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Programac. De Métodos
Numéricos Unidad 2
RAÍCES DE ECUACIONES
DEFINICIÓN
Encontrar las raíces consiste en obtener una
raíz de x de una ecuación de la forma f(x)=0
para una función dada f. Estos valores de x que
hacen a la ecuación igual a cero. Por eso
algunas veces a las raíces se les conoce como
ceros de la ecuación. Aunque la formula
cuadrática es útil para resolver ecuaciones, hay
muchas funciones diferentes que no se pueden
resolver de manera tan fácil. En estos casos los
métodos numéricos proporcionan métodos
eficientes para obtener la respuesta.
ECUACIONES ALGEBRAICAS Solución de una ecuación algebraica de primer
grado
es solución de:
Solución de una ecuación algebraica de segundo grado
es solución de:
BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ
MÉTODOS GRÁFICOS
Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan.
MÉTODO GRÁFICOf(x)
x
Visual
xr
MÉTODO GRÁFICO
xe)x(f x -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-20
-15
-10
-5
0
5x f(x)
-0.5 -3.5-0.3 -15.0541281-0.2 -13.9546075-0.1 -9.34642850 -3.5
0.01 -2.940508310.04 -1.349552450.05 -0.854485480.1 1.286650810.2 3.507932960.4 0.046038140.5 -3.5
MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en
el que se garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
bisección xm como aproximación de la raíz
buscada.
3. Se identifica luego en cuál de los dos
intervalos está la raíz.
4. El proceso se repite n veces, hasta que el
punto de bisección xm, coincide
prácticamente con el valor exacto de la raíz.
PASO 1.
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0<)x(f).x(f mi
PASO 2. La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:
i sr
x xx
2
m
PASO 2. (CONTINUA)
xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
2si
m
xxx
+=
PASO 3.
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raiz:
1. Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la raiz esta en el subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; f(xi)=f(xm) y continua paso 2.
2. Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la riaz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; f(xs)=f(xm) y continua paso 2.
1. El proceso se repite n veces, hasta que el
punto de bisección xm, coincide prácticamente
con el valor exacto de la raíz.
PASO 4.
xi xs xm f(xi) f(xs) f(xm) f(xi)*f(xm) eap evp0.0679 0.0688 0.06835 -0.020248389 0.019816962 -0.00019235 3.89488E-06 100 0.006321430.06835 0.0688 0.068575 -0.000192355 0.019816962 0.00981815 -1.88857E-06 0.32810791 -0.322845770.06835 0.068575 0.0684625 -0.000192355 0.009818151 0.00481436 -9.26065E-07 -0.16432353 -0.158262170.0679 0.0684625 0.06818125 -0.020248389 0.004814359 -0.0077079 0.000156073 -0.41250344 0.25319682
0.06818125 0.0684625 0.068321875 -0.007707899 0.004814359 -0.00144449 1.1134E-05 0.2058272 0.047467330.06832188 0.0684625 0.068392188 -0.00144449 0.004814359 0.00168551 -2.43469E-06 0.1028078 -0.055397420.06832188 0.06839219 0.068357031 -0.00144449 0.001685505 0.00012065 -1.74278E-07 -0.05143033 -0.003965050.06832188 0.06835703 0.068339453 -0.00144449 0.00012065 -0.00066188 9.56084E-07 -0.02572178 0.021751140.06833945 0.06835703 0.068348242 -0.000661884 0.00012065 -0.00027061 1.79111E-07 0.01285924 0.008893050.06834824 0.06835703 0.068352637 -0.000270608 0.00012065 -7.4977E-05 2.02893E-08 0.00642921 0.0024640.06835264 0.06835703 0.068354834 -7.49766E-05 0.00012065 2.2837E-05 -1.71227E-09 0.0032145 -0.00075052
Intervalos Función EvaluadaRaíz media
Condiciones
MÉTODO DE BISECCIÓN0.068354321Valor verdadero=====
MÉTODO DE BISECCIÓN
Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e(%) e*(%)
1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84
2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33
3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00
4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11
5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26
6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70
7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37
8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69
9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34
10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17
11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09
12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04
13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02
14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01
Intervalos Función Raiz media
Valor Verdadero = 0.567143xe)x(f x -= -