Programação Geral e Resumos

Quinta-feira Sexta-feira Sábadohorário 04/05/2017 05/05/2017 06/05/2017

08:00-09:00 RegistroMinicurso Minicurso Minicurso

09:00-9:50 Vitor Ferreira Vitor Ferreira Vitor Ferreiraauditório Adelbar Sampaio auditório do DMA auditório do DMA

10:00-10:25 Co�ee break Co�ee break Co�ee break10:25-11:15 Antonio Paques Dessislava Kochloukava Walter Ferrer

auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA auditório do DMA

Eliezer Batista Grasiela Martini11:20-11:45 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA Robson Vinciguera

Victor Solís Luciano Panek auditório do DMA

auditório do DMA sala 107

Barbara Pogorelsky Glauber Quadros11:50-12:15 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA Marcelo Muniz

Josimar Rocha Nayene Panek auditório do DMA

auditório do DMA sala 107

12:15-14:00 Almoço Almoço14:00-14:50 Edson Alvares Alcides Buss

auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Dirceu Bagio Wágner Cortes15:00-15:25 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Emerson Melo Mauro Iglesiasauditório do DMA sala 107

Andrea Morgado Daiane Freitas15:30-15:55 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Érica Fornaroli Artem Lopatinauditório do DMA sala 107

15:55-16:20 Co�ee break Co�ee breakDaiana Flores Felipe Castro

16:20-16:45 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Raimundo Bastos Thaísa Tamusiunasauditório do DMA sala 107

Saradia Flora Danielle Azevedo16:50-17:15 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Thiago Freitas Elkin Vanegasauditório do DMA sala 107

17:20-17:45 Sessão de PôsteresF67 1o. andar

Sumário

MINICURSO 5Corpos de frações não comutativos - Vitor de Oliveira Ferreira . 5

PLENÁRIAS 7Grupóides e suas ações sobre C∗-álgebras - Alcides Buss . . . . 7Por que globalizar? - Antonio Paques . . . . . . . . . . . . . . . 8Produto �bra de grupos - Dessislava Kochloukova . . . . . . . . 9Álgebras (m,n)-quasi-tilteds e (m,n)-quase hereditárias - EdsonAlvares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Observable actions, a generalization of the concept of observablesubgroup - Walter Ferrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

COMUNICAÇÕES ORAIS 13Almost Involutive Hopf-Ore Extensions - Andrea Morgado . . . 13Identidades livres para invariantes das matrizes - Artem Lopatin 14On the representation theory of a quantum group attached to theFomin-Kirillov algebra FK3 - Bárbara Pogorelsky . . . . . . . 14

O radical de Jacobson do skew anel de grupóide - Daiana Flôres 15Almost involutive Hopf algebras up to dimension 23 - DaianeFreitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Pares combinados parciais: gerando álgebras de Hopf - DanielleSantos Azevedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Representations of the Drinfeld double of Radford's algebras -Dirceu Bagio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Categorias de Hopf - Eliezer Batista . . . . . . . . . . . . . . . . 17Irreducible modules over Outtara's power-associative and trainalgebra of rank 4 - Elkin O. Quintero Vanegas . . . . . . . . . 18

Automor�smos coprimos agindo com centralizadores nilpotentes- Emerson Ferreira de Melo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Isomor�smos de Jordan de álgebras de incidência �nitárias -Érica Zancanella Fornaroli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Dualidade para ações parciais de álgebras de Hopf fracas - FelipeLopes Castro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3

Representações parciais de álgebras de Hopf fracas - GlauberQuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Estruturas parciais no contexto de álgebras de Hopf de multipli-adores - Grasiela Martini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Semicorpos Finitos e certos p-grupos de classe de nilpotência 2- Josimar da Silva Rocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Grupo de Simetrias dos Espaços de Blocos de Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman - Luciano Panek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Cohomologia de produtos smash parciais - Marcelo Muniz Alves 22Caracterização de folheações curva generalizada com uma únicaseparatrix em K(n,m) - Mauro Fernando Hernández Iglesias . 23

Sobre a A-equivalência de Hipersuperfícies Quase Ordinárias -Nayene Michele Paião Panek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Condições de �nitude para produtos tensoriais não abelianos degrupos - Raimundo de Araújo Bastos Júnior . . . . . . . . . . 24

Extensões Essenciais Cíclicas de Módulos Simples sobre Anéisde Operadores Diferenciais - Robson Willians Vinciguerra . . 24

As Representações da Super Plano de Jordan - Saradia Della Flora 25A characterization for a Groupoid Galois Extension using Par-tial Isomorphisms - Thaísa Tamusiunas . . . . . . . . . . . . . 25

Uma introdução aos módulos de cohomologia local - Thiago Hen-rique de Freitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

O Problema de Nathan Jacobson - Victor Hugo López Solís . . . 26The topological algebra of the full generalized quaternion algebra- Wagner Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

PÔSTERES 27

MINICURSO

Corpos de frações não comutativos

Vitor FerreiraUniversidade de São Paulo - USP

Veremos como a construção do corpo de frações de um domínio de inte-gridade (comutativo) se generaliza para o contexto de anéis não necessari-amente comutativos. Especial atenção será devotada aos chamados anéisde polinômios �skew �, uma generalização natural dos anéis de polinômiosusuais, que reparte com esses muitas propriedades aritméticas. Como apli-cação das técnicas apresentadas, veremos que, mesmo quando existe, um�corpo de frações� de um domínio de integridade não comutativo não é nec-essariamente único.

5

PLENÁRIAS

Grupoides e suas ações sobre C∗-álgebras

Alcides BussUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Grupoides são objetos poderosos que possuem muitas aplicações na teo-ria de Álgebras de Operadores. Exemplos importantes de C∗-álgebras, taiscomo álgebras de rotação e álgebras de Cuntz admitem modelos canônicosem termos de grupoides, isto é, elas podem ser descritas como C∗-álgebrasde grupoides. Propriedades da C∗-álgebra podem então ser lidas do grupoidemodelo adjacente. Grupoides também podem ser usados para descreversimetrias de C∗- álgebras e o principal objetivo desta palestra será explicarcomo isto funciona. Mais especi�camente, vamos introduzir a noção de umgrupoide H sobre outro grupoide G e explicar como isto induz uma ação deH sobre a C∗- álgebra C∗(G × H) pode ser descrita como uma espécie de�produto cruzado generalizado� C∗(G)×H.

7

Por que globalizar?

Antonio PaquesUniversidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS

A globalização de ações parciais de grupos e/ou álgebras de Hopf sobreálgebras tem sido uma ferramenta muito útil no estudo, dentro do contextoparcial, da estrutura multiplicativa de álgebras e de suas representações.Em muitos casos, a teoria parcial pode ser desenvolvida sem recorrer a essaferramenta. Em outros, ela é absolutamente necessária. O escopo destapalestra é apresentar, através de exemplos concretos, resultados que, sem orecurso da globalização, não poderiam ser obtidos.

Produto �bra de grupos

Dessislava KochloukovaUniversidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Estudamos versão homológica de resultados homotópicos de Bridson (Ox-ford), Howie (Edimburgo), Short (Marseille), Miller (Melbourne), Kuchkuck(Dusseldorf) sobre o produto �bra de duas sequências exatas de grupos.Em particular mostramos que se G1 é produto semidireto de N1 por Qe G2 é produto semidireto de N2 por Q então a Conjectura homológican−(n+1)−(n+2) vale, i.e., se G1 e G2 ambos têm tipo homológico FPn+1;N1 tem tipo homológico FPn e Q tem tipo FPn+2 então a �bra P tem tipohomológico FPn+1. Este trabalho foi obtido junto com Francismar Limadurante o seu doutorado na UNICAMP.

Álgebras (m,n)-quasi-tilteds e (m,n)-quasehereditárias

Edson AlvaresUniversidade Federal do Paraná - UFPR

Motivados pela conexão entre teoria tilting e categoría derivada, Hap-pel, Reiten e Smalo propuseram uma generalização da teoria tilting. Estaconstrução levou a introdução das álgebras quasitilteds. Este trabalho visaapresentar a generalização destas álgebras com o propósito de se fazer umestudo homológico das álgebras hereditárias por partes.

Observable actions, a generalization of theconcept of observable subgroup

Walter FerrerUniversidad de la Republica - Uruguai

We will talk about a rather recent generalization of the concept of ob-servable subgroup introduced in the 1960's with the purpose of studyingextensions of representations from subgroups to groups. The observabil-ity can be considered as an intermediate step in the concept of reducibility(semisimplicity) and it has been recently generalized to the concept of ob-servable action. This concept shows in a crystal clear manner the interplaybetween the algebra and the geometry, that is a crucial theme in algebraicgeometry.

COMUNICAÇÕES ORAIS

Almost Involutive Hopf-Ore Extensions

Andrea MorgadoUniversidade Federal de Pelotas

In this talk we give a brief survey about the contruction of the Hopf-OreExtension (see [P]), more speci�cally the case constructed in [BDG]. Fromthis we present two theorems which give us su�cient conditions for thatthese Hopf algebras are almost involutive in the sense of [AF]. This workwas carried out jointly with Andrés Abella (Universidad de la República)and Daiane Freitas (Universidade Federal de Rio Grande).

References:

[AF ] A. Abella and W. Ferrer, Almost Involutive Hopf Algebras, São PauloJ. Math. Sci. (2015), doi:10.1007/s40863-015-0028-y.

[BDG ] M. Beattie, S. Dascalescu and L. Grunenfelder, Constructing pointedHopf algebras by Ore extensions, J. Algebra 225, (2000), 743�770.

[P ] A. N. Panov, Ore extensions of Hopf algebras, Mathematical Notes74, no. 3 (2003), 401�410.

13

Identidades livres para invariantes dasmatrizes

Artem LopatinUNICAMP

Trabalhamos sobre um corpo in�nito de característica p ≥ 0. A álgebraRSp(n) de Sp(n)-invariantes polinomiais de matrizes é gerada pelos elementosσk(Xi1 · · ·Xim), onde Xi1 , . . . , Xim são matrizes genéricas e transposiçõessimpléticas de matrizes genéricas e σk é o k-ésimo coe�ciente do polinômiocaracterístico da matriz. No caso p 6= 2 relações entre geradores de RSp(n)

foram descritas, porém, no caso p = 2, o problema está em aberto. Nocaso p = 2 obtivemos uma descrição de todas relações livres de RSp(n) (i.e.relações válidas para cada n). Notaremos que qualquer relação de RSp(n) éna verdade uma identidade de RSp(n).

On the representation theory of a quantumgroup attached to the Fomin-Kirillov

algebra FK3

Bárbara PogorelskyUFRGS

Let D be the Drinfeld double of the bosonization B(V )#kG of a �nite-dimensional Nichols algebra over a �nite G. We investigate the structureand the tensor products of the projective modules over D. We show that aVerma module over D is simple if and only if it is projective. As an example,we consider B(V ) = FK3, the Fomin-Kirillov algebra over S3, we explicitlydescribe the tensor product between the simple and projective D-modules.

O radical de Jacobson do skew anel degrupóide

Daiana Flôres

Universidade Federal de Santa Maria

Seja G um grupóide agindo sobre uma K-álgebra R, então podemos con-siderar o skew anel de grupóide R ? G. Nesta comunicação apresentamos arelação entre J(R ? G) e J(R) ? G.

Este resultado é parte de um trabalho desenvolvido em colaboração comos professores Antonio Paques e Andrea Morgado.

Almost involutive Hopf algebras up todimension 23

Daiane Freitas

Universidade Federal do Rio Grande - FURG

In this talk we give a review the classi�cation of the Hopf algebras up todimension 23. Since we are interested in the almost involutive ones, we willconcentrated in the non-semisimple cases, with references for the semisimplecases. From this we classify the almost involutive Hopf algebras of dimen-sion less than 24. This work was carried out jointly with Andrés Abella(Universidad de la República) and Andrea Morgado (Universidade Federalde Pelotas).

References

[AF] A. Abella and W. Ferrer, Almost Involutive Hopf Algebras, SãoPaulo J. Math. Sci. (2015), doi:10.1007/s40863-015-0028-y.

[AFM] A. Abella, D. Freitas and A. Morgado, Almost involutive Hopf-Ore extensions of low dimension, São Paulo J. Math. Sci., (2016), 1�15,doi:10.1007/s40863-016-0053-5.

Pares combinados parciais: gerandoálgebras de Hopf

Danielle Santos AzevedoInstituto Federal do Rio Grande do Sul

M. Takeuchi, em [T], de�niu par combinado de álgebras de Hopf e, comisso, construiu álgebras de Hopf, sob certas condições adicionais. Com o in-tuito de gerar álgebras de Hopf envolvendo ações e coações parciais, nessa ap-resentação será de�nido par combinado parcial e, assim, serão construídas ál-gebras de Hopf oriundas desse par combinado parcial, também considerandohipóteses adicionais. Além disso, será apresentada uma caracterização dessepar combinado parcial, bem como exemplos e propriedades.

(Trabalho orientado pelo Professor Antonio Paques (UFRGS)).

Referências:

[CD ] S. Caenepeel, S. Dascalescu, Pointed Hopf algebras of dimension p3,Journal of algebra 209, 622-634 (1998).

[T ] M. Takeuchi, Matched pairs of groups and bismash products of Hopfalgebras. Communications in Algebra 9, 841-882 (1981).

Representations of the Drinfeld double ofRadford's algebras

Dirceu BagioUniversidade Federal de Santa Maria

Let Cnp be the cyclic group of order np with generator g, where n, p ∈ N,and ω ∈ k a primitive n-th root of unity. We denote by Rn,p the freeassociative algebra in generators x and g subject to the following relations

xn = 1− gn, gnp = 1, gx = ωxg.

The algebra Rn,p was constructed in [Section 2, Ra]. This is a Hopf algebra,where g is a group-like element and x is a (g, 1)-primitive element, i. e.

∆(g) = g ⊗ g, ∆(x) = g ⊗ x+ x⊗ 1.

Consequently ε(g) = 1, ε(x) = 0, S(g) = g−1 and S(x) = −g−1x. The Hopfalgebra Rn,p has dimension n2p and basis {xjgi : 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < np}.These are examples of noncommutative noncocommutative Hopf algebraswhose Jacobson radical is not a Hopf ideal.

In this work, in collaboration with Gastón Garcia (UNLP) and OscarMarquez (UFSM), we describe the drinfeld double D((Rnp)

cop) of the Hopfalgebra (Rnp)

cop via generators and relations. Moreover, we calculate allsimple D((Rnp)

cop)-modules.

References

[Ra] D. E. Radford, On the coradical of a �nite dimensional Hopfalgebra, Proc. Amer. Math. Soc. 53 (1975), 9�15.

Categorias de Hopf

Eliezer BatistaDep. de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina

As categorias de Hopf são uma generalização categórica do conceito deálgebra de Hopf. Basicamente, uma categoria de Hopf consiste de uma cat-egoria enriquecida por coálgebras em uma categoria monoidal trançada comuma espécie de inversão de mor�smos. Este tipo de construção abrange, porum lado, grupóides e por outro lado, Hopf álgebras. Além disto, diversasoutras estruturas que tiveram sua aparição na literatura na última década,como �Hopf group coalgebras�, �Hopf group algebras� e �duoidal categories�podem ser vistas como exemplos de categorias de Hopf. Este trabalho foifeito em colaboração com Stefaan Caenepeel e Joost Vercruysse.

Referências:

[BCV ] E. Batista, S. Caenepeel, J. Vercruysse: �Hopf Categories�, Algebraand Representation Theory, 19 (2016) 1173-1216.

Irreducible modules over Outtara'spower-associative and train algebra of rank

4

Elkin O. Quintero Vanegas

Universidade Federal de Ceará

Power-associative algebras which are train algebras of rank 4 where clas-si�ed in three di�erent families by Lopez-Sanchez et al in [LR]. First andsecond families are Jordan algebras and the study of their irreducible mod-ules established that all them are the trivial one [BLR]. We will study irre-ducible modules over the Outtara's train algebra of rank 4 and dimension 4.It belongs to third family, it means, algebras which are not Jordan.

References

[BLR ] A. Behn, A. Labra, and C. Reyes. Irreducible Representation ofPower-associative train algebras. Algebra Colloquium, 22: 903�908,2015.

[LR J. Lopez-Sanchez and E. Rodriguez Santa Maria. Non associative al-gebra and its applications, volume 303 of Mathematics and its applica-tions, chapter Multibaric algebras, pages 235�240. Springer- Nether-lands, 1994.

Automor�smos coprimos agindo comcentralizadores nilpotentes

Emerson Ferreira de Melo

Universidade de Brasília

Seja G um grupo e ϕ um elemento do grupo de automor�smos de G.Denotamos por CG(ϕ) o subgrupo formado pelos pontos �xos de ϕ em G,que é

CG(ϕ) = {x ∈ G ; xϕ = x}.

O subgrupo CG(ϕ) também é chamado de centralizador de ϕ em G. Emgeral a estrutura do centralizador de ϕ em G possui grande in�uência sobrea estrutura do grupo G.

Em 1971, J. N. Ward provou que se um p-grupo abeliano elementar A deposto 3 age sobre um p′-group �nito G de tal forma que CG(a) é nilpotentepara todo a ∈ A\{1}, então G é nilpotente. Nesta apresentação discutiremosalguns resultados recentes sobre grupos �nitos admitindo automor�smos comcentralizadores nilpotentes. Em particular, mostraremos que o resultado deJ. N. Ward vale também quando A é um p-grupo não abeliano de expoentep e ordem maior ou igual a p3.

Isomor�smos de Jordan de álgebras deincidência �nitárias

Érica Zancanella Fornaroli

Universidade Estadual de Maringá

Seja (X,≤) um conjunto parcialmente ordenado e seja R um anel co-mutativo com unidade. Seja FI(X,R) o conjunto de todas as funçõesf : X × X → R tais que f(x, y) = 0 se x 6≤ y e para qualquer intervalo[x, y] ⊆ X existe somente um número �nito de subintervalos [u, v] ⊆ [x, y]com u < v e f(u, v) 6= 0. Com as operações usuais de soma e produto porescalar e a multiplicação dada pela convolução, FI(X,R) é uma R-álgebrachamada de álgebra de incidência �nitária de X sobre R [KN]. A álgebraFI(X,R) coincide com a álgebra de incidência (clássica) I(X,R), quando Xé localmente �nito.

D. Benkovi£ introduziu em [B] a noção de near-sum que foi utilizadapor ele para descrever todos os homomor�smos de Jordan da álgebra dasmatrizes triangulares superiores Tn(R) no caso em que R é livre de 2-torsão.E. Akkurt, M. Akkurt e G. P. Barker [AAB] estenderam o resultado deBenkovi£ para as álgebras de matrizes estruturais Tn(R, ρ), onde ρ é umaordem parcial ou uma quase ordem tal que cada classe de equivalência contémpelo menos 2 elementos.

Observe que Tn(R, ρ) é isomorfa à álgebra de incidência do conjuntoordenado ({1, . . . , n}, ρ) sobre o anel R. Nesta palestra apresentaremos umageneralização parcial do resultado de E. Akkurt et al. para as álgebras deincidência �nitárias. Mais precisamente, mostraremos que todo isomor�smode Jordan R-linear de FI(X,R) sobre uma R-álgebra arbitrária é a near-sumde um homomor�smo e um anti-homomor�smo.

Este é um trabalho em conjunto com a Professora Rosali Brusamarelloda UEM e com o Professor Mykola Khrypchenko da UFSC e foi parcialmente�nanciado pela Fundação Araucária.

Referências:

[AAB ] E. Akkurt, M. Akkurt, G. P. Barker, Jordan homomorphisms ofthe structural matrix algebras, Linear Multilinear Algebra 63 (2015),2518�2525.

[B ] D. Benkovi£, Jordan homomorphisms on triangular matrices, LinearMultilinear Algebra 53 (2005), 345�356.

[KN ] N. S. Khripchenko, B. V. Novikov, Finitary incidence algebras, Comm. Al-gebra 37 (2009), 1670�1676.

Dualidade para ações parciais de álgebrasde Hopf fracas

Felipe Lopes CastroUniversidade Federal de Santa Catarina

Nesta apresentação vamos explorar teoremas de dualidade no contexto deações parciais de álgebras de Hopf fracas de dimensão �nita. Será construídaa relação entre

(A#H)#H∗ e End(A#HA).

Representações parciais de álgebras deHopf fracas

Glauber QuadrosUniversidade Federal de Santa Maria

Neste trabalho será apresentada a construção da teoria de representaçõesparciais para o caso de álgebras de Hopf fracas, mostrando-se também queuma ação parcial gera uma representação no caso fraco. Mais ainda, �xadauma álgebra de Hopf fraca, será construída a álgebra universal, mostrando-seque é equivalente a um produto smash parcial.

Estruturas parciais no contexto de álgebrasde Hopf de multipliadores

Grasiela MartiniFURG

A. Van Daele introduziu a noção de álgebras de Hopf dos multiplicadores,a qual generaliza a estrutura usual de álgebras de Hopf. Em seguida, trabal-hou com o conceito de ações e coações parciais destas álgebras. O objetivodesta apresentação é introduzir o contexto parcial destes tópicos, mencio-nando algumas propriedades e exemplos.

Referências:

[D1 ] A.Van Daele, Multiplier Hopf algebras, trans.Amer. Math. Soc. 342,917-932 (1994).

[D2 ] A. Van Daele An Algebraic framework for group duality, Advances inMathematics 140, (1998), 323-366.

[DDZ ] B. Drabant, A. Van Daele and Y. Zang, Actions of multiplier Hopfalgebra, Commun. Algebra 27, (1999) 4117-4172.

[DZ ] A. Van Daele and Y. H. Zhang, Galois theory for multiplier Hopfalgebras with integrals, Algebr. Represent. Theory, 2 (1), (1999) 83-106.

Semicorpos Finitos e certos p-grupos declasse de nilpotência 2

Josimar da Silva RochaUniversidade Tecnológica Federal do Paraná

Neste trabalho mostraremos que para cada semicorpo de ordem pn pode-mos construir um grupo G de ordem p3n de classe de nilpotência 2 contendosubgruposX e Y com pn elementos tais que [x, y] 6= 1 para todos x ∈ X−{1}e y ∈ Y − {1}. Além disto encontraremos condições necessárias e su�cientessobre dois semicorpos �nitos com pn elementos para que os grupos construí-dos por tais semicorpos sejam isomorfos.

Grupo de Simetrias dos Espaços de Blocosde Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman

Luciano PanekUniversidade Estadual do Oeste do Paraná

Seja P = ({1, 2, . . . ,m · n},≤) um conjunto parcialmente ordenado dadopor uma união disjunta de m cadeias de comprimento n e V = FNq o espaçovetorial dasN -uplas sobre o corpo �nito Fq. Seja V = V1⊕V2⊕. . .⊕Vmn umasoma direta de V , em blocos de subespaços Vi = Fkiq com k1+k2+. . .+kmn =N , munido com a métrica de blocos ordenados d(P,π) induzida pela ordem Pe pela partição π = (k1, k2, . . . , kmn). Neste trabalho mostramos que o grupode simetrias do espaço métrico (V, d(P,π)) é dado pelo produto semi-direto(

m∏i=1

Gin

)oSπ,

onde Gin é o grupo de simetrias relativo à i-ésima cadeia de P ,

Gin = (Sqk1,i

)qN−k1,io

(. . .o(S

qkn,i )qN−k1,i−k2,i−...−kn−1,i−kn,i

. . .)

onde k1,i, . . . , kn,i são as respectivas dimensões dos blocos rotulados peloselementos da i-ésima cadeia e, Sπ é o grupo das simetrias que permutamcadeias com blocos de mesma dimensão.

Cohomologia de produtos smash parciais

Marcelo Muniz AlvesUniversidade Federal do Paraná

Neste trabalho introduzimos uma cohomologia para representações par-ciais de grupos como o funtor derivado à direita do funtor de invariantesparciais. Relacionamos esta cohomologia com derivações parciais e com oideal de aumento parcial de KparG, e mostramos que existe uma sequên-cia espectral de Grothendieck relacionando a cohomologia de Hochschild deuma álgebra de grupo �skew� parcial com a cohomologia de representaçõesparciais e a cohomologia de Hochschild de álgebras. Este trabalho foi feitocom Edson Ribeiro Alvares e Maria Julia Redondo.

Caracterização de folheações curvageneralizada com uma única separatrix em

K(n,m)

Mauro Fernando Hernández IglesiasUEM

K(n,m) é o conjunto de curvas planas irredutiveis com exponentes car-acterísticos n e m. A forma W = Adx + Bdy, onde A,B ∈ C{x, y} semcomponentes comunes, e A(0, 0) = B(0, 0) = 0 representa uma folheaçãosingular na origem. Daremos condições necessárias e su�cientes para queW = 0 seja curva generalizada com uma única separatriz f ∈ K(n,m).

Sobre a A-equivalência de HipersuperfíciesQuase Ordinárias

Nayene Michele Paião PanekUniversidade Estadual do Oeste do Paraná

Nosso estudo trata da equivalência analítica de hipersuperfícies quase or-dinárias em Cr+1 por meio de suas parametrizações quase ordinárias. Nestesentido, dizemos que duas hipersuperfícies quase ordinárias são analitica-mente equivalentes se, e somente se, suas parametrizações quase ordináriassão A-equivalentes. Nossa contribuição se inicia com a identi�cação dosubgrupo do grupo A que mantém a parametrização quase ordinária nor-malizada. Além disso, introduzimos um conjunto Λ ⊂ Nr associado asr-formas de Kähler que, generaliza um importante invariante analítico decurvas planas e nos permite identi�car termos na parametrização quase or-dinária que possam ser eliminados pela ação de um elemento do grupo A.Este trabalho foi desenvolvido em conjunto com o Professor Marcelo Escud-eiro Hernandes durante meu doutorado na Universidade Estadual de Mar-ingá.

Condições de �nitude para produtostensoriais não abelianos de grupos

Raimundo de Araújo Bastos JúniorUniversidade de Brasília

Sejam G e H grupos agindo compativelmente um sobre o outro. Umresultado famoso no contexto de produtos tensoriais não abelianos, devido aG. Ellis, assegura que o produto tensorial G⊗H é �nito, desde que os gruposenvolvidos sejam �nitos. Neste seminário obtemos um critério de �nitudepara o produto tensorial G ⊗ H envolvendo apenas a �nitude do conjuntodos tensores, T⊗(G,H) = {g ⊗ h | g ∈ G, h ∈ H}. Como consequência dessecritério reobtemos o resultado de G. Ellis. Adicionalmente, apresentamoscomo certas condiç�es de �nitude para o grupo G⊗H interferem na estruturados grupos G eH. O presente trabalha foi feito em colaboração com Noraí R.Rocco (Universidade de Brasília) e Irene N. Nakaoka (Universidade Estadualde Maringá).

Extensões Essenciais Cíclicas de MódulosSimples sobre Anéis de Operadores

Diferenciais

Robson Willians VinciguerraUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Um anel noetheriano S satisfaz a propriedade (�) se todas extensõesessenciais cíclicas de S-módulos simples são artinianas. Anéis com esta pro-priedade veri�cam a Conjectura de Jacobson, que é um famoso problema emaberto em teoria de anéis. Neste trabalho, investigamos esta propriedade emanéis de operadores diferenciais R[θ; δ], onde R é um anel comutativo noethe-riano e δ uma derivação de R. Mais precisamente, estudamos condiçõesnecessárias e su�cientes para que R[θ; δ] satisfaça (�), quando o anel R éδ-simples e, também, no caso em que este é δ-primitivo. Além disso, car-acterizamos os anéis de operadores diferenciais C[x, y][θ; δ] que satisfazem(�). Esse trabalho faz parte da pesquisa de doutorado que venho desen-volvendo no PPGMAT-UFRGS, sob orientação do professor Alveri AlvesSant'Ana (UFRGS) e coorientação da professora Paula Alexandra CarvalhoLomp (Universidade do Porto).

As Representações da Super Plano deJordan

Saradia Della FloraUniversidade Federal de Santa Maria

Neste trabalho estudamos as representações de uma álgebra de Nicholscom dimensão Gelfand-Kirillov 2, chamada de super plano de Jordan. Tal ál-gebra desempenha papel importante na classi�cação de álgebras de Hopf pon-tuadas com dimensão Gelfand-Kirillov �nita. Mais especi�camente, mostramosque suas representações simples tem dimensão 1. Além disso, classi�camosas representações indecomponíveis de dimensão 2 e 3.

Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com os professores NicolásAndruskiewitsch, Dirceu Bagio e Daiana Flôres.

A characterization for a Groupoid GaloisExtension using Partial Isomorphisms

Thaísa TamusiunasUFCSPA

Let S|R be a groupoid Galois extension with Galois groupoid G such that

EGr(g)g ⊆ C1g, for all g ∈ G, where C is the center of S, Gr(g) is the principal

group associate to r(g) and {Eg}g∈G are the ideals of S. In this talk it willbe presented a complete characterization in terms of a partial isomorphismsgroupoid for such extension, showing that G = ∪g∈GIsomR(Eg−1 , Eg) if and

only if Eg is a connected commutative algebra or Eg = EGr(g)g ⊕EGr(g)

g , where

EGr(g)g is connected, for all g ∈ G.

Uma introdução aos módulos decohomologia local

Thiago Henrique de FreitasUniversidade Tecnológica Federal do Paraná - Guarapuava.

Considere R um anel, I um ideal de R eM um R-módulo. Nesta apresen-tação vamos introduzir o conceito de módulo de cohomologia local, denotadopor H i

I(M). Tal objeto tem sido uma importante ferramenta para a álgebracomutativa e geometria algébrica. Vamos mostrar os principais resultados etemas abordados sobre tal ferramenta, tais como anulamento e não anula-mento, artinianidade, �nitude e relações com anéis Cohen-Macaulay. Alémdisto, vamos descrever algumas generalizações recentes sobre estes módulos.

O Problema de Nathan Jacobson

Victor Hugo López SolísUniversidade de São Paulo

Respondemos ao problema de Nathan Jacobson relacionada às álgebrasalternativas que contémM2(F ) (álgebra associativa das matrizes 2×2) comouma subálgebra unitária.

The topological algebra of the fullgeneralized quaternion algebra

Wagner CortesUFRG

In this work, we introduce the full generalized quaternion algebra. Westudy its topological and algebraic properties and in this case we show thatthe full generalized quaternion algebra is Gelfand, normal, duo. Moreover,we study other related algebraic properties and its essential ideals.

This is a joint work with the professors A. R. G. Garcia (UFRSA) S. H.da Silva (UFCG)

PÔSTERES

Graduações e Identidades Polinomiais naÁlgebra de Grassmann

Alan de Araújo Guimarães

Universidade Estadual de Campinas

Seja E a álgebra de Grassmannn sobre um corpo F algebricamentefechado. Sabemos que E admite uma Z2-graduação natural. Em tal grad-uação, a componente par é formada por monômios de tamanho par e acomponente ímpar por monômios de tamanho ímpar. Para tal graduação,há uma descrição do ideal de identidades graduadas. Em 2009 Di Vincenzoe Da Silva trataram de graduações mais gerais na álgebra E, descrevendo orespectivo ideal de identidades polinomiais. Neste trabalhos, exporemos osprincipais resultados obtidos por Di Vincenzo e Da Silva.

FC-grupos com poucas órbitas porautomor�smos

Alex Carrazedo Dantas

Universidade Tecológica Federal de Paraná (UTFPR) - Campus deGuarapuava

Um grupo G é dito FC-grupo se cada elemento de G possui uma quan-tidade �nita de classes de conjugação, ou seja, |G : CG(g)| < ∞ para todog ∈ G. Se existe um inteiro d tal que |G : CG(g)| < d, para todo g ∈ G, entãoG é dito BFC-grupo. Nesse poster, vamos demonstrar que um FC-grupo G

27

com �nitas órbitas por automor�smos é um BFC-grupo e G = Tor(G)×D,onde D é um subgrupo divisível de Z(G). Além disso, supondo que G possuino máximo 10 órbitas por automor�smos, então é possível caracterizar suaestrutura e, assim, responder uma questão de Markus Stroppel (2001) feitapara grupos �nitos: quais são os grupos não solúveis com no máximo seisórbitas por automor�smos? Esse trabalho está sendo feito em conjunto comMartino Garonzi e Raimundo Bastos.

Grupo de Lodha-Moore e Conjectura devon Neumann-Day

Altair Santos de Oliveira Tosti

Universidade Estadual de Campinas

A Conjectura de von Neumann-Day a�rma que um grupo G é não-mediável se, e somente se, G contém um subgrupo que seja grupo livre sobredois geradores. Enquanto trabalhava com o Paradoxo de Banach-Tarski,John von Neumann de�niu o conceito de grupo mediável e demonstrou quenenhum grupo mediável contém um grupo livre de posto dois. A conjecturafoi demonstrada ser falsa por Alexander Ol'shanskii (Uspekhi Matem. Nauk(1980), 35 (4), 199-200).

O grupo de Lodha-Moore foi introduzido por Yash Lodha e Justin Moore(Groups, Geometry, and Dynamics 10.1 (2016): 177-200). Tal grupo é não-mediável, �nitamente apresentado (três geradores e nove relações) e livre detorção, além de ser o contraexemplo mais simples conhecido para a conjec-tura. Em sua de�nição, consideremos a aplicação real a(t) := t + 1 e osseguintes homeomor�smos sobre R:

b(t) :=

t, se t ≤ 0,t

1−t , se 0 ≤ t ≤ 12 ,

3− 1t , se 1

2 ≤ t ≤ 1,t+ 1, se t ≥ 1.

e c(t) :=

{2t1+t , se 0 ≤ t ≤ 1,

t, caso contrário.

O grupo G0 de Lodha-Moore é gerado por a(t), b(t) e c(t), isto é, G0 :=〈a(t), b(t), c(t)〉.

Como já mencionado, foi demonstrado seguinte resultado sobre esse grupo:

Teorema 1 (Lodha-Moore, 2016) O grupo G0 é não-mediável e �nita-mente apresentado. Além disso, G0 não contém subgrupos livres não-abelianos.

Espaços Vetoriais Trançados

André Alexandre Moura de Mello JúniorUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Neste trabalho falaremos sobre espaços vetoriais trançados, dando suade�nição e estudando alguns tipos importantes destes espaços. Serão abor-dados em particular os espaços vetoriais trançados de tipo diagonal e tipotriangular.

Quadrado Tensorial não-Abeliano dep-Grupos Finitos com Subgrupo Derivado

de Ordem p

Cleilton CanalUniversidade Federal da Integração Latino-Americana

Dado um grupo G, o quadrado tensorial não-abeliano de G é de�nidocomo sendo o grupo G⊗G gerado por todos os símbolos g⊗h, com g, h ∈ G,satisfazendo as condições

gg1 ⊗ h = (gg1 ⊗ hg1)(g1 ⊗ h) e g ⊗ hh1 = (g ⊗ h1)(gh1 ⊗ hh1),

para todos g, g1, h, h1 ∈ G. Um dos objetivos do estudo deG⊗G é determiná-lo explicitamente em termos mais simples para uma classes de grupos dada.

Neste trabalho, calculamos o quadrado tensorial não-abeliano para cadagrupo G na classe dos p-grupos �nitos com subgrupo derivado de ordem p,em termos da apresentação de G fornecida por Simon Blackburn.

Codimensões em Representações deÁlgebras de Lie

David Levi da Silva MacêdoUniversidade Estadual de Campinas - Unicamp

Uma das características mais importantes de uma PI álgebra é a suasequência das codimensões. Regev mostrou que para qualquer PI álgebraassociativa, as codimensões têm crescimento exponencial. Se cn(A) é a n-ésima codimensão da álgebra A, estuda-se o comportamento de (cn(A))1/n.Amitsur conjecturou que sobre corpo de característica 0, esta última se-quência sempre converge e o limite é um inteiro não negativo. (Este limiteé chamado de PI expoente exp(A) de A.) A conjectura foi demonstrada porGiambruno e Zaicev, em 1999. Análogos da conjectura de Amitsur valemtambém para amplas classes de álgebras de Lie e de Jordan (mas existemcontra-exemplos). Há análogos também para o caso de álgebras graduadaspor um grupo �nito. Recentemente Gordienko obteve um análogo dessesresultados para identidades de representações de álgebras de Lie (tambémchamadas de identidades fracas).

As subálgebras de Lie de gl (2,R) dedimensão igual a 1, 2 e 3

Edineia dos Santos Brizola Brum

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Neste trabalho apresentamos uma classi�cação de subálgebras de Lie degl (2,R) de dimensão 1, 2 e 3. Este estudo mostra parte do nosso trabalho noProjeto de Iniciação Cientí�ca Voluntária "Um estudo sobre as subálgebrasde Lie de gl (2,R), que são transitivas em R2 \ {(0, 0)}", em atividade naUniversidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), sob orientação dosprofessores Wilian Francisco de Araujo e Jahina Fagundes de Assis Hattori.

Módulo coálgebra e comódulo coálgebraparcial no contexto de álgebra de Hopf de

multiplicadores

Eneilson Campos Fontes

UFRGS

A teoria de álgebra de hopf de multiplicadores foi introduzida por A.Van Daele no artigo "Multiplier Hopf Algebras", no qual o autor pretendiageneralizar a noção de álgebra de hopf. Em trabalhos subsequentes o autordesenvolveu a teoria introduzindo ações e coações (globais) destes objetossobre uma álgebra qualquer. A ideia deste trabalho é generalizar ao con-texto parcial as noções introduzidas por A. Van Daele de módulo coálge-bra e comódulo coálgebra, e também apresentar uma dualização entre estasnoções. dando continuidade ao trabalho desenvolvido por G. Martini.

Referências:

[1 ] A.Van Daele, Multiplier Hopf algebras, trans.Amer. Math. Soc. 342,917-932 (1994).

[2 ] L. Delvaux, A. Van Daele and S.H. Wang, Bicrossproduct of multiplierHopf algebras, arxiv:0903.2974 (2009).

[3 ] L. Delvaux, Semi-Direct products of Multiplier Hopf algebras: Smashcoproducts, Communications in Algebra, vol 30, n. 12, 5979-5997,(2002).

[4 ] G. Martini, (Co) Ações Parciais da álgebra de Hopf de Multiplicaores:Morita e Galois. Tese de Doutorado, UFRGS (2016).

Classi�cação de involuções simpléticas

Eralcilene Moreira Terezio

Universidade Estadual de Maringá

A geometria simplética consiste no estudo de variedades munidas de uma2−forma diferencial fechada e não-degenerada. Historicamente a geometriasimplética surgiu a partir da formulação geométrica da mecânica clássica,ou seja, era apenas uma ferramenta de suporte para o estudo de camposhamiltonianos em variedades. Atualmente, ela tem exercido um papel inter-disciplinar na matemática interagindo com topologia, geometria algébrica,teoria de representação de grupos de Lie, entre outros. Trabalhos sobre adinâmica de campos hamiltonianos em presença de simetrias e antissimetrias,como [1,2,3], utilizam ferramentas da teoria de representação de grupos deLie dados pelo produto semidireto Γ×Zρ2, onde Γ é um grupo de Lie e Zρ2 éo grupo gerado por uma involução linear ρ : (R2n, ω) −→ (R2n, ω), sendo ωa 2-forma que dá a estrutura de variedade simplética a R2n. Em particular,o interesse de [1,2] está em involuções simpléticas, ou seja, que preservam a2−forma:

ω(x)(u, v) = ω(ρ(x))(ρ(u), ρ(v)),

para todos x, u, v ∈ R2n. Nosso objetivo é expor uma classi�cação parainvoluções lineares simpléticas ρ : (R2n, ω) −→ (R2n, ω), de forma que pode-mos percorrer todos os grupos de interesse em [1,2]. O resultado é o seguinte:Teorema 1 Considere uma involução simplética ρ : (R2n, ω) −→ (R2n, ω),onde ω é uma forma simplética constante. Então existe uma mudança decoordenadas simplética que transforma ρ em uma das seguintes formas nor-mais:

• ρ0 = Id;

• ρ0(x1, . . . , x2n) = (x1, . . . , xn−1,−xn, xn+1, . . . , x2n−1,−x2n);...

• ρ0(x1, . . . , x2n) = (x1, x2,−x3 . . . ,−xn, xn+1, xn+2,−xn+3, . . . ,−x2n);

• ρ0(x1, . . . , x2n) = (x1,−x2, . . . ,−xn, xn+1,−xn+2, . . . ,−x2n);

• ρ0 = −Id.

Referências:

[1 ] Buzzi, C. A., Teixeira, M.A., Time-reversible Hamiltonian VectorFields with Symplectic Symmetries. Journal of Dynamics and Di�er-ential Equations 16 no 2 (2004), 559�574.

[2 ] Buzzi, C. A., Roberto, L. A., Teixeira, M. A., Branching of periodicorbits in reversible Hamiltonian systems. In: Real and Complex Singu-larities; M. Manoel, M.C. Romero-Fuster, C.T.C. Wall (Org.), LondonMathematical Society Lecture Note Series 380 (2010), 46�70.

[3 ] Montaldi, J., Stewart, I., Existence of nonlinear modes of symmetricHamiltonian systems. Nonlinearity 3 (1990), 695�730.

Graduações e Identidades Zn-graduadas deMn(F )

Evandro RivaUniversidade Tecnológica Federal do Paraná - Câmpus Pato Branco

De�niremos primeiramente o conceito de álgebra G-graduada por umgrupo aditivo G.

De�nição: Seja A uma álgebra sobre um corpo F , considere a família{A(α), α ∈ G} de subespaços de A, onde G é um grupo aditivo, dizemos queA é uma álgebra G-graduada se puder ser escrita como soma direta desubespaços

A =∑α∈G

⊕A(α),

e além disso, para quaisquer α, β ∈ G, deve valer

A(α)A(β) ⊆ A(α+β).

Qualquer álgebra A pode ser graduada por qualquer grupo G, de�nindoA(e) = A e A(g) = 0 para qualquer g 6= e. Essa graduação é chamada trivial,onde e é o elemento identidade de G.

Um exemplo de uma graduação não trivial é M2(F ) com a seguinte Z2-graduação: M2(F ) = M2(F )(0) ⊕M2(F )(1), onde

M2(F )(0) =

{(a 00 d

): a, d ∈ F

}

M2(F )(1) =

{(0 bc 0

): b, c ∈ F

}.

Podemos generalizar o exemplo acima e de�nir uma Zn-graduação emMn(F ).

De�nição: Para t ∈ Z, denote por t a classe residual em Zn contendo t.Para α ∈ Zn, seja M (α)

n o subespaço de Mn(F ) gerado por todas as matrizeselementares Ei,j , tais que j − i = α.

De modo que, M (0)n consiste das matrizes da forma

a1,1 0 . . . 00 a2,2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . an,n

, a1,1, a2,2, ..., an,n ∈ F

e, para 0 < t ≤ n− 1, temos que M (t)n consiste das matrizes da forma

0 . . . 0 a1,t+1 . . . . . . 0...

...... a2,t+2

......

......

. . ....

0 . . . 0 0 . . . . . . an−t,nan−t+1,1 . . . 0 0 . . . . . . 0

.... . .

......

...0 . . . an,t 0 . . . . . . 0

onde, a1,t+1, a2,t+2, ..., an−t+1,1, an−t+2,2, ..., an,t ∈ F . EntãoMn(F ) é a soma

direta de subespaços M (α)n 's:

Mn(F ) =∑α∈Zn

⊕M (α)n .

Além disso, para p, q ∈ {0, 1, ..., n− 1} , temos:

Mn(F )(p)Mn(F )(q) ⊆Mn(F )(p+q).

Portanto a decomposição de�ne uma Zn-graduação da álgebra Mn(F ).Ao longo do texto usaremos a Zn-graduação construída acima para a

álgebra Mn(F ).

A seguir, apresentaremos o conceito de identidades polinomiais G-graduadas.De agora em diante denotaremos por F 〈X〉 a álgebra associativa livre G-graduada.

De�nição: SejaA =∑α∈G

⊕A(α) uma álgebraG-graduada. Um polinôn-

imio G-graduado f(x1, x2, ..., xk) ∈ F 〈X〉 é dito ser uma identidade poli-nomial graduada para a álgebra G-graduada A se f(a1, a2, ..., ak) = 0 paraquaisquer ai ∈ A(α(xi)), i = 1, 2, ..., k.Denotamos o conjunto das identidades polinomiais G-graduadas por T (A)gr,ou seja:

T (A)gr = {f ∈ F 〈X〉 : f ≡ 0 em A}.

Vamos dar um exemplo de uma identidade polinomial graduada. SejaA =

∑g∈G

⊕A(g) uma álgebra G-graduada com a graduação trivial. Se

α(x1) ∈ G−{e}, então o polinômio x1 ∈ F 〈X〉 é uma identidade G-graduadade A.

Vamos descrever dois resultados obtidos por Vasilovsky [1] e por Azevedo[2], respectivamente. Ambos descreveram uma base �nita para as identidadespolinomiais Zn-graduadas de Mn(F ), [1] quando F for um corpo de carac-terística zero e [2] quando F for um corpo in�nito de característica qualquer.

O resultado de Vasilovsky é:Teorema: Seja F um corpo de característica 0. Todas as identidades

polinomiais graduadas da álgebra Zn-graduada Mn(F ) seguem de:

x1x2 − x2x1 = 0, α(x1) = α(x2) = 0 (1)

e

x1xx2 − x2xx1 = 0, α(x1) = α(x2) = −α(x) (2)

O resultado de Azevedo é:Teorema: Seja F um corpo in�nito. Todas as identidades polinomiais

Zn-graduadas da álgebra Zn-graduada Mn(F ) seguem de

x1x2 − x2x1 = 0, α(x1) = α(x2) = 0

x1xx2 − x2xx1 = 0, α(x1) = α(x2) = −α(x).

Referências:

[1 ] Vasilovsky, S.Yu. Zn-graded Polynomial Identities of the Full Ma-trix of order n, Proceedings of the American Mathematical Society,127(12)(1999), 3517-3524.

[2 ] Azevedo, S. S. Graded identities for the matrix algebra of order nover an in�nite �eld. Communications in Algebra. 30(12), (2002),5849-5860.

Identidades graduadas para a álgebra deLie de matrizes triangulares superiores de

ordem 3

Felipe Yukihide1

Unicamp

Recentemente, tem-se estudado álgebras com identidades polinomiais nasúltimas décadas devido à sua classe de objetos ser muito grande, facilitar oentendimento e linguagem de variedades algébricas e ser possível desenvolveruma bela teoria [1]. Um dos problemas da teoria é exibir uma base deidentidades para uma dada álgebra, o que costumar ser um problema muitodifícil.

Uma abordagem paralela do problema é considerar as identidades poli-nomiais se vermos a álgebra com alguma estrutura adicional. Relembramosque álgebras graduadas foram profundamente estudadas principalmente apósos trabalhos de Kemer [2], fechando um difícil problema da teoria de álge-bras com identidades polinomais para característica zero, conhecido comoproblema de Specht, utilizando como auxílio álgebras Z2-graduadas.

Este presente trabalho concerne o estudo das identidades polinomiaisgraduadas para as graduações da álgebra das matrizes triangulares superi-ores de ordem 3, vista como álgebra de Lie. Todas as graduações sobre aálgebra das matrizes triangulares superiores, como álgebra de Lie, são con-hecidas [3]. Apresentarei uma base de identidades para as graduações ditaselementares. Citarei também as respectivas sequências de codimensão grad-uada, e destacarei uma relação entre algumas de suas graduações.

Referências:

[1 ] V. Drensky, Free algebras and PI-algebras, Springer Verlag (2000).

[2 ] A. Kemer, Ideals of identities of associative algebras, American Math-ematical Society (1991).

[3 ] P. Koshlukov, F. Yukihide, Group gradings on the Lie algebra of uppertriangular matrices, Journal of Algebra 477 (2017).

1Financiado com bolsa de Doutorado da FAPESP, processo número 2013/22.802-1

Categorias monoidais estritas e esqueléticas

Gabriel Samuel de Andrade

UFSC

Toda categoria monoidal é equivalente a uma categoria monoidal estrita,o que pode ser usado para provar o Teorema de Coerência de Mac Lane.Além disso, toda categoria monoidal é equivalente a uma categoria monoidalesquelética. No entanto, nem toda categoria monoidal é equivalente a umacategoria monoidal que seja estrita e esquelética.

(Co)Ações Parciais de Álgebras de HopfFracas em Coálgebras

Graziela Langone Fonseca

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

G. Quadros, em [2], introduziu as noções de (co)ações parciais de álgebrasde Hopf fracas em álgebras. Considerando G um grupoide, A uma álgebrae kG a álgebra de grupoide, Quadros mostrou que existe uma equivalênciaentre as estruturas de A como um kG-módulo álgebra parcial e a ação parcialdo grupoide G em A. Inspirado nessas ideias, esse trabalho tem o objetivode apresentar as noções de (co)ações parciais de álgebras de Hopf fracas emcoálgebras. Além disso, de�nimos a ação parcial de um grupoide G em umacoálgebra C, e estabelecemos uma correspondência entre as estruturas de Ccomo um kG-módulo coálgebra parcial e a ação parcial de G em C.

(Trabalho orientado pelo Professor Antonio Paques (UFRGS)).

Referências:

[1 ] S. Caenepeel and E. De Groot, Modules over weak entuining struc-tures, Contemporany Mathematics 267, 31-54 (2000).

[2 ] G. Quadros, Partial (co)actions of weak Hopf algebras: globalization,Galois theory and Morita theory. Tese de Doutorado (UFRGS) (2015).

Nichols algebras that are quantum planes

João Matheus Jury GiraldiUFRGS

Recently, in [Prop. 4.8, 4.9][GGi], braided vector spaces (V, c) of dimen-sion 2 and non-diagonal type were found but such that the Nichols algebrasare quantum planes. Consequently, the following question arises naturally:classify all the Nichols algebras (of rigid braided vector spaces) that areisomorphic to quantum linear spaces as algebras.

In this paper, we solve this question for quantum planes. More speci�-cally, the classi�cation of the solutions of the quantum Yang�Baxter equationhad already been performed by J. Hietarinta when dimV = 2 [Hi]. Thus,we consider the associated braided vector spaces and compute the quadraticrelations. Therefore, we classify all these Nichols algebras that have at leastone quadratic relation. This is a joint work with N. Andruskiewitsch [AGi].

Referências:

[AGi ] N. Andruskiewitsch and J. M. J. Giraldi. Nichols algebras that arequantum planes, arXiv: 1702.02506.

[GGi ] G. A. García and J. M. J. Giraldi, On Hopf Algebras over quantumsubgroups, arXiv: 1605.03995.

[Hi ] J. Hietarinta. Solving the two-dimensional constant quantum Yang-Baxter equation, J. Math. Phys. 34, (1993).

Graduações de Álgebra de Incidência

Jonathan Prass SouzaUniversidade Estadual de Maringá

Introduziremos o conceito de Álgebra Graduada por um grupo G e ode graduação boa para uma Álgebra de Incidência I(X,F ), onde X é umconjunto parcialmente ordenado �nito e F um corpo. No poster faremos aclassi�cação das graduações de uma Álgebra de Incidência de um conjuntoparcialmente ordenado �nito.

Automor�smos multiplicativos e internos deuma álgebra de incidência

Laís Spada da FonsecaUniversidade Estadual de Maringá

Um conjunto parcialmente ordenado, ou simplesmente poset, é um con-junto munido de uma relação de ordem parcial. Dados X um poset sat-isfazendo determinada condição e R um anel comutativo com unidade, aálgebra de incidência I(X,R) de X sobre R é de�nida como o conjuntoI(X,R) = {f : X ×X → R | f(x, y) = 0, se x � y} munido das operaçõesdadas por:

• (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y)

• (f.g)(x, y) =∑x≤z≤y

f(x, z)g(z, y), se x ≤ y e (f.g)(x, y) = 0, se

x � y

• (r.f)(x, y) = rf(x, y),

para todos f, g ∈ I(X,R), r ∈ R e x, y, z ∈ X, e facilmente pode-se veri�carque I(X,R) com essas operações realmente é uma R-álgebra. Assim, con-siderando Aut(I(X,R)) o grupo dos automor�smos da R-álgebra I(X,R)com a operação de composição, podem-se de�nir e estudar alguns subgruposimportantes desse grupo, como o subgrupo dos chamados automor�smosinternos, os chamados automor�smos induzidos e os automor�smos multi-plicativos. Nosso objetivo é estudar as relações entre esses subgrupos e, maisespeci�camente, apresentar condições necessárias e su�cientes que garantamque um automor�smo multiplicativo de uma álgebra de incidência é um au-tomor�smo interno.

Álgebras de Hopf de Dimensão Prima

Leonardo Duarte SilvaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Neste pôster apresentamos o resultado provado em 1994 por YongchangZhu, mostrando que toda álgebra de Hopf H de dimensão �nita prima p

sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero k, é isomorfaa álgebra de grupo kCp, onde Cp é o grupo cíclico de ordem p.

Parametrizações de Newton-Puiseux

Marcelo Osnar Rodrigues de Abreu

Universidade Estadual de Maringá

Do ponto de vista topológico qualquer curva de�nida por uma série depotências convergente é equivalente a uma curva de�nida por um polinômiode Weierstrass. No século passado, Zariski e outros, caracterizaram o tipotopológico de uma curva plana em termos de certos expoentes que aparecemem uma parametrização da curva. Assim, é de grande utilidade determinaras raízes de um polinômio de Weierstrass, ou seja, uma parametrização dacurva. Os resultados apresentados são válidos tanto para séries formais,onde não há a preocupação com as questões de convergência, quanto paraséries convergentes. Desta forma, o foco será apresentar o anel de série depotências em duas variáveis com coe�cientes complexos no contexto formal,destacando a importância do Teorema de Preparação de Weierstrass e comoas raízes dos polinômios de Weierstrass fornecem informações importantessobre a equivalência topológica de curvas irredutíveis planas no contexto deséries convergentes.

Uma Introdução ás Identidades Funcionais

Mateus Eduardo Salomão

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Câmpus Pato Branco

Dado um anel A, considere o seguinte problema:Quais são as funções E,F : A −→ A tais que

E(x)y + F (y)x = 0, ∀ x, y ∈ A ? (3)

Por um abuso de linguagem, para o momento, chamaremos a expressão (3)de identidade funcional (ou de maneira abreviada FI, do inglês functionalidentities). Observe que as funções E e F fazem o papel de incógnitas.

A teoria de FI estuda as funções que satisfazem certas identidades, comoem (3).

Um exemplo simples de solução para (3) é E = F = 0, e essa soluçãoindepende do anel A. Conseguimos encontrar outras soluções atribuindoalgumas características para A. Por exemplo, se A é um anel comutativo,então E = Id e F = −Id, onde Id é a função identidade de A, é umasolução para o problema. Já se A é um anel primo e não comutativo, épossível mostrar que a única solução da FI (3) é E = F = 0.

Precisamente, de�nimos uma identidade funcional em um subconjuntode um anel A a seguir:De�nição: Sejam X = {x1, y1, x2, y2, . . .} um conjunto enumerável e Z〈X〉a Z-álgebra associativa livre, livremente gerada por X. Seja

f = f(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) ∈ Z〈X〉,

onde m ≥ 1 e n ≥ 0, um polinômio tal que ao menos um de seus monômiosde grau mais alto tem coe�ciente 1. Seja R um subconjunto não vazio deum anel A e considere funções Fi : Rm −→ A, i = 1, . . . , n. Dizemos que fé uma identidade funcional (FI) em R com as funções F1, . . . , Fn se

f(r1, . . . , rm, F1(r1, . . . , rm), . . . , Fn(r1, . . . , rm)) = 0

para todos r1, . . . , rm ∈ R. Neste caso, dizemos ainda que as funçõesF1, . . . , Fn são soluções desta identidade funcional.

Assim, a identidade do exemplo introdutório pode ser expressa pela FIf(x1) = y1x2+y2x1, com as funções F1(x1, x2) = E(x1) e F2(x1, x2) = F (x2)como soluções. Outro exemplo de uma identidade funcional é o seguinte:suponha que F é uma função comutativa em A, isto é, [F (x), x] = 0, paratodo x ∈ A, e isso é o mesmo que dizer que

f(x1, y1) = [y1, x1]

é uma FI em A com a própria função F como solução.Para de�nir as próximas FI's, vamos antes introduzir algumas notações.

Seja A um anel e m ∈ N. Para x1, . . . , xm ∈ A, escrevemos

xm = (x1, . . . , xm) ∈ Am.

De�nimos A0 = {0}. Além disso, para todo 1 ≤ i ≤ m, escrevemos

xim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm) ∈ Am−1

e para todos 1 ≤ i < j ≤ m

xijm = xjim = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm) ∈ Am−2.

Considere A um anel unitário e M um (A,A)-bimódulo unitário comcentro Z(M). Vamos escrever apenas Z para o centro Z(A). Sejam I e J

subconjuntos �nitos de N e m ∈ N tal que I ∪ J ⊆ {1, . . . ,m}. Considereainda funções arbitrárias Ei, Fj : Am−1 −→M , onde i ∈ I e j ∈ J .

As FI's da forma∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) = 0, ∀ xm ∈ Am (4)

e também ∑i∈I

Ei(xim)xi +

∑j∈J

xjFj(xjm) ∈ Z(M), ∀ xm ∈ Am. (5)

podem ser completamente analisadas. Vamos descrever a seguir uma soluçãopara estas identidades.

Suponha que existam funções

pij : Am−2 −→M, i ∈ I, j ∈ J, i 6= j, e

λk : Am−1 −→ Z(M), k ∈ I ∪ J,

tais queEi(x

im) =

∑j∈J,j 6=i

xjpij(xijm) + λi(x

im), i ∈ I,

Fj(xjm) = −

∑i∈I,i 6=j

pij(xijm)xi − λj(xjm), j ∈ J,

λk = 0 se k /∈ I ∩ J.

(6)

Então (6) é uma solução de (4) e consequentemente de (5). Essa solução échamada de solução standard de (4) e de (5).

Para certas condições sobre anéis chamados de "fortemente d-livres", épossível mostrar que podemos escrever cada Ei e Fj (da solução standard)de maneira única em termos das funções p's e λ's.

Referências:

[1 ] M. Bresar, M.A. Chebotar, W. S. Martindale. Functional Identities.Birkhauser Verlag, Basel, (2007).

[2 ] M. Bresar. Introduction to Noncommutative Algebra. Springer, (2014).

Partial coactions of Hopf algebras inducedby integrals

Rafael CavalheiroFURG

Let k be a �eld and let G be a �nite group. In [1] the authors describe anexample of a partial Hopf action of (kG)∗ on a subalgebra A of kG generatedby a central idempotent τ ∈ kG. In fact, τ is an integral of a Hopf subalgebraof kG and this partial action is equivalent to a partial coaction of kG in A.In this work we generalize this construction and explore partial coactions of aHopf algebra H that are induced by integrals of semisimple Hopf subalgebrasof H.

Referências:

[1 ] M. M. S. Alves, E. Batista, �Partial Hopf actions, partial invariants

and a Morita context�, Algebra and Discrete Mathematics, 3:1�19,2009.

Extensões weak-Hopf-Ore R[x;σ, δ] com xskew-primitivo fraco

Ricardo Leite dos SantosUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Extensões de Ore consistem em polinômios sobre um anel R em umavariável x, que não necessariamente comuta com os elementos de R, isto é,satisfaz a relação xr = σ(r)x+ δ(r), ∀r ∈ R, onde σ é um automor�smo e δé uma σ-derivação de R. Um dos pontos importantes dessa teoria é construirExtensões de Ore de modo a fornecer novos exemplos/contra-exemplos com amesma estrutura do anel base. Nesse trabalho estudamos tais Extensões parao caso em que o anel base é uma álgebra de Hopf fraca e x é um elementoskew-primitivo fraco. Nosso objetivo é estabelecer condições necessárias esu�cientes para que R[x;σ, δ] seja uma álgebra de Hopf fraca. Esta pesquisaestá sendo desenvolvida na minha tese de doutorado sob a orientação dosprofessores Alveri Alves Sant'Ana (UFRGS) e Christian Lomp (Faculdadede Ciências da Universidade do Porto-FCUP).

Propriedades de Goldie dos Skew anéis dasséries de potências parciais torcidas

Simone RuizUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Neste trabalho estudamos ações parciais torcidas de Z sobre um anel R.Mais especi�camente, trabalhamos com os Skew anéis das séries de potên-cia parciais torcidas e os Skew anéis das séries de Laurent parciais torci-das. Descrevemos propriedades importantes destes anéis, tais como primal-idade, semiprimalidade e ideais primos com o intuito principal de estudarpropriedades de Goldie destes anéis.

Álgebras de Hopf trançadas e álgebras deNichols

Vanusa Moreira DylewskiBarbara Seelig Pogorelsky

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Neste trabalho introduziremos o conceito de álgebra de Nichols, que éuma noção fundamental no estudo contemporâneo das álgebras de Hopf.Para isto necessitaremos dos conceitos de espaço vetorial trançado e álgebrade Hopf trançada, que também serão abordados no trabalho.