programacao matematica

ÍNDICE I. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 2

II. OBJECTIVOS ......................................................................................................................... 3

2.1. GERAL: ........................................................................................................................... 3

2.2. ESPECÍFICOS: ................................................................................................................ 3

III. METODOLOGIAS: ............................................................................................................. 3

1. INTRODUÇÃO AO PROCESSO DE LAVRA EM MINAS A CÉU ABERTO ................... 4

1.1. PROJECTO DE MINERACAO A CÉU ABERTO ......................................................... 4

2. PESQUISA OPERACIONAL APLICADA À MINERAÇÃO............................................... 5

2.1. Modelo matemático .......................................................................................................... 6

2.2. Alocação dinâmica de caminhões (Modelo Matemático) ................................................ 6

3. OPTIMIZAÇÃO ...................................................................................................................... 8

3.1. Aplicações típicas:............................................................................................................ 9

3.2. Modelos de Optimização .................................................................................................. 9

4. PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA ...................................................................................... 9

4.1. Características da Programação Matemática: ................................................................ 10

4.2. Desvantagens:................................................................................................................. 10

5. MODELOS HEURÍSTICOS: ................................................................................................ 11

5.1. Vantagens: ...................................................................................................................... 11

6. PROGRAMAÇÃO LINEAR ................................................................................................ 11

6.1. Aplicação da Programação Linear ................................................................................. 11

6.2. Formulação Algébrica .................................................................................................... 12

6.3. Exemplo de Programação Matemática Linear: .............................................................. 13

7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA ............................................................................................... 14

7.1. Algoritmos aplicados com sucesso na Programação Inteira: ......................................... 15

8. PROGRAMAÇÃO DINAMICA ........................................................................................... 15

8.1. Algoritmo de Lerchs e Grossmann................................................................................. 15

9. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ......................................................................... 17

IV. CONCLUSÕES ................................................................................................................. 18

V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................................. 19

4° ANO - LICENCIATURA EM ENGENHARIA DE MINAS/ 2016

PROGRAMAÇÃO MATEMATICA DE LAVRA - M.C.A

2

I. INTRODUÇÃO

No presente trabalho ira abordar se aspectos de extrema importância no Projecto de Mineração a

Céu Aberto que é basicamente a Programação Matemática, que visa a maximizar a produção,

distribuição do pessoal assim como dos equipamentos da mina, utilizada também para a blendagem

do minério para que o produto atenda as especificações do mercado. O trabalho contém aspectos

relevantes e as metodologias da Programação Matemática de Lavra de Mina a Céu Aberto. Dentre

as técnicas de pesquisa operacional mais utilizadas na mineração pode-se destacar a programação

linear como a mais aplicada aos problemas de planejamento de produção em mineração, sendo

adotada principalmente pelas minerações a céu aberto, devido à maior complexidade de suas

operações em relação às de minas subterrâneas (Mutmansky, 1979). Falar se a da Optimizacao,

das suas aplicações típicas e dos seus modelos, focalizando a programação linear. Ira apresentar

se as características da Programação matemática, os procedimentos de cálculo usando a

programação linear e alocação dinâmica de camiões e alguns softwares usados para programação

de lavra.



3

II. OBJECTIVOS

2.1. GERAL:

Conhecer a Importância da Programação Matemática da lavra no Projeto de

Mineração a Céu Aberto.

2.2. ESPECÍFICOS:

Descrever os métodos de Programação Matemática e os modelos de programação;

Dar a entender os passos a serem seguidos para a formulação de uma função-objectivo;

Dar a entender como identificar as variáveis de decisões;

Saber distinguir e escolher os métodos de programação em conformidade das condições.

III. METODOLOGIAS:

Pesquisas Bibliográficas;

Interação entre os membros do grupo;

Demonstração de exemplos.



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1. INTRODUÇÃO AO PROCESSO DE LAVRA EM MINAS A CÉU ABERTO

Segundo Chaves (1996) apud Wellington (2007), o objetivo da atividade mineradora é descobrir

os recursos existentes, transportar o material extraído da jazida por meio de operações de lavra (a

céu aberto ou subterrâneo) até diferentes pontos de descarga e colocar esse bem mineral em

condições de ser utilizado pela indústria através das operações de beneficiamento de minérios.

1.1. PROJECTO DE MINERACAO A CÉU ABERTO

Segundo Pinto (1999), diversos fatores devem ser considerados para avaliar corretamente as

reservas minerais, entre os quais vale ressaltar:

Determinação dos métodos de lavra e tratamento do minério;

Auxílio na determinação da sequência de lavra e desenvolvimento da mina;

Determinação do ritmo de produção e vida útil da mina;

Determinação dos diversos custos envolvidos no projeto.

Os métodos de avaliação das reservas minerais podem ser divididos em três tipos básicos:

Métodos convencionais,

Estatísticos e

Geoestatísticos.

Desses três, os métodos geoestatísticos são os mais utilizados para avaliação dos depósitos

minerais, por levarem em conta os aspectos estruturais e considerar a aleatoriedade característica

das formações mineralizadas.

Uma vez realizada a avaliação do depósito mineral, a jazida mineral é dividida em blocos

geológicos e dessa forma é montada a base de dados geológicos da jazida. Após esta etapa, pode-

se então proceder à elaboração de seu projeto de lavra.

Na elaboração do projeto de lavra, faz-se um estudo para o dimensionamento dos equipamentos e

instalações que irão operar na mina, com base na produção determinada. Estas frotas de

equipamentos podem ser divididas em cinco principais classes:

Equipamentos de perfuração: este tipo de equipamentos engloba as perfuratrizes;



5

Equipamentos de desmonte: este tipo de equipamentos é representado principalmente pelos

tratores;

Equipamentos de carga: dentro dos equipamentos de carga temos as pás carregadeiras e as

escavadeiras que podem ser elétricas ou hidráulicas;

Equipamentos de transporte: dentro desta classe temos os caminhões fora da estrada;

Equipamentos de apoio: nesta classe estão agrupados as motoniveladoras, caminhões pipa,

carregadeiras/escavadeiras de pequeno porte, comboios de abastecimento e todos os equipamentos

de suporte às atividades da mineração.

Segundo Pinto (1999), para a escolha do tipo e o dimensionamento dos equipamentos devem-se

levar em consideração diferentes fatores, como a escala de produção, capacidade financeira do

grupo minerador, características da mina testando-se as diversas alternativas disponíveis.

O dimensionamento final dos equipamentos somente acontece após a realização do plano de lavra

da mina, pois, ao fim deste, tem-se uma ideia da geometria da mina.

2. PESQUISA OPERACIONAL APLICADA À MINERAÇÃO

Dentre as técnicas de pesquisa operacional mais utilizadas na mineração pode-se destacar a

programação linear como a mais aplicada aos problemas de planejamento de produção em

mineração, sendo adotada principalmente pelas minerações a céu aberto, devido à maior

complexidade de suas operações em relação às de minas subterrâneas (Mutmansky, 1979).

Entretanto, com o desenvolvimento e o aumento da velocidade de processamento dos

computadores, os métodos heurísticos vêm conquistando cada vez mais espaço na resolução de

problemas de planejamento de produção em mineração. Os modelos de programação linear para

problemas reais são complexos e demandam muito tempo para obter a solução do problema,

enquanto os métodos heurísticos possuem uma maior flexibilidade na modelagem das restrições e

podem gerar soluções satisfatórias em tempo computacional viável. Mutmansky (1979) descreve

os modelos heurísticos como sendo comuns em problemas de mineração, mas pouco apresentados

na literatura, devido a sua subjetividade e aplicados a operações particulares. Um importante



6

seguimento de aplicação dos métodos heurísticos está relacionado com o sistema de despacho de

caminhões (Ezawa e Silva, 1995; Alvarenga, 1997).

2.1. Modelo matemático

Diante desse cenário, diversas questões podem surgir, tais como:

Com quais frentes deve-se trabalhar para atender as especificações de qualidade da usina

de tratamento de minério?

Com a frota de equipamentos disponíveis, será possível atender um ritmo de lavra que

possibilite o atendimento das especificações da usina?

A partir de uma determinada frota de equipamentos e das especificações impostas pela

usina, qual é a máxima produção que pode ser obtida? E qual é o ritmo de lavra de cada

frente?

Cada uma das questões apresentadas anteriormente pode ser respondida mediante a construção de

modelos distintos de programação matemática. Pinto (1995) fez uma abordagem sobre o tema

relacionado à mistura de minérios. Naquele trabalho, no entanto, não foram consideradas diversas

questões relacionadas às características dos equipamentos, nem à relação estéril/minério.

2.2. Alocação dinâmica de caminhões (Modelo Matemático)

Seja uma mina a céu aberto operando com sistema de alocação dinâmica de caminhões onde,

durante a lavra, exista um controle dos teores das diversas variáveis envolvidas. Nesse trabalho,

considerou-se o controle dos teores das variáveis químicas, mas o mesmo poderia ser feito para o

controle das variáveis físicas, como a granulometria, por exemplo.

A cada plano de lavra de curto prazo elaborado, existem n frentes disponíveis, onde a lavra pode

acontecer simultaneamente em m (𝒎 ≤ 𝒏) dessas frentes, dependendo da disponibilidade de

equipamentos de carga (carregadeiras e/ou escavadeiras).

Caso entre em operação, por razões técnicas e econômicas, cada equipamento de carga deve

trabalhar entre limites preestabelecidos de produção. O material alimentado na usina deve atender

os limites de qualidade impostos para cada variável. Além disso, uma relação estéril/minério

mínima preestabelecida deve ser cumprida.



7

O modelo matemático para o problema descrito anteriormente está descrito abaixo. Seja:

M - O conjunto das frentes de minério;

E - O conjunto das frentes de estéril;

Pi - O ritmo de lavra da frente i (t/h);

𝑋𝑗𝑖 {0, 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗 𝑛𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖

1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖

tvi – O teor da variável v na frente i (%);l

linfv - O teor mínimo admissível para a variável v (%);

lsupv - O teor máximo admissível para a variável v (%);

Pminj - A produção mínima admissível para o equipamento de carga j (t/h);

Pmaxj - A produção máxima admissível para o equipamento de carga j (t/h);

R - A relação estéril minério mínima requerida;

Preq - A produção mínima requerida (t/h).

𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 ∑ 𝑃𝐼

𝑖∈𝑀

𝑹𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑸𝒖𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆: 𝑙𝑖𝑛𝑓𝑣 ≤∑ 𝑃𝑖𝑡𝑣𝑖𝑖∈𝑀

∑ 𝑃𝑖𝑖∈𝑀≤ 𝑙𝑠𝑢𝑝𝑣 ∀𝑣 (1)

Restrições de Alocação:

∑ 𝑥𝑗𝑖 ≤ 1𝑗 ∀ 𝑖 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝐸 (2) ∑ 𝑥𝑗𝑖 ≤𝑖∈𝑀𝑖∈𝐸

1 ∀ 𝑗 (3)

Restrições de Produção:

∑ 𝑃𝑚𝑖𝑛𝑗𝑥𝑗𝑖 ≤ 𝑃𝑖 ≤ ∑ 𝑃𝑚𝑎𝑥𝑗𝑥𝑗𝑖𝑗 𝑗 ∀ 𝑖 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝐸 (4)



8

∑ 𝑃𝑖 ≥ 𝑃𝑟𝑒𝑞𝑖∈𝑀 (5) ∑ 𝑃𝑖𝑖∈𝐸

∑ 𝑃𝑖𝑖∈𝑀 (6)

As restrições de qualidade (1) garantem que o produto resultante da mistura dos minérios das

diversas frentes esteja dentro dos limites de qualidade exigidos pela usina de tratamento.

As restrições de alocação (2) e (3) fazem com que cada frente possua somente um equipamento de

carga - restrições de alocação (2) - e que cada equipamento de carga atenda somente uma frente -

restrições de alocação (3).

Já as restrições de produção estão divididas em quatro grupos: as restrições (4) garantem que os

equipamentos de carga trabalhem entre os limites de produção preestabelecidos; a restrição (5) é

opcional, caso se deseje impor uma produção mínima e (6) é a restrição que garante a relação

estéril/minério preestabelecida e (7) é a restrição que garante produção positiva em todas as frentes.

3. OPTIMIZAÇÃO

É a área da Pesquisa Operacional que utiliza o método científico para apoiar a tomada de decisões,

procurando determinar como melhor projetar e operar um sistema, usualmente sob condições que

requerem a alocação de recursos escassos que trabalha com modelos determinísticos. As

informações relevantes são assumidas como conhecidas (sem incertezas).

Segundo Nocedal e Wright (2006), a otimização, contextualizada à engenharia de sistemas,

significa o projeto e a operação de sistemas ou processos, com o intuito de torná-los tão bons

quanto possível, baseado em algum senso, ou critério definido. As abordagens, para otimização

dos sistemas, são variadas e dependem do tipo de sistema envolvido. Em geral, o objetivo de todos

os procedimentos de otimização está na obtenção dos melhores resultados possíveis (novamente,

baseado num critério definido), sujeito às restrições a eles imposto. De acordo às premissas da

otimização moderna, a primeira etapa é obter uma descrição matemática do processo, ou sistema,

a ser otimizado. Um modelo matemático do processo é então criado, com base nesta descrição.

Dependendo da aplicação, o grau de complexidade do modelo, pode variar do muito simples ao

extremamente complexo. Um exemplo de um modelo muito simples é aquele que depende de uma

única função algébrica não-linear, com uma variável a ser selecionada pelo otimizador (o

“tomador” da decisão). Modelos complexos podem conter milhares de funções lineares e não-



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lineares, de muitas variáveis. Como parte do procedimento, o otimizador pode selecionar valores

específicos, para algumas das variáveis, designar variáveis que estão em função do tempo, ou de

outras variáveis independentes, satisfazer restrições que são impostas nas variáveis, atender certos

objetivos e administrar incertezas, ou aspectos aleatórios do sistema.

3.1. Aplicações típicas:

Mistura de minérios

Planejamento da produção

Roteirização

Escala de pessoal

3.2. Modelos de Optimização

Podem ser divididos em duas classes:

Modelos de Programação matemática

Modelos Heurísticos

4. PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Dá-se o nome de Programação Matemática ao conjunto de modelos e métodos de otimização

utilizados em planejamento da produção, podendo o termo programação (programming) ser

entendido como sinónimo de planejamento (planning). Os modelos e métodos da programação

matemática constituem um subconjunto dos modelos e métodos da Pesquisa Operacional.

Senhorinho (2001), ponderou que avanços recentes na programação matemática, implementados

em programas informatizados, vêm permitindo que o planejamento estratégico possa auxiliar de

maneira mais consistente no processo decisório. De fato, desde a década de 60, o significativo

desenvolvimento da ciência da computação e dos modernos computadores e estações de trabalho,

vem fazendo com que os modelos de programação matemática, podendo ser constituídos de

centenas de milhares de variáveis, e/ou restrições de variáveis inteiras, pudessem experimentar um

grau de capacidade de resolução bastante satisfatória, dentro de um período finito de tempo. Por

exemplo, Peroni (2001), demonstrou em sua pesquisa que os modelos geológicos tradicionais

(construídos através de interpretações subjetivas do conhecimento geológico e do comportamento

que se tem a respeito das rochas), poderiam também ser melhor complementados através do auxílio



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de ferramentas matemáticas. Estas últimas poderiam participar (através da avaliação das

proporções e inter-relações entre as amostras em furos de sondagem), como provedoras de

importantes informações, que em interpretação tradicional por seções paralelas dificilmente seriam

capturadas. Portanto, a utilização dessas ferramentas vem a contribuir na construção de um modelo

mais coerente, complementando o conhecimento geológico e de campo, de modo a evitar

potenciais discrepâncias, também existentes em modelos puramente matemáticos. Métodos

matemáticos e heurísticos têm sido cada vez mais empregados, de modo a trazer soluções razoáveis

para o planejamento estratégico da lavra. Dentre estes, os métodos matemáticos mais utilizados

têm sido os de programações linear, inteira, e dinâmica. A aplicação destes métodos, entretanto,

principalmente devido ao tamanho do problema, demanda considerações e simplificações. Por

conta disso, naturalmente, a otimização dos resultados será sempre questionada.

Ramazan et al. (2005), afirmaram que modelos matemáticos de programação podem ser adequados

para serem utilizados no sequenciamento da lavra de longo prazo das minas. Entretanto, não é

possível na maioria dos casos, resolver integralmente o problema do sequenciamento,

principalmente porque o número de variáveis inteiras requisitadas pode tornar-se muito grande e

o seu tempo de processamento inviável. Novas técnicas devem então ser empregadas, no sentido

de buscar reconstruir os blocos de lavra, de modo a diminuir o número de variáveis inteiras para o

sequenciamento, e ao mesmo tempo, evitar reduzir a qualidade para alcançar uma solução do

modelo.

4.1. Características da Programação Matemática:

Baseia se em fundamentados na matemática

Apresenta Métodos exatos: garantem a geração da solução ótima

Apresenta método mais difundido: Programação Linear (PL).

4.2. Desvantagens:

Modelagem mais complexa

Em problemas combinatórios, podem exigir um tempo proibitivo para encontrar a

solução ótima.



11

5. MODELOS HEURÍSTICOS:

Fundamentados na Inteligência Artificial Inspirados na forma humana de resolver o problema, em

processos biológicos, em processos físicos, em processos químicos. È um método aproximado que

não garante a optimidade da solução final.

5.1. Vantagens:

De fácil modelagem

Em geral, produzem boas soluções rapidamente

6. PROGRAMAÇÃO LINEAR

A Programação Linear vale-se da Matemática para equacionar e resolver problemas que envolvem

funções lineares. Goldberg (2000, p.15) explica que “A programação matemática na prática é

fortemente direcionada ao apoio da tomada de decisão no gerenciamento de sistemas de grande

porte, especialmente no que se diz respeito ao tratamento de variáveis qualificadas”. Conforme

Andrade (1998), os estudos de Programação Linear permitem responder a questões como:

i. Estando presentes certas condições de produção, qual a quantidade de um determinado

produto, entre vários, que se pode produzir para obter o maior lucro possível?

ii. Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura (blendagem de

minério) que corresponde ao custo mínimo?

iii. Conhecendo certo número de condições de mercado (produtos, fornecedores e

consumidores), como estabelecer os circuitos de distribuição de forma a minimizar o custo

total?

iv. Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente de mão-de-obra

entre as diferentes tarefas e especialidade, com o objetivo de minimizar as despesas ou

maximizar a eficiência?

6.1. Aplicação da Programação Linear

i. Rotas de Transportes na Mineração - Qual deve ser o roteiro de transporte do material

desmontado de modo a chegar no menor tempo e com menor custo total?



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ii. Manufatura - Qual deve ser a composição do minério de modo a atingir o lucro

máximo, respeitando as limitações ou exigências do mercado comprador e a capacidade

de produção da fábrica?

iii. Mineração - Em que sequência se devem lavrar blocos de minérios, dada sua

composição, posicionamento e custos de extração?

iv. Siderurgia - Quais minérios devem ser carregados nos reatores de redução de modo a

se produzir, ao menor custo, uma liga metálica dentro de determinadas especificações?

v. Localização Industrial - Onde devem ser localizados os depósitos/estoques de um

novo empreendimento industrial, de modo que os custos de entrega do produto sejam

minimizados?

6.2. Formulação Algébrica

Otimizar: 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (Função Objetiva)

Sujeito a: ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 (

≤=≥

) 𝑏𝑖 ∀𝑖 = 1, … , 𝑚

𝑥𝑖 ≥ 0∀𝑗 = 1, … , 𝑛 (condições de não negatividade)

Sujeito a + condições de não negatividade = Restrições

1. As restrições representam limitações de recursos disponíveis (mão-de-obra, capital, recursos

minerais ou fatores de produção) ou então, exigências e condições que devem ser cumpridas

2. 𝑥𝑗 é uma variável de decisão, que quantifica o nível de operação da atividade j

3. 𝑏𝑖 representa a quantidade do i-ésimo recurso disponível ou a exigência que deve ser cumprida

4. 𝑐𝑗 representa o custo associado à j-ésima atividade

5. 𝑎𝑖𝑗 é a quantidade do recurso i (exigido ou disponível) em uma unidade da atividade j

6. otimizar = maximizar ou minimizar



13

6.3. Exemplo de Programação Matemática Linear:

Uma empresa de mineração possui duas minas e uma planta de beneficiamento que operam

conjuntamente para atender a demanda do mercado consumidor. O minério extraído da Mina 1

apresenta 40% de recuperação para a obtenção do produto final e o da Mina 2 apresenta 60%. A

relação estéril/minério da Mina 1 é 5,0m³/t ROM e da Mina 2 é 8,0m³/t ROM.

A frota de equipamentos da empresa tem capacidade de movimentar até 1.000.000m³/mês entre as

duas minas, e a planta tem capacidade de processar até 150.000 t/mês. No período, a produção

máxima de minério em cada Mina é de 100.000t/mês.

O custo de produção da Mina 1 é R$30,00 por t ROM e da Mina 2 R$50,00 por t ROM, o preço

de comercialização do produto é R$ 100,00/t. O mercado tem capacidade de absorver toda a

produção. Qual estratégia de produção que deve ser seguida para obter-se o melhor resultado

financeiro?

Resolução:

Passo 1: Identificar as Variáveis de Decisão

Variável 1 = Quantidade de minério extraído da Mina 1 (𝑀1)

Variável 2 = Quantidade de minério extraído da Mina 2 (𝑀2)

Passo 2: Definição da Função Objetivo - FO

Objetivo = Maximizar o resultado financeiro

Resultado = Receita − Despesa

Resultado = Produto × Valor − (Minério × Custo)

Resultado = (𝑀1 × 𝑅𝑒𝑐1 × Valor + 𝑀2 × 𝑅𝑒𝑐2 × Valor) − (𝑀1 × 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜1 + 𝑀2 × 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜2)

Resultado = (𝑀1 × 0,4 × 90 + 𝑀2 × 0,6 × 90) − (𝑀1 × 30 + 𝑀2 × 50)

Resultado = 6𝑀1 + 4𝑀2



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Passo 3: Identificar as Restrições

Restrição 1 = Remoção de Estéril

Capacidade: 1.000.000 m³

REM Mina 1 = 5 m³/tROM

REM Mina 2 = 8 m³/tROM

5𝑀1 + 8𝑀2 ≤ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Restrição 2 = Capacidade da Planta de Beneficiamento

Capacidade: 150.000 t

𝑀1 + 𝑀2 ≤ 𝟏𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Restrição 3 = Extração de Minério da Mina 1


𝑀1 ≤ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Restrição 4 = Extração de Minério da Mina 2


𝑀2 ≤ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA

Se todas as variáveis do problema pertencerem ao conjunto dos números inteiros, temos uma

subclasse da Programação Linear chamada Programação Inteira (PI) ou programação linear

inteira. Ao contrário da PL que pode-se encontrar a solução óptima em um tempo razoável, muitos

problemas de Programação Inteira são considerados NP-difícil. Se as variáveis forem binárias, ou

seja, assumirem somente os valores 0 (zero) ou 1, temos um caso especial da PI, que também pode

ser classificado como NP-difícil.

Quando somente algumas das variáveis são inteiras e outras contínuas, temos a "Programação

Inteira Mista" (PIM).

http://pt.wikipedia.org/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o_inteira

http://pt.wikipedia.org/wiki/NP-dif%C3%ADcil



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Existem, no entanto, algumas classes de problemas que podem ser resolvidos na perfeição em

tempo polinomial, estes têm uma estrutura matricial própria chamada Matrizes totalmente uni

modulares.

7.1. Algoritmos aplicados com sucesso na Programação Inteira:

branch and bound

branch and cut

branch and price

Se a estrutura do problema permitir é também possível se aplicar um algoritmo de geração

de colunas

8. PROGRAMAÇÃO DINAMICA

Como regra geral, um problema é susceptível a ser abordado através de programação dinâmica, se

nele forem identificadas 3 características básicas:

o Ser um problema de decisão que pode ser decomposto em etapas de decisão distintas;

o Em cada etapa de decisão, seja possível definir o estado da solução;

o Em cada etapa, decide-se para cada estado, qual o estado da etapa seguinte que oferece

melhor retorno para a solução do problema (mudança de estado)

8.1. Algoritmo de Lerchs e Grossmann

Khalokakaie et al. (2000), afirmaram que um dos mais importantes elementos de projeto de minas

a céu aberto é a determinação da cava final. As cavas finais podem ser re-projetadas diversas vezes

ao longo da vida da mina, em resposta às mudanças nos parâmetros de projeto, tão logo novas

informações sejam obtidas e estas possam impactar em alterações dos valores técnicos e

econômicos. Nos últimos 40 anos, a determinação das cavas finais otimizadas, tem sido uma das

áreas mais ativas da pesquisa operacional na indústria da mineração e como consequência, muitos

algoritmos já foram publicados. O critério de otimização mais comum nestes algoritmos tem sido

a maximização das receitas econômicas, a partir dos limites da cava projetada, sujeita a restrições

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrizes_totalmente_unimodulares&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrizes_totalmente_unimodulares&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Branch_and_bound

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Branch_and_cut&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Branch_and_price&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Gera%C3%A7%C3%A3o_de_colunas&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Gera%C3%A7%C3%A3o_de_colunas&action=edit&redlink=1



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de acessos. “Utilizando-se da técnica de programação dinâmica, Lerchs e Grossmann

desenvolveram, juntamente com um algoritmo de otimização bi-dimensional de cavas, um

tratamento algébrico para a discretização da jazida em blocos tecnológicos. Um algoritmo derivado

da Teoria Gráfica, trata o problema através da procura do fecho máximo em um gráfico associado.

O benefício B associado ao bloco de lavra i, representado por Bi, pode ser otimizado como a busca

da combinatória de blocos que maximizem o benefício global, respeitando as restrições pertinentes

ao estudo. A programação dinâmica oferece como grande vantagem a qualidade da solução”.

(NORONHA e GRIPP, 2001).

“O método trabalha a partir de um modelo de blocos, criado segundo um modelo geológico, e

progressivamente constrói matrizes de blocos relacionados que devem, ou não, serem lavrados. A

matriz resultante define uma superfície de cava final, que possui o maior valor econômico possível,

sujeito a restrições de ângulos de taludes gerais para a cava. Esta superfície inclui todo bloco que

deve ser lavrado, levando em conta o estéril a ser decapeado, de modo a torná-lo acessível. Ele

também exclui todo bloco que não deve ser lavrado. Estes blocos são dispostos segundo um valor

econômico total positivo, consistido do valor do produto recuperável, diminuído dos custos de

lavra e beneficiamento. Blocos de estéril e de ar têm valores negativos e zero, respectivamente. Os

objetivos típicos são: maximizar o Valor Presente Líquido (VPL) ou a Taxa Interna de Retorno

(TIR). O método sinaliza cada bloco que potencialmente pode ser lavrado. Durante o processo de

otimização, estas sinalizações podem ser ativadas ou desativadas muitas vezes. Um bloco é

sinalizado para ser lavrado se finalmente pertence a um grupo de blocos cujo valor total é positivo.

Estes grupos são chamados ramificações”. Whittle (1990).

Para o cálculo dos valores econômicos nos blocos, segundo Hanson (1994), o algoritmo de Lerchs

e Grossmann utiliza três regras básicas, para os propósitos de otimização.

O valor precisa ser calculado partindo-se da premissa de que o bloco já tenha sido

decapeado. Em outras palavras, nenhum custo deve ser aplicado para o decapeamento

necessário para se ter acesso ao bloco, uam vez que o otimizador já calcula e toma em conta

os valores necessários à remoção dos blocos sobrejacentes a este, no momento da sua

extração. Em particular, qualquer teor de corte para definir o minério, deve refletir os custos

de beneficiamento e de lavra, mas não o custo de decapeamento. Se algum custo de

decapeamento é incluído, esta atividade será paga duas vezes.



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O valor deve ser calculado partindo-se da premissa de que o bloco será lavrado. Logo, se

o bloco contém algum minério, o valor do minério deverá ser adicionado, mesmo se o

resultado total do valor do bloco continuar negativo. O otimizador não selecionará tal bloco

para a lavra, mas se este tiver que ser lavrado, poderá agregar algum valor, o que poderá

ajudar nas despesas de decapeamento do conjunto de blocos selecionado. Assim como

ocorre na prática.

Qualquer custo que deve cessar assim que a lavra pára, precisa ser excluído tanto do custo

de lavra quanto do custo de processamento. Inversamente, qualquer custo que não cesse se

a lavra parar, precisa ser incluído na função benefício que valoriza todos os blocos.

9. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

Os modelos propostos devem ser resolvidos com a utilização de softwares específicos, já que sua

resolução manual é inviável devido ao grande número de restrições. Existem, no mercado, diversos

desses softwares, tais como o LINDO e "What's Best" da Lindo Systems Inc ou CPLEX da Cplex

Optimization Inc. Para geração do modelo matemático que servirá como entrada desses softwares,

aconselha-se o uso de um programa construído especificamente para esse fim, pois isso evita erros

na construção do modelo. Estes programas podem ser desenvolvidos a partir de linguagens

genéricas como C++, Pascal, Fortran, Delphi, Visual Basic, etc.



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IV. CONCLUSÕES

Em virtude dos factos adquiridos durante a elaboração do trabalho, conclui se a Programação

Matemática no Projecto de Mineração a Céu Aberto é um fator de extrema importância que o torna

indispensável, pois permite que haja a distribuição correcta dos equipamentose do pessoal de

acordo com as necessidades de cada frente bem como na redução dos tempos ociosos dos

equipamentos e na blendagem para poder satisfazer as necessidades do cliente, maximizando os

lucros. Constatou se tambem que existem 4 modelos de programação matemática no projecto de

mineração, nomeadamente Linear, Inteira, Dinâmica e Heuristicos. Dentre estes modelos destaca

se a programação linear como a mais aplicada aos problemas de planejamento de produção em

mineração. Os modelos apresentados contemplam diversos aspectos operacionais do planejamento

de lavra de curto prazo e seu uso simplifica substancialmente a programação da lavra. A escolha

de cada um desses modelos irá depender do que pretendemos programar ou optimizar e do tipo de

planejamento, se é a curto, médio ou longo prazo. A implementação computacional dos modelos,

apesar de não trivial, devido ao grande número de restrições, pode ser feita utilizando qualquer

software de programação matemática.



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V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0370-44672001000300008

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PINTO, L. R. Uso de técnicas de pesquisa operacional na otimização das operações de

lavra. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE MINERAÇÃO, 6. 1995. Salvador. Coletânea

de trabalhos técnicos. Salvador: IBRAM, 1995. p. 53-61.

http://www.decom.ufop.br/prof/marcone/Disciplinas/POMineracao/arquivos/Dia-01.pdf

ACKOFF, R. L.; SASIENI, M. W. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Livros Técnicos

e Científicos, 1977.

ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a análise de

decisão. 2.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1998.

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