de los

antecedentes histricos de la geometra y la forma como se sistematiza este conoci-miento.

- Para incrementar la destreza manual en el

manejo de instrumentos geomtricos, se sugiere dejar a los alumnos como tarea, la elaboracin de dibujos libres, por ejemplo, los que se realizan en dibujo tcnico, mosaicos de Escher, etctera.

Con las construcciones se puede inducir al

alumno a que establezca propiedades y caractersticas de las figuras obtenidas, comparando medidas de ngulos y segmentos, considerando lados y vrtices, etctera.

- A travs de preguntas, el profesor puede

encauzar la reflexin sobre los trazos realizados en cada una de las

Construcciones con regla y comps

Segmentos congruentes. ngulos congruentes. Mediatriz y determinacin del punto medio de un segmento. Bisectriz de un ngulo dado. Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto:

a) que pertenece a la recta.

b) fuera de ella Tringulos Reproduccin de un tringulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA)

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- Recuerda la clasificacin de

ngulos por su abertura (agudo, recto, obtuso, llano) y posicin (adyacentes, suplementarios, complementarios, opuestos por el vrtice).

- Reconoce ngulos rectos en

cualquier figura geomtrica que los contenga.

Explica en forma verbal y escrita,

los trazos que sigui para realizar una construccin geomtrica dada.

Identifica y construye segmentos y

ngulos congruentes. - Recuerda clasificacin de trin-

gulos segn sus lados y ngulos. - Explica en qu casos es posible

construir un tringulo, a partir de tres segmentos dados cuales-quiera.

- Construye un tringulo congruente

a partir de otro dado. - Verifica tringulos congruentes

hacindolos coincidir.

construcciones, con la finalidad de identificar los elementos mnimos que se requieren para localizar un punto (interseccin de rectas y/o circunferencias), trazar un segmento de recta y trazar una circunferencia.

Se recomienda hacer nfasis en la nocin

de perpendicularidad y en su uso para medir la distancia de un punto a una recta.

- Con la orientacin del profesor, los alumnos

formularn las caractersticas que deter-minan los elementos estudiados, apo-yndose, cuando corresponda, en patrones de comportamiento reconocidos en las diversas construcciones.

- Cuando en las construcciones se presente

congruencia de algunos elementos se sugiere hacer coincidir las figuras como una forma de verificacin.

- La construccin de tringulos tiene el

propsito de establecer los datos mnimos requeridos para la construccin de tringulos congruentes. Para ello se propone trabajar de la siguiente forma: Pedir al alumno que construya un tringulo, si se le dan:

a) Un dato: Lado o ngulo b) Dos datos: Dos lados, un lado y un

ngulo, dos ngulos. c) Tres datos: Tres lados, dos lados y

un ngulo, un ngulo y dos lados.

Desigualdad del tringulo. Rectas notables en el tringulo: mediatriz, bisectriz, mediana y altura. Puntos notables de un tringulo: Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro. Reproduccin de polgonos por triangulacin. Circunferencia Rectas y segmentos. Rectas tangentes a una circunferencia

a) Desde un punto sobre ella.

b) Desde un punto fuera de ella.

Localizacin del centro de una circunferencia dada.

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- Identifica las alturas de un tringulo

sin importar la posicin que stas tengan.

Distingue las caractersticas que

determinan a cada una de las rectas notables de un tringulo. Reconoce las diferencias entre unas y otras.

- Traza las rectas notables del

tringulo.

Identifica los puntos notables de un tringulo y puede explicar cules son sus caractersticas.

- Observa que los puntos notables

de un tringulo, estn alineados.

- Identifica cuerdas, radios, secantes y tangentes de una circunferencia.

- Construye rectas tangentes a una

circunferencia. - Describe correctamente el proce-

dimiento requerido para realizar una construccin dada

- Argumenta, empricamente, sobre

la validez de las construcciones realizadas y lo explica de forma oral y escrita.

- Llevarlos a que analicen en qu casos se

construye un nico tringulo y por qu. Esto adems sienta las bases para obtener los criterios de congruencia que se trabajarn en la siguiente unidad.

- En el caso de la construccin de un tringulo

cuando se proporcionan tres lados, la actividad tambin se presta para que el alumno obtenga lo que establece la desigualdad del tringulo.

- Se recomienda trabajar problemas que

involucren las construcciones en diferentes contextos.

- Se sugiere trabajar algunas construcciones

con software como Cabri, Geometer Sketcterah Pad u otros.

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UNIDAD III. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Propsitos:

? Ilustrar el papel de la demostracin en los resultados de la geometra e iniciar al alumno en el mtodo deductivo. Trabajar la congruencia y semejanza de tringulos, as como el teorema de Pitgoras.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

El alumno: - Reconoce la importancia de la

demostracin para aceptar o rechazar conjeturas.

- Utiliza correctamente la nomenclatura

empleada por el profesor . - Explica la diferencia entre igualdad y

congruencia. - Conoce los tipos de ngulos que se

forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

- Identificar aquellos que son

congruentes. Justifica la suma de los ngulos

interiores y exteriores de cualquier tringulo.

- En la unidad no se pretende estructurar una teora, sin embargo las demostraciones deben tener el formalismo mnimo requerido para el nivel bachillerato.

- En cada uno de los teoremas

establecidos en la temtica, es conveniente apoyarse de una construccin cuidadosa de la figura que relacione lo estipulado en ese teorema. Esto con la finalidad de establecer vnculos adecuados que favorezcan obtener una argumentacin vlida.

- Conviene resaltar la diferencia entre

mostrar y demostrar, la necesidad de la deduccin, la identificacin de los elementos de una demostracin as como las partes de un teorema y la forma de su recproco.

Congruencia Congruencia de complementos y suplementos de ngulos congruentes. Congruencia de ngulos opuestos por el vrtice. Justificacin. Construccin de la recta paralela a otra por un punto dado.

- Postulado de las rectas paralelas.

Congruencia de ngulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.

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- Justifica la expresin para encontrar el

ngulo exterior de un tringulo como suma de los ngulos interiores no adyacentes.

- Aplica los criterios de congruencia de

tringulos para justificar congruencia entre segmentos, ngulos y tringulos.

- Aplica los criterios de semejanza para

justificar la semejanza entre tringulos y la proporcionalidad entre sus lados respectivos.

- Identifica el ngulo central corres-

pondiente a un ngulo inscrito en una circunferencia.

- Justifica la relacin entre los ngulos

central e inscrito en una circunferencia.

- Utiliza los conocimientos adquiridos

en esta unidad, en la resolucin de algunos problemas.

- Hay que poner nfasis en la

nomenclatura que se est utilizando y fomentar su uso por parte del alumno.

- Con el fin de refutar enunciados falsos,

se recomienda utilizar contraejemplos. - Es conveniente poner nfasis en el

mtodo deductivo y no en la memorizacin de las demostraciones por parte del alumno, as como propiciar que el alumno argumente en forma oral y escrita la validez de los resultados obtenidos.

- Se sugiere analizar la importancia del postulado de las paralelas en el desarrollo de la geometra, as como dejar a los alumnos un trabajo de investigacin relativo a las geometras no euclidianas.

- Al justificar la congruencia o semejanza

de tringulos es importante cuidar la identificacin de ngulos y lados homlogos

- Al trabajar la suma de los ngulos

interiores de un tringulo, se propiciar que el alumno encuentre la expresin general para la suma de los ngulos interiores de un polgono de n-lados.

ngulos internos y el ngulo externo de un tringulo. a) Relacin entre el ngulo

externo y el ngulo interno. Justificacin

b) Suma de ngulos interiores de un tringulo. Justificacin.

c) Suma de ngulos interiores y exteriores de un polgono regular.

Congruencia de tringulos

?Criterios de congruencia de tringulos.

Justificacin de las construcciones de: a) Bisectriz de un ngulo. b) Mediatriz de un

segmento. c) Perpendicular a una

recta. Teorema del tringulo issceles y su recproco. Justificacin. Relacin entre el ngulo central e inscrito en una circunferencia. Justificacin.

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- Como parte de la introduccin al

concepto de semejanza, se puede recurrir a los modelos a escala, por ejemplo: mapas, maquetas, fotos, tangram, etctera.

- Tambin para motivar el tema de

semejanza se puede pedir al alumno que investigue sobre la seccin urea y la importancia que le daban los griegos.

- Es importante remarcar la diferencia

entre igualdad y congruencia. - Es conveniente presentar algunas

demos-traciones del Teorema de Pitgoras, incluyendo la que se basa en la semejanza de tringulos.

Semejanza y teorema de Pitgoras Divisin de un segmento en n partes iguales. Construcciones. Teorema de Thales y su recproco. Criterios de semejanza de tringulos. Teorema de la altura de un tringulo rectngulo. Justificacin. Teorema de Pitgoras y su recproco. Justificacin.

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UNIDAD IV. PERMETROS, REAS Y VOLMENES

Propsitos:

- Aplicar conocimientos algebraicos y geomtricos adquiridos en unidades anteriores en la resolucin de problemas sobre figuras y cuerpos que involucren exploraciones geomtricas, deducciones y clculos numricos. Propiciar el desarrollo de la imaginacin espacial.

TIEMPO: 15 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

El alumno: - Comprende que la actividad de

medir en geometra, una longitud, rea o volumen, involucra contar cuntas veces cabe una unidad de medida en el objeto que se quiere medir.

- Distingue la diferencia entre unidades

de longitud, superficie y volumen - Calcular el permetro de tringulos,

cuadrilteros y otros tipos de polgonos regulares.

- Obtiene alguna de las frmulas para

calcular el rea y el volumen de figuras y cuerpos por el mtodo de descom-posicin y recomposicin.

- En est unidad, adems de obtener resultados sobre reas de polgonos regulares, se aplicarn los cono-cimientos adquiridos en las unidades anteriores a la resolucin de problemas de aplicacin en distintos contextos y de un nivel de dificultad un poco mayor que los ya trabajados en las unidades mencionadas.

- Es conveniente resolver problemas

donde se utilicen las propiedades de rectas paralelas, congruencia, seme-janza de tringulos y teorema de Pitgoras; por ejemplo: clculos de dis-tancias inaccesibles, trazos de trayec-torias de rayos de luz, el problema de Eratstenes, etctera.

Medida en geometra. a) Qu es medir

longitudes, reas y volmenes?

b) Permetro de un polgono regular.

c) Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtencin emprica de la frmula.

d) rea del rectngulo. e) Volumen de un prisma

recto. Clculo de reas por descomposicin y recomposicin de figuras. Obtencin de la frmula del rea del: tringulo, trapecio, rombo y paralelogramo.

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- Utiliza las frmulas obtenidas en la

resolucin de diversos problemas. - Establece la razn que existe entre la

longitud de la circunferencia y el dimetro de un crculo.

- Encuentra las dimensiones de

algunas figuras geomtricas, cuando se conoce su permetro y su rea.

- Reconoce y aplica la razn que existe

entre los permetros de tringulos semejantes.

Reconoce la razn que existe entre

las reas de tringulos semejantes. - Aplica las propiedades de semejanza

en la resolucin de problemas sobre distancias inaccesibles,

- Deduce empricamente las frmulas

para obtener la longitud de la circunferencia y el rea de un crculo.

- En la obtencin de la razn aproximada

entre la longitud de la circunferencia y su dimetro, se recomienda que los alumnos midan la circunferencia y el dimetro de varios objetos distintos: botellas, botes, vasos cilndricos, y obtenga sus razones y el promedio de stas.

- La idea de introducir el tema de clculo

de reas, pretende que el alumno perciba la secuencia de razonamientos en la deduccin de sus frmulas.

- Despus de resolver algunos problemas

que involucren reas de polgonos, plantear problemas de clculo de reas donde se involucre la razn entre permetros o reas de tringulos y rectngulos semejantes.

- En la obtencin del rea del crculo se

puede utilizar un polgono inscrito de n lados, recomponiendo sus n tringulos en un paralelogramo.

- Los alumnos debern construir un

cilindro y un cono de igual radio y altura para comparar sus volmenes de manera fsica.

Obtencin de la frmula del rea de un polgono regular dado el apotema. Clculo aproximado del rea del crculo. Obtencin emprica de la frmula. Razn entre permetros y entre reas de tringulos semejantes. Problemas de longitudes y reas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitgoras. Problemas que involucren reas y volmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde sea necesario aplicar conocimientos de congruencia, semejanza y teorema de Pitgoras.

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- Obtiene algunas frmulas para

calcular la superficie lateral y el volumen de prismas rectos.

- Generaliza la frmula del volumen de

un prisma para obtener la que proporciona el volumen de un cilindro.

- Deduce empricamente que el

volumen del cono recto, es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene mismos radio y altura.

- Resuelve algunos problemas que

involucren algunos de los siguientes elementos: Teorema de Pitgoras, semejanza, congruencia, frmulas sobre permetros, reas, superficies laterales y volmenes.

- Para trabajar el tema de reas y

volmenes de un prisma, se recomienda que el alumno haga un manejo intuitivo para la obtencin de las frmulas; para ello, se puede pedir que manipule una caja rectangular y realice los clculos que crea pertinentes para obtener los valores requeridos.

- Se puede llegar a una generalizacin de

las propiedades de los prismas, si se le hace ver al alumno que un cilindro se puede manejar como un prisma de una cantidad infinita de lados.

Para comparar volmenes de cilindros y

conos, se puede recomendar que los alumnos construyan un cono y un cilindro del mismo radio e igual altura.

- La construccin del rectngulo ureo

permitir consolidar las relaciones entre rea y semejanza.

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UNIDAD V. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

Propsitos:

? Mostrar a las razones trigonomtricas como una herramienta y un modelo en la solucin de problemas de diversos campos del conocimiento. Iniciar, asimismo, un nuevo saber matemtico que culminar posteriormente con el estudio de las funciones trigonomtricas.

TIEMPO: 20 horas

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS TEMTICA

El alumno:

- Conoce que las razones trgono-mtricas se derivan de una propiedad fundamental de los tringulos rectngulos semejantes, y sabe que existen seis de ellas.

- Aprecia la importancia de las tablas

trigonomtricas en la solucin de problemas que involucren tringulos rectngulos.

- Construye una tabla de seno, coseno y tangente para los ngulos de 30, 45, y 60 grados.

- Usa tablas trigonomtricas y calculadora para obtener los valores del seno, el coseno y la tangente, as como de sus recprocos.

- Estima el valor del resultado en la resolucin de tringulos y problemas, los contrasta con los

- Conviene realizar un breve esbozo

histrico de la trigonometra, as como comentar el significado etimolgico de los trminos: grado, minuto, seno, tangente.

- Tambin para introducir el tema y favorecer la motivacin del alumno, se puede plantear un problema donde surja la necesidad de relacionar los lados y los ngulos de un tringulo rectngulo.

- Partiendo de que dos tringulos rectngulos semejantes tienen sus lados proporcionales, se puede hacer ver que las razones respectivas entre dos cualesquiera de sus lados sern las mismas para ambos tringulos, Se le puede pedir al alumno que analice las diversas posibilidades de combinar los lados. De ah, llevarlos a establecer las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente y despus, sus recprocas.

Razones trigonomtricas seno, coseno y tangente para ngulos agudos. Valores recprocos de las razones seno, coseno y tangente. Solucin de tringulos rectngulos:

a) Conociendo un ngulo y un lado. b) Conociendo dos lados.

Razones seno, coseno y tangente de los ngulos de 15, 30, 45, 60 y 75. Las razones recprocas del seno, coseno y tangente. Resolucin de problemas.

a) ngulo de elevacin, b) ngulo de depresin c) Problemas de aplicacin.

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resultados obtenidos, y analiza la validez de los mismos en el contexto del problema.

- Adquiere habilidad en el manejo de la calculadora al resolver ejercicios y problemas de corte trgono-mtrico.

- Maneja algebraicamente algunas identidades trigonomtricas.

- Comprende la deduccin de las

frmulas de las leyes de senos y cosenos.

Resuelve problemas donde se involucren cualquier tipo de tringulos.

Aplica, junto con los conocimientos

de esta unidad, la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, el teorema de Pitgoras y los criterios de semejanza, en la resolucin de problemas.

- Valora a la trigonometra como una herramienta de gran utilidad en la solucin de una diversidad de problemas.

- Es importante recalcar que las razones de un tringulo rectngulo son funciones de los ngulos agudos del tringulo. Esto es, los cocientes o razones a/b. a/c, b/c permanecen invariantes para el mismo ngulo en un tringulo rectngulo cualquiera que sea su tamao. (Mostrar el ejemplo: en el tringulo de 30-60 la razn seno siempre es igual a 0.5)

- A travs de un problema de semejanza

ya trabajado, se puede mostrar la importancia de las razones trigo-nomtricas si se resuelve el problema por semejanza y por trigonometra y se analiza la ventaja de este ltimo mtodo.

- Plantear problemas donde se dan las

medidas de los lados de un tringulo, por ejemplo, 7, 24 y 25 cm. y se requiere obtener las medidas de los ngulos, verificando previamente que el tringulo sea rectngulo.

- Es til resolver problemas en los que

los tringulos rectngulos se encuentran en diferentes planos, cuando forman parte de polgonos o cuando permiten el clculo de parmetros de slidos regulares.

Identidades trigonomtricas fundamentales:

a) Las recprocas. b) Las de divisin. c) Las pitagricas.

Resolucin de tringulos oblicungulos.

a) Ley de los senos y cosenos.

b) Problemas donde intervienen tringulos oblicungulos.

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- En aplicaciones se puede plantear,

adems de los problemas ya conocidos de distancias y velocidades, algunos problemas de trayectoria, haces de luz, astronoma, como son el dimetro de la Tierra, distancia de la Tierra al Sol, clculo del dimetro del Sol, etctera.

- Conviene proponer un problema donde

se manifieste la necesidad de trabajar con tringulos oblicungulos, por ejemplo, calcular la altura de una pea donde existe un obstculo natural que impide arribar a ella.

- Analizar el comportamiento del seno, el

coseno y la tangente cuando el ngulo agudo toma valores entre 0 y 90 en un tringulo rectngulo. Destacar los casos extremos en 0 y 90.

Se sugiere deducir una de las leyes de

senos o cosenos.

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PROGRAMA DEL TERCER SEMESTRE DE MATEMTICAS LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA

UBICACIN DEL CURSO

En el tercer curso se generalizan los procedimientos algebraicos de solucin para sistemas de ecuaciones al trabajar ahora con

sistemas que incorporan ms ecuaciones e incgnitas, o bien que incluyen ecuaciones cuadrticas. Por otra parte, se introduce

una nueva representacin de los objetos geomtricos que permite estudiarlos desde otras perspectivas ms propicias para la

generalizacin y, con ello, aumentan tambin las posibilidades de su tratamiento y aplicacin, tanto en matemticas como en

otras ramas del conocimiento. De esta forma se retoman conocimientos que el alumno ya trabaj en los semestres previos para

ampliarlos o para darles un nuevo tratamiento.

En el estudio de los sistemas de ecuaciones, se extienden los mtodos de suma y resta y el de sustitucin para aplicarlos a

sistemas con mayor nmero de ecuaciones e incgnitas, o a sistemas que incluyen ecuaciones cuadrticas. No obstante todas

las posibilidades tericas y prcticas que este tema abre, su tratamiento se reduce a ilustrar formas en que la matemtica

extiende sus conceptos y procedimientos cuando tiene que enfrentar situaciones de mayor dificultad, generalizando